At forstå (studere) sandsynlighed begynder, hvor det klassiske kursus i sandsynlighedsteori slutter. Af en eller anden grund lærer de på skoler og universiteter frekvens (kombinatorisk) sandsynlighed, eller sandsynligheden for, hvad der er bestemt. Den menneskelige hjerne fungerer anderledes. Vi har teorier (meninger) om alt i verden. Vi vurderer subjektivt sandsynligheden for visse hændelser. Vi kan også ændre mening, hvis der sker noget uventet. Det er, hvad vi gør hver dag. For eksempel, hvis du møder en ven ved Pushkin-monumentet, forstår du, om hun kommer til tiden, 15 minutter for sent eller en halv time for sent. Men når du går ud på pladsen fra metroen og ser 20 cm nysne, vil du opdatere dine sandsynligheder for at tage højde for de nye data.

Denne tilgang blev først beskrevet af Bayes og Laplace. Selvom Laplace, tror jeg, han ikke var bekendt med Bayes' arbejde. Af for mig ukendte årsager er den bayesianske tilgang ret dårligt repræsenteret i den russisksprogede litteratur. Til sammenligning bemærker jeg, at når man bliver spurgt efter Bayes, producerer Ozon 4 links, og Amazon - omkring 1000.

Denne note er en oversættelse af en lille engelsk bog, og vil give dig en intuitiv forståelse af, hvordan du bruger Bayes' sætning. Det starter med en definition og bruger derefter eksempler i Excel til at hjælpe dig med at følge hele ræsonnementet.

Scott Hartshorn. Bayes' sætningseksempler: En visuel guide for begyndere. – 2016, 82 s.

Download noten i eller format, eksempler i format

Definition af Bayes' sætning og intuitiv forklaring

Bayes' sætning

hvor A og B er hændelser, P(A) og P(B) er sandsynligheden for A og B uden at tage hensyn til hinanden, P(A|B) er den betingede sandsynlighed for hændelse A forudsat at B er sand, P (B|A) er den betingede sandsynlighed for B, hvis A er sand.

I virkeligheden er ligningen noget mere kompliceret, men for de fleste applikationer er dette tilstrækkeligt. Resultatet af beregningen er blot en normaliseret vægtet værdi baseret på det oprindelige gæt. Så tag dit første gæt, afvej det mod andre indledende muligheder, normaliser det baseret på observation:

Når vi løser problemer, udfører vi følgende trin (de vil blive tydeligere senere):

1. Bestem hvilke sandsynligheder vi vil beregne, og hvilke vi observerer.
2. Estimer initialsandsynligheder for alle mulige muligheder.
3. Antag sandheden af ​​en bestemt indledende mulighed, beregn sandsynligheden for vores observation; og så videre for alle indledende muligheder.
4. Find den vægtede værdi som produktet af den oprindelige sandsynlighed (trin 2) og den betingede sandsynlighed (trin 3) og så videre for hver af de indledende muligheder.
5. Normaliser resultaterne: divider hver vægtet sandsynlighed (trin 4) med summen af ​​alle vægtede sandsynligheder; summen af ​​normaliserede sandsynligheder = 1.
6. Gentag trin 2-5 for hver ny observation.

Eksempel 1. Simpelt eksempel med terninger

Lad os sige, at din ven har 3 terninger: med 4, 6 og 8 sider. Han vælger tilfældigt en af ​​dem, viser den ikke til dig, kaster den og rapporterer resultatet - 2. Beregn sandsynligheden for, at en 4-sidet, 6-sidet eller 8-sidet blev valgt.

Trin 1. Vi ønsker at beregne sandsynligheden for at vælge et 4-hedron, et 6-hedron eller et 8-hedron. Vi ser tallet tegnet - 2.

Trin 2. Da der var 3 terninger, er den oprindelige sandsynlighed for at vælge hver af dem 1/3.

Trin 3. Observation - terningen faldt på side 2. Hvis en 4-sidet side blev taget, er chancen for at dette sker 1/4. For en 6-sidet terning er chancerne for at kaste en 2'er 1/6. For et oktaeder – 1/8.

Trin 4. Rul en 2'er for en 4-sidet = 1/3 * 1/4 = 1/12, for en 6-sidet = 1/3 * 1/6 = 1/18, for en 8-sidet = 1/ 3 * 1/8 = 1/24.

Trin 5. Samlet sandsynlighed for at rulle en 2 = 1/12 + 1/18 + 1/24 = 13/72. Dette tal er mindre end 1, fordi chancerne for at kaste en 2'er er mindre end 1. Men vi ved, at vi allerede har kastet en 2'er. Således skal vi dividere oddsene for hver mulighed fra trin 4 med 13/72, så summen af ​​alle odds for alle terninger er 2. er lig med 1. Denne proces kaldes normalisering.

Ved at normalisere hver vægtet sandsynlighed finder vi sandsynligheden for, at netop denne terning blev valgt:

• tetragon = (1/12) / (13/72) = 6/13
• Sekskant = (1/18) / (13/72) = 4/13
• Oktaeder = (1/24) / (13/72) = 3/13

Og dette er svaret.

Da vi begyndte at løse problemet, antog vi, at sandsynligheden for at vælge en bestemt knogle var 33,3 %. Efter at have slået en 2'er, beregnede vi, at chancerne for, at den 4-sidede oprindeligt blev valgt, steg til 46,1%, chancerne for at vælge den 6-sidede faldt til 30,8%, og chancerne for, at den 8-sidede blev valgt, faldt. helt op til 23,1 pct.

Ved at tage endnu et kast kunne vi bruge de nye beregnede procenter som vores indledende gæt og forfine sandsynligheden baseret på den anden observation.

Hvis du kun har én observation, er det praktisk at præsentere alle trinene i form af en tabel:

Bord. 1. Trin-for-trin løsning i form af en tabel (for formler, se Excel-filen på arket Eksempel 1)

Bemærk:

• Hvis der i stedet for f.eks. en 2'er var rullet en 7'er ud, så ville chancerne ved trin 3 for de 4- og 6-sidede have været nul, og efter normalisering ville chancerne for de 8-sidede have været 100 %.
• Da eksemplet kun involverer tre terninger og et kast, brugte vi simple brøker. For de fleste problemer med et stort antal muligheder og begivenheder er det lettere at arbejde med decimaler.

Eksempel 2: Flere knogler. Flere kast

Denne gang har vi 6 terninger med 4, 6, 8, 10, 12 og 20 sider. Vi vælger en af ​​dem tilfældigt og ruller den 15 gange. Hvad er sandsynligheden for, at en bestemt knogle blev valgt?

Jeg bruger en model i Excel (Figur 1; se ark Eksempel 2). Tilfældige tal genereres i kolonne B ved hjælp af funktionen =RANDBETWEEN(1,$B$9). I dette tilfælde har celle B9 valgt en ottekant, så de tilfældige tal kan variere fra 1 til 8. Fordi Excel opdaterer de tilfældige tal efter hver ændring i regnearket, kopierede jeg kolonne B til udklipsholderen og indsatte kun værdierne i kolonne C. Nu er værdierne væk og vil blive brugt til efterfølgende tegninger. (Jeg har tilføjet muligheden for, at du kan "lege" med at vælge antallet af sider og tilfældige ruller på arket Spileksempel 2. Særligt interessante resultater opnås, hvis du indstiller tallet 13 i celle B9 🙂 – Bemærk Baguzina.)

Ris. 1. Generator af tilfældige tal

Trin 2. Da der kun er seks terninger, er sandsynligheden for at vælge en tilfældigt 1/6 eller 0,167.

Trin 3 og 4. Skriv en ligning for sandsynligheden for først at vælge en bestemt terning efter det tilsvarende kast. Som vi så i slutningen af ​​eksempel 1, matcher nogle kast muligvis ikke visse terninger. For eksempel, hvis du slår en 9'er, bliver sandsynligheden for en 4-, 6- og 8-sidet terning lig med nul. Hvis et "legitimt" tal kastes, er sandsynligheden for en given terning lig med én divideret med antallet af sider. For nemheds skyld kombinerede vi trin 3 og 4, så vi straks nedskriver formlen for sandsynligheden for et kast ganget med den normaliserede sandsynlighed efter det forrige kast (fig. 2):

HVIS(rulle > antal sider; 0; 1/antal sider * tidligere normaliseret sandsynlighed)

Hvis du bruger den forsigtigt, kan du trække denne formel til alle linjer.

Ris. 2. Sandsynlighedsligning; For at forstørre billedet skal du højreklikke på det og vælge Åbn billede i ny fane

Trin 5. Det sidste trin er at normalisere resultaterne efter hvert kast (område L11:R28 i fig. 3).

Ris. 3. Normalisering af resultater

Så efter 15 kast, med en sandsynlighed på 96,4%, kan vi antage, at vi oprindeligt valgte den 8-sidede terning. Selvom der stadig er chancer for, at knoglen med b blev valgt O et større antal sider: 3,4% for en 10-sidet matrice, 0,2% for en 12-sidet die, 0,0001% for en 20-sidet die. Men sandsynligheden for 4- og 6-sidede terninger er nul, da de udtrukne tal var 7 og 8. Dette svarer naturligvis til, at vi indtastede tallet 8 i celle B9, hvilket begrænser værdierne for det tilfældige tal generator.

Hvis vi plotter sandsynligheden for hvert første terningvalg, kast for kast, vil vi se (Figur 4):

• Efter det første kast falder sandsynligheden for at vælge en 4-sidet terning til nul, da en 6'er straks kastes. Derfor blev ledelsen overtaget af den 6-sidede terningvariant.
• For de første par kast har den 6-sidede terning den højeste sandsynlighed, fordi den har de færreste sider af terningerne, der kan kastes.
• På det femte kast kommer en 8'er op, sandsynligheden for den 6-sidede falder til nul, og den 8-sidede bliver førende.
• Sandsynligheden for de 10-, 12- og 20-sidede terninger faldt gradvist ved de første kast, og oplevede derefter en spids, da den 6-sidede terning faldt ud af løbet. Dette skyldes, at resultaterne blev normaliseret til en meget mindre stikprøve.

Ris. 4. Ændring af sandsynligheder kast for kast

Bemærk:

• Bayes' teorem for flere hændelser er simpelthen gentaget multiplikation på sekventielt opdaterede data. Det endelige svar afhænger ikke af, i hvilken rækkefølge begivenhederne fandt sted.
• Det er ikke nødvendigt at normalisere sandsynligheden efter hver begivenhed. Du kan gøre dette én gang til allersidst. Problemet er, at hvis man ikke normaliserer regelmæssigt, bliver sandsynligheden så lille, at Excel muligvis ikke fungerer korrekt på grund af afrundingsfejl. Så det er mere praktisk at normalisere ved hvert trin end at tjekke, om du er tæt på Excels præcisionsgrænse.

Bayes' sætning. Terminologi

• Initial sandsynlighed, sandsynligheden for hver mulighed, før observationen indtræffer, kaldes a priori.
• Den normaliserede respons efter beregning af sandsynligheden for hvert datapunkt (for hver observation) kaldes a posteriori.
• Den samlede sandsynlighed brugt til at normalisere responsen er normaliseringskonstant.
• Betinget sandsynlighed, dvs. sandsynligheden for hver hændelse kaldes troværdighed.

Sådan ser disse udtryk ud for det første eksempel (sammenlign med fig. 1).

Ris. 5. Vilkår for Bayes' sætning

Selve Bayes' sætning i de nye definitioner ser sådan ud (sammenlign med formel 2):

Eksempel 3: Unfair mønt

Du har en mønt, som du har mistanke om er urimelig. Du smider det 100 gange. Beregn sandsynligheden for, at en uærlig mønt lander heads up med en sandsynlighed på 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

Lad os gå til Excel-filen, ark Eksempel 3. I cellerne B13:B112 genererede jeg et tilfældigt tal mellem 0 og 1, og brugte en pastaspecial til at flytte værdierne til kolonne C. I celle B8 indtastede jeg den forventede procentdel af hoveder for denne uærlige mønt. I kolonne D, ved hjælp af HVIS-funktionen, forvandlede jeg sandsynligheder til enheder (hoveder, for sandsynlighed R fra 0,35 til 1) eller til nuller (haler, for R fra 0 til 0,35).

Ris. 6. Indledende data for at kaste en uretfærdig mønt

Jeg fik 63 hoveder og 37 haler, hvilket matcher tilfældigt talgeneratoren godt, hvis vi sætter sandsynligheden for hoveder til 65% som input.

Trin 1. Vi ønsker at beregne sandsynligheden for, at hoveder tilhører 0%, 10%, ... 100% kurve ved at observere 63 hoveder og 37 haler i 100 kast.

Trin 2. Der er 11 indledende muligheder: sandsynligheder 0%, 10%, ... 100%. Lad os naivt antage, at alle initiale muligheder har samme sandsynlighed, det vil sige 1 chance ud af 11 (fig. 7). (Mere realistisk kunne vi give de initiale sandsynligheder omkring 50 % mere vægt end sandsynligheden ved 0 % og 100 % kanterne. Men det fede er, at da vi har så mange som 100 kast, er de initiale sandsynligheder ikke så meget vigtige !)

Trin 3 og 4. Sandsynlighedsberegning. For at beregne sandsynligheden efter hvert kast i Excel skal du bruge HVIS-funktionen. I tilfælde af hoveder er sandsynligheden lig med produktet af muligheden og den tidligere normaliserede sandsynlighed. Hvis resultatet er hoveder, er sandsynligheden lig med (1 minus muligheden) * den tidligere normaliserede sandsynlighed (figur 8).

Ris. 8. Plausibilitet

Trin 5. Normalisering udføres som i det foregående eksempel.

Resultaterne præsenteres tydeligst som en række histogrammer. Den indledende tidsplan er den forudgående sandsynlighed. Derefter viser hver ny graf situationen efter de næste 25 kast (fig. 9). Da vi sætter sandsynligheden for hoveder ved input til 65%, er de præsenterede grafer ikke overraskende.

Ris. 9. Sandsynligheder for muligheder efter en række kast

Hvad betyder en chance på 70 % egentlig for en chance på 0,6? Det er ikke en 70% chance for, at mønten rammer 60% præcist. Da vi havde en stigning på 10 % mellem optioner, vurderer vi, at der er en 70 % chance for, at denne mønt falder mellem 55 og 65 %. Beslutningen om at bruge 11 indledende muligheder i intervaller på 10 % var helt vilkårlig. Vi kunne bruge 101 indledende muligheder i intervaller på 1 %. I dette tilfælde ville vi få et resultat med et maksimum på 63% (da vi havde 63 hoveder) og et jævnere fald i grafen.

Bemærk, at vi i dette eksempel observerede langsommere konvergens sammenlignet med eksempel 2. Dette skyldes, at forskellen mellem en mønt, der vender 60 % mod 70 %, er mindre end mellem 8-sidede og 10-sidede terninger.

Eksempel 4. Flere knogler. Men med fejl i datastrømmen

Lad os vende tilbage til eksempel 2. En ven har terninger med 4, 6, 8, 10, 12, 20 sider i tasken. Han tager en terning ud tilfældigt og kaster den 80 gange. Han skriver de udtrukne tal ned, men tager fejl 5 % af gangene. I dette tilfælde vises et tilfældigt tal mellem 1 og 20 i stedet for det faktiske resultat af kastet. Efter 80 kast, hvilken terning tror du blev valgt?

Som inputdata i Excel (arbejdsark Eksempel 4) Jeg indtastede antallet af sider (8), samt sandsynligheden for, at dataene indeholder en fejl (0,05). Formel for kasteværdi (fig. 10):

HVIS (RAND() > fejlsandsynlighed; RANDBETWEEN(1, antal sider); RANDMELLEM(1,20))

Hvis det tilfældige tal er større end sandsynligheden for fejl (0,05), så var der ingen fejl i dette kast, så tilfældigt talgeneratoren vælger en værdi mellem 1 og det "gættede" antal sider af terningen, ellers et tilfældigt heltal skal genereres mellem 1 og 20.

Ris. 10. Beregning af kasteværdi

Ved første øjekast kunne vi løse dette problem på samme måde som i eksempel 2. Men hvis vi ikke tager højde for fejlsandsynligheden, får vi en sandsynlighedsgraf som i fig. 11. (Den nemmeste måde at få det i EXCEL er først at generere kast i kolonne B med en fejlværdi på 0,05; derefter flytte kastværdierne til kolonne C og til sidst ændre værdien i celle B11 til 0; da formler til beregning af sandsynligheden i området D14 :J94 henviser til celle B11, effekten af ​​ikke at tælle fejl vil blive opnået.)

Ris. 11. Behandling af værdien af ​​kast uden at tage højde for sandsynligheden for fejl

Da sandsynligheden for fejl er lille, og tilfældig talgeneratoren er sat til 8-sidet, bliver sandsynligheden for sidstnævnte dominerende for hvert kast. Desuden, da en fejl med en sandsynlighed på 40 % (otte ud af tyve) kan give en værdi inden for 8, dukkede værdien af ​​fejlen, der påvirkede resultatet, kun op ved det 63. kast. Men hvis der ikke tages højde for fejl, vil sandsynligheden for 8-hedron være nul, og 20-hedron vil modtage 100%. Bemærk, at ved det 63. kast var sandsynligheden for et 20-sidet bet kun 2*10 –25.

Chancerne for at få en fejl er 5 %, og chancen for at en fejl giver en værdi større end 8 er 60 %. Det vil sige, at 3 % af kast vil give en fejl med en værdi på mere end 8, hvilket skete ved kast 63, da indtastningen 17 blev foretaget. Hvis sandsynlighedsformlen ikke tager højde for mulige fejl, får vi sandsynligheden for en 20-sidet svævning fra 2 * 10 –25 til 1, som i Fig. elleve.

Hvis en person omhyggeligt observerer dataene, kan han opdage denne fejl og ignorere de fejlagtige værdier. For at automatisere processen skal du supplere sandsynlighedsligningen med fejlkontrol. Indstil aldrig fejlsandsynligheder til nul, hvis du antager, at de ikke helt kan elimineres. Hvis du tager højde for sandsynligheden for fejl, vil hundredvis af "korrekte" data ikke tillade individuelle fejlagtige værdier at ødelægge billedet.

Vi supplerer ligningen for sandsynlighedsfunktionen ved at kontrollere for fejl (fig. 12):

HVIS($C15>F$13;$B$11*1/20*N14;($B$11*1/20+(1-$B$11)/F$13)*N14)

Ris. 12. Sandsynlighedsfunktion under hensyntagen til fejl

Hvis den registrerede rulningsværdi er større end antallet af sider ($C15>F$13), nulstiller vi ikke den betingede sandsynlighed, men reducerer den under hensyntagen til sandsynligheden for fejl ($B$11*1/20*N14). Hvis det skrevne tal er mindre end antallet af ansigter, øger vi den betingede sandsynlighed ikke fuldt ud, og tager også højde for den mulige fejl ($B$11*1/20+(1-$B$11)/F$13)* N14). I sidstnævnte tilfælde vurderer vi, at det skrevne tal enten kan være en konsekvens af en fejl ($B$11*1/20) eller resultatet af en korrekt optagelse (1-$B$11)/F$13).

Ændringen i normaliseret sandsynlighed bliver mere modstandsdygtig over for mulige fejl (fig. 13).

Ris. 13. Ændring i normaliseret sandsynlighed fra kast til kast

I dette eksempel er den 6-sidede terning til at begynde med favoritten, fordi de første 3 kast er 5, 6, 1. Derefter kastes en 7, og sandsynligheden for den 8-sidede stiger. Men udseendet af en 7'er ophæver ikke sandsynligheden for en 6-sidet, fordi en 7'er kan være en fejl. Og de næste ni kast ser ud til at bekræfte dette, når værdier på ikke mere end 6 rulles: sandsynligheden for en 6-sidet begynder at stige igen. Men på det 14. og 15. kast kastes 7'ere igen, og sandsynligheden for en 6-sidet terning nærmer sig nul. Senere vises værdierne 17 og 19, som "systemet" fastslår som klart fejlagtige.

Eksempel 4A. Hvad hvis du har en rigtig høj fejlrate?

Dette eksempel ligner det foregående, men fejlprocenten er øget fra 5 % til 75 %. Da dataene blev mindre relevante, øgede vi antallet af kast til 250. Ved at bruge de samme ligninger som i eksempel 4 får vi følgende graf:

Ris. 14. Normaliseret sandsynlighed med 75 % fejlagtige registreringer

Med så høj en fejlrate var der behov for mange flere kast. Derudover er resultatet mindre sikkert, og 6-hedronen bliver periodisk mere sandsynlig. Hvis du har en endnu højere fejlrate, såsom 99 %, er det stadig muligt at få det rigtige svar. Jo højere fejlprocenten er, jo flere billeder skal du naturligvis lave. For 75 % af fejlene får vi én korrekt værdi ud af fire. Hvis sandsynligheden for fejl var 99 %, ville vi kun få én korrekt værdi ud af hundrede. Vi ville sandsynligvis have brug for 25 gange mere data for at identificere den dominerende variant.

Hvad hvis du ikke kender sandsynligheden for fejl? Jeg anbefaler at "lege" med eksempel 4 og 4A, indstille forskellige værdier i celle B11 fra meget lille (for eksempel 2*10 –25 for eksempel 4) til meget stor (for eksempel 90% for eksempel 4A). Her er de vigtigste konklusioner:

• Hvis den estimerede fejlrate er højere end den faktiske fejlrate, vil resultaterne konvergere langsommere, men vil stadig konvergere til det rigtige svar.
• Hvis du vurderer fejlprocenten for lav, er der risiko for, at resultaterne ikke bliver korrekte.
• Jo lavere den faktiske fejlrate er, jo mere spillerum har du til at gætte fejlprocenten.
• Jo højere den faktiske fejlrate er, jo flere data har du brug for.

Eksempel 5. Tysk kampvognsproblem

I denne opgave forsøger du at estimere, hvor mange tanke, der blev produceret, baseret på serienumrene på fangede tanke. Bayes' teorem blev brugt af de allierede under Anden Verdenskrig og gav i sidste ende resultater, der var lavere end dem, der blev rapporteret af efterretningstjenesten. Efter krigen viste optegnelser, at statistiske estimater ved hjælp af Bayes' sætning var mere nøjagtige. (Det er interessant, at jeg skrev en note om dette emne uden endnu at vide, hvad Bayesianske sandsynligheder er; se. - Bemærk Baguzina.)

Så du analyserer serienumre taget fra styrtede eller fangede tanke. Målet er at vurdere, hvor mange tanke der blev produceret. Her er, hvad du ved om tankens serienumre:

• De starter fra 1.
• Disse er heltal uden mellemrum.
• Du fandt følgende serienumre: 30, 70, 140, 125.

Vi er interesserede i svaret på spørgsmålet: hvad er det maksimale antal tanke? Jeg starter med 1000 tanke. Men en anden kunne starte med 500 kampvogne eller 2000 kampvogne, og vi får måske andre resultater. Jeg vil analysere hver 20 tanke, hvilket betyder, at jeg har 50 indledende muligheder for antallet af tanke. Man kan komplicere modellen og analysere den for hvert enkelt tal i Excel, men svaret ændrer sig ikke meget, og analysen bliver meget mere kompliceret.

Jeg antager, at alle muligheder for antallet af tanke er lige store (dvs. sandsynligheden for at have 50 tanke er den samme som at have 500). Bemærk venligst, at Excel-filen har flere kolonner end vist på figuren. Den betingede sandsynlighed for sandsynlighedsfunktionen er meget lig den betingede sandsynlighed fra eksempel 2:

• Hvis det observerede serienummer er større end det maksimale serienummer for denne gruppe, så er sandsynligheden for at have så mange tanke 0.
• Hvis det observerede serienummer er mindre end det maksimale serienummer for den gruppe, er sandsynligheden én divideret med antallet af tanke ganget med den normaliserede sandsynlighed i det foregående trin (Figur 15).

Ris. 15. Betingede sandsynligheder for tankfordeling i grupper

De normaliserede sandsynligheder ser således ud (fig. 16).

Ris. 16. Normaliserede sandsynligheder for antallet af tanke

Der er en stor stigning i sandsynlighed for det maksimalt observerede serienummer. Herefter sker et asymptotisk fald til nul. For 4 detekterede serienumre svarer maksimum til 140 tanke. Men selvom dette tal er det mest sandsynlige svar, er det ikke det bedste skøn, da det næsten helt sikkert undervurderer antallet af tanke.

Hvis vi tager det vægtede gennemsnitlige antal tanke, dvs. sum de parvis multiplicerede grupper og deres sandsynligheder for fire tanke ved hjælp af formlen:

RUND(SUMPRODUKT(BD9:DA9;BD14:DA14);0)

vi får den bedste score på 193.

Hvis vi oprindeligt havde antaget 2.000 tanke, ville det vægtede gennemsnit have været 195 tanke, hvilket i det væsentlige ikke ændrer noget.

Eksempel 6: Narkotikatest

Du ved, at 0,5% af befolkningen bruger stoffer. Du har en test, der har en 99 % sand positiv rate for stofbrugere og en 98 % sand negativ rate for ikke-brugere. Du vælger tilfældigt en person, kører en test og får et positivt resultat. Hvad er sandsynligheden for, at en person rent faktisk bruger stoffer?

For vores tilfældige individ initial sandsynlighed at han er stofbruger er 0,5 %, og sandsynligheden for at han ikke er stofbruger er 99,5 %.

Det næste trin er at beregne den betingede sandsynlighed:

• Hvis forsøgspersonen bruger stoffer, vil testen være positiv 99 % af tiden og negativ 1 % af tiden.
• Hvis forsøgspersonen ikke bruger stoffer, vil testen være positiv i 2 % af tilfældene og negativ i 98 % af tilfældene.

Sandsynlighedsfunktionerne for stofbrugere og ikke-brugere er præsenteret i fig. 17.

Ris. 17. Sandsynlighedsfunktioner: (a) for stofbrugere; b) for ikke-stofbrugere

Efter normalisering ser vi, at trods det positive testresultat, er sandsynligheden for, at denne tilfældige person bruger stoffer kun 0,1992 eller 19,9%. Dette resultat overrasker mange mennesker, fordi testens nøjagtighed trods alt er ret høj - hele 99%. Da den oprindelige sandsynlighed kun var 0,5 %, var selv en stor stigning i denne sandsynlighed ikke nok til at gøre svaret virkelig stort.

De fleste menneskers intuition tager ikke hensyn til den oprindelige sandsynlighed. Selvom den betingede sandsynlighed er virkelig høj, kan en meget lav initial sandsynlighed føre til en lav slutsandsynlighed. De fleste menneskers intuition er tunet omkring den oprindelige sandsynlighed på 50/50. Hvis dette er tilfældet, og testresultatet er positivt, vil den normaliserede sandsynlighed være de forventede 98 %, hvilket bekræfter, at personen bruger stoffer (Figur 18).

Ris. 18. Testresultat med initial sandsynlighed 50/50

For en alternativ tilgang til at forklare sådanne situationer, se.

For en bibliografi om Bayes' sætning, se slutningen af ​​noten.

Lektion nr. 4.

Emne: Formel for total sandsynlighed. Bayes' formel. Bernoulli plan. Polynomisk kredsløb. Hypergeometrisk skema.

TOTALSANDSYNLIGHEDSFORMEL

BAYES FORMEL

TEORI

Formel for total sandsynlighed:

Lad der være en komplet gruppe af uforenelige begivenheder:

(, ).Så kan sandsynligheden for hændelse A beregnes ved hjælp af formlen

(4.1)

Begivenheder kaldes hypoteser. Der opstilles hypoteser vedrørende den del af forsøget, hvor der er usikkerhed.

, hvor er de forudgående sandsynligheder for hypoteserne

Bayes formel:

Lad eksperimentet blive afsluttet, og det er kendt, at hændelse A opstod som et resultat af eksperimentet. Så kan vi tage disse oplysninger i betragtning overvurdere sandsynligheden for hypoteser:

(4.2)

, Hvor posteriore sandsynligheder for hypoteser

PROBLEMLØSNING

Opgave 1.

Tilstand

I 3 partier af dele, der ankom til lageret, er de brugbare dele: 89 %, 92 % Og 97 % derfor. Antallet af dele i batches refererer til 1:2:3.

Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt del fra lageret vil være defekt? Lad det være kendt, at en tilfældigt udvalgt del viste sig at være defekt. Find sandsynligheden for, at den tilhører den første, anden og tredje part.

Løsning:

Lad os med A betegne den hændelse, at en tilfældigt udvalgt del viser sig at være defekt.

1 spørgsmål - til den samlede sandsynlighedsformel

2. spørgsmål - til Bayes' formel

Der opstilles hypoteser vedrørende den del af forsøget, hvor der er usikkerhed. I denne problemstilling ligger usikkerheden i, hvilket parti den tilfældigt udvalgte del er fra.

Lad det første spil ind EN detaljer. Så i det andet spil - 2 -en detaljer, og i den tredje - 3 -en detaljer. På kun tre partier 6 -en detaljer.

(procentdelen af ​​fejl på den første linje blev konverteret til sandsynlighed)

(procentdelen af ​​defekter på den anden linje blev konverteret til sandsynlighed)

(procentdelen af ​​defekter på den tredje linje blev konverteret til sandsynlighed)

Ved hjælp af totalsandsynlighedsformlen beregner vi sandsynligheden for en begivenhed EN

-svar på 1 spørgsmål

Sandsynligheden for, at en defekt del tilhører den første, anden og tredje batch, beregnes ved hjælp af Bayes-formlen:

Opgave 2.

Tilstand:

I den første urne 10 bolde: 4 hvid og 6 sort. I den anden urne 20 bolde: 2 hvid og 18 sort. En bold vælges tilfældigt fra hver urne og placeres i den tredje urne. Derefter vælges en kugle tilfældigt fra den tredje urne. Find sandsynligheden for, at kuglen fra den tredje urne bliver hvid.

Løsning:

Svaret på problemspørgsmålet kan fås ved hjælp af den samlede sandsynlighedsformel:

Usikkerheden er, hvilke bolde der går ind i den tredje urne. Vi fremsætter hypoteser vedrørende sammensætningen af ​​kuglerne i den tredje urne.

H1=(der er 2 hvide kugler i den tredje urne)

H2=(der er 2 sorte kugler i den tredje urne)

H3=(i den tredje urne er der 1 hvid kugle og 1 sort kugle)

A=(kuglen taget fra urne 3 vil være hvid)

Opgave 3.

En hvid kugle falder ned i en urne, der indeholder 2 kugler af ukendt farve. Derefter tager vi 1 kugle fra denne urne. Find sandsynligheden for, at en kugle trukket fra en urne bliver hvid. Kuglen taget fra urnen beskrevet ovenfor viste sig at være hvid. Find sandsynligheden for, at at der i urnen inden flytning var 0 hvide kugler, 1 hvid kugle og 2 hvide kugler .

1 spørgsmål c - til den samlede sandsynlighedsformel

Spørgsmål 2- på Bayes' formel

Usikkerheden ligger i den indledende sammensætning af kuglerne i urnen. Med hensyn til den oprindelige sammensætning af kuglerne i urnen fremsætter vi følgende hypoteser:

Hej=(var i skraldespanden før flytningi-1 hvid kugle),i=1,2,3

, i=1,2,3(i en situation med fuldstændig usikkerhed tager vi a priori sandsynligheder for hypoteserne for at være de samme, da vi ikke kan sige, at den ene mulighed er mere sandsynlig end den anden)

A=(kuglen fjernet fra urnen efter genplacering vil være hvid)

Lad os beregne de betingede sandsynligheder:

Lad os lave beregningen ved hjælp af formlen for total sandsynlighed:

Besvar 1 spørgsmål

For at besvare det andet spørgsmål bruger vi Bayes' formel:

(reduceret i forhold til den tidligere sandsynlighed)

(ændrede sig ikke i forhold til den tidligere sandsynlighed)

(forøget i forhold til den tidligere sandsynlighed)

Konklusion fra en sammenligning af a priori og posteriore sandsynligheder for hypoteser: den initiale usikkerhed har ændret sig kvantitativt

Opgave 4.

Tilstand:

Ved transfusion af blod skal der tages hensyn til donorens og patientens blodgrupper. En person, der har fjerde gruppe blod Du kan transfundere blod af enhver type, person med anden og tredje gruppe kan hældes eller blod af hans type, eller først. Til en person med den første blodgruppe kan du give en blodtransfusion? kun den første gruppe. Det er kendt, at blandt befolkningen 33,7 % har første gruppe pu, 37,5 % har anden gruppe, 20,9 % har tredje gruppe Og 7,9 % har gruppe 4. Find sandsynligheden for, at en tilfældig patient kan modtage en blodtransfusion fra en tilfældig donor.

Løsning:

Vi fremsætter hypoteser om blodtypen hos en tilfældigt udvalgt patient:

Hej=(i patienteni-te blodgruppe),i=1,2,3,4

(Procentsatser konverteret til sandsynligheder)

A=(transfusion kan udføres)

Ved at bruge den samlede sandsynlighedsformel får vi:

Det vil sige, at transfusion kan udføres i cirka 60 % af tilfældene

Bernoulli-skema (eller binomial-skema)

Bernoullis tests - Det her uafhængige tests 2 resultater, som vi konventionelt kalder succes og fiasko.

p- sandsynlighed for succes

q– sandsynlighed for fejl

Sandsynlighed for succes ændrer sig ikke fra oplevelse til oplevelse

Resultatet af den foregående test påvirker ikke de følgende tests.

Udførelse af testene beskrevet ovenfor kaldes et Bernoulli-skema eller et binomialskema.

Eksempler på Bernoulli-tests:

Møntkast

Succes – våbenskjold

Fiasko- haler

Sagen om en fair mønt

tilfælde af forkert mønt

s Og q ikke ændre fra eksperiment til eksperiment, hvis vi ikke ændrer mønten under eksperimentet

Kaster en terning

Succes - rulle "6"

fiasko - resten

Sagen om en fair die

Tilfældet med en uregelmæssig terning

s Og q skift ikke fra eksperiment til eksperiment, hvis vi ikke ændrer terningerne under eksperimentet

Shooter, der skyder mod mål

Succes - hit

fiasko - gå glip af

p =0,1 (skytten slår et skud ud af 10)

s Og q skift ikke fra eksperiment til eksperiment, hvis vi ikke ændrer skytten under forsøget

Bernoullis formel.

Lade afholdt n s. Overvej begivenhederne

(Vn Bernoulli tester med sandsynlighed for succesp vil skem succeser),

- for sandsynligheden for sådanne hændelser er der en standardnotation

<-Bernoulli formel til beregning af sandsynligheder (4.3)

Forklaring af formlen : sandsynligheden for, at m succeser vil indtræffe (sandsynlighederne ganges, da testene er uafhængige, og da de alle er ens, vises der en grad), - sandsynligheden for, at n-m fejl vil forekomme (forklaringen svarer til den for succeser) , - antallet af måder at implementere begivenheder på, dvs. på hvor mange måder kan m succeser placeres n steder.

Følger af Bernoullis formel:

Konsekvens 1:

Lade afholdt n Bernoulli tester med sandsynlighed for succes s. Overvej begivenhederne

EN(m1,m2)=(antal succeser in Bernoulli test vil være i området [m1;m2])

(4.4)

Forklaring af formlen: Formlen (4.4) følger af formlen (4.3) og sætningen om tilføjelse af sandsynligheder for uforenelige hændelser, da er summen (foreningen) af uforenelige hændelser, og sandsynligheden for hver er bestemt af formel (4.3).

Konsekvens 2

Lade afholdt n Bernoulli tester med sandsynlighed for succes s. Overvej begivenheden

A=( in Bernoulli forsøg vil der være mindst 1 succes}

(4.5)

Forklaring af formlen: ={ i n Bernoulli forsøg vil der ikke være nogen succes) =

(alle n test mislykkes)

Problem (om Bernoullis formel og dens følger) eksempel for opgave 1.6-D. h.

Den rigtige mønt kastet 10 gange. Find sandsynligheden for følgende hændelser:

A=(våbenskjoldet vises nøjagtigt 5 gange)

B=(våbenskjold vises ikke mere end 5 gange)

C=(våbenskjold vises mindst én gang)

Løsning:

Lad os omformulere problemet i form af Bernoulli-tests:

n=10 antal prøver

succes- våbenskjold

p=0,5 – sandsynlighed for succes

q=1-p=0,5 – sandsynlighed for fejl

Til at beregne sandsynligheden for hændelse A bruger vi Bernoulli formel:

Til at beregne sandsynligheden for hændelse B bruger vi konsekvens 1 Til Bernoulli formel:

Til at beregne sandsynligheden for hændelse C bruger vi konsekvens 2 Til Bernoulli formel:

Bernoulli plan. Beregning ved hjælp af omtrentlige formler.

OMTRÆNGELIG MOIVRE-LAPLACE FORMEL

Lokal formel

s succes og q fiaskoer er for alle m Den omtrentlige formel er gyldig:

, (4.6)

m.

Betydningen af ​​funktionen kan findes i specialen bord. Den indeholder kun værdier for . Men funktionen er lige, dvs.

Hvis, så tror de

Integral formel

Hvis i Bernoulli-skemaet er antallet af test n stort, og sandsynligheden er også stor s succes og q fejl, så er den omtrentlige formel gyldig for alle (4.7) :

Funktionsværdien kan findes i en speciel tabel. Den indeholder kun værdier for . Men funktionen er mærkelig, dvs. .

Hvis, så tror de

OMTRÆNGELIGE GIFTFORMLER

Lokal formel

Lad antallet af forsøg n Ifølge Bernoullis skema er sandsynligheden for succes i en test lille, og produktet . Derefter bestemt af den omtrentlige formel:

, (4.8)

Sandsynligheden for, at antallet af succeser i n Bernoulli forsøg er m.

Funktionsværdier kan findes i en speciel tabel.

Integral formel

Lad antallet af forsøg n Ifølge Bernoullis skema er sandsynligheden for succes i en test lille, og produktet .

Derefter bestemt af den omtrentlige formel:

, (4.9)

Sandsynligheden for, at antallet af succeser i n Bernoulli-forsøg er inden for intervallet.

Funktionsværdier kan ses i en speciel tabel og derefter summeres over intervallet.

Formel	Poissons formel	Moivre-Laplace formel	Kvalitet vurderinger
			skøn er grove
10			bruges til grove skøn beregninger
			bruges til applikationer tekniske beregninger
100 0			bruges til alle tekniske beregninger
n>1000			meget god kvalitet af vurderinger

Du kan se eksempler på opgave 1.7 og 1.8 D. z.

Beregning ved hjælp af Poisson-formlen.

Problem (Poisson-formel).

Tilstand:

Sandsynligheden for forvrængning af et tegn ved transmission af en besked over en kommunikationslinje er lig med 0.001. Meddelelsen anses for accepteret, hvis der ikke er nogen forvrængninger i den. Find sandsynligheden for, at en besked består af 20 ord 100 hver tegn hver.

Løsning:

Lad os betegne med EN

-antal tegn i beskeden

succes: symbolet er ikke forvrænget

Sandsynlighed for succes

Lad os beregne. Se anbefalinger til brug af omtrentlige formler ( ) : til beregning skal du ansøge Poissons formel

Sandsynligheder for Poisson-formlen ved ogm kan findes i en speciel tabel.

Tilstand:

Telefoncentralen betjener 1000 abonnenter. Sandsynligheden for, at en abonnent har brug for en forbindelse inden for et minut, er 0,0007. Beregn sandsynligheden for, at der modtages mindst 3 opkald på telefoncentralen i minuttet.

Løsning:

Lad os omformulere problemet i forhold til Bernoulli-ordningen

succes: opkald modtaget

Sandsynlighed for succes

– det interval, hvori antallet af succeser skal ligge

A = (mindst tre opkald ankommer) - en hændelse, hvis sandsynlighed er påkrævet. finde i problem

(mindre end tre opkald modtaget) Gå til yderligere. hændelse, fordi dens sandsynlighed er lettere at beregne.

(beregning af vilkår, se speciel tabel)

Dermed,

Problem (lokal Mouvre-Laplace formel)

Tilstand

Sandsynlighed for at ramme målet med et skud lig med 0,8. Bestem sandsynligheden for, at ved 400 skud vil ske præcis 300 hits.

Løsning:

Lad os omformulere problemet i forhold til Bernoulli-ordningen

n=400 – antal prøver

m=300 – antal succeser

succes - hit

(Problemspørgsmål i forhold til Bernoulli-skemaet)

Forskudsbetaling:

Vi udfører uafhængige tests, i hver af dem skelner vi m muligheder.

p1 – sandsynlighed for at få den første mulighed i et forsøg

p2 – sandsynlighed for at få den anden mulighed i et forsøg

…………..

pm – sandsynlighed for at modtagem-te mulighed i ét forsøg

p1,p2, …………..,pm ændres ikke fra oplevelse til oplevelse

Sekvensen af ​​test beskrevet ovenfor kaldes polynomisk skema.

(for m=2 bliver polynomialskemaet til et binomialskema), dvs. binomialskemaet skitseret ovenfor er et specialtilfælde af et mere generelt skema kaldet polynomium).

Overvej følgende begivenheder

A(n1,n2,….,nm)=(i de n test, der er beskrevet ovenfor, dukkede mulighed 1 op n1 gange, mulighed 2 dukkede op n2 gange, ….. osv., mulighed m dukkede op nm gange)

Formel til beregning af sandsynligheder ved hjælp af et polynomiumskema

Tilstand

Terning smidt 10 gange. Du skal finde sandsynligheden for, at en "6" bliver kastet 2 gange, og "5" vises 3 gange.

Løsning:

Lad os betegne med EN en hændelse, hvis sandsynlighed skal findes i problemet.

n=10 – antal prøver

m=3

1. mulighed - rulle 6

p1=1/6n1=2

2. mulighed - rulle 5

p2=1/6n2=3

Mulighed 3 - at falde ud af enhver kant undtagen 5 og 6

p3=4/6n3=5

P(2,3,5)-? (sandsynlighed for hændelsen nævnt i problemformuleringen)

Polynomisk kredsløbsproblem

Tilstand

Find sandsynligheden for, at blandt 10 af tilfældigt udvalgte personer vil fire have fødselsdag i første kvartal, tre i andet, to i tredje og én i fjerde.

Løsning:

Lad os betegne med EN en hændelse, hvis sandsynlighed skal findes i problemet.

Lad os omformulere problemet i form af et polynomisk skema:

n=10 – antal forsøg = antal personer

m=4– antallet af muligheder, som vi skelner i hvert forsøg

Mulighed 1 - fødsel i 1. kvartal

p1=1/4n1=4

Mulighed 2 - fødsel i 2. kvartal

p2=1/4n2=3

Mulighed 3 - fødsel i 3. kvartal

p3=1/4n3=2

Mulighed 4 - fødsel i 4. kvartal

p4=1/4n4=1

P(4,3,2,1)-? (sandsynlighed for hændelsen nævnt i problemformuleringen)

Vi antager, at sandsynligheden for at blive født i et hvilket som helst kvartal er den samme og lig med 1/4. Lad os udføre beregningen ved hjælp af formlen for polynomieskemaet:

Polynomisk kredsløbsproblem

Tilstand

I urnen 30 bolde: velkommen tilbage.3 hvide, 2 grønne, 4 blå og 1 gul.

Løsning:

Lad os betegne med EN en hændelse, hvis sandsynlighed skal findes i problemet.

Lad os omformulere problemet i form af et polynomisk skema:

n=10 – antal forsøg = antal valgte bolde

m=4– antallet af muligheder, som vi skelner i hvert forsøg

Mulighed 1 - at vælge en hvid bold

p1=1/3n1=3

Mulighed 2 - at vælge en grøn bold

p2=1/6n2=2

Mulighed 3 - at vælge en blå bold

p3=4/15n3=4

Mulighed 4 - at vælge en gul bold

p4=7/30n4=1

P(3,2,4,1)-? (sandsynlighed for hændelsen nævnt i problemformuleringen)

p1,s2, p3,s4 skift ikke fra oplevelse til oplevelse, da valget træffes med tilbagevenden

Lad os udføre beregningen ved hjælp af formlen for polynomieskemaet:

Hypergeometrisk skema

Lad der være n elementer af k typer:

n1 af den første type

n2 af den anden type

nk k-th type

Fra disse n elementer tilfældigt ingen vej tilbage vælg m elementer

Overvej begivenheden A(m1,...,mk), som består i, at der blandt de udvalgte m elementer vil være

m1 første type

m2 af den anden type

mk k-th type

Sandsynligheden for denne hændelse beregnes ved hjælp af formlen

P(A(m1,…,mk))= (4.11)

Eksempel 1.

Opgave på et hypergeometrisk skema (eksempel til opgave 1.9 D. h)

Tilstand

I urnen 30 bolde: 10 hvide, 5 grønne, 8 blå og 7 gule(bolde afviger kun i farve). 10 bolde er tilfældigt udvalgt fra urnen ingen vej tilbage. Find sandsynligheden for, at der blandt de valgte bolde vil være: 3 hvide, 2 grønne, 4 blå og 1 gul.

Vi harn=30,k=4,

n1=10,n2=5,n3=8,n4=7,

m1=3,m2=2,m3=4,m4=1

P(A(3,2,4,1))= = du kan tælle til et tal ved at kende formlen for kombinationer

Eksempel 2.

Eksempel på beregning ved hjælp af dette skema: se beregninger for spillet Sportloto (emne 1)

Signal og støj. Hvorfor nogle forudsigelser går i opfyldelse og andre ikke Silver Nate

Den simple matematik i Bayes' sætning

Mens filosofien bag Bayes' Teorem er forbavsende dyb, er dens matematik forbløffende enkel. I sin grundform er det blot et algebraisk udtryk med tre kendte variable og en ukendt. Denne simple formel kan dog føre til forudsigelig indsigt.

Bayes' sætning er direkte relateret til betinget sandsynlighed. Med andre ord giver det dig mulighed for at beregne sandsynligheden for enhver teori eller hypotese, Hvis en eller anden begivenhed vil ske. Forestil dig at bo sammen med din partner og vende hjem fra en forretningsrejse for at finde et ukendt par undertøj i dit skab. Du undrer dig måske: Hvor sandsynligt er det, at din partner er dig utro? Tilstand er, at du finder undertøj; hypotese er, at du er interesseret i at vurdere sandsynligheden for, at du bliver bedraget. Tro det eller ej, Bayes' sætning kan give dig et svar på denne slags spørgsmål - forudsat at du kender (eller vil vurdere) tre kvaliteter.

Først og fremmest skal du vurdere sandsynligheden for, at der dukker vasketøj op som betingelse for rigtigheden af ​​hypotesen – altså forudsat at du bliver snydt.

For at løse dette problem, lad os antage, at du er en kvinde, og din partner er en mand, og emnet for tvisten er et par trusser. Hvis han er dig utro, så er det nemt at forestille sig, hvordan en andens trusser kunne komme ind i din garderobe. Men selvom (eller endda især hvis) han snyder dig, kan du forvente, at han er ret diskret. Lad os sige, at der er 50 % chance for, at trusser dukker op, hvis han er dig utro.

For det andet skal du vurdere sandsynligheden for, at der dukker vasketøj op forudsat at hypotesen er falsk.

Hvis din mand er dig ikke utro, der må være andre, mere uskyldige forklaringer på, at trusser dukker op i din garderobe. Nogle af dem kan være ret grimme (det kan for eksempel være hans egne trusser). Det er muligt, at hans bagage ved en fejl er blevet blandet sammen med en andens. Det er muligt, at en eller anden af ​​dine venner af en eller anden grund, som du stoler på, ganske uskyldigt tilbragte natten i sit hus. Trusserne kunne være en gave til dig, som han glemte at pakke. Ingen af ​​disse teorier er uden fejl, selvom "hunden spiste mine lektier"-forklaringen nogle gange viser sig at være sand. Du estimerer deres kombinerede sandsynlighed til at være 5 %.

Den tredje og vigtigste ting, du har brug for, er, hvad Bayesianere kalder forudgående sandsynlighed(eller simpelthen a priori). Hvordan vurderede du sandsynligheden for, at han var utro? inden da Hvordan fandt du undertøjet? Selvfølgelig er det svært for dig at forblive objektiv i din vurdering, nu hvor disse trusser er dukket op i dit synsfelt (ideelt set vurderer du denne sandsynlighed, før du begynder at studere beviserne). Men nogle gange kan sandsynligheden for sådanne begivenheder vurderes empirisk. For eksempel har en række undersøgelser vist, at omkring 4 % af gifte partnere (570) i ​​et givet år snyder deres ægtefæller, så vi tager dette tal som en forudgående sandsynlighed.

Hvis du har estimeret alle disse værdier, kan du anvende Bayes' sætning til at estimere posterior sandsynlighed. Det er denne figur, vi er mest interesserede i - hvor sandsynligt er det, at de er os utro, i betragtning af at vi har fundet en andens undertøj?

Beregningen og en simpel algebraisk formel, der gør det muligt at udføre det, er angivet i tabel. 8.2.

Tabel 8.2. Et eksempel på beregning af sandsynligheden for forræderi ved hjælp af Bayes' sætning

Det viser sig, at sandsynligheden for forræderi stadig er ret lille - 29%. Dette kan virke kontraintuitivt: er trusser ikke stærke nok beviser? Måske skyldes dette resultat det faktum, at du brugte for lav a priori-værdi for sandsynligheden for hans snyd.

Selvom en uskyldig person kan have betydeligt færre muligheder for rimelige forklaringer på udseendet af trusser end en skyldig person, antog du i første omgang, at han var uskyldig, og det havde stor indflydelse på udfaldet af ligningen.

Når vi er sikre på noget a priori, kan vi være bemærkelsesværdigt fleksible, selv når nye beviser dukker op. Et klassisk eksempel på sådanne situationer er påvisning af brystkræft hos kvinder over 40 år. Heldigvis er chancen for, at en kvinde udvikler brystkræft efter 40 års alderen, ret lille, cirka 1,4 % (571). Men hvad er sandsynligheden for, at hendes mammografi er positiv?

Forskning viser, at selvom en kvinde Ingen kræft, så vil et mammografi fejlagtigt vise sin tilstedeværelse i 10 % af tilfældene (572). På den anden side, hvis hun har kræft, vil et mammografi opdage det omkring 75 % af tiden (573). Efter at have set disse statistikker, tror du måske, at en positiv mammografi betyder, at tingene er meget dårlige. Men en beregning ved hjælp af Bayes' sætning ved hjælp af disse tal giver os mulighed for at drage en anden konklusion: sandsynligheden for at få brystkræft hos en kvinde over 40 år forudsat at hun har en positiv mammografi, er stadig omkring 10 %. I dette tilfælde skyldes dette resultat af ligningen, at en del unge kvinder har brystkræft. Det er grunden til, at mange læger anbefaler, at kvinder ikke begynder at få regelmæssig mammografi, før de er 50 år, hvorefter a priori sandsynligheden for brystkræft øges betydeligt (574).

Problemer af denne art er uden tvivl komplekse. Under en nylig undersøgelse af amerikanernes statistiske læsefærdigheder fik de dette eksempel på brystkræft. Og det viste sig, at kun 3% af dem var i stand til korrekt at beregne sandsynlighedsværdierne (575). Nogle gange, ved at sætte farten lidt ned og forsøge at visualisere problemet (som vist i figur 8.2), kan vi nemt teste virkeligheden af ​​vores unøjagtige tilnærmelser. Billeddiagnostik hjælper os med at se det store billede nemmere - da brystkræft er ekstremt sjælden hos unge kvinder, betyder det blotte faktum af en positiv mammografi ikke noget.

Ris. 8.2. Grafisk repræsentation af kildedataene til Bayes' sætning ved hjælp af eksemplet med et mammografi

Vi har dog en tendens til at fokusere på den nyeste eller mest tilgængelige information, og det store billede begynder at gå tabt. Smarte spillere som Bob Voulgaris har lært at dygtigt udnytte disse mangler i vores tænkning. Voulgaris gjorde et godt væddemål på Lakers til dels, fordi bookmakere havde lagt for meget vægt på Lakers' første par kampe og ændrede deres odds på, at holdet vinder titlen fra 4 til 1 til 65 til 1. Holdet spillede dog faktisk hver lidt så godt som et godt hold kunne spille i tilfælde af en skade på en af ​​sine stjernespillere. Bayes' sætning kræver, at vi tænker mere omhyggeligt over denne slags problemer. Det kan være yderst nyttigt til at identificere tilfælde, hvor vores tarmbaserede tilnærmelser er for grove.

Men jeg mener ikke at sige, at vores forudgående forventninger altid dominerer nye beviser, eller at Bayes' teorem altid fører til tilsyneladende kontraintuitive resultater. Nogle gange viser nye beviser sig at være så betydningsfulde for os, at de opvejer alt andet, og vi kan næsten øjeblikkeligt ændre mening og blive fuldstændig sikre på en begivenhed, hvis sandsynlighed blev betragtet som næsten nul.

Lad os se på et mørkere eksempel: 9/11-angrebene. De fleste af os, da vi vågnede den morgen, tildelte næsten nul sandsynlighed til sandsynligheden for, at terrorister ville styrte fly ind i skyskrabere på Manhattan. Vi erkendte dog den åbenlyse mulighed for et terrorangreb, efter at det første fly styrtede ind i World Trade Center. Og enhver tvivl om, at vi var under angreb, forsvandt, efter at flyet styrtede ind i det andet tårn. Bayes' sætning er i stand til at repræsentere dette resultat.

Lad os sige, at før det første fly ramte tårnet, var vores beregninger af sandsynligheden for et terrorangreb på højhuse på Manhattan kun 1 chance ud af 20 tusind, eller 0,005%. Vi skulle dog også vurdere sandsynligheden for en situation, hvor et fly ville kollidere med World Trade Center-tårnet ved en fejltagelse, for at være ret lav. Dette tal kan beregnes empirisk. I perioden på 25 tusind dage før begivenhederne den 11. september, hvor der blev gennemført flyvninger over Manhattan, var der kun to sådanne hændelser (576): en kollision med Empire State Building i 1945 og med et tårn på 40 Wall Street , i 1946. Derfor var chancen for en sådan hændelse cirka 1 ud af 12.500 på en tilfældig dag. Hvis disse tal beregnes ved hjælp af Bayes' sætning (tabel 8.3a), så steg sandsynligheden for et terrorangreb fra 0,005 til 38% i det øjeblik, det første fly kolliderede med bygningen.

Tabel 8.3a.

Men ideen bag Bayes' sætning er, at vi ikke justerer vores sandsynlighedsberegninger kun én gang. Det gør vi løbende, efterhånden som nye beviser dukker op. Således bliver vores bageste sandsynlighed på 38 % for et terrorangreb efter det første flyangreb vores a priori muligheden for en kollision med den anden.

Og hvis du kører beregningerne igen, efter at det andet fly rammer World Trade Center-tårnet, vil du se, at 99,99% sandsynlighed for et terrorangreb erstattes af næsten fuldstændig sikkerhed for denne begivenhed. Et uheld på en klar solskinsdag i New York var yderst usandsynligt, men et andet var næsten sikkert at ske (Tabel 8.3b), som vi pludselig og med stor rædsel indså.

Tabel 8.3b. Et eksempel på beregning af sandsynligheden for et terrorangreb ved hjælp af Bayes' sætning

Jeg valgte bevidst ret komplekse sager som eksempler – terrorangreb, kræft, utroskab – fordi jeg ønsker at demonstrere omfanget af problemer, som Bayesiansk tænkning kan anvendes på. Bayes' sætning er ikke en magisk formel. Dens enkleste formel, som vi præsenterer i denne bog, bruger simple aritmetiske operationer til addition, subtraktion, division og multiplikation. Men for at det skal give os et brugbart resultat, må vi forsyne det med information, især vores beregninger af forudgående sandsynligheder.

Imidlertid tvinger Bayes' sætning os til at tænke over sandsynligheden for, at begivenheder finder sted i verden, selv når det kommer til forhold, som vi ikke ønsker at betragte som tilfældigheder. Det kræver ikke, at vi opfatter verden internt, metafysisk ubestemt: Laplace mente, at alt fra planeternes kredsløb til bevægelsen af ​​de mindste molekyler var styret af ordnede newtonske regler. Alligevel spillede han en vigtig rolle i udviklingen af ​​Bayes' teorem. Vi kan snarere sige, at denne sætning er relateret til epistemologisk usikkerhed - grænserne for vores viden.

Denne tekst er et indledende fragment. Fra bogen Avis i morgen 156 (48 1996) forfatter Zavtra Avis

ENKEL ARITHMETIK (Rusland og SNG) Y. Byaly 18. november - Der er en splittelse i Hvideruslands Øverste Råd: 75 deputerede underskrev et krav om at stille en rigsretssag for Lukasjenko, og 80 deputerede erklærede loyalitet over for præsidentens kurs. - Som tegn på uenighed med Lukasjenkos kurs, sagde de op

Fra bogen Avis i morgen 209 (48 1997) forfatter Zavtra Avis

LAVERE MATEMATIK Denis Tukmakov Jeg stod ved busstoppestedet og ventede på bussen og forsøgte forgæves at forstå afsnittet fra lærebogen om højere matematik, som vi fik tildelt i dag. Jeg læste noget om sine værdier, da jeg hørte spørgsmålet: "Undskyld mig, hvem er forfatteren til denne lærebog?" jeg

Fra bogen Forstå Rusland med dit sind forfatter Kalyuzhny Dmitry Vitalievich

Konsekvenser af det "bitre teorem" Under forhold med fri kapitalbevægelse vil ikke en eneste investor, hverken vores eller udenlandske, investere i udviklingen af ​​næsten enhver produktion i Rusland. Der er ingen investeringer i vores branche, og det vil der ikke være.

Fra bogen Ordforråd forfatter Rubinshtein Lev Semyonovich

1.5. Analyse af Parshevs "bitre sætning"

Fra bogen Litterær Avis 6281 (nr. 26 2010) forfatter Litterær Avis

En simpel historie På det seneste har der været talt meget om historie. Altså ikke om historien som sådan, men om hvordan man lærer denne historie til nysgerrige unge. Den mest subtile sag, som altid sker, er nyere historie. Hvor er det subtilt? og så videre Og sandheden: hvordan

Fra WikiLeaks-bogen. Kompromitterende beviser om Rusland forfatter forfatter ukendt

Den enkle og forfærdelige sandhed om Biblioman. Bog dusin Den simple og frygtelige sandhed Siege-dagbog. – Tallinn – Skt. Petersborg: Tallinn Society of Residents of Residents of Besieged Leningrad; Informations- og udgivelsescenter for regeringen i Skt. Petersborg "Petrocenter", 2010. – 410 s.: ill. Mange

Fra bogen Consumerism [The Disease That Threatens the World] af Vann David

Stigende visumforsinkelser - dårlig vilje eller simpel inkompetence? 19. (C) Der er også en voksende bekymring for, at det bliver stadig sværere at få et tadsjikisk visum - ikke kun for ansatte i amerikanske ngo'er, men også for ansatte i europæiske ngo'er, for

Fra bogen Presidents RU forfatter Minkin Alexander Viktorovich

Fra bogen The Collapse of the World Dollar System: Immediate Prospects. forfatter Maslyukov Yu D.

Simpelt system 25. november 1994, "MK" En sådan salve vil dække såret med en skorpe, Men det skjulte pus vil æde alt indeni. Shakespeare. Hamlet Under præcisionsild I 1941 kæmpede Anatoly Papanov i en straffebataljon. Da han fortalte mig om krigen i 1980, så det ud til, at jeg forstod alt. Papanov,

Fra bogen Litterær Avis 6461 (nr. 18 2014) forfatter Litterær Avis

3.1. Simpel analfabetisme Når vi betragter de beskrevne kortsigtede trusler mod USA (på den økonomiske sfære, manifesteret gennem truslen mod dollaren), bør vi først og fremmest kassere dem, der er forårsaget af den simple analfabetisme hos forfatterne, der fremsætter dem. Tal om, at nye

Fra bogen Den mest interessante historie i menneskehedens historie forfatter Delyagin Mikhail Gennadievich

Følger af "minoritetsteoremet" Hvad forhindrer os i at være sammen i livet og på skærmen I februar optrådte Alexander Prokhanov og jeg i det vestlige Sibirien. De ankom med forskellige bøger, men spørgsmål fra publikum: kun Ukraine. Alexander Andreevich indrømmede med et suk: "Vesterlændinge

Fra bogen Signal og støj. Hvorfor går nogle forudsigelser i opfyldelse og andre ikke? af Silver Nate

Koshcheis nål er ikke enkel, det er en olienål - Selvfølgelig har vi allerede talt om sanktioner. Hvad vil der ske med oliepriserne, efter at Vesten slutter fred med Iran – De vil falde, men ikke kritisk. Og det er ikke et faktum, at det holder i lang tid, for olieprisen bestemmes i et særligt udvalgt meget smalt segment

Fra bogen What Modern Science Doesn't Know forfatter Team af forfattere

The Incredible Legacy of Thomas Bayes Thomas Bayes var en engelsk præst født i enten 1701 eller 1702. Meget lidt er kendt om hans liv, selvom han gav sit navn til en hel bevægelse inden for statistik og måske dens mest berømte teorem. Det er ikke engang klart

Fra bogen Iron Boulevard forfatter Lurie Samuil Aronovich

Da statistikker afveg fra Bayes' principper En engelsk statistiker og biolog ved navn Ronald Eimler (R.A.) Fisher var måske Thomas Bayes' vigtigste intellektuelle rival, selvom han blev født i 1890, næsten 120 år efter hans død. Han viste

Fra forfatterens bog

Matematik om skæbne Sikkerhed Hvad værdsættes mest i naturvidenskab? Tilsyneladende kan hun forudsige fremtiden. Det er på dette grundlag, at de fleste mennesker adskiller "videnskab" fra "ikke-videnskab". Hvis du siger: "Måske bliver det sådan, selvom det kan være anderledes," er du det

Fra forfatterens bog

CHAADAYEVS SÆTNINGER Mason. fransktalende forfatter. Jeg skrev tre hundrede sider, trykt tredive, hvoraf ti blev læst af mange; for hvilke ti sider han var mistænkt for russofobi; straffet. Der var noget som en seddel, som om en afvigelse fra talens emne: at forklare

Kort teori

Hvis en hændelse kun indtræffer under betingelse af, at en af ​​hændelserne indtræffer, der danner en komplet gruppe af uforenelige hændelser, så er den lig med summen af ​​produkterne af sandsynligheden for hver af hændelserne med den tilsvarende betingede sandsynlighedspung.

I dette tilfælde kaldes begivenheder hypoteser, og sandsynligheder kaldes a priori. Denne formel kaldes den samlede sandsynlighedsformel.

Bayes' formel bruges til at løse praktiske problemer, når en begivenhed, der optræder sammen med en af ​​begivenhederne, der danner en komplet gruppe af begivenheder, har fundet sted, og det er nødvendigt at foretage en kvantitativ genvurdering af hypotesernes sandsynligheder. A priori (før eksperimentet) sandsynligheder er kendte. Det er påkrævet at beregne de bageste (efter eksperiment) sandsynligheder, dvs. i bund og grund skal du finde betingede sandsynligheder. Bayes' formel ser sådan ud:

Den næste side diskuterer problemet på .

Eksempel på problemløsning

Opgavens tilstand 1

På en fabrik producerer maskine 1, 2 og 3 henholdsvis 20 %, 35 % og 45 % af alle dele. I deres produkter er fejl på henholdsvis 6%, 4%, 2%. Hvad er sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt produkt er defekt? Hvad er sandsynligheden for, at det er fremstillet: a) af maskine 1; b) maskine 2; c) maskine 3?

Løsning på problem 1

Lad os betegne ved den hændelse, at et standardprodukt viser sig at være defekt.

En hændelse kan kun forekomme, hvis en af ​​tre hændelser indtræffer:

Produktet blev produceret på maskine 1;

Produktet er produceret på maskine 2;

Produktet er produceret på maskine 3;

Lad os skrive de betingede sandsynligheder ned:

Formel for total sandsynlighed

Hvis en hændelse kun kan forekomme, hvis en af ​​de hændelser, der udgør en komplet gruppe af uforenelige hændelser, indtræffer, beregnes sandsynligheden for hændelsen ved hjælp af formlen

Ved at bruge formlen for total sandsynlighed finder vi sandsynligheden for en begivenhed:

Bayes formel

Bayes' formel giver dig mulighed for at "omorganisere årsag og virkning": givet det kendte faktum af en begivenhed, beregne sandsynligheden for, at den var forårsaget af en given årsag.

Sandsynligheden for, at et defekt produkt er fremstillet på maskine 1:

Sandsynlighed for, at et defekt produkt er fremstillet på maskine 2:

Sandsynlighed for, at et defekt produkt er fremstillet på maskine 3:

Problemtilstand 2

Gruppen består af 1 fremragende elev, 5 velfungerende elever og 14 middelmådigt performende elever. En fremragende elev svarer 5 og 4 med lige stor sandsynlighed, en fremragende elev svarer 5, 4 og 3 med lige stor sandsynlighed, og en middelmådig elev svarer 4, 3 og 2 med lige stor sandsynlighed. En tilfældigt udvalgt elev svarede 4. Hvad er sandsynligheden for, at en middelmådig præsterende elev blev kaldt?

Løsning på problem 2

Hypoteser og betingede sandsynligheder

Følgende hypoteser er mulige:

Den fremragende elev svarede;

Den gode fyr svarede;

- svarede den middelmådige elev;

Lad event-elev få 4.

Svar:

Prisen er i høj grad påvirket af beslutningens hastende karakter (fra en dag til flere timer). Online assistance til eksamen/prøver er tilgængelig efter aftale.

Du kan efterlade en anmodning direkte i chatten, efter at du tidligere har sendt opgavebetingelserne og informeret dig om tidsrammen for den løsning, du har brug for. Svartiden er et par minutter.

Siberian State University of Telecommunications and Informatics

Institut for Højere Matematik

i disciplinen: "Sandsynlighedsteori og matematisk statistik"

"Formlen for total sandsynlighed og formlen for Bayes (Bayes) og deres anvendelse"

Fuldført:

Leder: Professor B.P. Zelentsov

Novosibirsk, 2010

Indledning 3

1. Samlet sandsynlighedsformel 4-5

2. Bayes formel (Bayes) 5-6

3. Problemer med løsninger 7-11

4. De vigtigste anvendelsesområder for Bayes-formlen (Bayes) 11

Konklusion 12

Litteratur 13

Introduktion

Sandsynlighedsteori er en af ​​de klassiske grene af matematik. Det har en lang historie. Grundlaget for denne gren af ​​videnskaben blev lagt af store matematikere. Jeg vil f.eks. nævne Fermat, Bernoulli, Pascal.
Senere blev udviklingen af ​​sandsynlighedsteori bestemt i mange videnskabsmænds værker.
Forskere fra vores land ydede et stort bidrag til teorien om sandsynlighed:
P.L.Chebyshev, A.M.Lyapunov, A.A.Markov, A.N.Kolmogorov. Probabilistiske og statistiske metoder er nu trængt dybt ind i applikationer. De bruges i fysik, teknologi, økonomi, biologi og medicin. Deres rolle er især øget i forbindelse med udviklingen af ​​computerteknologi.

For at studere fysiske fænomener laves der for eksempel observationer eller eksperimenter. Deres resultater registreres normalt i form af værdier af nogle observerbare mængder. Når vi gentager eksperimenter, opdager vi en spredning af deres resultater. For eksempel, ved at gentage målinger af samme mængde med den samme enhed og samtidig opretholde visse betingelser (temperatur, luftfugtighed osv.), opnår vi resultater, der i det mindste er lidt forskellige fra hinanden. Selv gentagne målinger gør det ikke muligt nøjagtigt at forudsige resultatet af den næste måling. I denne forstand siger de, at resultatet af en måling er en tilfældig variabel. Et endnu mere oplagt eksempel på en tilfældig variabel er nummeret på en vinderkupon i et lotteri. Der kan gives mange andre eksempler på tilfældige variable. Alligevel afsløres visse mønstre i tilfældighedernes verden. Det matematiske apparat til at studere sådanne mønstre er tilvejebragt af sandsynlighedsteori.
Sandsynlighedsteori beskæftiger sig således med den matematiske analyse af tilfældige hændelser og tilhørende stokastiske variable.

1. Formel for total sandsynlighed.

Lad der være en gruppe begivenheder H 1 ,H 2 ,..., Hn, der har følgende egenskaber:

1) alle hændelser er parvis inkompatible: Hej

Hj=Æ; jeg, j=1,2,...,n; jeg¹ j;

2) deres forening danner rummet for elementære resultater W:

.

Fig. 8

I dette tilfælde vil vi sige det H 1 , H 2 ,...,Hn form hele gruppen af ​​arrangementer. Sådanne begivenheder kaldes nogle gange hypoteser.

Lade EN- en begivenhed: ENÌW (Venn-diagram er vist i figur 8). Så holder det formel for total sandsynlighed:

P(EN) = P(EN/H 1)P(H 1) + P(EN/H 2)P(H 2) + ...+P(EN/Hn)P(Hn) =

Bevis. Naturligvis: A=

, og alle begivenheder ( jeg = 1,2,...,n) er parvis inkompatible. Herfra får vi ved hjælp af additionssætningen af ​​sandsynligheder

P(EN) = P(

) + P( ) +...+ P(

Hvis vi tager højde for det ved multiplikationssætningen P(

) = P(A/H jeg) P(H i) ( jeg= 1,2,...,n), så er det fra den sidste formel let at opnå ovenstående samlede sandsynlighedsformel.

Eksempel. Butikken sælger elektriske lamper produceret af tre fabrikker, hvor andelen af ​​den første fabrik er 30%, den anden er 50%, og den tredje er 20%. Fejl på deres produkter er henholdsvis 5%, 3% og 2%. Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt lampe i en butik viser sig at være defekt?

Lad begivenheden H 1 er, at den valgte lampe er produceret på den første fabrik, H 2 på den anden, H 3 - ved det tredje anlæg. Naturligvis:

P(H 1) = 3/10, P(H 2) = 5/10, P(H 3) = 2/10.

Lad begivenheden EN er, at den valgte lampe viste sig at være defekt; A/H i betyder den hændelse, at en defekt lampe vælges blandt lamper produceret i jeg-th plante. Af problemformuleringen følger:

P (EN/ H 1) = 5/10; P(EN/ H 2) = 3/10; P(EN/ H 3) = 2/10

Ved at bruge den samlede sandsynlighedsformel får vi

2. Bayes formel (Bayes)

Lade H 1 ,H 2 ,...,Hn- en komplet gruppe af arrangementer og ENМ W er en begivenhed. Derefter ifølge formlen for betinget sandsynlighed

(1)

Her P(Hk/EN) – betinget sandsynlighed for en begivenhed (hypotese) Hk eller sandsynligheden for det Hk gennemføres forudsat at arrangementet EN skete.

Ifølge sandsynlighedsmultiplikationssætningen kan tælleren i formlen (1) repræsenteres som

P = P = P(EN/Hk)P(Hk)

For at repræsentere nævneren af ​​formel (1) kan du bruge den samlede sandsynlighedsformel

P(EN)

Nu fra (1) kan vi få en formel kaldet Bayes formel:

Bayes' formel beregner sandsynligheden for, at hypotesen bliver realiseret Hk forudsat at arrangementet EN skete. Bayes' formel kaldes også formel for sandsynligheden for hypoteser. Sandsynlighed P(Hk) kaldes hypotesens forudgående sandsynlighed Hk, og sandsynligheden P(Hk/EN) – posterior sandsynlighed.

Sætning. Sandsynligheden for en hypotese efter testen er lig med produktet af sandsynligheden for hypotesen før testen og den tilsvarende betingede sandsynlighed for den hændelse, der fandt sted under testen, divideret med den samlede sandsynlighed for denne hændelse.

Eksempel. Lad os overveje ovenstående problem om elektriske lamper, bare skift spørgsmålet om problemet. Antag, at en kunde købte en elektrisk lampe i denne butik, og den viste sig at være defekt. Find sandsynligheden for, at denne lampe blev fremstillet på den anden fabrik. Størrelse P(H 2) = 0,5 i dette tilfælde er a priori sandsynligheden for, at den købte lampe blev fremstillet på den anden fabrik. Efter at have modtaget information om, at den købte lampe er defekt, kan vi rette vores vurdering af muligheden for at fremstille denne lampe på det andet anlæg ved at beregne den bageste sandsynlighed for denne hændelse.

Lad os nedskrive Bayes' formel for denne sag

Fra denne formel får vi: P(H 2 /EN) = 15/34. Som du kan se, har den modtagne information ført til, at sandsynligheden for den begivenhed, vi er interesseret i, er lavere end a priori-sandsynligheden.

3. Problemer med løsninger.

Opgave 1. Butikken modtog nye produkter fra tre fabrikker. Den procentvise sammensætning af disse produkter er som følger: 20% - produkter fra den første virksomhed, 30% - produkter fra den anden virksomhed, 50% - produkter fra den tredje virksomhed; endvidere er 10% af produkterne i den første virksomhed af højeste kvalitet, hos den anden virksomhed - 5% og ved den tredje - 20% af produkterne af højeste kvalitet. Find sandsynligheden for, at et tilfældigt købt nyt produkt vil være af højeste kvalitet.

Løsning. Lad os betegne med I tilfælde, hvor et premium produkt vil blive købt igennem

lad os betegne begivenhederne, der består i køb af produkter, der tilhører henholdsvis den første, anden og tredje virksomhed.

Du kan anvende den samlede sandsynlighedsformel og i vores notation:

Ved at erstatte disse værdier i den samlede sandsynlighedsformel opnår vi den ønskede sandsynlighed:

Opgave 2. En af de tre skytter bliver kaldt til skudlinjen og afgiver to skud. Sandsynligheden for at ramme målet med et skud for den første skytte er 0,3, for den anden - 0,5; for den tredje - 0,8. Målet blev ikke ramt. Find sandsynligheden for, at skuddene blev affyret af den første skytte.