समानांतर रेखाएँ. विज़ुअल गाइड (2019)

दो रेखाओं की समानता के लक्षण

प्रमेय 1. यदि, जब दो रेखाएँ एक छेदक रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं:

पार किए गए कोण बराबर होते हैं, या

संगत कोण बराबर होते हैं, या

तो, एक तरफा कोणों का योग 180° होता है

रेखाएं समानांतर हैं(चित्र .1)।

सबूत। हम खुद को केस 1 साबित करने तक ही सीमित रखते हैं।

माना कि प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b आड़ी हैं और कोण AB बराबर हैं। उदाहरण के लिए, ∠ 4 = ∠ 6. आइए हम सिद्ध करें कि a || बी।

मान लीजिए कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर वे किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए, कोण 4 या 6 में से एक त्रिभुज ABM का बाहरी कोण होगा। निश्चितता के लिए, मान लीजिए कि ∠ 4 त्रिभुज ABM का बाह्य कोण है, और ∠ 6 आंतरिक कोण है। त्रिभुज के बाह्य कोण पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ 4, ∠ 6 से बड़ा है, और यह स्थिति का खंडन करता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं a और 6 प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं, इसलिए वे समानांतर हैं।

परिणाम 1. एक ही रेखा के लंबवत समतल में दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होती हैं(अंक 2)।

टिप्पणी। जिस तरह से हमने प्रमेय 1 के केस 1 को सिद्ध किया है उसे विरोधाभास या बेतुकेपन को कम करके साबित करने की विधि कहा जाता है। इस विधि को इसका पहला नाम इसलिए मिला क्योंकि तर्क की शुरुआत में एक धारणा बनाई जाती है जो सिद्ध करने की आवश्यकता के विपरीत (विपरीत) होती है। इसे बेतुकेपन की ओर ले जाना इसलिए कहा जाता है क्योंकि बनाई गई धारणा के आधार पर तर्क करने पर हम एक बेतुके निष्कर्ष (बेतुकेपन) पर पहुंचते हैं। इस तरह के निष्कर्ष को प्राप्त करना हमें शुरुआत में की गई धारणा को अस्वीकार करने और जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है उसे स्वीकार करने के लिए मजबूर करता है।

कार्य 1.से गुजरने वाली एक रेखा का निर्माण करें यह बिंदुएम और किसी दी गई रेखा ए के समानांतर, जो बिंदु एम से नहीं गुजर रही है।

समाधान। हम बिंदु M से होकर सीधी रेखा a के लंबवत एक सीधी रेखा p खींचते हैं (चित्र 3)।

फिर हम बिंदु M से होकर रेखा p के लंबवत एक रेखा b खींचते हैं। प्रमेय 1 के परिणाम के अनुसार रेखा बी रेखा ए के समानांतर है।

विचाराधीन समस्या से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है:
किसी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचना हमेशा संभव होता है.

समांतर रेखाओं का मुख्य गुण इस प्रकार है।

समांतर रेखाओं का अभिगृहीत. किसी दिए गए बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दिए गए बिंदु के समानांतर केवल एक रेखा गुजरती है।

आइए हम इस अभिगृहीत से अनुसरण करने वाली समानांतर रेखाओं के कुछ गुणों पर विचार करें।

1) यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी को भी काटती है (चित्र 4)।

2) यदि दो अलग-अलग रेखाएँ किसी तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (चित्र 5)।

निम्नलिखित प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय 2. यदि दो समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो:

क्रॉसवाइज कोण बराबर हैं;

संगत कोण बराबर हैं;

एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।

परिणाम 2. यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है(चित्र 2 देखें)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 को प्रमेय 1 का व्युत्क्रम कहा जाता है। प्रमेय 1 का निष्कर्ष प्रमेय 2 की स्थिति है। और प्रमेय 1 की स्थिति प्रमेय 2 का निष्कर्ष है। प्रत्येक प्रमेय का व्युत्क्रम नहीं होता है, अर्थात यदि कोई दिया गया प्रमेय है सत्य है, तो व्युत्क्रम प्रमेय असत्य हो सकता है।

आइए इसे ऊर्ध्वाधर कोणों पर प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके समझाएं। इस प्रमेय को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं। व्युत्क्रम प्रमेय इस प्रकार होगा: यदि दो कोण बराबर हैं, तो वे लंबवत हैं। और निःसंदेह, यह सच नहीं है। दो समान कोणों का ऊर्ध्वाधर होना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 1.दो समानान्तर रेखाओं को एक तिहाई द्वारा काट दिया जाता है। ज्ञातव्य है कि दो आंतरिक एकपक्षीय कोणों के बीच का अंतर 30° होता है। ये कोण ज्ञात कीजिए.

समाधान। मान लीजिए चित्र 6 शर्त को पूरा करता है।

इस लेख में हम समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे, परिभाषाएँ देंगे और समानता के संकेतों और स्थितियों की रूपरेखा तैयार करेंगे। सैद्धांतिक सामग्री को स्पष्ट करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरणों के चित्रण और समाधान का उपयोग करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

समतल पर समांतर रेखाएँ- एक समतल पर दो सीधी रेखाएँ जिनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

परिभाषा 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएँ- त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ, एक ही तल में स्थित और कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं।

यह ध्यान रखना आवश्यक है कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं को निर्धारित करने के लिए, "एक ही विमान में झूठ बोलना" स्पष्टीकरण बेहद महत्वपूर्ण है: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं और एक ही विमान में झूठ नहीं बोलते हैं, समानांतर नहीं हैं , लेकिन प्रतिच्छेद।

समानांतर रेखाओं को इंगित करने के लिए, प्रतीक ∥ का उपयोग करना आम बात है। अर्थात्, यदि दी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो इस स्थिति को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: a ‖ b. मौखिक रूप से, रेखाओं की समानता को इस प्रकार दर्शाया जाता है: रेखाएँ a और b समानांतर हैं, या रेखा a, रेखा b के समानांतर है, या रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक कथन तैयार करें जो अध्ययन किए जा रहे विषय में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

स्वयंसिद्ध

किसी दिए गए रेखा से संबंधित नहीं होने वाले बिंदु के माध्यम से दिए गए बिंदु के समानांतर एकमात्र सीधी रेखा गुजरती है। इस कथन को प्लानिमेट्री के ज्ञात सिद्धांतों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

यदि हम बात कर रहे हैंअंतरिक्ष के बारे में, प्रमेय सत्य है:

प्रमेय 1

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा होगी।

इस प्रमेय को उपरोक्त अभिगृहीत (कक्षा 10-11 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम) के आधार पर सिद्ध करना आसान है।

समांतरता मानदंड एक पर्याप्त शर्त है, जिसकी पूर्ति रेखाओं की समांतरता की गारंटी देती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति समानता के तथ्य की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है।

विशेष रूप से, समतल और अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ हैं। आइए समझाएं: आवश्यक का अर्थ है वह शर्त जिसका पूरा होना समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक है; यदि यह पूरा नहीं होता है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं।

संक्षेप में कहें तो, रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त वह स्थिति है जिसका पालन रेखाओं के एक-दूसरे के समानांतर होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है। एक ओर तो यह समानता का संकेत है, दूसरी ओर यह समानांतर रेखाओं में निहित गुण है।

किसी आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का सटीक सूत्रीकरण देने से पहले, आइए कुछ अतिरिक्त अवधारणाओं को याद करें।

परिभाषा 3

छेदक रेखा- एक सीधी रेखा दी गई दो गैर-संपाती सीधी रेखाओं में से प्रत्येक को काटती है।

दो सीधी रेखाओं को काटते हुए, एक तिर्यक रेखा आठ अविकसित कोण बनाती है। एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति तैयार करने के लिए, हम इस तरह के कोणों का उपयोग करेंगे जैसे कि पार, संगत और एक तरफा। आइए उन्हें चित्रण में प्रदर्शित करें:

प्रमेय 2

यदि किसी समतल में दो रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं, तो दी गई रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रतिच्छेद करने वाले कोण बराबर हों, या संगत कोण बराबर हों, या एक तरफा कोणों का योग बराबर हो 180 डिग्री.

आइए हम एक समतल पर रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को आलेखीय रूप से चित्रित करें:

इन स्थितियों का प्रमाण ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम में मौजूद है।

सामान्य तौर पर, ये स्थितियाँ त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर भी लागू होती हैं, बशर्ते कि दो रेखाएँ और एक छेदक एक ही तल से संबंधित हों।

आइए हम कुछ और प्रमेय बताएं जिनका उपयोग अक्सर इस तथ्य को साबित करने के लिए किया जाता है कि रेखाएं समानांतर हैं।

प्रमेय 3

एक समतल पर, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। यह विशेषता ऊपर बताए गए समांतरता सिद्धांत के आधार पर सिद्ध होती है।

प्रमेय 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

किसी चिह्न के प्रमाण का अध्ययन 10वीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम में किया जाता है।

आइए हम इन प्रमेयों का एक उदाहरण दें:

आइए हम प्रमेयों की एक और जोड़ी को इंगित करें जो रेखाओं की समानता को सिद्ध करती है।

प्रमेय 5

एक समतल पर, एक तिहाई पर लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए एक समान चीज़ तैयार करें।

प्रमेय 6

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई पर लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए स्पष्ट करें:

उपरोक्त सभी प्रमेय, संकेत और स्थितियाँ ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करके रेखाओं की समानता को आसानी से साबित करना संभव बनाती हैं। अर्थात्, रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि संगत कोण बराबर हैं, या इस तथ्य को प्रदर्शित कर सकता है कि दो दी गई रेखाएँ किसी तीसरे पर लंबवत हैं, आदि। लेकिन ध्यान दें कि किसी समतल पर या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता साबित करने के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता

किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा संभावित प्रकारों में से एक विमान पर एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित एक सीधी रेखा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के लिए कुछ समीकरणों से मेल खाती है।

आइए, दी गई रेखाओं का वर्णन करने वाले समीकरण के प्रकार के आधार पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें लिखें।

आइए एक समतल पर रेखाओं की समानता की स्थिति से शुरुआत करें। यह एक रेखा के दिशा वेक्टर और एक समतल पर एक रेखा के सामान्य वेक्टर की परिभाषाओं पर आधारित है।

प्रमेय 7

दो गैर-संपाती रेखाओं के एक समतल पर समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दी गई रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों, या दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा के दिशा सदिश लंबवत हों दूसरी पंक्ति का सामान्य वेक्टर.

इससे स्पष्ट हो जाता है कि किसी समतल पर रेखाओं की समांतरता की स्थिति सदिशों की संरेखता की स्थिति अथवा दो सदिशों के लंबवत्ता की स्थिति पर आधारित होती है। अर्थात्, यदि a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं;

और n b → = (n b x , n b y) रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो हम उपरोक्त आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को इस प्रकार लिखते हैं: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y या n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y या a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, जहां t कोई वास्तविक संख्या है। गाइड या सीधे वैक्टर के निर्देशांक सीधी रेखाओं के दिए गए समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। आइए मुख्य उदाहरण देखें.

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधे ए को परिभाषित किया गया है सामान्य समीकरणसीधी रेखा: ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0; सीधी रेखा b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. तब दी गई रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (ए 1, बी 1) और (ए 2, बी 2) होंगे। हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखते हैं:

ए 1 = टी ए 2 बी 1 = टी बी 2

1. रेखा a का वर्णन y = k 1 x + b 1 रूप के ढलान वाली रेखा के समीकरण द्वारा किया जाता है। सीधी रेखा b - y = k 2 x + b 2. तब दी गई रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (k 1, - 1) और (k 2, - 1) होंगे, और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखेंगे:

के 1 = टी के 2 - 1 = टी (- 1) ⇔ के 1 = टी के 2 टी = 1 ⇔ के 1 = के 2

इस प्रकार, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर समानांतर रेखाएं कोणीय गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दी जाती हैं, तो ढलानोंदी गई पंक्तियाँ बराबर होंगी। और विपरीत कथन सत्य है: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संपाती रेखाएं समान कोणीय गुणांक वाली रेखा के समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं, तो ये दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं।

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाएँ a और b एक समतल पर एक रेखा के विहित समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं: x - x 1 a x = y - y 1 a y और x - x 2 b x = y - y 2 b y या पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा समतल पर एक रेखा: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y और x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y।

फिर दी गई रेखाओं के दिशा सदिश क्रमशः a x, a y और b x, b y होंगे, और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखेंगे:

ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

दो पंक्तियाँ दी गई हैं: 2 x - 3 y + 1 = 0 और x 1 2 + y 5 = 1. यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या वे समानांतर हैं।

समाधान

आइए हम एक सीधी रेखा के समीकरण को खंडों में एक सामान्य समीकरण के रूप में लिखें:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

हम देखते हैं कि n a → = (2, - 3) रेखा 2 x - 3 y + 1 = 0 का सामान्य सदिश है, और n b → = 2, 1 5 रेखा x 1 2 + y 5 का सामान्य सदिश है = 1.

परिणामी सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि तत् का ऐसा कोई मान नहीं है जिससे समानता सत्य हो:

2 = टी 2 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = 1 5

इस प्रकार, किसी समतल पर रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त पूरी नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उत्तर:दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण 2

रेखाएँ y = 2 x + 1 और x 1 = y - 4 2 दी गई हैं। क्या वे समानांतर हैं?

समाधान

आइए सीधी रेखा x 1 = y - 4 2 के विहित समीकरण को ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में बदलें:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

हम देखते हैं कि रेखाओं y = 2 x + 1 और y = 2 x + 4 के समीकरण समान नहीं हैं (यदि यह अन्यथा होता, तो रेखाएँ समान होती) और रेखाओं की ढलानें समान हैं, जिसका अर्थ है कि दिया गया रेखाएं समानांतर हैं.

आइए समस्या को अलग ढंग से हल करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए जाँच करें कि क्या दी गई रेखाएँ मेल खाती हैं। हम रेखा y = 2 x + 1 पर किसी भी बिंदु का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, (0, 1), इस बिंदु के निर्देशांक रेखा x 1 = y - 4 2 के समीकरण के अनुरूप नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएं मेल खाती हैं मेल नहीं खाता.

अगला चरण यह निर्धारित करना है कि दी गई रेखाओं की समानता की स्थिति संतुष्ट है या नहीं।

रेखा y = 2 x + 1 का सामान्य सदिश सदिश n a → = (2 , - 1) है, और दूसरी दी गई रेखा का दिशा सदिश b → = (1 , 2) है। इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है:

एन ए → , बी → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

इस प्रकार, सदिश लंबवत हैं: यह हमें मूल रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त की पूर्ति को दर्शाता है। वे। दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

उत्तर:ये रेखाएं समानांतर हैं.

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त शर्त का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय 8

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो गैर-संपाती रेखाओं के समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों।

वे। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं के समीकरणों को देखते हुए, प्रश्न का उत्तर: क्या वे समानांतर हैं या नहीं, दी गई रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक निर्धारित करने के साथ-साथ उनकी संरेखता की स्थिति की जाँच करके पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि a → = (a x, a y, a z) और b → = (b x, b y, b z) क्रमशः रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तो उनके समानांतर होने के लिए, अस्तित्व ऐसी वास्तविक संख्या का t आवश्यक है, ताकि समानता बनी रहे:

ए → = टी बी → ⇔ ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई ए जेड = टी बी जेड

उदाहरण 3

रेखाएँ x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 और x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ दी गई हैं। इन रेखाओं की समानता सिद्ध करना आवश्यक है।

समाधान

समस्या की शर्तें दी गई हैं विहित समीकरणअंतरिक्ष में एक सीधी रेखा और अंतरिक्ष में दूसरी सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण। वैक्टरों का मार्गदर्शन करें ए → और b → दी गई रेखाओं के निर्देशांक हैं: (1, 0, - 3) और (2, 0, - 6)।

1 = टी · 2 0 = टी · 0 - 3 = टी · - 6 ⇔ टी = 1 2, फिर ए → = 1 2 · बी →।

परिणामस्वरूप, अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त पूरी हो जाती है।

उत्तर:दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध होती है।

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सीधी रेखाओं को P कहा जाता है, यदि न तो वे और न ही उनके विस्तार एक-दूसरे को काटते हैं। इनमें से एक रेखा के सभी बिंदु दूसरी से समान दूरी पर हैं। हालाँकि, यह कहने की प्रथा है: "दो पी. सीधी रेखाएँ अनंत पर प्रतिच्छेद करती हैं।" अभिव्यक्ति का यह तरीका तार्किक रूप से सही है क्योंकि यह अभिव्यक्ति के समतुल्य है: "दो सीधी रेखाएँ किसी चीज़ के अंत में प्रतिच्छेद करती हैं।" जिसका कोई अंत न हो"और यह इस तथ्य के बराबर है कि वे एक दूसरे को नहीं काटते हैं। इस बीच, अभिव्यक्ति: "अनंत पर प्रतिच्छेद" बहुत सुविधा लाती है: इसके लिए धन्यवाद, उदाहरण के लिए, कोई यह दावा कर सकता है कि एक समतल में प्रत्येक दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं और प्रतिच्छेदन का केवल एक बिंदु होता है। वे विश्लेषण में बिल्कुल यही काम करते हैं, कहते हैं कि अनंत से विभाजित एक का भागफल शून्य के बराबर होता है। वास्तव में अनिश्चित काल तक अस्तित्व में नहीं है बड़ी संख्या; विश्लेषण में, अनंत एक ऐसी मात्रा है जिसे किसी भी दी गई मात्रा से बड़ा बनाया जा सकता है। कथन: "अनंत से विभाजित होने पर भागफल शून्य के बराबर होता है" को इस अर्थ में समझा जाना चाहिए कि किसी भी संख्या से विभाजित होने पर भागफल शून्य के करीब होगा, भाजक जितना बड़ा होगा। यूक्लिड का प्रसिद्ध XIth सिद्धांत भी रैखिक रेखाओं के सिद्धांत से संबंधित है, जिसका अर्थ लोबचेव्स्की के कार्यों द्वारा स्पष्ट किया गया था (लोबचेव्स्की देखें)। यदि हम किसी वक्र पर अभिलंब खींचते हैं (देखें) और उन पर वक्र से समान खंड बिछाते हैं, तो इन खंडों के सिरों की ज्यामितीय स्थिति को दिए गए वक्र के समानांतर एक रेखा कहा जाता है।

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अध्याय 29 समानांतर समय आगे बढ़ता गया। इरा ने खुद ही इस्तीफा दे दिया. हालाँकि, जैसी कि उम्मीद थी, इससे राहत नहीं मिली। वह डरी हुई थी कि राउल किसी तरह अपनी भावनाओं को और अधिक स्पष्ट रूप से दिखाने की कोशिश करेगा, लेकिन उसने कोशिश नहीं की, सिवाय पागल कर देने वाली उत्साही नज़र के, और

अध्याय 2 आक्रामक ऑपरेटिंग लाइन पर अनुसंधान की शुरुआत। - एक एकल परिचालन लाइन के बारे में, जो एक विषय पर आधारित है और दुश्मन देश की ओर जा रही है

जर्मन मिलिट्री थॉट पुस्तक से लेखक ज़लेस्की कॉन्स्टेंटिन अलेक्जेंड्रोविच

अध्याय 2 आक्रामक ऑपरेटिंग लाइन पर अनुसंधान की शुरुआत। - एक ही ऑपरेशनल लाइन के बारे में, एक विषय में बसना और दुश्मन देश की ओर जाना 1. सेना की ऑपरेशनल लाइन की तुलना मांसपेशियों से की जा सकती है मानव शरीर, जिस पर यह निर्भर करता है

अध्याय 5. मैननेरहाइम रेखा की सफलता और रक्षा की मध्यवर्ती रेखा पर लड़ाई

स्टालिन की बदनाम विजय पुस्तक से। मैननेरहाइम लाइन पर हमला लेखक इरिनचेव बैर

अध्याय 5. मैननेरहाइम रेखा की सफलता और रक्षा की मध्यवर्ती रेखा पर लड़ाई 11 फरवरी को करेलियन इस्तमुस पर 7वीं और 13वीं सेनाओं का बड़े पैमाने पर आक्रमण शुरू हुआ। सफलता की मुख्य दिशा मुओलानजेरवी झील से कौकजर्वी तक की पट्टी में थी। अन्य दिशाओं में

समानांतर रेखाएँ

एनसाइक्लोपीडिक डिक्शनरी (पी) पुस्तक से लेखक ब्रॉकहॉस एफ.ए.

समानांतर रेखाएँसमानांतर रेखाएँ - सीधी रेखाएँ P कहलाती हैं यदि न तो वे और न ही उनके विस्तार एक दूसरे को काटते हैं। इनमें से एक पंक्ति से समाचार दूसरी पंक्ति से समान दूरी पर है। हालाँकि, यह कहने की प्रथा है: “दो पी. सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

लेखक कोवल दिमित्री

डायाफ्राम रेखा से कमर रेखा तक डायाफ्राम डायाफ्राम हमारे शरीर की सबसे बड़ी मांसपेशी है, जो छाती को पेट की गुहा से अलग करती है। पैर पर, डायाफ्राम रेखा पैर के नरम, मांसल हिस्से को उसके हड्डी के आधार से अलग करती है। डायाफ्राम के कार्यों और इसके साथ काम करने की आवश्यकता के बारे में

डायाफ्राम रेखा से कमर रेखा तक

हमारे शरीर के उपचार बिंदु पुस्तक से। व्यावहारिक एटलस लेखक कोवल दिमित्री

डायाफ्राम लाइन से कमर लाइन तक, इस क्षेत्र के रिफ्लेक्स जोन दाहिने पैर से तीन अंगों में भिन्न होते हैं - पेट, अग्न्याशय और प्लीहा। पेट भोजन के प्रारंभिक पाचन, आंशिक अवशोषण के लिए एक खोखला अंग है पोषक तत्वसाथ

अध्याय 1 सत्ता की रेखा (हमले की रेखा) को छोड़ना

हेल्थ-कॉम्बैट सिस्टम पुस्तक से " ध्रुवीय भालू» लेखक मेशालकिन व्लादिस्लाव एडुआर्डोविच

अध्याय 1 सत्ता की रेखा (हमले की रेखा) को छोड़ना यह सिद्धांत व्यक्त किया गया है लोक ज्ञान: "मुसीबत में मत पड़ो।" रोज़होन एक ऐसा दाँव है जिस पर एक मूर्ख सीधे दांव लगाता है, यानी सीधे-सीधे। सामान्य तौर पर, जीवन में, शाब्दिक और आलंकारिक रूप से, सामने से हमला करना एक कृतघ्न और बहुत दर्दनाक कार्य है। पर

वे एक-दूसरे को नहीं काटते, चाहे वे कितने भी लंबे समय तक जारी रहें। लिखित रूप में सीधी रेखाओं की समानता को इस प्रकार दर्शाया गया है: अब|| साथई

ऐसी रेखाओं के अस्तित्व की संभावना प्रमेय से सिद्ध होती है।

प्रमेय.

किसी दी गई रेखा के बाहर लिए गए किसी भी बिंदु से होकर, कोई इस रेखा के समानांतर एक बिंदु खींच सकता है.

होने देना अबयह सीधी रेखा और साथइसके बाहर कुछ बिंदु लिया गया। के माध्यम से इसे सिद्ध करना आवश्यक है साथआप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं समानांतरअब. आइए इसे कम करें अबबिंदु से साथ सीधासाथडीऔर फिर हम आचरण करेंगे साथई^ साथडी, जो संभव है. सीधा सी.ई.समानांतर अब.

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम इसके विपरीत मान लें, अर्थात् सी.ई.के साथ प्रतिच्छेद करता है अबकिन्हीं बिंदुओं पर एम. फिर बिंदु से एमएक सीधी रेखा की ओर साथडीहमारे पास दो अलग-अलग लंब होंगे एमडीऔर एमएस, जो असंभव है. मतलब, सी.ई.साथ पार नहीं कर सकते अब, यानी साथईसमानांतर अब.

परिणाम।

दो लंब (सीईऔरडी.बी.) एक सीधी रेखा तक (सीडी) समानांतर हैं.

समांतर रेखाओं का अभिगृहीत.

एक ही बिंदु से होकर एक ही रेखा के समानांतर दो अलग-अलग रेखाएँ खींचना असंभव है।

तो, अगर सीधे साथडी, बिंदु के माध्यम से खींचा गया साथरेखा के समानांतर अब, फिर हर दूसरी पंक्ति साथई, उसी बिंदु से होकर खींचा गया साथ, समानांतर नहीं हो सकता अब, यानी वह निरंतरता पर है प्रतिच्छेद करेगासाथ अब.

इस पूरी तरह से स्पष्ट सत्य को साबित करना असंभव साबित होता है। इसे बिना प्रमाण के, एक आवश्यक धारणा (पोस्टुलेटम) के रूप में स्वीकार किया जाता है।

नतीजे।

1. यदि सीधा(साथई) किसी एक के साथ प्रतिच्छेद करता है समानांतर(पूर्वोत्तर), फिर यह दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करता है ( अब), क्योंकि अन्यथा उसी बिंदु के माध्यम से साथवहाँ दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होकर गुजर रही होंगी अब, जो असंभव है.

2. यदि दोनों में से प्रत्येक प्रत्यक्ष (एऔरबी) उसी तीसरी रेखा के समानांतर हैं ( साथ) , तब वे समानांतरआपस में।

वास्तव में, यदि हम ऐसा मान लें एऔर बीकिसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करें एम, तो दो अलग-अलग सीधी रेखाएँ समानांतर, इस बिंदु से होकर गुजरेंगी साथ, जो असंभव है.

प्रमेय.

अगर रेखा लंबवत हैकिसी एक समानांतर रेखा पर, तो यह दूसरी रेखा पर लंबवत होती है समानांतर.

होने देना अब || साथडीऔर ई.एफ. ^ अब.यह साबित करना जरूरी है ई.एफ. ^ साथडी.

सीधाईएफ, के साथ प्रतिच्छेद करना अब, जरूर पार करेंगे और साथडी. प्रतिच्छेदन बिंदु होने दो एच.

चलिए अब यह मान लेते हैं साथडीके लंबवत नहीं ई.एच.. उदाहरण के लिए, फिर कोई अन्य सीधी रेखा एच.के., के लंबवत होगा ई.एच.और इसलिए एक ही बिंदु के माध्यम से एचदो होंगे सीधा समानांतर अब: एक साथडी, शर्त से, और अन्य एच.के.जैसा कि पहले सिद्ध हो चुका है। चूंकि यह असंभव है, इसलिए ऐसा नहीं माना जा सकता पूर्वोत्तरके लंबवत नहीं था ई.एच..

जो एक ही तल में स्थित हैं और या तो संपाती हैं या प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। कुछ में स्कूल की परिभाषाएँसंपाती रेखाओं को समानांतर नहीं माना जाता है; ऐसी परिभाषा पर यहाँ विचार नहीं किया गया है।

गुण

1. समांतरता एक द्विआधारी तुल्यता संबंध है, इसलिए यह रेखाओं के पूरे सेट को एक दूसरे के समानांतर रेखाओं के वर्गों में विभाजित करता है।
2. किसी भी बिंदु से होकर आप दिए गए बिंदु के समानांतर बिल्कुल एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। यह यूक्लिडियन ज्यामिति का एक विशिष्ट गुण है; अन्य ज्यामितियों में संख्या 1 को अन्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (लोबचेव्स्की ज्यामिति में कम से कम दो ऐसी रेखाएँ होती हैं)
3. अंतरिक्ष में 2 समानांतर रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं।
4. जब दो समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो तीसरी रेखा कहलाती है काटनेवाला:
   1. छेदक आवश्यक रूप से दोनों रेखाओं को काटता है।
   2. प्रतिच्छेद करने पर 8 कोण बनते हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट युग्मों के विशेष नाम और गुण होते हैं:
      1. आड़े-तिरछे लेटे रहनाकोण बराबर हैं.
      2. उपयुक्तकोण बराबर हैं.
      3. एक तरफाकोणों का योग 180° होता है।

लोबचेव्स्की ज्यामिति में

लोबचेव्स्की ज्यामिति में एक बिंदु के माध्यम से विमान में अभिव्यक्ति को पार्स नहीं किया जा सकता ( शाब्दिक त्रुटि): सीइस लाइन के बाहर $अब$

ऐसी अनंत संख्या में सीधी रेखाएँ हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करतीं एबी. इनमें से, के समानांतर एबीकेवल दो के नाम हैं।

सीधा सीईसमबाहु (समानांतर) रेखा कहलाती है एबीसे दिशा में एको बी, अगर:

1. अंक बीऔर ईएक सीधी रेखा के एक तरफ लेटें एसी ;
2. सीधा सीईरेखा प्रतिच्छेद नहीं करती एबी, लेकिन हर किरण एक कोण के अंदर से गुजरती है एसीई, किरण को पार करता है एबी .

एक सीधी रेखा को इसी तरह परिभाषित किया गया है एबीसे दिशा में बीको ए .

अन्य सभी रेखाएँ जो इसे नहीं काटती हैं, कहलाती हैं अतिसमानांतरया विभिन्न.

यह भी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन.

• 2010.
• पार लाइनों

नेस्टरीखिन, यूरी एफ़्रेमोविच

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प्राकृतिक विज्ञान. विश्वकोश शब्दकोशकल्पना में समानांतर दुनिया

- इस आलेख में मूल शोध शामिल हो सकता है। स्रोतों में लिंक जोड़ें, अन्यथा इसे हटाने के लिए सेट किया जा सकता है। अधिक जानकारी वार्ता पृष्ठ पर हो सकती है। यह...विकिपीडिया - समानांतर दुनिया(कल्पना में) एक वास्तविकता जो किसी तरह हमारे साथ एक साथ मौजूद है, लेकिन उससे स्वतंत्र रूप से। इस स्वायत्त वास्तविकता के विभिन्न आकार हो सकते हैं: एक छोटे भौगोलिक क्षेत्र से लेकर संपूर्ण ब्रह्मांड तक। समानांतर में... विकिपीडिया

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