Pisagor teoremini kanıtlama konulu sunumu indirin. Pisagor teoremi Dersin amacı Tekrar (bir açının kosinüsünü belirlemek) Bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi düşünün Öğrenin: kanıtlayın

Sunumun bireysel slaytlarla açıklaması:

1 slayt

Slayt açıklaması:

2 slayt

Slayt açıklaması:

Ana Hat Giriş Pisagor Biyografisi Teoremin en basit kanıtı Eski Çin kanıtı Öklid kanıtı Pisagor teoreminin kanıtı Başka bir cebirsel kanıt Mısır üçgeni Sonuç Referanslar Yazarlar

3 slayt

Slayt açıklaması:

Giriş Pisagor adını Pisagor teoremi ile ilişkilendirmeyen birini bulmak zordur. Belki de hayatlarında matematiğe sonsuza dek elveda diyenler bile, hipotenüs üzerinde, yanlardaki iki kareye eşit büyüklükte bir kare olan "Pisagor pantolonu" anılarını saklıyorlar. Pisagor teoreminin popülaritesinin nedeni üçlüdür: basitlik - güzellik - önem. Pisagor teoremi büyük önem taşımaktadır: geometride kelimenin tam anlamıyla her adımda kullanılmaktadır ve bu teoremin yaklaşık 500 farklı kanıtının (geometrik, cebirsel, mekanik vb.) olması, onun özel uygulamalarının devasa sayısına tanıklık etmektedir. .

4 slayt

Slayt açıklaması:

Pisagor Biyografisi Pisagor MÖ 570 civarında doğdu. Samos adasında. Pisagor gençliğinde Milet'e gider ve burada kendisine bilgi için Mısır'a gitmesini tavsiye eden bilim adamı Thales ile tanışır. MÖ 548'de. Pisagor Samos kolonisine geldi. Mısırlıların dilini ve dinini inceledikten sonra Memphis'e gider. Rahipler sırlarını Pisagor'a açıklamakta acele etmediler ve ona zorlu testler teklif ettiler, ancak Pisagor bunların hepsinin üstesinden geldi. Rahiplerin kendisine verdiği her şeyi öğrendikten sonra memleketi Hellas'a taşındı. Ancak yolun bir kısmını kat ettikten sonra Babil kralı tarafından yakalandı. Babil matematiği Mısır'dan daha gelişmişti ve Pisagor'un öğrenecek çok şeyi vardı ve daha sonra memleketine kaçtı. Pisagor kendi ülkesinde dini ve ahlaki bir kardeşlik gibi bir şey kurdu. ...20 yıl geçti. Bir gün zengin ama kötü bir adam olan Cylon, sarhoşken kardeşliğe katılmak isteyen Pisagor'un yanına gelir. Reddedildikten sonra Pisagor'un evini ateşe verir. Yangın sırasında Pisagorcular kendi pahasına öğretmenlerinin hayatını kurtardılar ve ardından Pisagor intihar etti.

5 slayt

Slayt açıklaması:

Pisagor Teoremi Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir c²=a²+b²

6 slayt

Slayt açıklaması:

En basit kanıt: "Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine inşa edilen bir kare, dik kenarları üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşittir." Bir ikizkenar dik üçgen düşünün (teorem onunla başladı). İkizkenar dik üçgenlerin mozaiğine bakın. ABC için, AC hipotenüsü üzerine kurulmuş bir karede 4 orijinal üçgen ve kenarlarda kurulmuş karelerin her biri 2 adet bulunur.

7 slayt

Slayt açıklaması:

Eski Çin kanıtı Şekil 1'i düşünün: a+b dış karenin kenarıdır, c iç karenin kenarıdır. İç kareyi (Şekil 1) c tarafıyla kesip parçalarını Şekil 2'deki gibi döşersek, şunu elde ederiz: c²=a²+b²

8 slayt

Slayt açıklaması:

Öklid kanıtı Verilen: ∆ABC-dikdörtgen, a,b-ayakları, c-hipotenüs, ABHF, AGKC, BCED-kareleri Kanıt: c²=a²+b² Kanıt: 1. ∆ABD=∆FBC(2 kenarda ve m/ açısında) onlarla) BC=BD FB=AB ∟DА=90ْ +∟ABC=∟FBC 2. S∆ABD=1∕2SBYLD BD- ortak taban, LD- toplam yükseklik 3. S∆FBC = 1∕2 SABFY ( benzer 2) 4. SABFH = SBYLD, çünkü ∆ABD=∆FBC 5. SACKG= SYCEL, çünkü ∆BCK=∆ACE(1-4 ile aynı) 6. b²+a²=c² => c²=a²+b².

Slayt 9

Slayt açıklaması:

Pisagor teoreminin ispatı Verilen: ABC üçgeni - dik açı a, b - kenarlar c-hipotenüs Kanıt: c2=a2+b2 Kanıt: 1. (a + b)2 = 4(1/2ab) + c2 2. a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 3. a2 + b2 = c2

10 slayt

Slayt açıklaması:

Başka bir cebirsel kanıt Verilen: ∆ABC dikdörtgendir, ∟С=90° Kanıt: AC²+CB²=AB² Kanıt: 1.CD yüksekliği. 2. cosА=AD/AC=AC/AB =>AD∙AB=AC² 3. cosB=BD/BC=BC/AB =>AB∙BD=BC² 4. Şunu elde ederiz: AD∙AB+AB∙BD=AC² + BC² AB(AD+BD)=AC²+BC² AB²=AC²+BC²

11 slayt

Slayt açıklaması:

Pisagor üçgenleri Kenar uzunlukları tam sayı olarak ifade edilen dik üçgenlere Pisagor üçgenleri denir: 3, 4 ve 5 5, 12 ve 13 8, 15 ve 17 7, 24 ve 25

Pisagor teoremi

ve uygulaması.

“Geometrinin iki hazinesi vardır; bunlardan biri Pisagor teoremi ».

Johannes Kepler

Tarihsel yol

Polyanka

Sağlık

Kale Formülü

Ustalar şehri

Pisagor

(MÖ 580 - 500)

Pisagor teoremi - Gelin teoremi

Doğu Arap matematikçileri arasında bu teoreme "gelin teoremi" adı verildi. Gerçek şu ki, Euclid'in Elementleri'nin bazı kopyalarında bu teoreme, çizimin Yunanca'da perisi olarak adlandırılan bir arı, bir kelebek ile benzerliği nedeniyle "perisi teoremi" adı verildi. Ancak Yunanlılar bu kelimeyi genel olarak genç kadın ve gelinlerin yanı sıra diğer bazı tanrıçaları da adlandırmak için kullandılar. Arapça tercüman Yunancadan çeviri yaparken çizime dikkat etmeden “su perisi” kelimesini “kelebek” olarak değil “gelin” olarak tercüme etmiştir. Ünlü teoremin sevgi dolu adı bu şekilde ortaya çıktı - "gelin teoremi."

Öklid'in Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende dik açıyı kapsayan kenarın karesi, dik açıyı çevreleyen kenarların karesine eşittir

Pisagor teoremi Pisagor zamanında teorem şu şekilde formüle edildi:

“Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin, dik kenarları üzerine kurulan karelerin toplamına eşit olduğunu kanıtlayın”

Latince çevirisi:

Herhangi bir dik üçgende, dik açıyı kapsayan tarafta oluşan kare, dik açıyı çevreleyen iki tarafta oluşan iki karenin toplamına eşittir.

Almanca çeviri:

Yani, uzun kenarı boyunca ölçülen bir karenin alanı, dik açıya bitişik iki kenarı boyunca ölçülen iki karenin alanı kadar büyüktür.

Eğer bize bir üçgen verilirse, Üstelik dik açıyla, Bu hipotenüsün karesi Her zaman kolayca bulabiliriz: Bacakları kare haline getiriyoruz, Kuvvetlerin toplamını buluyoruz - Ve bu kadar basit bir şekilde, Sonucuna geleceğiz.

Bul: SP

Bul: KN

Bul: AD

Görev No.1

(12. yüzyıl Hintli matematikçi Bhaskara)

“Nehrin kıyısında yalnız bir kavak büyüdü. Aniden şiddetli bir rüzgar bagajını kırdı. Zavallı kavak düştü. Ve açı doğru Nehrin akışıyla gövdesi oluştu. Şimdi burada bir nehir olduğunu hatırla Sadece dört metre genişliğindeydi Tepe nehrin kenarına yaslanmıştı. Bagajdan geriye yalnızca üç metre kaldı, Sana soruyorum, yakında söyle: Kavak ne kadar uzun?"

Verilen: ABC, ۦے С = 90 0,

BC=3 feet, AC=4 feet.

Bul: DS .

Çözüm:

DS=DV+VS, VD=VA.

Pisagor teoremine göre

AB 2 =AC 2 +BC 2, AB 2 = 9+16

AB 2 =25, AB=5.

DS = 3 +5 = 8 (ft).

Cevap: 8 metre.

Sorun No. 2

Dünyanın bir noktasından bir araba ve bir uçak yola çıktı. Uçak 6 km yükseklikteyken araba 8 km yol kat etti. Uçak kalkıştan bu yana havada ne kadar yol kat etti?

Verilen: ABC, ۦے С = 90 0,

BC = 6 km, AC = 8 km.

Bul: AB .

Çözüm:

Pisagor teoremine göre

AB 2 = AC 2 + BC 2, AB 2 = 36 + 64

AB 2 =100, AB=10 km.

Cevap: 10 kilometre. .

Problem No. 498 (a – c) ders kitabı (s. 133)

a) 10 2 = 6 2 + 8 2 c) 15 2 = 9 2 + 12 2

100 = 36 + 64 225 = 81 + 144

100 = 100 225 = 225

Cevap: evet Cevap: evet

b) 7 2 = 5 2 + 6 2

Cevap: hayır

Polyanka

Sağlık

"Fırtına halindeyiz"

Kale Formülü

Arkadaşını kontrol et!

Seçenek I

20 santimetre 2

30cm 2

Seçenek II

36cm 2

64cm 2

Eski Mısır'ın kadastrocuları bile dik açı oluşturmak için düğümlerle bölünmüş bir ip kullandılar

12 eşit parçaya

25 veya daha fazla puan – puan "5"

18 – 24 puan – skor "4"

12 -17 puan – skor "3"

12 puandan az – puan "2"

Teşekkür ederim

Pisagor teoremi. Menşe tarihi ve çeşitli kanıt yöntemleri.

• Samoslu Pisagor(eski Yunan Πυθαγόρας ὁ Σάμιος; MÖ 570 - 490) - eski Yunan filozofu, matematikçi ve mistik, yaratıcı dini ve felsefi Pisagor okulu.

• Ebeveynler: Samos'tan Mnesarchus ve Parthenidas
• 18 yaşında Mısır, Babil'e geziye çıktı.
• 56 yaşında memleketine döndü
• Okulunu Güney İtalya'daki Yunan kolonisi Crotone'de kurdu
• Öğrencisi Feano ile evliydi ve bir oğlu ve kızı vardı.

Pitogor okulu.

Pisagor Okuluna kabul koşulları:

• bir sendika lehine kişisel mülkiyetten vazgeçmek
• kan dökme
• et yemeği yemeyin
• Öğretmeninizin öğretilerinin sırrını koruyun
• telafi için başkalarına öğretmeyin

• Kuşlarla ve hayvanlarla nasıl konuşulacağını biliyordum
• Ruhlara komuta etti ve tahminlerde bulundu
• İkiye bölünebilme özelliği
• İyileşen insanlar
• Reenkarnasyona uğrayan tanrı Apollon
• Altın bir uyluk vardı

• Mutlu yaşamanın en büyük bilimi, yalnızca şimdiki zamanda yaşamaktır.
• Dostluk eşitliktir.
• Hayat oyunlara benzer; bazıları rekabet etmeye, bazıları ticaret yapmaya ve en mutluları da izlemeye gelir.
• Eşit güce sahip iki kişiden haklı olan daha güçlüdür.

Müzik ve Pisagor

• Pisagor ve takipçileri sözde hesapladılar. Pisagor sistemi - Bir gamın (“Lidya” gamı ​​olarak adlandırılan) sesleri arasındaki aralıkların matematiksel ifadesi.

• Pisagor teoremi- Dik bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri.

• Eski Çin kitabı Zhou Bi Xuan Jing, kenarları 3, 4 ve 5 olan bir Pisagor üçgeninden bahseder. Aynı kitap, Bashara'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden birine denk gelen bir çizim sunar.

• Moritz Cantor (en büyük Alman matematik tarihçisi), 3² + 4² = 5² eşitliğinin Mısırlılar tarafından MÖ 2300 civarında zaten bilindiğine inanıyor. e. , Kral I. Amenemhet döneminde (Berlin Müzesi papirüsü 6619'a göre). Cantor'a göre harpedonapteler veya "halat çekiciler" kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgenleri kullanarak dik açılar inşa ettiler.

• Babilliler arasında Pisagor teoremi hakkında biraz daha fazla şey biliniyor. Hammurabi dönemine, yani M.Ö. 2000 yılına kadar uzanan bir metinde. e. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplaması verilmiştir. Buradan Mezopotamya'da en azından bazı durumlarda dik üçgenlerle hesaplamalar yapabildikleri sonucuna varabiliriz.
• Van der Waerden (Hollandalı bir matematikçi), bir yandan Mısır ve Babil matematiği hakkındaki mevcut bilgi düzeyine, diğer yandan da Yunan kaynaklarına ilişkin eleştirel bir çalışmaya dayanarak, yüksek bir olasılığın olduğu sonucuna vardı. Hipotenüsün karesi ile ilgili teorem Babil'de MÖ 18. yüzyıldan beri biliniyordu. e.

• Proclus'un Öklid hakkındaki yorumuna göre Pisagor, Pisagor üçlülerini bulmak için cebirsel yöntemler kullandı. Ancak Proclus, Pisagor'un ölümünden sonraki 5 yüzyıla kadar uzanan bir dönemde teoremin yazarının Pisagor olduğuna dair açık bir ifadenin bulunmadığını yazmıştır.
• Ancak Plutarch ve Cicero gibi yazarlar Pisagor teoremi hakkında yazdıklarında, sanki Pisagor'un yazarı yaygın olarak biliniyor ve şüphe yokmuş gibi yazıyorlar: “Bu formülün bizzat Pisagor'a ait olup olmadığı… ama ona ait olduğunu rahatlıkla varsayabiliriz. en eski dönem Pisagor matematiği".

• Efsaneye göre Pisagor teoreminin keşfini M.Ö. 400 civarında devasa bir ziyafetle kutladı ve kutlamak için yüz boğayı katletti. Proclus'a göre Platon, cebir ve geometriyi birleştirerek Pisagor üçlülerini bulmak için bir yöntem verdi. MÖ 300 civarında. e. Pisagor teoreminin en eski aksiyomatik kanıtı Öklid'in Elementlerinde ortaya çıktı.

Formülasyon teoremler

Pisagor'un zamanında teorem şu şekildeydi:

• “Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin, dik kenarları üzerine kurulan karelerin toplamına eşit olduğunu kanıtlayın”

• "Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin alanı, dik üçgenin kenarları üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir."

Formülasyon teoremler

• «

Formülasyon teoremler

• Geometria Culmonensis'te (c. 1400), teoremin çevirisi şu şekildedir: “O halde, uzun kenarı boyunca ölçülen bir karenin alanı, bir sağa bitişik iki kenarı boyunca ölçülen iki karenin alanı kadar büyüktür. açı."

• F. I. Petrushevsky tarafından yapılan Öklid Elemanları'nın ilk Rusça çevirisinde Pisagor teoremi şu şekilde ifade edilmektedir: “Dik üçgenlerde, dik açının karşısındaki tarafın karesi, dik açıyı içeren kenarların karelerinin toplamına eşittir. açı."

Formülasyon teoremler

• « Öklid teoremi şöyle der (kelimenin tam anlamıyla çevirisi): "Bir dik üçgende, dik açıyı kapsayan kenarın karesi, dik açıyı çevreleyen kenarların karelerine eşittir."

• Arapça metin Annairitsi'nin (M.Ö. 900 civarı) Rusçaya çevrilmiş Latince tercümesi şöyledir: "Herhangi bir dik üçgende, dik açıyı kapsayan tarafta oluşan kare, onu çevreleyen iki tarafta oluşan iki karenin toplamına eşittir." düz çizgi.”

Modern formülasyon

"Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir."

Teoremin kanıtı

Bu teoremin yaklaşık 500 farklı kanıtı vardır (geometrik, cebirsel, mekanik vb.).

Şekilde gösterilen kareyi düşünün. Meydanın kenarı ise a+c .

Bir durumda (solda) kare, kenarları olan bir kareye bölünmüştür. B A Ve C .

Başka bir durumda (sağda), kare kenarları iki kareye bölünmüştür. A Ve C ve bacakları olan dört dik üçgen A Ve C .

Böylece kenarları olan bir karenin alanının B kenarları olan karelerin alanlarının toplamına eşit A Ve C .

Verilen:

ABC -sağ üçgen

Kanıtlamak:

S ABDE =S ACFG +S BCHI

Kanıt:

İzin vermek ABDE -bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine inşa edilen kare ABC , A ACFG Ve BCHI -ayakları üzerine inşa edilmiş kareler. Yukarıdan aşağıya indirelim C dik açı dik C.P. hipotenüse doğru devam edin ve kenarla kesişene kadar devam edin Almanya kare ABDE noktada Q ; noktaları birleştir C Ve e , B Ve G .

Açıkçası açılar CAE=GAB(=A+90°) ; bundan üçgenler çıkıyor as Ve ÖYK (şekilde gölgeli) birbirine eşittir (iki tarafta ve aralarındaki açıda). Üçgeni biraz daha karşılaştıralım as ve dikdörtgen PQEA ; ortak bir zeminleri var A.E. ve yükseklik Erişim noktası bu temelde düşürüldü, bu nedenle

S PQEA = 2S as

Benzer şekilde, FCAG karesi ve BAG üçgeninin ortak GA tabanı ve AC yüksekliği vardır; Araç, S FCAG =2S GAB

Buradan ve ACE ve GBA üçgenlerinin eşitliğinden, QPBD dikdörtgeninin ve CFGA karesinin boyutlarının eşit olduğu sonucu çıkar; QPAE dikdörtgeninin ve CHIB karesinin eşdeğerliği benzer şekilde kanıtlanmıştır. Buradan ABDE karesinin ACFG ve BCHI karelerinin toplamına eşit olduğu sonucu çıkar, yani. Pisagor teoremi.

Verilen: ABC -sağ üçgen

Kanıtlamak: AB 2 =AC 2 +BC 2

Kanıt:

1) Yüksekliği bulalım CD dik açının köşesinden İLE. 2) Bir açının kosinüsünün tanımı gereği сosА=AD/AC=AC/AB, bu şu anlama geliyor

AB*AD=AC 2 .

3) Aynı şekilde сosВ=BD/BC=BC/AB, Araç

AB*BD=BC 2 .

4) Ortaya çıkan eşitlikleri terim terim topladığımızda şunu elde ederiz:

AC. 2 +BC 2 = AB *(AD+DB)

AB 2 =AC 2 +BC 2 . Q.E.D.

Verilen: ABC -sağ üçgen

Kanıtlamak: M.Ö. 2 =AB 2 +Klima 2

Kanıt:

1) Bir segment oluşturalım CD segmente eşit AB bacağın devamında AC. dik üçgen ABC . Daha sonra dikeyi bırakın ED segmente reklam , segmente eşit AC. , noktaları birleştir B Ve e . 2) Şeklin alanı YATAK Bunu üç üçgenin alanlarının toplamı olarak düşünürsek bulunabilir:

S YATAK =2*AB*AC/2+BC 2 /2

3) Şekil YATAK bir yamuktur, yani alanı şuna eşittir:

S YATAK = (DE+AB)*AD/2.

4) Bulunan ifadelerin sol taraflarını eşitlersek şunu elde ederiz:

AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2

AB*AC+BC 2 /2=AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC

M.Ö. 2 =AB 2 +Klima 2 .

• İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve tabanını şu şekilde belirtin: H. Üçgen ACHüçgene benzer ABC iki köşede. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC .

Gösterimi tanıtarak

aldık

hangisi eşdeğerdir

topladığımızda elde ederiz

Pisagor teoreminin anlamı

Pisagor teoremi geometrideki en önemli teoremlerden biridir. Önemi, geometri teoremlerinin çoğunun ondan veya onun yardımıyla çıkarılabileceği gerçeğinde yatmaktadır.

Ana görevler Pisagor'un biyografisini göz önünde bulundurun Okuluyla tanışın Teorem hakkında tarihsel bilgi toplayın Pisagor teoremini kanıtlamanın çeşitli yöntemlerini keşfedin Pisagor teoreminin uygulanmasına ilişkin tarihsel ve pratik sorunları göz önünde bulundurun

Samoslu Pisagor (M.Ö. 500 civarı) Pisagor ve okulu Pisagor, M.Ö. 580 civarında doğmuştur. Yunanistan'ın Samos adasında. İyi bir eğitim aldı. Yunanistan'da neredeyse 30 yıldır faaliyet gösteren kendi okulunu kurdu; daha önce Pisagor Birliği olarak adlandırılıyordu. Pisagor, toplu eserler bırakmamış, her şeyi gizli tutmuş ve öğrencilerine sözlü olarak aktarmıştır. Şu anda en çok bilineni Pisagor teoremidir.

Pisagor Teoreminin Tarihçesi Tarihe genel bakış antik Çin ile başlar. Mısırlılar ip gerilimini kullanarak bu tür üçgenlerle dik açılar oluşturdular. MÖ 2000 yılında eski Babil'de. Bir dik üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplamasını gerçekleştirdi. Pisagor teoremi, Firavun Amenemhet zamanından kalma papirüslerde ve 7.-5. yüzyıllara ait Babil çivi yazısı tabletlerinde keşfedilmiştir. M.Ö. Bugün kendi adını taşıyan teoremin ilk ispatını Pisagor'un verdiği genel kabul görse de günümüze ulaşamamıştır.

Öklid ispatı Verilen: Δ ABC dikdörtgendir Kanıt: S ABFH + S ACKG = S BCED. İspat: AO hipotenüse indirilen yüksekliktir. Devamının, hipotenüs üzerine inşa edilen kareyi, alanları bacaklar üzerinde inşa edilen karşılık gelen karelerin alanlarına eşit olan iki dikdörtgene böldüğünü kanıtlayalım. BOLD dikdörtgeninin boyutunun ABFH karesine eşit olduğunu kanıtlayalım. Δ ABD=ΔBFC (iki tarafta ve aralarındaki açı BF=AB; BC=BD; FBC açısı = ABD açısı). S Δ ABD=1/2 S dikdörtgen BOLD, çünkü ΔABD ve BOLD dikdörtgeninin ortak tabanı BD ve ortak yüksekliği LD vardır. BENZER OLARAK, S ΔFBC=1/2 S dikdörtgen ABFH (BF-ortak taban, AB-ortak yükseklik). Dolayısıyla, S Δ ABD = S ΔFBC olduğunu hesaba katarsak: S BOLD=S ABFH elde ederiz. BENZER OLARAK Δ BCK ve Δ ACE eşitliğini kullanarak S OCEL= S ACKG olduğu kanıtlanır. S ABFH + S ACKG = S BOLD + S OCEL = S BCED. Ö

Alan yöntemiyle kanıt Verilen: abc bir dik üçgendir Kanıt: c 2 = a 2 + b 2 Kanıt: Dört eşit dik üçgeni şekilde gösterildiği gibi düzenleyin. Kenarları c olan bir dörtgen, iki dar açının toplamı 90° ve düz açının 180° olması nedeniyle bir karedir. Tüm şeklin alanı, bir yandan (a + b) kenarlı bir karenin alanına, diğer yandan dört üçgenin alanlarının toplamına eşittir. iç karenin alanı. Q.E.D

ΔABC'yi C dik açısıyla oluşturalım. Hoffmann'ın ispatı A B C a b c F D E Oluştur BF=CB, BF CB Oluştur BE=AB, BE AB Oluştur AD=AC, AD AC F, C, D noktaları aynı doğruya aittir. Gördüğümüz gibi ADFB ve ACBE dörtgenlerinin boyutları eşittir çünkü ΔABF= ΔECB. ADF ve ACE üçgenlerinin boyutları eşittir. Her iki eşit dörtgenden ortak ΔABC'yi çıkarırsak şunu elde ederiz: 1/2 a 2 +1/2b 2 =1/2 c 2 Buna göre: a 2 + b 2 =c 2

Waldheim kanıtı Verilen: kenarları a ve b olan bir dik üçgen, hipotenüs - c Kanıt: a²+b²=c² Kanıt: Yamuğun alanını iki şekilde ifade edin. Straezoidler = (a+b)²/2 Straezes = ab + c²/2 Kıskanç sağ taraflarla şunu elde ederiz: a²+b²=c² Teorem kanıtlanmıştır.

Vektör kanıtı Verilen: ABC, CB ve CA vektörleri üzerine kurulmuş, C köşesinde dik açılı bir dik üçgendir. Kanıt: c² = a² + b² Kanıt: Vektör eşitliği geçerlidir: b + c = a, dolayısıyla c = elde ederiz. a – b, her iki parçayı da kare haline getirdiğimizde c² = a² + b² - 2a b elde ederiz. NE SA'ya dik olduğundan a b = 0 olur, dolayısıyla c² = a² + b² veya c² = a² + b²

Tarihsel sorunlar 12. yüzyıl Hintli matematikçi Bhaskara'nın sorunu: “Nehrin kıyısında yalnız bir kavak büyüdü, aniden sert bir rüzgar onun gövdesini kırdı. Zavallı kavak düştü. Ve gövdesi nehrin akışına dik açı yapıyordu. Şimdi unutmayın ki bu yerde B Nehri sadece bir buçuk metre genişliğindeydi. Tepe nehrin kenarına yaslanmıştı. Sana soruyorum, hemen söyle bana: Kavağın boyu ne kadar?” Çözüm: CD kavak ağacının yüksekliği olsun, DC=CB + BD, Pisagor teoremine göre AC² + CB² = AB², 3² + 4² = 25, AB = 5 feet. CD = 3+5 = 8(fit) Cevap: 8 fit.

Eski Hint sorunu Yaklaşık yarım metre büyüklüğünde sessiz bir gölün üzerinde Yalnız büyüdü. Ve şiddetli bir rüzgar onu yana taşıdı. Artık suyun üstünde çiçek yok. Bir balıkçı onu baharın başlarında, büyüdüğü yerden iki metre uzakta buldu. O halde bir soru önereceğim: Buradaki göl suyu ne kadar derin? Modern uzunluk birimlerinde derinlik nedir? Çözüm: Problem için bir çizim yapalım ve gölün derinliğini DC = X, sonra BD = AD = X + 0,5 olarak gösterelim. Pisagor teoremine göre DCB üçgeninden CD² = DB² – CB² elde ederiz. (X + 0,5)² – X² = 2², X² + X² + 0,25 – X² = 4, X = 3,75. Bu nedenle gölün derinliği 3,75 feet'tir. 3,75 0,3 = 1,125 (m) Cevap: 3,75 fit veya 1,125 m.

R=200 km yarıçapındaki yayınların alınabilmesi için mobil operatörün anteninin maksimum yüksekliği ne kadar olmalıdır? (Dünyanın yarıçapı 6380 km'dir.) Çözüm: AB= x, BC=R=200 km, OC= r =6380 km olsun. OB=OA+AB OB=r + x. Pisagor teoremini kullanarak şu cevabı alıyoruz: 2,3 km.

Paratoner Bir paratonerin, tabanından uzaklığı iki kat yüksekliğini aşmayan tüm nesneleri yıldırımdan koruduğu bilinmektedir. Paratonerin üçgen çatı üzerindeki en uygun konumunu belirlemek ve erişilebilir en düşük yüksekliğini sağlamak gerekir. Çözüm: Pisagor teoremine göre h2 a2+b2, yani h(a2+b2)1/2.

Pencereler Gotik ve Romanesk binalarda pencerelerin üst kısımları taş nervürlerle bölünmüştür, bu sadece süsleme görevi görmekle kalmaz, aynı zamanda pencerelerin sağlamlığına da katkıda bulunur. Şekil, Gotik tarzda böyle bir pencerenin basit bir örneğini göstermektedir. Bunu yapma yöntemi çok basittir: Şekilden, yarıçapları pencerenin genişliğine (b) eşit olan, dış yaylar için genişliğin yarısı olan (b) altı daire yayının merkezlerini bulmak kolaydır. /2) iç yaylar için Dört yaya dokunan tam bir daire kalır. Eşmerkezli iki daire arasında yer aldığından çapı bu dairelerin arasındaki mesafeye yani b/2'ye eşittir ve dolayısıyla yarıçapı b/4'tür. Ve sonra merkezinin konumu netleşiyor.

Şekilde gösterilen motif genellikle Romanesk mimaride bulunur. Eğer b hala pencerenin genişliğini gösteriyorsa, yarım dairelerin yarıçapı R = b / 2 ve r = b / 4 olacaktır. İç dairenin yarıçapı p, Şekil 2'de gösterilen dik üçgenden hesaplanabilir. noktalı çizgi Dairelerin teğet noktasından geçen bu üçgenin hipotenüsü b/4+p, bir tarafı b/4, diğer tarafı b/2-p'dir. Pisagor teoremine göre şunu elde ederiz: (b/4+p) ²=(b/4) ²+(b/2-p) ² veya b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4- bp+ p², dolayısıyla bp/2=b²/4-bp. B'ye bölüp benzer terimleri getirirsek şunu elde ederiz: (3/2)p=b/4, p=b/6.

Astronomi Bu şekil A ve B noktalarını ve bir ışık ışınının A'dan B'ye ve geriye doğru yolunu göstermektedir. Işın yolu, netlik sağlamak amacıyla kavisli bir okla gösterilmiştir; aslında ışık hüzmesi düzdür. Işın hangi yolu izliyor? Işık ileri geri aynı yolu gittiğine göre hemen soralım: Noktalar arasındaki mesafe ne kadardır?

Çatı konstrüksiyonu Evler ve evler inşa ederken, kirişler zaten yapılmışsa çatı kirişlerinin uzunluğuyla ilgili soru sıklıkla ortaya çıkar. Örneğin: Bir evin üzerine üçgen çatı yapılması planlanmaktadır (kesit şekli). Kirişler AC=8 m ve AB=BF yapılırsa kirişlerin uzunluğu ne kadar olmalıdır? Çözüm: ADC üçgeni ikizkenar AB=BC=4 m, BF=4 m'dir. Eğer FD=1,5 m olduğunu varsayarsak: A) DBC üçgeninden: DB=2,5 m, B) ABF üçgeninden: