Kāds ir lielākais ātruma projekcijas modulis? Taisnvirziena vienmērīga kustība

Vienota kustība- tā ir kustība ar nemainīgu ātrumu, tas ir, kad ātrums nemainās (v = const) un nenotiek paātrinājums vai palēninājums (a = 0).

Taisnas līnijas kustība- tā ir kustība taisnā līnijā, tas ir, taisnvirziena kustības trajektorija ir taisna līnija.

Šī ir kustība, kurā ķermenis veic vienādas kustības jebkuros vienādos laika intervālos. Piemēram, ja mēs sadalām noteiktu laika intervālu vienas sekundes intervālos, tad ar vienmērīgu kustību ķermenis katram no šiem laika intervāliem pārvietos vienādu attālumu.

Vienmērīgas taisnvirziena kustības ātrums nav atkarīgs no laika un katrā trajektorijas punktā tiek virzīts tāpat kā ķermeņa kustība. Tas ir, pārvietojuma vektors sakrīt virzienā ar ātruma vektoru. Kurā Vidējais ātrums jebkuram laika periodam ir vienāds ar momentāno ātrumu:

vcp = v

Vienmērīgas taisnas kustības ātrums ir fiziska vektora lielums, kas vienāds ar ķermeņa kustības attiecību jebkurā laika periodā un šī intervāla vērtību t:

=/t

Tādējādi vienmērīgas taisnas kustības ātrums parāda, kāda kustība ir materiālais punkts uz laika vienību.

Pārvietojas ar vienmērīgu lineāru kustību nosaka pēc formulas:

Nobrauktais attālums lineārā kustībā ir vienāds ar nobīdes moduli. Ja OX ass pozitīvais virziens sakrīt ar kustības virzienu, tad ātruma projekcija uz OX asi ir vienāda ar ātruma lielumu un ir pozitīva:

vx = v, tas ir, v > 0

Nobīdes projekcija uz OX asi ir vienāda ar:

s = vt = x - x0

kur x 0 ir ķermeņa sākotnējā koordināta, x ir ķermeņa galīgā koordināta (vai ķermeņa koordināte jebkurā laikā)

Kustības vienādojums, tas ir, ķermeņa koordinātu atkarība no laika x = x(t), izpaužas šādā formā:

x = x0 + vt

Ja OX ass pozitīvais virziens ir pretējs ķermeņa kustības virzienam, tad ķermeņa ātruma projekcija uz OX asi ir negatīva, ātrums ir mazāks par nulli (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

x = x0 - vt

Vienota lineāra kustība-Šo īpašs gadījums nevienmērīga kustība.

Nevienmērīga kustība- šī ir kustība, kurā ķermenis (materiāls punkts) vienādos laika periodos veic nevienlīdzīgas kustības. Piemēram, pilsētas autobuss pārvietojas nevienmērīgi, jo tā kustība galvenokārt sastāv no paātrinājuma un palēninājuma.

Vienlīdz mainīga kustība- tā ir kustība, kurā ķermeņa (materiālā punkta) ātrums vienādi mainās jebkurā vienādos laika periodos.

Ķermeņa paātrinājums vienmērīgas kustības laikā paliek nemainīgs lielumā un virzienā (a = const).

Vienmērīga kustība var būt vienmērīgi paātrināta vai vienmērīgi palēnināta.

Vienmērīgi paātrināta kustība- tā ir ķermeņa (materiālā punkta) kustība ar pozitīvu paātrinājumu, tas ir, ar šādu kustību ķermenis paātrinās ar pastāvīgu paātrinājumu. Vienmērīgi paātrinātas kustības gadījumā ķermeņa ātruma modulis laika gaitā palielinās, un paātrinājuma virziens sakrīt ar kustības ātruma virzienu.

Vienlīdzīga palēnināta kustība- tā ir ķermeņa (materiālā punkta) kustība ar negatīvu paātrinājumu, tas ir, ar šādu kustību ķermenis vienmērīgi palēninās. Vienmērīgi lēnā kustībā ātruma un paātrinājuma vektori ir pretēji, un ātruma modulis laika gaitā samazinās.

Mehānikā jebkura taisnvirziena kustība tiek paātrināta, tāpēc palēnināta kustība atšķiras no paātrinātas kustības tikai ar paātrinājuma vektora projekcijas zīmi uz izvēlēto koordinātu sistēmas asi.

Vidējais ātrums mainīga kustība nosaka, dalot ķermeņa kustību ar laiku, kurā šī kustība tika veikta. Vidējā ātruma mērvienība ir m/s.

vcp = s/t

Tas ir ķermeņa (materiālā punkta) ātrums Šis brīdis laikā vai noteiktā trajektorijas punktā, tas ir, robeža, līdz kurai vidējam ātrumam ir tendence ar bezgalīgu laika intervāla Δt samazināšanos:

Momentānā ātruma vektors vienmērīgi mainīgu kustību var atrast kā pirmo nobīdes vektora atvasinājumu attiecībā pret laiku:

= "

Ātruma vektora projekcija uz OX ass:

vx = x'

tas ir koordinātas atvasinājums attiecībā pret laiku (ātruma vektora projekcijas uz citām koordinātu asīm tiek iegūtas līdzīgi).

Tas ir lielums, kas nosaka ķermeņa ātruma izmaiņu ātrumu, tas ir, robežu, līdz kurai ātruma izmaiņas tiecas ar bezgalīgu laika intervāla Δt samazināšanos:

Vienmērīgi mainīgas kustības paātrinājuma vektors var atrast kā ātruma vektora pirmo atvasinājumu attiecībā pret laiku vai kā otro atvasinājumu nobīdes vektoram attiecībā pret laiku:

= " = " Ņemot vērā, ka 0 ir ķermeņa ātrums sākotnējā laika momentā ( sākuma ātrums), - ķermeņa ātrums noteiktā laikā (galīgais ātrums), t - laika periods, kurā notika ātruma izmaiņas, būs šāds:

No šejienes vienota ātruma formula jebkurā laikā:

0 + t Ja ķermenis virzās taisni pa taisnvirziena Dekarta koordinātu sistēmas OX asi, kas sakrīt virzienā ar ķermeņa trajektoriju, tad ātruma vektora projekciju uz šo asi nosaka pēc formulas:

vx = v0x ± axt

“-” (mīnus) zīme paātrinājuma vektora projekcijas priekšā attiecas uz vienmērīgi lēnu kustību. Līdzīgi ir uzrakstīti vienādojumi ātruma vektora projekcijām uz citām koordinātu asīm.

Tā kā vienmērīgā kustībā paātrinājums ir nemainīgs (a = const), tad paātrinājuma grafiks ir taisne, kas ir paralēla 0t asij (laika ass, 1.15. att.).

Rīsi. 1.15. Ķermeņa paātrinājuma atkarība no laika.

Ātruma atkarība no laika ir lineāra funkcija, kuras grafiks ir taisne (1.16. att.).

Rīsi. 1.16. Ķermeņa ātruma atkarība no laika.

Ātruma un laika grafiks(1.16. att.) liecina, ka

Šajā gadījumā pārvietojums ir skaitliski vienāds ar skaitļa 0abc laukumu (1.16. attēls).

Trapeces laukums ir vienāds ar pusi no tās pamatu garumu un augstuma summas reizinājumu. Trapeces 0abc pamati ir skaitliski vienādi:

0a = v0 bc = v

Trapeces augstums ir t. Tādējādi trapeces laukums un līdz ar to nobīdes projekcija uz OX asi ir vienāda ar:

Vienmērīgi lēnas kustības gadījumā paātrinājuma projekcija ir negatīva un nobīdes projekcijas formulā pirms paātrinājuma tiek ievietota “-” (mīnus) zīme.

Attēlā parādīts ķermeņa ātruma un laika grafiks dažādos paātrinājumos. 1.17. Nobīdes un laika grafiks, ja v0 = 0, ir parādīts attēlā. 1.18.

Rīsi. 1.17. Ķermeņa ātruma atkarība no laika dažādas nozīmes paātrinājums.

Rīsi. 1.18. Ķermeņa kustības atkarība no laika.

Ķermeņa ātrums noteiktā laikā t 1 ir vienāds ar slīpuma leņķa tangensu starp grafika pieskari un laika asi v = tg α, un pārvietojumu nosaka pēc formulas:

Ja ķermeņa kustības laiks nav zināms, varat izmantot citu nobīdes formulu, atrisinot divu vienādojumu sistēmu:

Tas palīdzēs mums iegūt pārvietošanās projekcijas formulu:

Tā kā ķermeņa koordinātu jebkurā laika brīdī nosaka sākotnējās koordinātas un nobīdes projekcijas summa, tā izskatīsies šādi:

Arī koordinātes x(t) grafiks ir parabola (tāpat kā nobīdes grafiks), bet parabolas virsotne vispārīgā gadījumā nesakrīt ar izcelsmi. Kad x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

1.2. Taisnas līnijas kustība

1.2.3. Kinemātisko lielumu grafiskais aprēķins

Dažus kustības kinemātiskos raksturlielumus var aprēķināt grafiski.

Prognozētā ātruma definīcija

Izmantojot grafikus par koordinātas atkarību no laika x (t) (vai nobrauktā attāluma laikā S (t)), varat aprēķināt atbilstošo ātruma projekcija v x noteiktā laika brīdī (1.11. att.), piemēram, t = t 1.

Lai to izdarītu, jums vajadzētu:

1) atzīmē uz laika ass norādīto laika momenta vērtību t 1;

2) atjaunot perpendikulu krustpunktam ar grafiku x (t);

5) nosaka ātruma projekciju uz Ox asi kā pieskares leņķa tangensu laika ass pozitīvajam virzienam:

v x (t 1) = tan α 1 .

Jāņem vērā, ka ātruma v x projekcija ir

pozitīvs, ja grafa pieskare veido akūtu leņķi ar t ass virzienu (sk. 1.11. att.);
negatīvs, ja grafa pieskare ar t ass virzienu veido neasu leņķi (1.12. att.).

Attēlā 1.12. attēlā parādīts koordinātu un laika grafiks x (t). Lai noteiktu ātruma projekciju uz Ox asi laikā t 3, tiek novilkts perpendikuls t = t 3. Perpendikula krustpunktā ar atkarību x (t) tiek novilkta pieskares līnija. Tas veido neasu leņķi ar t asi. Tāpēc ātruma v x projekcija uz Ox asi norādītajā laikā ir negatīva vērtība:

v x (t 3) = − | iedegums α 3 | .

Rīsi. 1.12

Paātrinājuma projekcijas definīcija

Izmantojot grafiku ātruma projekcija pret laiku v x (t), var aprēķināt paātrinājuma projekciju a x uz atbilstošās ass noteiktā laika punktā (1.13. att.), piemēram, t = t 2.

Lai to izdarītu, jums vajadzētu:

1) atzīmē uz laika ass norādīto laika momenta vērtību t 2;

2) atjaunot perpendikulu krustojumam ar grafiku v x (t);

3) novelk grafam pieskares līniju tā krustpunktā ar perpendikulu;

5) nosaka paātrinājuma projekciju uz Ox asi kā pieskares leņķa tangensu laika ass pozitīvajam virzienam:

a x (t 2) = tan α 2 .

Jāņem vērā, ka paātrinājuma a x projekcija ir

pozitīvs, ja grafa pieskare veido akūtu leņķi ar t ass virzienu (sk. 1.13. att.);

Rīsi. 1.13

negatīvs, ja grafa pieskare ar t ass virzienu veido neasu leņķi (1.14. att.).

Rīsi. 1.14

Algoritma izmantošanas skaidrojums. Attēlā 1.14. attēlā parādīts grafiks ar ātruma projekciju pret laiku v x (t). Lai noteiktu paātrinājuma projekciju uz Ox asi laikā t 4, tiek novilkts perpendikuls t = t 4. Perpendikula krustpunktā ar atkarību v x (t) tiek novilkta pieskares līnija. Tas veido neasu leņķi ar t asi. Tāpēc paātrinājuma a x projekcija uz Ox asi norādītajā laikā ir negatīva vērtība:

a x (t 4) = − | tg α 4 | .

Nobrauktā attāluma un pārvietojuma modulis (vienmērīgas un vienmērīgi paātrinātas kustības kombinācija)

Izmantojot ātruma projekcijas grafiku kā laika funkciju v x (t), varat aprēķināt nobraukto attālumu un ceļojumu modulis materiālais punkts (ķermenis) uz noteiktu laika periodu ∆t = t 2 − t 1 .

Lai aprēķinātu norādītos raksturlielumus, izmantojot grafiku, kurā ir tikai sadaļas vienmērīgi paātrināts un vienmērīga kustība, tas ir šādi:

4) aprēķina nobraukto attālumu S un pārvietojuma moduli ∆r kā summas:

∆r = S 1 + S 2 + ... + S n,

kur S 1, S 2, ..., S n ir ceļi, ko šķērso materiālais punkts katrā no vienmērīgi paātrinātas un vienmērīgas kustības posmiem.

Attēlā 1.15. attēlā parādīta ātruma projekcijas atkarība no laika materiālam punktam (ķermenim), kas pārvietojas vienmērīgi paātrināti posmā AB, vienmērīgi posmā BC, vienmērīgi paātrināts posmā CD, bet ar paātrinājumu, kas atšķiras no paātrinājuma AB posmā.

Rīsi. 1.15

Šajā gadījumā nobrauktais attālums S un pārvietojuma modulis ∆r sakrīt un tiek aprēķināti, izmantojot formulas:

S = S 1 + S 2 + S 3,

∆r = S 1 + S 2 + S 3,

kur S 1 ir ceļš, ko nogājis materiāls punkts (ķermenis) sadaļā AB; S 2 - nobrauktais ceļš posmā BC; S 3 - nobrauktais ceļš posmā CD; S 1 , S 2 , S 3 aprēķina saskaņā ar iepriekš norādīto algoritmu.

Nobrauktā attāluma un pārvietojuma modulis (vienmērīgas, vienmērīgi paātrinātas un vienmērīgi palēninātas kustības kombinācija)

Aprēķināt norādītos raksturlielumus, izmantojot grafiku v x (t), kas satur sekcijas ne tikai vienmērīgi paātrinātas un vienmērīgas, bet arī tikpat lēni kustība, jums vajadzētu:

1) atzīmē noteikto laika intervālu ∆t uz laika ass;

2) atjauno perpendikulus no punktiem t = t 1 un t = t 2, līdz tie krustojas ar grafiku v x (t);

4) aprēķina nobraukto attālumu S kā summu:

S = S 1 + S 2 + ... + S n,

kur S 1, S 2, ..., S n ir ceļi, ko šķērso materiālais punkts katrā no sekcijām;

5) aprēķināt ceļojumu modulis kā starpība starp kopējo ceļu, ko materiālais punkts nogājis līdz apstāšanās punktam, un ceļu, ko materiālais punkts nogājis pēc apstāšanās.

Algoritma izmantošanas skaidrojums. Attēlā 1.16. attēlā parādīta ātruma atkarība no laika materiāla punktam (ķermenim), kas pārvietojas vienmērīgi paātrināti posmā AB, vienmērīgi posmā BC, vienmērīgi lēni posmā CF.

Rīsi. 1.16

Gadījumā, ja ir vienmērīgi lēnas kustības posms (ieskaitot pieturas punktu - punktu D), nobrauktais attālums S un pārvietojuma modulis ∆r nesakrīt. Nobraukto attālumu aprēķina, izmantojot formulu

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4,

kur S 1 ir ceļš, ko nogājis materiāls punkts (ķermenis) sadaļā AB; S 2 - nobrauktais ceļš posmā BC; S 3 - nobrauktais ceļš posmā CD; S 4 - nobrauktais ceļš posmā DF; S 1 , S 2 , S 3 , S 4 aprēķina saskaņā ar iepriekš doto algoritmu; Jāņem vērā, ka S 4 vērtība ir pozitīva.

Pārvietojuma moduli aprēķina, izmantojot formulu

∆r = S 1 + S 2 + S 3 - S 4,

atņemot materiālu punkta (ķermeņa) noieto ceļu pēc rotācijas.

Ātruma izmaiņu moduļa noteikšana

No paātrinājuma pret laiku projekcijas grafika var atrast a x (t). ātruma maiņas modulis Materiālā punkta (ķermeņa) ∆v noteiktā laika intervālā ∆t = t 2 − t 1 (1.17. att.).

Lai to izdarītu, jums vajadzētu:

1) atzīmē noteikto laika intervālu ∆t uz laika ass;

2) atjauno perpendikulus no punktiem t = t 1 un t = t 2, līdz tie krustojas ar grafiku a x (t);

4) aprēķina ātruma izmaiņu moduli noteiktajam laika intervālam kā laukumu.

4. piemērs. Pirmā ķermeņa ātruma projekcijas grafiks uz Ox asi pret laiku ir attēlots ar taisni, kas iet caur punktiem (0; 6) un (3; 0), otrā - caur punktiem ( 0; 0) un (8; 4), kur ātrums norādīts metros sekundē, laiks - sekundēs. Cik reizes atšķiras pirmā un otrā ķermeņa paātrinājuma moduļi?

Risinājums. Ātruma projekciju un laika grafiki abiem ķermeņiem ir parādīti attēlā.

Pirmā ķermeņa paātrinājuma projekciju definē kā neasā leņķa α 1 tangensu; tā moduli aprēķina pēc formulas

| a x 1 | = | iedegums α 1 | = | tg (180 − α 3) | = 6 3 = 2 m/s 2.

Pirmais ķermenis pārvietojas vienlīdz lēni; tā paātrinājuma lielums ir a 1 = = 2 m/s 2.

Otrā ķermeņa paātrinājuma projekcija ir definēta kā tangenss akūts leņķisα2; tā moduli aprēķina pēc formulas

a x 2 = iedegums α 2 = 4 8 = 0,5 m/s 2.

Otrais ķermenis pārvietojas ar vienmērīgu paātrinājumu; tā paātrinājuma lielums ir a 2 = 0,5 m/s 2.

Nepieciešamā pirmā un otrā korpusa paātrinājuma moduļu attiecība ir vienāda ar:

a 1 a 2 = 2 0,5 = 4 .

Pirmā ķermeņa paātrinājums ir 4 reizes lielāks nekā otrā ķermeņa paātrinājums.

5. piemērs. Grafiks y-koordinātas pret laiku pirmajam ķermenim ir attēlots kā taisne, kas iet caur punktiem (0; 0) un (5; 3), otrais - caur punktiem (3; 0) un (6; 6), kur koordināta norādīta metros, laiks - sekundēs. Noteikt norādīto ķermeņu ātruma projekciju moduļu attiecību.

Risinājums. Attēlā ir parādīti abu ķermeņu y koordinātu un laika grafiki.

Pirmā ķermeņa ātruma projekciju definē kā leņķa α 1 tangensu; tā moduli aprēķina pēc formulas

v y 1 = tan α 1 = 3 5 = 0,6 m/s.

Otrā ķermeņa ātruma projekciju definē kā leņķa α 2 tangensu; tā moduli aprēķina pēc formulas

v y 2 = tan α 2 = 6 3 = 2 m/s.

Abām ātruma projekcijām ir pozitīva zīme; tāpēc abi ķermeņi pārvietojas ar vienmērīgu paātrinājumu.

Norādīto ķermeņu ātruma projekciju moduļu attiecība ir:

| v y 2 | | v y 1 | = 2 0,6 ≈ 3 .

Otrā ķermeņa ātruma projekcijas lielums ir aptuveni 3 reizes lielāks nekā otrā ķermeņa ātruma projekcijas lielums.

Piemērs 6. Ķermeņa ātruma atkarības no laika grafiks ir attēlots kā taisne, kas iet caur punktiem (0; 4,0) un (2,5; 0), kur ātrums dots metros sekundē, laiks - sekundēs. Cik reizes ķermeņa nobrauktais attālums ir lielāks par pārvietošanās moduli 6,0 s kustības laikā?

Risinājums. Ķermeņa ātruma un laika grafiks ir parādīts attēlā. Apstāšanās punkts τ atpūta = 2,5 s iekrīt intervālā no 0 s līdz 6,0 s.

Tāpēc nobrauktais attālums ir summa

S = S 1 + S 2,

un pārvietošanas modulis ir atšķirība

| Δ r → | = | S 1 − S 2 | ,

kur S 1 ir ķermeņa noietais ceļš laika intervālā no 0 s līdz 2,5 s; S 2 ir ķermeņa noietais ceļš laika intervālā no 2,5 s līdz 6,0 s.

Mēs aprēķinām S 1 un S 2 vērtības grafiski kā attēlā parādīto trīsstūru laukumus:

S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 m;

S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 − 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 m.

Piezīme: ātruma vērtību v = 5,6 m/s laikā t = 6,0 s iegūst no trīsstūru līdzības, t.i. no attieksmes

v 4,0 = 6,0 - 2,5 2,5 - 0 .

Aprēķināsim nobraukto attālumu:

S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8 m

un kustības apjoms:

| Δ r → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 – 9,8 | = 4,8 m.

Ļaujiet mums atrast nepieciešamo nobrauktā attāluma un pārvietojuma moduļa attiecību:

S | Δ r → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1.

Nobrauktais attālums ir aptuveni 3,1 reizi lielāks par pārvietojumu.

Attēli zīmējumos ģeometriski ķermeņi tiek konstruēti, izmantojot projekcijas metodi. Bet šim nolūkam nepietiek ar vienu attēlu, ir vajadzīgas vismaz divas projekcijas. Ar viņu palīdzību tiek noteikti punkti telpā. Tāpēc jums jāzina, kā atrast punkta projekciju.

Punkta projekcija

Lai to izdarītu, jums jāņem vērā telpa divšķautņu leņķis, kura iekšpusē atrodas punkts (A). Šeit tiek izmantotas horizontālās P1 un vertikālās P2 projekcijas plaknes. Punkts (A) tiek projicēts ortogonāli uz projekcijas plaknēm. Kas attiecas uz perpendikulārajiem projekcijas stariem, tie ir apvienoti projekcijas plaknē, kas ir perpendikulāra projekcijas plaknēm. Tādējādi, apvienojot horizontālās P1 un frontālās P2 plaknes, griežot pa P2 / P1 asi, mēs iegūstam plakanu zīmējumu.

Tad līnija ar projekcijas punktiem, kas atrodas uz tās, tiek parādīta perpendikulāri asij. Tādējādi tiek izveidots sarežģīts zīmējums. Pateicoties uz tā uzbūvētajiem segmentiem un vertikāla līnija savienojumu, varat viegli noteikt punkta pozīciju attiecībā pret projekcijas plaknēm.

Lai būtu vieglāk saprast, kā atrast projekciju, jums ir jāapsver taisnleņķa trīsstūris. Tā īsā puse ir kāja, bet garā puse ir hipotenūza. Ja projicē kāju uz hipotenūzas, tā tiks sadalīta divos segmentos. Lai noteiktu to vērtību, jums jāaprēķina sākotnējo datu kopa. Apskatīsim dots trīsstūris, galveno prognožu aprēķināšanas metodes.

Parasti šajā uzdevumā tie norāda kājas N garumu un hipotenūzas D garumu, kuras projekcija ir jāatrod. Lai to izdarītu, mēs uzzināsim, kā atrast kājas projekciju.

Apskatīsim metodi kājas garuma noteikšanai (A). Ņemot vērā, ka kājas projekcijas un hipotenūzas garuma ģeometriskais vidējais ir vienāds ar meklējamās kājas vērtību: N = √(D*Nd).

Kā atrast projekcijas garumu

Produkta sakni var atrast, izliekot kvadrātā vēlamās kājas garumu (N) un pēc tam dalot to ar hipotenūzas garumu: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Norādot vērtības tikai avota datos D un N kāju garuma projekcijas jāatrod, izmantojot Pitagora teorēmu.
Noskaidrosim hipotenūzas D garumu. Lai to izdarītu, jums jāizmanto kāju vērtības √ (N² + T²) un pēc tam iegūtā vērtība jāaizstāj ar šādu formulu projekcijas atrašanai: Nd = N² / √ (N² + T²).

Ja avota datos ir dati par kājas RD projekcijas garumu, kā arī dati par hipotenūzas D vērtību, otrā posma ND projekcijas garums jāaprēķina, izmantojot vienkāršu atņemšanas formulu: ND = D – RD.

Ātruma projekcija

Apskatīsim, kā atrast ātruma projekciju. Lai dotais vektors attēlotu kustības aprakstu, tas jānovieto projekcijā uz koordinātu asīm. Ir viena koordinātu asis (staru), divas koordinātu asis (plakne) un trīs koordinātu asis (telpa). Meklējot projekciju, ir nepieciešams nolaist perpendikulus no vektora galiem uz asi.

Lai saprastu projekcijas nozīmi, jums jāzina, kā atrast vektora projekciju.

Vektoru projekcija

Kad ķermenis pārvietojas perpendikulāri asij, projekcija tiks attēlota kā punkts, un tās vērtība ir vienāda ar nulli. Ja kustība tiek veikta paralēli koordinātu asij, tad projekcija sakritīs ar vektora moduli. Gadījumā, ja ķermenis pārvietojas tā, ka ātruma vektors ir vērsts leņķī φ attiecībā pret asi (x), projekcija uz šo asi būs segments: V(x) = V cos(φ), kur V ir ātruma vektora modelis Kad ātruma vektora un koordinātu ass virzieni sakrīt, tad projekcija ir pozitīva un otrādi.

Ņemsim šādu koordinātu vienādojumu: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Šajā gadījumā ātruma funkcija tiks projicēta uz trim asīm un būs nākamais skats: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). No tā izriet, ka atrast ātrumu, kas nepieciešams, lai ņemtu atvasinājumus.Pašu ātruma vektoru izsaka ar vienādojumu šādā formā: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k. Šeit i, j, k ir attiecīgi x, y koordinātu asu , z vienības vektori. Tādējādi ātruma moduli aprēķina, izmantojot šādu formulu: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

Definīcija

Vienmērīga taisnvirziena kustība ir kustība ar nemainīgu ātrumu, kurā nav paātrinājuma, un kustības trajektorija ir taisna līnija.

Vienmērīgas taisnvirziena kustības ātrums nav atkarīgs no laika un katrā trajektorijas punktā tiek virzīts tāpat kā ķermeņa kustība. Tas ir, pārvietojuma vektors sakrīt virzienā ar ātruma vektoru. Šajā gadījumā vidējais ātrums jebkurā laika periodā ir vienāds ar momentāno ātrumu: $\left\langle v\right\rangle =v$

Definīcija

Vienmērīgas taisnvirziena kustības ātrums ir fiziska vektora lielums, kas vienāds ar ķermeņa $\overrightarrow(S)$ kustības attiecību jebkurā laika periodā pret šī intervāla vērtību t:

$$\overrightarrow(v)=\frac(\overrightarrow(S))(t)$$

Tādējādi vienmērīgas taisnvirziena kustības ātrums parāda, cik lielu kustību materiāla punkts veic laika vienībā.

Nobīdi vienmērīgas lineāras kustības laikā nosaka pēc formulas:

$$ \overrightarrow(S) = \overrightarrow(v) \cdot t $$

Taisnās kustības laikā nobrauktais attālums ir vienāds ar pārvietojuma moduli. Ja OX ass pozitīvais virziens sakrīt ar kustības virzienu, tad ātruma projekcija uz OX asi ir vienāda ar ātruma lielumu un ir pozitīva: $v_x = v$, tas ir, $v $> $ 0 $

Nobīdes projekcija uz OX asi ir vienāda ar: $s = v_t = x - x0$

kur $x_0$ ir ķermeņa sākotnējā koordināta, $x$ ir ķermeņa galīgā koordināta (vai ķermeņa koordināte jebkurā laikā)

Kustības vienādojums, tas ir, ķermeņa koordinātu atkarība no laika $x = x(t)$, izpaužas šādā formā: $x = x_0 + v_t$

Ja OX ass pozitīvais virziens ir pretējs ķermeņa kustības virzienam, tad ķermeņa ātruma projekcija uz OX asi ir negatīva, ātrums ir mazāks par nulli ($v $

Ķermeņa ātruma projekcijas atkarība no laika parādīta attēlā. 1. Tā kā ātrums ir nemainīgs ($v = const$), ātruma grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla laika asij Ot.

Rīsi. 1. Ķermeņa ātruma projekcijas atkarība no laika vienmērīgai taisnvirziena kustībai.

Kustības projekcija uz koordinātu asi ir skaitliski vienāda ar taisnstūra OABC laukumu (2. att.), jo kustības vektora lielums ir vienāds ar ātruma vektora un laika reizinājumu, kurā kustība notika. izgatavots.

Rīsi. 2. Ķermeņa nobīdes projekcijas atkarība no laika vienmērīgai taisnvirziena kustībai.

Nobīdes pret laiku grafiks ir parādīts attēlā. 3. No grafika ir skaidrs, ka ātruma projekcija uz Ot asi ir skaitliski vienāda ar grafika slīpuma leņķa pieskares laika asij:

Rīsi. 3. Ķermeņa nobīdes projekcijas atkarība no laika vienmērīgai taisnvirziena kustībai.

Koordinātas atkarība no laika ir parādīta attēlā. 4. No attēla ir skaidrs, ka

tg $\alpha $1 $>$ tg $\alpha $2, tāpēc 1. ķermeņa ātrums ir lielāks par 2. ķermeņa ātrumu (v1 $>$ v2).

tg $\alpha $3 = v3 $

Rīsi. 4. Ķermeņa koordinātu atkarība no laika vienmērīgai taisnvirziena kustībai.

Ja ķermenis atrodas miera stāvoklī, tad koordinātu grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla laika asij, tas ir, x = x0

1. problēma

Divi vilcieni virzās viens pret otru pa paralēlām sliedēm. Pirmā vilciena ātrums ir 10 metri sekundē, pirmā vilciena garums ir 500 metri. Otrā vilciena ātrums ir 30 metri sekundē, otrā vilciena garums ir 300 metri. Nosakiet, cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai otrais vilciens pabrauktu garām pirmajam.

Dots: $v_1$=10 m/s; $v_2$=30 m/s; $L_1$=500 m; $L_2$=300 m

Atrast: t --- ?

Laiku, kas nepieciešams, lai vilcieni pabrauktu viens otram garām, var noteikt, dalot vilcienu kopējo garumu ar to garumu relatīvais ātrums. Pirmā vilciena ātrumu attiecībā pret otro nosaka pēc formulas v= v1+v2 Tad laika noteikšanas formula iegūst šādu formu: $t=\frac(L_1+L_2)(v_1+v_2)=\frac(500 +300)(10+30)= 20\c$

Atbilde: Otrais vilciens pabrauks garām pirmajam 20 sekunžu laikā.

2. problēma

Noteikt upes tecēšanas ātrumu un laivas ātrumu stāvošā ūdenī, ja zināms, ka 300 kilometrus lejtecē laiva veic 4 stundās, bet pret straumi – 6 stundās.

Dots: $L$=300000 m; $t_1$=14400 s; $t_2$=21600 s

Atrast: $v_p$ - ?; $v_k$ - ?

Laivas ātrums pa upi attiecībā pret krastu ir $v_1=v_k+v_p$, un pret straumi $v_2=v_k-v_p$. Pierakstīsim kustības likumu abiem gadījumiem:

Atrisinot vienādojumus vp un vk, iegūstam formulas upes tecēšanas ātruma un laivas ātruma aprēķināšanai.

Upes plūsmas ātrums: $v_p=\frac(L\left(t_2-t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600-14400\right))(2\reizes 14400\reizes 21600)=3 .47\ m/s$

Laivas ātrums: $v_к=\frac(L\left(t_2+t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600+14400\right))(2\reizes 14400\reizes 21600)=17, 36\ m/s$

Atbilde: upes ātrums ir 3,47 metri sekundē, laivas ātrums ir 17,36 metri sekundē.

Vienota kustība– tā ir kustība ar nemainīgu ātrumu, tas ir, kad ātrums nemainās (v = const) un nenotiek paātrinājums vai palēninājums (a = 0).

Taisnas līnijas kustība- tā ir kustība taisnā līnijā, tas ir, taisnvirziena kustības trajektorija ir taisna līnija.

Vienota lineāra kustība- šī ir kustība, kurā ķermenis veic vienādas kustības jebkuros vienādos laika intervālos. Piemēram, ja mēs sadalām noteiktu laika intervālu vienas sekundes intervālos, tad ar vienmērīgu kustību ķermenis katram no šiem laika intervāliem pārvietos vienādu attālumu.

Vienmērīgas taisnvirziena kustības ātrums nav atkarīgs no laika un katrā trajektorijas punktā tiek virzīts tāpat kā ķermeņa kustība. Tas ir, pārvietojuma vektors sakrīt virzienā ar ātruma vektoru. Šajā gadījumā vidējais ātrums jebkurā laika periodā ir vienāds ar momentāno ātrumu:

V cp = v

V x = v, tas ir, v > 0

Nobīdes projekcija uz OX asi ir vienāda ar:

S = vt = x – x 0

kur x 0 ir ķermeņa sākotnējā koordināta, x ir ķermeņa galīgā koordināta (vai ķermeņa koordināte jebkurā laikā)

Kustības vienādojums, tas ir, ķermeņa koordinātu atkarība no laika x = x(t), izpaužas šādā formā:

X = x 0 + vt

X = x 0 - vt

Ātruma, koordinātu un ceļa atkarība no laika

Ķermeņa ātruma projekcijas atkarība no laika parādīta attēlā. 1.11. Tā kā ātrums ir nemainīgs (v = const), ātruma grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla laika asij Ot.

Rīsi. 1.11. Ķermeņa ātruma projekcijas atkarība no laika vienmērīgai taisnvirziena kustībai.

Kustības projekcija uz koordinātu asi ir skaitliski vienāda ar taisnstūra OABC laukumu (1.12. att.), jo kustības vektora lielums ir vienāds ar ātruma vektora un laika reizinājumu, kurā kustība notika. izgatavots.

Rīsi. 1.12. Ķermeņa nobīdes projekcijas atkarība no laika vienmērīgai taisnvirziena kustībai.

Nobīdes pret laiku grafiks ir parādīts attēlā. 1.13. Grafikā redzams, ka ātruma projekcija ir vienāda ar

V = s 1 / t 1 = iedegums α

kur α ir grafika slīpuma leņķis pret laika asi.Jo lielāks leņķis α, jo ātrāk ķermenis kustas, tas ir, jo lielāks ir tā ātrums (jo lielāku attālumu ķermenis veic īsākā laikā). Pieskares pieskarei koordinātu grafikam pret laiku ir vienāda ar ātrumu:

Tg α = v

Rīsi. 1.13. Ķermeņa nobīdes projekcijas atkarība no laika vienmērīgai taisnvirziena kustībai.