सेंट्रिपेटल के बराबर क्या है? सेंट्रिपेटल त्वरण - सूत्र व्युत्पत्ति और व्यावहारिक अनुप्रयोग

परिभाषा

केन्द्राभिमुख त्वरणकुल त्वरण का घटक कहा जाता है भौतिक बिंदु, एक घुमावदार पथ के साथ आगे बढ़ना, जो वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन की गति निर्धारित करता है।

कुल त्वरण का एक अन्य घटक स्पर्शरेखीय त्वरण है, जो वेग में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार है। अभिकेंद्रीय त्वरण को दर्शाता है, आमतौर पर $(\overline(a))_n$। अभिकेन्द्रीय त्वरण को सामान्य त्वरण भी कहा जाता है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण इसके बराबर है:

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\दाएं),\]

जहां $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ इकाई वेक्टर है, जो प्रक्षेपवक्र के वक्रता के केंद्र से प्रश्न में बिंदु तक निर्देशित होता है; $r$ विचारित समय पर भौतिक बिंदु के स्थान पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या है।

एच. ह्यूजेंस अभिकेन्द्रीय त्वरण की गणना के लिए सही सूत्र प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे।

अभिकेन्द्रीय त्वरण की माप की इकाई है अंतर्राष्ट्रीय व्यवस्थाइकाइयाँ मीटर को दूसरे वर्ग से विभाजित करती हैं:

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

वृत्त में किसी बिंदु की एकसमान गति के लिए अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र

आइए एक वृत्त के अनुदिश किसी भौतिक बिंदु की एकसमान गति पर विचार करें। इस तरह की गति के साथ, भौतिक बिंदु का वेग अपरिवर्तित रहता है ($v=const$)। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि इस प्रकार की गति के साथ किसी भौतिक बिंदु का कुल त्वरण शून्य है। तात्कालिक वेग वेक्टर उस वृत्त की ओर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है जिसके अनुदिश बिंदु घूम रहा है। फलस्वरूप इस गति में गति लगातार अपनी दिशा बदलती रहती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बिंदु में त्वरण है।

आइए बिंदु ए और बी पर विचार करें जो कण के प्रक्षेपवक्र पर स्थित हैं। हम बिंदु A और B के लिए वेग परिवर्तन वेक्टर को इस प्रकार पाते हैं:

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]

यदि बिंदु A से बिंदु B तक जाने में व्यतीत समय शून्य हो जाता है, तो चाप AB, जीवा AB से अधिक भिन्न नहीं होता है। त्रिभुज AOB और BMN समरूप हैं, हमें प्राप्त होता है:

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]

औसत त्वरण मॉड्यूल का परिमाण इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:

\[\left\langel a\right\rangel =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]

आइए फॉर्मूला (4) में $\left\langel a\right\rangle \ \ $ से $\Delta t\to 0\ $ की सीमा पर जाएं:

औसत त्वरण वेक्टर वेग वेक्टर के बराबर एक कोण बनाता है:

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]

$\Delta t\to 0\ $ कोण $\alpha \to 0.$ पर यह पता चलता है कि तात्कालिक त्वरण वेक्टर वेग वेक्टर के साथ एक कोण $\frac(\pi )(2)$ बनाता है।

और इसलिए कि एक वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमने वाले एक भौतिक बिंदु में एक त्वरण होता है जो वृत्त के केंद्र ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$) की ओर निर्देशित होता है, इसका मान गति के बराबर होता है वर्ग को त्रिज्या वृत्तों से विभाजित किया गया:

जहां $\omega $ एक भौतिक बिंदु की गति का कोणीय वेग है ($v=\omega \cdot R$)। सदिश रूप में, अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र (7) के आधार पर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]

जहां $\overline(R)$ त्रिज्या वेक्टर है, जो वृत्ताकार चाप की त्रिज्या की लंबाई के बराबर है, जो वक्रता के केंद्र से विचाराधीन भौतिक बिंदु के स्थान तक निर्देशित है।

समाधान सहित समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम।वेक्टर समीकरण $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right) )\ )\ )$, जहां $\omega =2\ \frac(rad)(s),$ एक भौतिक बिंदु की गति का वर्णन करता है। यह किस पथ पर चल रहा है? दिया गया बिंदु? क्यों मापांक बराबर हैइसका अभिकेन्द्रीय त्वरण? एसआई प्रणाली में सभी मात्राओं पर विचार करें।

समाधान।एक बिंदु की गति के समीकरण पर विचार करें:

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \बाएं(1.1\दाएं).\]

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, यह समीकरण समीकरणों की प्रणाली के बराबर है:

\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(सरणी) \left(1.2\right).\right.\]

यह समझने के लिए कि बिंदु किस प्रक्षेप पथ पर आगे बढ़ रहा है, हमें सिस्टम के समीकरण (1.2) से समय को बाहर करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं:

समीकरण (1.3) से हम देखते हैं कि बिंदु का प्रक्षेप पथ एक वृत्त है (चित्र 2) जिसकी त्रिज्या $R=1$ m है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

आइए समीकरणों की प्रणाली (1.2) का उपयोग करके वेग मॉड्यूल निर्धारित करें। आइए वे वेग घटक खोजें जो इसके बराबर हैं:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]

वेग मापांक का वर्ग इसके बराबर होगा:

वेग के परिणामी मापांक (1.6) से, हम देखते हैं कि हमारा बिंदु वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमता है, इसलिए, अभिकेन्द्रीय त्वरण कुल त्वरण के साथ मेल खाएगा।

(1.6) से $v^2$ को सूत्र (1.4) में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

आइए $a_n$ की गणना करें:

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(s^2)\right).$

उत्तर। 1) वृत्त; 2) $a_n=4\ \frac(m)(s^2)$

उदाहरण 2

व्यायाम।$t=2$c के बराबर एक समय में डिस्क के रिम पर बिंदुओं का सेंट्रिपेटल त्वरण क्या है, यदि डिस्क समीकरण के अनुसार घूमती है: $\varphi (t)=3+2t^3$? डिस्क की त्रिज्या $R=0,(\rm 1)$ m है।

समाधान।हम सूत्र का उपयोग करके डिस्क पर बिंदुओं के अभिकेन्द्रीय त्वरण की तलाश करेंगे:

हम समीकरण $\varphi (t)=3+2t^3$ का उपयोग करके कोणीय वेग ज्ञात करते हैं:

\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]

$t=2\ $c पर कोणीय वेग बराबर है:

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

आप सूत्र (2.1) का उपयोग करके अभिकेन्द्रीय त्वरण की गणना कर सकते हैं:

उत्तर।$a_n=57.6\frac(m)(s^2)$

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इससे निकलने वाली दो किरणें एक कोण बनाती हैं। इसका मान रेडियन और डिग्री दोनों में परिभाषित किया जा सकता है। अब, केंद्र बिंदु से कुछ दूरी पर, मानसिक रूप से एक वृत्त बनाएं। कोण का माप, जिसे रेडियन में व्यक्त किया जाता है, दो किरणों द्वारा अलग किए गए चाप L की लंबाई का केंद्र बिंदु और वृत्त की रेखा (R) के बीच की दूरी के मान का गणितीय अनुपात है, जो है:

यदि हम अब वर्णित प्रणाली को भौतिक के रूप में कल्पना करते हैं, तो हम न केवल कोण और त्रिज्या की अवधारणा को लागू कर सकते हैं, बल्कि अभिकेन्द्रीय त्वरण, घूर्णन आदि को भी लागू कर सकते हैं। उनमें से अधिकांश घूमते हुए वृत्त पर स्थित एक बिंदु के व्यवहार का वर्णन करते हैं। वैसे, एक ठोस डिस्क को वृत्तों के एक समूह द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, जिसका अंतर केवल केंद्र से दूरी में होता है।

ऐसी घूर्णन प्रणाली की एक विशेषता इसकी कक्षीय अवधि है। यह उस समय मान को इंगित करता है जिसके दौरान एक मनमाने वृत्त पर एक बिंदु अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाएगा या, जो कि सत्य भी है, 360 डिग्री घूम जाएगा। स्थिर घूर्णन गति पर, पत्राचार T = (2*3.1416) / Ug संतुष्ट है (इसके बाद Ug कोण है)।

घूर्णन गति 1 सेकंड में किए गए पूर्ण क्रांतियों की संख्या को इंगित करती है। स्थिर गति से हमें v = 1/T प्राप्त होता है।

समय और तथाकथित घूर्णन कोण पर निर्भर करता है। अर्थात्, यदि हम वृत्त पर एक मनमाना बिंदु A को मूल बिंदु के रूप में लेते हैं, तो जब सिस्टम घूमता है, तो यह बिंदु समय t में A1 पर चला जाएगा, जिससे त्रिज्या A-केंद्र और A1-केंद्र के बीच एक कोण बनेगा। समय और कोण को जानकर आप कोणीय वेग की गणना कर सकते हैं।

और चूंकि एक वृत्त, गति और गति है, इसका मतलब है कि सेंट्रिपेटल त्वरण भी मौजूद है। यह उन घटकों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है जो वक्ररेखीय गति के मामले में गति का वर्णन करता है। शब्द "सामान्य" और "केन्द्राभिमुख त्वरण" समान हैं। अंतर यह है कि दूसरे का उपयोग एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है जब त्वरण वेक्टर को सिस्टम के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है। इसलिए, यह जानना हमेशा आवश्यक होता है कि पिंड (बिंदु) कैसे चलता है और उसका अभिकेन्द्रीय त्वरण कैसे होता है। इसकी परिभाषा इस प्रकार है: यह गति के परिवर्तन की दर है, जिसका वेक्टर वेक्टर की दिशा के लंबवत निर्देशित होता है और बाद की दिशा को बदलता है। विश्वकोश में कहा गया है कि अध्ययन करना यह मुद्दाह्यूजेन्स ने अध्ययन किया। उनके द्वारा प्रस्तावित अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:

एसीएस = (वी*वी) / आर,

जहाँ r यात्रा पथ की वक्रता त्रिज्या है; वी - गति की गति।

सेंट्रिपेटल त्वरण की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र अभी भी उत्साही लोगों के बीच गरमागरम बहस का कारण बनता है। उदाहरण के लिए, हाल ही में एक दिलचस्प सिद्धांत सामने आया है।

ह्यूजेंस, प्रणाली पर विचार करते हुए, इस तथ्य से आगे बढ़े कि शरीर प्रारंभिक बिंदु ए पर मापी गई गति वी के साथ त्रिज्या आर के एक चक्र में चलता है। चूंकि जड़ता वेक्टर को निर्देशित किया जाता है, एक प्रक्षेपवक्र एक सीधी रेखा के रूप में प्राप्त होता है एबी. हालाँकि, अभिकेंद्री बल शरीर को बिंदु C पर वृत्त पर रखता है। यदि हम केंद्र को O के रूप में चिह्नित करते हैं और रेखाएँ AB, BO (BS और CO का योग), साथ ही AO खींचते हैं, तो हमें एक त्रिकोण मिलता है। पाइथागोरस के नियम के अनुसार:

BS=(a*(t*t)) / 2, जहां a त्वरण है; t - समय (a*t*t गति है)।

यदि अब हम पायथागॉरियन सूत्र का उपयोग करें, तो:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, जहां R त्रिज्या है, और गुणन चिह्न के बिना अल्फ़ान्यूमेरिक वर्तनी डिग्री है।

ह्यूजेन्स ने स्वीकार किया कि चूंकि समय t छोटा है, इसलिए इसे गणना में नजरअंदाज किया जा सकता है। पिछले सूत्र को परिवर्तित करने के बाद, वह सुप्रसिद्ध Acs = (v*v) / r पर आ गयी।

हालाँकि, चूँकि समय को वर्ग में लिया जाता है, एक प्रगति उत्पन्न होती है: जितना बड़ा t, उतनी अधिक त्रुटि। उदाहरण के लिए, 0.9 के लिए लगभग 20% का कुल मूल्य बेहिसाब है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण की अवधारणा किसके लिए महत्वपूर्ण है? आधुनिक विज्ञान, लेकिन, जाहिर है, इस मुद्दे को खत्म करना जल्दबाजी होगी।

एक वस्तु जो त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमती है आरएकसमान स्पर्शरेखीय गति के साथ यूवेग सदिश है वी, जिसका परिमाण स्थिर है, लेकिन जिसकी दिशा लगातार बदलती रहती है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी वस्तु में त्वरण होना चाहिए, क्योंकि (वेक्टर) (वेक्टर) गति के परिवर्तन की दर है, और (वेक्टर) गति वास्तव में समय में भिन्न होती है।

मान लीजिए कोई वस्तु एक बिंदु से गति कर रही है पीमुद्दे पर क्यूसमय के बीच टीऔर, टी + δ टीजैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है। आइए आगे मान लें कि वस्तु घूमती है δθ इस अवधि के दौरान रेडियंस. वेक्टर, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, वेक्टर के समान है। इसके अलावा, वेक्टर और इसके बीच का कोण δθ . वेक्टर वेग वेक्टर में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, δ वी, समय के बीच टीऔर टी + δ टी. इससे यह स्पष्ट है कि यह वेक्टर वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित है। मानक त्रिकोणमिति से, एक वेक्टर की लंबाई है:

हालाँकि, छोटे कोणों पर पाप θ ≃ θ , उसे उपलब्ध कराया θ रेडियन में मापा जाता है। इस तरह,

δv ≃ v δθ.

कहाँ रेडियन प्रति सेकंड में वस्तु का कोणीय वेग है। इस प्रकार, एक वस्तु त्रिज्या के साथ वृत्ताकार कक्षा में घूम रही है आर, एकसमान स्पर्शरेखीय गति से वी, और एकसमान कोणीय वेग का त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है - अर्थात, केन्द्राभिमुख त्वरण- आकार:

आइए मान लें कि द्रव्यमान वाला एक पिंड एम, एक केबल के अंत से जुड़ा हुआ, लंबाई आर, और इस तरह घूमता है कि शरीर त्रिज्या के एक क्षैतिज वृत्त का वर्णन करता है आर, एकसमान स्पर्शरेखीय गति के साथ वी. जैसा कि हमने अभी सीखा, किसी पिंड में परिमाण का अभिकेन्द्रीय त्वरण होता है। इसलिए, शरीर एक अभिकेन्द्रीय बल का अनुभव करता है

यह शक्ति क्या देती है? ठीक है, चालू इस उदाहरण में, बल केबल के तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है। इस तरह, .

आइए मान लें कि केबल ऐसी है कि यह तब टूट जाती है जब इसमें वोल्टेज एक निश्चित महत्वपूर्ण मान से अधिक हो जाता है। इससे यह पता चलता है कि वहाँ है अधिकतम गति, जिसके साथ शरीर चल सकता है, अर्थात्:

अगर वीसे अधिक है वी अधिकतम, केबल टूट जाएगी। एक बार जब केबल टूट जाती है, तो शरीर को सेंट्रिपेटल बल का अनुभव नहीं होगा, इसलिए यह गति से आगे बढ़ेगा वी अधिकतमएक सीधी रेखा के साथ जो पहले से मौजूद गोलाकार कक्षा की स्पर्शरेखा है।

केन्द्राभिमुख त्वरण- एक बिंदु के त्वरण का घटक, वक्रता के साथ प्रक्षेपवक्र के लिए वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन की गति को दर्शाता है (दूसरा घटक, स्पर्शरेखीय त्वरण, वेग मॉड्यूल में परिवर्तन को दर्शाता है)। प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित, जहां से यह शब्द आया है। मान वक्रता त्रिज्या से विभाजित गति के वर्ग के बराबर है। शब्द "केन्द्राभिमुख त्वरण" शब्द के समतुल्य है सामान्य त्वरण" बलों के योग का वह घटक जो इस त्वरण का कारण बनता है, अभिकेन्द्रीय बल कहलाता है।

अधिकांश सरल उदाहरणअभिकेन्द्रीय त्वरण त्वरण सदिश है एकसमान गतिपरिधीय रूप से (वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित)।

तीव्र त्वरणअक्ष के लंबवत समतल पर प्रक्षेपण में, यह अभिकेन्द्रीय के रूप में दिखाई देता है।

विश्वकोश यूट्यूब

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  A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)

  कहाँ a n (\displaystyle a_(n)\ )- सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरण, वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी\ )- (तात्कालिक) प्रक्षेपवक्र के साथ गति की रैखिक गति, ω (\displaystyle \ओमेगा \ )- (तात्कालिक) प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र के सापेक्ष इस आंदोलन का कोणीय वेग, आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर\ )- किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या। (पहले सूत्र और दूसरे के बीच संबंध स्पष्ट है, दिया गया है v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).

  उपरोक्त भावों में निरपेक्ष मान शामिल हैं। इन्हें गुणा करके सदिश रूप में आसानी से लिखा जा सकता है ई आर (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र से दिए गए बिंदु तक इकाई वेक्टर:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) ए एन = ω 2 आर . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)

  ये सूत्र एक स्थिर (निरपेक्ष मान में) गति के साथ गति के मामले में और एक मनमाना मामले पर समान रूप से लागू होते हैं। हालाँकि, दूसरे में, किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि सेंट्रिपेटल त्वरण पूर्ण त्वरण वेक्टर नहीं है, बल्कि केवल प्रक्षेपवक्र के लंबवत इसका घटक है (या, जो समान है, तात्कालिक वेग वेक्टर के लंबवत); पूर्ण त्वरण वेक्टर में एक स्पर्शरेखीय घटक भी शामिल होता है ( स्पर्शरेखा त्वरण) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ मेल खाने वाली दिशा में (या, तात्कालिक गति के साथ, जो समान है)।

  प्रेरणा एवं निष्कर्ष

  तथ्य यह है कि त्वरण वेक्टर का घटकों में अपघटन - एक वेक्टर प्रक्षेपवक्र (स्पर्शरेखा त्वरण) के स्पर्शरेखा के साथ और दूसरा इसके ऑर्थोगोनल (सामान्य त्वरण) के साथ - सुविधाजनक और उपयोगी हो सकता है, यह अपने आप में काफी स्पष्ट है। स्थिर मापांक गति के साथ चलते समय, स्पर्शरेखीय घटक शून्य के बराबर हो जाता है, अर्थात इस महत्वपूर्ण विशेष मामले में यह बना रहता है केवलसामान्य घटक. इसके अलावा, जैसा कि नीचे देखा जा सकता है, इनमें से प्रत्येक घटक में स्पष्ट रूप से परिभाषित गुण और संरचना है, और सामान्य त्वरण में इसके सूत्र की संरचना में काफी महत्वपूर्ण और गैर-तुच्छ ज्यामितीय सामग्री शामिल है। वृत्ताकार गति के महत्वपूर्ण विशेष मामले का उल्लेख नहीं किया गया है।

  औपचारिक निष्कर्ष

  स्पर्शरेखीय और सामान्य घटकों में त्वरण का अपघटन (जिनमें से दूसरा सेंट्रिपेटल या सामान्य त्वरण है) वेग वेक्टर के समय के संबंध में अंतर करके पाया जा सकता है, जिसे फॉर्म में प्रस्तुत किया गया है v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर के माध्यम से ई τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( एन)\ ,)

  यहां हम प्रक्षेपवक्र के सामान्य इकाई वेक्टर के लिए नोटेशन का उपयोग करते हैं एल (\डिस्प्लेस्टाइल एल\ )- वर्तमान प्रक्षेपवक्र लंबाई के लिए ( एल = एल (टी) (\displaystyle एल=एल(टी)\ )); अंतिम संक्रमण भी स्पष्ट का उपयोग करता है d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).

  v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

  सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरण. इसके अलावा, इसका अर्थ, इसमें शामिल वस्तुओं का अर्थ, साथ ही इस तथ्य का प्रमाण है कि यह वास्तव में स्पर्शरेखा वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है (अर्थात, वह e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- वास्तव में एक सामान्य वेक्टर) - ज्यामितीय विचारों का पालन करेगा (हालांकि, यह तथ्य कि समय के संबंध में निरंतर लंबाई के किसी भी वेक्टर का व्युत्पन्न इस वेक्टर के लंबवत है, एक काफी सरल तथ्य है; इस मामले में हम इस कथन को लागू करते हैं d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

  टिप्पणियाँ

  यह नोटिस करना आसान है कि स्पर्शरेखीय त्वरण का निरपेक्ष मान केवल दिशात्मक त्वरण पर निर्भर करता है, जो इसके निरपेक्ष मान से मेल खाता है, इसके विपरीत निरपेक्ष मूल्यसामान्य त्वरण, जो ज़मीनी त्वरण पर निर्भर नहीं करता, बल्कि ज़मीनी गति पर निर्भर करता है।

  यहां प्रस्तुत विधियों, या उनकी विविधताओं का उपयोग किसी वक्र की वक्रता और वक्र की वक्रता की त्रिज्या जैसी अवधारणाओं को पेश करने के लिए किया जा सकता है (क्योंकि ऐसे मामले में जहां वक्र एक वृत्त है, आरऐसे वृत्त की त्रिज्या से मेल खाता है; यह दर्शाना अधिक कठिन नहीं है कि वृत्त समतल में है e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ )दिशा में केन्द्र के साथ e n (\displaystyle e_(n)\ )किसी दिए गए बिंदु से दूरी पर आरइससे - दिए गए वक्र के साथ मेल खाएगा - प्रक्षेपवक्र - दिए गए बिंदु की दूरी में लघुता के दूसरे क्रम तक)।

  कहानी

  अभिकेन्द्रीय त्वरण (या केन्द्रापसारक बल) के लिए सही सूत्र प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति, जाहिरा तौर पर, ह्यूजेंस थे। लगभग इसी समय से अभिकेन्द्रीय त्वरण पर विचार करना यांत्रिक समस्याओं आदि को हल करने की सामान्य तकनीक का हिस्सा बन गया है।

  कुछ समय बाद, इन सूत्रों ने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई (अभिकेंद्रीय त्वरण के सूत्र का उपयोग निर्भरता के नियम को प्राप्त करने के लिए किया गया था) गुरुत्वाकर्षण बलगुरुत्वाकर्षण के स्रोत की दूरी से, अवलोकनों से प्राप्त केप्लर के तीसरे नियम के आधार पर)।

  को 19 वीं सदीशुद्ध विज्ञान और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों दोनों के लिए सेंट्रिपेटल त्वरण पर विचार पहले से ही पूरी तरह से नियमित होता जा रहा है।