Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Sannsynligvis kombinasjon

Størrelse: px

Begynn å vise fra siden:

Avskrift

1 1 Grunnleggende kombinatoriske begreper 1 Vedlegg Definisjon Produktet av alle naturlige tall fra 1 til og med n kalles n-faktor og skriftlig Eksempel Regn ut 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Eksempel Beregn! 7! 5! 5!! La tre bokstaver av disse bokstavene gis: 7 1! Permutasjoner 5 3 A, B, C La oss lage alle mulige kombinasjoner av ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (totalkombinasjoner) Vi ser at de skiller seg fra hverandre kun i rekkefølgen av bokstavene Definisjon Kombinasjoner av n elementer som skiller seg fra hverandre fra hverandre bare ved rekkefølgen av elementene, kalles permutasjoner er betegnet med symbolet n, hvor n er antall elementer som er inkludert i hver permutasjon 3 3! Antall permutasjoner kan beregnes ved å bruke formelen n eller ved å bruke faktoren: n n 1 n 3 1 n n! Så antallet permutasjoner av tre elementer i henhold til formelen er, som sammenfaller med resultatet av eksemplet diskutert ovenfor 5 0 Eksempel Beregn,! ! !- 5! 5! -15! 5! 1 5 0! ! 1! Eksempel Hvor mange forskjellige femsifrede tall kan lages av sifrene 1, 3, 4, 5, forutsatt at ikke et enkelt siffer gjentas i tallet?

2 5! Eksempel Fire lag deltok i konkurransen. Hvor mange muligheter er det mulig å fordele plasser mellom seg? 4! Plasseringer La det være fire bokstaver A, B, C, D Komponer alle kombinasjoner fra bare to bokstaver, vi får: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Vi ser at alt avviker de resulterende kombinasjonene enten i bokstaver eller i deres rekkefølge (kombinasjoner BA og AB betraktes som forskjellige) Definisjon Kombinasjoner av m elementer av n elementer som skiller seg fra hverandre enten i elementene selv eller i rekkefølgen av elementene kalles plasseringer. Plasseringer er angitt med n A m n antall elementer i hver kombinasjon , der m er antallet av alle tilgjengelige elementer, A n m m! (mn)! Eksempel Hvor mange muligheter er det for å dele ut tre premier hvis 7 lag deltar i trekningen? 3 7! 7! EN! 4! 10 Eksempel Hvor mange forskjellige firesifrede tall kan lages av sifrene 0, 1, 8, 9? 4 10! 10! EN!! Eksempel Hvor mange tidsplanalternativer kan opprettes for en dag hvis det er 8 totalt? pedagogiske fag, og bare tre av dem kan inkluderes i den daglige timeplanen? 3 8! 8! EN! 5! Eksempel Hvor mange alternativer for å dele ut tre vouchers til sanatorier med ulike profiler kan settes sammen for fem søkere? 3 5! 5! EN!!

3 Kombinasjoner Definisjon Kombinasjoner er alle mulige kombinasjoner av m elementer med n, som skiller seg fra hverandre med minst ett element (her m og n heltall og n

4 Et tilfeldig fenomen kan karakteriseres av forholdet mellom antall forekomster og antall tester, i hver av disse, under de samme betingelsene for alle tester, kan det forekomme eller ikke forekomme hvilke tilfeldige fenomener (hendelser) som studeres og mønstre identifiseres under deres masserepetisjon For å registrere og utforske disse mønstrene, vil vi introdusere noen grunnleggende begreper og definisjoner: Enhver handling, fenomen, observasjon med flere forskjellige utfall, realisert under et gitt sett med betingelser vil bli kalt en test. For eksempel, gjentatte kasting av en mynt, er prosessen med å produsere en del tester. Resultatet av denne handlingen eller observasjonen vil bli kalt en tilfeldig hendelse av et tall når du kaster en mynt er en tilfeldig hendelse, siden det kan ha skjedd eller ikke har skjedd Definisjon Hvis vi er interessert i en spesifikk hendelse fra alle mulige hendelser, vil vi kalle det ønsket hendelse (eller ønsket utfall) Definisjon. Alle hendelsene som vurderes vil bli vurdert som like mulige, de som har like stor sjanse for å skje. Så når du kaster en terning, kan 1 poeng, 3, 4, 5 eller poeng vises, og disse testresultatene er med andre ord like mulige , like muligheter betyr likhet, symmetri av individuelle testresultater, underlagt visse betingelser. Hendelser er vanligvis merket med store bokstaver i det latinske alfabetet: A, B, C, D Definisjon Hendelser kalles inkompatible hvis ikke to av dem kan forekomme sammen i. et gitt eksperiment. Ellers kalles hendelser kompatible. Så når man kaster mynter, utelukker utseendet til våpenskjoldet. dette er et eksempel på uforenlige hendelser 4

5 La oss se på et annet eksempel La en sirkel, en rombe og en trekant tegnes på skiven. Et skudd treffer sirkelen, hendelse B treffer rhombus, deretter hendelser A og B, A og C, C og B er inkonsekvente Definisjon Hendelse kalles pålitelig hvis den nødvendigvis oppstår i en gitt test For eksempel er det å vinne en vinn-vinn-lotteri en pålitelig hendelse Pålitelige hendelser er betegnet med bokstaven U Definisjon En hendelse kalles umulig hvis det kan ikke skje i et gitt eksperiment For eksempel, når du kaster en terning er det umulig å få 7 poeng Umulig hendelse betegnet med bokstaven V Definisjon Et komplett system av hendelser A 1, A, A 3, A n er et sett med inkompatible hendelser , forekomsten av minst én av dem er obligatorisk under en gitt test. Tapet av ett, to, tre, fire, fem, seks poeng når du kaster en terning er et komplett system av hendelser, siden alle disse hendelsene er. inkompatibel og forekomsten av minst én av dem er obligatorisk Definisjon Hvis et komplett system består av to hendelser, kalles slike hendelser motsatt og betegnes A og A Eksempel Det er en lodd “b av 45” Hendelse A er at han er en vinner, og hendelse B er at han er en ikke-vinner. Er disse hendelsene uforenlige? Eksempel Det er 30 nummererte baller i en boks. Bestem hvilke av følgende hendelser som er umulige, pålitelige, motsatte: en nummerert ball ble tatt ut (; en ball ble tatt ut med et partall (en ball ble tatt ut med et oddetall). (C); en ball ble tatt ut uten et tall (D) Hvilken av dem utgjør en komplett gruppe.

6 Definisjon Summen av flere hendelser er en hendelse som består av forekomsten av minst en av dem som et resultat av en test Summen av hendelser A og B er betegnet med (A+ og betyr at hendelse A, eller B eller A og B skjedde sammen Definisjon Produktet av flere hendelser er en hendelse , som består i felles forekomst av alle disse hendelsene som et resultat av testen Produktet av hendelser A og B betegner: AB 3 Bestemmelse av sannsynligheten for en hendelse Tilfeldige hendelser. realiseres med ulike muligheter Noen forekommer oftere, andre sjeldnere For å kvantifisere mulighetene for gjennomføring av en hendelse, introduseres begrepet hendelsessannsynlighet Definisjon Sannsynligheten for hendelse A er forholdet mellom antall M gunstige utfall og totalen antall N av like mulige utfall, som danner en komplett gruppe: Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er 1, umulig 0, tilfeldig: 0 (1 Dette er den klassiske definisjonen av sannsynlighet Relativ frekvens av en hendelse A forholdet mellom antall m forsøk hvor hendelsen skjedde i det totale antallet n forsøk: M N * (Eksempel En bokstav er valgt tilfeldig fra ordet "klinikk"). Hva er sannsynligheten for at det er en vokal? Hva er bokstaven K? Er det en vokal eller bokstaven K? Totalt antall bokstaver 11 Hendelse A som et resultat av forsøket en vokalbokstav dukket opp Hendelse B bokstaven K dukket opp Hendelse A favoriseres av fem hendelser (5 vokaler), hendelse B to m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Grunnsetninger og formler for sannsynlighetsteori Teorem om addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet forekomsten av en av de inkompatible hendelsene er lik summen av deres sannsynligheter:

7 A A A A A 1 n 1 A n Sannsynlighet for summen av to felles hendelser A A Sum av sannsynligheter for motsatte hendelser (1 Definisjon La A og B være to tilfeldige hendelser av samme test. Den betingede sannsynligheten for hendelse A eller sannsynligheten for hendelse A A forutsatt at hendelse B inntreffer er tallet Betegnelse: A B A SanSannsynligheten for samtidig forekomst av to uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene A 7

Matematikk (BkPl-100) M.P. Kharlamov 2011/2012 studieår, 1. semester Forelesning 5. Emne: Kombinatorikk, innføring i sannsynlighetsteori 1 Emne: Kombinatorikk Kombinatorikk er en gren av matematikken som studerer

Institutt for matematikk og informatikk Matematikk Utdannings- og metodologisk kompleks for videregående yrkesutdanningsstudenter som studerer ved bruk av fjernteknologi Modul 6 Elementer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk

EMNE. TEOREMER OM ADDITION OG MULTIPLIKASJON AV SANNSYNLIGHETER Operasjoner på tilfeldige hendelser. Algebra av hendelser. Konseptet med kompatibilitet av hendelser. Komplett gruppe arrangementer. Avhengighet og uavhengighet av tilfeldige hendelser. Betinget

Forelesning Sannsynlighetsteori Grunnleggende begreper Eksperiment Hyppighet Sannsynlighetslære er en gren av matematikken som studerer mønstrene til tilfeldige fenomener er hendelser som, når

LEKSJON 3 INTRODUKSJON TIL SANNSYNLIGHETSTEORI METODOLOGISKE ANBEFALINGER MISS 2013 JEG GODKJENT: D.E. Kaputkin formann for utdannings- og metodekommisjonen for gjennomføringen av avtalen med utdanningsdepartementet i byene.

1 DEL I. SANNSYNLIGHETSTEORI KAPITTEL 1. 1. Elementer i kombinatorikk Definisjon 1. Eksempler: Definisjon. -faktoriell er et tall betegnet med!, og! = 1** * for alle naturlige tall 1, ; I tillegg,

1) Hvor mange tresifrede naturlige tall er det som bare har to sifre mindre enn fem? Det er bare fem sifre mindre enn 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) De resterende fem sifrene er minst 5: ( ; ; ; ; ) 1. løsningsmetode

Forelesning 3 Emne Grunnleggende teoremer og formler for sannsynlighetsteori Emneinnhold Algebra av hendelser. Sannsynlighetsaddisjonsteoremer. Betinget sannsynlighet. Sannsynlighetsmultiplikasjonsteoremer. Total sannsynlighetsformel.

Forelesningsemne: ALGEBRA OVER HENDELSER GRUNNLEGGENDE TEOREMER OM SANNSYNLIGHET Algebra av hendelser Summen av hendelser er hendelsen S = +, som består i forekomsten av minst én av dem Produktet av hendelser kalles

Institutt for høyere matematikk Forelesninger om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk Seksjon. Sannsynlighetsteori Emnet for sannsynlighetsteori er studiet av spesifikke mønstre i massehomogen

INNHOLD TEMA III. INTRODUKSJON TIL SANNSYNLIGHETSTEORI... 2 1. REFERANSER... 2 1.1. GRUNNLEGGENDE KONSEPT OG DEFINISJONER... 2 1.2. HANDLINGER PÅ TILFELDIGE HENDELSER... 4 1.3. KLASSISK DEFINISJON

Forelesning 2. Teoremer om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter Sum og produkt av en hendelse Summen eller foreningen av flere hendelser er en hendelse som består av forekomsten av minst én av disse

FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHTER PROFESSIONAL EDUCATION "Chelyabinsk State Academy of Culture and Art" Institutt for informatikk SANNSYNLIGHETSTEORI

SANNSYNLIGHET FOR EN TILFELDIG HENDELSE Kolmogorovs aksiomer I 1933 ga A. N. Kolmogorov i sin bok "Basic Concepts of Probability Theory" en aksiomatisk begrunnelse for sannsynlighetsteorien. "Dette betyr at etter

NORDDISTRIKT UTDANNINGSDEPARTEMENT ARBEIDSPROGRAM Sannsynlighetsteori og statistikkklasse Læremidler som brukes: Lærebok: Tyurin Yu.N. og andre sannsynlighetsteori og statistikk. M., MTsNMO: JSC

Federal Agency for Education Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNIC UNIVERSITY" FOREDRAG OM TEORI

KOMBINATORISK SANNSYNLIGHET Emne 5 Oversettelse utført med støtte fra IT Akadeemia Forelesningsinnhold 1 Introduksjon 2 3 4 Neste avsnitt 1 Introduksjon 2 3 4 Problem... Problem... Problem... ... og løsning: Jente

FOREDRAG SOM BESTEMMER SANNSYNLIGHETEN FOR EN HENDELSE Sannsynligheten for en hendelse refererer til de grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori og uttrykker målet for den objektive muligheten for at en hendelse skal inntreffe. Det er viktig for praktiske aktiviteter

I Definisjon av sannsynlighet og grunnleggende regler for beregningen Sannsynlighetseksperiment Sannsynlighetsteoriens emne Resultatene av eksperimentet avhenger i en eller annen grad av et sett med forhold som

Chudesenkos problembok, sannsynlighetsteori, alternativ To terninger kastes. Bestem sannsynligheten for at: a summen av antall poeng ikke overstiger N; b produktet av antall poeng ikke overstiger N; V

Sammensatt av: Førsteamanuensis ved Institutt for medisinsk og biologisk fysikk Romanova N.Yu. Sannsynlighetsteori 1 forelesning Innledning. Sannsynlighetsteori er en matematisk vitenskap som studerer mønstrene til tilfeldige fenomener.

MVDubatovskaya Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk Forelesning 3 Metoder for å bestemme sannsynligheter 0 Klassisk bestemmelse av sannsynligheter Vi vil kalle alle de mulige resultatene av et eksperiment elementært

Forelesning 3 Emne Grunnleggende teoremer og formler for sannsynlighetsteori Emneinnhold Algebra av hendelser. Sannsynlighetsaddisjonsteoremer. Betinget sannsynlighet. Sannsynlighetsmultiplikasjonsteoremer. Grunnleggende kategorier av algebra

Forelesning 1. Emne: GRUNNLEGGENDE TILNÆRMINGER FOR Å BESTEMME SANNSYNLIGHET Emne for sannsynlighetsteori. Historisk bakgrunn Emnet for sannsynlighetsteori er studiet av mønstre som oppstår under massive, homogene

M.P. Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Sammendrag Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk Kort sammendrag av første del (spørsmål og svar) Doktor i fysikk og matematikk. Vitenskapsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov

Sannsynlighetsteori Forelesningsplan P Om sannsynlighetsteori som vitenskap P Grunnleggende definisjoner av sannsynlighetsteori P Hyppighet av en tilfeldig hendelse Bestemmelse av sannsynlighet P 4 Anvendelse av kombinatorikk til telling

Elementer av sannsynlighetsteori Tilfeldige hendelser Deterministiske prosesser I vitenskap og teknologi vurderes prosesser hvis utfall kan forutsies med sikkerhet: Hvis en forskjell påføres endene av lederen

TEMA 1 Kombinatorikk Beregning av sannsynligheter Oppgave 1B 17 lag deltar i den nasjonale fotballcupen Hvor mange måter er det å fordele gull-, sølv- og bronsemedaljer på? Fordi det

( σ-algebra - felt av tilfeldige hendelser - første gruppe av Kolmogorovs aksiomer - andre gruppe av Kolmogorovs aksiomer - grunnleggende formler for sannsynlighetsteori - sannsynlighetsaddisjonsteorem - betinget sannsynlighet

Grunnleggende om sannsynlighetsteori Forelesning 2 Innhold 1. Betinget sannsynlighet 2. Sannsynlighet for et produkt av hendelser 3. Sannsynlighet for en sum av hendelser 4. Formel for total sannsynlighet Avhengige og uavhengige hendelser Definisjon

N. G. TAKTAROV SANNSYNLIGHETSTEORI OG MATEMATISK STATISTIKK: ET KORT KURS MED EKSEMPLER OG LØSNINGER Teksten er rettet og supplert SAMMENDRAG Boken er en lærebok der den er kort enkel og tilgjengelig.

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Saratov State Socio-Economic University"

Problemer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Tilfeldige hendelser Oppgave. I et parti med N produkter har produktene en skjult defekt. Hva er sannsynligheten for at ut av k produkter tatt tilfeldig

SANNSYNLIGHETSTEORI. OPPGAVER. Innholdsfortegnelse (etter emne) 1. Formel for klassisk sannsynlighetsbestemmelse. Elementer av kombinatorikk. Geometrisk sannsynlighet 4. Operasjoner på hendelser. Addisjons- og multiplikasjonsteoremer

Kombinatoriske formler La det være et sett bestående av n elementer. La oss betegne det U n. En permutasjon av n elementer er en gitt rekkefølge i settet U n. Eksempler på permutasjoner: 1) distribusjon

KAPITTEL 5 ELEMENTER AV SANNSYNLIGHETSTEORI 5 Sannsynlighetslærens aksiomer Ulike hendelser kan klassifiseres som følger:) Umulig hendelse, en hendelse som ikke kan skje) Viss hendelse

PRAKSIS Grunnleggende formler for kombinatorikk Typer hendelser Handlinger på hendelser Klassisk sannsynlighet Geometrisk sannsynlighet Grunnleggende formler for kombinatorikk Kombinatorikk studerer antall kombinasjoner,

Total sannsynlighetsformel. La det være en gruppe hendelser H 1, H 2,..., H n, som har følgende egenskaper: 1) Alle hendelser er parvis inkompatible: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Deres fagforeningsformer

UNDERVISNINGSDEPARTEMENTET FOR DEN RUSSISKE FØDERASJON IVANOVSK STATENE ENERGISKE UNIVERSITET AVDELING FOR HØYERE MATEMATIKK METODISKE INSTRUKSJONER OM SANNSYNLIGHETSTEORI Satt sammen av:

KULTURDEPARTEMENTET I DEN RUSSISKE FØDERASJONEN FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL EDUCATIONAL EDUCATION INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION "ST. PETERSBURG STATE UNIVERSITY OF CINEMA AND

Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk Doktor i fysikk og matematikk. Vitenskapsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov «Side» med undervisningsmateriell http://inter.vags.ru/hmp Volgograd-avdelingen av RANEPA (FGOU)

Vorobiev V.V. "Lyceum" av Kalachinsk, Omsk Region Workshop om å løse problemer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk En viktig rolle i å studere emner i sannsynlighetsteori og statistikk spilles av

Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk Doktor i fysikk og matematikk. Vitenskapsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov «Side» med undervisningsmateriell http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgograd-avdelingen av RANEPA

SANNSYNLIGHETSTEORI. DISTRIBUSJON AV TILFELDIGE VARIABLER Oppgave. Velg det riktige svaret:. Den relative frekvensen av en tilfeldig hendelse A er en verdi lik... a) forholdet mellom antall gunstige tilfeller

GRUNNLEGGENDE KONSEPT FOR SANNSYNLIGHETSTEORI. 3.1. Tilfeldige hendelser. Hver vitenskap, når de studerer fenomenene i den materielle verden, opererer med visse konsepter, blant hvilke det nødvendigvis er grunnleggende;

Høyere profesjonell utdanning Bachelorgrad V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu Kozlov Sannsynsteori og matematisk statistikk Lærebok Anbefalt av Educational and Methodological Association for Education.

INNHOLD DEL I. SANNSYNLIGHETSTEORI Forord........................................... ........ ......... 6 DEL I. TILFELDIGE HENDELSER........................... ........ 7 KAPITTEL 1. Elementkombinatorisk analyse.........................

Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk Doktor i fysikk og matematikk. Vitenskapsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov Internettressurs med undervisningsmateriell http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgograd filial

Når det gjelder S, kan hendelsen at systemet ikke er lukket skrives: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. I likhet med å løse oppgave 2.5, 2.6 får vi S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION FOR HØYERE PROFESJONELL UTDANNELSE "KAZAN NATIONAL RESEARCH TECHNICAL

SANNSYNLIGHETSTEORI Kombinatorikk, produkt- og sumregler Kombinatorikk som vitenskap.

Federal Agency for Education Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics N. E. Lugina PRAKTIKUM OM SANNSYNLIGHETSTEORI Lærebok Tomsk 2006 Anmeldere: Ph.D.

Forelesning Tilfeldige hendelser Definisjon. Et elementært utfall (eller en elementær begivenhet) er et hvilket som helst enkleste (dvs. udelelig innenfor en gitt opplevelse) utfall av en opplevelse. Settet med alle elementære utfall

FEDERAL EDUCATION AGENCY Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning Ulyanovsk State Technical University S. G. Valeev S. V. Kurkina Tests

4. Sannsynlighetsteori Testen om dette emnet inkluderer fire oppgaver. La oss presentere de grunnleggende konseptene for sannsynlighetsteori som er nødvendige for implementeringen. For å løse oppgaver 50 50 trenger du kunnskap om emnet

Seksjon «Sannsynlighet og statistikk» E.M. Udalova. Primorsky-distriktet, skole 579 Sannsynlighetsteori er en matematisk vitenskap som lar en finne sannsynlighetene for andre tilfeldige hendelser fra sannsynlighetene for noen tilfeldige hendelser

Oppgave 1. Det er 40 kuler i en urne. Sannsynligheten for at 2 trukket kuler blir hvite er 7 60. Hvor mange hvite kuler er det i urnen? Antall måter som k elementer kan velges på fra n er C k

4 Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen Statens utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "Khabarovsk State Academy of Economics and Law" Department

FØDERALT UTDANNINGSBYRÅ AV UTDANNINGS- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FEDERASJON GOUVPO "Perm State University" Assoc. V.V. Morozenko UDC 59. (075.8) Institutt for høyere matematisk teori

FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING Statens utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "Tomsk Polytechnic University" L. I. Konstantinova SANNSYNLIGHETSTEORI OG MATEMATIKK

Federal Agency for Railway Transport, gren av den føderale statlige budsjettutdanningsinstitusjonen for høyere profesjonell utdanning "Siberian State University"

Definisjon av determinanten til en matrise En kvadratisk matrise består av ett element A = (a). Determinanten til en slik matrise er lik A = det(a) = a. () a a A kvadratisk matrise 2 2 består av fire elementer A =

TOMSK TEKNIKK FOR JERNBANETRANSPORT AVDELING AV SGUPS SAMLING AV INDIVIDUELLE OPPGAVER «Elementer av kombinatorikk. Fundamentals of Probability Theory"-disiplinen Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET TIL DEN RUSSISKE føderale statsbudsjettet for utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "Ukhta State Technical University" (USTU) Workshop om disiplinen

MVDubatovskaya Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk Forelesning 4 Teoremer for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter Formel for total sannsynlighet Bayes formel La og B være inkompatible hendelser og sannsynligheter

OPPGAVER: 1. Bruk bukseseler og skriv ned settet med naturlige tall som ligger på strålen mellom tallene 10 og 15. Hvilke av tallene er 0; 10; elleve; 12; 15; Tilhører 50 dette settet? 2. Skriv ned settet

FEDERAL EDUCATION AGENCY Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNIC UNIVERSITY" L.I. KONSTANTINOV

Forelesning 5 Emne Bernoulli-opplegg. Emneinnhold Bernoulli-ordningen. Bernoullis formel. Det mest sannsynlige antallet suksesser i Bernoullis opplegg. Binomial tilfeldig variabel. Grunnleggende kategorier av Newtons binomiale, diagram

Oppgave 12. Av elevene som går på matematikkklubben, der det er 5 jenter og 3 gutter, må to sendes til olympiaden: en jente og en gutt. Hvor mange forskjellige par er det som kan sendes til OL?

Løsning: En jente fra kretsen kan velges på fem måter, og en gutt på tre. Et par (en jente med en gutt) kan velges på femten forskjellige måter

5 3 = 15 måter.

Svar: 15 måter.

Oppgave 13. 12 lag deltar i konkurransen. Hvor mange alternativer er det for fordeling av premieplasser (1, 2, 3)?

Løsning: EN 12 3 = 12 11 10 = 1320 muligheter for utdeling av premieplasser.

Svar: 1320 alternativer.

Oppgave 14. På friidrettsstevnet var skolen vår representert med et lag på 10 utøvere. På hvor mange måter kan en trener bestemme hvem av dem som skal løpe på 4100 m stafett i første, andre, tredje og fjerde etappe?

Løsning: Valg fra 10 til 4, tatt i betraktning rekkefølgen: metoder.

Svar: 5040 måter.

Oppgave 15. På hvor mange måter kan røde, svarte, blå og grønne kuler plasseres på rad?

Løsning: Du kan plassere hvilken som helst av de fire ballene på første plass (4 måter), hvilken som helst av de resterende tre ballene på andre plass (3 måter), hvilken som helst av de resterende to ballene på tredje plass (2 måter), og den siste gjenværende ball på fjerdeplass. Totalt 4 · 3 · 2 · 1 = 24 måter.

R 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Svar: 24 måter.

Oppgave 16 . Elevene fikk en liste med 10 bøker de skulle lese i løpet av ferien. På hvor mange måter kan en student velge 6 bøker fra dem?

Løsning: Velg 6 av 10 uten å ta hensyn til rekkefølgen: metoder.

Svar: 210 måter.

Oppgave 17 . Volodya drar til klassekameratenes bursdagsfest, tvillingene Yulia og Ira. Han ønsker å gi hver av dem en ball. Det er kun 3 baller igjen til salgs i butikken i forskjellige farger: hvit, svart og stripet. På hvor mange måter kan Volodya gi gaver til søstrene sine ved å kjøpe 2 baller?

Løsning: I henhold til betingelsene for problemet er det gitt to sekvensielle valg: først velger Volodya 2 baller av tre tilgjengelige i butikken, og bestemmer seg deretter for hvilken av tvillingbrødrene som skal gi hver av de kjøpte ballene. To av tre baller kan velges på tre måter. Etter det kan hvert utvalgte par gis på to måter (metoder) (rekkefølgen er viktig). Da, i henhold til multiplikasjonsregelen, er det nødvendige antallet måter lik veiene.

Svar: 6 måter.

Oppgave 18 . Det er 7 elever på 9. trinn, 9 elever på 10. trinn, og 8 elever på 11. trinn. For å jobbe på skolestedet må to elever fra 9. klasse velges ut, tre fra 10. trinn og én fra 11. trinn. Hvor mange måter er det for å velge ut elever til å jobbe på skolestedet?

Løsning: Velg mellom tre sett uten å ta hensyn til rekkefølgen, hvert valg fra det første settet (C 7 2) kan kombineres med hvert valg fra det andre (C 9 3) og med hvert valg fra det tredje (C 8 1) ved å bruke multiplikasjonsregelen får vi:

S 7 2 · S 9 3 · S 8 1 =------ · -------- · ---- = 14 112 måter elevene kan velge på.

Svar: 14 112 måter.

Oppgave 19. Niendeklassingene Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha og Olya løp i friminuttet til tennisbordet, hvor en kamp allerede var i gang. På hvor mange måter kan fem niendeklassinger som løper opp til bordet ta en tur for å spille bordtennis?

Løsning: En hvilken som helst niendeklassing kan være den første i rekken, den andre - hvilken som helst av de tre resterende, den tredje - hvilken som helst av de to gjenværende, og den fjerde - niendeklassingen som løp opp nest sist, og den femte-siste. I følge multiplikasjonsregelen har fem elever

5· 4321=120 måter å komme i kø.

Svar: 120 måter.

PRAKTISKE OPPGAVER FOR SELVKONTROLL
Kombinatorikk
Hvor mange forskjellige femsifrede tall kan lages av sifrene 1, 3, 5, 7, 9, forutsatt at ikke et eneste siffer gjentas i tallet?

Hvor mange muligheter er det for å dele ut tre premier hvis 7 lag deltar i trekningen?

På hvor mange måter kan to studenter velges ut til en konferanse hvis det er 33 personer i gruppen?

Løs ligninger
a) 13 EMBED Equation.3 1415. b) 13 EMBED Equation.3 1415.
Hvor mange firesifrede tall som er delbare med 5 kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 5, 7, hvis hvert tall ikke må inneholde de samme sifrene?

Fra en gruppe på 15 personer bør en arbeidsleder og 4 teammedlemmer velges. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Morsekodebokstaver er bygd opp av symboler (prikker og bindestreker). Hvor mange bokstaver kan tegnes hvis du krever at hver bokstav ikke skal inneholde mer enn fem tegn?

På hvor mange måter kan firefargebånd lages av syv bånd i forskjellige farger?

På hvor mange måter kan fire personer velges fra ni kandidater til fire ulike stillinger?

På hvor mange måter kan du velge 3 av 6 kort?

Før eksamen utvekslet en gruppe på 30 studenter bilder. Hvor mange fotokort ble delt ut?

På hvor mange måter kan 10 gjester sitte på ti steder ved et festlig bord?

Hvor mange kamper bør 20 fotballag spille i et mesterskap med én runde?

På hvor mange måter kan 12 personer fordeles mellom lag hvis hvert lag har 6 personer?

Sannsynlighetsteori
Urnen inneholder 7 røde og 6 blå kuler. To kuler trekkes fra urnen samtidig. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde (hendelse A)?

Ni forskjellige bøker er tilfeldig ordnet på én hylle. Finn sannsynligheten for at fire spesifikke bøker blir plassert ved siden av hverandre (hendelse C).

Av 10 lodd vinner 2. Bestem sannsynligheten for at én vinner.

3 kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk (52 kort). Finn sannsynligheten for at det er en treer, en syver, et ess.

Et barn leker med de fem bokstavene i det delte alfabetet A, K, R, Sh, Y. Hva er sannsynligheten for at hvis bokstavene er tilfeldig ordnet på rad, vil han få ordet "Tak".

Det er 6 hvite og 4 røde kuler i boksen. To baller tas tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at de har samme farge?

Den første urnen inneholder 6 sorte og 4 hvite kuler, den andre urnen inneholder 5 svarte og 7 hvite kuler. En ball trekkes fra hver urne. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er hvite?

Tilfeldig variabel, matematisk forventning og varians av en tilfeldig variabel
Lag en fordelingslov for antall treff på en skive med seks skudd, hvis sannsynligheten for et treff med ett skudd er 0,4.

Sannsynligheten for at en student finner boken han trenger på biblioteket er 0,3. Lag en distribusjonslov for antall biblioteker han skal besøke dersom det er fire bibliotek i byen.

Jegeren skyter på viltet frem til første treff, men klarer ikke å skyte mer enn fire skudd. Finn variansen av antall bom hvis sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,7.

Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X hvis loven for fordelingen er gitt av tabellen:

X
1
2
3
4

R
0,3
0,1
0,2
0,4

Anlegget driver fire automatiske linjer. Sannsynligheten for at den første linjen ikke krever justering under et arbeidsskift er 0,9, den andre – 0,8, den tredje – 0,75, den fjerde – 0,7. finne den matematiske forventningen til antall linjer som ikke vil kreve justering under et arbeidsskift.
Finn variansen til den tilfeldige variabelen X, og kjenn loven for fordelingen:

X
0
1
2
3
4

R
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. SVAR

Kombinatorikk
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415. 4. a) 13 EMBED Equation.3 1415, 5; b) 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415. 6.13 EMBED Equation.3 1415. 7. 13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 91415 Equ. 10.13 EMBED Equation.3 1415. 11. 13 EMBED Equation.3 1415. 12. 13 EMBED Equation.3 1415. 13. 190. 14. 924.

Sannsynlighetsteori
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2.13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 14155. 13 EMBED Equation.3 14156. Equation. 14156. EMBED Equation. 3 1415

Tilfeldig variabel, matematisk forventning og varians av en tilfeldig variabel.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415 5,13 EMBED Equation.3 1415 6,13 EMBED Equation.3 1415.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Innfødt

METODOLOGISK UTVIKLING AV EN PRAKTISK LEKSJON i faget: "MATEMATIKK"

Emne: "GRUNNLEGGENDE FOR SANNSYNLIGHETSTEORI OG MATEMATISK STATISTIKK"

Eksempel 1 . Beregn: a) ; b) ; V).

Løsning. A) .

b) Siden , så kan vi sette den utenfor parentes

Så får vi

V) .

Eksempel 2 . På hvor mange måter kan seks forskjellige bøker ordnes på én hylle?

Løsning. Det nødvendige antallet måter er lik antall permutasjoner av 6 elementer, dvs.

Eksempel 3. Hvor mange alternativer for å distribuere tre kuponger til sanatorier med ulike profiler kan settes sammen for fem søkere?

Løsning. Det nødvendige antallet alternativer er lik antall plasseringer av 5 elementer av 3 elementer, dvs.

.

Eksempel 4 . I et team på 25 personer må du tildele fire til å jobbe i et bestemt område. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning. Siden rekkefølgen på de fire personene som er valgt ikke spiller noen rolle, kan dette gjøresmåter.

Vi finner å bruke den første formelen

.

I tillegg, når du løser problemer, brukes følgende formler som uttrykker de grunnleggende egenskapene til kombinasjoner:

(per definisjon antar de og);

.

1.2. Løse kombinatoriske problemer

Oppgave 1. Fakultetet studerer 16 emner. Du må sette 3 emner på timeplanen din for mandag. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning. Det er like mange måter å planlegge tre elementer av 16 på som du kan ordne plasseringer av 16 elementer med 3.

Oppgave 2. Av 15 objekter må 10 objekter velges. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning.

Oppgave 3. Fire lag deltok i konkurransen. Hvor mange alternativer for å fordele seter mellom dem er mulig?

Løsning.

.

Oppgave 4. På hvor mange måter kan en patrulje bestå av tre soldater og en offiser hvis det er 80 soldater og 3 offiserer?

Løsning. Du kan velge en soldat på patrulje

måter, og offiserer på måter. Siden enhver offiser kan gå med hvert team av soldater, er det bare så mange måter.

Oppgave 5. Finn om det er kjent at .

Løsning.

Siden får vi

,

,

, .

Per definisjon av en kombinasjon følger det at . At. .

Svar: 9

1.3. Konseptet med en tilfeldig hendelse. Typer hendelser. Sannsynlighet for hendelse

Eksempel. Boksen inneholder 30 nummererte kuler. Bestem hvilke av følgende hendelser som er umulige, pålitelige eller motsatte:

tok ut en nummerert ball(EN);

fikk en ball med partall(I);

fikk en ball med et oddetall(MED);

fikk en ball uten nummer(D).

Hvem av dem utgjør en komplett gruppe?

Løsning. EN - pålitelig hendelse;D - umulig hendelse;

I OgMED - motsatte hendelser.

Den komplette gruppen av arrangementer består avEN OgD, V OgMED .

Sannsynlighet for hendelse , anses som et mål på den objektive muligheten for forekomsten av en tilfeldig hendelse.

1.4. Klassisk definisjon av sannsynlighet

Oppgave 1. I et lotteri på 1000 lodd er det 200 vinnende. Én billett tas ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at denne billetten er en vinner?

Løsning. Det totale antallet forskjellige utfall ern =1000. Antallet utfall som er gunstige for å vinne erm=200. I følge formelen får vi

.

Oppgave 2. I en batch på 18 deler er det 4 defekte. 5 deler er valgt tilfeldig. Finn sannsynligheten for at to av disse 5 delene vil være defekte.

Løsning. Antall alle like mulige uavhengige utfalln lik antall kombinasjoner av 18 ganger 5, dvs.

La oss telle talletm, gunstig for hendelse A. Blant 5 deler tatt tilfeldig, skal det være 3 av høy kvalitet og 2 defekte. Antall måter å velge to defekte deler fra 4 eksisterende defekte er lik antall kombinasjoner av 4 x 2:

Antall måter å velge tre kvalitetsdeler fra 14 tilgjengelige kvalitetsdeler er lik

.

Enhver gruppe av gode deler kan kombineres med en hvilken som helst gruppe av defekte deler, så det totale antallet kombinasjonerm beløper seg til

Den ønskede sannsynligheten for hendelse A er lik forholdet mellom antall utfallm, gunstig for denne hendelsen, til nummeretnalle like mulige uavhengige utfall:

.

1.5. Teorem for å legge til sannsynligheter for uforenlige hendelser

Beløp av et begrenset antall hendelser er en hendelse som består av forekomsten av minst én av dem.

Summen av to hendelser er angitt med symbolet A+B, og summenn hendelsessymbol A 1 +A 2 + … +A n .

Sannsynlighetsaddisjonsteorem.

Oppgave 1. Det er 100 lodd. Det er kjent at 5 billetter vinner 20 000 rubler hver, 10 billetter vinner 15 000 rubler, 15 billetter vinner 10 000 rubler, 25 billetter vinner 2000 rubler. og ingenting for resten. Finn sannsynligheten for at den kjøpte billetten vil motta en gevinst på minst 10 000 rubler.

Løsning. La A, B og C være begivenheter som består i at den kjøpte billetten mottar en gevinst som tilsvarer henholdsvis 20 000, 15 000 og 10 000 rubler. siden hendelser A, B og C er uforenlige, da

Oppgave 2. Korrespondanseavdelingen til den tekniske skolen mottar prøver i matematikk fra byerA, B OgMED . Sannsynlighet for å motta en test fra byenEN lik 0,6, fra byenI - 0,1. Finn sannsynligheten for at neste test kommer fra byenMED .

Løsning. Hendelser «testen kom fra byenEN ", "testen kom fra by B" og "testen kom fra by C" danner et komplett system, så summen av sannsynlighetene deres er lik én:

, dvs. .

Oppgave 3. Sannsynligheten for at dagen blir klar er . Finn sannsynligheten for at dagen blir overskyet.

Løsning. Begivenhetene "klar dag" og "skyet dag" er derfor motsatte

Det er

1.6. Teorem for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser

Oppgave 1. Regn ut sannsynligheten for at en familie med ett barn, en gutt, får en gutt nummer to.

Løsning. La arrangementetEN er at det er to gutter i familien, og arrangementetI - den ene gutten.

Vurder alle mulige utfall: gutt og gutt; gutt og jente; Jente og gutt; jente og jente.

Deretter, og ved hjelp av formelen vi finner

.

Oppgave 2. Den første urnen inneholder 6 sorte og 4 hvite kuler, den andre urnen inneholder 5 svarte og 7 hvite kuler. En ball trekkes fra hver urne. Hva er sannsynligheten for at begge kulene blir hvite?

Løsning. La - en hvit ball trekkes fra den første urnen; - en hvit ball trekkes fra den andre urnen. Det er åpenbart at hendelsene er uavhengige.

Fordi , , så bruker vi formelen vi finner

.

Oppgave 3. Enheten består av to elementer som fungerer uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for svikt i det første elementet er 0,2; sannsynligheten for svikt i det andre elementet er 0,3. Finn sannsynligheten for at: a) begge elementene vil mislykkes; b) begge elementene vil fungere.

Løsning. La arrangementetEN - svikt i det første elementet, hendelseI - utgangen av deres struktur av det andre elementet. Disse hendelsene er uavhengige (etter tilstand).

a) Samtidig opptredenEN OgI det er en hendelseAB . Derfor,

b) Hvis det første elementet fungerer, oppstår en hendelse (motsatt til hendelsenEN - svikt i dette elementet); hvis det andre elementet fungerer - hendelseI. La oss finne sannsynlighetene for hendelser og:

Da er hendelsen at begge elementene vil fungere, og derfor,

II . TILFELDIG VARIABEL, DENS DISTRIBUSJONSFUNKSJON

2.1. Tilfeldig variabel, metoder for å spesifisere den

Tilfeldig er en størrelse som som følge av testing kan få en eller annen tallverdi, og det er ikke kjent på forhånd hvilken.

Hvis målingen for en mengde gjentas mange ganger under nesten identiske forhold, vil du finne at hver gang du får litt forskjellige resultater. Dette er påvirkningen av to typer årsaker: 1) grunnleggende, som bestemmer hovedbetydningen av resultatet; 2) sekundære, forårsaker deres divergens.

Med felles handling av disse årsakene er begrepene nødvendighet og tilfeldighet nært knyttet til hverandre, men det nødvendige går foran sjansen.

Dermed tilhører de mulige verdiene til tilfeldige variabler noen numeriske sett.

Det som er tilfeldig er at på disse settene kan mengder få hvilken som helst verdi, men som ikke kan sies på forhånd.

En tilfeldig variabel er assosiert med en tilfeldig hendelse.

Hvis en tilfeldig hendelse -kvalitetskarakteristikk tester, så er den tilfeldige variabelen denskvantitativ karakteristikk .

Tilfeldige variabler er merket med store latinske bokstaver og deres betydning med store bokstaver - .

Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel tar en verdi er angitt med:

etc.

Tilfeldige variabler er spesifisert av distribusjonslover.

Fordelingsloven for en tilfeldig variabel er samsvaret etablert mellom de mulige verdiene til en tilfeldig variabel og deres sannsynligheter.

Distribusjonslover kan spesifiseres på tre måter: tabellform, grafisk, analytisk. Metoden for innstilling avhenger av typen tilfeldig variabel.

Det er to hovedtyper av tilfeldige variabler:diskrete og kontinuerlig distribuerte tilfeldige variabler.

2.2. Diskrete og kontinuerlige tilfeldige variabler

Hvis verdiene som en gitt tilfeldig variabel kan ta, danner en diskret (endelig eller uendelig) serie med tall, kalles selve tilfeldig variabelendiskret.

Hvis verdiene som en gitt tilfeldig variabel kan ta fyller et endelig eller uendelig intervall (a, b) av tallaksenÅh, så kalles den tilfeldige variabelenkontinuerlige.

Hver verdi av en tilfeldig variabel av en diskret type tilsvarer en viss sannsynlighet; Hvert intervall (a, b) fra verdiområdet til en tilfeldig variabel av kontinuerlig type tilsvarer også en viss sannsynlighet for at verdien tatt av den tilfeldige variabelen faller inn i dette intervallet.

2.3. Fordelingsloven for en tilfeldig variabel

Et forhold som på en eller annen måte etablerer en sammenheng mellom de mulige verdiene til en tilfeldig variabel og deres sannsynligheter kallesdistribusjonsloven tilfeldig variabel.

Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel er vanligvis gittneste distribusjon:

Hvori, hvor summeringen strekker seg til hele (endelig eller uendelig) settet med mulige verdier for en gitt tilfeldig variabel.

Det er praktisk å spesifisere distribusjonsloven til en kontinuerlig tilfeldig variabel ved å brukesannsynlighetstetthetsfunksjoner .

Sannsynligheten for at verdien tatt av den stokastiske variabelen faller inn i intervallet (a, b) bestemmes av likheten

.

Grafen til funksjonen kallesfordelingskurve . Geometrisk er sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i intervallet (a, b) lik arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen avgrenset av distribusjonskurven, aksenÅh og rettx=a, x=b.

Oppgave 1. Sannsynlighetene for de tilfeldige variabelverdiene er gitt: verdien 10 har en sannsynlighet på 0,3; verdi 2 – sannsynlighet 0,4; verdi 8 – sannsynlighet 0,1; verdi 4 – sannsynlighet 0,2. Konstruer en distribusjonsserie av en tilfeldig variabel.

Løsning. Ved å ordne verdiene til den tilfeldige variabelen i stigende rekkefølge, får vi fordelingsserien:

La oss ta det på et flykor poeng (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) og (10; 0,3). Ved å koble suksessive punkter med rette linjestykker får vipolygon (ellerpolygon ) fordeling av en tilfeldig variabel

X

Oppgave 2. To gjenstander verdt 5 000 rubler hver og én gjenstand verdt 30 000 rubler er å hente. Lag en lov om fordeling av gevinster for en person som kjøpte en lodd av 50.

Løsning. Den ønskede tilfeldige variabelen er en gevinst og kan ta tre verdier: 0, 5000 og 30000 rubler. Det første resultatet favoriseres av 47 saker, det andre resultatet av to saker og det tredje av ett tilfelle. La oss finne sannsynlighetene deres:

; ; .

Fordelingsloven til en tilfeldig variabel har formen:

Som en sjekk finner vi

Oppgave 3. Den stokastiske variabelen er underlagt en fordelingslov med tetthet , og

Påkrevd: 1) Finn koeffisient a; 2) bygge en tetthetsfordelingsgraf; 3) finn sannsynligheten for å falle inn i intervallet (1; 2).

Løsning. 1) Siden alle verdier av en gitt tilfeldig variabel er inneholdt i segmentet, da

, hvor

, eller

De. .

2) Grafen til en funksjon i intervallet er en parabel, og utenfor dette intervallet fungerer selve x-aksen som graf.

X

) Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i intervallet (1; 2) kan finnes fra likheten

2.4. Binomial fordeling

La et visst antall produseresn uavhengige eksperimenter, og i hver av dem kan en hendelse oppstå med samme sannsynlighetR . Tenk på en tilfeldig variabel som representerer antall forekomster av hendelserEN Vn eksperimenter. Loven om dens distribusjon har formen

Hvor, beregnes ved å bruke Bernoullis formel.

Fordelingsloven, som er preget av en slik tabell, kallesbinomial .

Oppgave. Mynten kastes 5 ganger. Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel - nummeret på våpenskjoldet.

Løsning. Følgende verdier av den tilfeldige variabelen er mulige: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Når vi vet at sannsynligheten for at et våpenskjold faller ut i ett forsøk er lik , vil vi finne sannsynlighetene for verdiene av den tilfeldige variabelen ved å bruke Bernoulli-formelen:

Fordelingsloven har formen

La oss sjekke:

III . MATEMATISK FORVENTNING OG VARIANS AV EN TILFELDIG VARIABEL

3.1. Forventning om en diskret tilfeldig variabel

Eksempel 1 . Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel, og kjenn loven for fordelingen

Løsning.

Egenskaper for matematisk forventning.

1. Konstantfaktoren kan tas ut av det matematiske forventningstegnet:

2. Matematisk forventning om en konstant verdiMED lik denne verdien i seg selv:

3. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger:

4. Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av de matematiske forventningene til disse variablene:

3.2. Standardavvik og varians for en tilfeldig variabel.

Eksempel 2. La oss finne den matematiske forventningen til tilfeldige variabler og kjenne lovene for deres distribusjon

2)

Løsning:

P

Vi fikk et interessant resultat: lovene for fordeling av mengder og er forskjellige, men deres matematiske forventninger er de samme.

b)

Fra tegningenb det er tydelig at verdien av mengden er mer konsentrert rundt den matematiske forventningen enn verdiene av mengden som er spredt (spredt) i forhold til dens matematiske forventning (figurEN ).

Den viktigste numeriske egenskapen til spredningsgraden av verdiene til en tilfeldig variabel i forhold til dens matematiske forventning er spredning, som er betegnet med .

På hvor mange måter kan to studenter velges ut til en konferanse hvis det er 33 personer i gruppen?

Løs ligninger

EN) . b) .

Hvor mange firesifrede tall som er delbare med 5 kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 5, 7, hvis hvert tall ikke må inneholde de samme sifrene?

Fra en gruppe på 15 personer bør en arbeidsleder og 4 teammedlemmer velges. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Morsekodebokstaver er bygd opp av symboler (prikker og bindestreker). Hvor mange bokstaver kan tegnes hvis du krever at hver bokstav ikke skal inneholde mer enn fem tegn?

På hvor mange måter kan firefargebånd lages av syv bånd i forskjellige farger?

På hvor mange måter kan fire personer velges fra ni kandidater til fire ulike stillinger?

På hvor mange måter kan du velge 3 av 6 kort?

Før eksamen utvekslet en gruppe på 30 studenter bilder. Hvor mange fotokort ble delt ut?

På hvor mange måter kan 10 gjester sitte på ti steder ved et festlig bord?

Hvor mange kamper bør 20 fotballag spille i et mesterskap med én runde?

På hvor mange måter kan 12 personer fordeles mellom lag hvis hvert lag har 6 personer?

Sannsynlighetsteori

Urnen inneholder 7 røde og 6 blå kuler. To kuler trekkes fra urnen samtidig. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde (hendelse A)?

Ni forskjellige bøker er tilfeldig ordnet på én hylle. Finn sannsynligheten for at fire spesifikke bøker blir plassert ved siden av hverandre (hendelse C).

Av 10 lodd vinner 2. Bestem sannsynligheten for at én vinner.

3 kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk (52 kort). Finn sannsynligheten for at det er en treer, en syver, et ess.

Et barn leker med de fem bokstavene i det delte alfabetet A, K, R, Sh, Y. Hva er sannsynligheten for at hvis bokstavene er tilfeldig ordnet på rad, vil han få ordet "Tak".

Det er 6 hvite og 4 røde kuler i boksen. To baller tas tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at de har samme farge?

Den første urnen inneholder 6 sorte og 4 hvite kuler, den andre urnen inneholder 5 svarte og 7 hvite kuler. En ball trekkes fra hver urne. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er hvite?

Tilfeldig variabel, matematisk forventning og varians av en tilfeldig variabel

Lag en fordelingslov for antall treff på en skive med seks skudd, hvis sannsynligheten for et treff med ett skudd er 0,4.

Sannsynligheten for at en student finner boken han trenger på biblioteket er 0,3. Lag en distribusjonslov for antall biblioteker han skal besøke dersom det er fire bibliotek i byen.

Jegeren skyter på viltet til første treff, men klarer ikke å skyte mer enn fire skudd. Finn variansen av antall bom hvis sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,7.

Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabelX, hvis loven om fordelingen er gitt av tabellen:

Anlegget driver fire automatiske linjer. Sannsynligheten for at den første linjen under arbeidsskiftet ikke vil kreve justering er 0,9, den andre – 0,8, den tredje – 0,75, den fjerde – 0,7. finne den matematiske forventningen til antall linjer som ikke vil kreve justering under et arbeidsskift.

Finn variansen til den tilfeldige variabelen X, og kjenn loven for fordelingen: 5. BIBLIOGRAFI

Hoved:

1. Bogomolov N.V. Praktiske timer i matematikk. – M.: Videregående skole, 1990. – 495 s.

   Soloveychik I.L. Samling av problemer i matematikk for tekniske skoler / I.L. Soloveychik, V.T. Lisichkin. – M.: Onyx 21. århundre, 2003. – 464 s.

   Valutse I.I. Matematikk for tekniske skoler / I.I. Valuta, G.D. Diligul. - M.: Nauka, 1989. – 575 s.

   Danko P.E. Høyere matematikk i oppgaver og oppgaver. I to deler. DelII/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Høyere skole, 1986. – 415 s.

   Vygodsky M.Ya. Håndbok i høyere matematikk. – M.: Nauka, 1975. – 872 s.

Ytterligere:

Griguletsky V.G. Matematikk for studenter av økonomiske spesialiteter. Del 2 / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. – Krasnodar, 2002. – 348 s.

Malykhin V.I. Matematikk i økonomi. – M.: Infra-M, 1999. – 356 s.

Gusak A.A. Høyere matematikk. I 2 bind, T.2. - Lærebok for universitetsstudenter. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 s.

Griguletsky V.G. Høyere matematikk / V.G. Griguletsky, Z.V. Jasjtsjenko. – Krasnodar, 1998.-186 s.

Gmurman V.E. En guide til å løse problemer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. – M.: Videregående skole, 2000. – 400 s.

Metoder for å løse kombinatoriske problemer

Oppregning av mulige alternativer

Enkle problemer løses ved et ordinært uttømmende søk av mulige alternativer uten å lage ulike tabeller og diagrammer.

Oppgave 1.
Hvilke tosifrede tall kan lages av tallene 1, 2, 3, 4, 5?

Svar: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Oppgave 2.
Ivanov, Gromov og Orlov deltar i det siste 100 m-løpet. Nevn mulige alternativer for utdeling av premier.

Svar:
Alternativ 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Alternativ 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Alternativ 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Alternativ 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Alternativ 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Alternativ 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Oppgave 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta meldte seg på ballroomdanseklubben. Hvilke dansepar av en jente og en gutt kan danne?

Svar:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Tre over mulige alternativer

En rekke kombinatoriske problemer løses ved å lage spesielle kretser. Utad ligner dette opplegget et tre, derav navnet på metoden - treet av mulige alternativer.

Oppgave 4.
Hvilke tresifrede tall kan lages av tallene 0, 2, 4?

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, og ta i betraktning at 0 ikke kan være det første sifferet i tallet.

Svar: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Oppgave 5.
Skoleturister bestemte seg for å ta en tur til et fjellvann. Den første etappen av reisen kan dekkes med tog eller buss. Den andre etappen er med kajakk, sykkel eller til fots. Og den tredje etappen av reisen er til fots eller med taubane. Hvilke mulige reisemuligheter har skoleturister?

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, som angir reise med tog P, med buss - A, med kajakk - B, med sykkel - B, til fots - X, med taubane - K.

Svar:Figuren lister opp alle 12 mulige reisealternativer for skoleturister.

Oppgave 6.
Skriv ned alle mulige alternativer for å planlegge fem leksjoner per dag fra fagene: matematikk, russisk, historie, engelsk, kroppsøving og matematikk bør være den andre leksjonen.

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, som betegner M - matematikk, R - russisk, I - historie, A - engelsk, F - kroppsøving.

Svar:Det er totalt 24 mulige alternativer:

R M OG EN F

R M OG F EN

R M EN OG F

R M EN F OG

R M F OG EN

R M F EN OG

OG M R EN F

OG M R F EN

OG M EN R F

OG M EN F R

OG M F R EN

OG M F EN R

EN M R OG F

EN M R F OG

EN M OG R F

EN M OG F R

EN M F R OG

EN M F OG R

F M R OG EN

F M R EN OG

F M OG R EN

F M OG EN R

F M EN R OG

F M EN OG R

Oppgave 7.
Sasha går på skolen i bukser eller jeans, han bruker grå, blå, grønne eller rutete skjorter med dem, og tar sko eller joggesko som skifte av sko.
a) Hvor mange dager vil Sasha kunne se ny ut?
b) Hvor mange dager vil han bruke joggesko?
c) Hvor mange dager vil han ha på seg en rutete skjorte og jeans?

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, som betegner B - bukser, D - jeans, C - grå skjorte, G - blå skjorte, Z - grønn skjorte, P - rutete skjorte, T - sko, K - joggesko.

Svar:a) 16 dager; b) 8 dager; c) 2 dager.

Sammenstilling av tabeller

Du kan løse kombinatoriske problemer ved å bruke tabeller. De, som treet av mulige alternativer, representerer klart løsningen på slike problemer.

Oppgave 8.
Hvor mange tosifrede oddetall kan lages fra sifrene 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Løsning.La oss lage en tabell: den første kolonnen til venstre er de første sifrene i de nødvendige tallene, den første raden øverst er de andre sifrene.

Svar: 28.

Oppgave 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha og Igor forberedte seg på å bli presentatører på nyttårsferien. Nevn mulige alternativer hvis bare én jente og én gutt kan lede.

Løsning.La oss lage en tabell: den første kolonnen til venstre er navnene på jenter, den første raden øverst er navnene på guttene.

Svar:Alle mulige alternativer er oppført i radene og kolonnene i tabellen.

Multiplikasjonsregel

Denne metoden for å løse kombinatoriske problemer brukes når det ikke er nødvendig å liste opp alle mulige alternativer, men du må svare på spørsmålet - hvor mange av dem finnes.

Oppgave 10.
Flere lag deltar i fotballturneringen. Det viste seg at de alle brukte hvite, røde, blå og grønne farger til shortsene og T-skjortene sine, og alle mulige alternativer ble presentert. Hvor mange lag deltok i turneringen?

Løsning.
Truser kan være hvite, røde, blå eller grønne, dvs. Det er 4 alternativer. Hvert av disse alternativene har 4 jerseyfarger.

4 x 4 = 16.

Svar: 16 lag.

Oppgave 11.
6 elever tar en prøve i matematikk. På hvor mange måter kan de ordnes i listen?

Løsning.
Den første på listen kan være hvilken som helst av de 6 elevene,
den andre på listen kan være hvilken som helst av de resterende 5 studentene,
tredje - noen av de resterende 4 studentene,
fjerde - noen av de resterende 3 studentene,
femte - noen av de resterende 2 studentene,
sjette - den siste 1 eleven.

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

Svar: 720 måter.

Oppgave 12.
Hvor mange like tosifrede tall kan lages fra sifrene 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Løsning.
Det første i et tosifret tall kan være 5 sifre (siffer 0 kan ikke være det første i tallet), det andre i et tosifret tall kan være 4 sifre (0, 2, 4, 6, siden tallet må være til og med).
5 x 4 = 20.

Svar: 20 tall.