Dekomponering av en matrise til radelementer. Matrisedeterminant online

Ofte på universiteter møter vi problemer i høyere matematikk der det er nødvendig beregne determinanten til en matrise. Determinanten kan forresten bare være i kvadratiske matriser. Nedenfor vil vi vurdere de grunnleggende definisjonene, hvilke egenskaper determinanten har og hvordan den skal beregnes riktig. Vi vil også vise en detaljert løsning ved hjelp av eksempler.

Hva er determinanten til en matrise: beregne determinanten ved å bruke definisjonen

Matrisedeterminant

Andre orden er et tall.

Determinanten til en matrise er betegnet - (forkortelse for det latinske navnet for determinanter), eller .

Hvis:, så viser det seg

La oss huske noen flere hjelpedefinisjoner:

Definisjon

Et ordnet sett med tall som består av elementer kalles en permutasjon av rekkefølge.

For et sett som inneholder elementer er det en faktoriell (n), som alltid er angitt med et utropstegn: . Permutasjonene skiller seg bare fra hverandre i den rekkefølgen de vises. For å gjøre det klarere, la oss gi et eksempel:

Tenk på et sett med tre elementer (3, 6, 7). Det er 6 permutasjoner totalt, siden .:

Definisjon

En inversjon i en permutasjon av rekkefølge er et ordnet sett med tall (det kalles også en bijeksjon), der to av dem danner en slags forstyrrelse. Dette er når det større tallet i en gitt permutasjon er plassert til venstre for det mindre tallet.

Ovenfor så vi på et eksempel med inversjon av en permutasjon, hvor det var tall . Så, la oss ta den andre linjen, der det viser seg å dømme etter disse tallene at , a , siden det andre elementet er større enn det tredje elementet. La oss ta for sammenligning den sjette linjen, hvor tallene er plassert: . Det er tre par her: , og , siden title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Gjengitt av QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Gjengitt av QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Vi vil ikke studere selve inversjonen, men permutasjoner vil være svært nyttige for oss i videre vurdering av emnet.

Definisjon

Determinant av matrise x – tall:

er en permutasjon av tall fra 1 til et uendelig antall, og er antall inversjoner i permutasjonen. Dermed inkluderer determinanten termer som kalles "vilkår for determinanten".

Du kan beregne determinanten til en matrise av andre, tredje og til og med fjerde orden. Også verdt å nevne:

Definisjon

Determinanten for en matrise er tallet som er lik

For å forstå denne formelen, la oss beskrive den mer detaljert. Determinanten til en kvadratisk matrise x er en sum som inneholder ledd, og hvert ledd er produktet av et visst antall matriseelementer. Dessuten er det i hvert produkt et element fra hver rad og hver kolonne i matrisen.

Det kan vises før et bestemt ledd hvis matriseelementene i produktet er i orden (etter radnummer), og antall inversjoner i permutasjonen av mange kolonnenummer er oddetall.

Det ble nevnt ovenfor at determinanten til en matrise er betegnet med eller, det vil si at determinanten ofte kalles en determinant.

Så la oss gå tilbake til formelen:

Fra formelen er det klart at determinanten til en førsteordens matrise er et element i samme matrise.

Beregning av determinanten til en annenordens matrise

Oftest i praksis løses determinanten til en matrise ved hjelp av andre-, tredje- og sjeldnere fjerde-ordens metoder. La oss se på hvordan determinanten til en annenordens matrise beregnes:

I en annenordens matrise følger det at faktoren er . Før du bruker formelen

Det er nødvendig å finne ut hvilke data vi innhenter:

2. permutasjoner av sett: og ;

3. antall inversjoner i permutasjonen : og , siden title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. tilsvarende verk: og.

Det viser seg:

Basert på ovenstående får vi en formel for å beregne determinanten til en andreordens kvadratmatrise, det vil si x:

La oss se på et spesifikt eksempel på hvordan man beregner determinanten til en andreordens kvadratmatrise:

Eksempel

Oppgave

Regn ut determinanten til matrisen x:

Løsning

Så vi får , , , .

For å løse, må du bruke den tidligere diskuterte formelen:

Vi erstatter tallene fra eksemplet og finner:

Svar

Andreordens matrisedeterminant = .

Beregning av determinanten til en tredjeordens matrise: eksempel og løsning ved hjelp av formelen

Definisjon

Determinanten til en tredjeordens matrise er et tall hentet fra ni gitte tall arrangert i en kvadratisk tabell,

Den tredje ordens determinanten finnes på nesten samme måte som den andre ordens determinanten. Den eneste forskjellen ligger i formelen. Derfor, hvis du forstår formelen godt, vil det ikke være noen problemer med løsningen.

Tenk på en kvadratisk matrise av tredje orden *:

Basert på denne matrisen forstår vi at følgelig faktoriell = , som betyr at de totale permutasjonene er

For å bruke formelen riktig, må du finne dataene:

Så de totale permutasjonene til settet er:

Antall inversjoner i permutasjonen, og de tilsvarende produktene =;

Antall inversjoner i permutasjon title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversjoner i permutasjon title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inversjoner i permutasjon title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversjoner i permutasjon title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversjoner i permutasjon title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Nå får vi:

Dermed har vi en formel for å beregne determinanten til en matrise av orden x:

Finne en tredjeordens matrise ved å bruke trekantregelen (Sarrus-regelen)

Som nevnt ovenfor er elementene i 3. ordens determinanten plassert i tre rader og tre kolonner. Hvis du skriver inn betegnelsen på det generelle elementet, angir det første elementet radnummeret, og det andre elementet fra indeksene angir kolonnenummeret. Det er en hoveddiagonal (elementer) og sekundære (elementer) av determinanten. Termene på høyre side kalles termer for determinanten).

Det kan sees at hvert ledd av determinanten er i diagrammet med bare ett element i hver rad og hver kolonne.

Du kan beregne determinanten ved å bruke rektangelregelen, som er avbildet i form av et diagram. Betingelsene til determinanten fra elementene i hoveddiagonalen er uthevet i rødt, samt begrepene fra elementene som er i toppunktet til trekanter som har en side parallelt med hoveddiagonalen (venstre diagram), tatt med tegnet .

Leder med blå piler fra elementer i sidediagonalen, samt fra elementer som er i toppunktene til trekanter som har sider parallelle med sidediagonalen (høyre diagram) tas med tegnet.

Ved å bruke følgende eksempel vil vi lære hvordan vi beregner determinanten til en tredjeordens kvadratmatrise.

Eksempel

Oppgave

Regn ut determinanten til en tredjeordens matrise:

Løsning

I dette eksemplet:

Vi beregner determinanten ved å bruke formelen eller skjemaet diskutert ovenfor:

Svar

Determinant av en tredjeordens matrise =

Grunnleggende egenskaper til determinanter i en tredjeordens matrise

Basert på de tidligere definisjonene og formlene, la oss vurdere det viktigste egenskapene til matrisedeterminanten.

1. Størrelsen på determinanten vil ikke endres når de tilsvarende radene og kolonnene erstattes (en slik erstatning kalles transponering).

Ved å bruke et eksempel vil vi sørge for at determinanten til matrisen er lik determinanten til den transponerte matrisen:

La oss huske formelen for å beregne determinanten:

Transponer matrisen:

Vi beregner determinanten til den transponerte matrisen:

Vi har verifisert at determinanten til den transporterte matrisen er lik den opprinnelige matrisen, noe som indikerer riktig løsning.

2. Tegnet til determinanten vil endres til det motsatte hvis to av kolonnene eller to rader byttes.

La oss se på et eksempel:

Gitt to tredjeordens matriser (x):

Det er nødvendig å vise at determinantene til disse matrisene er motsatte.

Løsning

Radene i matrisen og i matrisen har endret seg (den tredje fra den første, og fra den første til den tredje). I følge den andre egenskapen må determinantene til to matriser være forskjellige i fortegn. Det vil si at en matrise har et positivt fortegn, og den andre har et negativt fortegn. La oss sjekke denne egenskapen ved å bruke formelen for å beregne determinanten.

Eiendommen er sann fordi .

3. En determinant er lik null hvis den har de samme tilsvarende elementene i to rader (kolonner). La determinanten ha identiske elementer i den første og andre kolonnen:

Ved å bytte identiske kolonner får vi i henhold til egenskap 2 en ny determinant: = . På den annen side faller den nye determinanten sammen med den opprinnelige, siden elementene har samme svar, det vil si = . Fra disse likhetene får vi: =.

4. Determinanten er lik null hvis alle elementene i en rad (kolonne) er null. Dette utsagnet kommer av det faktum at hvert ledd av determinanten i henhold til formel (1) har ett, og bare ett element fra hver rad (kolonne), som bare har nuller.

La oss se på et eksempel:

La oss vise at determinanten til matrisen er lik null:

Matrisen vår har to identiske kolonner (andre og tredje), derfor, basert på denne egenskapen, må determinanten være lik null. La oss sjekke:

Faktisk er determinanten for en matrise med to identiske kolonner lik null.

5. Fellesfaktoren til elementene i den første raden (kolonnen) kan tas ut av determinanttegnet:

6. Hvis elementene i en rad eller en kolonne i en determinant er proporsjonale med de tilsvarende elementene i den andre raden (kolonnen), så er en slik determinant lik null.

Faktisk, etter egenskap 5, kan proporsjonalitetskoeffisienten tas ut av fortegnet til determinanten, og deretter kan egenskap 3 brukes.

7. Hvis hvert av elementene i radene (kolonnene) til determinanten er summen av to ledd, kan denne determinanten presenteres som summen av de tilsvarende determinantene:

For å sjekke, er det nok å skrive i utvidet form i henhold til (1) determinanten som er på venstre side av likheten, deretter separat gruppere termene som inneholder elementene og hver av de resulterende gruppene av termer vil være hhv , den første og andre determinanten på høyre side av likheten.

8. Definisjonsverdiene vil ikke endres hvis de tilsvarende elementene i den andre raden (kolonnen) legges til et element i en rad eller kolonne, multiplisert med samme tall:

Denne likheten oppnås basert på egenskapene 6 og 7.

9. Determinanten til matrisen, , er lik summen av produktene til elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne og deres algebraiske komplementer.

Her ved hjelp av det algebraiske komplementet til et matriseelement. Ved å bruke denne egenskapen kan du beregne ikke bare tredjeordens matriser, men også matriser av høyere orden (x eller x) Med andre ord er dette en tilbakevendende formel som er nødvendig for å beregne determinanten til en matrise av en hvilken som helst rekkefølge. . Husk det, da det ofte brukes i praksis.

Det er verdt å si at ved å bruke den niende egenskapen er det mulig å beregne determinantene for matriser, ikke bare av fjerde orden, men også av høyere orden. Men i dette tilfellet må du utføre mange beregningsoperasjoner og være forsiktig, siden den minste feilen i skiltene vil føre til en feil avgjørelse. Det er mest praktisk å løse matriser av høyere orden ved hjelp av Gauss-metoden, og vi skal snakke om dette senere.

10. Determinanten av produktet av matriser av samme orden er lik produktet av deres determinanter.

La oss se på et eksempel:

Eksempel

Oppgave

Pass på at determinanten til to matriser og er lik produktet av deres determinanter. To matriser er gitt:

Løsning

Først finner vi produktet av determinantene til to matriser og .

La oss nå multiplisere begge matrisene og dermed beregne determinanten:

Svar

Det sørget vi for

Beregning av determinanten til en matrise ved hjelp av Gauss-metoden

Matrisedeterminant oppdatert: 22. november 2019 av: Vitenskapelige artikler.Ru

Ytterligere egenskaper er relatert til begrepene moll og algebraisk komplement

Liten element kalles en determinant, sammensatt av elementer som gjenstår etter å ha krysset ut raden og kolonnen i skjæringspunktet hvor dette elementet er plassert. Det mindre elementet i ordredeterminanten har orden . Vi vil betegne det med .

Eksempel 1. La , Deretter .

Denne mindre er hentet fra A ved å krysse ut den andre raden og den tredje kolonnen.

Algebraisk komplement element kalles tilsvarende moll multiplisert med , dvs. , hvor er nummeret på raden og kolonnen i skjæringspunktet for dette elementet.

VIII.(Dekomponering av determinanten til elementer av en bestemt streng). Determinanten er lik summen av produktene til elementene i en viss rad og deres tilsvarende algebraiske komplementer.

Eksempel 2. La , Deretter

Eksempel 3. La oss finne determinanten til matrisen , dekomponerer den til elementene i den første raden.

Formelt sett er dette teoremet og andre egenskaper til determinanter kun anvendelige for determinanter av matriser av ikke høyere enn tredje orden, siden vi ikke har vurdert andre determinanter. Følgende definisjon vil tillate oss å utvide disse egenskapene til determinanter av hvilken som helst rekkefølge.

Determinant for matrisen rekkefølge er et tall beregnet ved sekvensiell anvendelse av ekspansjonsteoremet og andre egenskaper til determinanter.

Du kan kontrollere at resultatet av beregningene ikke avhenger av rekkefølgen som egenskapene ovenfor brukes i og for hvilke rader og kolonner. Ved å bruke denne definisjonen er determinanten unikt funnet.

Selv om denne definisjonen ikke inneholder en eksplisitt formel for å finne determinanten, lar den en finne den ved å redusere den til determinantene til matriser av lavere orden. Slike definisjoner kalles tilbakevendende.

Eksempel 4. Regn ut determinanten:

Selv om faktoriseringsteoremet kan brukes på en hvilken som helst rad eller kolonne i en gitt matrise, oppnås færre beregninger ved å faktorisere langs kolonnen som inneholder så mange nuller som mulig.

Siden matrisen ikke har null elementer, får vi dem ved å bruke egenskapen VII. Multipliser den første linjen sekvensielt med tall og legg det til linjene og få:

La oss utvide den resulterende determinanten langs den første kolonnen og få:

siden determinanten inneholder to proporsjonale kolonner.

Noen typer matriser og deres determinanter

En kvadratisk matrise som har null elementer under eller over hoveddiagonalen () kalles trekantet.

Deres skjematiske struktur ser følgelig slik ut: eller

.

Matriser brukes i matematikk for å kompakt skrive systemer med lineære algebraiske eller differensialligninger. I dette tilfellet tilsvarer antall rader i matrisen antall ligninger, og antall kolonner tilsvarer antall ukjente. Som et resultat reduseres løsning av lineære ligninger til operasjoner på matriser.

Matrisen er skrevet som en rektangulær tabell med elementer i en ring eller et felt (for eksempel heltall, komplekse eller reelle tall). Det er en samling av rader og kolonner i skjæringspunktet hvor elementene er plassert. Størrelsen på matrisen bestemmes av antall rader og kolonner.

En viktig verdi for enhver matrise er dens determinant, som beregnes ved hjelp av en bestemt formel.

Det er nødvendig å manuelt utføre en rekke operasjoner på matrisen for å beregne dens determinant. Determinanten kan enten være positiv eller negativ eller lik null.

For å sjekke beregningene dine av determinanten til matrisen, kan du bruke vår online kalkulator. Den elektroniske kalkulatoren vil umiddelbart beregne determinanten til matrisen og gi den nøyaktige verdien.

Determinanten til en matrise er en slags karakteristikk av en matrise, eller rettere sagt, den kan brukes til å bestemme om det tilsvarende ligningssystemet har en løsning. Determinanten til en matrise er mye brukt i vitenskap, for eksempel fysikk, ved hjelp av hvilken den fysiske betydningen av mange mengder beregnes.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger

Ved å bruke kalkulatoren vår kan du også løse et system med lineære algebraiske ligninger (SLAE).

Å løse systemer med lineære algebraiske ligninger er et av de vanlige lineære algebraproblemene. SLAEer og metoder for deres løsning ligger til grunn for mange anvendte områder, inkludert økonometri og lineær programmering.

Gratis online kalkulator

Vår gratis løser lar deg løse ligninger online av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i kalkulatoren. Du kan også se videoinstruksjoner og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher.

Deretter går vi videre til egenskapene til determinanten, som vi vil formulere i form av teoremer uten bevis. Her får vi en metode for å beregne determinanten gjennom dens ekspansjon til elementene i en rad eller kolonne. Denne metoden lar deg redusere beregningen av determinanten for en matrise av orden n med n til beregningen av determinantene for matriser av orden 3 med 3 eller mindre. Vi vil definitivt vise løsninger på flere eksempler.

Avslutningsvis vil vi fokusere på å beregne determinanten ved hjelp av Gauss-metoden. Denne metoden er god for å finne verdiene til determinanter for matriser av orden høyere enn 3 ganger 3, siden den krever mindre beregningsinnsats. Vi skal også se på løsningene på eksemplene.

Sidenavigering.

Bestemmelse av determinanten til en matrise, beregning av determinanten til en matrise per definisjon.

La oss huske noen få hjelpebegreper.

Definisjon.

Permutasjon av rekkefølge n Et ordnet sett med tall som består av n elementer kalles.

For et sett som inneholder n elementer, er det n!

(n faktorielle) permutasjoner av orden n. Permutasjoner skiller seg bare fra hverandre i den rekkefølgen elementene vises i. ):

Definisjon.

Tenk for eksempel på et sett som består av tre tall: . La oss skrive ned alle permutasjonene (det er seks totalt, siden Ved inversjon i en permutasjon av orden n

Ethvert indekspar p og q der p-te-elementet i permutasjonen er større enn q-te kalles.

I det forrige eksemplet er inversen av permutasjonen 4, 9, 7 paret p=2, q=3, siden det andre elementet i permutasjonen er lik 9 og det er større enn det tredje, lik 7. Inversjonen av permutasjonen 9, 7, 4 vil være tre par: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) og p=2, q=3 (7>4).

Vi vil være mer interessert i antall inversjoner i permutasjonen, i stedet for selve inversjonen.

Definisjon.

Matrisedeterminant La være en kvadratisk matrise av orden n ved n over feltet av reelle (eller komplekse) tall. La være settet av alle permutasjoner av rekkefølge n av settet. Settet inneholder n! .

kombinasjonsmuligheter. La oss betegne den k-te permutasjonen av settet som , og antall inversjoner i den k-te permutasjonen som .

Determinanten til matrise A er vanligvis betegnet som , og det(A) brukes også. Du kan også høre determinanten kalt en determinant.

Så, .

Fra dette er det klart at determinanten til en førsteordens matrise er elementet i denne matrisen.

Beregning av determinanten for en andreordens kvadratmatrise - formel og eksempel.

ca 2 og 2 generelt.

I dette tilfellet n=2, derfor n!=2!=2.

.

Vi har

Dermed har vi fått en formel for å beregne determinanten til en matrise av orden 2 x 2, den har formen .

Eksempel.

rekkefølge .

Løsning.

I vårt eksempel. Vi bruker den resulterende formelen :

Beregning av determinanten til en tredje ordens kvadratmatrise - formel og eksempel.

La oss finne determinanten til en kvadratisk matrise ca 3 x 3 generelt.

I dette tilfellet er n=3, derfor n!=3!=6.

La oss ordne i form av en tabell de nødvendige dataene for å bruke formelen .

Vi har

Dermed har vi fått en formel for å beregne determinanten til en matrise av orden 3 x 3, den har formen

På samme måte kan du få formler for å beregne determinantene til matriser av orden 4 x 4, 5 x 5 og høyere. De vil se veldig klumpete ut.

Eksempel.

Regn ut determinanten til en kvadratisk matrise ca 3 x 3.

Løsning.

I vårt eksempel

Vi bruker den resulterende formelen for å beregne determinanten til en tredjeordens matrise:

Formler for å beregne determinantene til kvadratiske matriser av andre og tredje orden brukes veldig ofte, så vi anbefaler at du husker dem.

Egenskaper til determinanten til en matrise, beregning av determinanten til en matrise ved hjelp av egenskaper.

Basert på den angitte definisjonen er følgende sanne: egenskapene til matrisedeterminanten.

Determinanten til matrisen A er lik determinanten til den transponerte matrisen A T, det vil si.

Eksempel.

Sørg for at determinanten av matrisen er lik determinanten til den transponerte matrisen.

Løsning.

La oss bruke formelen til å beregne determinanten til en matrise av orden 3 x 3:



Transponer matrise A:


La oss beregne determinanten til den transponerte matrisen:



Faktisk er determinanten til den transponerte matrisen lik determinanten til den opprinnelige matrisen.

Hvis i en kvadratisk matrise alle elementene i minst én av radene (en av kolonnene) er null, er determinanten for en slik matrise lik null.

Eksempel.

Sjekk at determinanten til matrisen rekkefølge 3 x 3 er null.

Løsning.




Faktisk er determinanten for en matrise med en nullkolonne lik null.

Hvis du omorganiserer to rader (kolonner) i en kvadratisk matrise, vil determinanten for den resulterende matrisen være motsatt av den opprinnelige (det vil si at tegnet endres).

Eksempel.

Gitt to kvadratiske matriser av størrelsesorden 3 x 3 Og . Vis at deres determinanter er motsatte.

Løsning.

Matrise B er hentet fra matrise A ved å erstatte den tredje raden med den første, og den første med den tredje. I henhold til egenskapen som vurderes, må determinantene for slike matriser være forskjellige i fortegn. La oss sjekke dette ved å beregne determinantene ved å bruke den velkjente formelen.



Egentlig, .

Hvis i en kvadratisk matrise minst to rader (to kolonner) er like, så er dens determinant lik null.

Eksempel.

Vis at determinanten til matrisen lik null.

Løsning.

I denne matrisen er den andre og tredje kolonnen de samme, så i henhold til egenskapen som vurderes, må dens determinant være lik null. La oss sjekke det ut.



Faktisk er determinanten for en matrise med to identiske kolonner null.

Hvis i en kvadratisk matrise alle elementene i en rad (kolonne) multipliseres med et visst tall k, vil determinanten til den resulterende matrisen være lik determinanten til den opprinnelige matrisen multiplisert med k. For eksempel,



Eksempel.

Bevis at determinanten for matrisen lik trippel determinanten til matrisen .

Løsning.

Elementene i den første kolonnen i matrise B er hentet fra de tilsvarende elementene i den første kolonnen i matrise A ved å multiplisere med 3. Da må, på grunn av eiendommen som vurderes, likestillingen holde. La oss sjekke dette ved å beregne determinantene til matrisene A og B.



Derfor var det det som måtte bevises.

MERK.

Ikke forveksle eller bland begrepene matrise og determinant! Den betraktede egenskapen til determinanten til en matrise og operasjonen med å multiplisere en matrise med et tall er langt fra det samme.
, Men .

Hvis alle elementene i en rad (kolonne) i en kvadratisk matrise representerer summen av s ledd (s er et naturlig tall større enn én), vil determinanten til en slik matrise være lik summen av s determinanter av matriser oppnådd fra den opprinnelige, hvis elementene i raden (kolonnen) er: la ett begrep om gangen. For eksempel,


Eksempel.

Bevis at determinanten til en matrise er lik summen av determinantene til matriser .

Løsning.

I vårt eksempel Derfor, på grunn av den betraktede egenskapen til determinanten til matrisen, må likheten tilfredsstilles . La oss sjekke det ved å beregne de tilsvarende determinantene for matriser av orden 2 x 2 ved å bruke formelen .


Fra de oppnådde resultatene er det klart at . Dette fullfører beviset.

Hvis de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne) legges til elementene i en bestemt rad (kolonne) i en matrise, multiplisert med et vilkårlig tall k, vil determinanten til den resulterende matrisen være lik determinanten til den opprinnelige matrisen .

Eksempel.

Pass på at hvis til elementene i den tredje kolonnen i matrisen legg til de tilsvarende elementene i den andre kolonnen i denne matrisen, multiplisert med (-2), og legg til de tilsvarende elementene i den første kolonnen i matrisen, multiplisert med et vilkårlig reelt tall, så vil determinanten til den resulterende matrisen være lik determinanten til den opprinnelige matrisen.

Løsning.

Hvis vi starter fra den betraktede egenskapen til determinanten, vil determinanten til matrisen oppnådd etter alle transformasjonene spesifisert i oppgaven være lik determinanten til matrisen A.

La oss først beregne determinanten til den opprinnelige matrisen A:



La oss nå utføre de nødvendige transformasjonene av matrise A.

La oss legge til elementene i den tredje kolonnen i matrisen de tilsvarende elementene i den andre kolonnen i matrisen, etter å ha multiplisert dem med (-2). Etter dette vil matrisen ha formen:


Til elementene i den tredje kolonnen i den resulterende matrisen legger vi til de tilsvarende elementene i den første kolonnen, multiplisert med:


La oss beregne determinanten til den resulterende matrisen og sørge for at den er lik determinanten til matrise A, det vil si -24:



Determinanten til en kvadratisk matrise er lik summen av produktene til elementene i en hvilken som helst rad (kolonne) etter deres algebraiske tillegg.



Her er det algebraiske komplementet til matriseelementet .

Denne egenskapen lar en beregne determinantene for matriser av orden høyere enn 3 ganger 3 ved å redusere dem til summen av flere determinanter av matriser av orden en lavere. Med andre ord, dette er en tilbakevendende formel for å beregne determinanten til en kvadratisk matrise av en hvilken som helst rekkefølge. Vi anbefaler at du husker det på grunn av dets ganske hyppige bruk.

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel.

ca 4 x 4, utvide den

• av elementer i den tredje linjen,
• etter elementer i den andre kolonnen.

Løsning.

Vi bruker formelen for å dekomponere determinanten i elementene i den tredje raden



Vi har



Så problemet med å finne determinanten til en matrise av orden 4 x 4 ble redusert til å beregne tre determinanter av matriser av orden 3 med 3:



Ved å erstatte de oppnådde verdiene kommer vi til resultatet:


Vi bruker formelen for å dekomponere determinanten i elementene i den andre kolonnen


og vi handler på samme måte.

Vi vil ikke beskrive i detalj beregningen av determinanter av tredjeordens matriser.



Eksempel.

Beregn determinant av matrise ca 4 av 4.

Løsning.

Du kan utvide determinanten til en matrise til elementene i en hvilken som helst kolonne eller hvilken som helst rad, men det er mer lønnsomt å velge raden eller kolonnen som inneholder det største antallet nullelementer, da dette vil bidra til å unngå unødvendige beregninger. La oss utvide determinanten til elementene i den første linjen:



La oss beregne de resulterende determinantene for matriser av orden 3 x 3 ved å bruke formelen kjent for oss:



Erstatt resultatene og få ønsket verdi


Eksempel.

Beregn determinant av matrise ca 5 x 5.

Løsning.

Den fjerde raden i matrisen har det største antallet nullelementer blant alle rader og kolonner, så det er tilrådelig å utvide determinanten til matrisen nøyaktig i henhold til elementene i den fjerde raden, siden vi i dette tilfellet vil trenge færre beregninger.



De resulterende determinantene for matriser av størrelsesorden 4 x 4 ble funnet i tidligere eksempler, så la oss bruke de ferdige resultatene:



Eksempel.

Beregn determinant av matrise ca 7 av 7.

Løsning.

Du bør ikke forhaste deg med å sortere determinanten i elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne. Hvis du ser nøye på matrisen, vil du legge merke til at elementene i den sjette raden i matrisen kan fås ved å multiplisere de tilsvarende elementene i den andre raden med to. Det vil si at hvis de tilsvarende elementene i den andre raden legges til elementene i den sjette raden, multiplisert med (-2), vil determinanten ikke endre seg på grunn av den syvende egenskapen, og den sjette raden i den resulterende matrisen vil bestå av nuller. Determinanten til en slik matrise er lik null med den andre egenskapen.

Svar:

Det skal bemerkes at den betraktede egenskapen lar en beregne determinantene for matriser av hvilken som helst rekkefølge, men man må utføre mange beregningsoperasjoner. I de fleste tilfeller er det mer fordelaktig å finne determinanten for matriser av orden høyere enn den tredje ved bruk av Gauss-metoden, som vi vil vurdere nedenfor.

Summen av produktene av elementene i en hvilken som helst rad (kolonne) i en kvadratisk matrise ved de algebraiske komplementene til de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne) er lik null.


Eksempel.

Vis at summen av produktene av elementene i den tredje kolonnen i matrisen på de algebraiske komplementene til de tilsvarende elementene i den første kolonnen er lik null.

Løsning.




Determinanten av produktet av kvadratiske matriser av samme rekkefølge er lik produktet av deres determinanter, det vil si, , hvor m er et naturlig tall større enn én, A k, k=1,2,...,m er kvadratiske matriser av samme orden.

Eksempel.

Bekreft at determinanten av produktet av to matriser og er lik produktet av deres determinanter.

Løsning.

La oss først finne produktet av determinanter av matrisene A og B:


La oss nå utføre matrisemultiplikasjon og beregne determinanten til den resulterende matrisen:



Dermed, , som er det som måtte vises.

Beregning av determinanten til en matrise ved bruk av Gauss-metoden.

La oss beskrive essensen av denne metoden. Ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres matrise A til en slik form at i den første kolonnen blir alle elementer unntatt de null (dette kan alltid gjøres hvis determinanten til matrise A er forskjellig fra null). Vi vil beskrive denne prosedyren litt senere, men nå skal vi forklare hvorfor dette gjøres. Null elementer oppnås for å oppnå den enkleste utvidelsen av determinanten over elementene i den første kolonnen. Etter en slik transformasjon av matrisen A, under hensyntagen til den åttende egenskapen og, får vi

Hvor - mindre (n-1) orden, hentet fra matrise A ved å slette elementene i dens første rad og første kolonne.

Med matrisen som minor tilsvarer, utføres samme prosedyre for å få nullelementer i den første kolonnen. Og så videre til den endelige beregningen av determinanten.

Nå gjenstår det å svare på spørsmålet: "Hvordan få null elementer i den første kolonnen"?

La oss beskrive handlingsalgoritmen.

Hvis , blir de tilsvarende elementene i den kth raden lagt til elementene i den første raden i matrisen, der . (Hvis alle elementene i den første kolonnen i matrise A, uten unntak, er null, er dens determinant lik null med den andre egenskapen og ingen Gauss-metode er nødvendig). Etter en slik transformasjon vil det "nye" elementet være ikke-null. Determinanten til den "nye" matrisen vil være lik determinanten til den opprinnelige matrisen på grunn av den syvende egenskapen.

Nå har vi en matrise med . Når vi til elementene i den andre linjen legger til de tilsvarende elementene i den første linjen, multiplisert med , til elementene i den tredje linjen - de tilsvarende elementene i den første linjen, multiplisert med . Og så videre. Til slutt, til elementene i den n-te raden legger vi til de tilsvarende elementene i den første raden, multiplisert med . Dette vil resultere i en transformert matrise A, hvor alle elementene i den første kolonnen, bortsett fra , vil være null. Determinanten til den resulterende matrisen vil være lik determinanten til den opprinnelige matrisen på grunn av den syvende egenskapen.

La oss se på metoden når vi løser et eksempel, det vil være klarere.

Eksempel.

Regn ut determinanten til en matrise av størrelsesorden 5 x 5 .

Løsning.

La oss bruke Gauss-metoden. La oss transformere matrise A slik at alle elementene i den første kolonnen, bortsett fra , blir null.

Siden elementet i utgangspunktet er , legger vi til elementene i den første raden i matrisen de tilsvarende elementene, for eksempel i den andre raden, siden :

"~"-tegnet indikerer ekvivalens.

Nå legger vi til elementene i den andre linjen de tilsvarende elementene i den første linjen, multiplisert med , til elementene i den tredje linjen – de tilsvarende elementene i den første linjen, multiplisert med , og fortsett på samme måte opp til den sjette linjen:

Vi får

Med matrise Vi utfører samme prosedyre for å oppnå null elementer i den første kolonnen:

Derfor,

Nå utfører vi transformasjoner med matrisen :

Kommentar.

På et eller annet stadium av matrisetransformasjonen ved bruk av Gauss-metoden, kan det oppstå en situasjon når alle elementene i de siste radene i matrisen blir null. Dette vil indikere at determinanten er lik null.

Oppsummer.

Determinanten for en kvadratisk matrise hvis elementer er tall, er et tall. Vi så på tre måter å beregne determinanten på:

1. gjennom summen av produkter av kombinasjoner av matriseelementer;
2. gjennom dekomponeringen av determinanten til elementene i en rad eller kolonne i matrisen;
3. ved å redusere matrisen til en øvre trekantet (gaussisk metode).

Formler ble oppnådd for å beregne determinantene til matriser av orden 2 x 2 og 3 x 3.

Vi har undersøkt egenskapene til determinanten til en matrise. Noen av dem lar deg raskt forstå at determinanten er null.

Når du beregner determinantene for matriser av orden høyere enn 3 x 3, anbefales det å bruke Gauss-metoden: utfør elementære transformasjoner av matrisen og reduser den til en øvre trekantet. Determinanten til en slik matrise er lik produktet av alle elementene på hoveddiagonalen.

La oss huske Laplaces teorem:
Laplaces teorem:

La k rader (eller k kolonner) velges vilkårlig i determinanten d i rekkefølgen n. Da er summen av produktene av alle mindreårige av kth orden i de valgte radene og deres algebraiske komplementer lik determinanten d.

For å beregne determinanter, i det generelle tilfellet, tas k lik 1. Det vil si, i determinanten d av orden n, er en rad (eller kolonne) vilkårlig valgt. Da er summen av produktene til alle elementene i den valgte raden (eller kolonnen) og deres algebraiske komplementer lik determinanten d.

Eksempel:
Beregn determinant

Løsning:

La oss velge en vilkårlig rad eller kolonne. Av en grunn som vil bli åpenbar litt senere, vil vi begrense valget vårt til enten den tredje raden eller den fjerde kolonnen. Og la oss stoppe på tredje linje.

La oss bruke Laplaces teorem.

Det første elementet i den valgte raden er 10, det vises i den tredje raden og den første kolonnen. La oss beregne det algebraiske komplementet til det, dvs. La oss finne determinanten ved å krysse ut kolonnen og raden som dette elementet står på (10) og finne ut tegnet.

"pluss hvis summen av tallene til alle rader og kolonner der den mindre M er plassert er partall, og minus hvis denne summen er oddetall."
Og vi tok den mindre, bestående av ett enkelt element 10, som er i den første kolonnen i den tredje raden.

Så:


Det fjerde leddet i denne summen er 0, og det er derfor det er verdt å velge rader eller kolonner med maksimalt antall null elementer.

Svar: -1228

Eksempel:
Regn ut determinanten:

Løsning:
La oss velge den første kolonnen, fordi... to elementer i den er lik 0. La oss utvide determinanten langs den første kolonnen.


Vi utvider hver av tredjeordens determinantene langs den første andre raden


Vi utvider hver av andreordens determinantene langs den første kolonnen


Svar: 48
Kommentar: ved løsning av dette problemet ble ikke formler for beregning av determinanter av 2. og 3. orden brukt. Bare rad- eller kolonnedekomponering ble brukt. Noe som fører til en nedgang i rekkefølgen av determinanter.