Dual simpleks metode for å løse lineære programmeringsproblemer. Løsning av det dobbelte problemet Løsning av det dobbelte problemet på det optimale produksjonsprogrammet

Formuleringene til den første og andre dualitetsteoremet er gitt. Det vises hvordan man får en løsning på et dobbeltproblem fra en løsning til en rett linje ved hjelp av dualitetsteoremer. Eksempler på problemløsning.

Innhold

Se også: Regler for å komponere dobbeltoppgaver

Her vil vi vurdere spørsmålet om hvordan man kan få en løsning på det dobbelte problemet fra å løse et direkte problem.

Dualitetsteoremer

Første dualitetsteorem

Hvis ett av et par med doble problemer har en optimal løsning, så har det doble problemet også en optimal løsning. I dette tilfellet er verdiene til de objektive funksjonene til de direkte og doble problemene for optimale løsninger lik hverandre.

Hvis ett av et par av doble problemer ikke har en løsning på grunn av den uavgrensede objektivfunksjonen, så har ikke det doble problemet en løsning på grunn av inkompatibiliteten til systemet av begrensninger.

Andre dualitetsteorem

;

.

La oss bruke det andre dualitetsteoremet. La oss erstatte de optimale verdiene til variablene i systemet med begrensninger for det direkte problemet.
(A1.1.1) ;
(A1.1.2) ;
(A1.1.3) ;
(A1.1.4) .
Siden første og fjerde linje er strenge ulikheter (de er ikke likheter), da
Og .

Siden og , så er 2. og 4. linje i det doble problemet likheter:

La oss erstatte de allerede funnet verdiene og vi har:

Herfra
;
; .

Det doble problemet har formen:
;

Hennes avgjørelse
;

Eksempel 2

Gitt et lineært programmeringsproblem:
(A2.1.1) ;
(A2.1.2)
Finn en løsning på dette problemet ved å løse det dobbelte problemet grafisk.

(A2.2.1) ;
(A2.2.2)

Løsningen på oppgaven (A2.2) er gitt på siden "Løse lineære programmeringsproblemer med grafisk metode". Løsningen på oppgaven (A2.2) har formen:
; .

I følge det første dualitetsteoremet er den optimale verdien av objektivfunksjonen lik
.

La oss bruke det andre dualitetsteoremet. La oss erstatte de optimale verdiene til variablene i systemet med begrensninger for det direkte problemet (A2.2).
;
;
.
Siden den tredje linjen er en streng ulikhet (de er ikke likhet), da
.

Siden og , så er 1. og 2. linje i det doble problemet (A2.1) likheter:

La oss erstatte den funnet verdien.

Vi løser et ligningssystem.
;
;
;
; ;
.

Løsningen på det opprinnelige problemet (A2.1) har formen:
; .

Se også:

En metode der ett av de gjensidige doble problemene først løses ved hjelp av simpleksmetoden, og deretter den optimale og optimale løsningen av det andre problemet blir funnet ved å bruke dualitetsteoremer kalles dobbel simpleks metode.

Teorem 1 (første dualitetsteorem). Hvis et av de gjensidige doble problemene har en optimal løsning, så har det også

en annen, og de optimale verdiene for deres objektive funksjoner er lik:

Hvis den objektive funksjonen til det opprinnelige problemet er ubegrenset, så er systemet med begrensninger for det doble problemet inkonsekvent.

Merk: det motsatte av den andre delen av det første dualitetsteoremet er ikke sant i det generelle tilfellet.

Teorem 2. Komponenter av den optimale planen for det doble problemet ( har ikke-negativitetstilstanden) er like absolutte verdier av koeffisienter

Komponenter av den optimale planen for det doble problemet ( ikke begrenset av tegn) er like koeffisientverdier med de tilsvarende variablene for den objektive funksjonen til det opprinnelige problemet, uttrykt i form av de frie variablene for dens optimale løsning.

Teorem 3. Positive (ikke-null) komponenter av den optimale løsningen på ett av problemene symmetrisk dobbeltpar tilsvarer nullkomponentene til den optimale løsningen av et annet problem, dvs. for alle og:

Teorem 4 (tredje dualitetsteorem). Komponentene i den optimale utformingen av det doble problemet er lik verdiene til de partielle derivatene av den lineære funksjonen ifølge de tilsvarende argumentene, dvs.

. (7.2)

Økonomisk tolkning av det tredje dualitetsteoremet: komponentene i den optimale planen for det doble problemet viser med hvor mange pengeenheter maksimal fortjeneste (inntekt) fra salg av produkter vil endres når beholdningen av den tilsvarende ressursen endres med én enhet.

Eksempel 9.1. Basert på løsningen til eksempel 5.2 (filen "Algorithm og eksempler på simpleksmetoden"), vil vi bruke dual simpleksmetoden for å bestemme den optimale løsningen på dobbeltproblemet.

Opprinnelig problem	Dobbelt problem

Dette doble paret er symmetrisk. Oppgavene er skrevet i standardform, la oss redusere dem til kanonisk form:

Opprinnelig problem	Dobbelt problem

La oss etablere en samsvar mellom variablene for gjensidig doble problemer.

Basert på løsningen til eksempel 5.2. Simplextabellen for den siste iterasjonen (tabell 5.10) ser slik ut:

Tabell 9.3

I samsvar med teorem 2 vil de optimale verdiene til variablene og være lik de absolutte verdiene av koeffisientene for de tilsvarende variablene til den objektive funksjonen til det opprinnelige problemet, uttrykt gjennom de frie variablene til dens optimale løsning.

Ved å bruke tabell 9.3 skriver vi ut den objektive funksjonen til det opprinnelige problemet, uttrykt i form av de frie variablene for dets optimale løsning:

Derfor,,.

Variablene , , og er ikke til stede i objektivfunksjonen (dvs. koeffisientene deres er lik null), derfor er de optimale verdiene til de tilsvarende variablene , , og lik null.

I samsvar med teorem 1, .

Dermed er den optimale verdien av målfunksjonen, som oppnås ved .

Eksempel 9.2. Basert på løsningen på det opprinnelige problemet, finn den optimale løsningen på det dobbelte problemet ved å bruke dual simpleks-metoden.

Opprinnelig problem	Dobbelt problem

Dette dobbeltparet er asymmetrisk. La oss bringe det doble problemet til kanonisk form.

Opprinnelig problem	Dobbelt problem

For å etablere samsvar mellom variablene til det doble paret, introduserer vi to manglende fiktive variabler i det opprinnelige problemet.

Opprinnelig problem	Dobbelt problem

La oss etablere en samsvar mellom variablene for gjensidig doble problemer.

Tabell 9.4

Matchende variabler for et dobbelt par

La oss løse det opprinnelige problemet ved å bruke simpleksmetoden.

Ved å bruke Jordan-Gauss-metoden velger vi i systemet med begrensninger for det opprinnelige problemet variablene og ( Merk: ikke bruk dummyvariabler som grunnleggende).

Som et resultat av transformasjonene får vi følgende matrise av koeffisienter:

.

Systemet med begrensninger for det opprinnelige problemet vil ha følgende form:

La oss uttrykke de grunnleggende variablene i form av frie som et resultat, vil det opprinnelige problemet ha følgende form:

Ved å erstatte de oppnådde verdiene av de grunnleggende variablene i den objektive funksjonen, vil den ha følgende form:

Som et resultat av å løse det transformerte opprinnelige problemet ved å bruke simpleksmetoden ved siste iterasjon, får vi følgende simplekstabell:

Tabell 9.5

Enkel tabell over den optimale løsningen på det opprinnelige problemet

Struktur og egenskaper ved det doble problemet

Ethvert problem med å maksimere LP fra et økonomisk synspunkt kan betraktes som et problem med å fordele begrensede ressurser b 1 , b 2 , ..., b m mellom forskjellige forbrukere, for eksempel mellom noen teknologiske prosesser, som er representert av kolonner A 1 , A 2 ,...A n av problembegrensningsmatrisen . Enhver mulig løsning på problemet LPx 1 , x 2 , ... x n gir en spesifikk fordeling som indikerer andelen av hver ressurs som skal brukes i implementeringen av den tilsvarende teknologiske prosessen.

La oss se på et eksempel. Anlegget produserer tre typer produkter x 1, x 2 og x 3, som hver krever tid brukt på bearbeiding på dreiebenker, frese- og boremaskiner. Mengden maskintid for hver maskin er begrenset. Letc 1,c 2,c 3 – fortjeneste ved salg av en enhet av tilsvarende type produkt. Det er nødvendig å bestemme hvor mye av hver type produkt som må produseres i løpet av uken for å oppnå maksimal fortjeneste.

Formelt er denne oppgaven skrevet som følger:

maksimer (c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 3 x 3) (1)

under restriksjoner

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ≤ b 1;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ≤ b 2;

a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ≤b 3 , (2)

hvor a 1 j , a 2 j , a 3 j er tiden som kreves for å behandle en enhet av den j. typen produkt, henholdsvis på dreie-, frese- og boremaskiner (j = 1, 2, 3); 2 ,b 3 – ukentlig ressurs for maskintid, henholdsvis for dreie-, frese- og boremaskiner.

La oss betegne y 1 , y 2 og y 3 – prisen på en driftstidsenhet på dreiebenker, frese- og boremaskiner. Da kan 11 y 1 +a 21 y 2 +a 31 y 3 – tolkes som kostnadene ved å produsere en produktenhet av den første typen; a 12 y 1 +a 22 y 2 +a 32 y 3 – kostnaden for fremstilling av en produktenhet av den andre typen, etc. .d.

La oss anta at ressursprisene y 1 , y 2 ,..., y m er valgt slik at følgende relasjoner tilfredsstilles:

a 11 y 1 + a 21 y 2 + a 31 y 3 ≥ c 1;

a 12 y 1 + a 22 y 2 + a 32 y 3 ≥ c 2;

a 13 y 1 +a 23 y 2 +a 33 y 3 ≥ c 3. (3)

Siden b 1, b 2 og b 3 er de brukte maskintidsressursene for hver av maskinene, så er b 1 y 1 + b 2 y 2 + b 3 y 3 de totale produksjonskostnadene.

Det kreves å finne slike y 1 , y 2 og y 3 som tilfredsstiller vilkår (3), der de totale produksjonskostnadene minimeres:

minimer g(y 1 ,y 2 ,y 3)=b 1 y 1 +b 2 y 2 +b 3 y 3 (4)

under forhold

y 1 ≥ 0; y 2 ​​≥ 0; y 3 ≥ 0.

Dette problemet kalles dobbel oppgave i forhold til problem (1), kalt direkte.

La oss nå skrive ned de direkte og doble problemene i den generelle saken.

Direkte oppgave:

maksimere

under forhold

(7)

Dobbelt problem:

minimere

under forhold

(10)

I matriseform er et par doble oppgaver skrevet som følger:

maksimere

under forhold

minimere

under forhold

A T y≥c; (15)

Ved å sammenligne registreringsformene for de direkte og doble problemene, kan følgende forhold etableres mellom dem:

hvis det direkte problemet er et maksimeringsproblem, vil det doble problemet være et minimeringsproblem, og omvendt;

koeffisienter for den objektive funksjonen til det direkte problemet c 1, c 2, …, c n bli frie medlemmer av begrensningene til det doble problemet;

frie vilkår for begrensningene til det direkte problemet b 1 , b 2 ,..., b m bli koeffisienter for den objektive funksjonen til det doble problemet;

begrensningsmatrisen til det doble problemet oppnås ved å transponere begrensningsmatrisen til det direkte problemet;

tegnene på ulikheter i restriksjonene er reversert;

antall begrensninger for det direkte problemet er lik antallet variabler for det doble problemet, og antall begrensninger for det doble problemet er likt antallet variabler for det direkte problemet.

Variablene y 1 , y 2 ,…, y m av det dobbelte problemet kalles noen ganger skyggepriser.

Det er mer lønnsomt å løse et dobbeltproblem enn den opprinnelige rette linjen hvis den er i den rette linjen

et problem med et lite antall variabler har et stort antall begrensninger (m n).

Sammenhengen mellom de optimale løsningene av de direkte og doble problemene etableres gjennom følgende dualitetsteoremer.

TEOREM 1. Hvis - tillatte løsninger på direkte og doble problemer, altså da

de. verdiene til den objektive funksjonen til det direkte problemet overstiger aldri verdiene til den objektive funksjonen til det doble problemet.

TEOREM 2 (grunnleggende dualitetsteorem).Hvis -tillatte løsninger på de direkte og doble problemene og hvis , Det – optimale løsninger på et par doble problemer.

TEOREM 3.Hvis i den optimale løsningen av det direkte problemet(5) – (7) Jeg-th begrensning er oppfylt som en streng ulikhet, da er den optimale verdien av den tilsvarende doble variabelen lik null, dvs.

Hvor - Jegrad av matrise A.

Betydningen av teorem 3 er som følger. Hvis en viss ressurs er tilgjengelig i overkant og den i-te begrensningen i den optimale løsningen er tilfredsstilt som en streng ulikhet, blir den ubetydelig, og den optimale prisen på den tilsvarende ressursen er lik 0.

Teorem 3 er supplert med teorem 4, som etablerer forholdet mellom den optimale løsningen av det direkte problemet og begrensningene til den doble.

TEOREM 4. Hvis i den optimale løsningen av det doble problemet begrensningenjer tilfredsstilt som en streng ulikhet, må den optimale verdien av den tilsvarende variabelen til det direkte problemet være lik null, dvs. hvis At

La oss gi en økonomisk tolkning av teorem 4.

Siden mengdene representerer prisene på de tilsvarende ressursene, da

er kostnaden for den jth teknologiske prosessen, verdien er fortjenesten fra salg per produktenhet. Derfor, fra et økonomisk synspunkt, betyr teorem 2.7 følgende: hvis den j-te teknologiske prosessen viser seg å være strengt ulønnsom fra synspunktet om optimale ressurspriser, vil intensiteten av det direkte problemet være optimalt. denne teknologiske prosessen skal være lik 0.

Dermed uttrykker setning 4 lønnsomhetsprinsippet optimalt organisert produksjon.

Det følger også av dette at

(20)

La oss anta at blant variablene x 1 ,x 2 ,...,x n i det direkte problemet er det et sett med mvariabler som har en verdi som ikke er null i den optimale løsningen. La for eksempel disse være de første variablene i rekkefølge.

Deretter, basert på ligning (22), oppnås mlønnsomhetsbetingelser:

(21)

La oss presentere to viktige teoremer innen dualitetsteori.

TEOREM 5 (eksistensteorem).De direkte og doble problemene har optimale løsninger hvis og bare hvis de begge har gjennomførbare løsninger.

TEOREM 6 (dualitetsteorem).Gyldig vektorx 0 er optimal hvis og bare hvis dobbeltproblemet har en slik gjennomførbar løsningy 0 , Hva

Følgende forhold eksisterer mellom de optimale løsningene av de direkte og doble problemene og elementene i indeksradene i simplekstabellene som tilsvarer disse løsningene:

i=1, 2, …,m;j=1, 2, …,n,

hvor n er antallet variabler for det direkte problemet; er de tilsvarende elementene i indekslinjen for henholdsvis direkte og doble problemer. Videre, hvis n+i, hvor 1 ≤i≤m er større enn antall kolonnevektorer i begrensningsmatrisen til den utvidede formen av det tilsvarende problemet, blir elementene funnet ved å syklisk omarrangere elementene i indeksraden, med start med elementet

Generelt tilfelle av dualitet

I forrige avsnitt ble de grunnleggende relasjonene etablert for et par doble LP-problemer under begrensninger i form av ulikheter. La oss nå generalisere disse resultatene til tilfellet med vilkårlige restriksjoner.

La den direkte LP-oppgaven gis i formen:

maksimere

under forhold

Da er det doble problemet med hensyn til (24)-(26) (eller konjugert til det) å minimere den lineære formen:

minimere

under forhold

Dermed er et problem knyttet til et problem med blandede forhold kompilert i henhold til følgende regler:

Hvis variabelen x j i det direkte problemet antas å være ikke-negativ, så er den j. betingelsen i systemet av begrensninger (28) en ulikhet.

Hvis ingen slik begrensning er pålagt x j, vil den j'te begrensningen for det dobbelte problemet være likhet.

Tegnene til variablene til det doble problemet y i og de tilsvarende begrensningene til det direkte problemet er relatert på lignende måte. Merk at hvis vi setter m 1 = min 1 = n, får vi et spesialtilfelle av et par doble problemer med begrensninger i form av ulikheter.

Det skal bemerkes at metoder for å løse lineære programmeringsproblemer inkluderer ikke til økonomi, men til matematikk og datateknologi. Samtidig må økonomen sørge for de mest komfortable forutsetningene for dialog med riktig programvare. I sin tur kan slike forhold bare gis av dynamisk utviklende og interaktive utviklingsmiljøer som har i sitt arsenal et sett med biblioteker som er nødvendige for å løse slike problemer. Et av hvilke programvareutviklingsmiljøer er definitivt Python.

Formulering av problemet

Publikasjonene vurderte løsninger på direkte optimaliseringsproblemer ved bruk av den lineære programmeringsmetoden og foreslo et rimelig valg av scipy-løseren. optimalisere.

Det er imidlertid kjent at hvert lineært programmeringsproblem tilsvarer et såkalt distinguished (dobbelt) problem. I den, sammenlignet med det direkte problemet, blir rader til kolonner, ulikheter endrer fortegn, i stedet for et maksimum, søkes et minimum (eller omvendt, i stedet for et minimum, søkes et maksimum). Oppgaven dual til dual er selve den opprinnelige oppgaven.

Å løse det doble problemet er svært viktig for å analysere ressursbruken. I denne publikasjonen vil det bli bevist at de optimale verdiene for objektivfunksjonene i de originale og doble problemene sammenfaller (dvs. maksimumet i det originale problemet faller sammen med minimumet i det dobbelte).

De optimale verdiene for material- og arbeidskostnader vil bli vurdert av deres bidrag til den objektive funksjonen. Resultatet vil være «objektivt bestemte estimater» av råvarer og arbeidskraft som ikke er sammenfallende med markedspriser.

Løsning av det direkte problemet med det optimale produksjonsprogrammet

Tatt i betraktning det høye nivået av matematisk opplæring av de aller fleste brukere av denne ressursen, vil jeg ikke presentere balanselikninger med øvre og nedre restriksjoner og innføring av tilleggsvariabler for å flytte til likheter. Derfor vil jeg umiddelbart gi betegnelsene på variablene som brukes i løsningen:
N – antall typer produkter produsert;
m - antall typer råvarer som brukes;
b_ub - vektor av tilgjengelige ressurser med dimensjon m;
A_ub er en matrise med dimensjon m×N, hvor hvert element er forbruket av en ressurs av type i for produksjon av en enhet av produkt av type j;
c er vektoren for profitt fra produksjonen av en enhet av hver type produkt;
x – de nødvendige volumene av produserte produkter av hver type (optimal produksjonsplan) som sikrer maksimal fortjeneste.

Målfunksjon
maxF(x)=c×x

Begrensninger
A×x≤b

Numeriske verdier av variabler:
N=5; m=4; b_ub = ; A_ub = [, , ,]; c =.

Oppgaver
1. Finn x for å sikre maksimal fortjeneste
2. Finn ressursene som brukes når du utfører trinn 1
3. Finn de gjenværende ressursene (hvis noen) når du utfører trinn 1

For å bestemme maksimum (som standard er minimum fastsatt, må koeffisientene til objektivfunksjonen skrives med et negativt fortegn c = [-25, -35,-25,-40,-30] og ignorere minustegnet foran overskuddet.

Notasjoner brukt for å vise resultatene:
x– en rekke variable verdier som gir minimum (maksimum) av målfunksjonen;
slakk– verdier av tilleggsvariabler. Hver variabel tilsvarer en ulikhetsbegrensning. En variabelverdi på null betyr at den tilsvarende begrensningen er aktiv;
suksess– Sant nok, hvis funksjonen klarte å finne den optimale løsningen;
status– beslutningsstatus:
0 – søket etter den optimale løsningen ble fullført;
1 – grensen for antall iterasjoner er nådd;
2 – problemet har ingen løsninger;
3 – den objektive funksjonen er ikke begrenset.
nit– antall utførte iterasjoner.

Liste over løsningen på det direkte optimaliseringsproblemet

#!/usr/bin/python # -*- koding: utf-8 -*- importer scipy fra scipy.optimize importer linprog # laster LP-bibliotek c = [-25, -35,-25,-40,-30] # liste over koeffisienter for målfunksjonen b_ub = # liste over ressursvolumer A_ub = [, # matrise med spesifikke ressursverdier, , ] d=linprog(c, A_ub, b_ub) # søk etter en løsning for key,val in d.items(): print(key ,val) # løsningsutgang hvis nøkkel=="x": q=#used resources print("A_ub*x",q) q1= scipy.array(b_ub)-scipy.array (q) #resterende ressurser print(" b_ub-A_ub*x", q1)

Resultater av å løse problemet
nit 3
status 0

suksess Sant
x [ 0. 0. 18.18181818 22.72727273 150. ]
A_ub*x
b_ub-A_ub*x [0. 0. 90.90909091]
moro -5863.63636364
slakk [0. 0. 90.90909091]

konklusjoner

1. Den optimale planen for produkttyper ble funnet
2. Fant faktisk ressursbruk
3. Resten av den ubrukte fjerde typen ressurs ble funnet [ 0. 0 0.0 0.0 90.909]
4. Det er ikke behov for beregninger i henhold til trinn 3, siden det samme resultatet vises i slakkvariabelen

Løsning av det doble problemet på det optimale produksjonsprogrammet

Den fjerde typen ressurs i den direkte oppgaven er ikke fullt ut brukt. Da viser verdien av denne ressursen for virksomheten seg å være lavere sammenlignet med ressurser som begrenser produksjonen, og virksomheten er villig til å betale en høyere pris for anskaffelse av ressurser som øker fortjenesten.

La oss introdusere et nytt formål for den ønskede variabelen x som en "skygge"-pris som bestemmer verdien av en gitt ressurs i forhold til fortjeneste fra salg av produserte produkter.

C – vektor av tilgjengelige ressurser;
b_ub er vektoren for profitt fra produksjonen av en enhet av hver type produkt;
A_ub_T – transponert matrise A_ub.

Målfunksjon
minF(x)=c×x

Begrensninger
A_ub_T ×x≥ b_ub

Numeriske verdier og relasjoner for variabler:
c =; A_ub_T transponere(A_ub); b_ub = .

Oppgave:
Finn x som indikerer verdien for produsenten av hver type ressurs.

Funksjoner av løsningen med scipy-biblioteket. optimalisere
For å erstatte restriksjoner ovenfra med restriksjoner nedenfra, er det nødvendig å multiplisere begge deler av begrensningen med minus én – A_ub_T ×x≥ b_ub... For å gjøre dette, skriv de originale dataene i formen: b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30]; A_ub_T =- scipy.transpose(A_ub).

Liste over løsningen på problemet med dobbel optimalisering

#!/usr/bin/python # -*- koding: utf-8 -*- importer scipy fra scipy.optimize importer linprog A_ub = [, , , ] c= b_ub = [-25, -35,-25,- 40,-30] A_ub_T =-scipy.transpose(A_ub) d=linprog(c, A_ub_T, b_ub) for key,val in d.items(): print(key,val)

Resultater av å løse problemet
nit 7
melding Optimalisering ble avsluttet.
moro 5863.63636364
x [ 2,27272727 1,81818182 6,36363636 0. ]
slakk [5.45454545 2.27272727 0. 0. 0. ]
status 0
suksess Sant

konklusjoner

Den tredje typen ressurs har størst verdi for produsenten, så denne typen ressurs bør kjøpes først, deretter den første og andre typen. Den fjerde typen ressurs har null verdi for produsenten og kjøpes sist.

Resultater av sammenligning av direkte og doble problemer

1. Det doble problemet utvider mulighetene for produktplanlegging, men ved å bruke scipy. optimize løses i dobbelt så mange direkte iterasjoner.
2. Slack-variabelen viser informasjon om aktiviteten til begrensninger i form av ulikheter, som for eksempel kan brukes til å analysere råvarebalanser.
3. Det direkte problemet er et maksimeringsproblem, og det doble problemet er et minimeringsproblem, og omvendt.
4. Koeffisientene til den objektive funksjonen i det direkte problemet er begrensninger i det doble problemet.
5. Begrensninger i det direkte problemet blir koeffisienter for den objektive funksjonen i den doble.
6. Tegnene på ulikheter i restriksjoner er snudd.
7. Matrisen til likhetssystemet er transponert.

Lenker

Siden det er tre enhetsvektorer, altså
du kan umiddelbart skrive ned referanseplanen
X=(0,0,0,360,192,180).
La oss lage en null simplekstabell

Vi sjekker den resulterende referanseplanen
for optimalitet.
Vi beregner verdien av objektivfunksjonen og
simpleks forskjeller.
F0 c P0 0 360 0 192 0 180 0,
1 z1 c1 c P1 c1 9,
2 z2 c2 cP2 c2 10,...

Som man kan se fra den 0. tabellen, ikke-null
er variablene x4 , x5 , x6 og x , x , x
1
2
3
er lik null, fordi De er ikke grunnleggende, men gratis.
Ytterligere variabler x4 , x5 , x6
ta verdiene deres i henhold til
begrensninger.
Disse variabelverdiene tilsvarer dette
"plan" som ingenting produseres under, råvarer
ikke brukes og verdien av objektivfunksjonen er
null, dvs. kostnadene for produserte produkter
fraværende.
Denne planen er selvfølgelig ikke optimal.
Dette kan også sees fra 4. rad i tabellen, hvor
det er tre negative skårer -9, -16 og -10.

10.

Negative tall er ikke bare
indikerer muligheten for å øke
totale kostnader for produserte produkter (i
kolonner over negative vurderinger
er positive tall), men også
vise hvor mye dette beløpet vil øke
ved innføring av en enhet av dette eller hint i planen
type produkt.
Så tallet -9 betyr at når det er inkludert i
produksjonsplan for ett produkt A
gir en kostnadsøkning
produkter for 9 enheter

11.

Hvis du tar med i produksjonsplanen for
ett produkt B og C, deretter totalkostnaden
produserte produkter vil øke
henholdsvis 10 og 16 enheter. Derfor med
økonomisk gjennomførbart
er inkludering av produkter C i planen.
Det samme må gjøres fra det tidspunktet
syn på at -16 er den minste
negativ vurdering. Så til grunnlaget
la oss introdusere vektoren P3.

12.

La oss finne tallet Q.
360 192 180
Qmin
;
;
min 30; 24;60
3
12 8
La oss legge det inn i den siste kolonnen i tabellen.
Tallet 24 tilsvarer vektoren P5.
192/8=24 fra et økonomisk synspunkt
betyr hvor mange produkter C
bedriften kan produsere med hensyn til
forbruksrater og tilgjengelige volumer av råvarer
hver type.

13.

Siden råvarer av hver type er tilgjengelig
henholdsvis 360, 192 og 180 kg, og for en
produkt C krever forbruk av råvarer for hver
type 12, 8 og 3 kg, deretter maksimalt antall
produkter C som kan produseres
bedrift er lik
min(360/12,192/8,180/3)=192/8=24, dvs.
begrensende faktor for produksjon
produkter C er tilgjengelig volum av råvarer
2. type. Tar hensyn til hans virksomhet kan
produsere 24 produkter C. I dette tilfellet vil råvarer av 2. type bli fullstendig brukt og,
Dette betyr at vektoren må ekskluderes fra
P5
basis.

14.

La oss lage følgende tabell. I det
den andre linjen er tillatt,
og den løsende kolonnen er den tredje. På
skjæringspunktet deres inneholder element 8.
Del den andre linjen med 8 og deretter
null ved bruk av Jordan-Gauss-metoden
eller i henhold til formlene til trekanten tredje
kolonne.

15.

16.

La oss regne ut simpleksforskjellene og fylle ut den fjerde raden i tabellen.
Med denne produksjonsplanen
24 varer C produseres og gjenstår
ubrukte 72 kg råvarer 1. og 108 kg
råvarer av 3. type. 2. type råstoff som brukes
fullt. Kostnaden for alle produkter kl
i denne forbindelse er CU 384. Spesifisert
tallene er skrevet i kolonnen Plan. Det er igjen
parametere for oppgaven, men de har gjennomgått
Endringer. Dataene til andre har også endret seg
kolonner. Deres økonomiske innhold
har blitt enda mer kompleks.

17.

Det er én negativ vurdering -2.
Planen kan forbedres. La oss introdusere til grunnlaget
vektor P2. La oss beregne
72 24 108
Q min;
;
min 8; 48;72 8.
9 1/ 2 3 / 2
.
Vi utleder fra grunnlaget P4.

18.

De permissive linjene vil være 1. linje og 2. linje
kolonne. Permitterende element 9.
Del 1. linje med 9, fyll ut
1. rad i den nye tabellen, da
La oss tilbakestille den andre kolonnen. For dette
multipliser den første linjen med (-1/2) og
legg til den andre og gang deretter den første
linje med (-3/2) og legg til på 3. linje.
La oss fylle ut tabell 2.

19.

20.

Dette er vi overbevist om
beregne simpleksforskjeller
1 cP1 c1 10 1 16 0,25 9 5,
2 cP2 c2 10 1 16 0 10 0,
3 cP3 c3 10 0 16 1 0 0 16 0,
4 cP4 c4 10 1/ 9 16 1/ 8 0 (1/ 6) 2/9,
5 cP5 -c5 =10 (-1/6)+16 5/24+0(-1/2)=5/3,
6 0.

21.

Den optimale produksjonsplanen er det ikke
produksjon av produkter A er tenkt innføring i
produksjonsplan for type A-produkter ville føre til
reduksjon av angitt totalkostnad.
Dette kan sees fra den fjerde linjen i kolonnen, hvor tallet er 5
viser at med denne planen inkluderingen
produksjonen av en enhet av produkt A fører til den
bare til en nedgang i totalverdien
verdi med 5 enheter
Så planen sørger for utgivelse av 8 produkter
B og 20 produkter C. Råvarer av type 1 og 2
er brukt i sin helhet, og type 3 etterlater 96 kg ubrukt.

22. PROBLEMER MED DOBBEL LINEÆRE PROGRAMMERING

Hver ZLP kan matches
problem kalt dobbelt til det originale
oppgave.
Vurder problemet med å bruke
ressurser. La oss anta at bedrift A
produserer n typer produkter, verdi
hvis utgivelse bestemmes av variabler
x1, x2, ..., xn
.
I produksjon m forskjellig
typer ressurser, hvis volum er begrenset
verdier b1, b2, ..., bn.

23.

Kostnadsratene for hver ressurs per enhet er kjent
hver type produkt danner en matrise,
a11
a21
EN
...
am1
a12
a22
...
am 2
...a1n
... a2 n
... ...
...amn
samt enhetskostnaden for hver type produkt
c1, c2, ..., cn
Det er nødvendig å organisere produksjonen slik at
virksomhet A ble forsynt med maksimalt
profitt.

24.

Oppgaven handler om å finne
ikke-negative variabler
x1, x2, ..., xn,
der ressursforbruket ikke er det
overskrider det angitte antallet, og
kostnaden for alle produkter vil nå
maksimum.

25.

I matematisk form problemet
er skrevet i følgende form:
F c1 x1 c2 x2 ... c j x j ... cn xn maks
under forhold
a11 x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1 ,
a21 x2 a22 x2 ... a2 j x j ... a2 n xn b2 ,
.
...............................................................,
a x a x ... a x ... a x b
mj j
mn
m
m1 1 m 2 2
x j 0, j 1, n.

26.

Basert på de samme innledende dataene, kan det være det
en annen oppgave er formulert.
Anta at bedrift B bestemmer seg for å kjøpe
alle ressurser tilgjengelig for bedrift A.B
I dette tilfellet må bedrift B etablere seg
optimale priser for disse ressursene, basert på
følgende forhold:
totale ressurskostnader for bedrift B
bør være minimal;
for hver type ressurs, bedrift A trenger
betale ikke mindre enn beløpet det
virksomheten kan motta under behandlingen
av denne typen ressurs til ferdige produkter.

27.

Hvis angitt med y1, y2, ..., yn
priser som bedrift B
kjøper ressurser fra bedrift A, da
oppgaven koker ned til følgende: finne
slike verdier av variablene y1, y2, ..., yn,
hvor kostnadene for ressurser,
brukt per enhet av enhver type
produkter er ikke mindre enn fortjeneste (priser)
for denne produksjonsenheten, og totalen
ressurskostnaden når
minimum,

28.

dvs. hva skal være enhetsvurderingen
hver av ressursene y1, y2, ..., yn,
slik at for gitte volumer
tilgjengelige ressurser bi , gitt
koster c j (j 1, n) enheter
produkter og kostnadsstandarder aij
minimere det totale kostnadsestimatet
for alle produkter.

29. Mat. dobbel problemmodell

I matematisk form problemet
er skrevet som:
*
F b1 y1 b2 y2 ... bm ym min
under restriksjoner
a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 ,
a y a y ... a y c ,
m2 m
2
12 1 22 2
..................................................
a y a y ... a y c ,
mn m
n
1n 1 2 n 2
yi 0, i 1, 2,..., m.

30. Økonomisk betydning av variablene i det doble problemet

Variabler yi for det dobbelte problemet i litteraturen
kan ha forskjellige navn: regnskap, implisitt,
skygge, objektivt bestemte vurderinger,
doble vurderinger eller "priser" på ressurser.
Disse to problemene danner et par gjensidig
doble problemer, som alle kan
anses som original. Løsningen på en
oppgaver gir en optimal produksjonsplan
produkter, og løsningen er annerledes - optimal
rangeringssystem for råvarer som brukes til
produksjon av disse produktene.

31.

To problemer med lineær
programmering kalles
symmetriske hvis de tilfredsstiller
følgende egenskaper:
antall variabler i dobbeltoppgave
er lik antall begrensninger for det opprinnelige problemet, og
antall begrensninger for det doble problemet
lik antall lik antall variabler i
opprinnelig;
i ett problem søkes maksimum av målet
funksjoner, i den andre – et minimum;
koeffisienter for variabler i målet
funksjonene til en oppgave er gratis
medlemmer av begrensningssystemet for et annet problem;

32.

i hvert problem er systemet med begrensninger spesifisert i
i form av ulikheter, og i problemet med å finne
maksimum, alle ulikheter på formen “≤”, og i oppgaven på
finne minimum, alle ulikheter i formen "≥";
begrensningssystem koeffisientmatrise
den ene er oppnådd fra den andre ved transponering;
hver begrensning av ett problem tilsvarer
variabel for en annen oppgave, variabeltall
samsvarer med begrensningsnummeret;
betingelser for ikke-negativitet av variabler
lagres i begge oppgavene;

33. Løse symmetriske dobbeltproblemer

Første dualitetsteorem.
Hvis et av de doble problemene
har en optimal løsning, da
en annen har en optimal løsning
oppgave, mens målverdiene
funksjonene til oppgavene er like med hverandre.
Hvis målfunksjonen er en av
oppgaver er ikke begrenset, så en annen oppgave
har ingen løsning i det hele tatt

34. Økonomisk innhold i det første dualitetsteoremet

Hvis problemet med å bestemme den optimale planen,
maksimering av produksjonen er da avgjørelig
Problemet med å bestemme ressursanslag er også løsbart.
Dessuten er prisen på produktet oppnådd som et resultat
implementering av den optimale planen sammenfaller med
totalvurdering av ressursene.
Sammenfall av målfunksjonsverdier for
tilsvarende løsninger på et par doble problemer
nok til at disse avgjørelsene er
optimal.
Løser ZLP ved hjelp av simplex-metoden, vi samtidig
Vi løser både de originale og doble problemene.

35. Metode for samtidig løsning av et par doble problemer

Opprinnelig problem: Dobbelt problem:
F c1x1 c2 x2 ... c j x j ... F * b1 y1 b2 y2 ...
cn xn maks
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn xn 1 b1 ,
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn xn 2 b2 ,
..........................................................
a x a x ... a x x b ,
mn
n m
m
m1 1 m 2 2
x j 0, j 1, 2,..., n m.
bm ym min,
a11 y1 a21 y2 ... am1 ym ym 1 c1 ,
a y a y ... a y y c ,
m2 m
m 2
2
12 1 22 2
.............................................................
a y a y ... a y y c ,
mn m
m n
n
1n 1 2 n 2
yi 0, i 1, 2,..., m n.

36.

Antall variabler i oppgaver er det samme
og er lik m + n. I den opprinnelige oppgaven
de grunnleggende variablene er

variabler xn 1 , xn 2 , ..., xn m
,
og i det doble problemet –
hjelpe ikke-negativ
variabler yn 1, yn 2, ..., yn m.
Grunnleggende variabler for ett problem
frie variabler samsvarer
en annen oppgave, og omvendt.

37.

38.

Når du løser ZLP ved hjelp av den tabellformede simpleksmetoden, løser du det doble problemet
i den siste raden i tabellen.
Dette er j.
Dessuten er hovedvariablene til dualen

tilsvarende tillegg
variabler av det opprinnelige problemet, og
tilleggsvariabler av dualen
oppgaver er inneholdt i kolonner,
tilsvarende hoveddelen
(originale) initialvariabler
oppgaver.

39. Eksempel.

La oss formulere en modell av problemdualen
til oppgaven fra eksempel 2 (begynnelsen av forelesningen):
Finn maksimum av en funksjon

40.

41.

Variablene for den opprinnelige oppgaven x1, x2, x3 er antall produkter A, B og C. La oss introdusere
doble problemvariabler y1, y2, y3
Finn minimum av en funksjon
F * 360 y1 192 y2 180 y3 min
under restriksjoner
18 y1 6 y2 5 y3 9,
15 y1 4 y2 3 y3 10,
12 y 8 y 3 y 16,
2
3
1
y1, y2, y3 0.

42. Tenk på den siste tabellen i det opprinnelige problemet

43.

Verdien av y1 i den siste raden i kolonne P4,
de. y12;
9y 5
verdi 2 3 i siste rad i kolonne P5,
verdien av y3 0 i den siste raden i kolonne P6.
De resterende verdiene finnes i kolonnene 1,2,3.
2 5
Y (; ;0;5;0;0)
9 3
Hvori
2
5
F 360 192 180 0 0 5 0 0 0 0 400
9
3
*
– Dette er minimumskostnaden for alle produkter.
2/9 og 5/3 er skyggepriser på råvarer av 1. og 2.
henholdsvis arter.