Kāda ir līnijas un apļa relatīvā pozīcija. Ģeometrijas darblapa "Līnijas un apļa relatīvā pozīcija"

Ļaujiet uz plaknes norādīt apli un kādu taisni. Nometīsim perpendikulu no apļa C centra uz šo taisni; apzīmēsim ar šī perpendikula pamatu. Punkts var ieņemt trīs iespējamās pozīcijas attiecībā pret apli: a) atrodas ārpus apļa, b) uz apļa, c) apļa iekšpusē. Atkarībā no tā, taisne ieņems vienu no trim iespējamām pozīcijām attiecībā pret apli. dažādi noteikumi aprakstīts tālāk.

a) Perpendikula pamatne, kas nomesta no riņķa centra C līdz taisnei, atrodas ārpus apļa (197. att.). Tad taisne nešķērso apli, visi tās punkti atrodas ārējā apgabalā. Patiešām, norādītajā gadījumā pēc nosacījuma tas tiek noņemts no centra attālumā, kas ir lielāks par rādiusu). Turklāt jebkuram taisnes a punktam M, tas ir, katrs dotās taisnes punkts atrodas ārpus apļa.

b) Ļaujiet perpendikula pamatnei krist uz apļa (198. att.). Tad taisnei a ir tieši viens kopīgs punkts ar apli. Patiešām, ja M ir jebkurš cits taisnes punkts, tad (slīpās vietas ir garākas par perpendikulu) un punkts M atrodas ārējā apgabalā. Šādu līniju, kurai ir viens kopīgs punkts ar apli, šajā punktā sauc par pieskares riņķim. Parādīsim, ka otrādi, ja taisnei ir viens kopīgs punkts ar apli, tad šim punktam novilktais rādiuss ir perpendikulārs šai taisnei. Patiešām, nometīsim perpendikulu no centra uz šo līniju. Ja tā pamatne atrodas apļa iekšpusē, tad taisnei būtu divi kopīgi punkti ar to, kā parādīts c) apakšpunktā. Ja tā atrastos ārpus apļa, tad saskaņā ar a) taisnei nebūtu kopīgu punktu ar apli.

Tāpēc atliek pieņemt, ka perpendikuls iekrīt taisnes kopējā punktā un aplis - to pieskares punktā. Ir pierādīts, ka tas ir svarīgi

Teorēma. Taisne, kas iet cauri riņķa punktam, pieskaras aplim tad un tikai tad, ja tā ir perpendikulāra šim punktam novilktajam rādiusam.

Ņemiet vērā, ka šeit sniegtā riņķa pieskares definīcija netiek pārnesta uz citām līknēm. Vairāk vispārīga definīcija taisnes pieskares līknei līnijai ir saistīta ar robežu teorijas jēdzieniem un tiek detalizēti apskatīta augstākās matemātikas gaitā. Šeit mēs tikai par to runāsim vispārējs jēdziens. Dots aplis un punkts A uz tā (199. att.).

Paņemsim vēl vienu punktu A uz riņķa līnijas un savienosim abus taisnes AA punktus. Ļaujiet punktam A, virzoties pa apli, ieņemt virkni jaunu pozīciju, arvien vairāk tuvojoties punktam A. Taisne AA, griežoties ap A, ieņem vairākas pozīcijas: šajā gadījumā kustīgajam punktam tuvojoties punktam A. , taisnei ir tendence sakrist ar tangensu AT. Tāpēc mēs varam runāt par tangensu kā cauri ejošā sekanta ierobežojošo pozīciju šis punkts un punkts uz līknes, kas tai tuvojas bez ierobežojumiem. Šajā formā pieskares definīcija ir piemērojama līknēm ļoti vispārējs skats(200. att.).

c) Visbeidzot ļaujiet punktam atrasties apļa iekšpusē (201. att.). Tad . Mēs apsvērsim slīpos apļus, kas novilkti uz taisnu līniju a no centra C, un pamatnes virzās prom no punkta jebkurā no diviem iespējamiem virzieniem. Slīpuma garums monotoni palielināsies, kad tā pamatne attālinās no punkta, šis slīpuma garuma pieaugums notiek pakāpeniski (“nepārtraukti”) no vērtībām, kas tuvas līdz patvaļīgi lielām, tāpēc šķiet skaidrs, ka; noteiktā slīpo pamatu pozīcijā to garums būs precīzi vienāds, attiecīgie punkti K un L atrodas uz apļa.

Taisnes un riņķa līnijas relatīvā pozīcija Noskaidrosim, cik kopīgu punktu var būt taisnei un riņķim atkarībā no to relatīvās pozīcijas. Ir skaidrs, ka, ja taisne iet cauri apļa centram, tad tā šķērso apli divos tā diametra galos, kas atrodas uz. šī prima.

Lai tas būtu taisni R neiet cauri rādiusa apļa centram r. Zīmēsim perpendikulu VIŅŠ uz taisnu līniju R un apzīmē ar burtu dšī perpendikula garums, t.i., attālums no šī apļa centra līdz taisnei (1. att. ). Mēs pētām taisnas līnijas un apļa relatīvo stāvokli atkarībā no attiecības starp d Un r. Ir trīs iespējamie gadījumi.

1) d R no punkta N novietojiet malā divus segmentus IESLĒGTS Un NV, garumi, kas ir vienādi (1. att.) Saskaņā ar Pitagora teorēmu OA=,

0 B= Tāpēc punkti A Un IN atrodas uz apļa un tāpēc ir kopīgie līnijas punkti R un dotais aplis.

Pierādīsim, ka līnija R un šim lokam nav citu kopīgu punktu. Pieņemsim, ka tiem ir vēl viens kopīgs punkts C. Tad mediāna O.D. vienādsānu trīsstūris OAS. aiznesa uz bāzi AC, ir šī trīsstūra augstums, tātad PARDlpp. Segmenti O.D. Un VIŅŠ nesakrīt

kopš vidus D segmentu AC neder ar punktu N - segmenta viduspunkts , AB. Mēs atklājām, ka no punkta O tika novilkti divi perpendikuli: VIŅŠ Un OD- uz taisnu līniju R, kas ir neiespējami. Tātad Ja attālums attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par apļa rādiusu (d< р), Tas taisna līnija un aplisIr divi kopīgi punkti.Šajā gadījumā līnija tiek izsaukta sekants attiecībā pret apli.

2) d=r.Šajā gadījumā OH=r, i., punkts N atrodas uz apļa un tāpēc ir līnijas un apļa kopējais punkts (1. att., b). Taisni R un aplim nav citu kopīgu punktu, jo jebkuram punktam M taisni R. atšķiras no punkta N, OM>OH= r(slīpi OM vairāk perpendikulāri VIŅŠ), un tāpēc , punkts M neatrodas uz apļa. Tātad ja sacīkstēmAttālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar rādiusu, tad taisnei un aplim ir tikai viens kopīgs punkts.

3) d>rŠajā gadījumā -OH> r Tāpēc . jebkuram punktam M taisni p 0MON.>r( rīsi . 1,A) Tāpēc punkts M neatrodas uz apļa. Tātad, .ja attālums no apļa centraJa attālums līdz taisnei ir lielāks par apļa rādiusu, tad taisnei un aplim nav kopīgu punktu.

Mēs esam pierādījuši, ka taisnei un aplim var būt viens vai divi kopīgi punkti un var nebūt neviena kopīga punkta. Taisna līnija ar apli tikai viens kopējo punktu sauc par riņķa pieskari, un viņu kopējo punktu sauc par taisnes un apļa pieskares punktu. 2. attēlā ir taisna līnija R- pieskares riņķim ar centru O, A- saskarsmes punkts.

Pierādīsim teorēmu par tangences īpašību.

Teorēma. Apļa pieskare ir perpendikulāra Uz rādiuss, kas novilkts līdz saskares punktam.

Pierādījums. Ļaujiet R- pieskares riņķim ar centru O. A- saskares punkts (skat. 2. att.). Pierādīsim to. kas ir tangenss R perpendikulāri rādiusam OA.

Pieņemsim, ka tas tā nav. Tad rādiuss: OA ir nosliece uz taisnu līniju R. Tā kā perpendikuls, kas novilkts no punkta PAR uz taisnu līniju R, mazāk sliecas OA, tad attālumi no centra PAR aplis uz taisnu līniju R mazāks par rādiusu. Tāpēc taisni R un aplim ir divi kopīgi punkti. Bet tas ir pretrunā ar nosacījumu; taisni R- tangenss. Tādējādi taisni R perpendikulāri rādiusam OA. Teorēma ir pierādīta.

Apsveriet divas pieskares aplim ar centru PAR, kas iet caur punktu A un pieskaroties aplim punktos IN un C (3. att.). Segmenti AB Un AC piezvanīsim pieskares segmentinyh, zīmēts no punkta A. Viņiem ir šāda īpašība, kas izriet no pārbaudītās teorēmas:

Apļa pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta, ir vienādi un veido vienādus leņķus ar taisnu līniju, kas iet caur šo punktu un apļa centru.

Lai pierādītu šo apgalvojumu, pievērsīsimies 3. attēlam. Saskaņā ar teorēmu par tangentes īpašību leņķi 1 un 2 ir taisnleņķi, tātad trijstūri AVO Un ASO taisnstūrveida. Tie ir vienādi, jo tiem ir kopīga hipotenūza OA un vienādas kājas OB Un OS. Tāpēc AB=AC un 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Rīsi. 2 att. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Diametra zīmēšana caur saskares punktu ES, būs: ; Tāpēc

Rīsi. 1 att. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Atkarība starp lokiem, akordiem un akordu attālumiem no centra.

Teorēmas. Vienā lokā vai V vienādi apļi :

1) ja loki ir vienādi, tad akordi, kas tos pakļauj, ir vienādi un vienādi attālināti no centra;

2) ja divi loki, kas mazāki par pusloku, nav vienādi, tad lielāko no tiem apņem lielākā horda un no abiem hordiem lielākais atrodas tuvāk centram .

1) Ļaujiet lokam AB vienāds ar loku CD(1. att.), nepieciešams pierādīt, ka akordi AB un CD vienāds un arī vienāds un perpendikulārs OE Un OF, nolaista no centra uz akordiem.

Pagriezīsim sektoru OAJB ap centru PAR bultiņas norādītajā virzienā tik daudz, lai rādiuss PAR sakrita ar OS. Tad loka VA. dosies lokā CD un to vienlīdzības dēļ šie loki pārklājas. Tas nozīmē, ka akords AS sakrīt ar akordu CD un perpendikulāri OE sakritīs ar OF(no viena punkta tikai vienu perpendikulu var nolaist uz taisnes), t.i. AB=CD Un OE=OF.

2) Ļaujiet lokam AB(2. att.) mazāk loka CD, un turklāt abi loki ir mazāki par pusloku; ir jāpierāda, ka akords AB mazāk akordu CD, un perpendikulāri OE vairāk perpendikulāri OF. Uzliksim uz loka CD loka SK, vienāds ar AB, un uzzīmējiet palīgakordu SK, kas saskaņā ar pierādīto ir vienāds ar akordu AB un vienlīdz tālu no centra. Pie trijstūriem C.O.D. Un SULA viena divas malas ir vienādas ar otras divām malām (tāpat kā rādiusi), bet leņķi, kas atrodas starp šīm malām, nav vienādi; šajā gadījumā, kā zināms, pret lielāko no leņķiem, t.i. lCOD, lielākajai pusei ir jāguļ, kas nozīmē CD>CK, un tāpēc CD>AB.

Lai to pierādītu OE>OF, mēs diriģēsim OLXCK un ņem vērā, ka saskaņā ar to, kas ir pierādīts, OE=OL; tāpēc mums pietiek salīdzināt OF Ar OL. Taisnā trīsstūrī 0 FM(attēlā pārklāts ar domuzīmēm) hipotenūza OM vairāk kāju OF; Bet OL>OM; tas nozīmē vēl jo vairāk OL>OF. un tāpēc OE>OF.

Teorēma, ko pierādījām vienam lokam, paliek patiesa vienādiem apļiem, jo šādi apļi atšķiras viens no otra tikai pēc pozīcijas.

Apgrieztās teorēmas. Tā kā iepriekšējā rindkopā tika aplūkoti visa veida savstarpēji izslēdzoši gadījumi attiecībā uz divu viena un tā paša rādiusa loku salīdzinošo izmēru un tika iegūti savstarpēji izslēdzoši secinājumi par akordu salīdzinošo izmēru un to attālumiem no centra, tad apgrieztajiem priekšlikumiem ir jābūt taisnība, c. tieši tā:

IN viens aplis vai vienādi apļi:

1) vienādi akordi atrodas vienādā attālumā no centra un ir vienādi loki;

2) akordi, kas atrodas vienādā attālumā no centra, ir vienādi un ir vienādi loki;

3) no diviem nevienādiem akordiem lielākais ir tuvāk centram un noliek lielāko loku;

4) no diviem akordiem nevienlīdzīgā attālumā no centra, kas ir tuvāk centram, ir lielāks un izliek lielāku loku.

Šos apgalvojumus var viegli pierādīt ar pretrunām. Piemēram, lai pierādītu pirmo no tiem, mēs spriežam šādi: ja šie akordi veidotu nevienādus lokus, tad saskaņā ar tiešo teorēmu tie nebūtu vienādi, kas ir pretrunā ar nosacījumu; tas nozīmē, ka vienādiem akordiem ir jāietver vienādi loki; un, ja loki ir vienādi, tad saskaņā ar tiešo teorēmu tos apņemošās hordas atrodas vienādā attālumā no centra.

Teorēma. Diametrs ir lielākais no akordiem .

Ja pieslēdzamies centram PAR dažu akordu gali, kas neiet caur centru, piemēram, akords AB(3. att.) tad iegūstam trīsstūri AOB, kurā viena mala ir šī horda, bet pārējās divas ir rādiusi, bet trijstūrī katra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu; tāpēc akords AB mazāks par divu rādiusu summu; tā kā katrs diametrs CD vienāda ar divu rādiusu summu. Tas nozīmē, ka diametrs ir lielāks par jebkuru hordu, kas neiet cauri centram. Bet, tā kā diametrs ir arī horda, mēs varam teikt, ka diametrs ir lielākais no akordiem.

Rīsi. 1 att. 2

Pieskares teorēma.

Kā jau minēts, pieskares segmentiem, kas novilkti uz apli no viena punkta, ir vienāds garums. Šo garumu sauc pieskares attālums no punkta uz apli.

Bez tangences teorēmas nav iespējams atrisināt vairāk nekā vienu uzdevumu par ierakstītiem apļiem, citiem vārdiem sakot, par apļiem, kas skar daudzstūra malas.

Pieskares attālumi trīsstūrī.

Atrodiet to nogriežņu garumus, kuriem ir trijstūra malas ABC tiek dalītas ar pieskares punktiem, kuros ir ierakstīts aplis (1.att., a), piemēram, pieskares attālums tа no punkta A uz apli. Pievienosim malas b Un c, un pēc tam no summas atņemiet malu A. Ņemot vērā no vienas virsotnes novilkto pieskares vienādību, iegūstam 2 tа. Tātad,

ta=(b+c-a)/ 2=p-a,

Kur p=(a+b+c)/ 2 – pusperimetrs dots trīsstūris. Sānu segmentu garums, kas atrodas blakus virsotnēm IN Un AR, ir attiecīgi vienādi p-b Un p-c.

Līdzīgi trijstūra malas pieskarei (ārpusei). A(1. att., b), pieskares attālumi no IN Un AR ir attiecīgi vienādi p-c Un p-b, un no augšas A- Vienkārši lpp.

Ņemiet vērā, ka šīs formulas var izmantot arī pretējā virzienā.

Ļaujiet tai iet uz stūri TU ir ierakstīts aplis, un pieskares attālums no leņķa virsotnes līdz aplim ir vienāds arlpp vaip- a, Kurlpp– trijstūra pusperimetrs ABC, A a=BC. Tad aplis pieskaras līnijai Sv(attiecīgi trijstūra ārpusē vai iekšpusē).

Faktiski pieņemsim, ka, piemēram, pieskares attālums ir vienāds p-a. Tad mūsu apļi pieskaras leņķa malām tajos pašos punktos, kur trijstūra iekšējais aplis ABC, kas nozīmē, ka tas sakrīt ar to. Tāpēc tas pieskaras līnijai Sv.

Apzīmēts četrstūris. No teorēmas par tangenšu vienādību uzreiz izriet (2.a att.), ka

Ja apli var ierakstīt četrstūrī, tad tā pretējo malu summas ir vienādas:

AD+ BC = AB+ CD

Ņemiet vērā, ka aprakstītais četrstūris noteikti ir izliekts. Ir arī pretējais:

Ja četrstūris ir izliekts un tā pretējo malu summas ir vienādas, tad tajā var ierakstīt apli.

Pierādīsim to četrstūrim, kas nav paralelograms. Ļaujiet, piemēram, kādas divas četrstūra pretējās malas AB Un DC, turpinot, tie krustosies punktā E(2.,b att.). Iezīmēsim apli trīsstūrī ADE. Tā pieskares attālums te līdz punktam E izteikts ar formulu

te=½ (AE+ED-AD).

Bet saskaņā ar nosacījumu četrstūra pretējo malu summas ir vienādas, kas nozīmē AD+BC =AB+CD, vai AD=AB+CD-B.C.. Šīs vērtības aizstāšana izteiksmē for te, saņemam

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC) = ½ (BE+EK+BC),

un tas ir trijstūra pusperimetrs B.C.E.. No iepriekš pierādītā pieskares nosacījuma izriet, ka mūsu aplis pieskaras B.C..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Divas pieskares, kas novilktas riņķim no punkta ārpus tā, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar taisni, kas savieno šo punktu ar centru, kas izriet no vienādības taisnie trīsstūri AOB un AOB1

Aplis - ģeometriskā figūra, kas sastāv no visiem plaknes punktiem, kas atrodas noteiktā attālumā no konkrētā punkta.

Šo punktu (O) sauc apļa centrs.
Apļa rādiuss- tas ir segments, kas savieno centru ar jebkuru apļa punktu. Visiem rādiusiem ir vienāds garums (pēc definīcijas).
Akords- segments, kas savieno divus riņķa punktus. Tiek saukta horda, kas iet caur apļa centru diametrs. Apļa centrs ir jebkura diametra viduspunkts.
Jebkuri divi punkti uz riņķa sadala to divās daļās. Katra no šīm daļām tiek saukta apļa loka. Loku sauc puslokā, ja segments, kas savieno tā galus, ir diametrs.
Vienības pusloka garums tiek apzīmēts ar π .
Divu apļa loku ar kopīgiem galiem pakāpes mēru summa ir vienāda ar 360º.
Plaknes daļu, ko ierobežo aplis, sauc visapkārt.
Apļveida sektors- apļa daļa, ko ierobežo loks un divi rādiusi, kas savieno loka galus ar apļa centru. Tiek saukts loks, kas ierobežo sektoru sektora loka.
Tiek saukti divi apļi ar kopīgu centru koncentrisks.
Tiek saukti divi apļi, kas krustojas taisnā leņķī ortogonāls.

Taisnas līnijas un apļa relatīvais novietojums

Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par apļa rādiusu ( d), tad taisnei un aplim ir divi kopīgi punkti. Šajā gadījumā līnija tiek izsaukta sekants attiecībā pret apli.
Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir vienāds ar apļa rādiusu, tad taisnei un aplim ir tikai viens kopīgs punkts. Šo līniju sauc pieskares aplim, un to kopīgo punktu sauc pieskares punkts starp līniju un apli.
Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par apļa rādiusu, tad taisne un aplis nav kopīgu punktu

Centrālie un ierakstītie leņķi

Centrālais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas apļa centrā.
Ierakstītais leņķis- leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa un kura malas krustojas ar apli.

Ierakstītā leņķa teorēma

Ierakstīto leņķi mēra ar loka pusi, uz kuras tas atrodas.

Secinājums 1.
Ierakstītie leņķi, kas atrodas vienā lokā, ir vienādi.

Secinājums 2.
Ierakstīts leņķis, kas noslēgts ar pusloku, ir taisns leņķis.

Teorēma par krustojošo akordu segmentu reizinājumu.

Ja krustojas divi riņķa akordi, tad vienas hordas segmentu reizinājums ir vienāds ar otra horda posmu reizinājumu.

Pamatformulas

Apkārtmērs:

C = 2∙π∙R

Apļa loka garums:

R = С/(2∙π) = D/2

Diametrs:

D = C/π = 2∙R

Apļa loka garums:

l = (π∙R) / 180∙α,
Kur α - pakāpes mērs apļa loka garums)

Apļa laukums:

S = π∙R 2

Apļveida sektora platība:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Apļa vienādojums

Taisnstūra koordinātu sistēmā apļa ar rādiusu vienādojums ir r centrēts punktā C(x o;y o) ir šāda forma:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Apļa ar rādiusu r vienādojumam ar centru sākuma punktā ir šāda forma:

x 2 + y 2 = r 2

Sastādījusi matemātikas skolotāja

MBOU 18. vidusskola, Krasnojarska

Andreeva Inga Viktorovna

Taisnas līnijas un apļa relatīvais novietojums

PAR R – rādiuss

AR D – diametrs

AB- akords

Aplis ar centru punktā PAR rādiuss r
Taisna līnija, kas neiet caur centru PAR
Attālumu no apļa centra līdz taisnei apzīmēsim ar burtu s

Ir iespējami trīs gadījumi:

1) s

mazāk apļa rādiuss, tad taisnei un aplim ir divi kopīgi punkti .

Tiešo AB sauc sekants attiecībā pret apli.

Ir iespējami trīs gadījumi:

2 ) s = r

Ja attālums no apļa centra līdz taisnei vienāds apļa rādiuss, tad taisnei un aplim ir tikai viens kopīgs punkts .

s = r

r Ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par riņķa rādiusu, tad taisnei un aplim nav kopīgu punktu. sr r O" platums = "640"

Ir iespējami trīs gadījumi:

3 ) sr

Ja attālums no apļa centra līdz taisnei vairāk apļa rādiuss, tad taisne un aplis nav kopīgu punktu .

Pieskares aplim

Definīcija: P taisni, kurai ir tikai viens kopīgs punkts ar riņķi, sauc par riņķa pieskari, un to kopīgo punktu sauc par taisnes un riņķa pieskares punktu.

s = r