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संख्यात्मक अभिव्यक्ति- यह संख्याओं, चिह्नों का कोई रिकॉर्ड है अंकगणितीय परिचालनऔर कोष्ठक. एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में केवल एक संख्या शामिल हो सकती है। याद रखें कि बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ "जोड़", "घटाव", "गुणा" और "भाग" हैं। ये क्रियाएं "+", "-", "∙", ":" संकेतों के अनुरूप हैं।

बेशक, हमें एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए, संख्याओं और अंकगणितीय प्रतीकों की रिकॉर्डिंग सार्थक होनी चाहिए। इसलिए, उदाहरण के लिए, ऐसी प्रविष्टि 5: + ∙ को संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि यह प्रतीकों का एक यादृच्छिक सेट है जिसका कोई अर्थ नहीं है। इसके विपरीत, 5 + 8 ∙ 9 पहले से ही एक वास्तविक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है।

अर्थ संख्यात्मक अभिव्यक्ति.

आइए तुरंत कहें कि यदि हम संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संकेतित क्रियाएं करते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें एक संख्या प्राप्त होगी। इस नंबर पर कॉल किया जाता है एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य.

आइए गणना करने का प्रयास करें कि हमारे उदाहरण के कार्यों को करने के परिणामस्वरूप हमें क्या मिलेगा। अंकगणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम के अनुसार, हम पहले गुणन संक्रिया को निष्पादित करते हैं। 8 को 9 से गुणा करें। हमें 72 मिलता है। अब 72 और 5 जोड़ें। हमें 77 मिलता है।
तो, 77 - अर्थसंख्यात्मक अभिव्यक्ति 5 + 8 ∙ 9.

संख्यात्मक समानता.

आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: 5 + 8 ∙ 9 = 77. यहां हमने पहली बार "=" चिह्न ("बराबर") का उपयोग किया है। ऐसा अंकन जिसमें दो संख्यात्मक भावों को “=” चिह्न द्वारा अलग किया जाता है, कहलाता है संख्यात्मक समानता. इसके अलावा, यदि समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों के मान मेल खाते हैं, तो समानता कहलाती है वफादार. 5 + 8 ∙ 9 = 77 - सही समानता।
यदि हम 5 + 8 ∙ 9 = 100 लिखें तो यह पहले से ही होगा झूठी समानता, चूँकि इस समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों के मान अब मेल नहीं खाते।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संख्यात्मक अभिव्यक्ति में हम कोष्ठक का भी उपयोग कर सकते हैं। कोष्ठक उस क्रम को प्रभावित करते हैं जिसमें कार्य किए जाते हैं। तो, उदाहरण के लिए, आइए कोष्ठक जोड़कर अपने उदाहरण को संशोधित करें: (5 + 8) ∙ 9। अब आपको पहले 5 और 8 जोड़ना होगा। हमें 13 मिलता है। और फिर 13 को 9 से गुणा करें। हमें 117 मिलता है। इस प्रकार, (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – अर्थसंख्यात्मक अभिव्यक्ति (5 + 8) ∙ 9.

किसी अभिव्यक्ति को सही ढंग से पढ़ने के लिए, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि किसी दिए गए संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए कौन सी क्रिया अंतिम रूप से की जाती है। इसलिए, यदि अंतिम क्रिया घटाव है, तो अभिव्यक्ति को "अंतर" कहा जाता है। तदनुसार, यदि अंतिम क्रिया योग है - "योग", भाग - "भागफल", गुणन - "उत्पाद", घातांक - "शक्ति"।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति (1+5)(10-3) इस प्रकार है: "संख्या 1 और 5 के योग और संख्या 10 और 3 के अंतर का गुणनफल।"

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के उदाहरण.

यहां अधिक जटिल संख्यात्मक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण दिया गया है:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति का उपयोग करता है प्रमुख संख्या, साधारण और दशमलव भिन्न। जोड़, घटाव, गुणा और भाग चिन्हों का भी उपयोग किया जाता है। भिन्न रेखा भी विभाजन चिह्न का स्थान ले लेती है। स्पष्ट जटिलता के बावजूद, इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करना काफी सरल है। मुख्य बात यह है कि भिन्नों के साथ संचालन करने में सक्षम होना, साथ ही सावधानीपूर्वक और सटीक गणना करना, उस क्रम का निरीक्षण करना जिसमें क्रियाएं की जाती हैं।

कोष्ठक में हमारे पास अभिव्यक्ति $\frac(1)(4)+3.75$ है। आइए परिवर्तन करें दशमलवसामान्य में 3.75.

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

इसलिए, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

अगला, भिन्न के अंश में \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]हमारे पास व्यंजक 1.25+3.47+4.75-1.47 है। इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम जोड़ का क्रमविनिमेय नियम लागू करते हैं, जो कहता है: "शब्दों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।" यानी 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

भिन्न के हर में व्यंजक $4\सेंटरडॉट 0.5=4\सेंटरडॉट \frac(1)(2)=4:2=2$

हम पाते हैं $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का कब कोई मतलब नहीं रह जाता?

आइए एक और उदाहरण देखें. भिन्न के हर में $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$अभिव्यक्ति $3\centerdot 3-9$ का मान 0 है। और, जैसा कि हम जानते हैं, शून्य से विभाजन असंभव है। इसलिए, भिन्न $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ का कोई अर्थ नहीं है। जिन संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का कोई अर्थ नहीं होता उन्हें "कोई अर्थ नहीं" कहा जाता है।

यदि हम संख्यात्मक व्यंजक में संख्याओं के अतिरिक्त अक्षरों का प्रयोग करें तो हमें बीजीय व्यंजक प्राप्त होगा।

प्रकाशन दिनांक: 08/30/2014 10:58 यूटीसी

• ज्योमेट्री, बालायन ई.एन. की पुस्तक के लिए एक कार्यपुस्तिका। "ज्यामिति. एकीकृत राज्य परीक्षा और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए तैयार चित्रों पर कार्य: ग्रेड 7-9", 7वीं कक्षा, बालयान ई.एन., 2019
• अतानास्यान एल.एस. द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए ज्यामिति प्रशिक्षक, 7वीं कक्षा। और अन्य। 7-9 ग्रेड", संघीय राज्य शैक्षिक मानक, ग्लेज़कोव यू.ए., एगुपोवा एम.वी., 2019

माता-पिता के रूप में, आपको अपने बच्चे को शिक्षित करने की प्रक्रिया में, गणित, बीजगणित और ज्यामिति में होमवर्क की समस्याओं को हल करने में मदद की आवश्यकता का एक से अधिक बार सामना करना पड़ेगा। और एक बुनियादी कौशल जो आपको सीखने की ज़रूरत है वह यह है कि किसी अभिव्यक्ति का अर्थ कैसे खोजा जाए। बहुत से लोग असमंजस में हैं, क्योंकि हमें ग्रेड 3-5 में पढ़े हुए कितने साल बीत चुके हैं? बहुत कुछ पहले ही भुला दिया गया है, और कुछ सीखा नहीं गया है। गणितीय संक्रियाओं के नियम स्वयं सरल हैं और आप उन्हें आसानी से याद रख सकते हैं। आइए गणितीय अभिव्यक्ति क्या है इसकी बुनियादी बातों से शुरुआत करें।

अभिव्यक्ति परिभाषा

गणितीय अभिव्यक्ति संख्याओं, क्रिया चिह्नों (=, +, -, *, /), कोष्ठक और चरों का एक समूह है। संक्षेप में, यह एक सूत्र है जिसका मूल्य ज्ञात करना होगा। ऐसे सूत्र स्कूल के समय से ही गणित के पाठ्यक्रमों में पाए जाते हैं, और फिर उन छात्रों को परेशान करते हैं जिन्होंने इससे संबंधित विशिष्टताओं को चुना है सटीक विज्ञान. गणितीय अभिव्यक्तियों को त्रिकोणमितीय, बीजगणितीय, इत्यादि में विभाजित किया गया है; आइए अधिक जानकारी में न जाएँ।

1. कोई भी गणना पहले ड्राफ्ट पर करें और फिर उन्हें दोबारा लिखें कार्यपुस्तिका. इस तरह आप अनावश्यक क्रॉसिंग और गंदगी से बचेंगे;
2. पुनर्गणना कुल मात्रागणितीय संक्रियाएँ जिन्हें व्यंजक में निष्पादित करने की आवश्यकता होगी। कृपया ध्यान दें कि नियमों के अनुसार, कोष्ठक में संक्रियाएँ पहले की जाती हैं, फिर भाग और गुणा, और सबसे अंत में घटाव और जोड़। हम अनुशंसा करते हैं कि सभी कार्रवाइयों को पेंसिल से हाइलाइट करें और कार्रवाइयों के ऊपर उसी क्रम में नंबर डालें जिस क्रम में वे निष्पादित की गई थीं। इस मामले में, आपके और आपके बच्चे दोनों के लिए नेविगेट करना आसान होगा;
3. क्रियाओं के क्रम का सख्ती से पालन करते हुए गणना करना शुरू करें। यदि गणना सरल है, तो बच्चे को इसे अपने दिमाग में करने का प्रयास करने दें, लेकिन यदि यह कठिन है, तो अभिव्यक्ति की क्रमिक संख्या के अनुरूप संख्या को पेंसिल से लिखें और सूत्र के तहत लिखित रूप में गणना करें;
4. एक नियम के रूप में, यदि सभी गणना नियमों के अनुसार की जाती है तो एक साधारण अभिव्यक्ति का मूल्य ढूंढना मुश्किल नहीं है सही क्रम में. अधिकांश लोगों को किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने के इसी चरण में समस्या का सामना करना पड़ता है, इसलिए सावधान रहें और गलतियाँ न करें;
5. कैलकुलेटर पर प्रतिबंध लगाएं. गणितीय सूत्र और समस्याएँ स्वयं आपके बच्चे के जीवन में उपयोगी नहीं हो सकती हैं, लेकिन विषय का अध्ययन करने का उद्देश्य यह नहीं है। मुख्य बात विकास है तर्कसम्मत सोच. यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हर चीज़ का अर्थ खो जाएगा;
6. माता-पिता के रूप में आपका काम अपने बच्चे की समस्याओं को हल करना नहीं है, बल्कि इसमें उसकी मदद करना, उसका मार्गदर्शन करना है। उसे सभी गणनाएँ स्वयं करने दें, और आप सुनिश्चित करें कि वह गलतियाँ न करे, समझाएँ कि उसे इसे इस तरह से करने की आवश्यकता क्यों है और अन्यथा नहीं।
7. एक बार जब अभिव्यक्ति का उत्तर मिल जाए, तो इसे "=" चिह्न के बाद लिखें;
8. अपनी गणित पाठ्यपुस्तक का अंतिम पृष्ठ खोलें। आमतौर पर, किताब में हर अभ्यास के उत्तर होते हैं। यह जांचने में कोई हर्ज नहीं है कि हर चीज़ की गणना सही ढंग से की गई है या नहीं।

किसी अभिव्यक्ति का अर्थ ढूंढना, एक ओर, एक सरल प्रक्रिया है; मुख्य बात उन बुनियादी नियमों को याद रखना है जिनसे हम गुजरे हैं स्कूल पाठ्यक्रमअंक शास्त्र। हालाँकि, दूसरी ओर, जब आपको अपने बच्चे को सूत्रों से निपटने और समस्याओं को हल करने में मदद करने की आवश्यकता होती है, तो समस्या अधिक जटिल हो जाती है। आख़िरकार, अब आप एक छात्र नहीं, बल्कि एक शिक्षक हैं और भविष्य के आइंस्टीन की शिक्षा आपके कंधों पर है।

हमें उम्मीद है कि हमारे लेख ने आपको किसी अभिव्यक्ति का अर्थ कैसे पता करें, इस प्रश्न का उत्तर खोजने में मदद की है, और आप आसानी से किसी भी सूत्र का पता लगा सकते हैं!

(34∙10+(489–296)∙8):4–410। कार्रवाई की दिशा निर्धारित करें. आंतरिक कोष्ठक 489-296=193 में पहली क्रिया करें। फिर, 193∙8=1544 और 34∙10=340 को गुणा करें। अगली कार्रवाई: 340+1544=1884. इसके बाद, 1884:4=461 को विभाजित करें और फिर 461-410=60 घटाएं। आपको इस अभिव्यक्ति का अर्थ मिल गया है।

उदाहरण। अभिव्यक्ति 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º का मान ज्ञात कीजिए। इस अभिव्यक्ति को सरल कीजिये. ऐसा करने के लिए, सूत्र tg α∙ctg α=1 का उपयोग करें। प्राप्त करें: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º। यह ज्ञात है कि पाप 30º=1/2 तथा cos 30º=√3/2. इसलिए, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. आपको इस अभिव्यक्ति का अर्थ मिल गया है।

से बीजीय व्यंजक का मान. चर दिए गए बीजीय व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, व्यंजक को सरल बनाएं। चरों के स्थान पर कुछ मान रखें। आवश्यक कदम पूरे करें. परिणामस्वरूप, आपको एक संख्या प्राप्त होगी, जो दिए गए चर के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति का मान होगा।

उदाहरण। a=21 और y=10 के साथ अभिव्यक्ति 7(a+y)–3(2a+3y) का मान ज्ञात कीजिए। इस अभिव्यक्ति को सरल बनाएं और प्राप्त करें: a–2y। चरों के संगत मानों को प्रतिस्थापित करें और गणना करें: a–2y=21–2∙10=1. यह a=21 और y=10 के साथ अभिव्यक्ति 7(a+y)–3(2a+3y) का मान है।

कृपया ध्यान

ऐसे बीजगणितीय व्यंजक हैं जिनका चरों के कुछ मानों के लिए कोई अर्थ नहीं है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x/(7–a) का कोई मतलब नहीं है यदि a=7, क्योंकि इस स्थिति में, भिन्न का हर शून्य हो जाता है।

स्रोत:

• खोजो सबसे छोटा मूल्यअभिव्यक्ति
• सी 14 के लिए भावों के अर्थ खोजें

समस्याओं और विभिन्न समीकरणों को सही ढंग से और शीघ्रता से हल करने के लिए गणित में अभिव्यक्तियों को सरल बनाना सीखना आवश्यक है। किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने में चरणों की संख्या कम करना शामिल है, जिससे गणना आसान हो जाती है और समय की बचत होती है।

निर्देश

सी की शक्तियों की गणना करना सीखें। घात c को गुणा करने पर, एक संख्या प्राप्त होती है जिसका आधार समान होता है, और घातांक b^m+b^n=b^(m+n) जोड़े जाते हैं। घातों को समान आधारों से विभाजित करने पर, एक संख्या की घात प्राप्त होती है, जिसका आधार समान रहता है, और घातांक घटा दिए जाते हैं, और भाजक b^m के घातांक को लाभांश के घातांक से घटा दिया जाता है: b^ n=b^(m-n). किसी घात को घात तक बढ़ाने पर, एक संख्या की घात प्राप्त होती है, जिसका आधार समान रहता है, और घातांक को गुणा किया जाता है (b^m)^n=b^(mn) घात को बढ़ाने पर, प्रत्येक कारक इस शक्ति तक बढ़ा दिया गया है

गुणनखंड बहुपद, अर्थात्। उन्हें कई कारकों - और एकपदी के उत्पाद के रूप में कल्पना करें। सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें। संक्षिप्त गुणन के लिए बुनियादी सूत्र जानें: वर्गों का अंतर, वर्ग का अंतर, योग, घनों का अंतर, योग का घन और अंतर। उदाहरण के लिए, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. सरलीकरण में ये सूत्र प्रमुख हैं। ax^2+bx+c रूप के त्रिपद में एक पूर्ण वर्ग को अलग करने की विधि का उपयोग करें।

यथासंभव भिन्नों को संक्षिप्त करें। उदाहरण के लिए, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c)। लेकिन याद रखें कि आप केवल गुणकों को ही कम कर सकते हैं। यदि अंश और हर बीजगणितीय अंशशून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करने पर भिन्न का मान नहीं बदलेगा। आप अभिव्यक्तियों को दो तरीकों से परिवर्तित कर सकते हैं: जंजीर और क्रियाओं द्वारा। दूसरी विधि बेहतर है, क्योंकि मध्यवर्ती क्रियाओं के परिणामों की जाँच करना आसान है।

भावों में जड़ें निकालना प्रायः आवश्यक होता है। यहां तक ​​कि मूल केवल गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियों या संख्याओं से निकाले जाते हैं। किसी भी अभिव्यक्ति से विषम जड़ें निकाली जा सकती हैं।

स्रोत:

• शक्तियों द्वारा भावों का सरलीकरण

त्रिकोणमितीय फलन सबसे पहले मात्राओं की निर्भरता की अमूर्त गणितीय गणना के लिए उपकरण के रूप में उभरे तेज़ कोनेवी सही त्रिकोणइसकी भुजाओं की लम्बाई से. अब इनका वैज्ञानिक और तकनीकी दोनों क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मानवीय गतिविधि. व्यावहारिक गणना के लिए त्रिकोणमितीय कार्यदिए गए तर्कों के आधार पर, आप विभिन्न उपकरणों का उपयोग कर सकते हैं - सबसे सुलभ उपकरणों में से कुछ का वर्णन नीचे किया गया है।

निर्देश

उदाहरण के लिए, डिफ़ॉल्ट रूप से इंस्टॉल किए गए का उपयोग करें ऑपरेटिंग सिस्टमकैलकुलेटर प्रोग्राम. यह "सभी प्रोग्राम" अनुभाग में रखे गए "मानक" उपधारा से "उपयोगिताएँ" फ़ोल्डर में "कैलकुलेटर" आइटम का चयन करके खुलता है। इस अनुभाग को मुख्य ऑपरेटिंग मेनू में "प्रारंभ" बटन पर क्लिक करके खोला जा सकता है। यदि आप विंडोज 7 संस्करण का उपयोग कर रहे हैं, तो आप मुख्य मेनू के "खोज प्रोग्राम और फ़ाइलें" फ़ील्ड में बस "कैलकुलेटर" टाइप कर सकते हैं, और फिर खोज परिणामों में संबंधित लिंक पर क्लिक कर सकते हैं।

मात्रा गिनें आवश्यक कार्यवाहीऔर उस क्रम के बारे में सोचें जिसमें उन्हें किया जाना चाहिए। यदि आपको यह कठिन लगता है यह प्रश्न, कृपया ध्यान दें कि कोष्ठक में संलग्न संक्रियाएं पहले की जाती हैं, फिर भाग और गुणा किया जाता है; और घटाव सबसे अंत में किया जाता है। किए गए कार्यों के एल्गोरिदम को याद रखना आसान बनाने के लिए, प्रत्येक क्रिया ऑपरेटर चिह्न (+,-,*,:) के ऊपर अभिव्यक्ति में, एक पतली पेंसिल के साथ, कार्यों के निष्पादन के अनुरूप संख्याएं लिखें।

स्थापित क्रम का पालन करते हुए पहले चरण पर आगे बढ़ें। यदि कार्य मौखिक रूप से करना आसान है तो अपने दिमाग में गिनें। यदि गणना की आवश्यकता है (एक कॉलम में), तो उन्हें संकेत करते हुए अभिव्यक्ति के नीचे लिखें क्रम संख्याकार्रवाई.

किए गए कार्यों के अनुक्रम को स्पष्ट रूप से ट्रैक करें, मूल्यांकन करें कि किसमें से क्या घटाना है, किसमें विभाजित करना है, आदि। अक्सर इस स्तर पर की गई गलतियों के कारण अभिव्यक्ति में दिया गया उत्तर गलत होता है।

विशिष्ट विशेषताअभिव्यक्ति गणितीय संक्रियाओं की उपस्थिति है। इसे कुछ चिन्हों (गुणा, भाग, घटाव या जोड़) द्वारा दर्शाया जाता है। यदि आवश्यक हो तो गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम को कोष्ठक से ठीक किया जाता है। गणितीय संक्रियाएँ करने का अर्थ है खोजना।

जो अभिव्यक्ति नहीं है

प्रत्येक गणितीय अंकन को अभिव्यक्ति के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

समानताएं अभिव्यक्ति नहीं हैं. गणितीय संक्रियाएं समानता में मौजूद हैं या नहीं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, a=5 एक समानता है, कोई व्यंजक नहीं, लेकिन 8+6*2=20 को भी एक व्यंजक नहीं माना जा सकता, हालाँकि इसमें गुणन शामिल है। यह उदाहरण भी समानता की श्रेणी का है।

अभिव्यक्ति और समानता की अवधारणाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं; पूर्व को उत्तरार्द्ध में शामिल किया गया है। समान चिन्ह दो भावों को जोड़ता है:
5+7=24:2

इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:
5+7=12

एक अभिव्यक्ति हमेशा यह मानती है कि जिन गणितीय संक्रियाओं का वह प्रतिनिधित्व करता है उन्हें निष्पादित किया जा सकता है। 9+:-7 कोई अभिव्यक्ति नहीं है, हालाँकि यहाँ गणितीय संक्रियाओं के संकेत हैं, क्योंकि इन क्रियाओं को करना असंभव है।

ऐसे गणितीय भी हैं जो औपचारिक रूप से अभिव्यक्ति हैं, लेकिन उनका कोई अर्थ नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति का एक उदाहरण:
46:(5-2-3)

संख्या 46 को कोष्ठक में क्रियाओं के परिणाम से विभाजित किया जाना चाहिए, और यह शून्य के बराबर है। आप शून्य से भाग नहीं दे सकते; क्रिया निषिद्ध मानी जाती है।

संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ

गणितीय अभिव्यक्तियाँ दो प्रकार की होती हैं।

यदि किसी अभिव्यक्ति में केवल संख्याएँ और गणितीय संक्रियाओं के प्रतीक हों, तो ऐसी अभिव्यक्ति को संख्यात्मक कहा जाता है। यदि किसी अभिव्यक्ति में संख्याओं के साथ-साथ अक्षरों द्वारा दर्शाए जाने वाले चर भी हों, या कोई संख्या ही न हो, अभिव्यक्ति में केवल चर और गणितीय संक्रियाओं के प्रतीक हों, तो इसे बीजगणितीय कहा जाता है।

मौलिक अंतर संख्यात्मक मानबीजगणित से यह है कि एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का केवल एक ही मान होता है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति 56-2*3 का मान हमेशा 50 के बराबर होगा, इसमें कुछ भी बदलाव नहीं किया जा सकता है। एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति में कई मान हो सकते हैं, क्योंकि किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इसलिए, यदि व्यंजक b-7 में हम b के स्थान पर 9 प्रतिस्थापित करते हैं, तो व्यंजक का मान 2 होगा, और यदि 200 है, तो यह 193 होगा।

स्रोत:

• संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ

एक नियम के रूप में, बच्चे प्राथमिक विद्यालय में बीजगणित का अध्ययन शुरू करते हैं। संख्याओं के साथ काम करने के बुनियादी सिद्धांतों में महारत हासिल करने के बाद, वे एक या अधिक अज्ञात चर वाले उदाहरणों को हल करते हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति का अर्थ ढूंढना काफी कठिन हो सकता है, लेकिन यदि आप प्राथमिक विद्यालय के ज्ञान का उपयोग करके इसे सरल बनाते हैं, तो सब कुछ जल्दी और आसानी से पूरा हो जाएगा।

अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति एक बीजगणितीय संकेतन है जिसमें संख्याएं, कोष्ठक और संकेत शामिल होते हैं यदि यह समझ में आता है।

दूसरे शब्दों में, यदि किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजना संभव है, तो प्रविष्टि अर्थ के बिना नहीं है, और इसके विपरीत।

उदाहरण निम्नलिखित प्रविष्टियाँसही संख्यात्मक निर्माण हैं:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

एक एकल संख्या भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करेगी, जैसे उपरोक्त उदाहरण से संख्या 18।
गलत संख्या निर्माण के उदाहरण जिनका कोई मतलब नहीं है:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

गलत संख्यात्मक उदाहरण गणितीय प्रतीकों का एक समूह मात्र हैं और इनका कोई अर्थ नहीं है।

किसी अभिव्यक्ति का मान कैसे ज्ञात करें

चूँकि ऐसे उदाहरणों में अंकगणितीय चिह्न होते हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे अंकगणितीय गणना की अनुमति देते हैं। संकेतों की गणना करने के लिए या, दूसरे शब्दों में, किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने के लिए, उचित अंकगणितीय जोड़-तोड़ करना आवश्यक है।

उदाहरण के तौर पर, निम्नलिखित निर्माण पर विचार करें: (120-30)/3=30। संख्या 30 संख्यात्मक अभिव्यक्ति (120-30)/3 का मान होगी।

निर्देश:

संख्यात्मक समानता की अवधारणा

संख्यात्मक समानता एक ऐसी स्थिति है जहां एक उदाहरण के दो भागों को "=" चिह्न द्वारा अलग किया जाता है। अर्थात्, एक भाग दूसरे के बिल्कुल बराबर (समान) है, भले ही प्रतीकों और संख्याओं के अन्य संयोजनों के रूप में प्रदर्शित किया गया हो।
उदाहरण के लिए, 2+2=4 जैसी किसी भी रचना को संख्यात्मक समानता कहा जा सकता है, क्योंकि भले ही भागों की अदला-बदली कर दी जाए, लेकिन अर्थ नहीं बदलेगा: 4=2+2। यही बात अधिक जटिल निर्माणों पर भी लागू होती है जिनमें कोष्ठक, भाग, गुणन, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ इत्यादि शामिल हैं।

किसी व्यंजक का मान सही ढंग से कैसे ज्ञात करें

व्यंजक का मान सही ढंग से ज्ञात करने के लिए, आपको इसके अनुसार गणना करनी होगी एक निश्चित क्रमकार्रवाई. यह क्रम गणित के पाठों में और बाद में बीजगणित कक्षाओं में पढ़ाया जाता है प्राथमिक स्कूल. इसे अंकगणितीय चरणों के रूप में भी जाना जाता है।

अंकगणित चरण:

1. पहला चरण संख्याओं का जोड़ और घटाव है।
2. दूसरा चरण वह है जहां भाग और गुणा किया जाता है।
3. तीसरा चरण - संख्याओं का वर्ग या घन किया जाता है।

निम्नलिखित नियमों का पालन करके, आप हमेशा किसी अभिव्यक्ति का सही अर्थ निर्धारित कर सकते हैं:

1. यदि उदाहरण में कोई कोष्ठक नहीं है, तो तीसरे चरण से शुरू करके पहले चरण पर समाप्त होने वाली क्रियाएँ करें। यानी पहले वर्ग या घन, फिर भाग या गुणा और उसके बाद ही जोड़ना और घटाना।
2. कोष्ठक वाले निर्माणों में, पहले कोष्ठक में क्रियाएँ करें, और फिर ऊपर वर्णित क्रम का पालन करें। यदि कई कोष्ठक हैं, तो पहले पैराग्राफ की प्रक्रिया का भी उपयोग करें।
3. भिन्न के रूप में उदाहरणों में, पहले अंश में परिणाम ज्ञात करें, फिर हर में, फिर पहले को दूसरे से विभाजित करें।

यदि आप बुनियादी ज्ञान प्राप्त कर लें तो किसी अभिव्यक्ति का अर्थ ढूँढना कठिन नहीं है प्रारंभिक पाठ्यक्रमबीजगणित और गणित. ऊपर वर्णित जानकारी से प्रेरित होकर, आप किसी भी समस्या का समाधान कर सकते हैं, यहाँ तक कि बढ़ी हुई जटिलता की भी।

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उत्तर: _________
2. उत्पाद की कीमत 3200 रूबल है। कीमत 5% कम होने के बाद इस उत्पाद की कीमत कितनी हो गई?
ए. 3040 रगड़। बी. 304 पी. वी. 1600 रगड़। जी. 3100 पी.
3. कक्षा में छात्रों ने औसतन प्रस्तावित परीक्षण से 7.5 कार्य पूरे किए। मैक्सिम ने 9 कार्य पूरे किये। उसका परिणाम औसत से कितने प्रतिशत अधिक है?
उत्तर: _________
4. पंक्ति में शामिल हैं प्राकृतिक संख्या. निम्नलिखित में से कौन सा आँकड़ा भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है?
A. अंकगणितीय माध्य
बी फैशन
बी मेडियन
D. डेटा में ऐसी कोई विशेषता नहीं है।
5. किस समीकरण का कोई मूल नहीं है?
A. x =x B. x =6 C. x =0 D. x =−5
6. निर्देशांक रेखा पर अंक A और B अंकित हैं (चित्र 35)। संख्याओं-ए और बी की तुलना करें।

ए.-ए< В
बी. -ए > बी
बी.-ए = बी
D. तुलना करना असंभव है
7. व्यंजक a (a – 2) – (a – 1)(a + 1) को सरल कीजिये।
उत्तर: _________
8. व्यंजक (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1) का मान ज्ञात करने के लिए किन चरों का मान जानना आवश्यक है?
ए. ए और बी बी. ए सी. बी
D. अभिव्यक्ति का मान चरों के मानों पर निर्भर नहीं करता है
9. समीकरण (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1 + x) को हल करें।
उत्तर: _________
10. समीकरणों की प्रणाली को हल करें ( 3x−2y=5, 5x+6y=27.
उत्तर: _________
11. 3 घंटे की कार यात्रा और 4 घंटे की ट्रेन यात्रा में, पर्यटकों ने 620 किमी की यात्रा की, और ट्रेन की गति कार की गति से 10 किमी/घंटा अधिक थी। ट्रेन की गति और कार की गति क्या है?
कार की गति को x किमी/घंटा और ट्रेन की गति को y किमी/घंटा से दर्शाते हुए, हमने समीकरणों की प्रणाली बनाई। कौन सा सही ढंग से बना है?
A. ( 3x+4y=620, x−y=10 B. ( 3x+4y=620, y−x=10
वी. ( 4x+3y=620, x−y=10 G. ( 4x+3y=620, y−x=10
12. कौन सा बिंदु फ़ंक्शन y = -0.6x + 1 के ग्राफ़ से संबंधित नहीं है?
A. (3; –0.8) B. (–3; 0.8) B. (2; –0.2) D. (–2; 2.2)
13. किस निर्देशांक चतुर्थांश में फलन y = –0.6x + 1.5 के ग्राफ़ पर एक भी बिंदु नहीं है?
उत्तर: _________
14. एक रैखिक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें जिसका ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदु (2; 0) पर और y-अक्ष को बिंदु (0; 7) पर प्रतिच्छेद करता है।
उत्तर: _________ सहायता

1. यदि a = 0.25 है तो अभिव्यक्ति a a−1 का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: _________ 2. उत्पाद की कीमत 3200 रूबल है। कीमत 5% कम होने के बाद इस उत्पाद की कीमत कितनी हो गई?

ए. 3040 रगड़। बी. 304 पी. वी. 1600 रगड़। जी. 3100 पी. 3. कक्षा में छात्रों ने औसतन प्रस्तावित परीक्षण से 7.5 कार्य पूरे किए। मैक्सिम ने 9 कार्य पूरे किये। उसका परिणाम औसत से कितने प्रतिशत अधिक है? उत्तर: _________ 4. श्रृंखला में प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं। निम्नलिखित में से कौन सा आँकड़ा भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है? A. अंकगणितीय माध्य B. मोड C. माध्यिका D. डेटा में ऐसी कोई विशेषता नहीं है 5. किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है? A. x =x B. x =6 C. x =0 D. x =−5 6. संख्या A और B निर्देशांक रेखा पर अंकित हैं (चित्र 35)। संख्याओं -ए और बी.ए. की तुलना करें< В Б. –А >बी बी. -ए = बी डी. तुलना नहीं की जा सकती 7. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं a (a – 2) – (a – 1)(a + 1). उत्तर: _________ 8. व्यंजक (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1) का मान ज्ञात करने के लिए आपको किन चरों के मान जानने की आवश्यकता है? A. a और b B. a C. b D. व्यंजक का मान चरों के मानों पर निर्भर नहीं करता है 9. समीकरण को हल करें (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1) + एक्स). उत्तर: _________ 10. समीकरणों की प्रणाली को हल करें ( 3x−2y=5, 5x+6y=27. उत्तर: _________ 11. 3 घंटे की कार की सवारी और 4 घंटे की ट्रेन की सवारी में, पर्यटकों ने 620 किमी की यात्रा की, और ट्रेन की गति कार की गति से 10 किमी/घंटा अधिक है, ट्रेन की गति क्या है और कार की गति x किमी/घंटा और ट्रेन की गति y किमी है? /h, उनमें से कौन सा सही है? -y=10 B. ( 3x+4y=620, y-x=10 V. ( 4x+3y=620, x-y=10 G. ( 4x+3y=620, y−x=10 12. कौन सा बिंदु फ़ंक्शन y = –0.6x + 1 के ग्राफ़ से संबंधित नहीं है? A. (3; –0.8) B. (–3; 0.8) B. (2; –0.2) ) डी. (-2; 2,2) 13. किस निर्देशांक चतुर्थांश में फ़ंक्शन y = -0.6x + 1.5 के ग्राफ़ पर एक भी बिंदु नहीं है? उत्तर: _________ 14. एक रैखिक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें जिसका ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (2; 0) पर और y अक्ष को बिंदु (0; 7) पर प्रतिच्छेद करता है। उत्तर: _________ विकल्प 2 1. यदि x = 2.25 है तो अभिव्यक्ति x x−2 का मान ज्ञात कीजिए। 2. उत्पाद की कीमत 1600 रूबल है। कीमत में 5.% की वृद्धि के बाद उत्पाद की लागत कितनी हो गई? उ. 1760 रगड़। बी. 1700 रूबल. वी. 1605 रगड़। जी. 1680 रगड़. 3. एक शिफ्ट के दौरान, दुकान के टर्नर औसतन 12.5 भागों को संसाधित करते थे। इस बदलाव के दौरान पेत्रोव ने 15 भागों को संसाधित किया। उसका परिणाम औसत से कितने प्रतिशत अधिक है? उत्तर: ____________ 4. डेटा श्रृंखला में, सभी संख्याएँ पूर्णांक हैं। निम्नलिखित में से किस विशेषता को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है? A. अंकगणितीय माध्य B. मोड C. माध्यिका D. डेटा में ऐसी कोई विशेषता नहीं है 5. किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है? A. x =0 B. x =7 C. x =−x D. x =−6 6. संख्या B और C निर्देशांक रेखा पर अंकित हैं (चित्र 36)। संख्या B और -C की तुलना करें। ए. बी > -सी बी. बी< –С В. В = –С Г. Сравнить невозможно 7. Упростите выражение х (х – 6) – (х – 2)(х + 2). Ответ: ___________ 8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (3х – 4у)(3х + 4у) – 3х (3х – у) + 3у (1 – х)? А. x Б. у В. x и у Г. Значение выражения не зависит от значений переменных 9. Решите уравнение (х + 3)2 – х = (х – 2)(2 + x). Ответ: ___________ 10. Решите систему уравнений { 2x+5y=−1, 3x−2y=8. Ответ: ___________ 11. Масса 5 см3 железа и 10 см3 меди равна 122 г. Масса 4 см3 железа больше массы 2 см3 меди на 14,6 г. Каковы плотность железа и плотность меди? Обозначив через x г/см3 плотность железа и через у г/см3 плотность меди, составили системы уравнений. Какая из систем составлена правильно? А. { 5x+10y=122, 4x−2y=14,6 Б. { 5x+10y=122, 4y−2x=14,6 В. { 10x+5y=122, 4x−2y=14,6 Г. { 10x+5y=122, 4y−2x=14,6 12. Какая из точек не принадлежит графику функции у = –1,2x – 1,4? А. (–1; –0,2) Б. (–2; 1) В. (0; –1,4) Г. (–3; 2,2) 13. В какой координатной четверти нет ни одной точки графика функции у = 1,8x – 7,2? Ответ: ___________ 14. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает ось x в точке (–4; 0) и ось у в точке (0; 3). Ответ: ____________ У МЕНЯ ЗАВТРА ИТОГОВАЯ ПОЖАЛУЙСТА