Omkrets og areal av et parallellogram. Hvordan finne arealet til et parallellogram

Et parallellogram er en firkantet figur hvis motsatte sider er parallelle og like i par. Dens motsatte vinkler er også like, og skjæringspunktet mellom diagonalene til parallellogrammet deler dem i to, og er symmetrisenteret til figuren. Spesielle tilfeller av et parallellogram er slike geometriske former som kvadrat, rektangel og rombe. Arealet til et parallellogram kan bli funnet forskjellige måter, avhengig av hvilke innledende data som følger med problemformuleringen.

Nøkkelegenskapen til et parallellogram, veldig ofte brukt når man finner området, er høyden. Høyden på et parallellogram kalles vanligvis en vinkelrett trukket fra et vilkårlig punkt på motsatt side til et rett segment som danner den siden.

I det enkleste tilfellet er arealet til et parallellogram definert som produktet av basen og høyden.
S = DC ∙ h

hvor S er arealet av parallellogrammet;
a - base;
h er høyden tegnet til den gitte basen.
Denne formelen er veldig lett å forstå og huske hvis du ser på følgende figur.
Som du kan se fra dette bildet, hvis vi kutter av en tenkt trekant til venstre for parallellogrammet og fester den til høyre, vil resultatet bli et rektangel. Som du vet, blir arealet til et rektangel funnet ved å multiplisere lengden med høyden. Bare i tilfelle av et parallellogram vil lengden være basen, og høyden på rektangelet vil være høyden på parallellogrammet senket til en gitt side.
Arealet til et parallellogram kan også bli funnet ved å multiplisere lengdene til to tilstøtende baser og sinusen til vinkelen mellom dem:
S = AD∙AB∙sinα

hvor AD, AB er tilstøtende baser som danner et skjæringspunkt og en vinkel a mellom seg;
α er vinkelen mellom basene AD og AB.
Du kan også finne arealet til et parallellogram ved å dele produktet av lengdene på diagonalene til parallellogrammet i halvparten med sinusen til vinkelen mellom dem.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ

hvor AC, BD er diagonalene til parallellogrammet;
β er vinkelen mellom diagonalene.
Det er også en formel for å finne arealet til et parallellogram gjennom radiusen til sirkelen som er innskrevet i den. Det er skrevet som følger:

Arealet av et parallellogram. I mange geometriproblemer knyttet til beregning av arealer, inkludert oppgaver på Unified State Exam, brukes formler for arealet til et parallellogram og en trekant. Det er flere av dem, vi skal se på dem her.

Det ville være for enkelt å liste disse formlene det er allerede nok av dette i oppslagsverk og på forskjellige nettsteder. Jeg vil gjerne formidle essensen - slik at du ikke stapper dem, men forstår dem og lett kan huske dem når som helst. Etter å ha studert materialet i artikkelen, vil du forstå at det ikke er nødvendig å lære disse formlene i det hele tatt. Objektivt sett forekommer de så ofte i beslutninger at de forblir i minnet i lang tid.

1. Så la oss se på et parallellogram. Definisjonen lyder:

Hvorfor det? Det er enkelt! For å tydelig vise hva meningen med formelen er, la oss utføre noen ekstra konstruksjoner, nemlig konstruere høydene:

Arealet av trekanten (2) er lik arealet av trekanten (1) - det andre tegnet på likhet rette trekanter"langs benet og hypotenusen." La oss nå mentalt "kutte av" den andre og flytte den over den første - vi får et rektangel, hvis areal vil være lik arealet til det originale parallellogrammet:

Arealet til et rektangel er kjent for å være lik produktet av dets tilstøtende sider. Som man kan se fra skissen, er den ene siden av det resulterende rektangelet lik siden av parallellogrammet, og den andre er lik høyden på parallellogrammet. Derfor får vi formelen for arealet til et parallellogram S = a∙h en

2. La oss fortsette, en annen formel for området. Vi har:

Arealet av en parallellogramformel

La oss betegne sidene som a og b, vinkelen mellom dem er γ "gamma", høyden er h a. Tenk på en rettvinklet trekant:

Torget geometrisk figur - en numerisk karakteristikk av en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området er uttrykt ved antall kvadratenheter som det inneholder.

Trekantarealformler

Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.

Kvadratarealformler

Formel for arealet av et kvadrat ved sidelengde
Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.
S= 1 2
2

Formel for rektangelareal

Arealet av et rektangel

Parallelogramarealformler

Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
Arealet av et parallellogram
Formel for arealet av et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.
a b sin α

Formler for området til en rombe

Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
Området til en rombe er lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
Formel for området til en rombe basert på lengden på diagonalene
Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene på diagonalene.

Trapesformler

Herons formel for trapes
Hvor S er arealet av trapeset,
- lengder på basene til trapesen,
- lengder på sidene av trapesen,

Parallelogram er en firkant hvis sider er parallelle i par.

I denne figuren er motsatte sider og vinkler lik hverandre. Diagonalene til et parallellogram skjærer hverandre i ett punkt og halverer det. Formler for arealet til et parallellogram lar deg finne verdien ved å bruke sidene, høyden og diagonalene. Et parallellogram kan også presenteres i spesielle tilfeller. De regnes som et rektangel, kvadrat og rombe.
Først, la oss se på et eksempel på beregning av arealet til et parallellogram etter høyde og siden som det senkes til.

Denne saken regnes som en klassiker og krever ikke ytterligere etterforskning. Det er bedre å vurdere formelen for å beregne arealet gjennom to sider og vinkelen mellom dem. Samme metode brukes i beregninger. Hvis sidene og vinkelen mellom dem er gitt, beregnes arealet som følger:

Anta at vi får et parallellogram med sidene a = 4 cm, b = 6 cm. Vinkelen mellom dem er α = 30°. La oss finne området:

Arealet av et parallellogram gjennom diagonaler

Formelen for arealet til et parallellogram ved hjelp av diagonalene lar deg raskt finne verdien.
For beregninger trenger du størrelsen på vinkelen mellom diagonalene.

La oss vurdere et eksempel på beregning av arealet til et parallellogram ved hjelp av diagonaler. La et parallellogram gis med diagonaler D = 7 cm, d = 5 cm. Vinkelen mellom dem er α = 30°. La oss erstatte dataene i formelen:

Et eksempel på beregning av arealet til et parallellogram gjennom diagonalen ga oss et utmerket resultat - 8,75.

Når du kjenner formelen for arealet av et parallellogram gjennom diagonalen, kan du løse mange interessante problemer. La oss se på en av dem.

Oppgave: Gitt et parallellogram med et areal på 92 kvadratmeter. se Punkt F ligger midt på siden f.Kr. La oss finne området til den trapesformede ADFB, som vil ligge i parallellogrammet vårt. Først, la oss tegne alt vi mottok i henhold til forholdene.
La oss komme til løsningen:

I henhold til våre forhold, ah =92, og følgelig vil arealet til vår trapes være lik