Finn sidene til pyramiden. Hvordan beregne arealet til en pyramide: base, side og total? Forbindelsen mellom pyramiden og sfæren

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Typiske geometriske problemer på planet og i tredimensjonalt rom er problemene med å bestemme overflatearealene til forskjellige figurer. I denne artikkelen presenterer vi formelen for det laterale overflatearealet til en vanlig firkantet pyramide.

Hva er en pyramide?

La oss gi en streng geometrisk definisjon av en pyramide. Anta at vi har en polygon med n sider og n vinkler. La oss velge et vilkårlig punkt i rommet som ikke vil være i planet til den angitte n-gonen, og koble det til hvert toppunkt i polygonet. Vi vil få en figur med et visst volum, som kalles en n-gonal pyramide. La oss for eksempel vise i figuren nedenfor hvordan en femkantet pyramide ser ut.

De to viktige elementene i enhver pyramide er basen (n-gon) og toppen. Disse elementene er forbundet med hverandre med n trekanter, som generelt ikke er like med hverandre. Den perpendikulære som går ned fra toppen til basen kalles høyden på figuren. Hvis den skjærer basen ved det geometriske senteret (sammenfaller med massesenteret til polygonet), kalles en slik pyramide en rett linje. Hvis basen i tillegg til denne tilstanden er en vanlig polygon, kalles hele pyramiden regulær. Bildet under viser hvordan vanlige pyramider ser ut med trekantede, firkantede, femkantede og sekskantede baser.

Overflaten til pyramiden

Før vi går videre til spørsmålet om det laterale overflatearealet til en vanlig firkantet pyramide, bør vi dvele mer detaljert på konseptet med selve overflaten.

Som nevnt ovenfor og vist i figurene, er enhver pyramide dannet av et sett med ansikter eller sider. Den ene siden er grunnflaten og n sider er trekanter. Overflaten til hele figuren er summen av arealene på hver av sidene.

Det er praktisk å studere en overflate ved å bruke eksempelet på utviklingen av en figur. Utviklingen for en vanlig firkantet pyramide er vist i figurene nedenfor.

Vi ser at overflatearealet er lik summen av fire områder med identiske likebente trekanter og arealet av en firkant.

Det totale arealet av alle trekanter som danner sidene til en figur kalles vanligvis sideoverflatearealet. Deretter vil vi vise hvordan du beregner det for en vanlig firkantet pyramide.

Lateral overflate av en firkantet vanlig pyramide

For å beregne det laterale overflatearealet til den angitte figuren, vender vi oss igjen til utviklingen ovenfor. La oss anta at vi kjenner siden av kvadratbasen. La oss betegne det med symbolet a. Det kan sees at hver av de fire identiske trekantene har en base med lengden a. For å beregne deres totale areal, må du vite denne verdien for en trekant. Fra geometrikurset vet vi at arealet S t av en trekant er lik produktet av grunnflaten og høyden, som skal deles i to. Det er:

Hvor h b er høyden til en likebenet trekant trukket til grunnflaten a. For en pyramide er denne høyden et apotem. Nå gjenstår det å multiplisere det resulterende uttrykket med 4 for å få arealet S b av sideflaten for den aktuelle pyramiden:

Sb = 4*St = 2*h b*a.

Denne formelen inneholder to parametere: apotem og siden av basen. Hvis sistnevnte er kjent i de fleste problemforhold, må førstnevnte beregnes med kjennskap til andre mengder. Her er formlene for å beregne apotemet h b for to tilfeller:

når lengden på sideribben er kjent;
når høyden på pyramiden er kjent.

Hvis vi betegner lengden på sidekanten (siden av en likebenet trekant) med symbolet L, bestemmes apotemet h b av formelen:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Dette uttrykket er resultatet av å bruke Pythagoras teorem for sideoverflatetrekanten.

Hvis høyden h på pyramiden er kjent, kan apotemet h b beregnes som følger:

h b = √(h 2 + a 2 /4).
Det er heller ikke vanskelig å få til dette uttrykket hvis vi betrakter inne i pyramiden en rettvinklet trekant dannet av bena h og a/2 og hypotenusen h b.
Vi viser deg hvordan du bruker disse formlene ved å løse to interessante problemer.

Problem med kjent overflate

Det er kjent at arealet av den laterale overflaten av firkantet er 108 cm 2. Det er nødvendig å beregne lengden på apotemet h b hvis høyden på pyramiden er 7 cm.
La oss skrive formelen for arealet S b av sideflaten når det gjelder høyde. Vi har:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Her erstattet vi ganske enkelt den passende apotemformelen i uttrykket for S b. La oss kvadrere begge sider av ligningen:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

For å finne verdien av a, gjør vi en endring av variabler:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Nå erstatter vi de kjente verdiene og løser den kvadratiske ligningen:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Vi har kun skrevet ned den positive roten til denne ligningen. Da vil sidene av bunnen av pyramiden være lik:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

For å få lengden på apotemet, bruk bare formelen:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Sideflaten av Cheops-pyramiden

La oss bestemme verdien av siden for den største egyptiske pyramiden. Det er kjent at ved basen ligger et kvadrat med en sidelengde på 230.363 meter. Høyden på strukturen var opprinnelig 146,5 meter. Erstatt disse tallene i den tilsvarende formelen for S b, får vi:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.

Verdien som er funnet er litt større enn arealet til 17 fotballbaner.

Når studentene forbereder seg til Unified State-eksamen i matematikk, må studentene systematisere sine kunnskaper om algebra og geometri. Jeg vil gjerne kombinere all kjent informasjon, for eksempel om hvordan man beregner arealet til en pyramide. Videre starter fra bunnen og sidekantene til hele overflaten. Hvis situasjonen med sideflatene er klar, siden de er trekanter, er basen alltid annerledes.

Hvordan finne arealet av bunnen av pyramiden?

Det kan være absolutt hvilken som helst figur: fra en vilkårlig trekant til en n-gon. Og denne basen, i tillegg til forskjellen i antall vinkler, kan være en vanlig figur eller en uregelmessig. I Unified State Exam-oppgavene som interesserer skoleelever, er det kun oppgaver med riktige tall på basen. Derfor vil vi bare snakke om dem.

Vanlig trekant

Det vil si likesidet. Den der alle sider er like og er betegnet med bokstaven "a". I dette tilfellet beregnes arealet av bunnen av pyramiden ved hjelp av formelen:

S = (a 2 * √3) / 4.

Torget

Formelen for å beregne arealet er den enkleste, her er "a" igjen siden:

Vilkårlig regulær n-gon

Siden av en polygon har samme notasjon. For antall vinkler brukes den latinske bokstaven n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Hva skal man gjøre når man beregner det laterale og totale overflatearealet?

Siden basen er en vanlig figur, er alle flater i pyramiden like. Dessuten er hver av dem en likebenet trekant, siden sidekantene er like. Deretter, for å beregne sidearealet til pyramiden, trenger du en formel som består av summen av identiske monomer. Antall ledd bestemmes av antall sider av basen.

Arealet av en likebenet trekant beregnes ved formelen der halve produktet av basen multipliseres med høyden. Denne høyden i pyramiden kalles apotem. Betegnelsen er "A". Den generelle formelen for lateral overflate er:

S = ½ P*A, der P er omkretsen av bunnen av pyramiden.

Det er situasjoner når sidene av basen ikke er kjent, men sidekantene (c) og den flate vinkelen på toppen (α) er gitt. Deretter må du bruke følgende formel for å beregne sidearealet til pyramiden:

S = n/2 * i 2 sin α .

Oppgave nr. 1

Betingelse. Finn det totale arealet av pyramiden hvis basen har en side på 4 cm og apotemet har en verdi på √3 cm.

Løsning. Du må begynne med å beregne omkretsen til basen. Siden dette er en vanlig trekant, er P = 3*4 = 12 cm Siden apotemet er kjent, kan vi umiddelbart beregne arealet av hele sideflaten: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

For trekanten ved bunnen får du følgende arealverdi: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

For å bestemme hele området, må du legge til de to resulterende verdiene: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Svar. 10√3 cm 2.

Oppgave nr. 2

Betingelse. Det er en vanlig firkantet pyramide. Lengden på grunnsiden er 7 mm, sidekanten er 16 mm. Det er nødvendig å finne ut overflaten.

Løsning. Siden polyederet er firkantet og regelmessig, er basen en firkant. Når du kjenner arealet til basen og sideflatene, kan du beregne arealet av pyramiden. Formelen for kvadratet er gitt ovenfor. Og for sideflatene er alle sider av trekanten kjent. Derfor kan du bruke Herons formel for å beregne arealene deres.

De første beregningene er enkle og fører til følgende tall: 49 mm 2. For den andre verdien må du beregne semi-perimeteren: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Nå kan du beregne arealet av en likebenet trekant: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Det er bare fire slike trekanter, så når du beregner det endelige tallet, må du gange det med 4.

Det viser seg: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.

Svar. Ønsket verdi er 267,576 mm 2.

Oppgave nr. 3

Betingelse. For en vanlig firkantet pyramide må du beregne arealet. Siden av firkanten er kjent for å være 6 cm og høyden er 4 cm.

Løsning. Den enkleste måten er å bruke formelen med produktet av omkrets og apotem. Den første verdien er lett å finne. Den andre er litt mer komplisert.

Vi må huske Pythagoras teorem og vurdere det dannes av høyden på pyramiden og apotem, som er hypotenusen. Det andre benet er lik halve siden av firkanten, siden høyden på polyederet faller inn i midten.

Det nødvendige apotemet (hypotenusen til en rettvinklet trekant) er lik √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nå kan du beregne den nødvendige verdien: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Svar. 96 cm 2.

Oppgave nr. 4

Betingelse. Riktig side er gitt. Sidene på basen er 22 mm, sidekantene er 61 mm. Hva er det laterale overflatearealet til dette polyederet?

Løsning. Begrunnelsen i den er den samme som beskrevet i oppgave nr. 2. Bare der ble gitt en pyramide med en firkant ved bunnen, og nå er den en sekskant.

Først og fremst beregnes basisarealet ved å bruke formelen ovenfor: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Nå må du finne ut halvperimeteren til en likebenet trekant, som er sideflaten. (22+61*2):2 = 72 cm Alt som gjenstår er å bruke Herons formel for å beregne arealet av hver slik trekant, og deretter multiplisere den med seks og legge den til den som er oppnådd for basen.

Beregninger med Herons formel: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Beregninger som vil gi sideoverflatearealet: 660 * 6 = 3960 cm 2. Det gjenstår å legge dem sammen for å finne ut hele overflaten: 5217.47≈5217 cm 2.

Svar. Basen er 726√3 cm 2, sideflaten er 3960 cm 2, hele arealet er 5217 cm 2.

Arealet av sideoverflaten til en vilkårlig pyramide er lik summen av arealene til sideflatene. Det er fornuftig å gi en spesiell formel for å uttrykke dette området i tilfelle av en vanlig pyramide. Så la oss få en vanlig pyramide, ved bunnen av denne ligger en vanlig n-gon med side lik a. La h være høyden på sideflaten, også kalt apotem pyramider. Arealet til den ene sideflaten er lik 1/2ah, og hele sideoverflaten til pyramiden har et areal som er lik n/2ha Siden na er omkretsen av bunnen av pyramiden, kan vi skrive den funnet formelen i skjemaet:

Sideoverflateareal av en vanlig pyramide er lik produktet av dens apotem og halve omkretsen av basen.

Angående totalt overflateareal, så legger vi bare området til basen til siden.

Innskrevet og omskrevet kule og kule. Det skal bemerkes at sentrum av sfæren som er innskrevet i pyramiden, ligger i skjæringspunktet mellom halveringsplanene til de indre dihedrale vinklene til pyramiden. Sentrum av sfæren beskrevet nær pyramiden ligger i skjæringspunktet mellom fly som passerer gjennom midtpunktene på kantene av pyramiden og vinkelrett på dem.

Avkuttet pyramide. Hvis en pyramide kuttes av et plan parallelt med bunnen, kalles delen som er innelukket mellom skjæreplanet og bunnen. avkortet pyramide. Figuren viser en pyramide som forkaster sin del som ligger over skjæreplanet, vi får en avkortet pyramide. Det er tydelig at den lille kasserte pyramiden er homotetisk til den store pyramiden med senteret av homotetien på toppen. Likhetskoeffisienten er lik forholdet mellom høyder: k=h 2 /h 1, eller sidekanter, eller andre tilsvarende lineære dimensjoner til begge pyramidene. Vi vet at arealene til lignende figurer er relatert som kvadrater med lineære dimensjoner; så arealene til basene til begge pyramidene (dvs. arealet av basene til den avkortede pyramiden) er relatert som

Her er S 1 arealet av den nedre basen, og S 2 er arealet av den øvre basen av den avkortede pyramiden. Sideflatene til pyramidene er i samme forhold. En lignende regel finnes for volumer.

Volumer av lignende kropper er relatert som terninger av sine lineære dimensjoner; for eksempel er volumene av pyramidene relatert som produktet av deres høyder og arealet av basene, hvorfra vår regel umiddelbart er hentet. Den er av helt generell karakter og følger direkte av at volum alltid har en dimensjon av lengde tredje potens. Ved å bruke denne regelen utleder vi en formel som uttrykker volumet til en avkortet pyramide gjennom høyden og arealet til basene.

La det gis en avkortet pyramide med høyde h og grunnflate S 1 og S 2. Hvis vi forestiller oss at den utvides til en full pyramide, så kan likhetskoeffisienten mellom den fulle pyramiden og den lille pyramiden lett finnes som roten til forholdet S 2 /S 1 . Høyden på en avkortet pyramide uttrykkes som h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nå har vi for volumet til en avkortet pyramide (V 1 og V 2 angir volumene til de fulle og små pyramidene)

formel for volumet til en avkortet pyramide

La oss utlede formelen for arealet S av sideoverflaten til en regulær avkortet pyramide gjennom omkretsene P 1 og P 2 til basene og lengden på apotem a. Vi resonnerer på nøyaktig samme måte som når vi utleder formelen for volum. Vi supplerer pyramiden med den øvre delen, vi har P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, hvor k er likhetskoeffisienten, P 1 og P 2 er omkretsene til basene, og S 1 og S 2 er områdene av sideflatene til hele den resulterende pyramiden og dens øvre del tilsvarende. For sideflaten finner vi (a 1 og a 2 er apotemer av pyramidene, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formel for det laterale overflatearealet til en vanlig avkortet pyramide

I denne leksjonen:

Oppgave 1. Finn det totale overflatearealet til pyramiden
Oppgave 2. Finn sideoverflatearealet til en vanlig trekantet pyramide

Se også relatert materiale:
.

Merk . Hvis du trenger å løse et geometriproblem som ikke er her, skriv om det i forumet. I problemer, i stedet for "kvadratrot"-symbolet, brukes sqrt()-funksjonen, der sqrt er kvadratrotsymbolet, og det radikale uttrykket er angitt i parentes. For enkle radikale uttrykk kan tegnet "√" brukes.

Oppgave 1. Finn det totale overflatearealet til en vanlig pyramide

Høyden på bunnen av en vanlig trekantet pyramide er 3 cm, og vinkelen mellom sideflaten og bunnen av pyramiden er 45 grader.
Finn det totale overflatearealet til pyramiden

Løsning.

Ved bunnen av en vanlig trekantet pyramide ligger en likesidet trekant.
Derfor, for å løse problemet, vil vi bruke egenskapene til en vanlig trekant:

Vi kjenner høyden på trekanten, hvorfra vi kan finne arealet.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Hvorfra vil arealet av basen være lik:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

For å finne arealet av sideflaten, beregner vi høyden KM. I følge oppgaven er vinkelen OKM 45 grader.
Dermed:
OK / MK = cos 45
La oss bruke tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner og erstatte de kjente verdiene.

OK / MK = √2/2

La oss ta i betraktning at OK er lik radiusen til den innskrevne sirkelen. Deretter
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Deretter
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Arealet av sideflaten er da lik halvparten av produktet av høyden og bunnen av trekanten.
Side = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6

Dermed vil det totale overflatearealet til pyramiden være lik
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Svar: 3√3 + 18/√6

Oppgave 2. Finn det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide

I en vanlig trekantet pyramide er høyden 10 cm og siden av basen er 16 cm . Finn det laterale overflatearealet .

Løsning.

Siden bunnen av en vanlig trekantet pyramide er en likesidet trekant, er AO radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt bunnen.
(Dette følger av)

Radiusen til en sirkel som er omskrevet rundt en likesidet trekant kan finnes fra dens egenskaper

Hvorfra vil lengden på kantene til en vanlig trekantet pyramide være lik:
AM 2 = MO 2 + AO 2
høyden på pyramiden er kjent av tilstand (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Hver side av pyramiden er en likebenet trekant. Finn arealet av en likebenet trekant fra den første formelen presentert nedenfor

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Siden alle tre flatene til en vanlig pyramide er like, vil sideoverflaten være lik
3S = 48 √(91/3)

Svar: 48 √(91/3)

Oppgave 3. Finn det totale overflatearealet til en vanlig pyramide

Siden av en vanlig trekantet pyramide er 3 cm og vinkelen mellom sideflaten og bunnen av pyramiden er 45 grader. Finn det totale overflatearealet til pyramiden.

Løsning.
Siden pyramiden er regelmessig, er det en likesidet trekant ved basen. Derfor er arealet av basen

Så = 9 * √3/4