Eksistensen av grenser for en monoton avgrenset sekvens. Weierstrass sin teorem om grensen for en monoton sekvens

Definisjon: hvis alle n є N, kompatibel x n є N, så sier de det

form numerisk etterfølge.

- medlemmer sekvenser

- generell medlem sekvenser

Den introduserte definisjonen innebærer at enhver tallsekvens må være uendelig, men betyr ikke at alle medlemmer må være distinkte tall.

Nummersekvensen vurderes gitt, hvis en lov er spesifisert som ethvert medlem av sekvensen kan bli funnet etter.

Medlemmer eller sekvenselementer (1) nummerert med alle naturlige tall i stigende rekkefølge. For n+1 > n-1 følger (forut) begrepet begrepet, uavhengig av om tallet i seg selv er større enn, mindre enn eller til og med lik tallet.

Definisjon: En variabel x som tar en sekvens (1) verdier, vil vi - etter Meray (Ch. Meray) - kalle alternativ.

I et skolematematikkkurs kan du finne variabler av akkurat denne typen, for eksempel alternativer.

For eksempel en sekvens som

(aritmetikk) eller type

(geometrisk progresjon)

Variabelleddet for en eller annen progresjon er alternativ.

I forbindelse med å bestemme lengden på en sirkel, vurderer vi vanligvis omkretsen til en regulær polygon innskrevet i sirkelen, hentet fra en sekskant ved suksessivt å doble antall sider. Dermed tar dette alternativet følgende verdisekvens:

La oss også nevne desimaltilnærmingen (ved ulempe) til, med økende nøyaktighet. Det tar en sekvens av verdier:

og presenterer også alternativet.

Variabelen x, som går gjennom sekvensen (1), er ofte betegnet ved å identifisere den med variabelen («vanlig») medlem av denne sekvensen.

Noen ganger spesifiseres alternativet x n ved å direkte indikere uttrykket for x n ; så, i tilfelle av en aritmetisk eller geometrisk progresjon, har vi henholdsvis x n =a+(n-1) d eller x n =aq n-1. Ved å bruke dette uttrykket kan du umiddelbart beregne en hvilken som helst variantverdi basert på det gitte tallet, uten å beregne tidligere verdier.

For omkretsen av en regulær innskrevet polygon er et slikt generelt uttrykk bare mulig hvis vi introduserer tallet p; generelt er omkretsen p m av en vanlig innskrevet m-gon gitt av formelen

Definisjon 1: En tallsekvens (x n) sies å være avgrenset over (under) hvis et slikt tall eksisterer M (T), at for ethvert element i denne sekvensen er det en ulikhet, og tallet M (m) kalles topp (Nedre) kant.

Definisjon 2: En tallrekke (x n) kalles avgrenset dersom den er avgrenset både over og under, dvs. det finnes M, m, slik at for enhver

La oss betegne A = maks (|M|, |m|), da er det åpenbart at den numeriske sekvensen vil være begrenset hvis likheten |x n |? .

Definisjon 3: en tallsekvens kalles uendelig stor sekvens, hvis for en hvilken som helst A>0, kan du spesifisere et tall N slik at for alle n>N ||>A gjelder.

Definisjon 4: tallsekvensen (b n) kalles uendelig liten sekvens, hvis for en gitt e > 0, kan du spesifisere et tall N(e) slik at for enhver n > N(e) ulikheten | b n |< е.

Definisjon 5: tallsekvensen (x n) kalles konvergent, hvis det er et tall a slik at sekvensen (x n - a) er en infinitesimal sekvens. Samtidig, en - grense opprinnelig numerisk sekvenser.

Fra denne definisjonen følger det at alle infinitesimale sekvenser er konvergerende og grensen for disse sekvensene = 0.

På grunn av det faktum at begrepet en konvergent sekvens er knyttet til begrepet en infinitesimal sekvens, kan definisjonen av en konvergent sekvens gis i en annen form:

Definisjon 6: tallsekvensen (x n) kalles konvergent til et tall a, hvis for noen vilkårlig liten det er slik at for alle n > N ulikheten

a er grensen for sekvensen

Fordi er ekvivalent, og dette betyr at den tilhører intervallet x n є (a - e; a+ e) eller, som er det samme, tilhører e - nabolaget til punkt a. Så kan vi gi en annen definisjon av en konvergent tallsekvens.

Definisjon 7: tallsekvensen (x n) kalles konvergent, hvis det er et punkt a slik at i et tilstrekkelig lite e-nabolag i dette punktet er det noen elementer i denne sekvensen, med utgangspunkt i et eller annet nummer N.

Merk: i henhold til definisjonene (5) og (6), hvis a er grensen for sekvensen (x n), så er x n - a et element i en infinitesimal sekvens, dvs. x n - a = b n, hvor b n er et element i en infinitesimal sekvens. Følgelig er x n = a + b n, og da har vi rett til å hevde at hvis en numerisk sekvens (x n) konvergerer, så kan den alltid representeres som summen av grensen og et element i en infinitesimal sekvens.

Det omvendte utsagnet er også sant: hvis et element i sekvensen (x n) kan representeres som summen av et konstant tall og et element i en uendelig sekvens, så er denne konstanten grense gitt sekvenser.

Definisjon 8. Sekvens Ikke øker (ikke reduseres), hvis for.

Definisjon 9. Sekvens øker (minkende), hvis for.

Definisjon 10. En strengt økende eller strengt minkende sekvens kalles monotont sekvens.

Et bevis på Weierstrass' teorem om grensen for en monoton sekvens er gitt. Tilfellene av avgrensede og ubegrensede sekvenser vurderes. Det vurderes et eksempel der det er nødvendig, ved å bruke Weierstrass' teorem, å bevise konvergensen til en sekvens og finne dens grense.

Innhold

Se også: Grenser for monotone funksjoner

Enhver monoton avgrenset sekvens (xn) har en begrenset grense lik den eksakte øvre grensen, sup(xn) for en ikke-avtagende og nøyaktig nedre grense, inf(xn) for en ikke-økende sekvens.
Enhver monoton ubegrenset sekvens har en uendelig grense lik pluss uendelig for en ikke-minkende sekvens og minus uendelig for en ikke-økende sekvens.

Bevis

1) ikke-minkende avgrenset sekvens.

(1.1) .

Siden sekvensen er avgrenset, har den en begrenset øvre grense
.
Det betyr at:

• for alle n,
  (1.2) ;
• for ethvert positivt tall er det et tall avhengig av ε, slik at
  (1.3) .

.
Her brukte vi også (1.3). Ved å kombinere med (1.2), finner vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Den første delen av teoremet er bevist.

2) La nå rekkefølgen være ikke-økende avgrenset sekvens:
(2.1) for alle n.

Siden sekvensen er avgrenset, har den en begrenset nedre grense
.
Dette betyr følgende:

• for alle n gjelder følgende ulikheter:
  (2.2) ;
• for ethvert positivt tall er det et tall, avhengig av ε, for hvilket
  (2.3) .

.
Her brukte vi også (2.3). Med hensyn til (2.2), finner vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Dette betyr at tallet er grensen for sekvensen.
Den andre delen av teoremet er bevist.

Vurder nå ubegrensede sekvenser.
3) La sekvensen være ubegrenset ikke-minkende sekvens.

Siden sekvensen ikke er avtagende, gjelder følgende ulikheter for alle n:
(3.1) .

Siden sekvensen er ikke-avtagende og ubegrenset, er den ubegrenset på høyre side. Så for et hvilket som helst tall M er det et tall, avhengig av M, for hvilket
(3.2) .

Siden sekvensen ikke er avtagende, så når vi har:
.
Her brukte vi også (3.2).

.
Dette betyr at grensen for sekvensen er pluss uendelig:
.
Den tredje delen av teoremet er bevist.

4) Til slutt, vurder saken når ubegrenset ikke-økende sekvens.

I likhet med den forrige, siden sekvensen er ikke-økende, altså
(4.1) for alle n.

Siden sekvensen er ikke-økende og ubegrenset, er den ubegrenset på venstre side. Så for et hvilket som helst tall M er det et tall, avhengig av M, for hvilket
(4.2) .

Siden sekvensen ikke øker, så når vi har:
.

Så for et hvilket som helst tall M er det et naturlig tall avhengig av M, slik at for alle tall gjelder følgende ulikheter:
.
Dette betyr at grensen for sekvensen er lik minus uendelig:
.
Teoremet er bevist.

Eksempel på problemløsning

Alle eksempler Ved å bruke Weierstrass' teorem, bevis konvergensen av sekvensen:
, , . . . , , . . .
Finn deretter grensen.

La oss representere sekvensen i form av tilbakevendende formler:
,
.

La oss bevise at den gitte sekvensen er avgrenset ovenfor av verdien
(P1) .
Beviset utføres ved hjelp av metoden for matematisk induksjon.
.
La . Deretter
.
Ulikhet (A1) er bevist.

La oss bevise at sekvensen øker monotont.
;
(P2) .
Siden , da er nevneren til brøken og den første faktoren i telleren positive. På grunn av begrensning av vilkårene i sekvensen av ulikhet (A1), er den andre faktoren også positiv. Derfor
.
Det vil si at sekvensen er strengt økende.

Siden sekvensen øker og avgrenses over, er det en avgrenset sekvens. Derfor har den, ifølge Weierstrass sin teorem, en grense.

La oss finne denne grensen. La oss betegne det med en:
.
La oss bruke det faktum at
.
La oss bruke dette på (A2), ved å bruke de aritmetiske egenskapene til grenser for konvergerende sekvenser:
.
Tilstanden er tilfredsstilt ved roten.

Se også: