वर्ग ज्यामिति की सबसे सरल आकृति है। इसी आयत और वर्ग से वे इस विषय का अध्ययन शुरू करते हैं। एक वर्ग के साथ समस्याओं को हल करने की क्षमता आपको अधिक जटिल सामग्री में महारत हासिल करने में मदद करेगी। यह लेख आपको बताएगा कि किसी वर्ग का विकर्ण कैसे ज्ञात करें।

ज्यामितीय समस्याओं को हल करना दिलचस्प है क्योंकि उन्हें कई तरीकों से हल किया जा सकता है। प्रत्येक विधि अपने तरीके से दिलचस्प है. वर्ग का विकर्ण कोई अपवाद नहीं है, जिसे प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष तरीकों से पाया जा सकता है।

किसी वर्ग का विकर्ण कैसे ज्ञात करें - सूत्र

काफी है सरल सूत्रएक वर्ग का विकर्ण ज्ञात करने के लिए. यह इस तरह दिखता है: a√2. a वर्ग की भुजा है. याद रखें कि एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए यदि आप एक पक्ष का आकार जानते हैं, तो आप अन्य तीन पक्षों का आकार भी जानते हैं। किसी वर्ग का विकर्ण ज्ञात करने के लिए, आपको उसकी भुजा को दो के मूल से गुणा करना होगा।

उदाहरण 1: किसी वर्ग का विकर्ण ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि उसकी भुजा 5 है।

समाधान:उपरोक्त सूत्र में मान को प्रतिस्थापित करते हुए, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि विकर्ण 5√2 के बराबर होगा।

उदाहरण 2: वर्ग की भुजा ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि इसका विकर्ण 5√2 है।

समाधान:विकर्ण को एक छोटे से दर्शाया गया है लैटिन अक्षरडी। डी = ए√2. अत: विकर्ण जानने वाली भुजा ज्ञात करने के लिए विकर्ण मान को दो के मूल से विभाजित करना आवश्यक है। इस क्रिया को करने के बाद, हम वर्ग की भुजा ज्ञात करते हैं, जो इस मामले में, 5 के बराबर है।

एक समकोण त्रिभुज से होकर एक वर्ग का विकर्ण कैसे ज्ञात करें

यदि आप एक वर्ग में एक विकर्ण बनाते हैं, तो उन दो को देखना आसान होता है सही त्रिकोण. याद रखें कि एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण होता है। इसमें दो पैर (90 डिग्री के कोण पर भुजाएँ) और एक कर्ण (90 डिग्री के विपरीत) होता है -डिग्री कोणपक्ष)। कर्ण का वर्ग योग के बराबरपैरों का वर्ग. इस स्थिति में, कर्ण हमारे वर्ग का विकर्ण है। चूँकि पैर वर्ग की भुजाएँ हैं, सूत्र होगा अगला दृश्य: d² = a² + a² = 2a². यह इस प्रकार है कि d = √2a² = a√2.

उदाहरण 3: यदि किसी वर्ग की भुजा 3 है तो उसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।

समाधान:

1. भुजाओं के वर्गों को जोड़ें, हमें 18 प्राप्त होता है।
2. हम 18 का मूल गिनते हैं और 3√2 प्राप्त करते हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि अंतिम विधि लंबी है और अंततः हम पहले उदाहरण के सूत्र पर ही पहुंचते हैं, इसे जानना आवश्यक है। संक्षेप में, यह विधि एक वर्ग के विकर्ण के सूत्र का प्रमाण है। यह वह प्रमाण है जो किसी परीक्षा या ओलंपियाड में आ सकता है। इसे अच्छी तरह से सीखें क्योंकि यह आपको उपरोक्त घटनाओं में मदद कर सकता है।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

हालाँकि ऐसी समस्याओं को हल करना कठिन नहीं है, लेकिन कुछ छात्र फॉर्मूला भूल सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए वहाँ है ऑनलाइन कैलकुलेटर, जो आपको समस्या में दी गई बातों के आधार पर सही उत्तर खोजने की अनुमति देता है। इस सेवा का उपयोग करने के लिए, लिंक का अनुसरण करें।

1. पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल करें और आपको उपशीर्षक मिलेगा “किसी वर्ग की भुजा दी गई है तो उसका विकर्ण ज्ञात करें।
2. इस उपशीर्षक के नीचे एक फॉर्मूला होगा, जिसे देखने के बाद आपको कैलकुलेटर की जरूरत नहीं पड़ेगी।
3. लेकिन फिर भी, यदि आप निश्चित नहीं हैं, तो फ़ील्ड में वर्ग की लंबाई का मान दर्ज करें, और फिर "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।
4. कैलकुलेटर आपको 1 सेकंड में सही उत्तर देगा।

अब, इस विषय पर किसी समस्या को हल करने के कई तरीके जानने के बाद, आपको सही फॉर्मूले की तलाश में गणित की किताब पलटने की ज़रूरत नहीं होगी, बल्कि बस एक ऑनलाइन कैलकुलेटर या ऊपर दिए गए उदाहरणों का उपयोग करना होगा।

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परिभाषा।

आयतएक चतुर्भुज है जिसकी दो सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और चारों कोण बराबर होते हैं।

आयतें एक दूसरे से केवल लंबी भुजा और छोटी भुजा के अनुपात में भिन्न होती हैं, लेकिन सभी चार कोने सीधे होते हैं, यानी 90 डिग्री।

आयत की लम्बी भुजा कहलाती है आयताकार लंबाई, और छोटा वाला - आयताकार चौड़ाई.

एक आयत की भुजाएँ भी उसकी ऊँचाई होती हैं।

एक आयत के मूल गुण

एक आयत एक समांतर चतुर्भुज, एक वर्ग या एक समचतुर्भुज हो सकता है।

1. आयत की सम्मुख भुजाओं की लंबाई समान है, अर्थात वे बराबर हैं:

एबी = सीडी, बीसी = एडी

2. आयत की सम्मुख भुजाएँ समान्तर हैं:

3. एक आयत की आसन्न भुजाएँ हमेशा लंबवत होती हैं:

एबी ┴ बीसी, बीसी ┴ सीडी, सीडी ┴ एडी, एडी ┴ एबी

4. आयत के चारों कोने सीधे हैं:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. एक आयत के कोणों का योग 360 डिग्री होता है:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. एक आयत के विकर्णों की लंबाई समान होती है:

7. एक आयत के विकर्ण के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

2डी 2 = 2ए 2 + 2बी 2

8. आयत का प्रत्येक विकर्ण आयत को दो समान आकृतियों अर्थात् समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।

9. आयत के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं:

		एओ=बीओ=सीओ=डीओ=	डी
			2

10. विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को आयत का केंद्र कहा जाता है और यह परिवृत्त का केंद्र भी है

11. एक आयत का विकर्ण परिवृत्त का व्यास है

12. आप हमेशा एक आयत के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं, क्योंकि सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री होता है:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. एक वृत्त को ऐसे आयत में अंकित नहीं किया जा सकता जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई के बराबर न हो, क्योंकि विपरीत भुजाओं का योग एक दूसरे के बराबर नहीं होता (एक वृत्त को केवल उसी में अंकित किया जा सकता है) विशेष मामलाआयत - वर्ग)।

एक आयत की भुजाएँ

परिभाषा।

आयताकार लंबाईलंबाई को और अधिक बुलाओ लंबी जोड़ीइसके किनारे. आयत की चौड़ाईइसकी भुजाओं के छोटे जोड़े की लंबाई है।

एक आयत की भुजाओं की लंबाई निर्धारित करने के सूत्र

1. एक आयत की भुजा (आयत की लंबाई और चौड़ाई) के विकर्ण और दूसरी भुजा से गुजरने का सूत्र:

ए = √ डी 2 - बी 2

बी = √ डी 2 - ए 2

2. क्षेत्रफल और दूसरी भुजा से होकर एक आयत की भुजा (आयत की लंबाई और चौड़ाई) का सूत्र:

बी = डीसीओएस	β
	2

एक आयत का विकर्ण

परिभाषा।

विकर्ण आयतकिसी आयत के विपरीत कोनों के दो शीर्षों को जोड़ने वाला कोई भी खंड कहलाता है।

एक आयत के विकर्ण की लंबाई निर्धारित करने के सूत्र

1. आयत की दो भुजाओं का उपयोग करके एक आयत के विकर्ण का सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से):

डी = √ ए 2 + बी 2

2. क्षेत्रफल और किसी भी भुजा का उपयोग करके एक आयत के विकर्ण का सूत्र:

4. परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के पदों में एक आयत के विकर्ण का सूत्र:

डी = 2आर

5. परिवृत्त के व्यास के संदर्भ में एक आयत के विकर्ण का सूत्र:

डी = डी ओ

6. विकर्ण से सटे कोण की ज्या और इस कोण के विपरीत भुजा की लंबाई का उपयोग करके एक आयत के विकर्ण का सूत्र:

8. ज्या से होकर जाने वाले आयत के विकर्ण का सूत्र तीव्र कोणविकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच

डी = √2एस: पाप β

एक आयत का परिमाप

परिभाषा।

एक आयत का परिमापएक आयत की सभी भुजाओं की लंबाई का योग है।

एक आयत की परिधि की लंबाई निर्धारित करने के सूत्र

1. आयत की दो भुजाओं का उपयोग करके आयत की परिधि का सूत्र:

पी = 2ए + 2बी

पी = 2(ए + बी)

2. क्षेत्रफल और किसी भी भुजा का उपयोग करके आयत की परिधि का सूत्र:

पी=	2एस + 2ए 2	=	2एस + 2बी 2
	ए		बी

3. विकर्ण और किसी भी भुजा का उपयोग करके आयत की परिधि का सूत्र:

पी = 2(ए + √ डी 2 - ए 2) = 2(बी + √ डी 2 - बी 2)

4. परिवृत्त की त्रिज्या और किसी भी भुजा का उपयोग करके एक आयत की परिधि का सूत्र:

पी = 2(ए + √4आर 2 - एक 2) = 2(बी + √4आर 2 - बी 2)

5. परिवृत्त के व्यास और किसी भी भुजा का उपयोग करके एक आयत की परिधि का सूत्र:

पी = 2(ए + √डी ओ 2 - एक 2) = 2(बी + √डी ओ 2 - बी 2)

एक आयत का क्षेत्रफल

परिभाषा।

एक आयत का क्षेत्रफलआयत की भुजाओं द्वारा, अर्थात् आयत की परिधि के भीतर सीमित स्थान को कहा जाता है।

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र

1. दो भुजाओं का उपयोग करके एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस = ए बी

2. परिधि और किसी भी भुजा का उपयोग करके आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

5. परिवृत्त की त्रिज्या और किसी भी भुजा का उपयोग करके एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस = ए √4आर 2 - एक 2= बी √4आर 2 - बी 2

6. परिचालित वृत्त के व्यास और किसी भी भुजा का उपयोग करके एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस = ए √डी ओ 2 - एक 2= बी √डी ओ 2 - बी 2

एक आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त

परिभाषा।

एक आयत के चारों ओर परिचालित वृत्तएक आयत के चारों शीर्षों से होकर गुजरने वाला एक वृत्त है, जिसका केंद्र आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है।

एक आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या निर्धारित करने के सूत्र

1. एक आयत के चारों ओर दो भुजाओं से घिरे वृत्त की त्रिज्या का सूत्र:

निर्देश

3 और 4 सेमी भुजाओं वाले एक आयत के विकर्ण की लंबाई निर्धारित करें।

आयत 32 + 42 = 9 + 16 = 25 की भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।

परिणाम से निकालें वर्गमूल– विकर्ण लंबाई 5 सेमी.

विषय पर वीडियो

कृपया ध्यान

एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं। यदि एक की लंबाई मिल जाए तो दूसरे की लंबाई भी बिल्कुल उतनी ही होगी।

स्रोत:

• एक आयत में विकर्ण की लंबाई कैसे ज्ञात करें

वर्ग एक सुंदर एवं सरल सपाट ज्यामितीय आकृति है। यह एक आयत है बराबर भुजाएँ. कैसे ढूंढे विकर्ण वर्ग, यदि इसकी भुजा की लम्बाई ज्ञात हो ?

निर्देश

विकर्ण लंबाई वर्गइसकी भुजा की लंबाई को दो से गुणा करने के बराबर।

विषय पर वीडियो

उपयोगी सलाह

यदि गणितीय परिणाम की सटीकता बहुत महत्वपूर्ण नहीं है, तो दो के मूल के स्थान पर आप इसके अनुमानित मान 1.41 का उपयोग कर सकते हैं।

युक्ति 6: किसी समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ दिए जाने पर उसका विकर्ण कैसे ज्ञात करें

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं। इसके सम्मुख कोणों को जोड़ने वाली सीधी रेखाएँ विकर्ण कहलाती हैं। उनकी लंबाई न केवल आकृति की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर करती है, बल्कि इस बहुभुज के शीर्षों पर कोणों के मान पर भी निर्भर करती है, इसलिए, कम से कम एक कोण को जाने बिना, लंबाई की गणना करना संभव है केवल विकर्णों में से अपवाद स्वरूप मामले. ये समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं - एक वर्ग और एक आयत।

निर्देश

यदि किसी समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाई समान (a) हो, तो इस आकृति को वर्ग भी कहा जा सकता है। इसके सभी कोणों का मान 90° है, और विकर्णों की लंबाई (L) समान है और एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना की जा सकती है। भुजा की लंबाई को दो के मूल से गुणा करें - परिणाम इसके प्रत्येक विकर्ण की लंबाई होगी: L=a*√2.

यदि किसी समांतर चतुर्भुज के बारे में यह ज्ञात हो कि यह निर्दिष्ट लंबाई (ए) और चौड़ाई (बी) वाला एक आयत है, तो इस स्थिति में विकर्णों की लंबाई (एल) बराबर होगी। और यहां भी, एक त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें जिसमें कर्ण विकर्ण है, और पैर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएं हैं। वर्गाकार और आयताकार वाले का मूल निकालकर आवश्यक मान की गणना करें: L=√(a²+b²)।

अन्य सभी मामलों के लिए, अकेले भुजाओं की लंबाई का ज्ञान केवल उस मान के लिए पर्याप्त है जिसमें दोनों विकर्णों की लंबाई एक साथ शामिल है - परिभाषा के अनुसार, उनके वर्गों का योग, भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर है। यदि उनके बीच का कोण (γ) समांतर चतुर्भुज (ए और बी) के दो आसन्न पक्षों की लंबाई के लिए भी जाना जाता है, तो यह हमें विपरीत कोणों को जोड़ने वाले प्रत्येक खंड की लंबाई की गणना करने की अनुमति देगा। कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात कोण के विपरीत स्थित विकर्ण (L₁) की लंबाई ज्ञात करें - आसन्न भुजाओं की लंबाई के वर्गों को जोड़ें, परिणाम से उनके बीच के कोण की कोसाइन द्वारा समान लंबाई के उत्पाद को घटाएं, और निकालें परिणामी मान से वर्गमूल: L₁ = √(a²+b² -2*a*b*cos(γ)). दूसरे विकर्ण (L₂) की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आप इस चरण की शुरुआत में दिए गए समांतर चतुर्भुज के गुण का उपयोग कर सकते हैं - दोनों भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग को दोगुना करें, पहले से गणना किए गए विकर्ण के वर्ग को घटाएं परिणाम से, और परिणामी मूल्य से मूल लें। में सामान्य रूप से देखेंइस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a² -b² +2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).

स्रोत:

• समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई कैसे ज्ञात करें

हम इसे एक समांतर चतुर्भुज कह सकते हैं जिसके विकर्ण आकृति के शीर्षों पर बने कोणों को समद्विभाजित करते हैं। विकर्ण की इस संपत्ति के अतिरिक्त विषमकोणइस तथ्य के लिए उल्लेखनीय हैं कि वे एक बहुभुज की समरूपता की धुरी हैं, केवल समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और एक सामान्य बिंदु उनमें से प्रत्येक को दो समान खंडों में विभाजित करता है। ये गुण किसी एक विकर्ण की लंबाई की गणना करना आसान बनाते हैं यदि दूसरे की लंबाई और आकृति के कुछ अन्य पैरामीटर ज्ञात हों - पक्ष का आकार, किसी एक शीर्ष पर कोण, क्षेत्रफल, आदि।

निर्देश

यदि, (एल) में से एक की लंबाई के अलावा, प्रश्न में चतुर्भुज के बारे में यह ज्ञात है कि यह एक विशेष मामला है विषमकोण- वर्गाकार, कोई गणना नहीं करनी पड़ेगी। इस मामले में, दोनों विकर्णों की लंबाई - बस वांछित मान (L) को ज्ञात मान के बराबर करें: L=l।

भुजा की लंबाई जानना विषमकोण(ए) विकर्णों में से एक की लंबाई के अलावा (एल) पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा दूसरे (एल) की लंबाई की अनुमति देगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रतिच्छेदी विकर्णों के दो हिस्से एक भुजा बनाते हैं विषमकोणसही त्रिकोण। इसमें आधे विकर्ण पैर हैं, और भुजा कर्ण है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से उत्पन्न समानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है: a² = (l/2)² + (L/2)²। गणना में उपयोग के लिए, इसे इस रूप में बदलें: L = √(4*a²-l²)।

किसी एक कोण के ज्ञात मान के साथ (α) विषमकोणऔर एक विकर्ण (l) की लंबाई दूसरे (L) का मान ज्ञात करने के लिए, उसी समकोण त्रिभुज पर विचार करें। इसमें ज्ञात कोण के आधे भाग की स्पर्शरेखा, विपरीत पैर की लंबाई - विकर्ण l का आधा - और विकर्ण L के आसन्न एक - आधे भाग का अनुपात है: tan(α/2) = (l/2)/ (एल/2) = एल/एल. इसलिए, वांछित मान के लिए, सूत्र L = l/tg(α/2) का उपयोग करें।

यदि समस्या की स्थितियाँ परिधि की लंबाई देती हैं (P) विषमकोणऔर इसके विकर्ण का आकार (एल), दूसरे की लंबाई की गणना करने का सूत्र (एल) को दूसरे चरण में प्रयुक्त समानता तक कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, परिधि को चार से विभाजित करें और भुजा की लंबाई को इस अभिव्यक्ति से बदलें: L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²)।

प्रारंभिक स्थितियों में, किसी एक विकर्ण (l) की लंबाई के अलावा, आकृति का क्षेत्रफल (S) भी दिया जा सकता है। फिर दूसरे विकर्ण की लंबाई की गणना करें विषमकोण(एल) एक बहुत ही सरल एल्गोरिदम का उपयोग करें - क्षेत्र को दोगुना करें और परिणामी मान को ज्ञात विकर्ण की लंबाई से विभाजित करें: एल = 2*एस/एल।

सामग्री:

विकर्ण एक रेखाखंड है जो एक आयत के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। एक आयत में दो समान विकर्ण होते हैं। यदि किसी आयत की भुजाएँ ज्ञात हैं, तो विकर्ण को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है क्योंकि विकर्ण आयत को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि भुजाएँ नहीं दी गई हैं, लेकिन अन्य मात्राएँ ज्ञात हैं, जैसे क्षेत्रफल और परिधि या पहलू अनुपात, तो आप आयत की भुजाएँ पा सकते हैं और फिर विकर्ण की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

कदम

1 पक्षों पर

1. 1 पाइथागोरस प्रमेय लिखिए।सूत्र: ए 2 + बी 2 = सी 2
2. 2 पक्षों के मानों को सूत्र में रखें।वे समस्या में दिए गए हैं या उन्हें मापने की आवश्यकता है। पार्श्व मानों को 3 के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है
   • हमारे उदाहरण में:
     4 2 + 3 2 = सी 2 4

     2 क्षेत्रफल और परिधि के अनुसार

     1. 1 सूत्र: S = l w (चित्र में, S के स्थान पर पदनाम A का प्रयोग किया गया है।)
     2. 2 यह मान S 3 के लिए प्रतिस्थापित किया गया है w 4 को अलग करने के लिए सूत्र को फिर से लिखें एक आयत की परिधि की गणना करने का सूत्र लिखिए।सूत्र: पी = 2 (डब्ल्यू + एल)
     3. 5 आयत की परिधि को सूत्र में रखें।यह मान P 6 के लिए प्रतिस्थापित किया गया है समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें.आपको आयत की भुजाओं का योग अर्थात् w + l 7 प्राप्त होगा सूत्र में w 8 की गणना करने के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें अंश से छुटकारा पाएं.ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को l 9 से गुणा करें समीकरण को 0 के बराबर सेट करें.ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों ओर से प्रथम-क्रम चर पद घटाएँ।
        • हमारे उदाहरण में:
          12 एल = 35 + एल 2 10 समीकरण के पदों को क्रमबद्ध करें।पहला पद दूसरे क्रम का परिवर्तनशील पद होगा, फिर पहले क्रम का परिवर्तनशील पद होगा, और फिर मुक्त पद होगा। साथ ही, सदस्यों के सामने आने वाले चिह्नों ("प्लस" और "माइनस") के बारे में भी न भूलें। ध्यान दें कि समीकरण को द्विघात समीकरण के रूप में लिखा जाएगा।
          • हमारे उदाहरण में 0 = 35 + एल 2 − 12 एल 11
            • हमारे उदाहरण में, समीकरण 0 = l 2 - 12 l + 35 12 है एल 13 खोजें पाइथागोरस प्रमेय लिखिए।सूत्र: ए 2 + बी 2 = सी 2
              • पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें क्योंकि एक आयत का प्रत्येक विकर्ण इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसके अलावा, आयत की भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, और आयत का विकर्ण त्रिभुज का कर्ण है।
            • 14 इन मानों को 15 के स्थान पर प्रतिस्थापित किया गया है लंबाई और चौड़ाई का वर्ग करें, और फिर परिणाम जोड़ें।याद रखें कि जब आप किसी संख्या का वर्ग करते हैं, तो वह अपने आप गुणा हो जाती है।
              • हमारे उदाहरण में:
                5 2 + 7 2 = सी 2 16 समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें.शीघ्रता से वर्गमूल ज्ञात करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं। आप पाएंगे सी

                3 क्षेत्रफल और पहलू अनुपात के अनुसार

                1. 1 भुजाओं के अनुपात को दर्शाने वाला एक समीकरण लिखिए।एल 2 को अलग करें एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।सूत्र: S = l w (चित्र में, S के स्थान पर पदनाम A का प्रयोग किया गया है।)
                   • यह विधि तब भी लागू होती है जब आयत का परिमाप ज्ञात हो, लेकिन तब आपको क्षेत्रफल की नहीं, बल्कि परिमाप की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। एक आयत की परिधि की गणना करने का सूत्र: P = 2 (w + l)
                2. 3 आयत के क्षेत्रफल को सूत्र में रखें।यह मान S 4 के लिए प्रतिस्थापित किया गया है सूत्र में, पार्टियों के संबंधों को दर्शाने वाली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें।एक आयत के मामले में, आप एल 5 की गणना के लिए एक अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित कर सकते हैं नीचे लिखें द्विघात समीकरण. ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलें और समीकरण को शून्य के बराबर सेट करें।
                   • हमारे उदाहरण में:
                     35 = w(w+2)6 द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें.पाने के विस्तृत निर्देश, पढ़ना।
                     • हमारे उदाहरण में, समीकरण 0 = w 2 - 12 w + 35 7 है डब्ल्यू 8 खोजें पहलू अनुपात को दर्शाने वाले समीकरण में पाई गई चौड़ाई (या लंबाई) को प्रतिस्थापित करें।इस प्रकार आप आयत का दूसरा पक्ष ज्ञात कर सकते हैं।
                       • उदाहरण के लिए, यदि आप गणना करते हैं कि एक आयत की चौड़ाई 5 सेमी है और पहलू अनुपात समीकरण l = w + 2 9 द्वारा दिया गया है पाइथागोरस प्रमेय लिखिए।सूत्र: ए 2 + बी 2 = सी 2
                         • पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें क्योंकि एक आयत का प्रत्येक विकर्ण इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसके अलावा, आयत की भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, और आयत का विकर्ण त्रिभुज का कर्ण है।
                       • 10 सूत्र में लंबाई और चौड़ाई मान रखें।इन मानों को 11 के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है लंबाई और चौड़ाई का वर्ग करें, और फिर परिणाम जोड़ें।याद रखें कि जब आप किसी संख्या का वर्ग करते हैं, तो वह अपने आप गुणा हो जाती है।
                         • हमारे उदाहरण में:
                           5 2 + 7 2 = सी 2 12 समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें.शीघ्रता से वर्गमूल ज्ञात करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं। आपको c (डिस्प्लेस्टाइल c) मिलेगा, यानी, त्रिभुज का कर्ण, और इसलिए आयत का विकर्ण।
                           • हमारे उदाहरण में:
                             74 = सी 2 (प्रदर्शन शैली 74=सी^(2))
                             74 = c 2 (displaystyle (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = सी (डिस्प्लेस्टाइल 8,6024=सी)
                             इस प्रकार, एक आयत का विकर्ण जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से 2 सेमी अधिक है और जिसका क्षेत्रफल 35 सेमी 2 है, लगभग 8.6 सेमी है।