नई सामग्री को समेकित करने के लिए हल की जाने वाली समस्याएँ

कार्य क्रमांक 1. फाइनल में 5 प्रतिभागियों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

5 ट्रेडमिल पर दौड़?

समाधान: पी 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 तरीके।

कार्य क्रमांक 2.अंक 1,2,3 से कितनी तीन अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि प्रत्येक

क्या किसी संख्या छवि में कोई अंक केवल एक बार दिखाई देता है?

समाधान: तीन तत्वों के सभी क्रमपरिवर्तन की संख्या P 3 =3! के बराबर है, जहां 3!=1 * 2 * 3=6

इसका मतलब यह है कि 1,2,3 संख्याओं से बनी तीन अंकों की छह संख्याएँ हैं।

कार्य क्रमांक 3.चार युवक कितने तरीकों से छह में से चार को आमंत्रित कर सकते हैं?

लड़कियाँ नाचें?

समाधान: दो लड़के एक ही समय पर एक ही लड़की को आमंत्रित नहीं कर सकते। और

विकल्प जिसमें एक ही लड़कियाँ अलग-अलग लड़कों के साथ नृत्य करती हैं,

अलग माने जाते हैं, इसलिए:

समस्या क्रमांक 4. संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी भिन्न तीन अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

6, 7, 8, 9, बशर्ते कि संख्या लिखने में प्रत्येक अंक का ही प्रयोग हो

एक बार?

समाधान: समस्या कथन में संभावित संयोजनों की संख्या गिनने का प्रस्ताव है

कल्पित नौ अंकों से लिए गए तीन अंक और क्रम

संयोजन में संख्याओं की व्यवस्था मायने रखती है (उदाहरण के लिए, संख्या 132)

और 231 भिन्न)। दूसरे शब्दों में, आपको नौ में से प्लेसमेंट की संख्या ज्ञात करनी होगी

प्रत्येक में तीन तत्व।

हमें मिलने वाली नियुक्तियों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करना:

उत्तर: 504 तीन अंकीय संख्याएँ।

समस्या #5 7 लोगों में से 3 लोगों की एक समिति कितने तरीकों से चुनी जा सकती है?

समाधान:सभी संभावित कमीशनों पर विचार करने के लिए, आपको सभी पर विचार करने की आवश्यकता है

7 वाले समुच्चय के संभावित 3-तत्व उपसमुच्चय

इंसान। तरीकों की आवश्यक संख्या है

टास्क नंबर 6.प्रतियोगिता में 12 टीमें भाग लेती हैं। कितने विकल्प हैं?

पुरस्कार वितरण (1,2,3) स्थान?

समाधान: पुरस्कार स्थानों के वितरण के लिए 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 विकल्प।

उत्तर: 1320 विकल्प।

टास्क नंबर 7.प्रतियोगिताओं में व्यायामहमारे स्कूल का प्रतिनिधित्व एक टीम द्वारा किया गया था

10 एथलीट. कोच कितने तरीकों से यह निर्धारित कर सकता है कि उनमें से कौन सा है?

4x100 मीटर रिले में पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे चरण में दौड़ेंगे?

समाधान:आदेश को ध्यान में रखते हुए 10 से 4 तक विकल्प:
तौर तरीकों।

उत्तर: 5040 तरीके.

टास्क नंबर 8.लाल, काला, नीला और कितने प्रकार से हो सकता है

हरी गेंदें?

समाधान:आप चार गेंदों में से किसी एक को पहले स्थान पर (4 तरीकों से) रख सकते हैं

दूसरा - शेष तीन (3 तरीकों) में से कोई, तीसरा स्थान - कोई भी

शेष दो (2 तरीके), चौथे स्थान के लिए - शेष अंतिम गेंद।

कुल 4 · 3 · 2 · 1 = 24 तरीके।

पी 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. उत्तर: 24 तरीके.

समस्या क्रमांक 9. छात्रों को 10 पुस्तकों की एक सूची दी गई जिन्हें पढ़ने की सिफारिश की गई है

छुट्टी का समय। एक छात्र कितने तरीकों से उनमें से 6 किताबें चुन सकता है?

समाधान:आदेश की परवाह किए बिना 10 में से 6 विकल्प:
तौर तरीकों।

उत्तर: 210 तरीके.

समस्या क्रमांक 10. 9वीं कक्षा में 7 छात्र, 10वीं कक्षा में 9 छात्र और 11वीं कक्षा में 8 छात्र हैं। के लिए

स्कूल साइट पर काम, ग्रेड 9 से दो छात्रों को आवंटित करना आवश्यक है,

10 में से तीन, और 11 में से एक। चुनने के कितने तरीके हैं?

छात्रों को स्कूल क्षेत्र में काम करने के लिए?

समाधान:ऑर्डर की परवाह किए बिना तीन सेटों में से प्रत्येक का चयन

पहले सेट (सी 7 2) को प्रत्येक पसंद के साथ जोड़ा जा सकता है

नियम के अनुसार दूसरा (सी 9 3)) और तीसरे की प्रत्येक पसंद के साथ (सी 8 1)

गुणन से हमें प्राप्त होता है:

उत्तर: 14,112 तरीके।

टास्क नंबर 11.नौवीं कक्षा की झेन्या, शेरोज़ा, कोल्या, नताशा और ओलेया दौड़कर आईं

टेनिस टेबल पर जाएँ, जहाँ खेल पहले से ही चल रहा था। कितने

नौवीं कक्षा के पांच विद्यार्थी टेबल तक दौड़ने के तरीके अपना सकते हैं

टेबल टेनिस के लिए कतार?

समाधान: नौवीं कक्षा का कोई भी छात्र प्रथम पंक्ति में हो सकता है, और कोई भी छात्र दूसरे स्थान पर हो सकता है।

शेष तीन, तीसरा - शेष दो में से कोई एक और चौथा -

एक नौवीं कक्षा का छात्र जो दूसरे से अंतिम स्थान तक दौड़ा, और एक पाँचवीं कक्षा का छात्र जो अंतिम स्थान तक दौड़ा। द्वारा

पांच छात्रों के लिए गुणन नियम में 5 4321=120 तरीके हैं

अनुशासन में एक व्यावहारिक पाठ का पद्धतिगत विकास: "गणित"

विषय: "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत"

उदाहरण 1 . गणना करें: ए) ; बी) ; वी) .

समाधान। ए) ।

बी) चूंकि , तो हम इसे कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं

फिर हमें मिलता है

वी) .

उदाहरण 2 . छह अलग-अलग पुस्तकों को एक शेल्फ पर कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान। तरीकों की आवश्यक संख्या 6 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।

उदाहरण 3. पांच आवेदकों के लिए विभिन्न प्रोफाइल के सेनेटोरियम में तीन वाउचर वितरित करने के कितने विकल्प संकलित किए जा सकते हैं?

समाधान। विकल्पों की आवश्यक संख्या 3 तत्वों में से 5 तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के बराबर है, अर्थात।

.

उदाहरण 4 . 25 लोगों की एक टीम में, आपको एक निश्चित क्षेत्र में काम करने के लिए चार को आवंटित करने की आवश्यकता है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। चूँकि चुने गए चार लोगों का क्रम कोई मायने नहीं रखता, इसलिए ऐसा किया जा सकता हैतौर तरीकों।

हम पहले सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं

.

इसके अलावा, समस्याओं को हल करते समय, संयोजनों के मूल गुणों को व्यक्त करते हुए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

(परिभाषा के अनुसार वे मानते हैं और);

.

1.2. संयुक्त समस्याओं का समाधान

कार्य 1। संकाय 16 विषयों का अध्ययन करता है। आपको सोमवार के लिए अपने शेड्यूल में 3 विषय रखने होंगे। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। 16 में से तीन आइटमों को शेड्यूल करने के उतने ही तरीके हैं जितने आप 16 आइटमों के प्लेसमेंट को 3 तक व्यवस्थित कर सकते हैं।

कार्य 2. 15 वस्तुओं में से 10 वस्तुओं का चयन करना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान।

कार्य 3. प्रतियोगिता में चार टीमों ने हिस्सा लिया। उनके बीच सीटों के बंटवारे के कितने विकल्प संभव हैं?

समाधान।

.

कार्य 4. यदि 80 सैनिक और 3 अधिकारी हैं तो तीन सैनिकों और एक अधिकारी की गश्ती कितने प्रकार से बनाई जा सकती है?

समाधान। आप गश्त पर एक सैनिक चुन सकते हैं

तरीके, और अधिकारी तरीकों से। चूँकि कोई भी अधिकारी सैनिकों की प्रत्येक टीम के साथ जा सकता है, इसलिए बहुत सारे रास्ते हैं।

कार्य 5. यदि यह ज्ञात हो तो खोजें।

समाधान।

चूँकि, हमें मिलता है

,

,

, .

संयोजन की परिभाषा से यह इस प्रकार है कि , . वह। .

उत्तर: 9

1.3. एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा. घटनाओं के प्रकार. घटना की संभावना

उदाहरण। बॉक्स में 30 क्रमांकित गेंदें हैं। निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएँ असंभव, विश्वसनीय या विपरीत हैं:

एक नंबर वाली गेंद निकाली(ए);

सम संख्या वाली एक गेंद मिली(में);

एक विषम संख्या वाली गेंद मिली(साथ);

बिना नंबर की एक गेंद मिली(डी)।

उनमें से कौन एक पूर्ण समूह बनाता है?

समाधान. ए - विश्वसनीय घटना;डी - असंभव घटना;

में औरसाथ -विपरीत घटनाएँ.

घटनाओं का पूरा समूह शामिल हैए औरडी, वी औरसाथ .

घटना की संभावना , को एक यादृच्छिक घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप के रूप में माना जाता है।

1.4. संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा

कार्य 1। 1000 टिकटों की लॉटरी में 200 टिकटें विजयी होती हैं। एक टिकट यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह टिकट विजेता है?

समाधान। विभिन्न परिणामों की कुल संख्या हैएन =1000. जीतने के अनुकूल परिणामों की संख्या हैएम=200. सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

.

कार्य 2. 18 भागों के एक बैच में 4 दोषपूर्ण हैं। 5 भाग यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं। इन 5 भागों में से दो के ख़राब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्याएन 18 बटा 5 के संयोजनों की संख्या के बराबर अर्थात

आइए संख्या गिनेंएम, घटना ए के अनुकूल। यादृच्छिक रूप से लिए गए 5 भागों में से 3 उच्च गुणवत्ता वाले और 2 दोषपूर्ण होने चाहिए। 4 मौजूदा दोषपूर्ण भागों में से दो दोषपूर्ण भागों को चुनने के तरीकों की संख्या 4 बटा 2 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:

14 उपलब्ध गुणवत्ता वाले भागों में से तीन गुणवत्ता वाले भागों का चयन करने के तरीकों की संख्या बराबर है

.

अच्छे भागों के किसी भी समूह को दोषपूर्ण भागों के किसी भी समूह के साथ जोड़ा जा सकता है कुल गणनायुग्मएम के बराबर

घटना ए की वांछित संभावना परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर हैएम, इस घटना के अनुकूल, संख्या के लिएएनसभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणाम:

.

1.5. असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय

मात्रा घटनाओं की एक सीमित संख्या एक ऐसी घटना है जिसमें उनमें से कम से कम एक की घटना शामिल होती है।

दो घटनाओं के योग को प्रतीक A+B और योग द्वारा दर्शाया जाता हैएन घटना प्रतीक ए 1 +ए 2 +… +ए एन .

संभाव्यता जोड़ प्रमेय.

कार्य 1। 100 हैं लॉटरी टिकट. यह ज्ञात है कि 5 टिकट 20,000 रूबल जीतते हैं, 10 टिकट 15,000 रूबल जीतते हैं, 15 टिकट 10,000 रूबल जीतते हैं, 25 टिकट 2,000 रूबल जीतते हैं। और बाकी के लिए कुछ भी नहीं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदे गए टिकट पर कम से कम 10,000 रूबल की जीत प्राप्त होगी।

समाधान। मान लीजिए कि ए, बी और सी ऐसी घटनाएँ हैं जिनमें यह तथ्य शामिल है कि खरीदे गए टिकट पर क्रमशः 20,000, 15,000 और 10,000 रूबल के बराबर जीत मिलती है। चूँकि घटनाएँ A, B और C असंगत हैं

कार्य 2. पर बाह्यतकनीकी स्कूल को शहरों से गणित की परीक्षाएँ मिलती हैंए, बी औरसाथ . शहर से एक परीक्षण प्राप्त होने की संभावनाए शहर से 0.6 के बराबरमें - 0.1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला परीक्षाशहर से आऊंगासाथ .

समाधान। घटनाएँ “परीक्षण शहर से आया थाए ", "परीक्षण शहर बी से आया" और "परीक्षण शहर सी से आया" फॉर्म संपूर्ण प्रणाली, इसलिए उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:

, अर्थात। .

कार्य 3. संभावना है कि दिन साफ़ रहेगा। दिन में बादल छाए रहने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। इसलिए, घटनाएँ "स्पष्ट दिन" और "बादल वाला दिन" विपरीत हैं

वह है

1.6. संभाव्यता गुणन प्रमेय स्वतंत्र घटनाएँ

कार्य 1। संभावना की गणना करें कि जिस परिवार में कोई है बच्चा, दूसरा लड़का पैदा होगा।

समाधान। चलो घटनाए यह कि परिवार में दो लड़के हैं, और घटनामें - वह एक लड़का.

आइए हर चीज़ पर विचार करें संभावित नतीजे: लड़का और लड़का; लड़का और लड़की; लड़की और लड़का; लड़की और लड़की.

फिर, और सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं

.

कार्य 2. पहले कलश में 6 काली और 4 सफेद गेंदें हैं, दूसरे कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें सफेद होंगी?

समाधान। मान लीजिए - पहले कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है; - दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। यह स्पष्ट है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

क्योंकि , , फिर हम जो सूत्र पाते हैं उसका उपयोग करते हुए

.

कार्य 3. डिवाइस में दो तत्व होते हैं जो स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। पहले तत्व की विफलता की संभावना 0.2 है; दूसरे तत्व की विफलता की संभावना 0.3 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) दोनों तत्व विफल हो जाएंगे; बी) दोनों तत्व काम करेंगे।

समाधान। चलो घटनाए - पहले तत्व की विफलता, घटनामें - दूसरे तत्व की उनकी संरचना का आउटपुट। ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं (शर्त के अनुसार)।

ए) एक साथ उपस्थितिए औरमें एक घटना हैअब . इस तरह,

बी) यदि पहला तत्व काम करता है, तो एक घटना घटित होती है (घटना के विपरीत)।ए - इस तत्व की विफलता); यदि दूसरा तत्व काम करता है - घटनामें। आइए घटनाओं की संभावनाएं खोजें और:

तब यह घटना है कि दोनों तत्व काम करेंगे और, इसलिए,

द्वितीय . यादृच्छिक चर, इसका वितरण कार्य

2.1. यादृच्छिक चर, इसे निर्दिष्ट करने के तरीके

यादृच्छिक एक मात्रा है जो परीक्षण के परिणामस्वरूप एक या दूसरी मात्रा ले सकती है अंकीय मान, और यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा।

यदि किसी भी मात्रा के लिए उसका माप लगभग समान परिस्थितियों में कई बार दोहराया जाता है, तो आप पाएंगे कि हर बार आपको थोड़ा अलग परिणाम प्राप्त होता है। यह दो प्रकार के कारणों का प्रभाव है: 1) मूल कारण, परिणाम का मुख्य अर्थ निर्धारित करना; 2) द्वितीयक, जो उनके विचलन का कारण बनते हैं।

इन कारणों की संयुक्त कार्रवाई के साथ, आवश्यकता और मौका की अवधारणाएं एक-दूसरे से निकटता से जुड़ी हुई हैं, लेकिन जरूरी मौके पर हावी है।

इस प्रकार, यादृच्छिक चर के संभावित मान कुछ संख्यात्मक सेटों से संबंधित होते हैं।

जो यादृच्छिक है वह यह है कि इन सेटों पर मात्राएँ कोई भी मान ले सकती हैं, लेकिन कौन सा पहले से नहीं कहा जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक घटना से जुड़ा होता है।

यदि कोई यादृच्छिक घटना -गुणवत्ता विशेषता परीक्षण, तो यादृच्छिक चर इसका हैमात्रात्मक विशेषता .

यादृच्छिक चर को बड़े अक्षरों में दर्शाया गया है लैटिन अक्षरों के साथऔर इनका अर्थ बड़े अक्षरों में है - .

एक यादृच्छिक चर के मान लेने की प्रायिकता को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:

वगैरह।

यादृच्छिक चर वितरण कानूनों द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं।

वितरण का नियम अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच स्थापित पत्राचार है।

वितरण कानूनों को तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है: सारणीबद्ध, ग्राफिकल, विश्लेषणात्मक। सेटिंग की विधि यादृच्छिक चर के प्रकार पर निर्भर करती है।

यादृच्छिक चर के दो मुख्य प्रकार हैं:असतत और लगातार वितरित यादृच्छिक चर।

2.2. असतत और निरंतर यादृच्छिक चर

यदि दिए गए यादृच्छिक चर के मान संख्याओं की एक असतत (परिमित या अनंत) श्रृंखला बना सकते हैं, तो यादृच्छिक चर को ही कहा जाता हैपृथक.

यदि किसी दिए गए यादृच्छिक चर के मान संख्यात्मक अक्ष के एक परिमित या अनंत अंतराल (ए, बी) को भर सकते हैंओह, तब यादृच्छिक चर कहा जाता हैनिरंतर।

असतत प्रकार के यादृच्छिक चर का प्रत्येक मान एक निश्चित संभावना से मेल खाता है; निरंतर प्रकार के यादृच्छिक चर के मानों की सीमा से प्रत्येक अंतराल (ए, बी) भी एक निश्चित संभावना से मेल खाता है कि यादृच्छिक चर द्वारा लिया गया मान इस अंतराल में आता है।

2.3. यादृच्छिक चर का वितरण नियम

वह संबंध जो किसी न किसी रूप में किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों और उनकी संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है, कहलाता हैवितरण का नियम अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम आमतौर पर दिया जाता हैअगला वितरण:

जिसमें, जहां योग पूरे (परिमित या अनंत) सेट तक फैला हुआ है संभावित मानयादृच्छिक चर दिया गया।

इसका उपयोग करके सतत यादृच्छिक चर के वितरण नियम को निर्दिष्ट करना सुविधाजनक हैसंभाव्यता सघनता फ़ंक्शन .

संभावना है कि यादृच्छिक चर द्वारा लिया गया मान अंतराल (ए, बी) में गिर जाएगा समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कहा जाता हैवितरण वक्र . ज्यामितीय रूप से, एक यादृच्छिक चर के अंतराल (ए, बी) में गिरने की संभावना संबंधित के क्षेत्र के बराबर है घुमावदार समलम्बाकार, वितरण वक्र, अक्ष द्वारा सीमितओह और सीधाएक्स=ए, एक्स=बी.

कार्य 1। यादृच्छिक चर मानों की संभावनाएँ दी गई हैं: मान 10 की संभावना 0.3 है; मान 2 - संभाव्यता 0.4; मान 8 – संभाव्यता 0.1; मान 4 - संभाव्यता 0.2. एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

समाधान। यादृच्छिक चर के मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करके, हम वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

आइए इसे हवाई जहाज़ पर ले चलेंसहगान अंक (2; 0.4), (4; 0.2), (8; 0.1) और (10; 0.3)। क्रमिक बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता हैबहुभुज (याबहुभुज ) एक यादृच्छिक चर का वितरण

एक्स

कार्य 2. 5,000 रूबल मूल्य की दो वस्तुएँ और 30,000 रूबल मूल्य की एक वस्तु प्राप्त करने के लिए हैं। 50 में से एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति के लिए जीत के वितरण का एक कानून बनाएं।

समाधान। वांछित यादृच्छिक चर एक लाभ है और तीन मान ले सकता है: 0, 5000 और 30000 रूबल। पहले नतीजे को 47 मामलों ने समर्थन दिया, दूसरे नतीजे को दो मामलों ने और तीसरे नतीजे को एक मामले ने पसंद किया। आइए उनकी संभावनाएं खोजें:

; ; .

यादृच्छिक चर के वितरण नियम का रूप है:

जाँच के रूप में हम पाएंगे

कार्य 3. यादृच्छिक चर घनत्व के साथ वितरण कानून के अधीन है, और

आवश्यक: 1) गुणांक खोजें a; 2) घनत्व वितरण ग्राफ बनाएं; 3) अंतराल (1; 2) में गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) चूँकि किसी दिए गए यादृच्छिक चर के सभी मान खंड पर समाहित हैं

, कहाँ

, या

वे। .

2) अंतराल में किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, और इस अंतराल के बाहर x-अक्ष स्वयं ग्राफ़ के रूप में कार्य करता है।

एक्स

) एक यादृच्छिक चर के अंतराल (1; 2) में गिरने की संभावना समानता से पाई जा सकती है

2.4. द्विपद वितरण

एक निश्चित संख्या उत्पन्न होने दीजिएएन स्वतंत्र प्रयोग, और उनमें से प्रत्येक में समान संभावना के साथ कुछ घटनाएँ घटित हो सकती हैंआर . घटनाओं की घटनाओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले एक यादृच्छिक चर पर विचार करेंए वीएन प्रयोग. इसके वितरण का नियम रूप है

कहाँ, की गणना बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

वितरण कानून, जिसे ऐसी तालिका द्वारा दर्शाया जाता है, कहा जाता हैद्विपद .

काम। सिक्के को 5 बार उछाला जाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम बनाएं - हथियारों के कोट की संख्या।

समाधान। यादृच्छिक चर के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5। यह जानते हुए कि एक परीक्षण में हथियारों के एक कोट के गिरने की संभावना बराबर है, हम मूल्यों की संभावनाओं का पता लगाएंगे बर्नौली सूत्र का उपयोग करके यादृच्छिक चर का:

वितरण कानून का स्वरूप है

की जाँच करें:

तृतीय . एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता

3.1. असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

उदाहरण 1 . किसी यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को जानकर उसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए

समाधान।

गणितीय अपेक्षा के गुण.

1. स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

2. एक स्थिर मूल्य की गणितीय अपेक्षासाथ इस मान के ही बराबर:

3. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

4. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा इन चरों की गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

3.2. यादृच्छिक चर का मानक विचलन और विचरण।

उदाहरण 2. आइए यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें और, उनके वितरण के नियमों को जानें

2)

समाधान:

पी

हमें एक दिलचस्प परिणाम मिला: मात्राओं के वितरण के नियम अलग-अलग हैं, लेकिन उनकी गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं।

बी)

ड्राइंग सेबी यह स्पष्ट है कि मात्रा का मूल्य गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष बिखरे हुए (बिखरे हुए) मात्रा के मूल्यों की तुलना में गणितीय अपेक्षा के आसपास अधिक केंद्रित है (चित्रा)ए ).

गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव की डिग्री की मुख्य संख्यात्मक विशेषता फैलाव है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि समूह में 33 लोग हैं तो सम्मेलन के लिए दो छात्रों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

समीकरण हल करें

ए) . बी) ।

अंक 0, 1, 2, 5, 7 से 5 से विभाज्य कितनी चार अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि प्रत्येक संख्या में समान अंक न हों?

15 लोगों के समूह में से एक फोरमैन और 4 टीम सदस्यों का चयन किया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

मोर्स कोड अक्षर प्रतीकों (बिंदु और डैश) से बने होते हैं। यदि आप चाहते हैं कि प्रत्येक अक्षर में पाँच से अधिक अक्षर न हों तो आप कितने अक्षर बना सकते हैं?

विभिन्न रंगों के सात रिबन से चार रंग के रिबन कितने तरीकों से बनाए जा सकते हैं?

चार अलग-अलग पदों के लिए नौ उम्मीदवारों में से चार व्यक्तियों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

आप कितने तरीकों से 6 में से 3 कार्ड चुन सकते हैं?

ग्रेजुएशन से पहले, 30 छात्रों के एक समूह ने तस्वीरों का आदान-प्रदान किया। कितने फोटो कार्ड वितरित किये गये?

उत्सव की मेज पर 10 मेहमानों को दस स्थानों पर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

एक दौर की चैम्पियनशिप में 20 फुटबॉल टीमों को कितने खेल खेलने चाहिए?

यदि प्रत्येक टीम में 6 लोग हैं तो 12 लोगों को टीमों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

सिद्धांत संभावना

कलश में 7 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। कलश से एक ही समय में दो गेंदें निकाली जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें लाल हैं (घटना A)?

एक शेल्फ पर नौ अलग-अलग किताबें यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित की गई हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चार विशिष्ट पुस्तकें एक-दूसरे के बगल में रखी जाएंगी (घटना C)।

10 टिकटों में से 2 जीत रहे हैं, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए 5 टिकटों में से एक जीत रहा है।

ताश के पत्तों (52 पत्तों) की एक गड्डी से 3 पत्ते यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह एक तीन, एक सात, एक इक्का है।

एक बच्चा विभाजित वर्णमाला के पांच अक्षरों ए, के, आर, श, य के साथ खेलता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि अक्षरों को यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाए, तो उसे शब्द "छत" मिलेगा।

बॉक्स में 6 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं। दो गेंदें यादृच्छिक रूप से ली जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वे एक ही रंग के होंगे?

पहले कलश में 6 काली और 4 सफेद गेंदें हैं, दूसरे कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें सफेद हैं?

यादृच्छिक चर, गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर का विचरण

यदि एक शॉट से हिट की संभावना 0.4 है, तो छह शॉट वाले लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

यह संभावना कि एक छात्र को पुस्तकालय में उसकी ज़रूरत की किताब मिल जाएगी, 0.3 है। यदि शहर में चार पुस्तकालय हैं तो वह कितने पुस्तकालयों का दौरा करेगा, इसके लिए एक वितरण कानून बनाएं।

शिकारी पहली हिट तक खेल में गोली चलाता है, लेकिन चार से अधिक गोली नहीं चला पाता है। यदि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.7 है तो चूक की संख्या में अंतर ज्ञात कीजिए।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिएएक्स, यदि इसके वितरण का नियम तालिका द्वारा दिया गया है:

संयंत्र चार स्वचालित लाइनें संचालित करता है। कार्य शिफ्ट के दौरान पहली पंक्ति में समायोजन की आवश्यकता नहीं होने की संभावना 0.9 है, दूसरी - 0.8, तीसरी - 0.75, चौथी - 0.7 है। उन पंक्तियों की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें जिन्हें कार्य शिफ्ट के दौरान समायोजन की आवश्यकता नहीं होगी।

इसके वितरण के नियम को जानते हुए यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए: 5. ग्रंथ सूची

मुख्य:

1. बोगोमोलोव एन.वी. गणित में व्यावहारिक पाठ. - एम।: ग्रेजुएट स्कूल, 1990. - 495 पी।

   सोलोवेचिक आई.एल. तकनीकी स्कूलों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह / आई.एल. सोलोवेचिक, वी.टी. लिसिचकिन। - एम.: गोमेद 21वीं सदी, 2003। - 464 पी।

   वलुत्से आई.आई. तकनीकी स्कूलों के लिए गणित / आई.आई. वलूटा, जी.डी. डिलिगुल. - एम.: नौका, 1989. - 575 पी.

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अतिरिक्त:

ग्रिगुलेट्स्की वी.जी. आर्थिक विशिष्टताओं के छात्रों के लिए गणित। भाग 2 / वी.जी. ग्रिगुलेट्स्की, आई.वी. लुक्यानोवा, आई.ए. पेटुनिना। - क्रास्नोडार, 2002. - 348 पी।

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गुसाक ए.ए. उच्च गणित. 2 खंडों में, टी.2. – ट्यूटोरियलविश्वविद्यालय के छात्रों के लिए. - एम.: टेट्रासिस्टम्स, 1988. - 448 पी।

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संयुक्त समस्याओं को हल करने के तरीके

संभावित विकल्पों की गणना

विभिन्न तालिकाओं और आरेखों को बनाए बिना संभावित विकल्पों की सामान्य विस्तृत खोज से सरल समस्याओं का समाधान किया जाता है।

कार्य 1।
कौन दोहरे अंकक्या इसे संख्या 1, 2, 3, 4, 5 से बनाया जा सकता है?

उत्तर: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

कार्य 2.
इवानोव, ग्रोमोव और ओर्लोव अंतिम 100 मीटर दौड़ में भाग ले रहे हैं। नाम संभावित विकल्पपुरस्कार वितरण.

उत्तर:
विकल्प1: 1) इवानोव, 2) ग्रोमोव, 3) ओर्लोव।
विकल्प 2: 1) इवानोव, 2) ओर्लोव, 3) ग्रोमोव।
विकल्प 3: 1) ओर्लोव, 2) इवानोव, 3) ग्रोमोव।
विकल्प4: 1) ओर्लोव, 2) ग्रोमोव, 3) इवानोव।
विकल्प5: 1) ग्रोमोव, 2) ओर्लोव, 3) इवानोव।
विकल्प6: 1) ग्रोमोव, 2) इवानोव, 3) ओर्लोव।

कार्य 3.
पेट्या, कोल्या, वाइटा, ओलेग, तान्या, ओलेया, नताशा, स्वेता ने बॉलरूम डांस क्लब के लिए साइन अप किया। एक लड़की और एक लड़के की कौन सी नृत्य जोड़ी बन सकती है?

उत्तर:
1) तान्या - पेट्या, 2) तान्या - कोल्या, 3) तान्या - वित्या, 4) तान्या - ओलेग, 5) ओल्या - पेट्या, 6) ओल्या - कोल्या, 7) ओल्या - वित्या, 8) ओल्या - ओलेग, 9) नताशा - पेट्या, 10) नताशा - कोल्या, 11) नताशा - वाइत्या, 12) नताशा - ओलेग, 13) स्वेता - पेट्या, 14) स्वेता - कोल्या, 15) स्वेता - वाइत्या, 16) स्वेता - ओलेग।

संभावित विकल्पों का वृक्ष

विशेष सर्किट बनाकर विभिन्न प्रकार की संयुक्त समस्याओं का समाधान किया जाता है। बाह्य रूप से यह योजना एक पेड़ के समान होती है, इसलिए विधि का नाम - संभावित विकल्पों का वृक्ष.

कार्य 4.
कौन तीन अंकों की संख्याक्या इसे संख्या 0, 2, 4 से बनाया जा सकता है?

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक वृक्ष बनाएं, यह ध्यान में रखते हुए कि 0 संख्या में पहला अंक नहीं हो सकता है।

उत्तर: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

कार्य 5.
स्कूली पर्यटकों ने एक पहाड़ी झील की सैर करने का निर्णय लिया। यात्रा का पहला चरण ट्रेन या बस से तय किया जा सकता है। दूसरा चरण कश्ती, साइकिल या पैदल है। और यात्रा का तीसरा चरण पैदल या केबल कार का उपयोग करना है। स्कूली पर्यटकों के पास यात्रा के क्या संभावित विकल्प हैं?

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं, जो ट्रेन से यात्रा पी, बस से - ए, कश्ती से - बी, साइकिल से - बी, पैदल - एक्स, केबल कार से - के को दर्शाता है।

उत्तर:यह आंकड़ा स्कूली पर्यटकों के लिए सभी 12 संभावित यात्रा विकल्पों को सूचीबद्ध करता है।

कार्य 6.
गणित, रूसी, इतिहास, विषयों से प्रतिदिन पांच पाठों के शेड्यूल के लिए सभी संभावित विकल्प लिखें। अंग्रेजी भाषा, शारीरिक शिक्षा और गणित दूसरा पाठ होना चाहिए।

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं, जो एम - गणित, आर - रूसी, आई - इतिहास, ए - अंग्रेजी, एफ - शारीरिक शिक्षा को दर्शाता है।

उत्तर:कुल 24 संभावित विकल्प हैं:

आर एम और ए एफ

आर एम और एफ ए

आर एम ए और एफ

आर एम ए एफ और

आर एम एफ और ए

आर एम एफ ए और

और एम आर ए एफ

और एम आर एफ ए

और एम ए आर एफ

और एम ए एफ आर

और एम एफ आर ए

और एम एफ ए आर

ए एम आर और एफ

ए एम आर एफ और

ए एम और आर एफ

ए एम और एफ आर

ए एम एफ आर और

ए एम एफ और आर

एफ एम आर और ए

एफ एम आर ए और

एफ एम और आर ए

एफ एम और ए आर

एफ एम ए आर और

एफ एम ए और आर

कार्य 7.
साशा पतलून या जींस में स्कूल जाती है; वह उनके साथ ग्रे, नीली, हरी या चेकर्ड शर्ट पहनती है, और जूते के बदले में जूते या स्नीकर्स लेती है।
a) साशा कितने दिनों में नई दिख पाएगी?
ख) वह कितने दिनों तक स्नीकर्स पहनेगा?
ग) वह चेकदार शर्ट और जींस कितने दिनों तक पहनेगा?

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं, जो बी - पतलून, डी - जींस, सी - ग्रे शर्ट, जी - नीली शर्ट, जेड - हरी शर्ट, पी - चेकर्ड शर्ट, टी - जूते, के - स्नीकर्स को दर्शाता है।

उत्तर:क) 16 दिन; बी) 8 दिन; ग) 2 दिन.

तालिकाएँ संकलित करना

आप तालिकाओं का उपयोग करके संयुक्त समस्याओं को हल कर सकते हैं। वे, संभावित विकल्पों के वृक्ष की तरह, ऐसी समस्याओं के समाधान का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं।

कार्य 8.
अंक 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 से दो अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान।आइए एक तालिका बनाएं: बाईं ओर पहला कॉलम आवश्यक संख्याओं का पहला अंक है, शीर्ष पर पहली पंक्ति दूसरे अंक है।

उत्तर: 28.

कार्य 9.
माशा, ओलेया, वेरा, इरा, एंड्री, मिशा और इगोर प्रस्तुतकर्ता बनने की तैयारी कर रहे थे नये साल की छुट्टियाँ. यदि केवल एक लड़की और एक लड़का नेतृत्व कर सकते हैं तो संभावित विकल्पों का नाम बताएं।

समाधान।आइए एक तालिका बनाएं: बाईं ओर पहला कॉलम लड़कियों के नाम है, शीर्ष पर पहली पंक्ति लड़कों के नाम है।

उत्तर:सभी संभावित विकल्प तालिका की पंक्तियों और स्तंभों में सूचीबद्ध हैं।

गुणन नियम

संयुक्त समस्याओं को हल करने की इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सभी संभावित विकल्पों को सूचीबद्ध करना आवश्यक नहीं होता है, लेकिन आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता होती है - उनमें से कितने मौजूद हैं।

समस्या 10.
फुटबॉल टूर्नामेंट में कई टीमें भाग लेती हैं। यह पता चला कि वे सभी सफेद, लाल, नीले और का उपयोग करते थे हरे रंग, और सभी संभावित विकल्प प्रस्तुत किये गये। टूर्नामेंट में कितनी टीमों ने भाग लिया?

समाधान।
ब्रीफ सफेद, लाल, नीला या हरा हो सकता है, यानी। 4 विकल्प हैं. इनमें से प्रत्येक विकल्प में 4 जर्सी रंग विकल्प हैं।

4 x 4 = 16.

उत्तर: 16 टीमें.

समस्या 11.
6 छात्र गणित की परीक्षा देते हैं। उन्हें सूची में कितने प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान।
सूची में पहले स्थान पर 6 छात्रों में से कोई भी हो सकता है,
सूची में दूसरे स्थान पर शेष 5 छात्रों में से कोई भी हो सकता है,
तीसरा - शेष 4 विद्यार्थियों में से कोई,
चौथा - शेष 3 छात्रों में से कोई भी,
पांचवां - शेष 2 छात्रों में से कोई भी,
छठा - अंतिम 1 छात्र।

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

उत्तर: 720 तरीके.

समस्या 12.
अंक 0, 2, 3, 4, 6, 7 से दो अंकों की कितनी सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान।
दो अंकों की संख्या में पहला 5 अंकों का हो सकता है (अंक 0 संख्या में पहला नहीं हो सकता), दो अंकों की संख्या में दूसरा 4 अंकों का हो सकता है (0, 2, 4, 6, क्योंकि संख्या होनी चाहिए) यहां तक ​​की)।
5 x 4 = 20.

उत्तर: 20 नंबर.

समस्या 12. गणित क्लब में भाग लेने वाले छात्रों में से, जिनमें 5 लड़कियाँ और 3 लड़के हैं, दो को ओलंपियाड में भेजने की आवश्यकता है: एक लड़की और एक लड़का। ऐसे कितने अलग-अलग जोड़े हैं जिन्हें ओलंपिक में भेजा जा सकता है?

समाधान: सर्कल से एक लड़की को पांच तरीकों से चुना जा सकता है, और एक लड़के को तीन तरीकों से। एक जोड़े (लड़के के साथ लड़की) को पंद्रह अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है

5 3 = 15 तरीके.

उत्तर: 15 तरीके.

समस्या 13. प्रतियोगिता में 12 टीमें भाग लेती हैं। पुरस्कार (1, 2, 3) स्थानों के वितरण के लिए कितने विकल्प हैं?

समाधान: ए 12 3 = 12 11 10 = पुरस्कार स्थानों के वितरण के लिए 1320 विकल्प।

उत्तर: 1320 विकल्प।

समस्या 14. एथलेटिक्स प्रतियोगिता में, हमारे स्कूल का प्रतिनिधित्व 10 एथलीटों की एक टीम ने किया था। एक कोच कितने तरीकों से यह निर्धारित कर सकता है कि उनमें से कौन पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे चरण में 4100 मीटर रिले में दौड़ेगा?

समाधान: क्रम को ध्यान में रखते हुए 10 से 4 तक विकल्प: विधियाँ।

उत्तर: 5040 तरीके.

समस्या 15. लाल, काली, नीली और हरी गेंदों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से रखा जा सकता है?

समाधान: आप चार गेंदों में से किसी को पहले स्थान पर (4 तरीके से), शेष तीन गेंदों में से किसी को दूसरे स्थान पर (3 तरीके से), शेष दो गेंदों में से किसी को तीसरे स्थान पर (2 तरीके से), और आखिरी में रख सकते हैं। शेष गेंद चौथे स्थान पर. कुल 4 · 3 · 2 · 1 = 24 तरीके।

आर 4 =4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

उत्तर: 24 तरीके.

समस्या 16 . छात्रों को छुट्टियों के दौरान पढ़ने के लिए 10 पुस्तकों की एक सूची दी गई थी। एक छात्र कितने तरीकों से उनमें से 6 किताबें चुन सकता है?

समाधान: क्रम: विधियों को ध्यान में रखे बिना 10 में से 6 का चयन करना।

उत्तर: 210 तरीके.

समस्या 17 . वोलोडा अपने सहपाठियों, जुड़वाँ यूलिया और इरा की जन्मदिन पार्टी में जाता है। वह उनमें से प्रत्येक को एक गेंद देना चाहता है। स्टोर में बिक्री के लिए केवल 3 गेंदें बची हैं अलग - अलग रंग: सफेद, काला और धारीदार। 2 गेंदें खरीदकर वोलोडा अपनी बहनों को कितने तरीकों से उपहार दे सकता है?

समाधान: समस्या की स्थितियों के अनुसार, दो अनुक्रमिक विकल्प प्रदान किए जाते हैं: सबसे पहले, वोलोडा स्टोर में उपलब्ध तीन गेंदों में से 2 गेंदों को चुनता है, और फिर यह तय करता है कि खरीदी गई गेंदों में से प्रत्येक को जुड़वाँ भाइयों में से किसे देना है। तीन गेंदों में से दो को तीन तरीकों से चुना जा सकता है। उसके बाद, प्रत्येक चयनित जोड़ी को दो तरीकों (तरीकों) से उपहार दिया जा सकता है (क्रम महत्वपूर्ण है)। फिर, गुणन नियम के अनुसार, आवश्यक तरीकों की संख्या तरीकों के बराबर होती है।

उत्तर: 6 तरीके.

समस्या 18 . 9वीं कक्षा में 7 छात्र, 10वीं कक्षा में 9 छात्र और 11वीं कक्षा में 8 छात्र हैं। किसी स्कूल साइट पर काम करने के लिए, ग्रेड 9 से दो छात्रों का चयन किया जाना चाहिए, ग्रेड 10 से तीन, और ग्रेड 11 से एक। स्कूल साइट पर काम करने के लिए छात्रों का चयन करने के कितने तरीके हैं?

समाधान: क्रम को ध्यान में रखे बिना तीन सेटों में से विकल्प, पहले सेट (सी 7 2) के प्रत्येक विकल्प को दूसरे (सी 9 3) के प्रत्येक विकल्प के साथ और तीसरे (सी 8 1) के प्रत्येक विकल्प के साथ जोड़ा जा सकता है। गुणन नियम का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

एस 7 2 · एस 9 3 · एस 8 1 =------ · -------- · ---- = छात्रों के लिए चुनने के लिए 14,112 तरीके।

उत्तर: 14,112 तरीके।

समस्या 19. नौवीं कक्षा के झेन्या, शेरोज़ा, कोल्या, नताशा और ओलेया अवकाश के दौरान टेनिस टेबल की ओर दौड़े, जहां पहले से ही खेल चल रहा था। नौवीं कक्षा के पांच छात्र टेबल तक दौड़कर टेबल टेनिस खेलने के लिए कितने तरीकों से बारी ले सकते हैं?

समाधान: कोई भी नौवीं कक्षा का विद्यार्थी पंक्ति में प्रथम हो सकता है, दूसरा - शेष तीन में से कोई भी, तीसरा - शेष दो में से कोई भी, और चौथा - नौवीं कक्षा का वह विद्यार्थी जो अंतिम के बाद दौड़कर आया हो, और पाँचवाँ-अंतिम। गुणन नियम के अनुसार, पाँच विद्यार्थियों के पास है

5·4321=120 लाइन में लगने के तरीके।

उत्तर: 120 तरीके.

कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाएँ

गणित की कॉम्बिनेटरिक्स नामक शाखा में, सेटों के विचार और इन सेटों के तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संरचना से संबंधित समस्याओं का समाधान किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 10 लेते हैं अलग-अलग नंबर 0, 1, 2, 3, ..., 9 और उनका संयोजन बनाएं, तो हमें विभिन्न संख्याएं मिलेंगी, उदाहरण के लिए 345, 534, 1036, 45, आदि।

हम देखते हैं कि इनमें से कुछ संयोजन केवल अंकों के क्रम में भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 345 और 534), अन्य उनके अंकों में भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 1036 और 5671), और अन्य भी अंकों की संख्या में भिन्न होते हैं (के लिए) उदाहरण, 345 और 45)।

इस प्रकार, परिणामी संयोजन संतुष्ट करते हैं अलग-अलग स्थितियाँ. रचना के नियमों के आधार पर, तीन प्रकार के संयोजनों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट, संयोजन। आइए उन पर अलग से विचार करें। हालाँकि, पहले स्वयं को फैक्टोरियल की अवधारणा से परिचित करा लें।

1. फैक्टोरियल की अवधारणा

1 से लेकर सभी प्राकृत संख्याओं का गुणनफल एनसम्मिलित रूप से बुलाया गया एन-फैक्टोरियलऔर लिखो n! = 1 · 2 · 3 · ... · (एन - 1) · एन.

उदाहरण 1।गणना करें:

ए) 3!; बी) 7! - 5!; वी)

समाधान।ए)3! = 1 · 2 · 3 = 6.

बी) 7 से! = 1 2 3 4 5 6 7 और 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, तो हम कोष्ठक में से 5 लगा सकते हैं! तो हमें 5 मिलते हैं! (6 · 7 – 1) = 5! · 41 = 120 · 41 = 4920.

वी)

उदाहरण 2.सरल बनाएं:

समाधान।ए) उस पर विचार करते हुए (एन + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · एन · (एन + 1), और एन! = 1 · 2 · 3 ... · एन, अंश कम करें;

बी) चूंकि (एन + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (एन - 1) · एन · (एन + 1), फिर कटौती के बाद हमें मिलता है

(एन+1)! = 1 · 2 · 3 · ... · एन · (एन + 1), एन! = 1 · 2 · 3 · ... · एन.

आइए भिन्न को एक सामान्य हर में लाएं, जिसके लिए हम (n + 1) लेते हैं! फिर हमें मिलता है

1 – 3. गणना करें:

1. 2. 3.

4 – 9. भावों को सरल कीजिए:

4. 6. 8.

5. 7. 9. -

2. पुनर्व्यवस्था

मान लीजिए तीन अक्षर A, B, C दिए गए हैं आइए इन अक्षरों का सभी संभावित संयोजन बनाएं: ABC, ASV, बीएसए, बीएसी, सीएबी, सीबीए (कुल 6 संयोजन)। हम देखते हैं कि वे केवल अक्षरों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न हैं।

n तत्वों के ऐसे संयोजन जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, कहलाते हैं क्रमपरिवर्तन.

क्रमपरिवर्तन को प्रतीक Рn द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ n प्रत्येक क्रमपरिवर्तन में शामिल तत्वों की संख्या है।

क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)

या फैक्टोरियल का उपयोग करना:

पीएन = एन! (2)

इस प्रकार, सूत्र (2) के अनुसार तीन तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या है

पी3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, जो ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण के परिणाम से मेल खाता है।

दरअसल, तीन अक्षरों को एक संयोजन (क्रमपरिवर्तन) में पहले स्थान पर रखा जा सकता है। तीन में से केवल दो अक्षरों को दूसरे स्थान पर रखा जा सकता है (एक ने पहला स्थान प्राप्त किया), और शेष में से केवल एक ही तीसरे स्थान पर होगा। इसका मतलब है 3 · 2 · 1 = 6 = P3.

10. अंक 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी अलग-अलग पाँच अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्या में एक भी अंक दोहराया न जाए?

11. प्रतियोगिता में चार टीमों ने हिस्सा लिया। उनके बीच सीटों के बंटवारे के कितने विकल्प संभव हैं?

12 – 14. गणना करें:

12. 13. 14.

3. प्लेसमेंट

मान लीजिए कि चार अक्षर A, B, C, D हैं। सभी संयोजनों को केवल दो अक्षरों से बनाने पर, हमें प्राप्त होता है:

हम देखते हैं कि सभी परिणामी संयोजन या तो अक्षरों में या उनके क्रम में भिन्न होते हैं (संयोजन बीए और एबी को अलग माना जाता है)।

n तत्वों के m तत्वों के संयोजन जो एक दूसरे से या स्वयं तत्वों द्वारा भिन्न होते हैं, व्यवस्था कहलाते हैं।

प्लेसमेंट को प्रतीक A द्वारा दर्शाया जाता है, जहां m सभी उपलब्ध तत्वों की संख्या है, n प्रत्येक संयोजन में तत्वों की संख्या है। इस मामले में, यह माना जाता है कि एन एम। प्लेसमेंट की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

n कारक

ए = (3)

अर्थात्, n द्वारा m तत्वों की सभी संभावित व्यवस्थाओं की संख्या n क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल के बराबर है, जिनमें से सबसे बड़ा m है।

तो, ए = 4 · 3 = 12, जो उपरोक्त उदाहरण के परिणाम से मेल खाता है: चूँकि पंक्तियों की संख्या सभी उपलब्ध अक्षरों की संख्या से मेल खाती है, यानी एम = 4, और स्तंभों की संख्या 3 है, 12 हैं कुल मिलाकर अलग-अलग संयोजन.

उदाहरण 3.गणना करें: ए) ए; बी)

समाधान।ए) ए = 6 5 4 = 120.

बी) चूंकि ए = 15 14 13, ए = 15 14 13 12, ए = 15 14 13 12 11, तो

उदाहरण 4.पाँच अंकों 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी दो अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि उनमें से कोई भी दोहराया न जाए?

समाधान।चूँकि दो अंकों की संख्याएँ या तो संख्याओं में या उनके क्रम में एक-दूसरे से भिन्न होती हैं, आवश्यक मात्रा दो तत्वों में पाँच तत्वों के स्थान की संख्या के बराबर होती है: A = 5 · 4 = 20। इसलिए, आप 20 अलग-अलग बना सकते हैं दो अंकों की संख्या.

प्लेसमेंट की संख्या ज्ञात करते समय, हम n क्रमिक रूप से घटते पूर्णांकों को गुणा करते हैं, यानी, पूर्ण फैक्टोरियल तक पहुंचने के लिए पर्याप्त (m - n) क्रमिक रूप से घटते पूर्णांक गुणनखंड नहीं होते हैं।

एम कारक

इसलिए, नियुक्तियों की संख्या का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है

ए =

इसलिए, यह ध्यान में रखते हुए कि अंश m के बराबर है!, और हर (m – n)! के बराबर है, हम इस सूत्र को भाज्य रूप में लिखते हैं:

ए = (4)

उदाहरण 5.ए की गणना फैक्टोरियल रूप में करें।

समाधान। ए =

15-20. किसी भी तरह से गणना करें:

15. ए; 16. ए; 17. ए; 18. ए; 19. ए; 20.

21. यदि 7 टीमें ड्राइंग में भाग लेती हैं तो तीन पुरस्कार बांटने के लिए कितने विकल्प हैं?

22. अंक 0, 1, 2, ..., 8, 9 से कितनी अलग-अलग चार अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

23. यदि कुल मिलाकर 8 हों तो एक दिन के लिए कितने शेड्यूल विकल्प बनाए जा सकते हैं? शैक्षणिक विषय, और उनमें से केवल तीन को ही दैनिक कार्यक्रम में शामिल किया जा सकता है?

24. पांच आवेदकों के लिए विभिन्न प्रोफाइल के सेनेटोरियम में तीन वाउचर वितरित करने के कितने विकल्प संकलित किए जा सकते हैं?

4. युग्म

युग्म n के m तत्वों के सभी संयोजन हैं जो एक दूसरे से कम से कम एक तत्व से भिन्न हैं (यहां m और n हैं पूर्णांकों, और एन एम).

तो, चार अलग-अलग अक्षरों ए, बी, सी, डी से, आप निम्नलिखित संयोजन बना सकते हैं जो कम से कम एक तत्व में एक दूसरे से भिन्न हैं: एबी, एसी, एडी, बीसी, बीडी, सीडी। इसका मतलब है कि दो में से चार तत्वों के संयोजन की संख्या 6 है। इसे संक्षेप में इस प्रकार लिखा गया है: C = 6.

प्रत्येक संयोजन में हम तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करेंगे:

एबी, एसी, एडी, बीसी, बीडी, सीडी;

बीए, सीए, डीए, सीबी, डीबी, डीसी।

परिणामस्वरूप, हमें दो-दो, चार तत्वों की एक व्यवस्था प्राप्त हुई। इसलिए, CP2 = A, जहाँ से C =