गणित में किसी फ़ंक्शन की सीमा जैसी कोई चीज़ होती है। यह समझने के लिए कि सीमाएँ कैसे खोजें, आपको किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को याद रखना होगा: एक फ़ंक्शन f (x) में एक बिंदु x पर एक सीमा L होती है = a यदि x के मानों के प्रत्येक अनुक्रम के लिए जो बिंदु पर परिवर्तित होता है ए, वाई के मूल्यों का क्रम दृष्टिकोण:

• एल लिम एफ(एक्स) = एल

सीमा की अवधारणा और गुण

सीमा क्या होती है इसे एक उदाहरण से समझा जा सकता है. मान लीजिए हमारे पास फलन y=1/x है। यदि हम लगातार x का मान बढ़ाते हैं और देखते हैं कि y किसके बराबर है, तो हमें तेजी से घटते मान मिलेंगे: x=10000 y=1/10000 पर; x=1000000 y=1/1000000 पर. वे। जितना अधिक x, उतना कम y. यदि x=∞, y इतना छोटा होगा कि इसे 0 के बराबर माना जा सकता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y=1/x की सीमा जैसे-जैसे x ∞ की ओर बढ़ती है, 0 के बराबर होती है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

• lim1/х=0

किसी फ़ंक्शन की सीमा में कई गुण होते हैं जिन्हें आपको याद रखने की आवश्यकता होती है: इससे सीमाएं ढूंढने में समस्याओं को हल करने में काफी सुविधा होगी:

• राशि सीमा योग के बराबरसीमाएँ: lim(x+y)=lim x+lim y
• उत्पाद सीमा उत्पाद के बराबरसीमाएँ: lim(xy)=lim x*lim y
• भागफल की सीमा सीमा के भागफल के बराबर है: lim(x/y)=lim x/lim y
• स्थिर कारक को सीमा चिह्न से हटा दिया गया है: lim(Cx)=C lim x

फ़ंक्शन y=1/x, जिसमें x →∞ की सीमा शून्य के बराबर है, x→0 के लिए सीमा ∞ के बराबर है;

• lim (sin x)/x=1 x→0

हमने बुनियादी प्राथमिक कार्यों का पता लगा लिया।

अधिक कार्यों की ओर बढ़ते समय जटिल प्रकारहम निश्चित रूप से ऐसे भावों का सामना करेंगे जिनका अर्थ परिभाषित नहीं है। ऐसे भाव कहलाते हैं अनिश्चितताओं.

आइए सब कुछ सूचीबद्ध करें अनिश्चितताओं के मुख्य प्रकार: शून्य को शून्य से विभाजित किया जाता है (0 को 0 से), अनंत को अनंत से विभाजित किया जाता है, शून्य को अनंत से गुणा किया जाता है, अनंत को अनंत से घटाया जाता है, एक को अनंत की घात से, शून्य को शून्य की घात से, अनंत को शून्य की घात से।

अनिश्चितता की अन्य सभी अभिव्यक्तियाँ पूर्णतः विशिष्ट परिमित या अनंत मान नहीं रखती हैं।

अनिश्चितता को उजागर करेंअनुमति देता है:

• किसी फ़ंक्शन के रूप को सरल बनाना (संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति को बदलना, त्रिकोणमितीय सूत्र, संयुग्मी अभिव्यक्तियों द्वारा गुणन के बाद कमी, आदि);
• उल्लेखनीय सीमाओं का उपयोग;
• एल'हॉपिटल के नियम का अनुप्रयोग;
• एक अतिसूक्ष्म अभिव्यक्ति को उसके समकक्ष के साथ प्रतिस्थापित करने का उपयोग करना (समकक्ष अतिसूक्ष्मों की तालिका का उपयोग करके)।

आइए अनिश्चितताओं को समूहबद्ध करें अनिश्चितता तालिका. प्रत्येक प्रकार की अनिश्चितता के लिए हम उसके प्रकटीकरण की एक विधि (सीमा ज्ञात करने की विधि) जोड़ते हैं।

यह तालिका, बुनियादी प्राथमिक कार्यों की सीमाओं की तालिका के साथ, किसी भी सीमा को खोजने में आपका मुख्य उपकरण होगी।

आइए कुछ उदाहरण दें जब मान को प्रतिस्थापित करने के तुरंत बाद सब कुछ काम करता है और अनिश्चितता उत्पन्न नहीं होती है।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

मान प्रतिस्थापित करें:

और हमें तुरंत उत्तर मिल गया.

उत्तर:

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम अपने घातीय पावर फ़ंक्शन के आधार में मान x=0 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यानी सीमा को दोबारा इस तरह लिखा जा सकता है

आइए अब संकेतक पर एक नजर डालते हैं। यह एक पावर फंक्शन है. आइए इसके लिए सीमाओं की तालिका देखें शक्ति कार्यएक नकारात्मक सूचक के साथ. वहां से हमारे पास है और , इसलिए, हम लिख सकते हैं .

इसके आधार पर हमारी सीमा इस प्रकार लिखी जाएगी:

हम फिर से सीमाओं की तालिका की ओर मुड़ते हैं, लेकिन के लिए घातीय कार्यएक से बड़े आधार के साथ, जहां से हमारे पास है:

उत्तर:

आइए विस्तृत समाधानों के साथ उदाहरण देखें भावों को रूपांतरित करके अनिश्चितताओं को उजागर करना.

अक्सर अनिश्चितताओं से छुटकारा पाने के लिए सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति को थोड़ा बदलने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

मान प्रतिस्थापित करें:

हम अनिश्चितता पर पहुंच गये हैं. समाधान विधि का चयन करने के लिए हम अनिश्चितता तालिका को देखते हैं। आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें।

उत्तर:

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

मान प्रतिस्थापित करें:

हम अनिश्चितता (0 से 0) पर आ गए। हम समाधान विधि चुनने के लिए अनिश्चितता तालिका को देखते हैं और अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। आइए अंश और हर दोनों को हर से जुड़े व्यंजक से गुणा करें।

हर के लिए संयुग्मक व्यंजक होगा

हमने हर को गुणा किया ताकि हम संक्षिप्त गुणन सूत्र - वर्गों का अंतर लागू कर सकें और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को कम कर सकें।

परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद, अनिश्चितता गायब हो गई।

उत्तर:

टिप्पणी:इस प्रकार की सीमाओं के लिए, संयुग्मी अभिव्यक्तियों द्वारा गुणा करने की विधि विशिष्ट है, इसलिए इसका उपयोग करने में संकोच न करें।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

मान प्रतिस्थापित करें:

हम अनिश्चितता पर पहुंच गये हैं. हम समाधान विधि चुनने के लिए अनिश्चितता तालिका को देखते हैं और अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूँकि अंश और हर दोनों x = 1 पर लुप्त हो जाते हैं, तो यदि इन भावों को कम किया जा सकता है (x-1) और अनिश्चितता गायब हो जाएगी।

आइए अंश का गुणनखंड करें:

आइए हर का गुणनखंड करें:

हमारी सीमा इस प्रकार होगी:

परिवर्तन के बाद, अनिश्चितता का पता चला.

उत्तर:

आइए शक्ति अभिव्यक्तियों से अनंत की सीमाओं पर विचार करें। यदि घात अभिव्यक्ति के घातांक सकारात्मक हैं, तो अनंत पर सीमा अनंत है। इसके अलावा, सबसे बड़ी डिग्री प्राथमिक महत्व की है; बाकी को त्याग दिया जा सकता है।

उदाहरण।

उदाहरण।

यदि सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति एक अंश है, और अंश और हर दोनों घात अभिव्यक्ति हैं (एम अंश की शक्ति है, और एन हर की शक्ति है), तो जब फॉर्म की अनिश्चितता अनंत से अनंत तक होती है इस मामले में उत्पन्न होता है अनिश्चितता प्रकट होती हैअंश और हर दोनों को विभाजित करना

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

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सीमा की गणना करें

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थोड़ा सिद्धांत.

x->x 0 पर फ़ंक्शन की सीमा

मान लीजिए कि फ़ंक्शन f(x) को किसी सेट X पर परिभाषित किया गया है और बिंदु \(x_0 \in X\) या \(x_0 \notin X\)

आइए हम X से x 0 से भिन्न बिंदुओं का एक क्रम लें:
एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , ..., एक्स एन , ... (1)
x* में परिवर्तित हो रहा है। इस अनुक्रम के बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान एक संख्यात्मक अनुक्रम भी बनाते हैं
एफ(एक्स 1), एफ(एक्स 2), एफ(एक्स 3), ..., एफ(एक्स एन), ... (2)
और कोई इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठा सकता है।

परिभाषा. संख्या A को बिंदु x = x 0 (या x -> x 0 पर) पर फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है, यदि तर्क x के मानों के किसी अनुक्रम (1) के लिए x 0 से भिन्न है x 0 में परिवर्तित होकर, मान फ़ंक्शन का संगत अनुक्रम (2) संख्या A में परिवर्तित हो जाता है।

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

फ़ंक्शन f(x) की बिंदु x 0 पर केवल एक सीमा हो सकती है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि अनुक्रम
(f(x n)) की केवल एक सीमा है।

किसी फ़ंक्शन की सीमा की एक और परिभाषा है।

परिभाषासंख्या A को बिंदु x = x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी भी संख्या \(\varepsilon > 0\) के लिए एक संख्या \(\delta > 0\) है जैसे कि सभी के लिए \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), असमानता को संतुष्ट करते हुए \(|x-x_0| तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| ध्यान दें कि असमानताएं \(x \neq x_0 , \; \(\varepsilon - \delta \)"।
किसी फ़ंक्शन की सीमा की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं और किसी विशेष समस्या को हल करने के लिए कौन अधिक सुविधाजनक है, इसके आधार पर आप इनमें से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं।

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को "अनुक्रमों की भाषा में" हेइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है, और किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को "भाषा में \(\varepsilon - \डेल्टा \)'' को कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है।

x->x 0 - और x->x 0 + पर फ़ंक्शन की सीमा

निम्नलिखित में, हम किसी फ़ंक्शन की एकतरफा सीमाओं की अवधारणाओं का उपयोग करेंगे, जिन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

परिभाषासंख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की दाहिनी (बाएं) सीमा कहा जाता है यदि किसी अनुक्रम (1) के लिए x 0 में परिवर्तित होने पर, जिसके तत्व x n x 0 से अधिक (कम) हैं, संगत अनुक्रम (2) ए में परिवर्तित हो जाता है।

प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा गया है:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

हम किसी फ़ंक्शन की एकतरफ़ा सीमा की समतुल्य परिभाषा "\(\varepsilon - \delta \)" भाषा में दे सकते हैं:

परिभाषाएक संख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की दाईं (बाएं) सीमा कहा जाता है यदि किसी \(\varepsilon > 0\) के लिए \(\delta > 0\) मौजूद है जैसे कि सभी x के लिए संतोषजनक है असमानताएँ \(x_0 प्रतीकात्मक प्रविष्टियाँ:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

अनंत पर किसी फ़ंक्शन की सीमा:
|एफ(एक्स) - ए|< ε при |x| >एन

कॉची सीमा का निर्धारण
मान लीजिए फलन f (एक्स)अनंत पर बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में परिभाषित किया गया है, |x| के साथ > संख्या a को फलन की सीमा कहा जाता हैएफ (एक्स) x अनंत की ओर प्रवृत्त है (), यदि कोई है, तो कितना भी छोटा हो सकारात्मक संख्या ε > 0 , एक संख्या N ε है >के, ε पर निर्भर करता है, जो सभी x, |x| के लिए है > एन ε, फ़ंक्शन मान बिंदु ए के ε-पड़ोस से संबंधित हैं:
|एफ (एक्स)-ए|< ε .
अनंत पर किसी फलन की सीमा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
या कि ।

निम्नलिखित संकेतन का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:
.

आइए अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके इस परिभाषा को लिखें:
.
यह मानता है कि मान फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं।

एकतरफ़ा सीमा

अनंत पर किसी फ़ंक्शन की बाईं सीमा:
|एफ(एक्स) - ए|< ε при x < -N

अक्सर ऐसे मामले होते हैं जहां किसी फ़ंक्शन को केवल सकारात्मक या के लिए परिभाषित किया जाता है नकारात्मक मानचर x (अधिक सटीक रूप से बिंदु के आसपास या )। साथ ही, x के धनात्मक और ऋणात्मक मानों के लिए अनंत पर सीमाएँ हो सकती हैं विभिन्न अर्थ. फिर एकतरफ़ा सीमा का प्रयोग किया जाता है।

अनंत पर बाईं सीमाया x के शून्य से अनंत () की ओर बढ़ने की सीमा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
.
अनंत पर सही सीमाया x के रूप में सीमा प्लस अनंत तक जाती है ():
.
अनंत पर एकतरफ़ा सीमा को अक्सर इस प्रकार दर्शाया जाता है:
; .

अनंत पर किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा

अनंत पर किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा:
|एफ(एक्स)| > M के लिए |x| > एन

कॉची के अनुसार अनंत सीमा की परिभाषा
मान लीजिए फलन f (एक्स)अनंत पर बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में परिभाषित किया गया है, |x| के साथ > K, जहाँ K एक धनात्मक संख्या है। फ़ंक्शन की सीमा एफ (एक्स)चूँकि x अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है (), अनन्त के बराबर है, यदि किसी के लिए, मनमाने ढंग से बड़ी संख्या मेंएम > 0 , ऐसी एक संख्या है एन एम >के, एम पर निर्भर करता है, जो सभी x, |x| के लिए है > एन एम, फ़ंक्शन मान अनंत पर बिंदु के पड़ोस से संबंधित हैं:
|एफ (एक्स) | >एम.
जैसे ही x अनंत की ओर बढ़ता है, अनंत सीमा को इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:
.

इसी प्रकार, और के बराबर कुछ चिह्नों की अनंत सीमाओं की परिभाषाएँ प्रस्तुत की गई हैं:
.
.

अनंत पर एकतरफ़ा सीमा की परिभाषाएँ।
वाम सीमा.
.
.
.
सही सीमा.
.
.
.

हेइन के अनुसार किसी फलन की सीमा का निर्धारण

मान लीजिए फलन f (एक्स)कुछ पर परिभाषित अनंत पर एक बिंदु का पड़ोसएक्स 0 , कहाँ या या .
संख्या a (परिमित या अनंत पर) को फलन f की सीमा कहा जाता है (एक्स)बिंदु x पर 0 :
,
यदि किसी अनुक्रम के लिए (xn), x में परिवर्तित हो रहा है 0 : ,
जिनके तत्व पड़ोस, अनुक्रम से संबंधित हैं (f(xn))एक में परिवर्तित होता है:
.

यदि हम पड़ोस के रूप में अनंत पर एक अहस्ताक्षरित बिंदु के पड़ोस को लेते हैं:, तो हम एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा प्राप्त करते हैं क्योंकि x अनंत की ओर जाता है। यदि हम अनंत पर बिंदु x का बाईं ओर या दाईं ओर का पड़ोस लेते हैं 0 : या, तब हम सीमा की परिभाषा प्राप्त करते हैं क्योंकि x क्रमशः शून्य से अनंत और प्लस अनंत की ओर जाता है।

हेन और कॉची के अनुसार सीमा की परिभाषाएँ समकक्ष.

उदाहरण

उदाहरण 1

यह दिखाने के लिए कॉची की परिभाषा का उपयोग करना
.

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
.
आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। चूँकि भिन्न के अंश और हर बहुपद हैं, फ़ंक्शन उन बिंदुओं को छोड़कर सभी x के लिए परिभाषित किया गया है जिन पर हर गायब हो जाता है। आइए इन बिंदुओं को जानें. आइये निर्णय करें द्विघात समीकरण. ;
.
समीकरण की जड़ें:
; .
चूँकि , तब और .
इसलिए फ़ंक्शन को यहां परिभाषित किया गया है। हम इसे बाद में उपयोग करेंगे.

आइए कॉची के अनुसार अनंत पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा की परिभाषा लिखें:
.
आइए अंतर को बदलें:
.
अंश और हर को से विभाजित करें और गुणा करें -1 :
.

होने देना ।
तब
;
;
;
.

तो, हमने पाया कि जब,
.
.
यह इस प्रकार है कि
पर , और .

चूँकि आप इसे हमेशा बढ़ा सकते हैं, आइए लेते हैं। फिर किसी के लिए,
पर ।
यह मतलब है कि ।

उदाहरण 2

होने देना ।
किसी सीमा की कॉची परिभाषा का उपयोग करके दिखाएँ कि:
1) ;
2) .

1) समाधान क्योंकि x शून्य से अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है

चूँकि, फ़ंक्शन सभी x के लिए परिभाषित है।
आइए माइनस इनफिनिटी के बराबर किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा लिखें:
.

होने देना । तब
;
.

तो, हमने पाया कि जब,
.
सकारात्मक संख्याएँ दर्ज करें और:
.
इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी धनात्मक संख्या M के लिए, एक संख्या होती है, ताकि,
.

यह मतलब है कि ।

2) समाधान क्योंकि x धन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है

आइए मूल फ़ंक्शन को रूपांतरित करें। भिन्न के अंश और हर को गुणा करें और वर्गों के अंतर का सूत्र लागू करें:
.
हमारे पास है:

.
आइए हम फ़ंक्शन की सही सीमा की परिभाषा यहां लिखें:
.

आइए हम संकेतन का परिचय दें: .
आइए अंतर को बदलें:
.
अंश और हर को इससे गुणा करें:
.

होने देना
.
तब
;
.

तो, हमने पाया कि जब,
.
सकारात्मक संख्याएँ दर्ज करें और:
.
यह इस प्रकार है कि
पर और .

चूँकि यह किसी भी धनात्मक संख्या के लिए लागू होता है
.

सन्दर्भ:
सेमी। निकोल्स्की। कुंआ गणितीय विश्लेषण. खंड 1. मॉस्को, 1983।