यदि सभी भुजाएँ ज्ञात हों तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करें: सभी अवसरों के लिए सूत्र

(एस) ट्रेपेज़ॉइड, समानांतर भुजाओं की लंबाई का आधा योग ज्ञात करके ऊंचाई (एच) की गणना करना शुरू करें: (ए+बी)/2। फिर क्षेत्र को परिणामी मान से विभाजित करें - परिणाम वांछित मान होगा: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b)।

केंद्र रेखा की लंबाई (एम) और क्षेत्र (एस) जानकर, आप पिछले चरण से सूत्र को सरल बना सकते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा उसके आधारों के आधे योग के बराबर होती है, इसलिए आकृति की ऊंचाई (एच) की गणना करने के लिए, बस क्षेत्र को मध्य रेखा की लंबाई से विभाजित करें: एच = एस/एम।

ऐसी चीज़ की ऊँचाई (h) निर्धारित करना संभव है यदि केवल एक भुजा (c) की लंबाई और उससे बनने वाला कोण (α) और लंबा आधार दिया गया हो। इस मामले में, किसी को इस तरफ से बने आकार, ऊंचाई और आधार के छोटे खंड पर विचार करना चाहिए, जो उस पर कम ऊंचाई से कट जाता है। यह त्रिभुज समकोण होगा ज्ञात पार्टीइसमें कर्ण होगा और ऊंचाई पैर होगी। लंबाई और कर्ण का अनुपात पैर के विपरीत कोण के बराबर है, इसलिए ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई की गणना करने के लिए, ज्ञात कोण की ज्या से भुजा की ज्ञात लंबाई को गुणा करें: h = с*sin(α)।

यदि भुजा (c) की लंबाई और उसके और दूसरे (छोटे) आधार के बीच के कोण (β) का परिमाण दिया गया हो तो वही त्रिभुज विचार करने योग्य है। इस मामले में, भुजा (कर्ण) और ऊंचाई (पैर) के बीच का कोण शर्तों से ज्ञात कोण से 90° कम होगा: β-90°। चूंकि पैर और कर्ण की लंबाई का अनुपात उनके बीच के कोण के कोसाइन के बराबर है, इसलिए 90° से कम किए गए कोण के कोसाइन को भुजा की लंबाई से गुणा करके ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई की गणना करें: h = с* cos(β-90°).

यदि ज्ञात त्रिज्या (आर) का एक वृत्त अंकित है, तो ऊंचाई (एच) की गणना करना बहुत सरल होगा और किसी अन्य पैरामीटर की आवश्यकता नहीं होगी। परिभाषा के अनुसार, ऐसे वृत्त के प्रत्येक आधार पर केवल एक बिंदु होना चाहिए, और ये बिंदु केंद्र के साथ एक ही रेखा पर स्थित होंगे। इसका मतलब यह है कि उनके बीच की दूरी आधारों के लंबवत खींचे गए व्यास (त्रिज्या का दोगुना) के बराबर होगी, यानी, ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के साथ मेल खाती है: h=2*r।

समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो नहीं। ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई दो समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत खींचा गया एक खंड है। स्रोत डेटा के आधार पर, इसकी गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है।

आपको चाहिये होगा

• किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं, आधारों, मध्य रेखा और वैकल्पिक रूप से उसके क्षेत्रफल और/या परिधि का ज्ञान।

निर्देश

मान लीजिए कि चित्र 1 के समान डेटा वाला एक ट्रेपोजॉइड है। आइए 2 ऊंचाइयां बनाएं, हमें मिलता है, जिसमें समकोण त्रिभुज के पैरों के पास 2 छोटी भुजाएं हैं। आइए हम छोटे रोल को x के रूप में निरूपित करें। वह अंदर है

ज्यामिति उन विज्ञानों में से एक है जिसका अभ्यास में लोग लगभग हर दिन सामना करते हैं। विविधता के बीच ज्यामितीय आकारट्रैपेज़ॉइड भी विशेष ध्यान देने योग्य है। यह चार भुजाओं वाली एक उत्तल आकृति है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं। उत्तरार्द्ध को आधार कहा जाता है, और शेष दो को भुजाएँ कहा जाता है। आधारों के लंबवत खंड और उनके बीच के अंतर के आकार का निर्धारण ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई होगी। आप इसकी लंबाई की गणना कैसे कर सकते हैं?

एक मनमाने समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, किसी आकृति की ऊंचाई निर्धारित करना कई तरीकों से संभव है।

ज्ञात क्षेत्र

यदि समानांतर भुजाओं की लंबाई ज्ञात है, और आकृति का क्षेत्रफल भी दर्शाया गया है, तो वांछित लंबवत निर्धारित करने के लिए, आप निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

एस=एच*(ए+बी)/2,
एच - वांछित मूल्य (ऊंचाई),
एस – आकृति का क्षेत्रफल,
a और b एक दूसरे के समानांतर भुजाएँ हैं।
उपरोक्त सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि h=2S/(a+b).

मध्य रेखा का मान ज्ञात है

यदि प्रारंभिक डेटा के बीच, ट्रेपेज़ॉइड (एस) के क्षेत्र के अलावा, इसकी मध्य रेखा (एल) की लंबाई भी ज्ञात है, तो गणना के लिए एक और सूत्र उपयोगी है। सबसे पहले, यह स्पष्ट करना ज़रूरी है कि इस प्रकार के चतुर्भुज के लिए मध्य रेखा क्या है। यह शब्द आकृति के पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के भाग को परिभाषित करता है।

समलम्बाकार गुण के आधार पर l=(a+b)/2,
एल - मध्य रेखा,
ए, बी - चतुर्भुज की आधार भुजाएँ।
इसलिए h=2S/(a+b)=S/l.

आकृति की 4 भुजाएँ ज्ञात हैं

इस मामले में, पाइथागोरस प्रमेय मदद करेगा। लंबों को बड़े आधार पक्ष पर नीचे करके, इसका उपयोग दो परिणामी समकोण त्रिभुजों के लिए करें। अंतिम अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखेगी:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

सी और डी - 2 अन्य पक्ष।

आधार पर कोण

यदि आपके पास आधार कोणों पर डेटा है, तो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग करें।

एच = सी* पापα = डी* पापβ,

α और β चतुर्भुज के आधार पर बने कोण हैं,
c और d इसकी भुजाएँ हैं।

किसी आकृति के विकर्ण और उन्हें प्रतिच्छेद करने वाले कोण

विकर्ण की लंबाई आकृति के विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। आइए हम इन मात्राओं को प्रतीकों d1 और d2 से और उनके बीच के कोणों को γ और φ से निरूपित करें। तब:

एच = (डी1*डी2)/(ए+बी) पाप γ = (डी1*डी2)/(ए+बी) पापφ,

एच = (डी1*डी2)/2एल पाप γ = (डी1*डी2)/2एल पापφ,

a और b आकृति की आधार भुजाएँ हैं,
d1 और d2 समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण हैं,
γ और φ विकर्णों के बीच के कोण हैं।

आकृति की ऊँचाई और उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या

इस प्रकार के वृत्त की परिभाषा के अनुसार, यह प्रत्येक आधार को 1 बिंदु पर स्पर्श करता है, जो एक सीधी रेखा का हिस्सा है। इसलिए, उनके बीच की दूरी व्यास है - आकृति की वांछित ऊंचाई। और चूँकि व्यास त्रिज्या का दोगुना है, तो:

एच = 2 * आर,
r उस वृत्त की त्रिज्या है जो इस समलंब में अंकित है।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

• जैसा कि सूत्रीकरण से पता चलता है, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की एक विशिष्ट विशेषता इसके पार्श्व पक्षों की समानता है। इसलिए, किसी आकृति की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, उस स्थिति में इस मान को निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें जब समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ ज्ञात हों।

तो, यदि c = d, तो h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b - चतुर्भुज की आधार भुजाएँ,
सी = डी - इसकी भुजाएँ।

• यदि दो भुजाओं (आधार और भुजा) से बने कोण हैं, तो समलंब की ऊंचाई निम्नलिखित अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है:

एच = सी* पापα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α - आकृति के आधार पर कोण,
ए, बी (ए< b) – основания фигуры,
सी = डी - इसकी भुजाएँ।

• यदि आकृति के विकर्णों का मान दिया गया हो, तो आकृति की ऊंचाई ज्ञात करने का व्यंजक बदल जाएगा, क्योंकि डी1 = डी2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

पिछले वर्ष की एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षा के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएँ कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में आप समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र, साथ ही समाधान वाली समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। प्रमाणन परीक्षाओं के दौरान या ओलंपियाड में आपको केआईएम में ये चीजें मिल सकती हैं। इसलिए, उनके साथ सावधानी से व्यवहार करें।

ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

आरंभ करने के लिए, आइए इसे याद रखें चतुर्भुजचतुर्भुज को चतुर्भुज कहा जाता है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, जिन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर होती हैं, और अन्य दो नहीं होती हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई (आधार से लंबवत) को भी कम किया जा सकता है। मध्य रेखा खींची जाती है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, न्यून और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

सबसे पहले, आइए एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के मानक सूत्रों को देखें। हम नीचे समद्विबाहु और वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

तो, कल्पना करें कि आपके पास आधार ए और बी के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसमें ऊंचाई एच को बड़े आधार से कम किया गया है। इस मामले में किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना नाशपाती के गोले जितना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

चलिए एक और मामला लेते हैं: मान लीजिए कि एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊंचाई के अलावा, एक मध्य रेखा एम है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को उचित रूप से सरल बना सकते हैं निम्न प्रकार: एस = एम*एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको केंद्र रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें: ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण डी 1 और डी 2 हैं, जो समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के गुणनफल को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को उनके बीच के कोण के पाप से गुणा करना होगा: एस= 1/2डी 1 डी 2 *sinα.

अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके सभी पक्षों की लंबाई के अलावा इसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है: ए, बी, सी और डी। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा: एस = 1/2(ए + बी) * √सी 2 - ((1/2(बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सत्य हैं जब आपको एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसका किनारा समकोण पर आधारों से जुड़ता है।

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाता है। हम समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र के लिए कई विकल्पों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पक्ष और बड़ा आधार बनता है तेज़ कोनेα. एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: अंकित वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और इसे पाप से विभाजित करें: S = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र उस विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और किनारे के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8आर2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज लेते हैं, जिसमें विकर्ण d 1 और d 2 के अलावा ऊँचाई h भी खींची जाती है। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, आपके लिए पहले से परिचित समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को इस रूप में बदलना आसान है: एस = एच 2.

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की कल्पना करें जो x-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर चिह्न नहीं बदलता है। एक वक्रीय समलम्बाकार फलन y = f(x) के ग्राफ द्वारा बनता है - शीर्ष पर, x अक्ष नीचे (खंड) पर है, और किनारों पर - बिंदु a और b और ग्राफ के बीच खींची गई सीधी रेखाएँ हैं कार्यक्रम।

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको आवेदन करना होगा गणितीय विश्लेषणऔर अभिन्न का उपयोग करें. अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और क्षेत्र घुमावदार समलम्बाकारकिसी दिए गए खंड पर प्रतिअवकलन की वृद्धि से मेल खाती है।

नमूना समस्याएँ

इन सभी सूत्रों को आपके दिमाग में समझना आसान बनाने के लिए, यहां समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही प्राप्त उत्तर की तुलना तैयार समाधान से करें।

कार्य 1:एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी।

समाधान: एक समलम्ब चतुर्भुज AMRS का निर्माण करें। शीर्ष P से होकर एक सीधी रेखा РХ खींचिए ताकि वह विकर्ण MC के समानांतर हो और सीधी रेखा AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करे। आपको एक त्रिभुज APХ मिलेगा।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMRX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MR = 4 सेमी। जहाँ से हम त्रिभुज ARX की भुजा AX की गणना कर सकते हैं: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 सेमी।

हम यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज APX समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 = AP 2 + PX 2 लागू करें)। और इसके क्षेत्रफल की गणना करें: एस एपीएक्स = 1/2(एपी * पीएक्स) = 1/2(9 * 12) = 54 सेमी 2।

आगे आपको यह सिद्ध करना होगा कि त्रिभुज AMP और PCX क्षेत्रफल में बराबर हैं। आधार एमआर और सीएक्स (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पार्टियों की समानता होगी। और इन किनारों पर आप जो ऊंचाई कम करते हैं - वे एएमआरएस ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको यह कहने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

कार्य #2:समलम्बाकार KRMS दिया गया है। इसके पार्श्व पक्षों पर बिंदु O और E हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्बाकार ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है। आरएम = ए और केएस = बी। आपको OE ढूंढ़ना होगा.

समाधान: बिंदु M के माध्यम से RK के समानांतर एक रेखा खींचें, और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट करें। A, आधार KS के साथ RK के समानांतर बिंदु E के माध्यम से खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। और त्रिभुज TME के ​​लिए ऊँचाई h 1 और त्रिभुज AEC के लिए ऊँचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता साबित कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. समलम्ब चतुर्भुज ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) है। आइए दोनों प्रविष्टियों को संयोजित करें और प्राप्त करें: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

इस प्रकार, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6।

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा के प्रश्नों का सामना कर सकते हैं। तैयारी में थोड़ी सी दृढ़ता दिखाने के लिए यह काफी है। और, निःसंदेह, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी करते समय और सामग्री को दोहराते समय उनका उपयोग कर सकें।

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समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आमतौर पर एक गणित शिक्षक इसकी गणना करने के कई तरीकों को जानता है, आइए उन पर अधिक विस्तार से नज़र डालें:
1) , जहां AD और BC आधार हैं, और BH समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। प्रमाण: विकर्ण BD खींचिए और त्रिभुज ABD और CDB के क्षेत्रफलों को उनके आधारों और ऊँचाइयों के आधे गुणनफल के माध्यम से व्यक्त कीजिए:

, जहां डीपी बाहरी ऊंचाई है

आइए इन समानताओं को पद दर पद जोड़ें और यह ध्यान में रखते हुए कि ऊँचाई BH और DP बराबर हैं, हम प्राप्त करते हैं:

आइए इसे कोष्ठक से बाहर रखें

क्यू.ई.डी.

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपफल:
चूंकि आधारों का आधा योग एमएन के बराबर है - ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा, तो

2) आवेदन सामान्य सूत्रएक चतुर्भुज का क्षेत्रफल.
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किए गए विकर्णों के आधे उत्पाद के बराबर होता है
इसे सिद्ध करने के लिए, समलम्ब चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करना पर्याप्त है, प्रत्येक के क्षेत्रफल को "विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या" के रूप में व्यक्त करें (कोण के रूप में लिया गया, परिणामी जोड़ें) अभिव्यक्ति, उन्हें कोष्ठक से बाहर निकालें और अभिव्यक्ति की समानता प्राप्त करने के लिए समूहीकरण विधि का उपयोग करके इस कोष्ठक का गुणनखंड करें

3) विकर्ण शिफ्ट विधि
यह मेरा नाम है। किसी गणित शिक्षक को स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में ऐसा शीर्षक नहीं मिलेगा। तकनीक का विवरण केवल अतिरिक्त में ही पाया जा सकता है पाठ्यपुस्तकेंकिसी समस्या को हल करने के उदाहरण के रूप में। मैं ध्यान देता हूं कि अधिकांश दिलचस्प और उपयोगी तथ्यप्लैनिमेट्री गणित के शिक्षक प्रदर्शन की प्रक्रिया में छात्रों को बताते हैं व्यावहारिक कार्य. यह अत्यंत उप-इष्टतम है, क्योंकि छात्र को उन्हें अलग-अलग प्रमेयों में अलग करने और उन्हें "" नाम देने की आवश्यकता है। बड़े नाम" इनमें से एक है "विकर्ण शिफ्ट"। किस बारे मेँ हम बात कर रहे हैं?आइए शीर्ष B से होकर AC के समानांतर एक रेखा खींचें जब तक कि यह बिंदु E पर निचले आधार के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। इस मामले में, चतुर्भुज EBCA एक समांतर चतुर्भुज होगा (परिभाषा के अनुसार) और इसलिए BC=EA और EB=AC। पहली समानता अब हमारे लिए महत्वपूर्ण है. हमारे पास है:

ध्यान दें कि त्रिभुज BED, जिसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है, में कई और उल्लेखनीय गुण हैं:
1) इसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है
2) इसका समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के समद्विबाहु के साथ ही होता है
3) शीर्ष B पर इसका ऊपरी कोण समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण के बराबर है (जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है)
4) इसकी माध्यिका BK समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी QS के बराबर है। मुझे हाल ही में इस संपत्ति के उपयोग का सामना करना पड़ा जब मैं टकाचुक की पाठ्यपुस्तक, 1973 संस्करण (समस्या पृष्ठ के नीचे दी गई है) का उपयोग करके मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में मैकेनिक्स और गणित के लिए एक छात्र को तैयार कर रहा था।

गणित शिक्षक के लिए विशेष तकनीकें।

कभी-कभी मैं समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बहुत ही पेचीदा तरीके का उपयोग करके समस्याएँ प्रस्तावित करता हूँ। मैं इसे एक विशेष तकनीक के रूप में वर्गीकृत करता हूं क्योंकि व्यवहार में शिक्षक इनका उपयोग बहुत ही कम करते हैं। यदि आपको केवल भाग बी में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो आपको उनके बारे में पढ़ने की ज़रूरत नहीं है। दूसरों के लिए, मैं आपको आगे बताऊंगा। इससे पता चलता है कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोगुना है अधिक क्षेत्रफलएक त्रिभुज जिसके एक सिरे पर शीर्ष और दूसरी भुजा के मध्य में शीर्ष हों, अर्थात् चित्र में ABS त्रिभुज:
प्रमाण: त्रिभुज BCS और ADS में ऊँचाई SM और SN खींचिए और इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग व्यक्त कीजिए:

चूँकि बिंदु S, CD का मध्यबिंदु है, तो (इसे स्वयं सिद्ध करें) त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करें:

चूँकि यह योग समलम्ब चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर निकला, तो इसका दूसरा भाग। वगैरह।

मैं ट्यूटर के विशेष तकनीकों के संग्रह में इसके किनारों के साथ एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्र की गणना करने का रूप शामिल करूंगा: जहां पी समलंब की अर्ध-परिधि है। मैं सबूत नहीं दूँगा. अन्यथा, आपका गणित शिक्षक बिना नौकरी के रह जाएगा :)। कक्षा में आओ!

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र पर समस्याएँ:

गणित शिक्षक का नोट: नीचे दी गई सूची विषय की पद्धतिगत संगत नहीं है, यह ऊपर चर्चा की गई तकनीकों के आधार पर दिलचस्प कार्यों का एक छोटा सा चयन है।

1) एक समद्विबाहु समलंब का निचला आधार 13 है, और ऊपरी 5 है। यदि इसका विकर्ण भुजा के लंबवत है तो समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसका आधार 2 सेमी और 5 सेमी है, और इसकी भुजाएँ 2 सेमी और 3 सेमी हैं।
3) एक समद्विबाहु समलंब में, बड़ा आधार 11 है, भुजा 5 है, और विकर्ण समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
4) एक समद्विबाहु समलंब का विकर्ण 5 है और मध्य रेखा 4 है। क्षेत्रफल ज्ञात करें।
5) एक समद्विबाहु समलंब में, आधार 12 और 20 हैं, और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें
6) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण इसके निचले आधार के साथ एक कोण बनाता है। यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 6 सेमी है तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 20 है, और इसकी एक भुजा 4 सेमी है, विपरीत भुजा के मध्य से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
8) एक समद्विबाहु समलंब का विकर्ण इसे 6 और 14 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि पार्श्व भुजा 4 है तो ऊंचाई ज्ञात करें।
9) एक ट्रेपेज़ॉइड में, विकर्ण 3 और 5 के बराबर होते हैं, और आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 के बराबर होता है। ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात करें (मेखमत एमएसयू, 1970)।

मैंने सबसे कठिन समस्याओं को नहीं चुना (मैकेनिकल इंजीनियरिंग से डरो मत!) इस उम्मीद के साथ कि मैं उन्हें स्वतंत्र रूप से हल करने में सक्षम होऊंगा। अपने स्वास्थ्य के लिए निर्णय लें! यदि आपको गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो इस प्रक्रिया में भाग लेने के बिना, एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र उत्पन्न हो सकते हैं गंभीर समस्याएंसमस्या B6 के साथ भी और C4 के साथ भी। विषय शुरू न करें और किसी भी कठिनाई के मामले में मदद मांगें। एक गणित शिक्षक आपकी मदद करने में हमेशा प्रसन्न होता है।

कोलपाकोव ए.एन.
मास्को में गणित के शिक्षक, स्ट्रोगिनो में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी.

एक समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी दो भुजाएँ समानांतर हैं (ये समलंब के आधार हैं, चित्र a और b में दर्शाए गए हैं), और अन्य दो नहीं हैं (आकृति AD और CB में)। एक ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई एक खंड h है जो आधारों पर लंबवत खींचा गया है।

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और आधारों की लंबाई के ज्ञात मानों को देखते हुए समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

समलम्ब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल S की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस = ((ए+बी) × एच)/2.

यहां खंड ए और बी ट्रेपेज़ॉइड के आधार हैं, एच ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई है।

इस सूत्र को रूपांतरित करते हुए, हम लिख सकते हैं:

इस सूत्र का उपयोग करके, हम h का मान प्राप्त करते हैं यदि क्षेत्र S और आधार a और b की लंबाई ज्ञात हो।

उदाहरण

यदि यह ज्ञात है कि समलम्बाकार S का क्षेत्रफल 50 सेमी² है, आधार a की लंबाई 4 सेमी है, और आधार b की लंबाई 6 सेमी है, तो ऊँचाई h ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम ज्ञात मात्राओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

एच = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 सेमी

उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 10 सेमी है।

यदि ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल और मध्य रेखा की लंबाई दी गई है तो ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

आइए समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करें:

यहाँ m मध्य रेखा है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

यदि प्रश्न उठता है कि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात की जाए, तो सूत्र यह है:

h = S/m उत्तर होगा।

इस प्रकार, हम क्षेत्र एस और मध्य रेखा खंड एम के ज्ञात मूल्यों को देखते हुए, ट्रेपेज़ॉइड एच की ऊंचाई पा सकते हैं।

उदाहरण

समलम्ब चतुर्भुज m की मध्य रेखा की लंबाई, जो 20 सेमी है, और क्षेत्र S, जो 200 सेमी² है, ज्ञात हैं। आइए समलम्बाकार h की ऊँचाई का मान ज्ञात करें।

S और m के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

एच = 200/20 = 10 सेमी

उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 10 सेमी है

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करें?

यदि एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें समलंब की दो समानांतर भुजाएँ (आधार) हैं। फिर एक विकर्ण एक खंड है जो एक समलंब के कोनों के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है (आकृति में खंड एसी)। यदि समलम्ब चतुर्भुज आयताकार है, तो विकर्ण का उपयोग करके, हम समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करते हैं।

एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड एक ट्रेपेज़ॉइड है जहां एक पक्ष आधारों के लंबवत होता है। इस मामले में, इसकी लंबाई (एडी) ऊंचाई एच के साथ मेल खाती है।

तो, एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड एबीसीडी पर विचार करें, जहां एडी ऊंचाई है, डीसी आधार है, एसी विकर्ण है। आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। कर्ण वर्ग AC सही त्रिकोणएडीसी योग के बराबरइसके पैरों के वर्ग AB और BC हैं।

तब हम लिख सकते हैं:

AC² = AD² + DC².

AD त्रिभुज का पैर, समलंब की पार्श्व भुजा और, साथ ही, इसकी ऊँचाई है। आख़िरकार, खंड AD आधारों पर लंबवत है। इसकी लंबाई होगी:

एडी = √(एसी² - डीसी²)

तो, हमारे पास समलम्ब चतुर्भुज h = AD की ऊंचाई की गणना करने का एक सूत्र है

उदाहरण

यदि एक आयताकार समलम्बाकार (DC) के आधार की लंबाई 14 सेमी है, और विकर्ण (AC) 15 सेमी है, तो हम ऊंचाई (AD - भुजा) का मान प्राप्त करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए कि x एक समकोण त्रिभुज (AD) का अज्ञात पैर है

AC² = AD² + DC² लिखा जा सकता है

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 सेमी

उत्तर: एक आयताकार समलंब (AB) की ऊंचाई √29 सेमी होगी, जो लगभग 5.385 सेमी है

समद्विबाहु समलंब की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

एक समद्विबाहु समलम्बाकार एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं से होकर खींची गई सीधी रेखा समरूपता का अक्ष होगी। एक विशेष मामला एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसके विकर्ण एक दूसरे के लंबवत हैं, तो ऊँचाई h आधारों के योग के आधे के बराबर होगी।

आइए उस मामले पर विचार करें यदि विकर्ण एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं। एक समबाहु (समद्विबाहु) समलम्ब चतुर्भुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं और विकर्णों की लंबाई बराबर होती है। यह भी ज्ञात है कि एक समद्विबाहु समलंब के सभी शीर्ष इस समलंब के चारों ओर खींचे गए वृत्त की रेखा को स्पर्श करते हैं।

आइए ड्राइंग को देखें. एबीसीडी एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। यह ज्ञात है कि समलंब के आधार समानांतर हैं, जिसका अर्थ है कि BC = b, AD = a के समानांतर है, भुजा AB = CD = c है, जिसका अर्थ है कि आधारों पर कोण संगत रूप से बराबर हैं, हम कोण BAQ लिख सकते हैं = सीडीएस = α, और कोण एबीसी = बीसीडी = β. इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिभुज ABQ त्रिभुज SCD के बराबर है, जिसका अर्थ है खंड

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

समस्या की स्थितियों के अनुसार, आधार ए और बी के मान और साइड साइड सी की लंबाई होने पर, हम ट्रेपेज़ॉइड एच की ऊंचाई पाते हैं, जो खंड बीक्यू के बराबर है।

समकोण त्रिभुज ABQ पर विचार करें। VO ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई है, जो आधार AD और इसलिए खंड AQ पर लंबवत है। हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज ABQ की भुजा AQ ज्ञात करते हैं:

एक समकोण त्रिभुज के दो पैरों का मान रखने पर, हम कर्ण BQ = h पाते हैं। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

AB²= AQ² + BQ²

आइए इन कार्यों को प्रतिस्थापित करें:

c² = AQ² + h².

हम एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:

h = √(c²-AQ²).

उदाहरण

एक समद्विबाहु समलंब ABCD दिया गया है, जहां आधार AD = a = 10 सेमी, आधार BC = b = 4 सेमी, और भुजा AB = c = 12 सेमी है। ऐसी परिस्थितियों में, आइए एक उदाहरण देखें कि एक समलंब चतुर्भुज, एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज ABCD की ऊंचाई कैसे ज्ञात की जाए।

आइए ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करके त्रिभुज ABQ की भुजा AQ ज्ञात करें:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3cm.

आइए अब त्रिभुज की भुजाओं के मानों को पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11.6 सेमी.

उत्तर। समद्विबाहु समलंब ABCD की ऊंचाई h 11.6 सेमी है।