Hvad er den relative position af linjen og cirklen. Geometri arbejdsark "Relativ position af en linje og en cirkel"

Lad en cirkel og en ret linje være givet på et plan. Lad os slippe en vinkelret fra midten af cirkel C på denne rette linje; lad os betegne med basis af denne vinkelret. Et punkt kan indtage tre mulige positioner i forhold til cirklen: a) ligge uden for cirklen, b) på cirklen, c) inde i cirklen. Afhængigt af dette vil den rette linje indtage en af tre mulige positioner i forhold til cirklen. forskellige bestemmelser beskrevet nedenfor.

a) Lad bunden af den vinkelrette faldet fra centrum C af cirklen til den rette linje en ligge uden for cirklen (fig. 197). Så skærer den lige linje ikke cirklen, alle dens punkter ligger i det ydre område. I det angivne tilfælde fjernes det faktisk fra midten i en afstand, der er større end radius). Desuden, for ethvert punkt M på en ret linje a vi har, det vil sige, at hvert punkt på en given ret linje ligger uden for cirklen.

b) Lad bunden af vinkelret falde på cirklen (fig. 198). Så har lige linje a præcis ét fælles punkt med cirklen. Faktisk, hvis M er et hvilket som helst andet punkt på linjen, så (de skrånende er længere end vinkelret) ligger punktet M i det ydre område. Sådan en linje, som har et enkelt fælles punkt med cirklen, kaldes tangent til cirklen i dette punkt. Lad os vise, at omvendt, hvis en ret linje har et enkelt fælles punkt med en cirkel, så er radius tegnet til dette punkt vinkelret på denne rette linje. Faktisk, lad os slippe en vinkelret fra midten på denne linje. Hvis dens base lå inde i cirklen, ville den rette linje have to fælles punkter med sig, som vist i c). Hvis den lå uden for cirklen, så ville den rette linje i kraft af a) ikke have fælles punkter med cirklen.

Derfor er det tilbage at antage, at vinkelret falder på det fælles punkt på linjen og cirklen - på punktet for deres tangens. Bevist at være vigtig

Sætning. En ret linje, der går gennem et punkt på en cirkel, berører cirklen, hvis og kun hvis den er vinkelret på radius tegnet til det punkt.

Bemærk, at definitionen af en tangent til en cirkel givet her ikke overføres til andre kurver. Mere generel definition tangenten af en ret linje til en buet linje er forbundet med begreberne i teorien om grænser og diskuteres i detaljer i løbet af højere matematik. Her vil vi kun tale om det generelt koncept. Lad en cirkel og punktet A på den blive givet (fig. 199).

Lad os tage endnu et punkt A på cirklen og forbinde begge punkter på den lige linje AA. Lad punkt A, der bevæger sig langs en cirkel, indtage en række nye positioner og nærmer sig mere og mere til punkt A. Den rette linje AA, der roterer rundt om A, indtager en række positioner: i dette tilfælde, når det bevægelige punkt nærmer sig punkt A , har den rette linje tendens til at falde sammen med tangenten AT. Derfor kan vi tale om en tangent som grænsepositionen for en sekant, der passerer igennem dette punkt og et punkt på kurven, der nærmer sig det uden grænser. I denne form er definitionen af en tangent gældende for kurver meget generel opfattelse(Fig. 200).

c) Lad til sidst punktet ligge inde i cirklen (fig. 201). Så . Vi vil overveje skrå cirkler tegnet til lige linje a fra centrum C, hvor baser bevæger sig væk fra punktet i en af to mulige retninger. Længden af den skrånende vil stige monotont, efterhånden som dens base bevæger sig væk fra punktet, denne stigning i længden af den skrånende sker gradvist (“kontinuerligt”) fra værdier tæt på værdier, der er vilkårligt store, derfor synes det klart, at ved en bestemt position af de skrå baser vil deres længde være nøjagtig den samme, vil de tilsvarende punkter K og L på linjen ligge på cirklen.

Relativ placering af en ret linje og en cirkel Lad os finde ud af, hvor mange fælles punkter en ret linje og en cirkel kan have, afhængigt af deres relative position. Det er klart, at hvis en lige linje går gennem midten af en cirkel, så skærer den cirklen i de to ender af diameteren, der ligger på. denne prima.

Lad det være lige r går ikke gennem midten af radiuscirklen r. Lad os tegne en vinkelret HAN til en lige linje r og angive med bogstavet d længden af denne vinkelret, dvs. afstanden fra centrum af denne cirkel til den rette linje (fig. 1) ). Vi undersøger den relative position af en linje og en cirkel afhængig af forholdet mellem d Og r. Der er tre mulige tilfælde.

1) d r fra punkt N læg to segmenter til side PÅ Og NV, længder der er lige store (fig. 1) Ifølge Pythagoras sætning OA=,

0 B= Derfor peger EN Og I ligge på cirklen og er derfor fælles punkter på linjen r og den givne cirkel.

Lad os bevise, at linjen r og denne cirkel har ingen andre fælles punkter. Antag, at de har et mere fælles punkt C. Derefter medianen O.D. ligebenet trekant OAS. båret til basen AC, er højden af denne trekant, så OMDs. Segmenter O.D. Og HAN stemmer ikke overens

siden midten D segment AC passer ikke med en prik N - segmentets midtpunkt , AB. Vi fandt ud af, at to vinkelrette linjer blev trukket fra punkt O: HAN Og OD- til en lige linje p, hvilket er umuligt. Så Hvis afstand afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er mindre end radius af cirklen(d< р), At lige linje og cirkelDer er to fælles punkter. I dette tilfælde kaldes linjen sekant i forhold til cirklen.

2) d=r. I dette tilfælde OH=r, dvs. punkt N ligger på cirklen og er derfor det fælles punkt for linjen og cirklen (fig. 1, b). Lige r og cirklen har ingen andre punkter til fælles, da for noget punkt M direkte r. anderledes end pointen N, OM>OH= r(skrå OM mere vinkelret HAN), og derfor , punkt M ligger ikke på cirklen. Så hvis løbAfstanden fra cirklens centrum til den rette linje er lig med radius, så har den rette linje og cirklen kun ét fælles punkt.

3) d>r I dette tilfælde -ÅH> r Det er derfor . til ethvert punkt M direkte p 0MON.>r( ris . 1,EN) Derfor ligger punkt M ikke på cirklen. Så, .hvis afstanden fra centrum af cirklenHvis afstanden til den rette linje er større end cirklens radius, har den rette linje og cirklen ingen fælles punkter.

Vi har bevist, at en linje og en cirkel kan have et eller to fælles punkter og måske ikke have nogen fælles punkter. En lige linje med en cirkel kun én det fælles punkt kaldes tangenten til cirklen, og deres fællespunktet kaldes linjens og cirklens tangenspunkt. I figur 2 er der en ret linje r- tangent til en cirkel med centrum O, EN- kontaktpunkt.

Lad os bevise sætningen om tangentegenskaben.

Sætning. En tangent til en cirkel er vinkelret Til radius trukket til kontaktpunktet.

Bevis. Lade r- tangent til en cirkel med centrum O. EN- kontaktpunkt (se fig. 2). Lad os bevise det. hvad er tangenten r vinkelret på radius OA.

Lad os antage, at dette ikke er tilfældet. Så radius: OA hælder til en lige linje r. Da vinkelret trukket fra punktet OM til en lige linje p, mindre tilbøjelig OA, derefter afstandene fra centrum OM cirkel til lige linje r mindre end radius. Derfor lige r og cirklen har to fælles punkter. Men dette modsiger betingelsen; lige r- tangent. Altså lige r vinkelret på radius OA. Sætningen er blevet bevist.

Overvej to tangenter til en cirkel med centrum OM, der passerer gennem punktet EN og rører ved cirklen på punkter I og C (fig. 3). Segmenter AB Og AC lad os ringe tangentsegmenternyh, trukket fra punkt A. De har følgende egenskab, som følger af det beviste teorem:

Segmenter af tangenter til en cirkel tegnet fra et punkt er ens og danner lige store vinkler med en lige linje, der går gennem dette punkt og cirklens centrum.

For at bevise dette udsagn, lad os gå til figur 3. Ifølge sætningen om tangentegenskaben er vinkel 1 og 2 rette vinkler, derfor trekanter ABO Og ASO rektangulær. De er ens, fordi de har en fælles hypotenuse OA og lige ben OB Og OS. Derfor, AB=AC og 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Ris. 2 Fig. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Tegning af diameteren gennem kontaktpunktet MIG, vil vi have: ; Det er derfor

Ris. 1 Fig. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Afhængighed mellem buer, akkorder og afstande af akkorder fra midten.

Sætninger. I én cirkel eller V lige store cirkler :

1) hvis buerne er lige store, så er akkorderne, der undertrykker dem, lige store og lige langt fra midten;

2) hvis to buer mindre end en halvcirkel ikke er ens, så er den største af dem underspændt af den større akkord og af begge akkorder er den største placeret tættere på midten .

1) Lad buen AB lig med bue CD(Fig. 1), er det nødvendigt at bevise, at akkorderne AB og CD lige og også lige og vinkelret OE Og AF, sænket fra midten til akkorderne.

Lad os rotere sektoren OAJB rundt i centrum OM i retningen angivet af pilen så meget, at radius OM faldt sammen med OS. Derefter bue VA. vil gå i en bue CD og på grund af deres lighed vil disse buer overlappe hinanden. Det betyder, at akkorden AS falder sammen med akkorden CD og vinkelret OE vil falde sammen med AF(fra et punkt kan kun én vinkelret sænkes ned på en ret linje), dvs. AB=CD Og OE=AF.

2) Lad buen AB(Fig. 2) mindre bue CD, og desuden er begge buer mindre end en halvcirkel; det kræves for at bevise, at akkorden AB mindre akkord CD, og vinkelret OE mere vinkelret AF. Lad os sætte det på buen CD bue SK, lig med AB, og tegne en hjælpeakkord SK, der efter det beviste er lig med akkorden AB og lige så langt fra centrum. Ved trekanter TORSK. Og JUICE to sider af den ene er lig med to sider af den anden (ligesom radier), men vinklerne mellem disse sider er ikke ens; i dette tilfælde, som vi ved, mod den største af vinklerne, dvs. lCOD, den større side skal ligge, hvilket betyder CD>CK, og derfor CD>AB.

For at bevise det OE>AF, vi vil udføre OLXCK og tage højde for, at ifølge det beviste, OE=OL; derfor er det nok for os at sammenligne AF Med OL. I en retvinklet trekant 0 FM(dækket i figuren med bindestreger) hypotenusen OM mere ben AF; Men OL>OM; det betyder endnu mere OL>AF. og derfor OE>AF.

Sætningen, vi beviste for en cirkel, forbliver sand for lige store cirkler, fordi sådanne cirkler kun adskiller sig fra hinanden i position.

Converse teoremer. Da der i det foregående afsnit blev overvejet alle slags gensidigt udelukkende tilfælde vedrørende den komparative størrelse af to buer med samme radius, og der blev opnået gensidigt udelukkende konklusioner vedrørende den komparative størrelse af akkorder og deres afstande fra midten, så må de omvendte påstande være sandt, c. nøjagtig:

I en cirkel eller lige store cirkler:

1) lige store akkorder er lige langt fra midten og dækker lige store buer;

2) akkorder lige langt fra midten er lige store og spænder lige store buer;

3) af to ulige akkorder, den største er tættere på midten og underspænder den større bue;

4) af to akkorder ulige fjernt fra midten, som er tættere på midten er større og dækker en større bue.

Disse påstande kan let bevises ved modsigelse. For at bevise den første af dem for eksempel, ræsonnerer vi som følger: hvis disse akkorder dækkede ulige buer, så ville de ifølge den direkte sætning ikke være ens, hvilket modsiger betingelsen; dette betyder, at lige akkorder skal underlægges lige store buer; og hvis buerne er lige store, så er akkorderne, der undertrykker dem, ifølge den direkte sætning lige langt fra midten.

Sætning. Diameter er den største af akkorderne .

Hvis vi forbinder til centeret OM enderne af en akkord, der ikke passerer gennem midten, for eksempel en akkord AB(Fig. 3) så får vi en trekant AOB, i hvilken den ene side er denne korde, og de to andre er radier, Men i en trekant er hver side mindre end summen af de to andre sider; derfor akkorden AB mindre end summen af to radier; hvorimod hver diameter CD lig med summen af to radier. Det betyder, at diameteren er større end enhver korde, der ikke passerer gennem midten. Men da diameteren også er en akkord, kan vi sige, at diameteren er den største af akkorderne.

Ris. 1 Fig. 2

Tangentsætning.

Som allerede nævnt har tangentsegmenter tegnet til en cirkel fra et punkt samme længde. Denne længde kaldes tangentafstand fra et punkt til en cirkel.

Uden tangentsætningen er det umuligt at løse mere end et problem om indskrevne cirkler, med andre ord om cirkler, der rører siderne af en polygon.

Tangentafstande i en trekant.

Find længderne af de segmenter, for hvilke siderne af trekanten ABC er divideret med tangenspunkter med en cirkel indskrevet i den (fig. 1,a), for eksempel tangentafstand tа fra punkt EN til cirklen. Lad os tilføje siderne b Og c, og træk derefter siden fra summen EN. Under hensyntagen til ligheden af tangenter trukket fra et toppunkt, får vi 2 tа. Så,

ta=(b+c-en)/ 2=p--en,

Hvor p=(a+b+c)/ 2 – semi-perimeter givet trekant. Længden af sidesegmenterne, der støder op til hjørnerne I Og MED, er lige hhv p-b Og p-c.

Tilsvarende for omkredsen af en trekant, der tangerer (uden for) siden EN(fig. 1, b), tangentafstande fra I Og MED er lige hhv p-c Og p-b, og fra toppen EN- Bare s.

Bemærk, at disse formler også kan bruges i den modsatte retning.

Lad det gå til hjørnet DU en cirkel er indskrevet, og tangentafstanden fra vinklens toppunkt til cirklen er lig meds ellerp- -en, Hvors– halvomkreds af en trekant ABC, A a=BC. Så rører cirklen linjen Sol(henholdsvis uden for eller inde i trekanten).

Lad faktisk for eksempel tangentafstanden være ens p--en. Så rører vores cirkler siderne af vinklen i de samme punkter som trekantens incirkel ABC, hvilket betyder, at det falder sammen med det. Derfor rører det stregen Sol.

Omskrevet firkant. Af sætningen om tangenternes lighed følger umiddelbart (fig. 2a), at

Hvis en cirkel kan indskrives i en firkant, er summen af dens modstående sider lig:

AD+ BC= AB+ CD

Bemærk, at den beskrevne firkant nødvendigvis er konveks. Det modsatte er også sandt:

Hvis firkanten er konveks, og summen af dens modstående sider er lige store, kan en cirkel indskrives i den.

Lad os bevise dette for en anden firkant end et parallelogram. Lad for eksempel nogle to modsatte sider af en firkant AB Og DC, når de fortsættes, vil de skære hinanden i et punkt E(Fig. 2,b). Lad os indskrive en cirkel i en trekant ADE. Dens tangentafstand te til sagen E udtrykt ved formlen

te=½ (AE+ED-AD).

Men ifølge betingelsen er summen af de modsatte sider af en firkant lig, hvilket betyder AD+BC=AB+CD, eller AD=AB+CD-B.C.. At erstatte denne værdi i udtrykket for te, får vi

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (BE+EC+f.Kr.),

og dette er trekantens halvomkreds B.C.E.. Af den ovenfor beviste tangency-tilstand følger, at vores cirkel berører B.C..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

To tangenter tegnet til cirklen fra et punkt uden for den er lige store og danner lige store vinkler med den rette linje, der forbinder dette punkt med midten, som følger af ligheden retvinklede trekanter AOB og AOB1

Cirkel - geometrisk figur, bestående af alle punkter i flyet placeret i en given afstand fra et givet punkt.

Dette punkt (O) kaldes midten af cirklen.
Cirkel radius- dette er et segment, der forbinder midten med ethvert punkt på cirklen. Alle radier har samme længde (per definition).
Akkord- et segment, der forbinder to punkter på en cirkel. En akkord, der går gennem midten af en cirkel kaldes diameter. Centrum af en cirkel er midtpunktet af enhver diameter.
Alle to punkter på en cirkel deler den i to dele. Hver af disse dele kaldes en cirkelbue. Buen kaldes halvcirkel, hvis segmentet, der forbinder dets ender, er en diameter.
Længden af en enhedshalvcirkel er angivet med π .
Summen af gradmålene for to buer i en cirkel med fælles ender er lig med 360º.
Den del af planet, der er afgrænset af en cirkel, kaldes rundt omkring.
Cirkulær sektor- en del af en cirkel afgrænset af en bue og to radier, der forbinder enderne af buen med cirklens centrum. Den bue, der begrænser sektoren, kaldes sektorens bue.
To cirkler med et fælles centrum kaldes koncentrisk.
To cirkler, der skærer hinanden i rette vinkler, kaldes ortogonal.

Den relative position af en ret linje og en cirkel

Hvis afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje er mindre end radius af cirklen ( d), så har den rette linje og cirklen to fælles punkter. I dette tilfælde kaldes linjen sekant i forhold til cirklen.
Hvis afstanden fra cirklens centrum til den rette linje er lig med cirklens radius, så har den rette linje og cirklen kun ét fælles punkt. Denne linje kaldes tangent til cirklen, og deres fælles punkt kaldes tangeringspunkt mellem en linje og en cirkel.
Hvis afstanden fra cirklens centrum til den rette linje er større end cirklens radius, så er den rette linje og cirklen har ingen fælles punkter

Centrale og indskrevne vinkler

Central vinkel er en vinkel med toppunktet i midten af cirklen.
Indskrevet vinkel- en vinkel, hvis toppunkt ligger på en cirkel, og hvis sider skærer cirklen.

Indskrevet vinkelsætning

En indskrevet vinkel måles ved den halvdel af den bue, som den lægger sig under.

Konsekvens 1.
Indskrevne vinkler, der undersender den samme bue, er ens.

Konsekvens 2.
En indskreven vinkel, der er dækket af en halvcirkel, er en ret vinkel.

Sætning om produktet af segmenter af krydsende akkorder.

Hvis to akkorder i en cirkel skærer hinanden, så er produktet af segmenterne i den ene akkord lig med produktet af segmenterne i den anden akkord.

Grundlæggende formler

Omkreds:

C = 2∙π∙R

Cirkulær bue længde:

R = С/(2∙π) = D/2

Diameter:

D = C/π = 2∙R

Cirkulær bue længde:

l = (π∙R) / 180∙α,
Hvor α - gradsmål længden af en cirkelbue)

Cirkel område:

S = π∙R 2

Område af den cirkulære sektor:

S = ((π∙R2)/360)∙α

Ligning af en cirkel

I et rektangulært koordinatsystem er ligningen for en cirkel med radius r centreret i et punkt C(x o;y o) har formen:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Ligningen for en cirkel med radius r med centrum i origo har formen:

x 2 + y 2 = r 2

Udarbejdet af en matematiklærer

MBOU Secondary School nr. 18, Krasnoyarsk

Andreeva Inga Viktorovna

Den relative position af en ret linje og en cirkel

OM R – radius

MED D – diameter

AB- akkord

Cirkel med centrum i et punkt OM radius r
En lige linje, der ikke går gennem midten OM
Lad os angive afstanden fra centrum af cirklen til den rette linje med bogstavet s

Tre tilfælde er mulige:

1) s

mindre radius af cirklen, så har den rette linje og cirklen to fælles punkter .

Direkte AB kaldes sekant i forhold til cirklen.

Tre tilfælde er mulige:

2 ) s = r

Hvis afstanden fra centrum af cirklen til den lige linje lig med radius af cirklen, så har den rette linje og cirklen kun ét fælles punkt .

s = r

r Hvis afstanden fra cirklens centrum til den rette linje er større end cirklens radius, så har den rette linje og cirklen ikke fælles punkter. sr r O" width="640"

Tre tilfælde er mulige:

3 ) sr

Hvis afstanden fra centrum af cirklen til den lige linje mere radius af en cirkel, derefter en ret linje og en cirkel har ingen fælles punkter .

Tangent til en cirkel

Definition: P en linje, der kun har ét fælles punkt med en cirkel, kaldes en tangent til cirklen, og deres fælles punkt kaldes linjens og cirklens tangentpunkt.

s = r