Mēs mācāmies reducēt polinomus līdz standarta formai.

Polinoma jēdziens

Polinoma definīcija: polinoms ir monomu summa. Polinoma piemērs:

šeit mēs redzam divu monomu summu, un tas ir polinoms, t.i. monomu summa.

Terminus, kas veido polinomu, sauc par polinoma terminiem.

Vai monomu atšķirība ir polinoms? Jā, tā ir, jo starpība ir viegli reducējama līdz summai, piemēram: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monomiālus uzskata arī par polinomiem. Bet monomālam nav summas, tad kāpēc tas tiek uzskatīts par polinomu? Un jūs varat tam pievienot nulli un iegūt tās summu ar nulles monomu. Tātad monomāls ir īpašs gadījums polinoms, tas sastāv no viena locekļa.

Skaitlis nulle ir nulles polinoms.

Polinoma standarta forma

Kas ir standarta formas polinoms? Polinoms ir monomālu summa, un, ja visi šie monomi, kas veido polinomu, ir ierakstīti standarta formā un starp tiem nevajadzētu būt līdzīgiem, tad polinomu raksta standarta formā.

Polinoma piemērs standarta formā:

šeit polinoms sastāv no 2 monomiem, no kuriem katram ir standarta forma starp monomiem nav līdzīgu.

Tagad polinoma piemērs, kuram nav standarta formas:

šeit divi monomi: 2a un 4a ir līdzīgi. Jums tie ir jāsaskaita, tad polinomam būs standarta forma:

Vēl viens piemērs:

Šis polinoms ir reducēts uz standarta skats? Nē, viņa otrais termiņš nav rakstīts standarta formā. Rakstot to standarta formā, iegūstam standarta formas polinomu:

Polinoma pakāpe

Kāda ir polinoma pakāpe?

Polinoma pakāpes definīcija:

Polinoma pakāpe ir augstākā pakāpe, kāda ir monomiem, kas veido noteiktu standarta formas polinomu.

Piemērs. Kāda ir polinoma 5h pakāpe? Polinoma 5h pakāpe ir vienāda ar vienu, jo šis polinoms satur tikai vienu monomu un tā pakāpe ir vienāda ar vienu.

Vēl viens piemērs. Kāda ir polinoma 5a 2 h 3 s 4 +1 pakāpe? Polinoma 5a 2 h 3 s 4 + 1 pakāpe ir vienāda ar deviņiem, jo šajā polinomā ietilpst divi monomi, pirmajam monomam 5a 2 h 3 s 4 ir augstākā pakāpe, un tā pakāpe ir 9.

Vēl viens piemērs. Kāda ir polinoma 5 pakāpe? Polinoma 5 pakāpe ir nulle. Tātad polinoma pakāpe, kas sastāv tikai no skaitļa, t.i. bez burtiem ir vienāds ar nulli.

Pēdējais piemērs. Kāda ir nulles polinoma pakāpe, t.i. nulle? Nulles polinoma pakāpe nav noteikta.

Polinoms ir monomu summa. Ja visi polinoma vārdi ir uzrakstīti standarta formā (sk. 51. punktu) un līdzīgi termini tiek reducēti, iegūsit standarta formas polinomu.

Jebkuru veselu skaitļu izteiksmi var pārvērst par standarta formas polinomu - tas ir veselu skaitļu izteiksmju transformāciju (vienkāršojumu) mērķis.

Apskatīsim piemērus, kuros visa izteiksme ir jāsamazina līdz polinoma standarta formai.

Risinājums. Vispirms izveidosim polinoma nosacījumus standarta formā. Iegūstam Pēc līdzīgu terminu ienesšanas iegūstam standarta formas polinomu

Risinājums. Ja iekavās ir plus zīme, tad iekavas var izlaist, saglabājot visu iekavās ievietoto terminu zīmes. Izmantojot šo noteikumu iekavas atvēršanai, mēs iegūstam:

Risinājums. Ja pirms iekavām ir mīnusa zīme, tad iekavas var izlaist, mainot visu iekavās ievietoto terminu zīmes. Izmantojot šo noteikumu, lai paslēptu iekavas, mēs iegūstam:

Risinājums. Monoma un polinoma reizinājums saskaņā ar sadales likumu ir vienāds ar šī monoma un katra polinoma locekļa reizinājumu summu. Mēs saņemam

Risinājums. Mums ir

Atliek dot līdzīgus terminus (tie ir pasvītroti). Mēs iegūstam:

53. Saīsinātās reizināšanas formulas.

Dažos gadījumos visas izteiksmes pievienošana polinoma standarta formā tiek veikta, izmantojot identitātes:

Šīs identitātes sauc par saīsinātām reizināšanas formulām,

Apskatīsim piemērus, kuros dotā izteiksme ir jāpārvērš standarta formā myogochlea.

1. piemērs.

Risinājums. Izmantojot formulu (1), mēs iegūstam:

2. piemērs.

Risinājums.

3. piemērs.

Risinājums. Izmantojot formulu (3), mēs iegūstam:

4. piemērs.

Risinājums. Izmantojot formulu (4), mēs iegūstam:

54. Faktorēšanas polinomi.

Dažreiz jūs varat pārveidot polinomu par vairāku faktoru reizinājumu - polinomiem vai apakšnomiem. Šādu identitātes transformāciju sauc par polinoma faktorizāciju. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka polinoms dalās ar katru no šiem faktoriem.

Apskatīsim dažus veidus, kā faktorēt polinomus,

1) Kopējā faktora izņemšana no iekavām. Šī transformācija ir tiešas sadales likuma sekas (skaidrības labad jums vienkārši jāpārraksta šis likums "no labās uz kreiso"):

1. piemērs. Polinomu faktors

Risinājums. .

Parasti, izņemot kopējo koeficientu no iekavām, katrs mainīgais, kas iekļauts visos polinoma terminos, tiek izņemts ar zemāko eksponentu, kāds tam ir šajā polinomā. Ja visi polinoma koeficienti ir veseli skaitļi, tad lielākais modulī tiek ņemts par kopējā faktora koeficientu kopīgs dalītājs visi polinoma koeficienti.

2) Izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas. Formulas (1) - (7) no 53. rindkopas, lasot no labās uz kreiso pusi, daudzos gadījumos izrādās noderīgas polinomu faktorinēšanai.

2. piemērs: faktors .

Risinājums. Mums ir. Izmantojot formulu (1) (kvadrātu starpība), iegūstam . Piesakoties

Tagad formulas (4) un (5) (kubu summa, kubu starpība) iegūstam:

3. piemērs.

Risinājums. Vispirms no iekavas izņemsim kopējo faktoru. Lai to izdarītu, mēs atradīsim lielāko kopīgo koeficientu 4, 16, 16 un mazāko eksponentu, ar kuriem mainīgie a un b ir iekļauti šī polinoma veidojošajos monomālos. Mēs iegūstam:

3) Grupēšanas metode. Tas ir balstīts uz faktu, ka komutatīvie un asociatīvie saskaitīšanas likumi ļauj grupēt polinoma locekļus dažādos veidos. Dažkārt var grupēt tā, ka pēc kopējo faktoru izņemšanas no iekavām, katrā grupā iekavās paliek viens un tas pats polinoms, kuru savukārt kā kopējo faktoru var izņemt no iekavām. Apskatīsim polinoma faktorinēšanas piemērus.

4. piemērs.

Risinājums. Grupējam šādi:

Pirmajā grupā kopējo koeficientu no iekavām izņemsim otrajā - kopējo koeficientu 5. Mēs iegūstam Tagad mēs izliekam polinomu kā kopējo faktoru no iekavām: Tādējādi mēs iegūstam:

5. piemērs.

Risinājums. .

6. piemērs.

Risinājums. Šeit neviena grupēšana neradīs vienu un to pašu polinomu visās grupās. Šādos gadījumos dažreiz ir lietderīgi attēlot polinoma locekli kā summu un pēc tam vēlreiz izmēģināt grupēšanas metodi. Mūsu piemērā ir ieteicams to attēlot kā summu

7. piemērs.

Risinājums. Pievienojiet un atņemiet monomu Mēs iegūstam

55. Polinomi vienā mainīgajā.

Polinomu, kur a, b ir mainīgie skaitļi, sauc par pirmās pakāpes polinomu; polinoms, kur a, b, c ir mainīgi skaitļi, ko sauc par otrās pakāpes polinomu vai kvadrātveida trinomu; polinoms, kur a, b, c, d ir skaitļi, mainīgo sauc par trešās pakāpes polinomu.

Kopumā, ja o ir mainīgais, tad tas ir polinoms

sauc par lsmogochnolenola pakāpi (attiecībā pret x); , polinoma m-termiņi, koeficienti, polinoma vadošais loceklis, a ir polinoma vadošā vārda koeficients, polinoma brīvais loceklis. Parasti polinomu raksta mainīgā dilstošā pakāpē, t.i., mainīgā pakāpes pakāpeniski samazinās, jo īpaši pirmajā vietā ir vadošais, bet pēdējā vietā brīvais. Polinoma pakāpe ir augstākā termiņa pakāpe.

Piemēram, piektās pakāpes polinoms, kurā vadošais loceklis 1 ir polinoma brīvais termins.

Polinoma sakne ir vērtība, pie kuras polinoms pazūd. Piemēram, skaitlis 2 ir polinoma sakne kopš

Mēs teicām, ka ir gan standarta, gan nestandarta polinomi. Tur mēs atzīmējām, ka var jebkurš iestatiet polinomu standarta formā. Šajā rakstā mēs vispirms uzzināsim, kāda nozīme ir šai frāzei. Tālāk mēs uzskaitām darbības, lai pārvērstu jebkuru polinomu standarta formā. Visbeidzot, apskatīsim tipisku piemēru risinājumus. Risinājumus aprakstīsim ļoti detalizēti, lai izprastu visas nianses, kas rodas, reducējot polinomus līdz standarta formai.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē reducēt polinoma uz standarta formu?

Vispirms jums ir skaidri jāsaprot, ko nozīmē polinoma samazināšana līdz standarta formai. Izdomāsim šo.

Polinomi, tāpat kā jebkuras citas izteiksmes, var tikt pakļauti identiskām transformācijām. Šādu pārveidojumu veikšanas rezultātā tiek iegūtas izteiksmes, kas ir identiski vienādas ar sākotnējo izteiksmi. Tādējādi atsevišķu transformāciju veikšana ar nestandarta formas polinomiem ļauj pāriet uz polinomiem, kas tiem ir identiski vienādi, bet rakstīti standarta formā. Šo pāreju sauc par polinoma samazināšanu līdz standarta formai.

Tātad, samaziniet polinomu līdz standarta formai- tas nozīmē sākotnējā polinoma aizstāšanu ar identiski vienādu standarta formas polinomu, kas iegūts no sākotnējā polinomā, veicot identiskas transformācijas.

Kā reducēt polinomu līdz standarta formai?

Padomāsim par to, kādas transformācijas mums palīdzēs novest polinomu līdz standarta formai. Mēs sāksim no standarta formas polinoma definīcijas.

Pēc definīcijas katrs standarta formas polinoma termins ir standarta formas monoms, un standarta formas polinoms nesatur līdzīgus terminus. Savukārt polinomi, kas rakstīti citā formā, nevis standarta formā, var sastāvēt no monomiem nestandarta formā un satur līdzīgus terminus. Tas loģiski izriet no šāda noteikuma, kas izskaidro kā reducēt polinomu līdz standarta formai:

vispirms monomi, kas veido sākotnējo polinomu, jāiegūst standarta formā,
pēc tam veiciet līdzīgu terminu samazināšanu.

Rezultātā tiks iegūts standarta formas polinoms, jo visi tā termini tiks rakstīti standarta formā un nesaturēs līdzīgus terminus.

Piemēri, risinājumi

Apskatīsim piemērus, kā reducēt polinomus standarta formā. Risinot, mēs veiksim darbības, ko nosaka noteikums no iepriekšējās rindkopas.

Atzīmēsim, ka dažkārt visi polinoma termini tiek uzreiz ierakstīti standarta formā, pietiek tikai norādīt līdzīgus terminus. Dažkārt pēc polinoma terminu reducēšanas līdz standarta formai līdzīgu terminu nav, tāpēc līdzīgu terminu ienesšanas posms šajā gadījumā tiek izlaists. Kopumā jums ir jādara abi.

Piemērs.

Uzrādiet polinomus standarta formā: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5 Un .

Risinājums.

Visi polinoma 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 termini tam nav līdzīgi, tāpēc šis polinoms jau ir uzrādīts standarta formā.

Pāriesim pie nākamā polinoma 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5. Tās forma nav standarta, par ko liecina nestandarta formas termini 2·a 3 ·0,6 un −b·a·b 4 ·b 5. Iesniegsim to standarta formā.

Sākotnējā polinoma pārveidošanas standarta formā pirmajā posmā mums ir jāiesniedz visi tā termini standarta formā. Līdz ar to monomu 2·a 3 ·0,6 ievedam standarta formā, mums ir 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 , pēc kura – monomāls −b·a·b 4 ·b 5 , mums ir −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Tādējādi,. Iegūtajā polinomā visi termini ir ierakstīti standarta formā, turklāt ir acīmredzams, ka tajā nav līdzīgu terminu. Līdz ar to tiek pabeigta sākotnējā polinoma reducēšana uz standarta formu.

Atliek standarta formā uzrādīt pēdējo no dotajiem polinomiem. Pēc tam, kad visi tā dalībnieki ir ievietoti standarta formā, tas tiks rakstīts kā . Tam ir līdzīgi dalībnieki, tāpēc jums ir jāapraida līdzīgi dalībnieki:

Tātad sākotnējais polinoms ieguva standarta formu −x·y+1.

Atbilde:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – jau standarta formā, 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 -a b 10, .

Bieži vien polinoma izveidošana standarta formā ir tikai starpposms, atbildot uz problēmas uzdoto jautājumu. Piemēram, lai atrastu polinoma pakāpi, tā iepriekš jāattēlo standarta formā.

Piemērs.

Dodiet polinomu uz standarta formu, norāda tās pakāpi un sakārto terminus mainīgā lieluma dilstošās pakāpēs.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs visus polinoma nosacījumus ievietojam standarta formā: .

Tagad mēs piedāvājam līdzīgus terminus:

Tātad mēs izveidojām sākotnējo polinomu standarta formā, kas ļauj noteikt polinoma pakāpi, kas ir vienāda ar tajā iekļauto monomu augstāko pakāpi. Acīmredzot tas ir vienāds ar 5.

Atliek sakārtot polinoma nosacījumus mainīgo lielumu pakāpēs. Lai to izdarītu, jums vienkārši jāpārkārto termini iegūtajā standarta formas polinomā, ņemot vērā prasību. Terminam z 5 ir augstākā pakāpe , -0,5·z 2 un 11, attiecīgi ir vienādi ar 3, 2 un 0. Tāpēc polinomam ar terminiem, kas sakārtoti mainīgā lieluma pakāpēs, būs forma .

Atbilde:

Polinoma pakāpe ir 5, un pēc tā terminu sakārtošanas mainīgā dilstošās pakāpēs tas iegūst formu .

Atsauces.

Algebra: mācību grāmata 7. klasei vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovičs A.G. Algebra. 7. klase. 2 stundās 1. daļa. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 17. izd., pievienot. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra un sākās matemātiskā analīze. 10. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai institūcijas: pamata un profils. līmeņi / [Yu. M. Koļagins, M. V. Tkačova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuņins]; rediģēja A. B. Žižčenko. - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 2010.- 368 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Pēc definīcijas polinoms ir algebriskā izteiksme kas ir monomu summa.

Piemēram: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 ir polinomi, un izteiksme z/(x - x*y^2 + 4) nav polinoms, jo tā nav monomu summa. Polinomu dažreiz sauc arī par polinomu, un monomi, kas ir daļa no polinoma, ir polinoma vai monoma dalībnieki.

Sarežģīts polinoma jēdziens

Ja polinoms sastāv no diviem vārdiem, tad to sauc par binomiālu, ja tas sastāv no trim, to sauc par trinomu. Nosaukumi fournomial, fivenomial un citi netiek lietoti, un tādos gadījumos viņi vienkārši saka polinomu. Šādi nosaukumi atkarībā no terminu skaita visu noliek savās vietās.

Un termins monomāls kļūst intuitīvs. No matemātiskā viedokļa monomāls ir īpašs polinoma gadījums. Monomāls ir polinoms, kas sastāv no viena vārda.

Tāpat kā mononomam, arī polinomam ir sava standarta forma. Polinoma standarta forma ir tāds polinoma apzīmējums, kurā visi tajā iekļautie monomi kā termini ir uzrakstīti standarta formā un ir doti līdzīgi termini.

Polinoma standarta forma

Procedūra polinoma reducēšanai uz standarta formu ir katra monoma reducēšana līdz standarta formai un pēc tam visu līdzīgo monomu pievienošana kopā. Līdzīgu polinoma vārdu pievienošanu sauc par līdzīgā samazināšanu.
Piemēram, uzrādīsim līdzīgus terminus polinomā 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Termini 4*a*b^2*c^3 un 6*a*b^2*c^3 šeit ir līdzīgi. Šo terminu summa būs monomāls 10*a*b^2*c^3. Tāpēc sākotnējo polinomu 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b var pārrakstīt kā 10*a*b^2*c^3 - a* b . Šis ieraksts būs polinoma standarta forma.

No tā, ka jebkuru monomu var reducēt līdz standarta formai, arī izriet, ka jebkuru polinomu var reducēt līdz standarta formai.

Kad polinoms tiek reducēts līdz standarta formai, mēs varam runāt par tādu jēdzienu kā polinoma pakāpe. Polinoma pakāpe ir monoma augstākā pakāpe, kas iekļauta dotajā polinomā.
Tā, piemēram, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 ir piektās pakāpes polinoms, jo polinomā iekļautā monoma maksimālā pakāpe (5*x^3*y^ 2) ir piektais.

Ieslēgts šī nodarbība Mēs atgādināsim šīs tēmas pamatdefinīcijas un apsvērsim dažas tipiskas problēmas, proti, polinoma samazināšanu līdz standarta formai un skaitliskās vērtības aprēķināšanu noteiktām mainīgo vērtībām. Mēs atrisināsim vairākus piemērus, kuros reducēšana uz standarta formu tiks izmantota dažāda veida problēmu risināšanai.

Temats:Polinomi. Aritmētiskās darbības ar monomiem

Nodarbība:Polinoma reducēšana uz standarta formu. Tipiski uzdevumi

Atcerēsimies pamata definīciju: polinoms ir monomu summa. Katru monomu, kas ir daļa no polinoma kā termina, sauc par tā locekli. Piemēram:

Binomiāls;

polinoms;

Binomiāls;

Tā kā polinoms sastāv no monomiem, no šejienes izriet pirmā darbība ar polinomu - jums ir jāievieto visi monomi standarta formā. Atgādināsim, ka, lai to izdarītu, ir jāreizina visi skaitliskie faktori - jāiegūst skaitliskais koeficients un jāreizina atbilstošās pakāpes - jāiegūst burta daļa. Turklāt pievērsīsim uzmanību teorēmai par pakāpju reizinājumu: pakāpju reizinot, to eksponenti summējas.

Apskatīsim svarīgu darbību - polinoma reducēšanu līdz standarta formai. Piemērs:

Komentārs: lai polinomu pārveidotu standarta formā, visi tā sastāvā iekļautie monomi ir jāievieto standarta formā, pēc tam, ja ir līdzīgi monomi - un tie ir monomi ar vienādu burtu daļu -, veiciet darbības ar tiem. .

Tātad, mēs apskatījām pirmo tipisko problēmu - polinoma izveidošanu standarta formā.

Tālāk tipisks uzdevums- polinoma konkrētas vērtības aprēķins tajā iekļauto mainīgo noteiktām skaitliskām vērtībām. Turpināsim aplūkot iepriekšējo piemēru un iestatīsim mainīgo vērtības:

Komentārs: atcerieties, ka viens jebkuram dabiskajam spēkam ir vienāds ar vienu, un nulle jebkurai dabiskajai pakāpei ir vienāda ar nulli, turklāt atcerieties, ka, reizinot jebkuru skaitli ar nulli, mēs iegūstam nulli.

Apskatīsim vairākus piemērus tipiskām darbībām, kā polinoma reducēt līdz standarta formai un aprēķināt tā vērtību:

1. piemērs — izveidojiet standarta formu:

Komentārs: pirmais solis ir panākt monomālu standarta formu, jums ir nepieciešams izveidot pirmo, otro un sesto; otrā darbība - mēs ienesam līdzīgus terminus, tas ir, veicam uz tiem dotos uzdevumus aritmētiskās darbības: pievienojam pirmo ar piekto, otro ar trešo, pārējās tiek pārrakstītas bez izmaiņām, jo tām nav līdzīgu.

2. piemērs - aprēķiniet polinoma vērtību no 1. piemēra, ņemot vērā mainīgo vērtības:

Komentārs: veicot aprēķinus, jāatceras, ka vienība jebkurai dabiskajai jaudai ir viens, ja ir grūti aprēķināt pakāpju divus, varat izmantot pakāpju tabulu.

3. piemērs - zvaigznītes vietā ievietojiet monomu tā, lai rezultāts nesaturētu mainīgo:

Komentārs: neatkarīgi no uzdevuma pirmā darbība vienmēr ir viena un tā pati — izveidojiet polinomu standarta formā. Mūsu piemērā šī darbība ir saistīta ar līdzīgu terminu ieviešanu. Pēc tam jums vēlreiz rūpīgi jāizlasa nosacījums un jādomā, kā mēs varam atbrīvoties no monoma. Acīmredzot šim nolūkam jums jāpievieno tas pats monomāls, bet ar pretēja zīme- . Tālāk mēs aizstājam zvaigznīti ar šo monomu un pārliecināmies, ka mūsu risinājums ir pareizs.