गणित में योग, अंतर, गुणनफल, भागफल क्या है? संख्याओं का गुणनफल.

- (उत्पाद) गुणन का परिणाम। संख्याओं का गुणनफल, बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ, सदिश या आव्यूह; एक बिंदु, एक तिरछा क्रॉस, या बस उन्हें एक के बाद एक क्रमिक रूप से लिखकर दिखाया जा सकता है, यानी। f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … आर्थिक शब्दकोश

पूर्णांकों का विज्ञान. एक पूर्णांक (संख्या देखें) की अवधारणा, साथ ही संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएं, प्राचीन काल से ज्ञात हैं और यह पहले गणितीय अमूर्तताओं में से एक है। विशेष स्थानपूर्णांकों के बीच, अर्थात् संख्याएँ..., 3... महान सोवियत विश्वकोश

संज्ञा, स., प्रयुक्त. अक्सर आकृति विज्ञान: (नहीं) क्या? काम करता है, क्यों? काम, (देखें) क्या? किस चीज़ का काम? काम, किस बारे में? काम के बारे में; कृपया. क्या? काम करता है, (नहीं) क्या? काम करता है, क्यों? काम करता है, (मैं देखता हूं) क्या? काम करता है,... ... शब्दकोषदमित्रिएवा

मैट्रिक्स एक गणितीय वस्तु है जो संख्याओं (या रिंग के तत्वों) की एक आयताकार तालिका के रूप में लिखी जाती है और इसके और अन्य समान वस्तुओं के बीच बीजीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, आदि) की अनुमति देती है। निष्पादन के नियम... ...विकिपीडिया

अंकगणित में, गुणन को समान पदों के योग के लिए एक संक्षिप्त संकेतन के रूप में समझा जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन 5*3 का अर्थ है "5 को स्वयं में 3 बार जोड़ा जाता है", अर्थात, यह केवल 5+5+5 के लिए एक संक्षिप्त अंकन है। गुणन के परिणाम को उत्पाद कहा जाता है, और ... ... विकिपीडिया

संख्या सिद्धांत की एक शाखा जिसका मुख्य कार्य एक क्षेत्र पर परिमित डिग्री के बीजगणितीय संख्याओं के पूर्णांक क्षेत्रों के गुणों का अध्ययन करना है भिन्नात्मक संख्याएं. डिग्री n के क्षेत्र के विस्तार क्षेत्र K में सभी पूर्णांक का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है... ... गणितीय विश्वकोश

संख्या सिद्धांत, या उच्च अंकगणित, गणित की एक शाखा है जो पूर्णांक और समान वस्तुओं का अध्ययन करती है। संख्या सिद्धांत में, व्यापक अर्थ में, बीजगणितीय और पारलौकिक दोनों संख्याओं पर विचार किया जाता है, साथ ही विभिन्न मूल के कार्यों पर भी विचार किया जाता है, जो ... विकिपीडिया

संख्या सिद्धांत की एक शाखा जिसमें वितरण पैटर्न का अध्ययन किया जाता है प्रमुख संख्या(p.h.) के बीच प्राकृतिक संख्या. केंद्रीय समस्या सर्वोत्तम स्पर्शोन्मुख समाधान है। फ़ंक्शन p(x) के लिए अभिव्यक्तियाँ, p.n की संख्या को दर्शाती हैं जो x, a... ... से अधिक नहीं है। गणितीय विश्वकोश

- (विदेशी साहित्य में स्केलर उत्पाद, डॉट उत्पाद, आंतरिक उत्पाद) दो वैक्टर पर एक ऑपरेशन, जिसका परिणाम एक संख्या (स्केलर) होता है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर नहीं होता है और कारक वैक्टर की लंबाई और बीच के कोण को दर्शाता है ... ...विकिपीडिया

फ़ील्ड K के ऊपर वेक्टर स्पेस L पर परिभाषित एक सममित हर्मिटियन रूप, आमतौर पर इस स्पेस की परिभाषा का एक अभिन्न अंग माना जाता है, जो स्पेस बनाता है (स्पेस के प्रकार और आंतरिक गुणों के आधार पर ... विकिपीडिया)

पुस्तकें

• गणित में समस्याओं का संग्रह, बाचुरिन वी.. पुस्तक में चर्चा किए गए गणित के प्रश्न पूरी तरह से तीन कार्यक्रमों में से किसी एक की सामग्री से मेल खाते हैं: स्कूल, प्रारंभिक विभाग, प्रवेश परीक्षा. और यद्यपि इस पुस्तक को कहा जाता है...
• सजीव पदार्थ। जीवित और विकासवादी प्रक्रियाओं का भौतिकी, यशिन ए.ए.. यह मोनोग्राफ पिछले कुछ वर्षों में लेखक के शोध का सारांश प्रस्तुत करता है। पुस्तक में प्रस्तुत प्रयोगात्मक परिणाम तुला साइंटिफिक स्कूल ऑफ फील्ड बायोफिज़िक्स द्वारा प्राप्त किए गए थे और...

यदि एक कॉन्सर्ट हॉल को 25 बल्बों वाले 3 झूमरों द्वारा रोशन किया जाता है, तो इन झूमरों में बल्बों की कुल संख्या 25 + 25 + 25, यानी 75 होगी।

वह योग जिसमें सभी पद एक-दूसरे के बराबर हों, उसे छोटा लिखा जाता है: 25 + 25 + 25 के बजाय, 25 3 लिखें। इसका मतलब है 25 3 = 75 (चित्र 43)। 75 नंबर कहा जाता है कामसंख्या 25 और 3, और संख्या 25 और 3 कहलाती हैं मल्टीप्लायरों.

चावल। 43. संख्या 25 और 3 का गुणनफल

किसी संख्या m को प्राकृतिक संख्या n से गुणा करने का अर्थ है n पदों का योग ज्ञात करना, जिनमें से प्रत्येक m के बराबर है।

व्यंजक m n और इस व्यंजक का मान कहलाता है काम नंबरएमऔरएन. जो संख्याएँ गुणा की जाती हैं, वे कहलाती हैं मल्टीप्लायरों. वे। m और n गुणनखंड हैं।

गुणनफल 7 4 और 4 7 समान संख्या 28 के बराबर हैं (चित्र 44)।

चावल। 44. गुणनफल 7 4 = 4 7

1. गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने पर दो संख्याओं का गुणनफल नहीं बदलता है.

विनिमेय

ए × बी = बी × ए .

गुणनफल (5 3) 2 = 15 2 और 5 (3 2) = 5 6 का मान समान 30 है। इसका मतलब है 5 (3 2) = (5 3) 2 (चित्र 45)।

चावल। 45. गुणनफल (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी उत्पाद को दूसरे कारक से गुणा कर सकते हैं।

गुणन के इस गुण को कहा जाता है जोड़नेवाला. अक्षरों का प्रयोग करते हुए इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

ए (बीग) = (एबीसाथ)।

n पदों का योग, प्रत्येक 1 के बराबर, n के बराबर है। इसलिए समानता 1 n = n सत्य है।

n पदों का योग, जिनमें से प्रत्येक शून्य के बराबर है, शून्य के बराबर है। इसलिए, समानता 0 n = 0 सत्य है।

n = 1 और n = 0 के लिए गुणन के क्रमविनिमेय गुण को सत्य बनाने के लिए, यह सहमति है कि m 1 = एम और एम 0 = 0.

गुणन चिन्ह आमतौर पर वर्णमाला गुणनखंडों से पहले नहीं लिखा जाता है: 8 के बजाय एक्स 8 लिखें एक्स, के बजाय एबीलिखना एबी.

कोष्ठक से पहले गुणन चिह्न भी हटा दिया गया है। उदाहरण के लिए, 2 के बजाय ( एक +बी) लिखें 2 (ए+बी) , और इसके बजाय ( एक्स+ 2) (y + 3) (x + 2) (y + 3) लिखें।

के बजाय ( अब) लिखने के साथ एबीसी.

जब उत्पाद नोटेशन में कोई कोष्ठक नहीं होता है, तो गुणन बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है।

प्रत्येक कारक का नामकरण करते हुए कार्यों को पढ़ा जाता है सम्बन्ध कारक स्थिति. उदाहरण के लिए:

1) 175 60 एक सौ पचहत्तर साठ का गुणनफल है;

2) 80 (एक्स+1 7) – आर.पी. का गुणनफल। आर.पी.

अस्सी और x और सत्रह का योग

आइए समस्या का समाधान करें.

संख्या 2, 4, 6, 8 से कितनी तीन अंकों वाली संख्याएँ (चित्र 46) बनाई जा सकती हैं, यदि संख्या में संख्याओं को दोहराया नहीं जाता है?

समाधान।

किसी संख्या का पहला अंक कोई भी हो सकता है चारदिए गए नंबर, दूसरा - इनमें से कोई भी तीनअन्य, और तीसरा - कोई भी दोजो बचे हैं. यह पता चला है:

चावल। 46. ​​तीन अंकीय संख्याओं की रचना की समस्या के लिए

कुल मिलाकर, इन संख्याओं से आप 4 3 2 = 24 बना सकते हैं तीन अंकों की संख्या.

आइए समस्या का समाधान करें.

कंपनी के बोर्ड में 5 लोग शामिल हैं. बोर्ड को अपने सदस्यों में से एक अध्यक्ष और उपाध्यक्ष का चुनाव करना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान।

5 लोगों में से एक को कंपनी का अध्यक्ष चुना जा सकता है:

अध्यक्ष:

अध्यक्ष चुने जाने के बाद, बोर्ड के शेष चार सदस्यों में से किसी को उपाध्यक्ष चुना जा सकता है (चित्र 47):

	अध्यक्ष: उपाध्यक्ष:

चावल। 47. चुनावी समस्या पर

इसका मतलब यह है कि राष्ट्रपति का चयन करने के पांच तरीके हैं, और प्रत्येक निर्वाचित राष्ट्रपति के लिए, उपराष्ट्रपति का चयन करने के चार तरीके हैं। इस तरह, कुल गणनाकंपनी के अध्यक्ष और उपाध्यक्ष को चुनने के तरीकों की संख्या है: 5 4 = 20 (चित्र 47 देखें)।

चलिए एक और समस्या सुलझाते हैं.

अनिकेवो गांव से बोल्सोवो गांव तक जाने वाली चार सड़कें हैं, और बोल्शोवो गांव से विनोग्रादोवो गांव तक तीन सड़कें हैं (चित्र 48)। बोल्शेवो गाँव के माध्यम से आप कितने तरीकों से अनिकेव से विनोग्रादोवो तक पहुँच सकते हैं?

चावल। 48. सड़कों की समस्या पर

समाधान।

यदि आप पहली सड़क पर ए से बी तक जाते हैं, तो यात्रा जारी रखने के तीन तरीके हैं (चित्र 49)।

चावल। 49. पथ विकल्प

उसी तरह तर्क करने पर, हमें यात्रा जारी रखने के तीन रास्ते मिलते हैं, दूसरे, तीसरे और चौथे रास्ते से शुरू करना। इसका मतलब यह है कि अनिकेव से विनोग्रादोव तक जाने के लिए कुल मिलाकर 4 3 = 12 रास्ते हैं।

आइए एक और समस्या का समाधान करें।

दादी, पिता, माँ, बेटी और बेटे वाले एक परिवार को 5 अलग-अलग कप दिए गए। कपों को परिवार के सदस्यों के बीच कितने तरीकों से बाँटा जा सकता है?

समाधान. परिवार के पहले सदस्य (उदाहरण के लिए, दादी) के पास 5 विकल्प बचे हैं, अगले (चाहे पिता ही क्यों न हों) के पास 4 विकल्प बचे हैं। अगला वाला (उदाहरण के लिए, माँ) 3 कप में से चुनेगी, अगला वाला दो में से, और आखिरी वाले को एक बचा हुआ कप मिलेगा। आइए इन विधियों को चित्र (चित्र 50) में दिखाएं।

चावल। 50. समस्या समाधान योजना

हमने पाया कि दादी द्वारा एक कप की प्रत्येक पसंद के लिए पिता की चार संभावित पसंदें मेल खाती हैं, अर्थात्। केवल 5 4 तरीके. पिताजी के एक कप चुनने के बाद, माँ के पास तीन विकल्प होते हैं, बेटी के पास दो, बेटे के पास एक, यानी। केवल 3 2 1 तरीके। अंततः, हमने पाया कि समस्या को हल करने के लिए हमें गुणनफल 5 4 3 2 1 खोजना होगा।

ध्यान दें कि हमने 1 से 5 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का गुणनफल प्राप्त कर लिया है। ऐसे गुणनफलों को अधिक संक्षेप में लिखा गया है:

5 4 3 2 1 = 5! (पढ़ें: "पांच फैक्टोरियल")।

किसी संख्या का भाज्य- 1 से इस संख्या तक सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल।

तो, समस्या का उत्तर है: 5! = 120, यानी कप को परिवार के सदस्यों के बीच एक सौ बीस तरीकों से वितरित किया जा सकता है।

योग जोड़ का परिणाम है, और शब्द न केवल संख्याओं को संदर्भित कर सकता है।

अंतर वह है जो संख्याओं को घटाने के बाद प्राप्त होता है।

गुणनफल वह है जो गुणन के बाद प्राप्त होता है; इस शब्द का एक और अर्थ है।

भागफल वह है जो विभाजन के बाद प्राप्त होता है।

मैं. गणितीय अवधारणाएँ योग, अंतर, उत्पाद, तिमाहीगणितीय शब्दों से अंतर्संबंधित हैं जोड़, घटाव, गुणा, भाग.

यहाँ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर सभी परिभाषाएँ दी गई हैं।

संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को एक संख्या दी गई है जिसे उनका कहा जाता है मात्रा.

योग में उतनी ही इकाइयाँ होती हैं जितनी किसी दिए गए जोड़े की संख्याओं (आदेशों) में होती हैं।

जोड़संख्या पदों को जोड़ने का परिणाम है।

घटाव जोड़ की विपरीत क्रिया है। इसमें योग से एक पद तथा दूसरा पद ज्ञात करना शामिल है। इस योग को मीनूएंड कहा जाता है, इस पद को उपट्रेंड कहा जाता है, और आवश्यक पद को कहा जाता है अंतर से.

अंतर- यह वह संख्या है जो घटाने का परिणाम है, घटाने का शेषफल है।

संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को एक ऐसी संख्या से जोड़ा जा सकता है जिसमें उतनी ही इकाइयाँ होती हैं जितनी जोड़ी की पहली संख्या में होती हैं, जितनी बार जोड़ी की दूसरी संख्या में इकाइयाँ होती हैं उतनी बार ली जाती हैं। इस प्रकार संख्याओं के युग्म (इन्हें गुणनखंड कहते हैं) से संगत यह संख्या कहलाती है काम.

कामगुणन का परिणाम है.

भाग गुणन की व्युत्क्रम क्रिया है।

प्रभाग उत्पाद में से एक कारक और दूसरा कारक ढूंढ रहा है। इस उत्पाद को विभाज्य कहा जाता है, इस कारक को भाजक कहा जाता है, और आवश्यक कारक को कहा जाता है निजीअर्थात् एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त संख्या।

द्वितीय. योग, अंतर, उत्पाद, तिमाही शब्दों के अन्य अर्थ.

गणितीय अवधारणाओं के रूप में उपयोग किए जाने वाले सभी शब्दों के अन्य शाब्दिक अर्थ हो सकते हैं।

जोड़वी लाक्षणिक अर्थमतलब समग्रता कुलकुछ भी।

उदाहरण के लिए। एक शिक्षक की व्यावसायिकता उस ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की मात्रा में निहित है जो वह अपने छात्रों को हस्तांतरित करता है। आवश्यक धनराशि की कमी ने मुझे खरीदारी छोड़ने के लिए मजबूर कर दिया।

अंतरकिसी चीज़ में अंतर, असमानता, भिन्नता का अर्थ है।

उदाहरण के लिए। रुचियों में अंतर उम्र के अंतर से कहीं अधिक बुरा है। मित्रता विचारों की समानता के विचार से शुरू हो सकती है, और शत्रुता विचारों की भिन्नता से शुरू हो सकती है।

कामइसका अर्थ है श्रम की प्रक्रिया में उत्पादित कोई चीज़, किसी चीज़ का निर्माण, श्रम का उत्पाद, रचनात्मकता, कला, आदि।

उदाहरण के लिए। उच्च कला का टुकड़ाव्यक्ति को अपने जीवन के बारे में सोचने पर मजबूर करता है। युवा पियानोवादकों की एक प्रतियोगिता में, लड़के ने पी.आई. का एक गाना बजाया। त्चैकोव्स्की। यह बक्सा कला का एक वास्तविक नमूना है.

निजी- यह कुछ व्यक्तिगत, व्यक्तिगत, केवल एक व्यक्ति से संबंधित है, यह उसकी संपत्ति है, उसकी और केवल उसकी संपत्ति है। और चाहे वह व्यक्तिगत विचार हों, चाहे वह संपत्ति हो या कुछ और, लेकिन यह केवल उसका है, एक निजी व्यक्ति का है।

उदाहरण के लिए। मेरे दोस्त ने मुझे दिया स्मरण पुस्तकनिजी शिलालेख के साथ. क्या निजी की तुलना सार्वजनिक से करना अच्छा है?

वास्तव में, प्रश्न के सभी चार शब्द, अर्थात् योग, अंतर, उत्पाद और भागफल, चार बुनियादी गणितीय संक्रियाओं को दर्शाते हैं, जो मूल बातें हैं। इन क्रियाओं को सीखने के साथ ही गणित की दुनिया में आकर्षक यात्रा शुरू होती है। इस प्रकार,

योग, अंतर, गुणनफल, भागफल - यह गणितीय संक्रियाओं का परिणाम है जिसके साथ हम सभी ने गणित से अपना परिचय शुरू किया। जीवन में हम भी इन शब्दों का उपयोग करते हैं, लेकिन हम उनमें गणितीय अर्थ अधिक डालते हैं, हालाँकि हम संख्याएँ नहीं जोड़ सकते। कोई कार्य कलात्मक भी हो सकता है. यह उस शब्द का बिल्कुल अलग अर्थ है जिसे हम जीवन में उपयोग करते हैं।

इन चारों शब्दों का प्रयोग मुख्य रूप से गणित में किया जाता है।

योग तब होता है जब दो संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है;

अंतर एक संख्या का दूसरे से घटाव है;

भागफल एक संख्या का दूसरी संख्या से विभाजन है;

गुणनफल एक संख्या का दूसरी संख्या से गुणनफल है।

भागफल संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है, गुणनफल संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है, योग संख्याओं को जोड़ने का परिणाम है, अंतर घटाने का परिणाम है। ये बुनियादी गणितीय संक्रियाएँ हैं जिन्हें संख्याओं के साथ किया जा सकता है।

ये गणितीय अवधारणाएँ हैं।

योग जोड़ का परिणाम है। जो संख्याएँ जोड़ी जाती हैं उन्हें पहला जोड़ और दूसरा जोड़ कहा जाता है। इसे निम्नलिखित चिन्ह द्वारा दर्शाया गया है: +.

अंतर घटाव का परिणाम है। जो संख्याएँ घटाई जाती हैं, उन्हें मीनूएंड (वह जो अधिक है) और सबट्रेंड (वह जो कम है) कहा जाता है। निम्नलिखित चिन्ह द्वारा दर्शाया गया है:-.

एक उत्पाद गुणन का परिणाम है। जिन संख्याओं को गुणा किया जाता है उन्हें प्रथम गुणनखंड और द्वितीय गुणनखंड कहा जाता है। निम्नलिखित चिह्न द्वारा दर्शाया गया है: *.

भागफल विभाजन का परिणाम है। विभाजित करने वाली संख्याओं को लाभांश (जो अधिक हो), विभाजक (जो कम हो) कहा जाता है। इस चिन्ह द्वारा दर्शाया गया है: :.

ये सभी अवधारणाएँ प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाई जाती हैं।

गणित में, चार सरल ऑपरेशन होते हैं जिन्हें दो संख्याओं पर लागू किया जा सकता है और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं:

योग संख्याओं को जोड़ने का परिणाम है,

अंतर एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाने का परिणाम है,

गुणनफल संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है,

भागफल पहले से ही संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

गणित में योग वह संख्या है जो एक संख्या में दूसरी संख्या जोड़ने पर प्राप्त होती है। अंतर योग की विपरीत संख्या है, यह तब होता है जब इसे घटाया जाता है अधिककम। गुणनफल वह संख्या है जो एक संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होती है। अंतर उत्पाद की विपरीत संख्या है। हमें अंतर इस प्रकार मिलता है: एक संख्या को दूसरे से विभाजित करें।

मैं प्रशिक्षण से गणितज्ञ हूं, विशेषता: गणित शिक्षक। उन्होंने अपना सारा जीवन एक शैक्षणिक विश्वविद्यालय में गणित शिक्षक के रूप में काम किया।

आरक्षण कराना जरूरी है. आगे हम योग, अंतर, गुणनफल, भागफल के बारे में बात करेंगे नंबर.

इन प्रश्नों के उत्तर सरल होते हुए भी छात्रों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इस सामान्य विषय पर अधिक विस्तार से विचार करने में सक्षम होने के लिए, मैं आपका ध्यान आकर्षित करता हूं उपयोगी सामग्रीउस पर। नोट को गोरे लोगों के लिए गणित कहा जाता है।

मुझे पढ़ाई का तरीका पसंद आया.

एक उत्तेजक प्रश्न पूछा गया है:

क्या अंतर विभाजित या गुणा किया गया है?

वे रुचि लेने की कोशिश कर रहे हैं (एक भी प्रस्तावित संस्करण सही नहीं है!)))

तब वे उत्तर देते हैं:

अंतर दूर करने का है. घटाने के परिणाम को अंतर कहा जाता है।

इसी प्रकार आपको मिलता है:

योग तो जोड़ना है. जोड़ के परिणाम को योग कहा जाता है।

गुणनफल गुणन है. गुणन के परिणाम को गुणनफल कहते हैं।

भागफल एक विभाजन है. भाग के परिणाम को भागफल कहते हैं।

इसलिए सरल भाषा मेंसमझाया गया है सही अवधारणाएँगणित में योग, अंतर, गुणनफल और भागफल। केवल वाक्यांशों को थोड़ा सरल करके लिखा जाता है: अंतर को घटाना है, योग को जोड़ना है, गुणनफल को गुणा करना है, भागफल को विभाजित करना है। सटीक होने के लिए, वे ऐसा नहीं कहते हैं।

इसलिए, संख्याओं को जोड़ने का परिणाम(शर्तें) - ये उनकी हैं जोड़, संख्याओं को घटाने का परिणाम(मिनुएंड और सबट्रेंड) - यह है अंतर, संख्याओं को गुणा करने का परिणाम(कारक) है काम, ए संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम(भाजक द्वारा विभाज्य), और भाजक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा विभाजन नहीं किया जा सकता है, वहाँ है निजीये नंबर.

मैं इन शब्दों के अन्य अर्थों के बारे में नहीं सोचता; गणित हर चीज़ पर हावी है।)))

योग, अंतर, उत्पाद और आंशिक शब्द स्कूलों और अन्य छात्रों के लिए बहुत परिचित हैं शिक्षण संस्थानोंउन्हें गणित के प्रत्येक पाठ में ये परिभाषाएँ सिखाएँ।

1) जोड़

योग दो या दो से अधिक संख्याओं को (+) जोड़ने पर प्राप्त होने वाला परिणाम है।

यह राशि उत्पाद की अंतिम लागत (भुगतान की जाने वाली राशि), ज्ञान का कुल भंडार, इंप्रेशन और भी बहुत कुछ है।

2) अंतर

गणित में इसका अर्थ किसी संख्या (-) को घटाने का परिणाम है।

अंतर शब्द का उपयोग किसी चीज़ के बीच अंतर के लिए एक शब्द के रूप में भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विचारों में अंतर, विचारों में अंतर, संकेतकों में अंतर आदि।

3) काम

गुणनफल संख्याओं (*) को गुणा करने के बाद प्राप्त परिणाम है।

इस शब्द का प्रयोग गणित के अतिरिक्त परिणाम बताने के लिए भी किया जाता है रचनात्मक प्रक्रिया(कला का काम), उपज की क्रिया के रूप में।

4) ईमानदार

यह शब्द दो संख्याओं (:) को विभाजित करने के परिणाम को दर्शाता है।

हम निजी शब्द को किसी एक मालिक (निजी व्यक्ति, निजी संपत्ति, निजी व्यवसाय) के स्वामित्व को दर्शाते समय भी सुन सकते हैं।

समस्या 1.2
दो पूर्णांक X और T दिए गए हैं। यदि उनके अलग-अलग चिह्न हैं, तो X को इन संख्याओं के गुणनफल का मान और T को उनके पूर्ण अंतर का मान निर्दिष्ट करें। यदि संख्याओं के चिह्न समान हैं, तो X को मूल संख्याओं के अंतर मॉड्यूल का मान और T को इन संख्याओं के गुणनफल का मान निर्दिष्ट करें। स्क्रीन पर नए X और T मान प्रदर्शित करें।

काम कठिन भी नहीं है. "गलतफहमी" केवल तभी उत्पन्न हो सकती है यदि आप भूल गए हैं कि मापांक अंतर क्या है (मुझे आशा है कि आपको अभी भी याद है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल क्या है)))।

दो संख्याओं का मॉड्यूलो अंतर

दो पूर्णांकों का मापांक अंतर (हालाँकि आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, यह सिर्फ इतना है कि हमारी समस्या में संख्याएँ पूर्णांक हैं) - यह, सीधे शब्दों में कहें तो, तब होता है जब गणना का परिणाम दो के अंतर का मापांक होता है नंबर.

अर्थात् सबसे पहले एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाने की क्रिया की जाती है। और फिर इस ऑपरेशन के परिणाम के मापांक की गणना की जाती है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि कोई भूल गया है कि मॉड्यूल क्या है या पास्कल में इसकी गणना कैसे की जाती है, तो देखें।

दो संख्याओं के चिन्ह निर्धारित करने के लिए एल्गोरिदम

समग्र रूप से समस्या का समाधान काफी सरल है। केवल एक चीज जो शुरुआती लोगों के लिए कठिनाई का कारण बन सकती है वह है दो संख्याओं के संकेतों की पहचान करना। अर्थात्, हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: यह कैसे पता लगाया जाए कि संख्याओं के चिह्न समान हैं या अलग-अलग हैं।

सबसे पहले, यह शून्य के साथ संख्याओं की एक-एक करके तुलना करने का सुझाव देता है। यह स्वीकार्य है. लेकिन सोर्स कोड काफी बड़ा होगा. इसलिए, इस एल्गोरिथम का उपयोग करना अधिक सही है:

1. संख्याओं को एक दूसरे से गुणा करें
2. यदि परिणाम शून्य से कम है, तो संख्याओं के अलग-अलग चिह्न होते हैं
3. यदि परिणाम शून्य या शून्य से अधिक है, तो संख्याओं के चिह्न समान होते हैं

मैंने इस एल्गोरिदम को एक अलग के रूप में कार्यान्वित किया। और प्रोग्राम स्वयं वैसा ही निकला जैसा नीचे पास्कल और C++ के उदाहरणों में दिखाया गया है।

पास्कल में समस्या 1.2 का समाधानप्रोग्राम चेकनम्स; वर ए, एक्स, टी: पूर्णांक; //******************************************** **************** // जाँचता है कि संख्या N1 और N2 में समान चिह्न हैं या नहीं। यदि हाँ, तो // सत्य लौटाता है, अन्यथा - गलत //*********************************** * *************************** फ़ंक्शन ZnakNumbers(N1, N2: पूर्णांक): बूलियन; आरंभ := (एन1 * एन2) >= 0; अंत; //******************************************** **************** // मुख्य कार्यक्रम //**************************** **************************************** प्रारंभ लिखें("X = "); रीडएलएन(एक्स); लिखें("टी = "); रीडएलएन(टी); यदि ZnakNumbers(X, T) तो //यदि संख्याओं के चिह्न समान हैं तो प्रारंभ A:= (X - T); //अंतर मॉड्यूलो मूल संख्या प्राप्त करें T:= X * T; अंत अन्यथा //यदि संख्याओं के अलग-अलग चिह्न हैं तो प्रारंभ करें A:= X * T; टी:= एब्स(एक्स - टी); अंत;

एक्स:= ए; //A का मान X WriteLn("X = ", X) में लिखें; //आउटपुट X WriteLn("T = ", T); //आउटपुट T WriteLn("अंत। Enter दबाएँ..."); ReadLn; अंत।#शामिल #नेमस्पेस एसटीडी का उपयोग करना शामिल करें; पूर्णांक ए, एक्स, टी; //******************************************** **************** // जाँचता है कि संख्या N1 और N2 में समान चिह्न हैं या नहीं। यदि हाँ, तो // सत्य लौटाता है, अन्यथा - गलत //*********************************** * *************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //******************************************** ****** ***************** // मुख्य कार्यक्रम //********************* ****** ***************************************** मुख्य प्रवेश बिंदु( int argc, char *argv) ( cout > मूल संख्याएँ T = X * T; ) अन्यथा // यदि संख्याओं में अलग-अलग चिह्न हैं ( A =

अनुकूलन

यह एक साधारण कार्यक्रमयदि आप फ़ंक्शन का उपयोग नहीं करते हैं तो आप इसे थोड़ा और सरल बना सकते हैं और प्रोग्राम के स्रोत कोड पर थोड़ा सा काम कर सकते हैं। इससे स्रोत कोड की कुल पंक्तियों की संख्या थोड़ी कम हो जाएगी। यह कैसे करें - आप स्वयं सोचें।

इस लेख में हम जानेंगे कि यह कैसे करना है पूर्णांकों को गुणा करना. सबसे पहले, आइए पदों और अंकन का परिचय दें, और दो पूर्णांकों को गुणा करने का अर्थ भी जानें। इसके बाद हम दो धनात्मक पूर्णांकों, ऋणात्मक पूर्णांकों और पूर्णांकों को गुणा करने के नियम प्राप्त करेंगे विभिन्न संकेत. साथ ही, हम समाधान प्रक्रिया की विस्तृत व्याख्या के साथ उदाहरण भी देंगे। हम पूर्णांकों के गुणन के मामलों पर भी बात करेंगे जब कोई एक गुणनखंड एक या शून्य के बराबर हो। आगे हम सीखेंगे कि परिणामी गुणन परिणाम की जांच कैसे करें। और अंत में, आइए तीन, चार और को गुणा करने के बारे में बात करें अधिकपूर्णांक

पेज नेविगेशन.

नियम और प्रतीक

पूर्णांकों के गुणन का वर्णन करने के लिए, हम उन्हीं शब्दों का उपयोग करेंगे जिनसे हमने प्राकृतिक संख्याओं के गुणन का वर्णन किया था। आइए उन्हें याद दिलाएं.

जिन पूर्णांकों को गुणा किया जाता है, वे कहलाते हैं मल्टीप्लायरों. गुणन का परिणाम कहलाता है काम. गुणन क्रिया को "·" रूप के गुणन चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। कुछ स्रोतों में आप "*" या "×" चिह्नों से अंकित गुणन पा सकते हैं।

गुणित पूर्णांक a, b और उनके गुणन c के परिणाम को a·b=c के रूप की समानता का उपयोग करके लिखना सुविधाजनक है। इस अंकन में, पूर्णांक a पहला कारक है, पूर्णांक b दूसरा कारक है, और पूर्णांक c उत्पाद है। फॉर्म a·b को एक उत्पाद भी कहा जाएगा, साथ ही इस अभिव्यक्ति का मान भी c .

आगे देखने पर, हम देखते हैं कि दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है।

पूर्णांकों को गुणा करने का अर्थ

धनात्मक पूर्णांकों को गुणा करना

अतः धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ हैं धनात्मक पूर्णांकों को गुणा करनाप्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। यह स्पष्ट है कि दो धनात्मक पूर्णांकों को गुणा करने पर एक धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्या) प्राप्त होता है। आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण।

धनात्मक पूर्णांक 127 और 5 का गुणनफल क्या है?

समाधान।

आइए पहले कारक 107 को बिट पदों के योग के रूप में प्रस्तुत करें, अर्थात 100+20+7 के रूप में। इसके बाद, हम संख्याओं के योग को किसी दी गई संख्या से गुणा करने के नियम का उपयोग करते हैं: 127 5=(100+20+7) 5=100 5+20 5+7 5. बस गणना पूरी करना बाकी है: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635.

इस प्रकार, दिए गए धनात्मक पूर्णांक 127 और 5 का गुणनफल 635 है।

उत्तर:

127·5=635.

बहु-अंकीय धनात्मक पूर्णांकों को गुणा करने के लिए, स्तंभ गुणन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।

उदाहरण।

तीन अंकों वाले धनात्मक पूर्णांक 712 को दो अंकों वाले धनात्मक पूर्णांक 92 से गुणा करें।

समाधान।

आइए इन धनात्मक पूर्णांकों को एक स्तंभ में गुणा करें:

उत्तर:

712·92=65,504.

पूर्णांकों को विभिन्न चिन्हों से गुणा करने का नियम, उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण हमें विभिन्न चिह्नों से पूर्णांकों को गुणा करने का नियम बनाने में मदद करेगा।

आइए ऋणात्मक पूर्णांक -5 और पूर्णांक के गुणनफल की गणना करें सकारात्मक संख्या 3 गुणन के अर्थ पर आधारित। इसलिए (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. गुणन के क्रमविनिमेय गुण को वैध बनाए रखने के लिए, समानता (−5)·3=3·(−5) को संतुष्ट करना होगा। अर्थात् गुणनफल 3·(−5) भी −15 के बराबर है। यह देखना आसान है कि −15 उत्पाद के बराबरमूल कारकों का मापांक, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विभिन्न चिह्नों वाले मूल पूर्णांकों का गुणनफल ऋण चिह्न के साथ लिए गए मूल कारकों के मापांक के गुणनफल के बराबर है।

तो हमें मिल गया विभिन्न चिह्नों से पूर्णांकों को गुणा करने का नियम: दो पूर्णांकों को विभिन्न चिह्नों से गुणा करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करना होगा और परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

बताए गए नियम से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विभिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है। दरअसल, कारकों के मापांक को गुणा करने के परिणामस्वरूप, हमें एक सकारात्मक पूर्णांक मिलता है, और यदि हम इस संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं, तो यह एक नकारात्मक पूर्णांक बन जाता है।

आइए परिणामी नियम का उपयोग करके विभिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों के गुणनफल की गणना के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

धनात्मक पूर्णांक 7 को एक पूर्णांक से गुणा करें एक ऋणात्मक संख्या −14 .

समाधान।

आइए विभिन्न चिह्नों से पूर्णांकों को गुणा करने के नियम का उपयोग करें। गुणकों का मापांक क्रमशः 7 और 14 है। आइए मॉड्यूल के उत्पाद की गणना करें: 7·14=98। जो कुछ बचा है वह परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाना है: -98। तो, 7·(−14)=−98.

उत्तर:

7·(−14)=−98 .

उदाहरण।

उत्पाद की गणना करें (−36)·29.

समाधान।

हमें विभिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों के गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम उत्पाद की गणना करते हैं सम्पूर्ण मूल्यगुणक: 36·29=1,044 (एक कॉलम में गुणा करना बेहतर है)। अब हम संख्या 1044 के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं, हमें −1044 प्राप्त होता है।

उत्तर:

(−36)·29=−1,044।

इस पैराग्राफ को समाप्त करने के लिए, हम समानता a·(−b)=−(a·b) की वैधता साबित करेंगे, जहां a और −b मनमाना पूर्णांक हैं। इस समानता का एक विशेष मामला पूर्णांकों को विभिन्न चिह्नों से गुणा करने का बताया गया नियम है।

दूसरे शब्दों में, हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि अभिव्यक्ति a·(−b) और a·b के मान विपरीत संख्याएँ हैं। इसे सिद्ध करने के लिए, आइए a·(−b)+a·b का योग ज्ञात करें और सुनिश्चित करें कि यह शून्य के बराबर है। योग के सापेक्ष पूर्णांकों के गुणन की वितरणात्मक संपत्ति के कारण, समानता a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) सत्य है। योग (−b)+b विपरीत पूर्णांकों के योग के रूप में शून्य के बराबर है, तो a·((−b)+b)=a·0. आखरी भागकिसी पूर्णांक को शून्य से गुणा करने के गुण के कारण यह शून्य के बराबर होता है। इस प्रकार, a·(−b)+a·b=0, इसलिए, a·(−b) और a·b विपरीत संख्याएं हैं, जिसका अर्थ है समानता a·(−b)=−(a·b) । इसी प्रकार, हम दिखा सकते हैं कि (−a) b=−(a b) ।

ऋणात्मक पूर्णांकों को गुणा करने का नियम, उदाहरण

समानता (−a)·(−b)=a·b, जिसे हम अब सिद्ध करेंगे, हमें दो ऋणात्मक पूर्णांकों को गुणा करने का नियम प्राप्त करने में मदद करेगी।

पिछले पैराग्राफ के अंत में, हमने दिखाया कि a·(−b)=−(a·b) और (−a)·b=−(a·b) , इसलिए हम समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लिख ​​सकते हैं (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)). और परिणामी अभिव्यक्ति −(−(a·b)) विपरीत संख्याओं की परिभाषा के कारण a·b से अधिक कुछ नहीं है। तो, (−a)·(−b)=a·b.

सिद्ध समानता (−a)·(−b)=a·b हमें तैयार करने की अनुमति देती है ऋणात्मक पूर्णांकों को गुणा करने का नियम: दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल इन संख्याओं के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है।

बताए गए नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि दो ऋणात्मक पूर्णांकों को गुणा करने का परिणाम एक धनात्मक पूर्णांक होता है।

आइए ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणन करते समय इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

गुणनफल की गणना करें (−34)·(−2) .

समाधान।

हमें दो ऋणात्मक पूर्णांकों -34 और -2 को गुणा करना होगा। आइए संबंधित नियम का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, हम गुणक के मॉड्यूल ढूंढते हैं: और। यह संख्या 34 और 2 के गुणनफल की गणना करना बाकी है, जिसे हम जानते हैं कि कैसे करना है। संक्षेप में, संपूर्ण समाधान को (−34)·(−2)=34·2=68 के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर:

(−34)·(−2)=68 .

उदाहरण।

ऋणात्मक पूर्णांक −1041 को ऋणात्मक पूर्णांक −538 से गुणा करें।

समाधान।

ऋणात्मक पूर्णांकों को गुणा करने के नियम के अनुसार, वांछित उत्पाद गुणनखंडों के मापांक के उत्पाद के बराबर होता है। गुणकों का मापांक क्रमशः 1,041 और 538 है। आइए स्तंभ गुणन करें:

उत्तर:

(−1,041)·(−538)=560,058।

किसी पूर्णांक को एक से गुणा करना

किसी भी पूर्णांक a को एक से गुणा करने पर संख्या a प्राप्त होती है। हमने पहले ही इसका उल्लेख किया था जब हमने दो पूर्णांकों को गुणा करने के अर्थ पर चर्चा की थी। तो a·1=a . गुणन के क्रमविनिमेय गुण के कारण, समानता a·1=1·a सत्य होनी चाहिए। इसलिए, 1·ए=ए.

उपरोक्त तर्क हमें दो पूर्णांकों को गुणा करने के नियम की ओर ले जाता है, जिनमें से एक एक के बराबर होता है। दो पूर्णांकों का गुणनफल जिसमें एक गुणनखंड एक है, दूसरे गुणनखंड के बराबर होता है.

उदाहरण के लिए, 56·1=56, 1·0=0 और 1·(−601)=−601. आइए कुछ और उदाहरण दें। पूर्णांक −53 और 1 का गुणनफल −53 है, और एक और ऋणात्मक पूर्णांक −989,981 का गुणनफल −989,981 है।

किसी पूर्णांक को शून्य से गुणा करना

हम सहमत हैं कि किसी भी पूर्णांक a और शून्य का गुणनफल शून्य के बराबर होता है, अर्थात a·0=0. गुणन का क्रमविनिमेय गुण हमें समानता 0·a=0 को स्वीकार करने के लिए बाध्य करता है। इस प्रकार, दो पूर्णांकों का गुणनफल जिसमें कम से कम एक गुणनखंड शून्य हो, शून्य के बराबर होता है. विशेष रूप से, शून्य को शून्य से गुणा करने का परिणाम शून्य होता है: 0·0=0.

आइए कुछ उदाहरण दें. धनात्मक पूर्णांक 803 और शून्य का गुणनफल शून्य के बराबर है; शून्य को ऋणात्मक पूर्णांक -51 से गुणा करने का परिणाम शून्य है; भी (−90 733)·0=0 .

यह भी ध्यान दें कि दो पूर्णांकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल तभी जब कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो।

पूर्णांकों को गुणा करने के परिणाम की जाँच करना

दो पूर्णांकों को गुणा करने के परिणाम की जाँच करनाविभाजन का उपयोग करके किया गया। परिणामी उत्पाद को किसी एक कारक से विभाजित करना आवश्यक है; यदि इसका परिणाम दूसरे कारक के बराबर संख्या में होता है, तो गुणन सही ढंग से किया गया है। यदि परिणाम दूसरे पद से भिन्न संख्या है, तो कहीं न कहीं गलती हुई है।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जिनमें पूर्णांकों को गुणा करने के परिणाम की जाँच की जाती है।

उदाहरण।

दो पूर्णांकों -5 और 21 को गुणा करने के परिणामस्वरूप, संख्या -115 प्राप्त हुई क्या उत्पाद की गणना सही ढंग से की गई है?

समाधान।

की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, परिकलित उत्पाद -115 को किसी एक कारक से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, -5।, परिणाम जांचें। (−17)·(−67)=1 139 .

तीन या अधिक पूर्णांकों को गुणा करना

पूर्णांकों के गुणन का संयोजन गुण हमें तीन, चार या अधिक पूर्णांकों का गुणनफल विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है। साथ ही, पूर्णांकों के गुणन के शेष गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि तीन या अधिक पूर्णांकों का उत्पाद कोष्ठक रखने की विधि और उत्पाद में कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। जब हमने तीन या अधिक प्राकृत संख्याओं को गुणा करने की बात की तो हमने ऐसे ही कथनों की पुष्टि की। पूर्णांक गुणनखंडों के मामले में, तर्क बिल्कुल समान है।

आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

पांच पूर्णांकों 5, −12, 1, −2 और 15 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान।

हम क्रमिक रूप से बाएं से दाएं दो आसन्न कारकों को उनके उत्पाद से बदल सकते हैं: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)· (−2 )·15= 120·15=1,800. उत्पाद की गणना के लिए यह विकल्प कोष्ठक को व्यवस्थित करने की निम्नलिखित विधि से मेल खाता है: (((5·(−12))·1)·(−2))·15.

हम कुछ कारकों को पुनर्व्यवस्थित भी कर सकते हैं और कोष्ठकों को अलग ढंग से व्यवस्थित कर सकते हैं यदि यह हमें दिए गए पांच पूर्णांकों के उत्पाद की अधिक कुशलता से गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित क्रम में कारकों को 1·5·(−12)·(−2)·15 में पुनर्व्यवस्थित करना संभव था, और फिर कोष्ठक को इस तरह व्यवस्थित करना संभव था ((1·5)·(−12))·((−2)·15). इस मामले में, गणना इस प्रकार होगी: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न प्रकारकोष्ठकों की नियुक्ति और कारकों के विभिन्न क्रमों ने हमें एक ही परिणाम पर पहुँचाया।

उत्तर:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.

अलग से, हम ध्यान दें कि यदि किसी उत्पाद में तीन, चार आदि हैं। पूर्णांकों में से कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर है, तो गुणनफल शून्य के बराबर है। उदाहरण के लिए, चार पूर्णांक 5, −90321, 0 और 111 का गुणनफल शून्य के बराबर है; तीन पूर्णांकों 0, 0 और −1983 को गुणा करने का परिणाम भी शून्य है। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि उत्पाद शून्य के बराबर है, तो कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है।