Introdusert av oss lineære operasjoner på vektorer gjøre det mulig å lage ulike uttrykk for vektormengder og transformer dem ved å bruke egenskapene som er satt for disse operasjonene.

Basert på et gitt sett med vektorer a 1, ..., a n, kan du lage et uttrykk for formen

hvor a 1, ... og n er vilkårlige reelle tall. Dette uttrykket kalles lineær kombinasjon av vektorer en 1, ..., en n. Tallene α i, i = 1, n, representerer lineære kombinasjonskoeffisienter. Et sett med vektorer kalles også system av vektorer.

I forbindelse med det introduserte konseptet med en lineær kombinasjon av vektorer, oppstår problemet med å beskrive et sett med vektorer som kan skrives som en lineær kombinasjon av et gitt system av vektorer a 1, ..., a n. I tillegg er det naturlige spørsmål om forholdene under hvilke det er en representasjon av en vektor i form av en lineær kombinasjon, og om det unike ved en slik representasjon.

Definisjon 2.1. Vektorene a 1, ... og n kalles lineært avhengig, hvis det er et sett med koeffisienter α 1 , ... , α n slik at

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

og minst én av disse koeffisientene er ikke-null. Hvis det angitte settet med koeffisienter ikke eksisterer, kalles vektorene lineært uavhengig.

Hvis α 1 = ... = α n = 0, så er selvsagt α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Med dette i tankene kan vi si dette: vektorer a 1, ..., og n er lineært uavhengige dersom det følger av likhet (2.2) at alle koeffisientene α 1 , ... , α n er lik null.

Følgende teorem forklarer hvorfor det nye konseptet kalles begrepet "avhengighet" (eller "uavhengighet"), og gir et enkelt kriterium for lineær avhengighet.

Teorem 2.1. For at vektorene a 1, ... og n, n > 1 skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at en av dem er en lineær kombinasjon av de andre.

◄ Nødvendighet. La oss anta at vektorene a 1, ... og n er lineært avhengige. I følge definisjon 2.1 av lineær avhengighet, i likhet (2.2) til venstre er det minst én koeffisient som ikke er null, for eksempel α 1. Når vi forlater den første perioden på venstre side av likheten, flytter vi resten til høyre side, og endrer tegnene deres, som vanlig. Ved å dele den resulterende likheten med α 1 får vi

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

de. representasjon av vektor a 1 som en lineær kombinasjon av de gjenværende vektorene a 2, ..., a n.

Tilstrekkelighet. La for eksempel den første vektoren a 1 representeres som en lineær kombinasjon av de gjenværende vektorene: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Ved å overføre alle ledd fra høyre side til venstre får vi a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, dvs. en lineær kombinasjon av vektorer a 1, ..., a n med koeffisientene α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, lik null vektor. I denne lineære kombinasjonen er ikke alle koeffisientene null. I følge definisjon 2.1 er vektorene a 1, ... og n lineært avhengige.

Definisjonen og kriteriet for lineær avhengighet er formulert for å antyde tilstedeværelsen av to eller flere vektorer. Imidlertid kan vi også snakke om en lineær avhengighet av en vektor. For å realisere denne muligheten, i stedet for "vektorer er lineært avhengige", må du si "systemet av vektorer er lineært avhengig." Det er lett å se at uttrykket "et system av en vektor er lineært avhengig" betyr at denne enkeltvektoren er null (i en lineær kombinasjon er det bare én koeffisient, og den skal ikke være lik null).

Begrepet lineær avhengighet har en enkel geometrisk tolkning. De følgende tre påstandene klargjør denne tolkningen.

Teorem 2.2. To vektorer er lineært avhengige hvis og bare hvis de kollineær.

◄ Hvis vektorene a og b er lineært avhengige, så uttrykkes en av dem, for eksempel a, gjennom den andre, dvs. a = λb for et reelt tall λ. I henhold til definisjon 1.7 virker vektorer per tall, vektorer a og b er kollineære.

La nå vektorene a og b være kollineære. Hvis de begge er null, er det åpenbart at de er lineært avhengige, siden enhver lineær kombinasjon av dem er lik nullvektoren. La en av disse vektorene ikke være lik 0, for eksempel vektor b. La oss angi med λ forholdet mellom vektorlengder: λ = |a|/|b|. Kollineære vektorer kan være ensrettet eller motsatt rettet. I sistnevnte tilfelle endrer vi tegnet på λ. Så, ved å sjekke definisjon 1.7, er vi overbevist om at a = λb. I følge teorem 2.1 er vektorene a og b lineært avhengige.

Merknad 2.1. Når det gjelder to vektorer, under hensyntagen til kriteriet for lineær avhengighet, kan det påviste teoremet omformuleres som følger: to vektorer er kollineære hvis og bare hvis en av dem er representert som produktet av den andre med et tall. Dette er et praktisk kriterium for kollineariteten til to vektorer.

Teorem 2.3. Tre vektorer er lineært avhengige hvis og bare hvis de koplanar.

◄ Hvis tre vektorer a, b, c er lineært avhengige, så er en av dem, for eksempel a, ifølge setning 2.1 en lineær kombinasjon av de andre: a = βb + γс. La oss kombinere opprinnelsen til vektorene b og c i punkt A. Da vil vektorene βb, γс ha en felles opprinnelse i punkt A og langs i henhold til parallellogramregelen er summen deres de. vektor a vil være en vektor med origo A og slutten, som er toppunktet til et parallellogram bygget på komponentvektorer. Dermed ligger alle vektorer i samme plan, dvs. koplanar.

La vektorene a, b, c være koplanære. Hvis en av disse vektorene er null, så er det åpenbart at det vil være en lineær kombinasjon av de andre. Det er nok å ta alle koeffisientene til en lineær kombinasjon lik null. Derfor kan vi anta at alle tre vektorene ikke er null. Kompatibel startet av disse vektorene i et felles punkt O. La endene deres være henholdsvis punktene A, B, C (fig. 2.1). Gjennom punkt C trekker vi linjer parallelle med linjer som går gjennom par av punkt O, A og O, B. Ved å angi skjæringspunktene som A" og B", får vi et parallellogram OA"CB", derfor OC" = OA" + OB". Vector OA" og ikke-null-vektoren a = OA er kollineære, og derfor kan den første av dem oppnås ved å multiplisere den andre med et reelt tall α:OA" = αOA. Tilsvarende, OB" = βOB, β ∈ R. Som et resultat får vi at OC" = α OA. + βOB, dvs. vektor c er en lineær kombinasjon av vektorene a og b. I følge setning 2.1 er vektorene a, b, c lineært avhengige.

Teorem 2.4. Alle fire vektorer er lineært avhengige.

◄ Vi utfører beviset etter samme skjema som i setning 2.3. Tenk på vilkårlige fire vektorer a, b, c og d. Hvis en av de fire vektorene er null, eller blant dem er det to kollineære vektorer, eller tre av de fire vektorene er koplanære, så er disse fire vektorene lineært avhengige. For eksempel, hvis vektorene a og b er kollineære, kan vi lage deres lineære kombinasjon αa + βb = 0 med koeffisienter som ikke er null, og deretter legge til de resterende to vektorene til denne kombinasjonen, og ta nuller som koeffisienter. Vi får en lineær kombinasjon av fire vektorer lik 0, der det er koeffisienter som ikke er null.

Dermed kan vi anta at blant de valgte fire vektorene er ingen vektorer null, ingen to er kollineære, og ingen tre er koplanære. La oss velge punkt O som deres felles begynnelse. Da vil endene av vektorene a, b, c, d være noen punkter A, B, C, D (fig. 2.2). Gjennom punkt D tegner vi tre plan parallelt med planene OBC, OCA, OAB, og lar A", B", C" være skjæringspunktene for disse planene med de rette linjene OA, OB, OS, henholdsvis. Vi får en parallellepipedum OA" C "B" C" B"DA", og vektorene a, b, c ligger på kantene som kommer ut fra toppunktet O. Siden firkanten OC"DC" er et parallellogram, så er OD = OC" + OC "I sin tur er segmentet OC" en diagonal OA"C"B", så OC" = OA" + OB" og OD = OA" + OB" + OC".

Det gjenstår å merke seg at vektorparene OA ≠ 0 og OA", OB ≠ 0 og OB" , OC ≠ 0 og OC" er kollineære, og derfor er det mulig å velge koeffisientene α, β, γ slik at OA" = αOA, OB" = βOB og OC" = γOC. Vi får til slutt OD = αOA + βOB + γOC. Følgelig uttrykkes OD-vektoren gjennom de tre andre vektorene, og alle fire vektorene, ifølge setning 2.1, er lineært avhengige.

Lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer.
Grunnlag for vektorer. Affint koordinatsystem

Det står en vogn med sjokolade i auditoriet, og hver besøkende i dag vil få et søtt par - analytisk geometri med lineær algebra. Denne artikkelen vil berøre to seksjoner av høyere matematikk på en gang, og vi vil se hvordan de eksisterer sammen i ett omslag. Ta en pause, spis en Twix! ...fan, for en haug med tull. Selv om jeg ikke scorer, til slutt bør du ha en positiv holdning til å studere.

Lineær avhengighet av vektorer, lineær vektoruavhengighet, basis av vektorer og andre termer har ikke bare en geometrisk tolkning, men fremfor alt en algebraisk betydning. Selve konseptet "vektor" fra lineær algebras synspunkt er ikke alltid den "vanlige" vektoren som vi kan skildre på et plan eller i rommet. Du trenger ikke se langt etter bevis, prøv å tegne en vektor av femdimensjonalt rom . Eller værvektoren, som jeg nettopp dro til Gismeteo for: henholdsvis temperatur og atmosfærisk trykk. Eksemplet er selvfølgelig feil med tanke på egenskapene til vektorrommet, men likevel er det ingen som forbyr å formalisere disse parameterne som en vektor. Høstens pust...

Nei, jeg skal ikke kjede deg med teori, lineære vektorrom, oppgaven er å forstå definisjoner og teoremer. De nye begrepene (lineær avhengighet, uavhengighet, lineær kombinasjon, basis, etc.) gjelder for alle vektorer fra et algebraisk synspunkt, men geometriske eksempler vil bli gitt. Dermed er alt enkelt, tilgjengelig og oversiktlig. I tillegg til problemer med analytisk geometri, vil vi også vurdere noen typiske algebraproblemer. For å mestre materialet, er det tilrådelig å gjøre deg kjent med leksjonene Vektorer for dummies Og Hvordan beregne determinanten?

Lineær avhengighet og uavhengighet av planvektorer.
Plangrunnlag og affint koordinatsystem

La oss vurdere planen til datamaskinpulten din (bare et bord, nattbord, gulv, tak, hva du måtte ønske). Oppgaven vil bestå av følgende handlinger:

1) Velg flybasis. Grovt sett har en bordplate en lengde og en bredde, så det er intuitivt at det kreves to vektorer for å konstruere grunnlaget. En vektor er tydeligvis ikke nok, tre vektorer er for mye.

2) Basert på valgt grunnlag sette koordinatsystem(koordinatrutenett) for å tildele koordinater til alle objekter på tabellen.

Ikke bli overrasket, først vil forklaringene være på fingrene. Dessuten på din. Vennligst plasser venstre pekefinger på kanten av bordplaten slik at han ser på skjermen. Dette vil være en vektor. Plasser nå høyre lillefinger på kanten av bordet på samme måte - slik at den er rettet mot LCD-skjermen. Dette vil være en vektor. Smil, du ser bra ut! Hva kan vi si om vektorer? Datavektorer kollineær, som betyr lineær uttrykt gjennom hverandre:
, vel, eller omvendt: , hvor er et tall forskjellig fra null.

Du kan se et bilde av denne handlingen i klassen. Vektorer for dummies, hvor jeg forklarte regelen for å multiplisere en vektor med et tall.

Vil fingrene sette grunnlaget på planet til datapulten? Åpenbart ikke. Kolinære vektorer reiser frem og tilbake på tvers alene retning, og et plan har lengde og bredde.

Slike vektorer kalles lineært avhengig.

Henvisning: Ordene "lineær", "lineært" angir det faktum at i matematiske ligninger og uttrykk er det ingen kvadrater, terninger, andre potenser, logaritmer, sinus, etc. Det er bare lineære (1. grads) uttrykk og avhengigheter.

To plane vektorer lineært avhengig hvis og bare hvis de er kollineære.

Kryss fingrene på bordet slik at det er en annen vinkel mellom dem enn 0 eller 180 grader. To plane vektorerlineær Ikke avhengig hvis og bare hvis de ikke er kollineære. Så grunnlaget er oppnådd. Det er ingen grunn til å være flau over at grunnlaget viste seg å være "skjevt" med ikke-vinkelrette vektorer av forskjellig lengde. Svært snart vil vi se at ikke bare en vinkel på 90 grader er egnet for konstruksjonen, og ikke bare enhetsvektorer av lik lengde

Noen plan vektor den eneste måten utvides i henhold til grunnlaget:
, hvor er reelle tall. Tallene kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget.

Det sies også at vektorpresentert som lineær kombinasjon basisvektorer. Det vil si at uttrykket heter vektor nedbrytningpå grunnlag eller lineær kombinasjon basisvektorer.

For eksempel kan vi si at vektoren er dekomponert langs en ortonormal basis av planet, eller vi kan si at den er representert som en lineær kombinasjon av vektorer.

La oss formulere definisjon av grunnlag formelt: Grunnlaget for flyet kalles et par lineært uavhengige (ikke-kollineære) vektorer, , hvori noen en plan vektor er en lineær kombinasjon av basisvektorer.

Et vesentlig poeng med definisjonen er det faktum at vektorene er tatt i en bestemt rekkefølge. Baser – dette er to helt forskjellige baser! Som de sier, du kan ikke erstatte lillefingeren på venstre hånd i stedet for lillefingeren på høyre hånd.

Vi har funnet ut grunnlaget, men det er ikke nok å sette et koordinatrutenett og tildele koordinater til hvert element på datamaskinpulten din. Hvorfor er det ikke nok? Vektorene er frie og vandrer gjennom hele flyet. Så hvordan tildeler du koordinater til de små skitne flekkene på bordet som er igjen fra en vill helg? Det trengs et utgangspunkt. Og et slikt landemerke er et punkt kjent for alle - opprinnelsen til koordinatene. La oss forstå koordinatsystemet:

Jeg begynner med "skole"-systemet. Allerede i introduksjonstimen Vektorer for dummies Jeg fremhevet noen forskjeller mellom det rektangulære koordinatsystemet og det ortonormale grunnlaget. Her er standardbildet:

Når de snakker om rektangulært koordinatsystem, da mener de oftest origo, koordinatakser og skala langs aksene. Prøv å skrive "rektangulært koordinatsystem" i en søkemotor, og du vil se at mange kilder vil fortelle deg om koordinatakser kjent fra 5.-6. klasse og hvordan du plotter punkter på et fly.

På den annen side ser det ut til at et rektangulært koordinatsystem kan defineres ut fra et ortonormalt grunnlag. Og det er nesten sant. Ordlyden er som følger:

opprinnelse, Og ortonormal grunnlaget er lagt Kartesisk rektangulært plan koordinatsystem . Det vil si det rektangulære koordinatsystemet helt sikkert er definert av et enkelt punkt og to enheter ortogonale vektorer. Det er derfor du ser tegningen som jeg ga ovenfor - i geometriske oppgaver er både vektorer og koordinatakser ofte (men ikke alltid) tegnet.

Jeg tror alle forstår det ved å bruke et punkt (opprinnelse) og en ortonormal basis HVERT PUNKT på flyet og ENHVER VEKTOR på flyet koordinater kan tildeles. Billedlig talt, "alt på et fly kan nummereres."

Kreves koordinatvektorer for å være enhet? Nei, de kan ha en vilkårlig lengde som ikke er null. Tenk på et punkt og to ortogonale vektorer med vilkårlig lengde som ikke er null:

Et slikt grunnlag kalles ortogonal. Opprinnelsen til koordinater med vektorer er definert av et koordinatgitter, og ethvert punkt på planet, enhver vektor har sine koordinater på en gitt basis. For eksempel eller. Den åpenbare ulempen er at koordinatvektorene generelt har andre lengder enn enhet. Hvis lengdene er lik enhet, oppnås det vanlige ortonormale grunnlaget.

! Merk : i den ortogonale basis, så vel som under i de affine basene av plan og rom, anses enheter langs aksene BETINGET. For eksempel inneholder en enhet langs x-aksen 4 cm, en enhet langs ordinataksen inneholder 2 cm. Denne informasjonen er nok til om nødvendig å konvertere "ikke-standard" koordinater til "våre vanlige centimeter".

Og det andre spørsmålet, som faktisk allerede er besvart, er om vinkelen mellom basisvektorene må være lik 90 grader? Nei! Som definisjonen sier, må basisvektorene være bare ikke-kollineær. Følgelig kan vinkelen være alt unntatt 0 og 180 grader.

Et punkt på flyet ringte opprinnelse, Og ikke-kollineær vektorer, , sett affint plan koordinatsystem :

Noen ganger kalles et slikt koordinatsystem skrå system. Som eksempler viser tegningen punkter og vektorer:

Som du forstår, er det affine koordinatsystemet enda mindre praktisk at formlene for lengdene til vektorer og segmenter, som vi diskuterte i den andre delen av leksjonen, fungerer ikke i det; Vektorer for dummies, mange deilige formler relatert til skalært produkt av vektorer. Men reglene for å legge til vektorer og multiplisere en vektor med et tall, formler for å dele et segment i denne forbindelse, samt noen andre typer problemer som vi snart vil vurdere, er gyldige.

Og konklusjonen er at det mest praktiske spesialtilfellet av et affint koordinatsystem er det kartesiske rektangulære systemet. Det er derfor du oftest må se henne, min kjære. ...Men alt i dette livet er relativt - det er mange situasjoner der en skrå vinkel (eller en annen, for eksempel, polar) koordinatsystem. Og humanoider kan like slike systemer =)

La oss gå videre til den praktiske delen. Alle problemer i denne leksjonen er gyldige både for det rektangulære koordinatsystemet og for det generelle affine tilfellet. Det er ikke noe komplisert her; alt materialet er tilgjengelig selv for et skolebarn.

Hvordan bestemme kollinearitet til planvektorer?

Typisk ting. For to plan vektorer var kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres tilsvarende koordinater er proporsjonale I hovedsak er dette en koordinat-for-koordinat-detaljering av det åpenbare forholdet.

Eksempel 1

a) Sjekk om vektorene er kollineære .
b) Danner vektorene et grunnlag? ?

Løsning:
a) La oss finne ut om det er for vektorer proporsjonalitetskoeffisient, slik at likhetene er oppfylt:

Jeg vil definitivt fortelle deg om den "foppish" versjonen av å bruke denne regelen, som fungerer ganske bra i praksis. Tanken er å umiddelbart gjøre opp andelen og se om den er riktig:

La oss lage en proporsjon fra forholdet mellom de tilsvarende koordinatene til vektorene:

La oss forkorte:
, dermed er de tilsvarende koordinatene proporsjonale, derfor,

Forholdet kan gjøres omvendt, dette er et tilsvarende alternativ:

For selvtest kan du bruke det faktum at kollineære vektorer er lineært uttrykt gjennom hverandre. I dette tilfellet finner likestillingene sted . Gyldigheten deres kan enkelt verifiseres gjennom elementære operasjoner med vektorer:

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). Vi undersøker vektorer for kollinearitet . La oss lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , fra den andre ligningen følger det at , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er de tilsvarende koordinatene til vektorene ikke proporsjonale.

Konklusjon: vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

En forenklet versjon av løsningen ser slik ut:

La oss lage en proporsjon fra de tilsvarende koordinatene til vektorene :
, som betyr at disse vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

Vanligvis blir ikke dette alternativet avvist av anmeldere, men det oppstår et problem i tilfeller der noen koordinater er lik null. Som dette: . Eller slik: . Eller slik: . Hvordan jobbe gjennom proporsjoner her? (du kan faktisk ikke dele med null). Det er av denne grunn at jeg kalte den forenklede løsningen "foppish".

Svar: a), b) form.

Et lite kreativt eksempel på din egen løsning:

Eksempel 2

På hvilken verdi av parameteren er vektorene vil de være kollineære?

I prøveløsningen finnes parameteren gjennom proporsjonen.

Det er en elegant algebraisk måte å sjekke vektorer for kollinearitet La oss systematisere kunnskapen vår og legge den til som det femte punktet:

For to plane vektorer er følgende utsagn ekvivalente:

2) vektorene danner en basis;
3) vektorene er ikke kollineære;

+ 5) determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er ikke null.

Henholdsvis følgende motsatte utsagn er likeverdige:
1) vektorer er lineært avhengige;
2) vektorer danner ikke grunnlag;
3) vektorene er kollineære;
4) vektorer kan uttrykkes lineært gjennom hverandre;
+ 5) determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er lik null.

Jeg håper virkelig at du allerede nå forstår alle begrepene og utsagnene du har møtt.

La oss se nærmere på det nye, femte punktet: to planvektorer er kollineære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null:. For å bruke denne funksjonen må du selvfølgelig kunne finne determinanter.

La oss bestemme Eksempel 1 på den andre måten:

a) La oss beregne determinanten som består av koordinatene til vektorene :
, som betyr at disse vektorene er kollineære.

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater :
, som betyr at vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

Svar: a), b) form.

Det ser mye mer kompakt og penere ut enn en løsning med proporsjoner.

Ved hjelp av materialet som vurderes, er det mulig å etablere ikke bare kollineariteten til vektorer, men også å bevise parallelliteten til segmenter og rette linjer. La oss vurdere et par problemer med spesifikke geometriske former.

Eksempel 3

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at en firkant er et parallellogram.

Bevis: Det er ikke nødvendig å konstruere en tegning i oppgaven, siden løsningen vil være rent analytisk. La oss huske definisjonen av et parallellogram:
Parallelogram En firkant hvis motsatte sider er parallelle i par kalles.

Derfor er det nødvendig å bevise:
1) parallellitet av motsatte sider og;
2) parallellitet av motsatte sider og.

Vi beviser:

1) Finn vektorene:

2) Finn vektorene:

Resultatet er samme vektor ("i henhold til skolen" - like vektorer). Kolinearitet er ganske åpenbar, men det er bedre å formalisere beslutningen tydelig, med avtale. La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater:
, som betyr at disse vektorene er kollineære, og .

Konklusjon: De motsatte sidene av en firkant er parallelle, noe som betyr at det per definisjon er et parallellogram. Q.E.D.

Flere gode og annerledes figurer:

Eksempel 4

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at en firkant er en trapes.

For en mer streng formulering av beviset, er det selvfølgelig bedre å få definisjonen av en trapes, men det er nok å bare huske hvordan det ser ut.

Dette er en oppgave du må løse på egenhånd. Full løsning på slutten av timen.

Og nå er det på tide å sakte bevege seg fra flyet til verdensrommet:

Hvordan bestemme kollinearitet av romvektorer?

Regelen er veldig lik. For at to romvektorer skal være kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres tilsvarende koordinater er proporsjonale.

Eksempel 5

Finn ut om følgende romvektorer er kollineære:

A) ;
b)
V)

Løsning:
a) La oss sjekke om det er en proporsjonalitetskoeffisient for de tilsvarende koordinatene til vektorene:

Systemet har ingen løsning, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

"Forenklet" formaliseres ved å sjekke andelen. I dette tilfellet:
– de tilsvarende koordinatene er ikke proporsjonale, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

Svar: vektorene er ikke kollineære.

b-c) Dette er punkter for selvstendig avgjørelse. Prøv det på to måter.

Det er en metode for å sjekke romlige vektorer for kollinearitet gjennom en tredjeordens determinant denne metoden er dekket i artikkelen Vektorprodukt av vektorer.

I likhet med plantilfellet kan de betraktede verktøyene brukes til å studere parallelliteten til romlige segmenter og rette linjer.

Velkommen til den andre delen:

Lineær avhengighet og uavhengighet av vektorer i tredimensjonalt rom.
Romlig basis og affint koordinatsystem

Mange av mønstrene som vi undersøkte på flyet vil også være gyldige for verdensrommet. Jeg prøvde å minimere teorinotatene, siden brorparten av informasjonen allerede er tygget. Jeg anbefaler deg imidlertid å lese den innledende delen nøye, da nye termer og begreper vil dukke opp.

Nå, i stedet for planen til datapulten, utforsker vi det tredimensjonale rommet. Først, la oss lage grunnlaget. Noen er nå innendørs, noen er utendørs, men vi kan uansett ikke unnslippe tre dimensjoner: bredde, lengde og høyde. Derfor, for å konstruere en basis, vil det være nødvendig med tre romlige vektorer. En eller to vektorer er ikke nok, den fjerde er overflødig.

Og igjen varmer vi opp på fingrene. Vennligst løft hånden opp og spre den i forskjellige retninger tommel, pekefinger og langfinger. Dette vil være vektorer, de ser i forskjellige retninger, har forskjellig lengde og har forskjellige vinkler seg imellom. Gratulerer, grunnlaget for tredimensjonalt rom er klart! Det er forresten ingen grunn til å demonstrere dette for lærere, uansett hvor hardt du vrir på fingrene, men det er ingen flukt fra definisjoner =)

La oss deretter stille oss selv et viktig spørsmål: danner noen tre vektorer en basis for tredimensjonalt rom? Trykk tre fingre fast på toppen av datamaskinpulten. Hva skjedde? Tre vektorer er plassert i samme plan, og grovt sett har vi mistet en av dimensjonene - høyden. Slike vektorer er koplanar og det er ganske åpenbart at grunnlaget for tredimensjonalt rom ikke er skapt.

Det skal bemerkes at koplanare vektorer ikke trenger å ligge i samme plan, de kan være i parallelle plan (bare ikke gjør dette med fingrene, bare Salvador Dali gjorde dette =)).

Definisjon: vektorer kalles koplanar, hvis det er et plan som de er parallelle med. Det er logisk å legge til her at dersom et slikt plan ikke eksisterer, så vil ikke vektorene være koplanære.

Tre koplanare vektorer er alltid lineært avhengige, det vil si at de uttrykkes lineært gjennom hverandre. For enkelhets skyld, la oss igjen forestille oss at de ligger i samme plan. For det første er vektorer ikke bare koplanære, de kan også være kollineære, deretter kan enhver vektor uttrykkes gjennom hvilken som helst vektor. I det andre tilfellet, hvis for eksempel vektorene ikke er kollineære, blir den tredje vektoren uttrykt gjennom dem på en unik måte: (og hvorfor er lett å gjette ut fra materialene i forrige avsnitt).

Det motsatte er også sant: tre ikke-koplanare vektorer er alltid lineært uavhengige, det vil si at de på ingen måte kommer til uttrykk gjennom hverandre. Og åpenbart er det bare slike vektorer som kan danne grunnlaget for tredimensjonalt rom.

Definisjon: Grunnlaget for tredimensjonalt rom kalles en trippel av lineært uavhengige (ikke-koplanare) vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, og hvilken som helst vektor av rom den eneste måten er dekomponert over en gitt basis, hvor er koordinatene til vektoren i denne basisen

La meg minne deg på at vi også kan si at vektoren er representert i formen lineær kombinasjon basisvektorer.

Konseptet med et koordinatsystem er introdusert på nøyaktig samme måte som for plantilfellet ett punkt og alle tre lineært uavhengige vektorer er nok:

opprinnelse, Og ikke-koplanar vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, sett affint koordinatsystem av tredimensjonalt rom :

Selvfølgelig er koordinatnettet "skrå" og upraktisk, men likevel lar det konstruerte koordinatsystemet oss helt sikkert Bestem koordinatene til enhver vektor og koordinatene til ethvert punkt i rommet. I likhet med et fly, vil noen formler som jeg allerede har nevnt, ikke fungere i det affine koordinatsystemet i rommet.

Det mest kjente og praktiske spesialtilfellet av et affint koordinatsystem, som alle gjetter, er rektangulært romkoordinatsystem:

Et punkt i rommet kalt opprinnelse, Og ortonormal grunnlaget er lagt Kartesisk rektangulært romkoordinatsystem . Kjent bilde:

Før vi går videre til praktiske oppgaver, la oss igjen systematisere informasjonen:

For tre romvektorer er følgende utsagn ekvivalente:
1) vektorene er lineært uavhengige;
2) vektorene danner en basis;
3) vektorene er ikke koplanære;
4) vektorer kan ikke uttrykkes lineært gjennom hverandre;
5) determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene, er forskjellig fra null.

Jeg tror de motsatte utsagnene er forståelige.

Lineær avhengighet/uavhengighet av romvektorer kontrolleres tradisjonelt ved hjelp av en determinant (punkt 5). De resterende praktiske oppgavene vil være av utpreget algebraisk karakter. Det er på tide å henge opp geometripinnen og bruke baseballballtre av lineær algebra:

Tre vektorer av rom er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null: .

Jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten til en liten teknisk nyanse: koordinatene til vektorer kan skrives ikke bare i kolonner, men også i rader (verdien til determinanten vil ikke endre seg fra dette - se egenskaper til determinanter). Men det er mye bedre i kolonner, siden det er mer fordelaktig for å løse noen praktiske problemer.

For de lesere som litt har glemt metodene for å beregne determinanter, eller kanskje har liten forståelse for dem i det hele tatt, anbefaler jeg en av mine eldste leksjoner: Hvordan beregne determinanten?

Eksempel 6

Sjekk om følgende vektorer danner grunnlaget for tredimensjonalt rom:

Løsning: Faktisk handler hele løsningen om å beregne determinanten.

a) La oss beregne determinanten som består av koordinatene til vektorene (determinanten vises i den første linjen):

, som betyr at vektorene er lineært uavhengige (ikke koplanære) og danner grunnlaget for tredimensjonalt rom.

Svar: disse vektorene danner et grunnlag

b) Dette er et punkt for selvstendig beslutning. Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er også kreative oppgaver:

Eksempel 7

Ved hvilken verdi av parameteren vil vektorene være koplanære?

Løsning: Vektorer er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er lik null:

I hovedsak må du løse en ligning med en determinant. Vi svir ned på nuller som drager på jerboas - det er best å åpne determinanten i den andre linjen og umiddelbart bli kvitt minusene:

Vi utfører ytterligere forenklinger og reduserer saken til den enkleste lineære ligningen:

Svar: kl

Det er enkelt å sjekke her for å gjøre dette, må du erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige determinanten og sørge for at , åpne den igjen.

Avslutningsvis vil vi vurdere et annet typisk problem, som er mer algebraisk i naturen og som tradisjonelt inngår i et lineært algebrakurs. Det er så vanlig at det fortjener sitt eget emne:

Bevis at 3 vektorer danner grunnlaget for tredimensjonalt rom
og finn koordinatene til den 4. vektoren i dette grunnlaget

Eksempel 8

Vektorer er gitt. Vis at vektorer danner en basis i tredimensjonalt rom og finn koordinatene til vektoren i dette grunnlaget.

Løsning: Først, la oss håndtere tilstanden. Etter betingelse er fire vektorer gitt, og som du kan se, har de allerede koordinater på et eller annet grunnlag. Hva dette grunnlaget er, er ikke av interesse for oss. Og følgende ting er av interesse: Tre vektorer kan godt danne et nytt grunnlag. Og det første trinnet faller helt sammen med løsningen i eksempel 6, det er nødvendig å sjekke om vektorene virkelig er lineært uavhengige:

La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater:

, som betyr at vektorene er lineært uavhengige og danner grunnlaget for tredimensjonalt rom.

! Viktig : vektorkoordinater Nødvendigvis skrive ned inn i kolonner determinant, ikke i strenger. Ellers vil det oppstå forvirring i den videre løsningsalgoritmen.

Vektorsystemet kalles lineært avhengig, hvis det er tall blant hvor minst ett er forskjellig fra null, slik at likheten https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Hvis denne likheten er oppfylt bare i tilfelle når alle , kalles systemet av vektorer lineært uavhengig.

Teorem. Vektorsystemet vil lineært avhengig hvis og bare hvis minst en av vektorene er en lineær kombinasjon av de andre.

Eksempel 1. Polynom er en lineær kombinasjon av polynomer https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polynomene utgjør et lineært uavhengig system, siden polynomet https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Eksempel 2. Matrisesystemet, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> er lineært uavhengig, siden en lineær kombinasjon er lik null matrise bare i tilfellet når https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineært avhengig.

Løsning.

La oss lage en lineær kombinasjon av disse vektorene https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" høyde=" 22">.

Ved å likestille de samme koordinatene til like vektorer får vi https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Endelig får vi

Og

Systemet har en unik triviell løsning, så en lineær kombinasjon av disse vektorene er lik null bare i tilfellet når alle koeffisienter er lik null. Derfor er dette systemet av vektorer lineært uavhengig.

Eksempel 4. Vektorene er lineært uavhengige. Hvordan vil vektorsystemene være?

en).;

b).?

Løsning.

en). La oss lage en lineær kombinasjon og likestille den til null

Ved å bruke egenskapene til operasjoner med vektorer i lineært rom, omskriver vi den siste likheten i formen

Siden vektorene er lineært uavhengige, må koeffisientene ved være lik null, dvs. gif" width="12" height="23 src=">

Det resulterende ligningssystemet har en unik triviell løsning .

Siden likestilling (*) utføres bare når https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineært uavhengig;

b). La oss skape en likestilling https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Ved å bruke lignende resonnement får vi

Løsning av ligningssystemet ved Gauss-metoden får vi

eller

Sistnevnte system har et uendelig antall løsninger https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dermed er det en ikke- null sett med koeffisienter som holder likheten (**) . Derfor systemet av vektorer – lineært avhengig.

Eksempel 5 Et system av vektorer er lineært uavhengig, og et system av vektorer er lineært avhengig..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Ulikhet (***) . Faktisk, ved , ville systemet være lineært avhengig.

Fra forholdet (***) vi får eller La oss betegne .

Vi får

Problemer for selvstendig løsning (i klasserommet)

1. Et system som inneholder en nullvektor er lineært avhengig.

2. System som består av en vektor EN, er lineært avhengig hvis og bare hvis, a=0.

3. Et system som består av to vektorer er lineært avhengig hvis og bare hvis vektorene er proporsjonale (det vil si at en av dem fås fra den andre ved å multiplisere med et tall).

4. Hvis du legger til en vektor til et lineært avhengig system, får du et lineært avhengig system.

5. Hvis en vektor fjernes fra et lineært uavhengig system, er det resulterende systemet av vektorer lineært uavhengig.

6. Hvis systemet S er lineært uavhengig, men blir lineært avhengig når man legger til en vektor b, deretter vektoren b lineært uttrykt gjennom systemvektorer S.

c). System av matriser , , i rommet av andreordens matriser.

10. La systemet av vektorer en,b,c vektorrom er lineært uavhengig. Bevis den lineære uavhengigheten til følgende vektorsystemer:

en).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– vilkårlig nummer

c).a+b, a+c, b+c.

11. La en,b,c– tre vektorer på planet som en trekant kan dannes fra. Vil disse vektorene være lineært avhengige?

12. To vektorer er gitt a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Finn ytterligere to firedimensjonale vektorer a3 oga4 slik at systemet a1,a2,a3,a4 var lineært uavhengig .

Definisjon. Lineær kombinasjon av vektorer a 1 , ..., a n med koeffisientene x 1 , ..., x n kalles en vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviell, hvis alle koeffisientene x 1 , ..., x n er lik null.

Definisjon. Den lineære kombinasjonen x 1 a 1 + ... + x n a n kalles ikke-trivielt, hvis minst én av koeffisientene x 1, ..., x n ikke er lik null.

lineært uavhengig, hvis det ikke er noen ikke-triviell kombinasjon av disse vektorene lik nullvektoren.

Det vil si at vektorene a 1, ..., a n er lineært uavhengige hvis x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 hvis og bare hvis x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definisjon. Vektorene a 1, ..., a n kalles lineært avhengig, hvis det er en ikke-triviell kombinasjon av disse vektorene lik nullvektoren.

Egenskaper til lineært avhengige vektorer:

For 2- og 3-dimensjonale vektorer.

To lineært avhengige vektorer er kollineære. (Kolineære vektorer er lineært avhengige.)

For 3-dimensjonale vektorer.

Tre lineært avhengige vektorer er koplanære. (Tre koplanare vektorer er lineært avhengige.)

• For n-dimensjonale vektorer.

  n + 1 vektorer er alltid lineært avhengige.

Eksempler på problemer med lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer:

Eksempel 1. Sjekk om vektorene a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) er lineært uavhengige .

Løsning:

Vektorene vil være lineært avhengige, siden dimensjonen til vektorene er mindre enn antall vektorer.

Eksempel 2. Sjekk om vektorene a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) er lineært uavhengige.

Løsning:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

trekk den andre fra den første linjen; legg til en andre linje til den tredje linjen:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Denne løsningen viser at systemet har mange løsninger, det vil si at det er en ikke-null kombinasjon av verdier av tallene x 1, x 2, x 3 slik at den lineære kombinasjonen av vektorene a, b, c er lik nullvektoren, for eksempel:

A + b + c = 0

som betyr at vektorene a, b, c er lineært avhengige.

Svar: vektorene a, b, c er lineært avhengige.

Eksempel 3. Sjekk om vektorene a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) er lineært uavhengige.

Løsning: La oss finne verdiene til koeffisientene der den lineære kombinasjonen av disse vektorene vil være lik nullvektoren.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Denne vektorligningen kan skrives som et system av lineære ligninger

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

La oss løse dette systemet ved å bruke Gauss-metoden

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

trekk den første fra den andre linjen; trekk den første fra den tredje linjen:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

trekk den andre fra den første linjen; legg til en andre til den tredje linjen.

Uttrykk av skjemaet kalt lineær kombinasjon av vektorer A 1 , A 2 ,...,A n med odds λ 1, λ 2 ,..., λ n.

Bestemmelse av lineær avhengighet av et system av vektorer

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n kalt lineært avhengig, hvis det er et sett med tall som ikke er null λ 1, λ 2 ,..., λ n, der den lineære kombinasjonen av vektorer λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n lik nullvektoren, det vil si ligningssystemet: har en løsning som ikke er null.
Sett med tall λ 1, λ 2 ,..., λ n er ikke null hvis minst ett av tallene λ 1, λ 2 ,..., λ n forskjellig fra null.

Bestemmelse av lineær uavhengighet av et system av vektorer

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n kalt lineært uavhengig, hvis den lineære kombinasjonen av disse vektorene λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n lik nullvektoren bare for et nullsett med tall λ 1, λ 2 ,..., λ n , det vil si ligningssystemet: A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+A n x n =Θ har en unik nullløsning.

Eksempel 29.1

Sjekk om et system av vektorer er lineært avhengig

Løsning:

1. Vi lager et ligningssystem:

2. Vi løser det ved hjelp av Gauss-metoden. Jordanano-transformasjonene av systemet er gitt i tabell 29.1. Ved beregning skrives ikke høyresiden av systemet ned siden de er lik null og ikke endres under Jordan-transformasjoner.

3. Fra de tre siste radene i tabellen skrive ned et løst system tilsvarende det opprinnelige system:

4. Vi får den generelle løsningen av systemet:

5. Etter å ha satt verdien til den frie variabelen x 3 =1 etter eget skjønn, vi får en spesiell løsning som ikke er null X=(-3,2,1).

Svar: For et sett med tall som ikke er null (-3,2,1), er den lineære kombinasjonen av vektorer lik nullvektoren -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Derfor, vektorsystem lineært avhengig.

Egenskaper til vektorsystemer

Eiendom (1)
Hvis et system av vektorer er lineært avhengig, utvides minst en av vektorene i forhold til de andre, og omvendt, hvis minst en av vektorene i systemet utvides i forhold til de andre, så utvides systemet av vektorer er lineært avhengig.

Eiendom (2)
Hvis et hvilket som helst undersystem av vektorer er lineært avhengig, så er hele systemet lineært avhengig.

Eiendom (3)
Hvis et system av vektorer er lineært uavhengig, så er hvilket som helst av dets undersystemer lineært uavhengig.

Eiendom (4)
Ethvert system av vektorer som inneholder en nullvektor er lineært avhengig.

Eiendom (5)
Et system med m-dimensjonale vektorer er alltid lineært avhengig hvis antallet vektorer n er større enn deres dimensjon (n>m)

Grunnlaget for vektorsystemet

Grunnlaget for vektorsystemet A 1 , A 2 ,..., A n et slikt delsystem B 1 , B 2 ,...,B r kalles(hver av vektorene B 1, B 2,..., B r er en av vektorene A 1, A 2,..., A n), som tilfredsstiller følgende betingelser:
1. B 1 , B 2 ,...,B r lineært uavhengig system av vektorer;
2. hvilken som helst vektor A j system A 1 , A 2 ,..., A n er lineært uttrykt gjennom vektorene B 1 , B 2 ,..., B r

r— antall vektorer som er inkludert i grunnlaget.

Teorem 29.1 På enhetsbasis av et vektorsystem.

Hvis et system av m-dimensjonale vektorer inneholder m forskjellige enhetsvektorer E 1 E 2 ,..., E m , så danner de grunnlaget for systemet.

Algoritme for å finne grunnlaget for et system av vektorer

For å finne grunnlaget for systemet med vektorer A 1 , A 2 ,..., A n er det nødvendig:

• Lag et homogent ligningssystem som tilsvarer systemet av vektorer A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Ta med dette systemet