Introduceret af os lineære operationer på vektorer gøre det muligt at skabe forskellige udtryk for vektor mængder og transformere dem ved hjælp af egenskaberne indstillet til disse operationer.

Baseret på et givet sæt af vektorer a 1, ..., a n, kan du skabe et udtryk for formen

hvor a 1, ... og n er vilkårlige reelle tal. Dette udtryk kaldes lineær kombination af vektorer a 1, ..., en n. Tallene α i, i = 1, n, repræsenterer lineære kombinationskoefficienter. Et sæt vektorer kaldes også system af vektorer.

I forbindelse med det introducerede koncept om en lineær kombination af vektorer opstår problemet med at beskrive et sæt af vektorer, der kan skrives som en lineær kombination af et givet system af vektorer a 1, ..., a n. Derudover er der naturlige spørgsmål om de forhold, hvorunder der er en repræsentation af en vektor i form af en lineær kombination, og om det unikke ved en sådan repræsentation.

Definition 2.1. Vektorerne a 1, ... og n kaldes lineært afhængig, hvis der er et sæt koefficienter α 1 , ... , α n sådan at

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

og mindst én af disse koefficienter er ikke-nul. Hvis det angivne sæt koefficienter ikke eksisterer, kaldes vektorerne lineært uafhængig.

Hvis α 1 = ... = α n = 0, så er naturligvis α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Med dette i tankerne kan vi sige dette: vektorer a 1, ..., og n er lineært uafhængige, hvis det følger af lighed (2.2), at alle koefficienter α 1 , ... , α n er lig med nul.

Følgende sætning forklarer, hvorfor det nye koncept kaldes udtrykket "afhængighed" (eller "uafhængighed"), og giver et simpelt kriterium for lineær afhængighed.

Sætning 2.1. For at vektorerne a 1, ... og n, n > 1 skal være lineært afhængige, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at en af ​​dem er en lineær kombination af de andre.

◄ Nødvendighed. Lad os antage, at vektorerne a 1, ... og n er lineært afhængige. Ifølge definition 2.1 af lineær afhængighed er der i lighed (2.2) til venstre mindst én koefficient, der ikke er nul, for eksempel α 1. Forlader den første periode på venstre side af ligheden, flytter vi resten til højre side og ændrer deres tegn som sædvanligt. Ved at dividere den resulterende lighed med α 1 får vi

a 1 =-α 2/α 1 ⋅ a 2 - ... - α n/α 1 ⋅ a n

de der. repræsentation af vektor a 1 som en lineær kombination af de resterende vektorer a 2, ..., a n.

Tilstrækkelighed. Lad for eksempel den første vektor a 1 repræsenteres som en lineær kombination af de resterende vektorer: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Ved at overføre alle led fra højre side til venstre får vi a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, dvs. en lineær kombination af vektorer a 1, ..., a n med koefficienterne α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, lig med nul vektor. I denne lineære kombination er ikke alle koefficienter nul. Ifølge definition 2.1 er vektorerne a 1, ... og n lineært afhængige.

Definitionen og kriteriet for lineær afhængighed er formuleret til at antyde tilstedeværelsen af ​​to eller flere vektorer. Vi kan dog også tale om en lineær afhængighed af en vektor. For at realisere denne mulighed skal du i stedet for "vektorer er lineært afhængige" sige "systemet af vektorer er lineært afhængige." Det er let at se, at udtrykket "et system af én vektor er lineært afhængigt" betyder, at denne enkelte vektor er nul (i en lineær kombination er der kun én koefficient, og den bør ikke være lig med nul).

Begrebet lineær afhængighed har en simpel geometrisk fortolkning. De følgende tre udsagn tydeliggør denne fortolkning.

Sætning 2.2. To vektorer er lineært afhængige, hvis og kun hvis de collineær.

◄ Hvis vektorerne a og b er lineært afhængige, så udtrykkes den ene af dem, for eksempel a, gennem den anden, dvs. a = λb for et reelt tal λ. Ifølge definition 1.7 arbejder vektorer pr. tal, vektorer a og b er kollineære.

Lad nu vektorerne a og b være kollineære. Hvis de begge er nul, så er det indlysende, at de er lineært afhængige, da enhver lineær kombination af dem er lig med nulvektoren. Lad en af ​​disse vektorer ikke være lig med 0, for eksempel vektor b. Lad os betegne forholdet mellem vektorlængder med λ: λ = |a|/|b|. Kollineære vektorer kan være ensrettet eller modsat rettet. I sidstnævnte tilfælde ændrer vi tegnet for λ. Ved at kontrollere definition 1.7 er vi overbevist om, at a = λb. Ifølge sætning 2.1 er vektorerne a og b lineært afhængige.

Bemærkning 2.1. I tilfælde af to vektorer, under hensyntagen til kriteriet om lineær afhængighed, kan den beviste sætning omformuleres som følger: to vektorer er kollineære, hvis og kun hvis en af ​​dem er repræsenteret som produktet af den anden af ​​et tal. Dette er et bekvemt kriterium for to vektorers kollinearitet.

Sætning 2.3. Tre vektorer er lineært afhængige, hvis og kun hvis de koplanar.

◄ Hvis tre vektorer a, b, c er lineært afhængige, så er en af ​​dem, for eksempel a, ifølge sætning 2.1 en lineær kombination af de andre: a = βb + γc. Lad os kombinere oprindelsen af ​​vektorerne b og c i punkt A. Så vil vektorerne βb, γс have en fælles oprindelse i punkt A og langs ifølge parallelogramreglen er deres sum de der. vektor a vil være en vektor med oprindelse A og slutningen, som er toppunktet for et parallelogram bygget på komponentvektorer. Alle vektorer ligger således i samme plan, dvs. coplanar.

Lad vektorerne a, b, c være koplanære. Hvis en af ​​disse vektorer er nul, så er det indlysende, at det vil være en lineær kombination af de andre. Det er nok at tage alle koefficienter af en lineær kombination lig med nul. Derfor kan vi antage, at alle tre vektorer ikke er nul. Kompatibel startede af disse vektorer i et fælles punkt O. Lad deres ender være henholdsvis punkt A, B, C (fig. 2.1). Gennem punkt C trækker vi linjer parallelt med linjer, der går gennem par af punkt O, A og O, B. Ved at betegne skæringspunkterne som A" og B" får vi et parallelogram OA"CB", derfor OC" = OA" + OB". Vector OA" og ikke-nul-vektoren a = OA er kollineære, og derfor kan den første af dem opnås ved at gange den anden med et reelt tal α:OA" = αOA. Tilsvarende er OB" = βOB, β ∈ R. Som et resultat opnår vi, at OC" = α OA. + βOB, dvs. vektor c er en lineær kombination af vektorerne a og b. Ifølge sætning 2.1 er vektorerne a, b, c lineært afhængige.

Sætning 2.4. Alle fire vektorer er lineært afhængige.

◄ Vi udfører beviset efter samme skema som i sætning 2.3. Overvej vilkårlige fire vektorer a, b, c og d. Hvis en af ​​de fire vektorer er nul, eller blandt dem er der to kollineære vektorer, eller tre af de fire vektorer er koplanære, så er disse fire vektorer lineært afhængige. For eksempel, hvis vektorerne a og b er kollineære, så kan vi lave deres lineære kombination αa + βb = 0 med koefficienter, der ikke er nul, og derefter tilføje de resterende to vektorer til denne kombination, idet vi tager nuller som koefficienter. Vi opnår en lineær kombination af fire vektorer lig med 0, hvori der er koefficienter, der ikke er nul.

Vi kan således antage, at blandt de udvalgte fire vektorer er ingen vektorer nul, to er kollineære, og ingen tre er koplanære. Lad os vælge punkt O som deres fælles begyndelse. Så vil enderne af vektorerne a, b, c, d være nogle punkter A, B, C, D (fig. 2.2). Gennem punkt D trækker vi tre planer parallelt med planerne OBC, OCA, OAB, og lader A", B", C" være skæringspunkterne for disse planer med de rette linjer henholdsvis OA, OB, OS. Vi opnår en parallelepipedum OA" C "B" C" B"DA", og vektorerne a, b, c ligger på dens kanter, der kommer ud fra toppunktet O. Da firkanten OC"DC" er et parallelogram, så er OD = OC" + OC " Til gengæld er segmentet OC" et parallelogram OA"C"B", så OC" = OA" + OB" og OD = OA" + OB" + OC".

Det er tilbage at bemærke, at parrene af vektorer OA ≠ 0 og OA", OB ≠ 0 og OB", OC ≠ 0 og OC" er collineære, og derfor er det muligt at vælge koefficienterne α, β, γ, så OA" = αOA, OB" = βOB og OC" = γOC. Vi får endelig OD = αOA + βOB + γOC. Følgelig udtrykkes OD-vektoren gennem de tre andre vektorer, og alle fire vektorer er ifølge sætning 2.1 lineært afhængige.

Lineær afhængighed og lineær uafhængighed af vektorer.
Grundlag for vektorer. Affint koordinatsystem

Der er en vogn med chokolade i auditoriet, og hver besøgende i dag får et sødt par - analytisk geometri med lineær algebra. Denne artikel vil berøre to sektioner af højere matematik på én gang, og vi vil se, hvordan de sameksisterer i én indpakning. Tag en pause, spis en Twix! ... for fanden, sikke noget sludder. Selvom, okay, jeg ikke scorer, bør du i sidste ende have en positiv holdning til at studere.

Lineær afhængighed af vektorer, lineær vektoruafhængighed, basis af vektorer og andre udtryk har ikke kun en geometrisk fortolkning, men frem for alt en algebraisk betydning. Selve begrebet "vektor" fra lineær algebras synspunkt er ikke altid den "almindelige" vektor, som vi kan afbilde på et plan eller i rummet. Du behøver ikke lede langt efter bevis, prøv at tegne en vektor af femdimensionelt rum . Eller vejrvektoren, som jeg lige har været på Gismeteo for: henholdsvis temperatur og atmosfærisk tryk. Eksemplet er selvfølgelig forkert set fra vektorrummets egenskaber, men ikke desto mindre forbyder ingen at formalisere disse parametre som en vektor. Efterårets pust...

Nej, jeg vil ikke kede dig med teori, lineære vektorrum, opgaven er at forstå definitioner og teoremer. De nye termer (lineær afhængighed, uafhængighed, lineær kombination, basis osv.) gælder for alle vektorer fra et algebraisk synspunkt, men geometriske eksempler vil blive givet. Alt er således enkelt, tilgængeligt og overskueligt. Ud over problemer med analytisk geometri vil vi også overveje nogle typiske algebraproblemer. For at mestre materialet er det tilrådeligt at sætte sig ind i lektionerne Vektorer til dummies Og Hvordan beregner man determinanten?

Lineær afhængighed og uafhængighed af planvektorer.
Plangrundlag og affint koordinatsystem

Lad os overveje planen på dit computerbord (bare et bord, natbord, gulv, loft, hvad end du kan lide). Opgaven vil bestå af følgende handlinger:

1) Vælg flybasis. Groft sagt har en bordplade en længde og en bredde, så det er intuitivt, at der skal to vektorer til for at konstruere grundlaget. En vektor er tydeligvis ikke nok, tre vektorer er for meget.

2) Baseret på det valgte grundlag sæt koordinatsystem(koordinatgitter) for at tildele koordinater til alle objekter på bordet.

Bliv ikke overrasket, i første omgang vil forklaringerne være på fingrene. Desuden på din. Placer venligst venstre pegefinger på kanten af ​​bordpladen, så han kigger på skærmen. Dette vil være en vektor. Placer nu højre lillefinger på kanten af ​​bordet på samme måde - så den er rettet mod monitorskærmen. Dette vil være en vektor. Smil, du ser godt ud! Hvad kan vi sige om vektorer? Data vektorer collineær, hvilket betyder lineær udtrykt gennem hinanden:
, godt, eller omvendt: , hvor er et eller andet tal forskelligt fra nul.

Du kan se et billede af denne handling i klassen. Vektorer til dummies, hvor jeg forklarede reglen for at gange en vektor med et tal.

Vil dine fingre sætte grundlaget på computerbordets plan? Tydeligvis ikke. Kollineære vektorer rejser frem og tilbage på tværs alene retning, og et plan har længde og bredde.

Sådanne vektorer kaldes lineært afhængig.

Reference: Ordene "lineær", "lineært" betegner det faktum, at der i matematiske ligninger og udtryk ikke er kvadrater, terninger, andre potenser, logaritmer, sinus osv. Der er kun lineære (1. grads) udtryk og afhængigheder.

To plan vektorer lineært afhængig hvis og kun hvis de er collineære.

Kryds fingre på bordet, så der er en anden vinkel mellem dem end 0 eller 180 grader. To plan vektorerlineær Ikke afhængige hvis og kun hvis de ikke er collineære. Så grundlaget er opnået. Der er ingen grund til at være flov over, at grundlaget viste sig at være "skævt" med ikke-vinkelrette vektorer af forskellig længde. Meget snart vil vi se, at ikke kun en vinkel på 90 grader er egnet til dens konstruktion, og ikke kun enhedsvektorer af samme længde

Nogen plan vektor den eneste måde udvides efter grundlaget:
, hvor er reelle tal. Numrene kaldes vektor koordinater på dette grundlag.

Det siges også vektorpræsenteret som lineær kombination basisvektorer. Det vil sige, at udtrykket hedder vektor nedbrydningpå grundlag eller lineær kombination basisvektorer.

For eksempel kan vi sige, at vektoren er dekomponeret langs en ortonormal basis af planet, eller vi kan sige, at den er repræsenteret som en lineær kombination af vektorer.

Lad os formulere definition af grundlag formelt: Grundlaget for flyet kaldes et par lineært uafhængige (ikke-kollineære) vektorer, , hvori nogen en plan vektor er en lineær kombination af basisvektorer.

Et væsentligt punkt i definitionen er det faktum, at vektorerne er taget i en bestemt rækkefølge. Baser – det er to helt forskellige baser! Som de siger, kan du ikke erstatte lillefingeren på din venstre hånd i stedet for lillefingeren på din højre hånd.

Vi har fundet ud af grundlaget, men det er ikke nok at sætte et koordinatgitter og tildele koordinater til hvert element på dit computerbord. Hvorfor er det ikke nok? Vektorerne er frie og vandrer gennem hele flyet. Så hvordan tildeler du koordinater til de små beskidte pletter på bordet, der er tilbage fra en vild weekend? Der er brug for et udgangspunkt. Og sådan et vartegn er et punkt, som alle kender - oprindelsen af ​​koordinater. Lad os forstå koordinatsystemet:

Jeg starter med "skole"-systemet. Allerede i den indledende lektion Vektorer til dummies Jeg fremhævede nogle forskelle mellem det rektangulære koordinatsystem og det ortonormale grundlag. Her er standardbilledet:

Når de taler om rektangulært koordinatsystem, så mener de oftest oprindelse, koordinatakser og skala langs akserne. Prøv at skrive "rektangulært koordinatsystem" i en søgemaskine, og du vil se, at mange kilder vil fortælle dig om koordinatakser, du kender fra 5.-6. klasse, og hvordan du plotter punkter på et fly.

På den anden side ser det ud til, at et rektangulært koordinatsystem kan defineres fuldstændigt ud fra et ortonormalt grundlag. Og det er næsten rigtigt. Formuleringen er som følger:

oprindelse, Og ortonormale grundlaget er lagt Kartesisk rektangulært plan koordinatsystem . Det vil sige det rektangulære koordinatsystem helt bestemt er defineret af et enkelt punkt og to enheder ortogonale vektorer. Derfor ser du tegningen, som jeg gav ovenfor - i geometriske opgaver tegnes både vektorer og koordinatakser ofte (men ikke altid).

Jeg tror, ​​at alle forstår det ved at bruge et punkt (oprindelse) og et ortonormalt grundlag ENHVER PUNKT på flyet og ENHVER VEKTOR på flyet koordinater kan tildeles. Billedligt talt, "alt på et fly kan nummereres."

Skal koordinatvektorer være enhed? Nej, de kan have en vilkårlig længde, der ikke er nul. Overvej et punkt og to ortogonale vektorer med vilkårlig længde, der ikke er nul:

Et sådant grundlag kaldes ortogonal. Oprindelsen af ​​koordinater med vektorer er defineret af et koordinatgitter, og ethvert punkt på planet, enhver vektor har sine koordinater på en given basis. For eksempel eller. Den åbenlyse ulempe er, at koordinatvektorerne generelt have andre længder end enhed. Hvis længderne er lig med enhed, opnås det sædvanlige ortonormale grundlag.

! Bemærk : i den ortogonale basis, såvel som nedenfor i de affine baser af plan og rum, betragtes enheder langs akserne BETINGET. For eksempel indeholder en enhed langs x-aksen 4 cm, en enhed langs ordinataksen indeholder 2 cm. Denne information er nok til om nødvendigt at konvertere "ikke-standard" koordinater til "vores sædvanlige centimeter".

Og det andet spørgsmål, som faktisk allerede er besvaret, er om vinklen mellem basisvektorerne skal være lig med 90 grader? Ingen! Som definitionen siger, skal basisvektorerne være kun ikke-kollineær. Derfor kan vinklen være alt undtagen 0 og 180 grader.

Et punkt på flyet kaldte oprindelse, Og ikke-kollineær vektorer, , sæt affint plan koordinatsystem :

Nogle gange kaldes et sådant koordinatsystem skrå system. Som eksempler viser tegningen punkter og vektorer:

Som du forstår, er det affine koordinatsystem endnu mindre praktisk at formlerne for længderne af vektorer og segmenter, som vi diskuterede i den anden del af lektionen, fungerer ikke i det; Vektorer til dummies, mange lækre formler relateret til skalært produkt af vektorer. Men reglerne for at tilføje vektorer og gange en vektor med et tal, formler til at dividere et segment i denne relation, samt nogle andre typer problemer, som vi snart vil overveje, er gyldige.

Og konklusionen er, at det mest bekvemme specielle tilfælde af et affint koordinatsystem er det kartesiske rektangulære system. Derfor skal du oftest se hende, min kære. ...Men alt i dette liv er relativt - der er mange situationer, hvor en skrå vinkel (eller en anden, f.eks. polar) koordinatsystem. Og humanoider kan godt lide sådanne systemer =)

Lad os gå videre til den praktiske del. Alle problemer i denne lektion gælder både for det rektangulære koordinatsystem og for det generelle affine tilfælde. Der er ikke noget kompliceret her, alt materialet er tilgængeligt selv for et skolebarn.

Hvordan bestemmer man kollinearitet af planvektorer?

Typisk ting. For to plan vektorer var kollineære, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at deres tilsvarende koordinater er proportionale I det væsentlige er dette en koordinat-for-koordinat-detaljering af det åbenlyse forhold.

Eksempel 1

a) Tjek om vektorerne er kollineære .
b) Danner vektorerne et grundlag? ?

Løsning:
a) Lad os finde ud af, om der er for vektorer proportionalitetskoefficient, således at lighederne er opfyldt:

Jeg vil helt sikkert fortælle dig om den "foppish" version af at anvende denne regel, som fungerer ganske godt i praksis. Ideen er straks at lave andelen og se, om den er korrekt:

Lad os lave en proportion ud fra forholdet mellem de tilsvarende koordinater af vektorerne:

Lad os forkorte:
, således er de tilsvarende koordinater proportionale, derfor,

Forholdet kunne laves omvendt, dette er en tilsvarende mulighed:

Til selvtest kan du bruge det faktum, at kollineære vektorer er lineært udtrykt gennem hinanden. I dette tilfælde finder ligestillingen sted . Deres gyldighed kan let verificeres gennem elementære operationer med vektorer:

b) To plane vektorer danner grundlag, hvis de ikke er kollineære (lineært uafhængige). Vi undersøger vektorer for kollinearitet . Lad os skabe et system:

Af den første ligning følger det at , af den anden ligning følger det at , hvilket betyder systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). De tilsvarende koordinater af vektorerne er således ikke proportionale.

Konklusion: vektorerne er lineært uafhængige og danner en basis.

En forenklet version af løsningen ser sådan ud:

Lad os lave en proportion ud fra de tilsvarende koordinater af vektorerne :
, hvilket betyder, at disse vektorer er lineært uafhængige og danner et grundlag.

Normalt afvises denne mulighed ikke af anmeldere, men der opstår et problem i tilfælde, hvor nogle koordinater er lig med nul. Sådan her: . Eller sådan her: . Eller sådan her: . Hvordan arbejder man igennem proportioner her? (du kan faktisk ikke dividere med nul). Det er af denne grund, at jeg kaldte den forenklede løsning "fjolig".

Svar: a), b) form.

Et lille kreativt eksempel på din egen løsning:

Eksempel 2

Ved hvilken værdi af parameteren er vektorerne vil de være collineære?

I prøveopløsningen findes parameteren gennem proportionen.

Der er en elegant algebraisk måde at kontrollere vektorer for kollinearitet Lad os systematisere vores viden og tilføje det som det femte punkt:

For to plane vektorer er følgende udsagn ækvivalente:

2) vektorerne danner en basis;
3) vektorerne er ikke kollineære;

+ 5) determinanten sammensat af koordinaterne for disse vektorer er ikke-nul.

Henholdsvis, følgende modsatte udsagn er ækvivalente:
1) vektorer er lineært afhængige;
2) vektorer danner ikke et grundlag;
3) vektorerne er kollineære;
4) vektorer kan udtrykkes lineært gennem hinanden;
+ 5) determinanten sammensat af koordinaterne for disse vektorer er lig med nul.

Jeg håber virkelig, at du allerede nu forstår alle de udtryk og udsagn, du er stødt på.

Lad os se nærmere på det nye, femte punkt: to plan vektorer er kollineære, hvis og kun hvis determinanten sammensat af koordinaterne for de givne vektorer er lig nul:. For at anvende denne funktion skal du selvfølgelig være i stand til det finde determinanter.

Lad os bestemme Eksempel 1 på den anden måde:

a) Lad os beregne determinanten, der består af vektorernes koordinater :
, hvilket betyder, at disse vektorer er kollineære.

b) To plane vektorer danner grundlag, hvis de ikke er kollineære (lineært uafhængige). Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater :
, hvilket betyder, at vektorerne er lineært uafhængige og danner et grundlag.

Svar: a), b) form.

Det ser meget mere kompakt og smukkere ud end en løsning med proportioner.

Ved hjælp af det betragtede materiale er det muligt at etablere ikke kun kollineariteten af ​​vektorer, men også at bevise paralleliteten af ​​segmenter og lige linjer. Lad os overveje et par problemer med specifikke geometriske former.

Eksempel 3

Hjørnerne på en firkant er givet. Bevis at en firkant er et parallelogram.

Bevis: Det er ikke nødvendigt at konstruere en tegning i opgaven, da løsningen vil være rent analytisk. Lad os huske definitionen af ​​et parallelogram:
Parallelogram En firkant, hvis modsatte sider er parallelle i par kaldes.

Derfor er det nødvendigt at bevise:
1) parallelitet af modsatte sider og;
2) parallelitet af modsatte sider og.

Vi beviser:

1) Find vektorerne:

2) Find vektorerne:

Resultatet er den samme vektor ("ifølge skolen" - lige store vektorer). Kolinearitet er ret indlysende, men det er bedre at formalisere beslutningen klart, med aftale. Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater:
, hvilket betyder, at disse vektorer er kollineære, og .

Konklusion: De modsatte sider af en firkant er parvis parallelle, hvilket betyder, at det per definition er et parallelogram. Q.E.D.

Flere gode og anderledes figurer:

Eksempel 4

Hjørnerne på en firkant er givet. Bevis, at en firkant er en trapez.

For en mere stringent formulering af beviset er det selvfølgelig bedre at få definitionen af ​​en trapezoid, men det er nok blot at huske, hvordan det ser ud.

Det er en opgave, du selv skal løse. Fuld løsning i slutningen af ​​lektionen.

Og nu er det tid til langsomt at bevæge sig fra flyet ud i rummet:

Hvordan bestemmer man kollinearitet af rumvektorer?

Reglen er meget ens. For at to rumvektorer kan være kollineære, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at deres tilsvarende koordinater er proportionale.

Eksempel 5

Find ud af, om følgende rumvektorer er kollineære:

A);
b)
V)

Løsning:
a) Lad os kontrollere, om der er en proportionalitetskoefficient for de tilsvarende koordinater af vektorerne:

Systemet har ingen løsning, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære.

"Simplificeret" formaliseres ved at kontrollere andelen. I dette tilfælde:
– de tilsvarende koordinater er ikke proportionale, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære.

Svar: vektorerne er ikke kollineære.

b-c) Dette er punkter til selvstændig beslutning. Prøv det på to måder.

Der er en metode til at kontrollere rumlige vektorer for kollinearitet gennem en tredjeordens determinant. Denne metode er dækket i artiklen Vektorprodukt af vektorer.

I lighed med plantilfældet kan de betragtede værktøjer bruges til at studere paralleliteten af ​​rumlige segmenter og rette linjer.

Velkommen til andet afsnit:

Lineær afhængighed og uafhængighed af vektorer i tredimensionelt rum.
Rumlig basis og affint koordinatsystem

Mange af de mønstre, som vi undersøgte på flyet, vil være gyldige for rummet. Jeg forsøgte at minimere teorinoterne, da broderparten af ​​informationen allerede er blevet tygget. Jeg anbefaler dog, at du læser den indledende del grundigt, da der vil dukke nye termer og begreber op.

Nu, i stedet for computerbordets plan, udforsker vi det tredimensionelle rum. Lad os først skabe dens grundlag. Nogen er nu indendørs, nogen er udendørs, men under alle omstændigheder kan vi ikke undslippe tre dimensioner: bredde, længde og højde. Derfor kræves der tre rumlige vektorer for at konstruere en basis. En eller to vektorer er ikke nok, den fjerde er overflødig.

Og igen varmer vi op på fingrene. Løft venligst hånden op og spred den i forskellige retninger tommelfinger, pege og langfinger. Disse vil være vektorer, de ser i forskellige retninger, har forskellige længder og har forskellige vinkler indbyrdes. Tillykke, grundlaget for tredimensionelt rum er klar! Det er der i øvrigt ingen grund til at demonstrere for lærerne, uanset hvor hårdt man vrider fingrene, men der er ingen flugt fra definitioner =)

Lad os derefter stille os selv et vigtigt spørgsmål: danner tre vektorer et grundlag for tredimensionelt rum? Tryk venligst tre fingre fast på toppen af ​​computerens skrivebord. Hvad skete der? Tre vektorer er placeret i samme plan, og groft sagt har vi mistet en af ​​dimensionerne - højden. Sådanne vektorer er koplanar og det er helt indlysende, at grundlaget for tredimensionelt rum ikke er skabt.

Det skal bemærkes, at koplanære vektorer ikke behøver at ligge i samme plan, de kan være i parallelle planer (bare ikke gør dette med fingrene, kun Salvador Dali gjorde dette =)).

Definition: vektorer kaldes koplanar, hvis der er et plan, som de er parallelle med. Det er logisk at tilføje her, at hvis et sådant plan ikke eksisterer, så vil vektorerne ikke være koplanære.

Tre koplanære vektorer er altid lineært afhængige, det vil sige, at de er lineært udtrykt gennem hinanden. For nemheds skyld, lad os igen forestille os, at de ligger i samme plan. For det første er vektorer ikke kun koplanære, de kan også være kollineære, så kan enhver vektor udtrykkes gennem enhver vektor. I det andet tilfælde, hvis for eksempel vektorerne ikke er kollineære, så udtrykkes den tredje vektor gennem dem på en unik måde: (og hvorfor er let at gætte ud fra materialerne i forrige afsnit).

Det modsatte er også sandt: tre ikke-koplanære vektorer er altid lineært uafhængige, det vil sige, at de på ingen måde kommer til udtryk gennem hinanden. Og det er klart, at kun sådanne vektorer kan danne grundlag for tredimensionelt rum.

Definition: Grundlaget for tredimensionelt rum kaldes en tripel af lineært uafhængige (ikke-koplanære) vektorer, taget i en bestemt rækkefølge, og enhver vektor af rummet den eneste måde er dekomponeret over en given basis, hvor er vektorens koordinater i denne basis

Lad mig minde dig om, at vi også kan sige, at vektoren er repræsenteret i formen lineær kombination basisvektorer.

Konceptet med et koordinatsystem introduceres på nøjagtig samme måde som for plantilfældet, og et punkt og tre lineært uafhængige vektorer er tilstrækkelige:

oprindelse, Og ikke-koplanar vektorer, taget i en bestemt rækkefølge, sæt affint koordinatsystem af tredimensionelt rum :

Selvfølgelig er koordinatgitteret "skrå" og ubelejligt, men ikke desto mindre giver det konstruerede koordinatsystem os mulighed for helt bestemt Bestem koordinaterne for enhver vektor og koordinaterne for ethvert punkt i rummet. I lighed med et plan vil nogle formler, som jeg allerede har nævnt, ikke fungere i rummets affine koordinatsystem.

Det mest velkendte og bekvemme specielle tilfælde af et affint koordinatsystem, som alle gætter, er rektangulært rumkoordinatsystem:

Et punkt i rummet kaldet oprindelse, Og ortonormale grundlaget er lagt Kartesisk rektangulært rumkoordinatsystem . Kendte billede:

Inden vi går videre til praktiske opgaver, lad os igen systematisere informationen:

For tre rumvektorer er følgende udsagn ækvivalente:
1) vektorerne er lineært uafhængige;
2) vektorerne danner en basis;
3) vektorerne er ikke koplanære;
4) vektorer kan ikke udtrykkes lineært gennem hinanden;
5) determinanten, der er sammensat af koordinaterne for disse vektorer, er forskellig fra nul.

Jeg synes, de modsatte udsagn er forståelige.

Lineær afhængighed/uafhængighed af rumvektorer kontrolleres traditionelt ved hjælp af en determinant (punkt 5). De resterende praktiske opgaver vil være af udtalt algebraisk karakter. Det er tid til at hænge geometristokken op og svinge baseballbattet i lineær algebra:

Tre vektorer af rummet er koplanære, hvis og kun hvis determinanten sammensat af koordinaterne for de givne vektorer er lig med nul: .

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på en lille teknisk nuance: koordinaterne af vektorer kan skrives ikke kun i kolonner, men også i rækker (værdien af ​​determinanten vil ikke ændre sig fra dette - se egenskaber ved determinanter). Men det er meget bedre i spalter, da det er mere gavnligt til at løse nogle praktiske problemer.

Til de læsere, der lidt har glemt metoderne til at beregne determinanter, eller måske har lidt viden om dem, anbefaler jeg en af ​​mine ældste lektioner: Hvordan beregner man determinanten?

Eksempel 6

Tjek, om følgende vektorer danner grundlag for tredimensionelt rum:

Løsning: Faktisk handler hele løsningen om at beregne determinanten.

a) Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater (determinanten afsløres i den første linje):

, hvilket betyder, at vektorerne er lineært uafhængige (ikke koplanære) og danner grundlag for tredimensionelt rum.

Svar: disse vektorer danner et grundlag

b) Dette er et punkt for uafhængig beslutning. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Der er også kreative opgaver:

Eksempel 7

Ved hvilken værdi af parameteren vil vektorerne være koplanære?

Løsning: Vektorer er koplanære, hvis og kun hvis determinanten sammensat af koordinaterne for disse vektorer er lig med nul:

Grundlæggende skal du løse en ligning med en determinant. Vi slår ned på nuller som drager på jerboaer - det er bedst at åbne determinanten i anden linje og straks slippe af med minusserne:

Vi udfører yderligere forenklinger og reducerer sagen til den enkleste lineære ligning:

Svar: kl

Det er nemt at kontrollere her for at gøre dette, skal du erstatte den resulterende værdi i den oprindelige determinant og sikre dig, at , åbner den igen.

Afslutningsvis vil vi overveje et andet typisk problem, som er mere algebraisk af natur og traditionelt indgår i et lineært algebraforløb. Det er så almindeligt, at det fortjener sit eget emne:

Bevis at 3 vektorer danner grundlaget for tredimensionelt rum
og find koordinaterne for den 4. vektor i denne basis

Eksempel 8

Vektorer er givet. Vis, at vektorer danner basis i det tredimensionelle rum og find vektorens koordinater i dette grundlag.

Løsning: Først, lad os behandle tilstanden. Ved betingelse er fire vektorer givet, og som du kan se, har de allerede koordinater på et eller andet grundlag. Hvad dette grundlag er, er ikke af interesse for os. Og følgende ting er af interesse: Tre vektorer kan godt danne et nyt grundlag. Og det første trin falder fuldstændig sammen med løsningen til eksempel 6, det er nødvendigt at kontrollere, om vektorerne virkelig er lineært uafhængige:

Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater:

, hvilket betyder, at vektorerne er lineært uafhængige og danner grundlag for tredimensionelt rum.

! Vigtig : vektorkoordinater Nødvendigvis Skriv ned i kolonner determinant, ikke i strenge. Ellers vil der opstå forvirring i den videre løsningsalgoritme.

Vektorsystemet kaldes lineært afhængig, hvis der er tal, blandt hvilke mindst ét ​​er forskelligt fra nul, således at ligestillingen https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Hvis denne lighed kun er opfyldt i det tilfælde, hvor alle , kaldes systemet af vektorer lineært uafhængig.

Sætning. Vektorsystemet vil lineært afhængig hvis og kun hvis mindst en af ​​dens vektorer er en lineær kombination af de andre.

Eksempel 1. Polynomium er en lineær kombination af polynomier https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24"> Polynomierne udgør et lineært uafhængigt system, da polynomiet https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Eksempel 2. Matrixsystemet, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> er lineært uafhængigt, da en lineær kombination er lig med nul matrix kun i det tilfælde, hvor https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineært afhængig.

Løsning.

Lad os lave en lineær kombination af disse vektorer https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" højde=" 22">.

Ved at sidestille de samme koordinater af lige store vektorer får vi https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Endelig får vi

Og

Systemet har en unik triviel løsning, så en lineær kombination af disse vektorer er kun lig nul i det tilfælde, hvor alle koefficienter er lig nul. Derfor er dette system af vektorer lineært uafhængigt.

Eksempel 4. Vektorerne er lineært uafhængige. Hvordan vil vektorsystemerne være?

en).;

b).?

Løsning.

en). Lad os lave en lineær kombination og sidestille den med nul

Ved at bruge egenskaberne for operationer med vektorer i lineært rum omskriver vi den sidste lighed i formen

Da vektorerne er lineært uafhængige, skal koefficienterne ved være lig med nul, dvs..gif" width="12" height="23 src=">

Det resulterende ligningssystem har en unik triviel løsning .

Siden ligestilling (*) udføres kun når https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineært uafhængig;

b). Lad os skabe en ligestilling https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Ved at anvende lignende ræsonnement får vi

Løsning af ligningssystemet ved Gauss-metoden får vi

eller

Sidstnævnte system har et uendeligt antal løsninger https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Der er således en ikke- nul sæt af koefficienter, som holder ligheden (**) . Derfor systemet af vektorer – lineært afhængig.

Eksempel 5 Et system af vektorer er lineært uafhængigt, og et system af vektorer er lineært afhængigt..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

I ligestilling (***) . Faktisk ved , ville systemet være lineært afhængigt.

Fra forholdet (***) vi får eller Lad os betegne .

Vi får

Problemer til selvstændig løsning (i klasseværelset)

1. Et system, der indeholder en nulvektor, er lineært afhængigt.

2. System bestående af en vektor EN, er lineært afhængig hvis og kun hvis, a=0.

3. Et system bestående af to vektorer er lineært afhængigt, hvis og kun hvis vektorerne er proportionale (det vil sige, en af ​​dem fås fra den anden ved at gange med et tal).

4. Hvis du tilføjer en vektor til et lineært afhængigt system, får du et lineært afhængigt system.

5. Hvis en vektor fjernes fra et lineært uafhængigt system, så er det resulterende system af vektorer lineært uafhængigt.

6. Hvis systemet S er lineært uafhængig, men bliver lineært afhængig, når man tilføjer en vektor b, derefter vektoren b lineært udtrykt gennem systemvektorer S.

c). System af matricer , , i rummet af andenordens matricer.

10. Lad systemet af vektorer en,b,c vektorrummet er lineært uafhængigt. Bevis den lineære uafhængighed af følgende vektorsystemer:

en).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– vilkårligt antal

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lade en,b,c– tre vektorer på det plan, hvorfra en trekant kan dannes. Vil disse vektorer være lineært afhængige?

12. Der er givet to vektorer a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Find yderligere to firedimensionelle vektorer a3 oga4 så systemet a1,a2,a3,a4 var lineært uafhængig .

Definition. Lineær kombination af vektorer a 1 , ..., a n med koefficienter x 1 , ..., x n kaldes en vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivielt, hvis alle koefficienter x 1 , ..., x n er lig med nul.

Definition. Den lineære kombination x 1 a 1 + ... + x n a n kaldes ikke-triviel, hvis mindst én af koefficienterne x 1, ..., x n ikke er lig med nul.

lineært uafhængig, hvis der ikke er nogen ikke-triviel kombination af disse vektorer lig med nulvektoren.

Det vil sige, at vektorerne a 1, ..., a n er lineært uafhængige, hvis x 1 a 1 + ... + x n a n = 0, hvis og kun hvis x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definition. Vektorerne a 1, ..., a n kaldes lineært afhængig, hvis der er en ikke-triviel kombination af disse vektorer lig med nulvektoren.

Egenskaber for lineært afhængige vektorer:

Til 2- og 3-dimensionelle vektorer.

To lineært afhængige vektorer er collineære. (Kolineære vektorer er lineært afhængige.)

Til 3-dimensionelle vektorer.

Tre lineært afhængige vektorer er koplanære. (Tre koplanære vektorer er lineært afhængige.)

• For n-dimensionelle vektorer.

  n + 1 vektorer er altid lineært afhængige.

Eksempler på problemer om lineær afhængighed og lineær uafhængighed af vektorer:

Eksempel 1. Tjek om vektorerne a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) er lineært uafhængige .

Løsning:

Vektorerne vil være lineært afhængige, da dimensionen af ​​vektorerne er mindre end antallet af vektorer.

Eksempel 2. Tjek om vektorerne a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) er lineært uafhængige.

Løsning:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

trække den anden fra den første linje; tilføje en anden linje til den tredje linje:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Denne løsning viser, at systemet har mange løsninger, det vil sige, at der er en ikke-nul kombination af værdier af tallene x 1, x 2, x 3, således at den lineære kombination af vektorer a, b, c er lig med nulvektoren, for eksempel:

A + b + c = 0

hvilket betyder at vektorerne a, b, c er lineært afhængige.

Svar: vektorerne a, b, c er lineært afhængige.

Eksempel 3. Tjek om vektorerne a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) er lineært uafhængige.

Løsning: Lad os finde værdierne af koefficienterne, hvor den lineære kombination af disse vektorer vil være lig med nulvektoren.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Denne vektorligning kan skrives som et system af lineære ligninger

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Lad os løse dette system ved hjælp af Gauss-metoden

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

trække den første fra den anden linje; trække den første fra den tredje linje:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

trække den anden fra den første linje; tilføje en anden til den tredje linje.

Formens udtryk hedder lineær kombination af vektorer A 1 , A 2 ,...,A n med odds λ1, λ2,...,λ n.

Bestemmelse af lineær afhængighed af et vektorsystem

Vektor system A 1 , A 2 ,...,A n hedder lineært afhængig, hvis der er et sæt tal, der ikke er nul λ1, λ2,...,λ n, hvor den lineære kombination af vektorer λ 1 *A 1 + λ 2 * A 2 +...+λ n * A n lig med nulvektoren, det vil sige ligningssystemet: har en ikke-nul løsning.
Sæt af tal λ1, λ2,...,λ n er ikke nul, hvis mindst et af tallene λ1, λ2,...,λ n forskellig fra nul.

Bestemmelse af lineær uafhængighed af et vektorsystem

Vektor system A 1 , A 2 ,...,A n hedder lineært uafhængig, hvis den lineære kombination af disse vektorer λ 1 *A 1 + λ 2 * A 2 +...+λ n * A n kun lig med nulvektoren for et nulsæt af tal λ1, λ2,...,λ n , det vil sige ligningssystemet: A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+ A n x n =Θ har en unik nulløsning.

Eksempel 29.1

Tjek om et system af vektorer er lineært afhængigt

Løsning:

1. Vi sammensætter et ligningssystem:

2. Vi løser det ved hjælp af Gauss-metoden. Jordanano-transformationerne af systemet er angivet i tabel 29.1. Ved beregningen nedskrives systemets højre sider ikke, da de er lig med nul og ikke ændres under Jordan-transformationer.

3. Fra de sidste tre rækker i tabellen nedskriv et løst system svarende til det oprindelige system:

4. Vi får den generelle løsning af systemet:

5. Efter at have indstillet værdien af ​​den frie variabel x 3 =1 efter dit skøn, vi opnår en bestemt ikke-nul løsning X=(-3,2,1).

Svar: For et sæt tal, der ikke er nul (-3,2,1), er den lineære kombination af vektorer lig med nulvektoren -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Derfor, vektorsystem lineært afhængig.

Vektorsystemers egenskaber

Ejendom (1)
Hvis et system af vektorer er lineært afhængigt, så udvides mindst en af ​​vektorerne i forhold til de andre, og omvendt, hvis mindst en af ​​systemets vektorer er udvidet i forhold til de andre, så er vektorsystemet er lineært afhængig.

Ejendom (2)
Hvis et hvilket som helst undersystem af vektorer er lineært afhængigt, så er hele systemet lineært afhængigt.

Ejendom (3)
Hvis et system af vektorer er lineært uafhængigt, så er et hvilket som helst af dets undersystemer lineært uafhængigt.

Ejendom (4)
Ethvert system af vektorer, der indeholder en nulvektor, er lineært afhængigt.

Ejendom (5)
Et system af m-dimensionelle vektorer er altid lineært afhængigt, hvis antallet af vektorer n er større end deres dimension (n>m)

Grundlaget for vektorsystemet

Grundlaget for vektorsystemet A 1 , A 2 ,..., A n sådan et undersystem B 1 , B 2 ,...,B r kaldes(hver af vektorerne B 1, B 2,..., B r er en af ​​vektorerne A 1, A 2,..., A n), som opfylder følgende betingelser:
1. B 1 , B 2 ,...,B r lineært uafhængigt system af vektorer;
2. enhver vektor A j system A 1 , A 2 ,..., A n er lineært udtrykt gennem vektorerne B 1 , B 2 ,..., B r

r— antallet af vektorer, der indgår i grundlaget.

Sætning 29.1 På enhedsbasis af et vektorsystem.

Hvis et system af m-dimensionelle vektorer indeholder m forskellige enhedsvektorer E 1 E 2 ,..., E m , så danner de grundlaget for systemet.

Algoritme til at finde grundlaget for et system af vektorer

For at finde grundlaget for systemet af vektorer A 1 , A 2 ,..., A n er det nødvendigt:

• Lav et homogent ligningssystem svarende til vektorsystemet A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+ A n x n =Θ
• Medbring dette system