Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot tiešsaistes aizstāšanu. Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi

Algebriskā saskaitīšanas metode

Jūs varat atrisināt vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem dažādos veidos- grafiskā metode vai mainīgā aizstāšanas metode.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar citu sistēmu risināšanas metodi, kas, iespējams, jums patiks - šī ir algebriskās saskaitīšanas metode.

No kurienes radās ideja kaut ko ievietot sistēmās? Risinot sistēmas galvenā problēma ir divu mainīgo klātbūtne, jo mēs nezinām, kā atrisināt vienādojumus ar diviem mainīgajiem. Tas nozīmē, ka viens no tiem ir kaut kādā likumīgā veidā jāizslēdz. Un šādi likumīgi veidi ir matemātiskie noteikumi un īpašības.

Viena no šīm īpašībām ir: pretējo skaitļu summa ir nulle. Tas nozīmē, ka, ja vienam no mainīgajiem ir pretēji koeficienti, tad to summa būs vienāda ar nulli un mēs varēsim izslēgt šo mainīgo no vienādojuma. Ir skaidrs, ka mums nav tiesību pievienot tikai terminus ar mums nepieciešamo mainīgo. Jums jāpievieno visi vienādojumi, t.i. atsevišķi pievienojiet līdzīgus terminus kreisajā pusē, pēc tam labajā pusē. Rezultātā mēs iegūstam jaunu vienādojumu, kas satur tikai vienu mainīgo. Apskatīsim teikto ar konkrētiem piemēriem.

Mēs redzam, ka pirmajā vienādojumā ir mainīgais y, bet otrajā ir pretējs skaitlis -y. Tas nozīmē, ka šo vienādojumu var atrisināt ar saskaitīšanu.

Viens no vienādojumiem tiek atstāts tāds, kāds tas ir. Jebkurš, kas jums patīk vislabāk.

Bet otrais vienādojums tiks iegūts, saskaitot šos divus vienādojumus pa vārdam. Tie. Mēs pievienojam 3x ar 2x, pievienojam y ar -y, pievienojam 8 ar 7.

Mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

Otrais šīs sistēmas vienādojums ir vienkāršs vienādojums ar vienu mainīgo. No tā atrodam x = 3. Aizvietojot atrasto vērtību pirmajā vienādojumā, atrodam y = -1.

Atbilde: (3; - 1).

Dizaina paraugs:

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot algebriskās saskaitīšanas metodi

Šajā sistēmā nav mainīgo ar pretējiem koeficientiem. Bet mēs zinām, ka abas vienādojuma puses var reizināt ar vienu un to pašu skaitli. Sareizināsim sistēmas pirmo vienādojumu ar 2.

Tad pirmais vienādojums būs šāds:

Tagad redzam, ka mainīgajam x ir pretēji koeficienti. Tas nozīmē, ka mēs darīsim tāpat kā pirmajā piemērā: vienu no vienādojumiem atstāsim nemainītu. Piemēram, 2y + 2x = 10. Un otro mēs iegūstam, saskaitot.

Tagad mums ir vienādojumu sistēma:

Mēs viegli atrodam no otrā vienādojuma y = 1 un pēc tam no pirmā vienādojuma x = 4.

Dizaina paraugs:

Apkoposim:

Mēs mācījāmies atrisināt sistēmas no diviem lineārie vienādojumi ar diviem nezināmajiem, izmantojot algebriskās saskaitīšanas metodi. Tādējādi mēs tagad zinām trīs galvenās metodes šādu sistēmu risināšanai: grafiskā, mainīgā aizstāšanas metode un pievienošanas metode. Izmantojot šīs metodes, var atrisināt gandrīz jebkuru sistēmu. Vairāk sarežģīti gadījumi Tiek izmantota šo metožu kombinācija.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 1. daļa, Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm / A.G. Mordkovičs. – 10. izd., pārstrādāts – Maskava, “Mnemosyne”, 2007. gads.
2. Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 2. daļa, Problēmu grāmata izglītības iestādēm / [A.G. Mordkovičs un citi]; rediģēja A.G. Mordkovičs - 10. izdevums, pārskatīts - Maskava, “Mnemosyne”, 2007.
3. VIŅA. Tulčinskaja, Algebra 7. klase. Blitz aptauja: rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu skolēniem, 4. izdevums, pārskatīts un paplašināts, Maskava, Mnemosyne, 2008.
4. Aleksandrova L.A., Algebra 7.kl. Tematisks pārbaudes darbs V jauna forma vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem A.G. redakcijā. Mordkovičs, Maskava, “Mnemosyne”, 2011.
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. klase. Patstāvīgs darbs vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem A.G. redakcijā. Mordkovičs - 6. izdevums, stereotipisks, Maskava, “Mnemosyne”, 2010.

Analizēsim divu veidu vienādojumu sistēmu risinājumus:

1. Sistēmas risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi.
2. Sistēmas atrisināšana, saskaitot (atņemot) sistēmas vienādojumus.

Lai atrisinātu vienādojumu sistēmu ar aizstāšanas metodi jums jāievēro vienkāršs algoritms:
1. Izteikt. No jebkura vienādojuma mēs izsakām vienu mainīgo.
2. Aizstājējs. Izteiktā mainīgā vietā iegūto vērtību aizstājam ar citu vienādojumu.
3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.

Lai izlemtu sistēma ar terminu pa vārda saskaitīšanas (atņemšanas) metodi nepieciešams:
1. Izvēlieties mainīgo, kuram veidosim identiskus koeficientus.
2. Mēs saskaitām vai atņemam vienādojumus, iegūstot vienādojumu ar vienu mainīgo.
3. Atrisiniet iegūto lineāro vienādojumu. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.

Sistēmas risinājums ir funkciju grafiku krustošanās punkti.

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt sistēmu risinājumu, izmantojot piemērus.

1. piemērs:

Atrisināsim ar aizstāšanas metodi

Vienādojumu sistēmas risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi

2x+5y=1 (1 vienādojums)
x-10y=3 (2. vienādojums)

1. Izteikt
Redzams, ka otrajā vienādojumā ir mainīgais x ar koeficientu 1, kas nozīmē, ka visvieglāk ir izteikt mainīgo x no otrā vienādojuma.
x=3+10g

2. Pēc tam, kad esam to izteikuši, mainīgā x vietā pirmajā vienādojumā aizstājam 3+10y.
2(3+10g)+5y=1

3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo.
2(3+10g)+5y=1 (atveriet iekavas)
6+20g+5g=1
25 g = 1-6
25 g = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Vienādojumu sistēmas risinājums ir grafu krustošanās punkti, tāpēc jāatrod x un y, jo krustošanās punkts sastāv no x un y, pirmajā punktā, kur to izteicām, aizvietojam y .
x=3+10g
x=3+10*(-0,2)=1

Punktus ir pieņemts rakstīt pirmajā vietā mēs rakstām mainīgo x, bet otrajā vietā mainīgo y.
Atbilde: (1; -0,2)

2. piemērs:

Risināsim, izmantojot pa vārda saskaitīšanas (atņemšanas) metodi.

Vienādojumu sistēmas atrisināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi

3x-2y=1 (1 vienādojums)
2x-3y=-10 (2. vienādojums)

1. Mēs izvēlamies mainīgo, pieņemsim, ka izvēlamies x. Pirmajā vienādojumā mainīgajam x ir koeficients 3, otrajā - 2. Mums ir jāpadara koeficienti vienādi, šim nolūkam mums ir tiesības vienādojumus reizināt vai dalīt ar jebkuru skaitli. Mēs reizinām pirmo vienādojumu ar 2, bet otro ar 3 un iegūstam kopējo koeficientu 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3g=-10 |*3
6x-9g=-30

2. Atņemiet otro no pirmā vienādojuma, lai atbrīvotos no mainīgā x Atrisiniet lineāro vienādojumu.
__6x-4y=2

5g=32 | :5
y=6,4

3. Atrodiet x. Mēs aizvietojam atrasto y jebkurā no vienādojumiem, teiksim, pirmajā vienādojumā.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Krustošanās punkts būs x=4,6; y=6,4
Atbilde: (4.6; 6.4)

Vai vēlaties sagatavoties eksāmeniem bez maksas? Pasniedzējs tiešsaistē par brīvu. Bez jokiem.

Izmantojot saskaitīšanas metodi, sistēmas vienādojumus saskaita pa vārdam, un vienu vai abus (vairākus) vienādojumus var reizināt ar jebkuru skaitli. Rezultātā tie nonāk līdzvērtīgā SLE, kur vienā no vienādojumiem ir tikai viens mainīgais.

Lai atrisinātu sistēmu pa vārda saskaitīšanas metode (atņemšana) veiciet šīs darbības:

1. Izvēlieties mainīgo, kuram tiks veikti vienādi koeficienti.

2. Tagad jums ir jāsaskaita vai jāatņem vienādojumi un jāiegūst vienādojums ar vienu mainīgo.

Sistēmas risinājums- tie ir funkciju grafiku krustošanās punkti.

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs.

Dotā sistēma:

Izanalizējot šo sistēmu, var pamanīt, ka mainīgā lieluma koeficienti ir vienādi pēc lieluma un atšķiras pēc zīmes (-1 un 1). Šajā gadījumā vienādojumus var viegli pievienot pa vārdam:

Domās veicam darbības, kas apzīmētas ar sarkanu krāsu.

Rezultātā pievienošana katram terminam bija mainīgā lieluma izzušana y. Tieši tāda ir metodes nozīme – atbrīvoties no viena no mainīgajiem.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Sistēmas formā risinājums izskatās apmēram šādi:

Atbilde: x = -4 , y = 1.

2. piemērs.

Dotā sistēma:

Šajā piemērā var izmantot “skolas” metodi, taču tai ir diezgan liels trūkums - izsakot jebkuru mainīgo no jebkura vienādojuma, atrisinājumu iegūsit parastās daļās. Bet daļskaitļu risināšana aizņem daudz laika, un palielinās kļūdu iespējamība.

Tāpēc labāk ir izmantot vienādojumu saskaitīšanu (atņemšanu) pa vienam. Analizēsim atbilstošo mainīgo koeficientus:

Jums jāatrod skaitlis, ar kuru var dalīt 3 un tālāk 4 , un ir nepieciešams, lai šis skaitlis būtu minimālais iespējamais. Šis mazākais kopīgs daudzkārtnis. Ja jums ir grūti izvēlēties piemērots numurs, tad jūs varat reizināt koeficientus: .

Nākamais solis:

Mēs reizinām 1. vienādojumu ar ,

Mēs reizinām trešo vienādojumu ar ,

Ar šo video es sāku nodarbību sēriju, kas veltīta vienādojumu sistēmām. Šodien mēs runāsim par lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu pievienošanas metode- šis ir viens no visvairāk vienkāršus veidus, bet tajā pašā laikā viens no efektīvākajiem.

Pievienošanas metode sastāv no trīs vienkārši soļi:

1. Apskatiet sistēmu un izvēlieties mainīgo, kuram katrā vienādojumā ir identiski (vai pretēji) koeficienti;
2. Veiciet vienādojumu algebrisko atņemšanu (pretējiem skaitļiem - saskaitīšanu) un pēc tam izveidojiet līdzīgus vārdus;
3. Atrisiniet jauno vienādojumu, kas iegūts pēc otrā soļa.

Ja viss ir izdarīts pareizi, tad izejā mēs iegūsim vienu vienādojumu ar vienu mainīgo- to nebūs grūti atrisināt. Tad atliek tikai aizstāt atrasto sakni sākotnējā sistēmā un iegūt galīgo atbildi.

Tomēr praksē viss nav tik vienkārši. Tam ir vairāki iemesli:

• Vienādojumu atrisināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi, nozīmē, ka visās rindās jāsatur mainīgie ar vienādiem/pretējiem koeficientiem. Ko darīt, ja šī prasība nav izpildīta?
• Ne vienmēr pēc vienādojumu saskaitīšanas/atņemšanas norādītajā veidā iegūstam skaistu, viegli atrisināmu konstrukciju. Vai ir iespējams kaut kā vienkāršot aprēķinus un paātrināt aprēķinus?

Lai iegūtu atbildes uz šiem jautājumiem un tajā pašā laikā saprastu dažus papildu smalkumus, kas daudziem skolēniem neizdodas, noskatieties manu video nodarbību:

Ar šo nodarbību mēs sākam lekciju sēriju, kas veltīta vienādojumu sistēmām. Un mēs sāksim no vienkāršākajiem no tiem, proti, tiem, kas satur divus vienādojumus un divus mainīgos. Katrs no tiem būs lineārs.

Sistēmas ir 7. klases materiāls, taču šī nodarbība būs noderīga arī vidusskolēniem, kuri vēlas papildināt savas zināšanas par šo tēmu.

Kopumā šādu sistēmu risināšanai ir divas metodes:

1. Papildināšanas metode;
2. Metode viena mainīgā izteikšanai ar citu.

Šodien mēs nodarbosimies ar pirmo metodi - izmantosim atņemšanas un saskaitīšanas metodi. Bet, lai to izdarītu, jums ir jāsaprot šāds fakts: kad jums ir divi vai vairāki vienādojumi, varat ņemt jebkurus divus no tiem un pievienot tos viens otram. Tie tiek pievienoti katram dalībniekam, t.i. “X” tiek pievienoti “X” un tiek doti līdzīgi, “Y” ar “Y” atkal ir līdzīgi, un tas, kas atrodas pa labi no vienādības zīmes, arī tiek pievienots viens otram, un tur ir arī līdzīgi. .

Šādu mahināciju rezultāti būs jauns vienādojums, kuram, ja tam ir saknes, tie noteikti būs starp sākotnējā vienādojuma saknēm. Tāpēc mūsu uzdevums ir veikt atņemšanu vai saskaitīšanu tā, lai vai nu $x$, vai $y$ pazustu.

Kā to panākt un kādu rīku šim nolūkam izmantot - par to mēs tagad runāsim.

Vienkāršu problēmu risināšana, izmantojot papildinājumu

Tātad, mēs iemācāmies izmantot pievienošanas metodi, izmantojot divu vienkāršu izteiksmju piemēru.

Uzdevums Nr.1

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(līdzināt) \right.\]

Ņemiet vērā, ka $y$ pirmajā vienādojumā ir koeficients $-4$ un otrajā vienādojumā $+4$. Tie ir savstarpēji pretēji, tāpēc ir loģiski pieņemt, ka, tos saskaitot, tad iegūtajā summā “spēles” tiks savstarpēji iznīcinātas. Pievienojiet to un iegūstiet:

Atrisināsim vienkāršāko konstrukciju:

Lieliski, mēs atradām "x". Ko mums ar to tagad darīt? Mums ir tiesības to aizstāt ar jebkuru no vienādojumiem. Aizstāsim ar pirmo:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Atbilde: $\left(2;-3 \right)$.

Problēma Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Šeit situācija ir pilnīgi līdzīga, tikai ar “X”. Saskaitīsim tos:

Mums ir vienkāršākais lineārais vienādojums, atrisināsim to:

Tagad atradīsim $x$:

Atbilde: $\left(-3;3 \right)$.

Svarīgi punkti

Tātad, mēs tikko esam atrisinājuši divas vienkāršas lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot saskaitīšanas metodi. Atkal galvenie punkti:

1. Ja kādam no mainīgajiem ir pretēji koeficienti, tad vienādojumā ir jāsaskaita visi mainīgie. Šajā gadījumā viens no tiem tiks iznīcināts.
2. Mēs aizvietojam atrasto mainīgo jebkurā sistēmas vienādojumā, lai atrastu otro.
3. Galīgo atbildes ierakstu var uzrādīt dažādos veidos. Piemēram, šādi - $x=...,y=...$, vai punktu koordinātu veidā - $\left(...;... \right)$. Otrais variants ir vēlams. Galvenais ir atcerēties, ka pirmā koordināta ir $x$, bet otrā ir $y$.
4. Noteikums par atbildes rakstīšanu punktu koordinātu veidā ne vienmēr ir piemērojams. Piemēram, to nevar izmantot, ja mainīgie ir nevis $x$ un $y$, bet, piemēram, $a$ un $b$.

Turpmākajos uzdevumos mēs aplūkosim atņemšanas paņēmienu, ja koeficienti nav pretēji.

Vienkāršu uzdevumu risināšana, izmantojot atņemšanas metodi

Uzdevums Nr.1

\[\left\( \begin(līdzināt)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Ņemiet vērā, ka šeit nav pretēju koeficientu, bet ir identiski. Tāpēc no pirmā vienādojuma mēs atņemam otro:

Tagad mēs aizstājam vērtību $x$ jebkurā sistēmas vienādojumā. Ejam vispirms:

Atbilde: $\left(2;5\right)$.

Problēma Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Pirmajā un otrajā vienādojumā mēs atkal redzam to pašu koeficientu $ 5 $ attiecībā uz $ x $. Tāpēc ir loģiski pieņemt, ka no pirmā vienādojuma ir jāatņem otrais:

Mēs esam aprēķinājuši vienu mainīgo. Tagad atradīsim otro, piemēram, aizstājot vērtību $y$ ar otro konstrukciju:

Atbilde: $\left(-3;-2 \right)$.

Risinājuma nianses

Tātad, ko mēs redzam? Būtībā shēma neatšķiras no iepriekšējo sistēmu risinājuma. Vienīgā atšķirība ir tāda, ka vienādojumus nepievienojam, bet atņemam. Mēs veicam algebrisko atņemšanu.

Citiem vārdiem sakot, tiklīdz jūs redzat sistēmu, kas sastāv no diviem vienādojumiem divos nezināmajos, pirmā lieta, kas jums jāaplūko, ir koeficienti. Ja tie jebkurā vietā ir vienādi, vienādojumi tiek atņemti, un, ja tie ir pretēji, tiek izmantota saskaitīšanas metode. Tas vienmēr tiek darīts tā, lai viens no tiem pazūd, un gala vienādojumā, kas paliek pēc atņemšanas, paliek tikai viens mainīgais.

Protams, tas vēl nav viss. Tagad mēs apsvērsim sistēmas, kurās vienādojumi parasti ir pretrunīgi. Tie. Tajos nav tādu mainīgo lielumu, kas būtu vienādi vai pretēji. Šajā gadījumā, lai atrisinātu šādas sistēmas, tiek izmantots papildu paņēmiens, proti, katra vienādojuma reizināšana ar īpašu koeficientu. Kā to atrast un kā vispār atrisināt šādas sistēmas, mēs par to runāsim tagad.

Problēmu risināšana, reizinot ar koeficientu

1. piemērs

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(līdzināt) \right.\]

Mēs redzam, ka ne $x$, ne $y$ koeficienti ne tikai ir savstarpēji pretēji, bet arī nekādā veidā nav saistīti ar otru vienādojumu. Šie koeficienti nekādā veidā nepazudīs, pat ja mēs saskaitīsim vai atņemsim vienādojumus vienu no otra. Tāpēc ir jāpiemēro reizināšana. Mēģināsim atbrīvoties no mainīgā $y$. Lai to izdarītu, mēs reizinim pirmo vienādojumu ar koeficientu $y$ no otrā vienādojuma un otro vienādojumu ar koeficientu $y$ no pirmā vienādojuma, nepieskaroties zīmei. Mēs reizinām un iegūstam jaunu sistēmu:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(līdzināt) \right.\]

Apskatīsim to: pie $y$ koeficienti ir pretēji. Šādā situācijā ir jāizmanto pievienošanas metode. Pievienosim:

Tagad mums jāatrod $y$. Lai to izdarītu, pirmajā izteiksmē aizstājiet $x$:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Atbilde: $\left(4;-2 \right)$.

Piemērs Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(līdzināt) \right.\]

Atkal, neviena mainīgā lieluma koeficienti nav konsekventi. Reizināsim ar koeficientiem $y$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(līdzināt) \pa labi .\]

\[\left\( \begin(līdzināt)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Mūsu jauna sistēma ir līdzvērtīgs iepriekšējam, tomēr $y$ koeficienti ir savstarpēji pretēji, tāpēc šeit ir viegli pielietot saskaitīšanas metodi:

Tagad atradīsim $y$, pirmajā vienādojumā aizstājot $x$:

Atbilde: $\left(-2;1 \right)$.

Risinājuma nianses

Galvenais noteikums šeit ir šāds: mēs vienmēr reizinām tikai ar pozitīvi skaitļi- tas pasargās jūs no stulbām un aizskarošām kļūdām, kas saistītas ar zīmju maiņu. Kopumā risinājuma shēma ir diezgan vienkārša:

1. Mēs skatāmies uz sistēmu un analizējam katru vienādojumu.
2. Ja redzam, ka ne $y$, ne $x$ koeficienti nav konsekventi, t.i. tie nav ne vienādi, ne pretēji, tad mēs rīkojamies šādi: izvēlamies mainīgo, no kura mums ir jāatbrīvojas, un tad aplūkojam šo vienādojumu koeficientus. Ja mēs reizinām pirmo vienādojumu ar koeficientu no otrā un attiecīgi otro reizinām ar koeficientu no pirmā, tad galu galā mēs iegūsim sistēmu, kas ir pilnībā līdzvērtīga iepriekšējai, un koeficientus $ y$ būs konsekventa. Visas mūsu darbības vai transformācijas ir vērstas tikai uz to, lai vienā vienādojumā iegūtu vienu mainīgo.
3. Mēs atrodam vienu mainīgo.
4. Mēs aizvietojam atrasto mainīgo vienā no diviem sistēmas vienādojumiem un atrodam otro.
5. Atbildi rakstām punktu koordinātu veidā, ja mums ir mainīgie $x$ un $y$.

Bet pat tik vienkāršam algoritmam ir savi smalkumi, piemēram, $x$ vai $y$ koeficienti var būt daļdaļas un citi “neglīti” skaitļi. Tagad mēs šos gadījumus aplūkosim atsevišķi, jo tajos jūs varat rīkoties nedaudz savādāk nekā saskaņā ar standarta algoritmu.

Problēmu risināšana ar daļskaitļiem

1. piemērs

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Pirmkārt, ievērojiet, ka otrajā vienādojumā ir daļas. Bet ņemiet vērā, ka jūs varat dalīt USD 4 ar USD 0,8. Mēs saņemsim $ 5 $. Sareizināsim otro vienādojumu ar $5$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Mēs atņemam vienādojumus viens no otra:

Mēs atradām $n$, tagad saskaitīsim $m$:

Atbilde: $n=-4;m=5$

Piemērs Nr.2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(līdzināt )\ pareizi.\]

Šeit, tāpat kā iepriekšējā sistēmā, ir daļskaitļu koeficienti, taču nevienam no mainīgajiem koeficienti neiederas viens otrā veselu skaitu reižu. Tāpēc mēs izmantojam standarta algoritmu. Atbrīvojieties no $p$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Mēs izmantojam atņemšanas metodi:

Atradīsim $p$, otrajā konstrukcijā aizstājot $k$:

Atbilde: $p=-4;k=-2$.

Risinājuma nianses

Tā ir visa optimizācija. Pirmajā vienādojumā mēs nereizinājāmies ar neko, bet reizinājām otro vienādojumu ar $ 5 $. Rezultātā mēs saņēmām konsekventu un pat identisku vienādojumu pirmajam mainīgajam. Otrajā sistēmā mēs ievērojām standarta algoritmu.

Bet kā atrast skaitļus, ar kuriem reizināt vienādojumus? Galu galā, ja mēs reizinām ar daļām, mēs iegūstam jaunas daļas. Tāpēc daļskaitļi jāreizina ar skaitli, kas dotu jaunu veselu skaitli, un pēc tam mainīgie jāreizina ar koeficientiem, ievērojot standarta algoritmu.

Nobeigumā es vēlos vērst jūsu uzmanību uz atbildes ierakstīšanas formātu. Kā jau teicu, tā kā šeit mums nav $x$ un $y$, bet gan citas vērtības, mēs izmantojam nestandarta formas apzīmējumu:

Sarežģītu vienādojumu sistēmu risināšana

Kā pēdējo piezīmi šodienas video pamācībai, apskatīsim pāris patiešām sarežģītas sistēmas. To sarežģītība būs tāda, ka tiem būs mainīgie gan kreisajā, gan labajā pusē. Tāpēc, lai tos atrisinātu, mums būs jāpiemēro pirmapstrāde.

Sistēma Nr.1

\[\left\(\begin(līdzināt)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(līdzināt) \right.\]

Katram vienādojumam ir noteikta sarežģītība. Tāpēc apstrādāsim katru izteiksmi kā ar regulāru lineāru konstrukciju.

Kopumā mēs iegūstam galīgo sistēmu, kas ir līdzvērtīga oriģinālajai:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Apskatīsim $y$ koeficientus: $3$ divreiz iekļaujas $6$, tāpēc pirmo vienādojumu reizinim ar $2$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

$y$ koeficienti tagad ir vienādi, tāpēc no pirmā vienādojuma mēs atņemam otro: $$

Tagad atradīsim $y$:

Atbilde: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistēma Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(līdzināt) \right.\]

Pārveidosim pirmo izteiksmi:

Tiksim galā ar otro:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Kopumā mūsu sākotnējā sistēma būs šāda:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(līdzināt) \right.\]

Aplūkojot $a$ koeficientus, redzam, ka pirmais vienādojums ir jāreizina ar $2$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(līdzināt) \right.\]

Atņemiet otro no pirmās konstrukcijas:

Tagad atradīsim $a$:

Atbilde: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Tas arī viss. Es ceru, ka šī video apmācība palīdzēs jums izprast šo sarežģīto tēmu, proti, vienkāršu lineāru vienādojumu sistēmu atrisināšanu. Par šo tēmu būs daudz vairāk mācību stundu: mēs apskatīsim vairāk sarežģīti piemēri, kur būs vairāk mainīgo, un paši vienādojumi jau būs nelineāri. Uz tikšanos atkal!

Lineāru vienādojumu sistēma ar diviem nezināmajiem ir divi vai vairāki lineāri vienādojumi, kuriem jāatrod visi vispārīgi risinājumi. Mēs aplūkosim divu lineāru vienādojumu sistēmas divos nezināmajos. Vispārējs skats divu lineāru vienādojumu sistēma ar diviem nezināmiem ir parādīta attēlā zemāk:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Šeit x un y ir nezināmi mainīgie, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ir daži reāli skaitļi. Divu lineāru vienādojumu sistēmas risinājums divos nezināmajos ir skaitļu pāris (x,y), ja mēs šos skaitļus aizstājam sistēmas vienādojumos, tad katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par patiesu vienādojumu. Ir vairāki veidi, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu. Apskatīsim vienu no veidiem, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, proti, saskaitīšanas metodi.

Algoritms risināšanai ar saskaitīšanas metodi

Algoritms lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmiem risināšanai, izmantojot saskaitīšanas metodi.

1. Ja nepieciešams, izmantojiet ekvivalentas transformācijas, lai izlīdzinātu viena nezināmā mainīgā koeficientus abos vienādojumos.

2. Saskaitot vai atņemot iegūtos vienādojumus, iegūstiet lineāru vienādojumu ar vienu nezināmo

3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu nezināmo un atrodiet vienu no mainīgajiem.

4. Aizvietojiet iegūto izteiksmi jebkurā no diviem sistēmas vienādojumiem un atrisiniet šo vienādojumu, tādējādi iegūstot otro mainīgo.

5. Pārbaudiet risinājumu.

Risinājuma piemērs, izmantojot pievienošanas metodi

Lai iegūtu lielāku skaidrību, atrisināsim šādu lineāro vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, izmantojot saskaitīšanas metodi:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Tā kā nevienam no mainīgajiem nav identisku koeficientu, mēs izlīdzinām mainīgā y koeficientus. Lai to izdarītu, reiziniet pirmo vienādojumu ar trīs un otro vienādojumu ar divi.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Mēs saņemam šādu vienādojumu sistēmu:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Tagad mēs atņemam pirmo no otrā vienādojuma. Mēs piedāvājam līdzīgus terminus un atrisinām iegūto lineāro vienādojumu.

10*x+6*y — (9*x+6*y) = 24–30; x=-6;

Mēs aizstājam iegūto vērtību pirmajā vienādojumā no mūsu sākotnējās sistēmas un atrisinām iegūto vienādojumu.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Rezultāts ir skaitļu pāris x=6 un y=14. Mēs pārbaudām. Veiksim aizstāšanu.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Kā redzat, mēs saņēmām divas pareizas vienādības, tāpēc mēs atradām pareizo risinājumu.