गणित में, कई प्रकार के चतुर्भुज ज्ञात हैं: वर्ग, आयत, समचतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज। उनमें से एक समलम्बाकार है - एक प्रकार का उत्तल चतुर्भुज जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो नहीं। समानांतर विपरीत भुजाओं को आधार कहा जाता है, और अन्य दो को समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है। वह खंड जो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है, मध्य रेखा कहलाता है। ट्रेपेज़ॉइड कई प्रकार के होते हैं: समद्विबाहु, आयताकार, वक्ररेखीय। प्रत्येक प्रकार के ट्रेपेज़ॉइड के लिए क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र हैं।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

किसी समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके आधारों की लंबाई और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई आधारों के लंबवत एक खंड है। मान लीजिए कि शीर्ष आधार a है, निचला आधार b है, और ऊँचाई h है। फिर आप सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र S की गणना कर सकते हैं:

एस = ½ * (ए+बी) * एच

वे। आधारों के योग को ऊँचाई से गुणा करके आधा लें।

यदि ऊंचाई और केंद्र रेखा ज्ञात हो तो समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करना भी संभव होगा। आइए मध्य रेखा को निरूपित करें - एम। तब

आइए एक अधिक जटिल समस्या को हल करें: समलम्ब चतुर्भुज की चारों भुजाओं की लंबाई ज्ञात है - ए, बी, सी, डी। फिर सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जाएगा:

यदि विकर्णों की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्र की खोज इस प्रकार की जाती है:

एस = ½ * डी1 * डी2 * पाप α

जहाँ सूचकांक 1 और 2 के साथ d विकर्ण हैं। इस सूत्र में गणना में कोण की ज्या दी गई है।

आधार ए और बी की ज्ञात लंबाई और निचले आधार पर दो कोणों को देखते हुए, क्षेत्र की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एस = ½ * (बी2 - ए2) * (पाप α * पाप β / पाप(α + β))

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज है विशेष मामलासमलम्ब चतुर्भुज। इसका अंतर यह है कि ऐसा समलंब एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें समरूपता की धुरी दो विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरती है। इसकी भुजाएँ बराबर हैं।

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं।

• तीन भुजाओं की लंबाई के माध्यम से. इस मामले में, पक्षों की लंबाई मेल खाएगी, इसलिए उन्हें एक मान द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है - सी, और ए और बी - आधारों की लंबाई:

• यदि ऊपरी आधार की लंबाई, भुजा और निचले आधार पर कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एस = सी * पाप α * (ए + सी * कॉस α)

जहां a शीर्ष आधार है, c भुजा है।

• यदि ऊपरी आधार के बजाय निचले आधार की लंबाई ज्ञात है - बी, तो क्षेत्र की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एस = सी * पाप α * (बी - सी * कॉस α)

• यदि, जब दो आधार और निचले आधार पर कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना कोण की स्पर्शरेखा के माध्यम से की जाती है:

एस = ½ * (बी2 – ए2) * टैन α

• क्षेत्रफल की गणना विकर्णों और उनके बीच के कोण के माध्यम से भी की जाती है। इस मामले में, विकर्णों की लंबाई बराबर होती है, इसलिए हम प्रत्येक को बिना सबस्क्रिप्ट के अक्षर d से निरूपित करते हैं:

एस = ½ * डी2 * पाप α

• आइए, भुजा की लंबाई, केंद्र रेखा और निचले आधार पर कोण को जानकर, समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

मान लीजिए कि भुजा c है, मध्य रेखा m है, और कोण a है, तो:

एस = एम * सी * पाप α

कभी-कभी आप एक समबाहु समलंब में एक वृत्त अंकित कर सकते हैं, जिसकी त्रिज्या r होगी।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त को किसी भी समलंब में अंकित किया जा सकता है यदि आधारों की लंबाई का योग उसकी भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो। फिर क्षेत्रफल को अंकित वृत्त की त्रिज्या और निचले आधार पर कोण के माध्यम से पाया जा सकता है:

एस = 4आर2 / पाप α

वही गणना अंकित वृत्त के व्यास डी का उपयोग करके की जाती है (वैसे, यह ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई से मेल खाता है):

आधार और कोण को जानकर, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एस = ए * बी / पाप α

(यह और इसके बाद के सूत्र केवल खुदे हुए वृत्त वाले समलम्ब चतुर्भुजों के लिए मान्य हैं)।

वृत्त के आधारों और त्रिज्या का उपयोग करके, क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जाता है:

यदि केवल आधार ज्ञात हैं, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

आधारों और पार्श्व रेखा के माध्यम से, अंकित वृत्त के साथ और आधारों और मध्य रेखा के माध्यम से समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल - मी की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसकी एक भुजा आधार से लंबवत हो। इस मामले में, पक्ष की लंबाई ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई से मेल खाती है।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज में एक वर्ग और एक त्रिभुज होता है। प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बाद, परिणाम जोड़ें और प्राप्त करें कुल क्षेत्रफलआंकड़े.

इसके अलावा, एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सामान्य सूत्र एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए उपयुक्त हैं।

• यदि आधारों की लंबाई और ऊंचाई (या लंबवत पक्ष) ज्ञात है, तो क्षेत्र की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एस = (ए + बी) * एच / 2

साइड साइड c, h (ऊंचाई) के रूप में कार्य कर सकता है। तब सूत्र इस प्रकार दिखता है:

एस = (ए + बी) * सी/2

• क्षेत्रफल की गणना करने का दूसरा तरीका केंद्र रेखा की लंबाई को ऊंचाई से गुणा करना है:

या पार्श्व लंबवत पक्ष की लंबाई से:

• गणना करने का अगला तरीका विकर्णों के आधे उत्पाद और उनके बीच के कोण की ज्या के माध्यम से है:

एस = ½ * डी1 * डी2 * पाप α

यदि विकर्ण लंबवत हैं, तो सूत्र सरल हो जाता है:

एस = ½ * डी1 * डी2

• गणना करने का दूसरा तरीका अर्ध-परिधि (दो विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग) और अंकित वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से है।

यह सूत्र आधारों के लिए मान्य है। यदि हम भुजाओं की लंबाई लें, तो उनमें से एक त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी। सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

एस = (2आर + सी) * आर

• यदि एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो क्षेत्रफल की गणना उसी प्रकार की जाती है:

जहाँ m केंद्र रेखा की लंबाई है।

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक वक्ररेखीय समलम्बाकार एक सपाट आकृति है जो एक गैर-नकारात्मक सतत फलन y = f(x) के ग्राफ से घिरी होती है, जो खंड, x-अक्ष और सीधी रेखाओं x = a, x = b पर परिभाषित होती है। अनिवार्य रूप से, इसकी दो भुजाएँ एक दूसरे (आधार) के समानांतर हैं, तीसरी भुजा आधारों के लंबवत है, और चौथा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुरूप एक वक्र है।

वर्ग घुमावदार समलम्बाकारन्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके अभिन्न के माध्यम से खोजें:

इस प्रकार क्षेत्रफल की गणना की जाती है विभिन्न प्रकारसमलम्बाकार। लेकिन, भुजाओं के गुणों के अलावा, समलम्ब चतुर्भुज में कोणों के समान गुण होते हैं। सभी मौजूदा चतुर्भुजों की तरह, एक समलम्ब चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360 डिग्री होता है। और भुजा के निकटवर्ती कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

समलंब चतुर्भुज एक राहत चतुर्भुज है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो गैर-समानांतर होती हैं। यदि किसी चतुर्भुज की सभी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समान्तर हों तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

आपको चाहिये होगा

• - समलम्ब चतुर्भुज की सभी भुजाएँ (AB, BC, CD, DA)।

निर्देश

1. गैर समानांतर दोनों पक्ष ट्रेपेज़ोइड्सपार्श्व भुजाएँ कहलाती हैं, और समानांतर भुजाएँ आधार कहलाती हैं। आधारों के बीच की रेखा, उनके लंबवत - ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स. यदि पार्श्व दोनों पक्ष ट्रेपेज़ोइड्सबराबर होते हैं तो इसे समद्विबाहु कहते हैं। सबसे पहले, आइए इसका समाधान देखें ट्रेपेज़ोइड्स, जो समद्विबाहु नहीं है।

2. बिंदु B से निचले आधार AD तक भुजा के समानांतर रेखाखंड BE खींचें ट्रेपेज़ोइड्ससीडी. क्योंकि BE और CD समानांतर हैं और समानांतर आधारों के बीच खींचे गए हैं ट्रेपेज़ोइड्स BC और DA, तो BCDE एक समांतर चतुर्भुज है, और इसका विपरीत है दोनों पक्षबीई और सीडी बराबर हैं। बीई=सीडी.

3. त्रिभुज ABE को देखें। पक्ष AE की गणना करें. एई=एडी-ईडी। कारण ट्रेपेज़ोइड्स BC और AD ज्ञात हैं, और एक समांतर चतुर्भुज में BCDE विपरीत हैं दोनों पक्षईडी और बीसी बराबर हैं। ईडी=बीसी, तो एई=एडी-बीसी।

4. अब अर्ध-परिधि की गणना करके हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल ज्ञात करें। एस=रूट(पी*(पी-एबी)*(पी-बीई)*(पी-एई))। इस सूत्र में, p त्रिभुज ABE का अर्ध-परिमाप है। पी=1/2*(एबी+बीई+एई)। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप सभी आवश्यक डेटा जानते हैं: एबी, बीई=सीडी, एई=एडी-बीसी।

6. इस सूत्र से त्रिभुज की ऊंचाई व्यक्त करें, जो ऊंचाई भी है ट्रेपेज़ोइड्स. बीएच=2*एस/एई। इसकी गणना करें.

7. यदि ट्रेपेज़ॉइड समद्विबाहु है, तो समाधान को अलग तरीके से निष्पादित किया जा सकता है। त्रिभुज ABH को देखो. यह आयताकार है क्योंकि इसका एक कोना, BHA, दाहिनी ओर है।

8. शीर्ष C से ऊँचाई CF खींचिए।

9. एचबीसीएफ आंकड़े का अध्ययन करें. HBCF आयत, क्योंकि इसमें दो हैं दोनों पक्षऊँचाई हैं, और अन्य दो आधार हैं ट्रेपेज़ोइड्स, अर्थात्, कोण समकोण हैं, और विपरीत हैं दोनों पक्षसमानांतर। इसका मतलब है कि BC=HF.

10. समकोण त्रिभुज ABH और FCD को देखें। ऊंचाई पर कोण BHA और CFD समकोण हैं, और पार्श्व पर कोण समकोण हैं दोनों पक्ष x BAH और CDF बराबर हैं क्योंकि समलम्ब चतुर्भुज ABCD समद्विबाहु है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समरूप हैं। क्योंकि ऊँचाई BH और CF बराबर या पार्श्व हैं दोनों पक्षसमद्विबाहु ट्रेपेज़ोइड्स AB और CD सर्वांगसम हैं, तो समरूप त्रिभुज सर्वांगसम हैं। ताकि वे दोनों पक्षएएच और एफडी भी बराबर हैं।

11. एएच की खोज करें. एएच+एफडी=एडी-एचएफ। क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज से HF=BC, और त्रिभुज AH=FD से, तो AH=(AD-BC)*1/2.

समलम्बाकार - ज्यामितीय आकृति, जो एक चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ, जिन्हें आधार कहा जाता है, समानांतर हैं, और अन्य दो समानांतर नहीं हैं। उन्हें भुजाएँ कहा जाता है ट्रेपेज़ोइड्स. पार्श्व भुजाओं के मध्यबिंदुओं से होकर खींचा गया खंड मध्यरेखा कहलाता है ट्रेपेज़ोइड्स. एक ट्रेपेज़ॉइड की भुजाओं की लंबाई अलग-अलग या समान हो सकती है, इस स्थिति में इसे समद्विबाहु कहा जाता है। यदि एक भुजा आधार पर लंबवत है, तो समलंब आयताकार होगा। लेकिन यह जानना अधिक व्यावहारिक है कि इसका पता कैसे लगाया जाए वर्ग ट्रेपेज़ोइड्स .

आपको चाहिये होगा

• मिलीमीटर डिवीजनों वाला शासक

निर्देश

1. सभी पक्षों को मापें ट्रेपेज़ोइड्स: एबी, बीसी, सीडी और डीए। अपना माप रिकॉर्ड करें.

2. खंड AB पर, मध्य बिंदु K को चिह्नित करें। खंड DA पर, बिंदु L को चिह्नित करें, जो खंड AD के मध्य में भी स्थित है। बिंदु K और L को संयोजित करें, परिणामी खंड KL मध्य रेखा होगी ट्रेपेज़ोइड्सए बी सी डी। खंड केएल को मापें।

3. ऊपर से ट्रेपेज़ोइड्स- C को टॉस करें, खंड CE पर इसके आधार AD पर लंब को नीचे करें। यह ऊंचाई होगी ट्रेपेज़ोइड्सए बी सी डी। खंड CE को मापें.

4. आइए हम खंड केएल को अक्षर एम कहें, और खंड सीई को अक्षर एच कहें वर्गएस ट्रेपेज़ोइड्स ABCD की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: S=m*h, जहां m मध्य रेखा है ट्रेपेज़ोइड्सएबीसीडी, एच - ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्सए बी सी डी।

5. एक और सूत्र है जो आपको गणना करने की अनुमति देता है वर्ग ट्रेपेज़ोइड्सए बी सी डी। निचला आधार ट्रेपेज़ोइड्स- आइए AD को अक्षर b कहें, और ऊपरी आधार BC को अक्षर a कहें। क्षेत्रफल सूत्र S=1/2*(a+b)*h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां a और b आधार हैं ट्रेपेज़ोइड्स, एच - ऊँचाई ट्रेपेज़ोइड्स .

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युक्ति 3: यदि क्षेत्रफल ज्ञात है तो समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी चार में से दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। समांतर भुजाएँ इसका आधार हैं ट्रेपेज़ोइड्स, अन्य दो इसके पार्श्व पक्ष हैं ट्रेपेज़ोइड्स. खोज करना ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्सयदि आप इसका क्षेत्रफल जान लें तो यह बहुत आसान हो जाएगा।

निर्देश

1. हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि प्रारंभिक क्षेत्र की गणना कैसे करें ट्रेपेज़ोइड्स. प्रारंभिक डेटा के आधार पर इसके लिए कई सूत्र हैं: S = ((a+b)*h)/2, जहां a और b आधारों की लंबाई हैं ट्रेपेज़ोइड्स, और h इसकी ऊंचाई (ऊंचाई) है ट्रेपेज़ोइड्स- लंबवत, एक आधार से नीचे उतारा हुआ ट्रेपेज़ोइड्सदूसरे को);S = m*h, जहां m मध्य रेखा है ट्रेपेज़ोइड्स(मध्य रेखा आधारों के समानांतर एक खंड है ट्रेपेज़ोइड्सऔर इसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ना)।

2. अब क्षेत्रफल की गणना के सूत्र जान रहे हैं ट्रेपेज़ोइड्स, ऊंचाई ज्ञात करने के लिए उनसे नए प्राप्त करने की अनुमति है ट्रेपेज़ोइड्स:एच = (2*एस)/(ए+बी);एच = एस/एम।

3. यह स्पष्ट करने के लिए कि समान समस्याओं को कैसे हल किया जाए, आप उदाहरण देख सकते हैं: उदाहरण 1: एक समलंब दिया गया है जिसका क्षेत्रफल 68 सेमी है?, जिसकी मध्य रेखा 8 सेमी है, आपको खोजने की आवश्यकता है ऊंचाईदिया गया ट्रेपेज़ोइड्स. इस समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: h = 68/8 = 8.5 सेमी उत्तर: इसकी ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स 8.5 सेमी है उदाहरण 2: मान लीजिए y ट्रेपेज़ोइड्सक्षेत्रफल 120 सेमी है, आधारों की लंबाई दी गई है ट्रेपेज़ोइड्सक्रमशः 8 सेमी और 12 सेमी के बराबर हैं, इसका पता लगाना आवश्यक है ऊंचाईयह ट्रेपेज़ोइड्स. ऐसा करने के लिए, आपको व्युत्पन्न सूत्रों में से एक को लागू करने की आवश्यकता है:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 सेमीउत्तर: दिए गए की ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स 12 सेमी के बराबर

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ध्यान देना!
किसी भी ट्रेपेज़ॉइड में कई गुण होते हैं: - ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा उसके आधारों के आधे योग के बराबर होती है - जो खंड ट्रेपेज़ॉइड के विकर्णों को जोड़ता है वह उसके आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है; आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खींचा जाता है, फिर यह समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को काटेगा - आप एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित कर सकते हैं यदि किसी दिए गए समलम्ब चतुर्भुज के आधारों का योग उसके योग के बराबर है; समस्याओं को हल करते समय इन गुणों का उपयोग करें।

युक्ति 4: बिंदुओं के निर्देशांक दिए हुए त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

त्रिभुज की ऊंचाई आकृति के शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ने वाली सीधी रेखा खंड है। यह खंड आवश्यक रूप से किनारे पर लंबवत होना चाहिए, इसलिए किसी भी शीर्ष से केवल एक को खींचने की अनुमति है; ऊंचाई. चूँकि इस आकृति में तीन शीर्ष हैं, ऊँचाईयाँ भी समान संख्या में हैं। यदि एक त्रिभुज को उसके शीर्षों के निर्देशांक द्वारा दिया गया है, तो प्रत्येक ऊँचाई की लंबाई की गणना की जा सकती है, उदाहरण के लिए, क्षेत्रफल ज्ञात करने और भुजाओं की लंबाई की गणना करने के सूत्र का उपयोग करके।

निर्देश

1. अपनी गणना इस तथ्य से आगे बढ़ाएँ कि क्षेत्रफल त्रिकोणइसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई और इस ओर नीचे की गई ऊंचाई की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर है। इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऊँचाई ज्ञात करने के लिए आपको आकृति का क्षेत्रफल और भुजा की लंबाई जानने की आवश्यकता है।

2. भुजाओं की लंबाई की गणना करके प्रारंभ करें त्रिकोण. आकृति के शीर्षों के निर्देशांक इस प्रकार निर्दिष्ट करें: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) और C(X?,Y?,Z?)। फिर आप सूत्र AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) का उपयोग करके भुजा AB की लंबाई की गणना कर सकते हैं। अन्य 2 पक्षों के लिए, ये सूत्र इस तरह दिखेंगे: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) और AC = ?(( एक्स ?-एक्स?)? + (वाई?-वाई?)? चलो के लिए कहते हैं त्रिकोणनिर्देशांक A(3,5,7), B(16,14,19) और C(1,2,13) ​​​​के साथ भुजा AB की लंबाई होगी?((3-16)? + (5-14) )? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. एक ही विधि से गणना करने पर भुजाओं BC और AC की लंबाई बराबर होगी?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20.12 और?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. पिछले चरण में प्राप्त 3 भुजाओं की लंबाई जानना क्षेत्रफल की गणना करने के लिए पर्याप्त है त्रिकोण(एस) हेरोन के सूत्र के अनुसार: एस = ? * ?((एबी+बीसी+सीए) * (बीसी+सीए-एबी) * (एबी+सीए-बीसी) * (एबी+बीसी-सीए))। मान लीजिए, निर्देशांक से प्राप्त मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने के बाद त्रिकोण-पिछले चरण से उदाहरण, यह सूत्र निम्नलिखित मान देगा: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ? ?*?75768.55 ? ?*275.26 = 68.815.

4. क्षेत्रफल के आधार पर त्रिकोण, पिछले चरण में गणना की गई, और दूसरे चरण में प्राप्त पक्षों की लंबाई, प्रत्येक पक्ष के लिए ऊंचाई की गणना की गई। क्योंकि क्षेत्रफल ऊंचाई और जिस तरफ इसे खींचा गया है उसकी लंबाई के गुणनफल के आधे के बराबर है, ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, दोगुने क्षेत्रफल को आवश्यक भुजा की लंबाई से विभाजित करें: H = 2*S/a. ऊपर प्रयुक्त उदाहरण के लिए, भुजा AB से नीचे की ऊँचाई 2*68.815/16.09 होगी? 8.55, बीसी साइड की ऊंचाई की लंबाई 2*68.815/20.12 होगी? 6.84, और एसी साइड के लिए यह मान 2*68.815/7 के बराबर होगा? 19.66.

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आमतौर पर एक गणित शिक्षक इसकी गणना करने के कई तरीकों को जानता है, आइए उन पर अधिक विस्तार से नज़र डालें:
1) , जहां AD और BC आधार हैं, और BH समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। प्रमाण: विकर्ण BD खींचिए और त्रिभुज ABD और CDB के क्षेत्रफलों को उनके आधारों और ऊँचाइयों के आधे गुणनफल के माध्यम से व्यक्त कीजिए:

, जहां डीपी बाहरी ऊंचाई है

आइए इन समानताओं को पद दर पद जोड़ें और यह ध्यान में रखते हुए कि ऊँचाई BH और DP बराबर हैं, हम प्राप्त करते हैं:

आइए इसे कोष्ठक से बाहर रखें

क्यू.ई.डी.

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपफल:
चूंकि आधारों का आधा योग एमएन के बराबर है - ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा, तो

2) आवेदन सामान्य सूत्रएक चतुर्भुज का क्षेत्रफल.
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किए गए विकर्णों के आधे उत्पाद के बराबर होता है
इसे सिद्ध करने के लिए, समलम्ब चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करना पर्याप्त है, प्रत्येक के क्षेत्रफल को "विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या" के माध्यम से व्यक्त करें (कोण के रूप में लिया गया, परिणामी भाव जोड़ें, उन्हें कोष्ठक से बाहर निकालें और अभिव्यक्ति की समानता प्राप्त करने के लिए समूहीकरण विधि का उपयोग करके इस कोष्ठक का गुणनखंड करें

3) विकर्ण शिफ्ट विधि
यह मेरा नाम है. किसी गणित शिक्षक को स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में ऐसा शीर्षक नहीं मिलेगा। तकनीक का विवरण केवल अतिरिक्त में ही पाया जा सकता है पाठ्यपुस्तकेंकिसी समस्या को हल करने के उदाहरण के रूप में। मैं ध्यान देता हूं कि अधिकांश दिलचस्प और उपयोगी तथ्यगणित के शिक्षक प्रदर्शन की प्रक्रिया में छात्रों को प्लैनिमेट्री के बारे में बताते हैं व्यावहारिक कार्य. यह अत्यंत उप-इष्टतम है, क्योंकि छात्र को उन्हें अलग-अलग प्रमेयों में अलग करने और उन्हें "" नाम देने की आवश्यकता है। बड़े नाम" इनमें से एक है "विकर्ण शिफ्ट"। किस बारे मेँ हम बात कर रहे हैं?आइए शीर्ष B से होकर AC के समानांतर एक रेखा खींचें जब तक कि यह बिंदु E पर निचले आधार के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। इस मामले में, चतुर्भुज EBCA एक समांतर चतुर्भुज होगा (परिभाषा के अनुसार) और इसलिए BC=EA और EB=AC। पहली समानता अब हमारे लिए महत्वपूर्ण है. हमारे पास है:

ध्यान दें कि त्रिभुज BED, जिसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है, में कई और उल्लेखनीय गुण हैं:
1) इसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है
2) इसका समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के समद्विबाहु के साथ ही होता है
3) शीर्ष B पर इसका ऊपरी कोण समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण के बराबर है (जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है)
4) इसकी माध्यिका BK समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी QS के बराबर है। मुझे हाल ही में इस संपत्ति के उपयोग के बारे में पता चला जब मैं टकाचुक की पाठ्यपुस्तक, 1973 संस्करण (समस्या पृष्ठ के नीचे दी गई है) का उपयोग करके मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में मैकेनिक्स और गणित के लिए एक छात्र को तैयार कर रहा था।

गणित शिक्षक के लिए विशेष तकनीकें।

कभी-कभी मैं समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बहुत ही पेचीदा तरीके का उपयोग करके समस्याएँ प्रस्तावित करता हूँ। मैं इसे एक विशेष तकनीक के रूप में वर्गीकृत करता हूं क्योंकि व्यवहार में शिक्षक इनका उपयोग बहुत ही कम करते हैं। यदि आपको केवल भाग बी में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो आपको उनके बारे में पढ़ने की ज़रूरत नहीं है। दूसरों के लिए, मैं आपको आगे बताऊंगा। इससे पता चलता है कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोगुना हो गया है अधिक क्षेत्रफलएक त्रिभुज जिसके एक सिरे पर शीर्ष और दूसरी भुजा के मध्य में शीर्ष हों, अर्थात् चित्र में ABS त्रिभुज:
प्रमाण: त्रिभुज BCS और ADS में ऊँचाई SM और SN खींचिए और इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग व्यक्त कीजिए:

चूँकि बिंदु S, CD का मध्यबिंदु है, तो (इसे स्वयं सिद्ध करें) आइए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करें:

चूँकि यह योग समलम्ब चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर निकला, तो इसका दूसरा भाग। वगैरह।

ट्यूटर के विशेष तकनीकों के संग्रह में, मैं इसके किनारों के साथ एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्र की गणना करने का रूप शामिल करूंगा: जहां पी समलंब की अर्ध-परिधि है। मैं सबूत नहीं दूँगा. अन्यथा, आपका गणित शिक्षक बिना नौकरी के रह जाएगा :)। कक्षा में आओ!

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र पर समस्याएँ:

गणित शिक्षक का नोट: नीचे दी गई सूची विषय की पद्धतिगत संगत नहीं है, यह ऊपर चर्चा की गई तकनीकों के आधार पर दिलचस्प कार्यों का एक छोटा सा चयन है।

1) एक समद्विबाहु समलंब का निचला आधार 13 है, और ऊपरी 5 है। यदि इसका विकर्ण भुजा के लंबवत है तो समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसका आधार 2 सेमी और 5 सेमी है, और इसकी भुजाएँ 2 सेमी और 3 सेमी हैं।
3) एक समद्विबाहु समलंब में, बड़ा आधार 11 है, भुजा 5 है, और विकर्ण समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
4) एक समद्विबाहु समलंब का विकर्ण 5 है और मध्य रेखा 4 है। क्षेत्रफल ज्ञात करें।
5) एक समद्विबाहु समलंब में, आधार 12 और 20 हैं, और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें
6) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण इसके निचले आधार के साथ एक कोण बनाता है। यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 6 सेमी है तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 20 है, और इसकी एक भुजा 4 सेमी है, विपरीत भुजा के मध्य से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
8) एक समद्विबाहु समलंब का विकर्ण इसे 6 और 14 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि पार्श्व भुजा 4 है तो ऊंचाई ज्ञात करें।
9) एक ट्रेपेज़ॉइड में, विकर्ण 3 और 5 के बराबर होते हैं, और आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 के बराबर होता है। ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात करें (मेखमत एमएसयू, 1970)।

मैंने सबसे कठिन समस्याओं को नहीं चुना (मैकेनिकल इंजीनियरिंग से डरो मत!) इस उम्मीद के साथ कि मैं उन्हें स्वतंत्र रूप से हल करने में सक्षम होऊंगा। अपने स्वास्थ्य के लिए निर्णय लें! यदि आपको गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो इस प्रक्रिया में भाग लेने के बिना, एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र उत्पन्न हो सकते हैं गंभीर समस्याएँसमस्या B6 के साथ भी और C4 के साथ भी। विषय शुरू न करें और किसी भी कठिनाई के मामले में मदद मांगें। एक गणित शिक्षक आपकी मदद करने में हमेशा प्रसन्न होता है।

कोलपाकोव ए.एन.
मास्को में गणित के शिक्षक, स्ट्रोगिनो में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी.

एक समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी दो भुजाएँ समानांतर हैं (ये समलंब के आधार हैं, चित्र a और b में दर्शाए गए हैं), और अन्य दो नहीं हैं (आकृति AD और CB में)। एक ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई एक खंड h है जो आधारों पर लंबवत खींचा गया है।

ट्रैपेज़ॉइड के क्षेत्रफल और आधारों की लंबाई के ज्ञात मानों को देखते हुए ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

समलम्ब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल S की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस = ((ए+बी) × एच)/2.

यहां खंड ए और बी ट्रेपेज़ॉइड के आधार हैं, एच ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई है।

इस सूत्र को रूपांतरित करते हुए, हम लिख सकते हैं:

इस सूत्र का उपयोग करके, हम h का मान प्राप्त करते हैं यदि क्षेत्र S और आधार a और b की लंबाई ज्ञात हो।

उदाहरण

यदि यह ज्ञात है कि समलम्बाकार S का क्षेत्रफल 50 सेमी² है, आधार a की लंबाई 4 सेमी है, और आधार b की लंबाई 6 सेमी है, तो ऊँचाई h ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम ज्ञात मात्राओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

एच = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 सेमी

उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 10 सेमी है।

यदि ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल और मध्य रेखा की लंबाई दी गई है तो ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

आइए समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करें:

यहाँ m मध्य रेखा है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

यदि प्रश्न उठता है कि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात की जाए, तो सूत्र यह है:

h = S/m उत्तर होगा।

इस प्रकार, हम क्षेत्र एस और मध्य रेखा खंड एम के ज्ञात मूल्यों को देखते हुए, ट्रेपेज़ॉइड एच की ऊंचाई पा सकते हैं।

उदाहरण

समलम्ब चतुर्भुज m की मध्य रेखा की लंबाई, जो 20 सेमी है, और क्षेत्र S, जो 200 सेमी² है, ज्ञात हैं। आइए समलम्बाकार h की ऊँचाई का मान ज्ञात करें।

S और m के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

एच = 200/20 = 10 सेमी

उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 10 सेमी है

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

यदि एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें समलंब की दो समानांतर भुजाएँ (आधार) हैं। फिर एक विकर्ण एक खंड है जो एक समलंब के कोनों के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है (आकृति में खंड एसी)। यदि समलम्ब चतुर्भुज आयताकार है, तो विकर्ण का उपयोग करके, हम समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करते हैं।

एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड एक ट्रेपेज़ॉइड है जहां एक पक्ष आधारों के लंबवत होता है। इस मामले में, इसकी लंबाई (एडी) ऊंचाई एच के साथ मेल खाती है।

तो, एक आयताकार समलंब ABCD पर विचार करें, जहां AD ऊंचाई है, DC आधार है, AC विकर्ण है। आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। कर्ण वर्ग AC सही त्रिकोणएडीसी योग के बराबरइसके पैरों के वर्ग AB और BC हैं।

तब हम लिख सकते हैं:

AC² = AD² + DC².

AD त्रिभुज का पैर, समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजा और, साथ ही, इसकी ऊँचाई है। आख़िरकार, खंड AD आधारों पर लंबवत है। इसकी लंबाई होगी:

एडी = √(एसी² - डीसी²)

तो, हमारे पास समलम्ब चतुर्भुज h = AD की ऊंचाई की गणना करने का एक सूत्र है

उदाहरण

यदि एक आयताकार समलम्बाकार (DC) के आधार की लंबाई 14 सेमी है, और विकर्ण (AC) 15 सेमी है, तो हम ऊंचाई (AD - भुजा) का मान प्राप्त करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए कि x एक समकोण त्रिभुज (AD) का अज्ञात पैर है

AC² = AD² + DC² लिखा जा सकता है

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 सेमी

उत्तर: एक आयताकार समलंब (AB) की ऊंचाई √29 सेमी होगी, जो लगभग 5.385 सेमी है

समद्विबाहु समलंब की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

एक समद्विबाहु समलम्बाकार एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं से होकर खींची गई सीधी रेखा समरूपता का अक्ष होगी। एक विशेष मामला एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसके विकर्ण एक दूसरे के लंबवत हैं, तो ऊँचाई h आधारों के योग के आधे के बराबर होगी।

आइए उस मामले पर विचार करें यदि विकर्ण एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं। एक समबाहु (समद्विबाहु) समलम्ब चतुर्भुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं और विकर्णों की लंबाई बराबर होती है। यह भी ज्ञात है कि एक समद्विबाहु समलंब के सभी शीर्ष इस समलंब के चारों ओर खींचे गए वृत्त की रेखा को स्पर्श करते हैं।

आइए ड्राइंग को देखें. एबीसीडी एक समद्विबाहु समलंब है। यह ज्ञात है कि समलंब के आधार समानांतर हैं, जिसका अर्थ है कि BC = b, AD = a के समानांतर है, भुजा AB = CD = c है, जिसका अर्थ है कि आधारों पर कोण संगत रूप से बराबर हैं, हम कोण BAQ लिख सकते हैं = CDS = α, और कोण ABC = BCD = β. इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिभुज ABQ त्रिभुज SCD के बराबर है, जिसका अर्थ है खंड

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

समस्या की स्थितियों के अनुसार, आधार ए और बी के मान और साइड साइड सी की लंबाई होने पर, हम ट्रेपेज़ॉइड एच की ऊंचाई पाते हैं, जो खंड बीक्यू के बराबर है।

समकोण त्रिभुज ABQ पर विचार करें। VO ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई है, जो आधार AD और इसलिए खंड AQ पर लंबवत है। हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज ABQ की भुजा AQ ज्ञात करते हैं:

एक समकोण त्रिभुज के दो पादों का मान प्राप्त करने पर, हम कर्ण BQ = h ज्ञात करते हैं। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

AB²= AQ² + BQ²

आइए इन कार्यों को प्रतिस्थापित करें:

c² = AQ² + h².

हम एक समद्विबाहु समलंब की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:

h = √(c²-AQ²).

उदाहरण

एक समद्विबाहु समलंब ABCD दिया गया है, जहां आधार AD = a = 10 सेमी, आधार BC = b = 4 सेमी, और भुजा AB = c = 12 सेमी है। ऐसी परिस्थितियों में, आइए एक उदाहरण देखें कि एक समलंब चतुर्भुज, एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज ABCD की ऊंचाई कैसे ज्ञात की जाए।

आइए ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करके त्रिभुज ABQ की भुजा AQ ज्ञात करें:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3cm.

आइए अब त्रिभुज की भुजाओं के मानों को पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11.6 सेमी.

उत्तर। समद्विबाहु समलंब ABCD की ऊंचाई h 11.6 सेमी है।