अध्याय 7 के प्रश्नों की समीक्षा करें। अध्याय VI के प्रश्नों की समीक्षा करें।

1. बताएं कि बहुभुजों का क्षेत्रफल कैसे मापा जाता है।

2. बहुभुजों के क्षेत्रफलों के मूल गुणों का निरूपण करें।

3. कौन से बहुभुज समान आकार के कहलाते हैं और कौन से बहुभुज सम-सन्निहित कहलाते हैं?

4. एक आयत के क्षेत्रफल की गणना के बारे में एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें।

5. समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के बारे में एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें।

6. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के बारे में एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें। क्षेत्रफल की गणना कैसे करें सही त्रिकोणउसके पैरों पर?

7. समान कोण वाले दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के बारे में एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें।

8. समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के बारे में एक प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें।

9. पाइथागोरस प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें।

10. पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें।

11. किन त्रिभुजों को पाइथागोरस कहा जाता है? पायथागॉरियन त्रिभुजों के उदाहरण दीजिए।

12. त्रिभुज के क्षेत्रफल का कौन सा सूत्र हीरोन का सूत्र कहलाता है? इस सूत्र को व्युत्पन्न करें.

अतिरिक्त काम

500. सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की भुजा पर बने वर्ग का क्षेत्रफल दोगुना होता है अधिक क्षेत्रफलकर्ण तक खींची गई ऊँचाई पर बना एक वर्ग।

501. क्षेत्र भूमि का भाग 27 हेक्टेयर के बराबर. उसी क्षेत्र का क्षेत्रफल व्यक्त करें: ए) में वर्ग मीटर; बी) वर्ग किलोमीटर में.

502. समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई 5 सेमी और 4 सेमी है, और परिधि 42 सेमी है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

503. एक समांतर चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करें यदि इसका क्षेत्रफल 24 सेमी 2 है और विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु भुजाओं से 2 सेमी और 3 सेमी दूर है।

504. समांतर चतुर्भुज की छोटी भुजा 29 सेमी है। विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से बड़ी भुजा पर खींचा गया लंब इसे 33 सेमी और 12 सेमी के बराबर खंडों में विभाजित करता है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

505. सिद्ध करें कि सभी त्रिभुजों की एक भुजा a के बराबर है और दूसरी b के बराबर है, सबसे बड़ा क्षेत्रएक है जिसकी भुजाएँ लंबवत हैं।

506. किसी वर्ग को तीन आकृतियों में विभाजित करने के लिए उसके शीर्ष से होकर दो सीधी रेखाएँ कैसे खींची जाएँ जिनका क्षेत्रफल बराबर हो?

507.* एक त्रिभुज की प्रत्येक भुजा दूसरे त्रिभुज की किसी भी भुजा से बड़ी है। क्या इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफल से अधिक है?

508.* सिद्ध करें कि किसी बिंदु से दूरियों का योग किस पर आधारित है समद्विबाहु त्रिभुजपक्षों का इस बिंदु की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है.

509. सिद्ध करें कि एक समबाहु त्रिभुज के अंदर स्थित एक बिंदु से उसकी भुजाओं की दूरी का योग इस बिंदु की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।

510.* त्रिभुज ABC की भुजा BC पर स्थित बिंदु D से होकर, रेखाएँ अन्य दो भुजाओं के समानांतर खींची जाती हैं और भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदु E और F पर काटती हैं। सिद्ध करें कि त्रिभुज CDE और BDF आकार में बराबर हैं।

511. AB और CD भुजाओं वाले समलम्ब चतुर्भुज ABCD में विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

a) त्रिभुज ABD और ACD के क्षेत्रफलों की तुलना करें।
ख) त्रिभुज ABO और CDO के क्षेत्रफलों की तुलना करें।
ग) साबित करें कि समानता OA OB = OS OD रखती है।

512.* एक समलम्ब चतुर्भुज का आधार a और b के बराबर होता है। आधारों के समानांतर, समलम्ब चतुर्भुज के किनारों पर सिरों वाला एक खंड, समलम्ब चतुर्भुज को दो समान समलम्बों में विभाजित करता है। इस खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।

513. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 18 मीटर और 24 मीटर हैं। समचतुर्भुज का परिमाप और समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

514. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 540 सेमी 2 है, और इसका एक विकर्ण 4.5 डीएम है। विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से समचतुर्भुज की भुजा तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

515. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि: a) भुजा 20 सेमी है और आधार पर कोण 30° है; बी) किनारे पर खींची गई ऊंचाई 6 सेमी है और आधार के साथ 45° का कोण बनाती है।

516. त्रिभुज ABC में BC = 34 सेमी है। BC के मध्य से सीधी रेखा AC पर खींचा गया लंब MN भुजा AC को खंड AN = 25 सेमी और NC = 15 सेमी में विभाजित करता है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

517. चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 5 सेमी, BC = 13 सेमी, CD = 9 सेमी, DA = 15 सेमी, AC = 12 सेमी है।

518. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि: a) इसका छोटा आधार 18 सेमी है, इसकी ऊंचाई 9 सेमी है और इसका न्यून कोण 45° है; बी) इसका आधार 16 सेमी और 30 सेमी है, और इसके विकर्ण परस्पर लंबवत हैं।

519. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी ऊंचाई h के बराबर है और जिसके विकर्ण परस्पर लंबवत हैं।

520. एक समद्विबाहु समलंब के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं, और आधारों का योग 2a होता है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

521. सिद्ध करें कि यदि चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो AD 2 + BC 2 = AB 2 + CD 2.

522. एक समद्विबाहु समलंब ABCD में जिसका आधार AD = 17 सेमी, BC = 5 सेमी और भुजा AB = 10 सेमी है, शीर्ष B से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है, जो विकर्ण AC को आधे में विभाजित करती है और आधार AD को बिंदु M पर काटती है। क्षेत्रफल ज्ञात करें त्रिकोण बीडीएम का.

523. भुजा a वाले दो वर्गों में एक उभयनिष्ठ शीर्ष है, और उनमें से एक की भुजा दूसरे के विकर्ण पर स्थित है। इन वर्गों के उभयनिष्ठ भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

524. त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 5 सेमी और 12 सेमी हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

525. त्रिभुज ABC के अंदर स्थित बिंदु M से रेखा AB की दूरी 6 सेमी है, और रेखा AC की दूरी 2 सेमी है, यदि AB = 13 सेमी, BC = 14 सेमी, AC है, तो बिंदु M से रेखा BC की दूरी ज्ञात करें = 15 सेमी.

526. एक समचतुर्भुज में, सेमी के बराबर ऊँचाई बड़े विकर्ण का 2/3 है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

527. एक समद्विबाहु समलंब में विकर्ण 10 सेमी और ऊंचाई 6 सेमी है। समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

528. समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजा CD 12 सेमी है, और बिंदु O से सीधी रेखा CD की दूरी 5 सेमी है।

529. एक चतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी और 20 सेमी हैं और 30° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

530. आधार BC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, ऊँचाई AD 8 सेमी है। यदि त्रिभुज ADC की माध्यिका DM 8 सेमी है, तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

531. आयत ABCD की भुजाएँ AB और BC क्रमशः 6 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। शीर्ष C से गुजरने वाली एक रेखा और रेखा BD पर लंबवत भुजा AD को बिंदु M पर और विकर्ण BD को बिंदु K पर काटती है। का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ​चतुर्भुज एबीकेएम.

532. त्रिभुज ABC में ऊँचाई BH खींची गई है। सिद्ध करें कि यदि:

a) कोण A न्यून कोण है, तो BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AC AN;
बी) कोण ए अधिक कुंठित है, तो बीसी 2 = एबी 2 + एसी 2 + 2एसी एएन।

समस्याओं के उत्तर

1. दो बिंदुओं से होकर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

2. दो सीधी रेखाओं में कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं?

3. बताएं कि खंड क्या है।

4. बताएं कि किरण क्या है। किरणें कैसे निर्दिष्ट की जाती हैं?

5. किस आकृति को कोण कहा जाता है? स्पष्ट करें कि किसी कोण का शीर्ष और भुजाएँ क्या होती हैं।

6. किस कोण को खुला हुआ कहा जाता है?

7. किन अंकों को समान कहा जाता है?

8. समझाइये कि दो रेखाखंडों की तुलना कैसे की जाती है।

9. किस बिंदु को खंड का मध्यबिंदु कहा जाता है?

10. समझाइये कि दो कोणों की तुलना कैसे की जाती है।

11. किस किरण को कोण का समद्विभाजक कहा जाता है?

12. बिंदु C खंड AB को दो खंडों में विभाजित करता है। यदि खंड AC और CB की लंबाई ज्ञात हो तो खंड AB की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

13. दूरियाँ मापने के लिए कौन से उपकरण का उपयोग किया जाता है?

14. किसी कोण का डिग्री माप क्या है?

15. किरण OS कोण AOB को दो कोणों में विभाजित करती है। यदि आप जानते हैं तो कोण AOB का डिग्री माप कैसे ज्ञात करें डिग्री उपायकोने AOS और SOV?

16. कौन सा कोण न्यूनकोण कहलाता है? सीधा? मूर्ख?

17. किन कोणों को आसन्न कहा जाता है? आसन्न कोणों का योग कितना होता है?

18. कौन से कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं? ऊर्ध्वाधर कोणों में क्या गुण होते हैं?

19. कौन सी रेखाएँ लम्बवत कहलाती हैं?

20. बताएं कि तीसरी पर लंबवत दो रेखाएं प्रतिच्छेद क्यों नहीं करती हैं।

21. जमीन पर समकोण बनाने के लिए किन उपकरणों का उपयोग किया जाता है?

अध्याय I के लिए अतिरिक्त कार्य

71. चार बिंदुओं को चिह्नित करें ताकि कोई भी तीन एक ही सीधी रेखा पर न हों। बिंदुओं के प्रत्येक जोड़े के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। आपको कितनी सीधी रेखाएँ मिलीं?

72. चार रेखाएँ दी गई हैं, जिनमें से प्रत्येक दो प्रतिच्छेद करती हैं। यदि प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु से केवल दो रेखाएँ गुजरती हैं तो इन रेखाओं में कितने प्रतिच्छेदन बिंदु होंगे?

73. जब एक बिंदु से गुजरने वाली तीन रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो कितने अविकसित कोण बनते हैं?

74. बिंदु N खंड MP पर स्थित है। बिंदु M और P के बीच की दूरी 24 सेमी है, और बिंदु N और M के बीच की दूरी बिंदु N और P के बीच की दूरी से दोगुनी है। दूरी ज्ञात करें:

ए) बिंदु एन और पी के बीच;
बी) बिंदु एन और एम के बीच।

75. तीन बिंदु K, L, M एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, KL = 6 सेमी, LM = 10 सेमी दूरी KM क्या हो सकती है? प्रत्येक संभावित मामले के लिए एक चित्र बनाएं।

76. लंबाई a के एक खंड AB को बिंदु P और Q द्वारा तीन खंड AP, PQ और QB में विभाजित किया गया है ताकि AP - 2PQ = 2QB हो। के बीच की दूरी ज्ञात करें:

ए) बिंदु ए और खंड क्यूबी के मध्य;
बी) खंड एपी और क्यूबी के मध्यबिंदु।

77. लंबाई m का एक खंड विभाजित है:

क) तीन बराबर भागों में;
बी) पांच बराबर भागों में।

चरम भागों के मध्य के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

78. 36 सेमी का एक खंड चार असमान भागों में विभाजित है। चरम भागों के केंद्रों के बीच की दूरी 30 सेमी है। मध्य भागों के केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

79. बिंदु A, B और C एक ही रेखा पर स्थित हैं, बिंदु M और N खंड AB और AC के मध्य बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि BC = 2MN है।

80. यह ज्ञात है कि ZAOB = 35°, ZBOC = 50°। कोण AOC ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संभावित मामले के लिए, एक रूलर और चाँदे का उपयोग करके एक चित्र बनाएं।

81. कोण hk 120° के बराबर है, और कोण hm 150° के बराबर है। कोण किमी ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संभावित मामले के लिए एक चित्र बनाएं।

82. आसन्न कोण ज्ञात कीजिए यदि:

a) उनमें से एक दूसरे से 45° बड़ा है;
b) उनका अंतर 35° है।

83. दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक द्वारा बनने वाला कोण ज्ञात कीजिए।

84. सिद्ध कीजिए कि ऊर्ध्वाधर कोणों के समद्विभाजक एक ही सरल रेखा पर स्थित होते हैं।

85. सिद्ध करें कि यदि कोण ABC और CBD के समद्विभाजक लंबवत हैं, तो बिंदु A, B और D एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

86. दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b और एक बिंदु A दिया गया है जो इन रेखाओं पर नहीं है। रेखाएँ m और n बिंदु A से होकर खींची जाती हैं ताकि m⊥a, n⊥b। सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ m और n समान नहीं हैं।

कक्षा 7-9 के छात्रों के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तक के लिए तैयार होमवर्क, लेखक: एल.एस. अतानास्यान, वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव, ई.जी. पॉज़्न्याक, आई.आई. 2015-2016 शैक्षणिक वर्ष के लिए युडिना, प्रोस्वेशचेनी प्रकाशन गृह।

दोस्तों, कक्षा 7-9 में आप ज्यामिति जैसे दिलचस्प विषय का अध्ययन करेंगे। भविष्य में इस पाठ को समझने में समस्याओं से बचने के लिए आपको शुरू से ही कड़ी मेहनत करने की आवश्यकता है।

पिछली कक्षाओं में आप कुछ से पहले ही परिचित हो चुके हैं ज्यामितीय आकार. इस चर्चा में आप इस न्यूनतम ज्ञान का विस्तार करेंगे। पूरे पाठ्यक्रम को दो खंडों में विभाजित किया गया है: प्लैनिमेट्री और स्टीरियोमेट्री। ग्रेड 7 और 8 में आप समतल पर आकृतियाँ देखेंगे - यह प्लैनिमेट्री पर एक अनुभाग है। 9वीं कक्षा में, अंतरिक्ष में आकृतियों के गुण - स्टीरियोमेट्री।

अक्सर ऐसी स्थिति उत्पन्न हो जाती है जब स्थिति के आधार पर ऐसा करना संभव नहीं होता है सही चित्रण, अंतरिक्ष में सभी विवरण बनाएं और फिर ज्यामिति आपके लिए एक जबरदस्त विषय की तरह लगती है। यदि आपको ऐसी कठिनाइयाँ होने लगती हैं, तो हम ग्रेड 7-9 एल.एस. के लिए हमारे ज्यामिति परीक्षण का उपयोग करने की सलाह देते हैं। अतानास्यान, जो नीचे पोस्ट किया गया है।

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1. दो खंडों का अनुपात क्या कहलाता है?

2. वे किस मामले में कहते हैं कि खंड एबी और सीडी खंड ए 1 बी 1 और सी 1 डी 1 के समानुपाती हैं?

3. समरूप त्रिभुजों को परिभाषित करें।

4. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें।

5. त्रिभुजों की समरूपता के प्रथम चिह्न को व्यक्त करने वाला एक प्रमेय बनाइए तथा सिद्ध कीजिए।

6. त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरा मानदंड व्यक्त करने वाला एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें।

7. त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरे मानदंड को व्यक्त करने वाला एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें।

8. किस खंड को त्रिभुज की मध्य रेखा कहा जाता है? त्रिभुज की मध्य रेखा के बारे में प्रमेय बताएं और सिद्ध करें।

9. सिद्ध करें कि त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो शीर्ष से गिनती करते हुए प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है।

10. यह कथन तैयार करें और सिद्ध करें कि शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई समकोण, एक त्रिभुज को समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है।

11. एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंडों के बारे में कथन बताएं और सिद्ध करें।

12. समानता विधि का उपयोग करके किसी निर्माण समस्या को हल करने का एक उदाहरण दीजिए।

13. हमें बताएं कि जमीन पर किसी वस्तु की ऊंचाई और किसी दुर्गम बिंदु की दूरी कैसे निर्धारित करें।

14. स्पष्ट करें कि कौन सी दो आकृतियाँ समान कहलाती हैं। आकृतियों का समानता गुणांक क्या है?

15. समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा को क्या कहते हैं?

16. सिद्ध करें कि यदि एक समकोण त्रिभुज का न्यूनकोण बराबर होता है तेज़ कोनाएक और समकोण त्रिभुज है, तो इन कोणों की ज्याएँ बराबर हैं, इन कोणों की कोज्याएँ बराबर हैं और इन कोणों की स्पर्शरेखाएँ बराबर हैं।

17. किस समानता को मूल त्रिकोणमितीय पहचान कहा जाता है?

18. 30°, 45°, 60° के कोणों के लिए ज्या, कोज्या तथा स्पर्शज्या का मान क्या है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध करें।

अतिरिक्त काम

604. त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 समरूप हैं, AB = 6 सेमी, BC - 9 सेमी, C A = 10 सेमी। त्रिभुज A 1 B 1 C 1 की सबसे बड़ी भुजा 7.5 सेमी है त्रिभुज A 1 B 1 C 1 .

605. समलम्ब चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC इसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि AC 2 = a b, जहाँ a और b समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं।

606. त्रिभुज MNP के समद्विभाजक MD और NK बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि MN = 5 सेमी, NP = 3 सेमी, MP = 7 सेमी है तो संबंध OK: ON ज्ञात करें।

607. एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार भुजा से 4:3 के अनुपात में संबंधित है, और आधार पर खींची गई ऊंचाई 30 सेमी है। उन खंडों को खोजें जिनमें आधार पर कोण का समद्विभाजक इस ऊंचाई को विभाजित करता है।

608. आधार AB के साथ समद्विबाहु त्रिभुज AO B की पार्श्व भुजा OB की निरंतरता पर, बिंदु C लिया जाता है ताकि बिंदु B बिंदु O और C के बीच स्थित हो। खंड AC, कोण AOB के समद्विभाजक को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है। साबित करें कि AM< МС.

609. बिंदु D को त्रिभुज ABC की भुजा BC पर लिया गया है ताकि सिद्ध हो सके कि AD त्रिभुज ABC का समद्विभाजक है।

610. त्रिभुज ABC की भुजा AB के समानांतर एक सीधी रेखा भुजा AC को शीर्ष A से गिनती करते हुए 2:7 के अनुपात में विभाजित करती है। कटे हुए त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करें यदि AB = 10 सेमी, BC = 18 सेमी, CA = 21.6 सेमी है।

611. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC की माध्यिका AM भुजा BC के समानांतर किसी भी खंड को समद्विभाजित करती है जिसके सिरे भुजा AB और AC पर स्थित हैं।

612. दो ध्रुव AB और CD अलग-अलग लंबाईए और बी एक दूसरे से एक निश्चित दूरी पर लंबवत रूप से स्थापित हैं जैसा कि चित्र 210 में दिखाया गया है। ए और डी, बी और सी के सिरे रस्सियों से जुड़े हुए हैं जो बिंदु ओ पर प्रतिच्छेद करते हैं। चित्र के आधार पर, साबित करें कि:

x ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि x ध्रुव AB और CD के बीच की दूरी d पर निर्भर नहीं करता है।

चावल। 210

613. सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 समरूप हैं यदि:

ए) , जहां वीएम और बी 1 एम 1 त्रिभुजों की माध्यिकाएं हैं;

बी) ∠ए = ∠ए 1, , जहां ВН और В 1 Н 1 त्रिभुज АВС और A 1 B 1 C 1 की ऊंचाइयां हैं।

614. समकोण A वाले आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं। आधार AB 6 सेमी है और भुजा AD 4 सेमी है। DC, DB और CB ज्ञात कीजिए।

615.* एक समलम्ब चतुर्भुज के किनारों पर सिरों वाला एक खंड इसके आधारों के समानांतर है और विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है। यदि समलम्ब चतुर्भुज का आधार a और b के बराबर है तो इस खंड की लंबाई ज्ञात करें।

616. सिद्ध करें कि किसी त्रिभुज के शीर्ष उसकी मध्य रेखा वाली रेखा से समान दूरी पर होते हैं।

617. सिद्ध करें कि समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु एक आयत के शीर्ष हैं।

618. बिंदु M और N क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं CD और BC के मध्य बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ AM और AN विकर्ण BD को तीन बराबर भागों में विभाजित करती हैं।

619. त्रिभुज ABC के शीर्ष A पर बाह्य कोण का समद्विभाजक रेखा BC को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए।

620. त्रिभुज ABC (AB≠ AC) में, भुजा BC के मध्य से कोण A के समद्विभाजक के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, जो रेखाओं AB और AC को क्रमशः बिंदु D और E पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि BD = CE .

621. आधार AD और BC वाले समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, आधारों का योग b है, विकर्ण AC a है, ∠ACB = α है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

622. समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AD पर बिंदु K इस प्रकार अंकित है कि AK = 1/4 KD है। विकर्ण AC और खंड B K बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि त्रिभुज ARK का क्षेत्रफल 1 सेमी 2 है तो समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

623. आधार AD और BC वाले एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD में ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, BC = 4 सेमी, AD = 16 सेमी है। समलम्ब चतुर्भुज के कोण C और D ज्ञात कीजिए।

624. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ इसे छह त्रिभुजों में विभाजित करती हैं जिनके क्षेत्रफल जोड़ीवार बराबर होते हैं।

625. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज ABCD का आधार AD, आधार BC से 5 गुना बड़ा है। ऊंचाई BH विकर्ण AC को बिंदु M पर काटती है, त्रिभुज AMN का क्षेत्रफल 4 सेमी 2 है। समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

626. सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 समरूप हैं यदि जहाँ AD और A 1 D 1 त्रिभुजों के समद्विभाजक हैं।

निर्माण कार्य

627. एक त्रिभुज ABC दिया गया है। त्रिभुज ABC के समान एक त्रिभुज A1B1C1 की रचना कीजिए, जिसका क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का दोगुना है।

628. तीन खंड दिए गए हैं, जिनकी लंबाई क्रमशः a, b और c के बराबर है। एक खंड का निर्माण करें जिसकी लंबाई के बराबर हो।

629. एक त्रिभुज की रचना करें यदि उसकी भुजाओं के मध्यबिंदु दिए गए हों।

630. एक भुजा और अन्य दो भुजाओं पर खींची गई माध्यिकाओं का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करें।

समस्याओं के उत्तर

1 अपने भौतिकी पाठ्यक्रम से ज्ञात सदिश राशियों के उदाहरण दीजिए।

2 एक वेक्टर को परिभाषित करें. बताएं कि किस वेक्टर को शून्य कहा जाता है।

3 एक गैर-शून्य वेक्टर की लंबाई क्या है? शून्य वेक्टर की लंबाई क्या है?

4 किन सदिशों को संरेख कहा जाता है? चित्र में सह-दिशात्मक सदिश और विपरीत दिशा वाले सदिश बनाएं।

5 समान सदिशों को परिभाषित करें।

6 अभिव्यक्ति का अर्थ स्पष्ट करें: "वेक्टर बिंदु ए से विलंबित है।" साबित करें कि किसी भी बिंदु से आप दिए गए वेक्टर के बराबर और केवल एक ही वेक्टर प्लॉट कर सकते हैं।

7 स्पष्ट करें कि किस सदिश को दो सदिशों का योग कहा जाता है। दो सदिशों को जोड़ने का त्रिभुज नियम क्या है?

8 साबित करें कि किसी भी वेक्टर के लिए समानता है

9 सदिश योग के नियमों के बारे में एक प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें।

10 दो असंरेख सदिशों को जोड़ने के लिए समांतर चतुर्भुज नियम क्या है?

11 अनेक सदिशों को जोड़ने का बहुभुज नियम क्या है?

12 दो सदिशों का अंतर किस सदिश को कहते हैं? दिए गए दो सदिशों का अंतर ज्ञात कीजिए।

13 कौन सा वेक्टर इसके विपरीत कहलाता है? वेक्टर अंतर प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें।

14 किसी सदिश और दी गई संख्या का गुणनफल किस सदिश को कहा जाता है?

15 उत्पाद किसके बराबर है

16 क्या सदिश असंरेखी हो सकते हैं?

17 किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के मूल गुण तैयार करें।

18 ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए सदिशों के उपयोग का एक उदाहरण दीजिए।

19 किस खण्ड को समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा कहा जाता है?

20 समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के बारे में प्रमेय बताएं और सिद्ध करें।

अध्याय IX के लिए अतिरिक्त कार्य

800. साबित करें कि यदि वेक्टर सह-दिशात्मक हैं, तो और यदि वे विपरीत दिशा में निर्देशित हैं, और फिर

801. सिद्ध करें कि असमानताएँ किसी भी सदिश के लिए मान्य हैं

802. त्रिभुज ABC की भुजा BC पर, बिंदु N अंकित किया गया है ताकि BN = 2NC हो। सदिश को सदिश के रूप में व्यक्त करें

803. त्रिभुज MNP की भुजाओं MN और NP पर क्रमशः बिंदु X और Y अंकित हैं

804. समलम्ब चतुर्भुज ABCD का आधार AD, आधार BC से तीन गुना बड़ा है। AD की ओर एक बिंदु K इस प्रकार है सदिशों को सदिशों के रूप में व्यक्त करें

805. तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार स्थित हैं कि सिद्ध करें कि किसी भी बिंदु O के लिए समानता सत्य है

806. बिंदु C, बिंदु A से गिनती करते हुए, खंड AB को m: n के अनुपात में विभाजित करता है। साबित करें कि किसी भी बिंदु O के लिए समानता सत्य है