Dual simplex metode til løsning af lineære programmeringsproblemer. Løsning af det dobbelte problem Løsning af det dobbelte problem på det optimale produktionsprogram

Formuleringerne af den første og anden dualitetssætning er givet. Det er vist, hvordan man opnår en løsning på et dobbeltproblem fra en løsning til en ret linje ved hjælp af dualitetssætninger. Eksempler på problemløsning.

Tilfreds

Se også: Regler for sammensætning af dobbeltopgaver

Her vil vi overveje spørgsmålet om, hvordan man opnår en løsning på det dobbelte problem ved at løse et direkte problem.

Dualitetssætninger

Første dualitetssætning

Hvis et af et par dobbelte problemer har en optimal løsning, så har det dobbelte problem også en optimal løsning. I dette tilfælde er værdierne af de objektive funktioner i de direkte og dobbelte problemer for optimale løsninger lig med hinanden.

Hvis et af et par af dobbelte problemer ikke har en løsning på grund af den objektive funktions ubegrænsede grænse, så har det dobbelte problem ikke en løsning på grund af inkompatibiliteten af systemet af begrænsninger.

Anden dualitetssætning

;

Lad os anvende den anden dualitetssætning. Lad os erstatte de optimale værdier af variablerne i systemet af begrænsninger for det direkte problem.
(A1.1.1) ;
(A1.1.2) ;
(A1.1.3) ;
(A1.1.4) .
Da den første og fjerde linje er strenge uligheder (de er ikke ligheder), så
Og .

Siden og , så er 2. og 4. linje i det dobbelte problem ligheder:

Lad os erstatte de allerede fundne værdier, og vi har:

Herfra
;
; .

Det dobbelte problem har formen:
;

Hendes beslutning
;

Eksempel 2

Givet et lineært programmeringsproblem:
(A2.1.1) ;
(A2.1.2)
Find en løsning på dette problem ved at løse det dobbelte problem grafisk.

(A2.2.1) ;
(A2.2.2)

Løsningen på opgaven (A2.2) er givet på siden "Løsning af lineære programmeringsproblemer ved hjælp af den grafiske metode." Løsningen på opgaven (A2.2) har formen:
; .

Ifølge den første dualitetssætning er den optimale værdi af den objektive funktion lig med
.

Lad os anvende den anden dualitetssætning. Lad os erstatte de optimale værdier af variablerne i systemet af begrænsninger for det direkte problem (A2.2).
;
;
.
Da den tredje linje er en streng ulighed (de er ikke lighed), så
.

Siden og , så er 1. og 2. linje i det dobbelte problem (A2.1) ligheder:

Lad os erstatte den fundne værdi.

Vi løser et ligningssystem.
;
;
;
; ;
.

Løsningen på det oprindelige problem (A2.1) har formen:
; .

Se også:

En metode, hvor et af de indbyrdes dobbelte problemer først løses ved hjælp af simpleksmetoden, og derefter den optimale og optimale løsning af det andet problem findes ved hjælp af dualitetssætninger, kaldes dobbelt simpleks metode.

Sætning 1 (første dualitetssætning). Hvis et af de gensidigt dobbelte problemer har en optimal løsning, så har det også

en anden, og de optimale værdier af deres objektive funktioner er lig med:

Hvis den objektive funktion af det oprindelige problem er ubegrænset, så er systemet af begrænsninger for det dobbelte problem inkonsekvent.

Note: det modsatte af anden del af det første dualitetssætning er ikke sandt i det generelle tilfælde.

Sætning 2. Komponenter af den optimale plan for det dobbelte problem ( har den ikke-negativitetstilstand) er lige absolutte værdier af koefficienter

Komponenter af den optimale plan for det dobbelte problem ( ikke begrænset af tegn) er lige koefficientværdier med de tilsvarende variabler for den objektive funktion af det oprindelige problem, udtrykt i form af de frie variabler for dets optimale løsning.

Sætning 3. Positive (ikke-nul) komponenter af den optimale løsning på et af problemerne symmetrisk dobbeltpar svarer til nulkomponenterne i den optimale løsning af et andet problem, dvs. for enhver og:

Sætning 4 (tredje dualitetssætning). Komponenterne i det optimale design af det dobbelte problem er lig med værdierne af de partielle afledte af den lineære funktion ifølge de tilsvarende argumenter, dvs.

. (7.2)

Økonomisk fortolkning af den tredje dualitetssætning: komponenterne i den optimale plan for det dobbelte problem viser med, hvor mange monetære enheder den maksimale profit (indtægt) fra salg af produkter vil ændre sig, når bestanden af den tilsvarende ressource ændres med en enhed.

Eksempel 9.1. Baseret på løsningen til eksempel 5.2 (filen "Algorithme og eksempler på simplex-metoden"), vil vi bruge dual simplex-metoden til at bestemme den optimale løsning på dobbeltproblemet.

Oprindeligt problem	Dobbelt problem

Dette dobbelte par er symmetrisk. Problemerne er skrevet i standardform, lad os reducere dem til kanonisk form:

Oprindeligt problem	Dobbelt problem

Lad os etablere en overensstemmelse mellem variablerne for gensidigt dobbelte problemer.

Baseret på løsningen til eksempel 5.2. Simplextabellen for den sidste iteration (tabel 5.10) ser sådan ud:

Tabel 9.3

I overensstemmelse med sætning 2 vil de optimale værdier af variablerne og være lig med de absolutte værdier af koefficienterne for de tilsvarende variabler i den objektive funktion af det oprindelige problem, udtrykt gennem de frie variabler for dets optimale løsning.

Ved hjælp af tabel 9.3 skriver vi den objektive funktion af det oprindelige problem, udtrykt i form af de frie variabler for dets optimale løsning:

Derfor,,.

Variablerne , , og er ikke til stede i den objektive funktion (dvs. deres koefficienter er lig med nul), derfor er de optimale værdier af de tilsvarende variable , , og lig med nul.

I overensstemmelse med sætning 1, .

Således er den optimale værdi af den objektive funktion, som opnås ved .

Eksempel 9.2. Baseret på løsningen på det oprindelige problem, find den optimale løsning på det dobbelte problem ved hjælp af dual simplex-metoden.

Oprindeligt problem	Dobbelt problem

Dette dobbelte par er asymmetrisk. Lad os bringe det dobbelte problem til kanonisk form.

Oprindeligt problem	Dobbelt problem

For at fastslå overensstemmelsen mellem variablerne i det dobbelte par introducerer vi to manglende fiktive variable i det oprindelige problem.

Oprindeligt problem	Dobbelt problem

Lad os etablere en overensstemmelse mellem variablerne for gensidigt dobbelte problemer.

Tabel 9.4

Matchende variable af et dobbelt par

Lad os løse det oprindelige problem ved hjælp af simpleksmetoden.

Ved hjælp af Jordan-Gauss-metoden udvælger vi i systemet af begrænsninger for det oprindelige problem variablerne og ( note: Brug ikke dummy-variabler som grundlæggende).

Som et resultat af transformationerne får vi følgende matrix af koefficienter:

Systemet af begrænsninger for det oprindelige problem vil have følgende form:

Lad os udtrykke de grundlæggende variabler i form af frie som et resultat, vil det oprindelige problem tage følgende form:

Ved at erstatte de opnåede værdier af de grundlæggende variable i den objektive funktion, vil det tage følgende form:

Som et resultat af at løse det transformerede oprindelige problem ved hjælp af simpleksmetoden ved sidste iteration, opnår vi følgende simplekstabel:

Tabel 9.5

Simplex tabel over den optimale løsning på det oprindelige problem

Det dobbelte problems struktur og egenskaber

Ethvert problem med at maksimere LP fra et økonomisk synspunkt kan betragtes som et problem med at fordele begrænsede ressourcer b 1 , b 2 , ..., b m mellem forskellige forbrugere, for eksempel mellem nogle teknologiske processer, som er repræsenteret af kolonner A 1 , A 2 ,...A n af problembegrænsningsmatricen . Enhver mulig løsning på problemet LPx 1 , x 2 , ... x n giver en specifik fordeling, der angiver andelen af hver ressource, der skal bruges i implementeringen af den tilsvarende teknologiske proces.

Lad os se på et eksempel. Anlægget producerer tre typer produkter x 1, x 2 og x 3, som hver især kræver tid brugt på forarbejdning på drejebænke, fræse- og boremaskiner. Mængden af maskintid for hver maskine er begrænset. Letc 1,c 2,c 3 – fortjeneste ved salg af en enhed af den tilsvarende type produkt. Det er nødvendigt at bestemme, hvor meget af hver type produkt, der skal produceres i løbet af ugen for at opnå maksimal profit.

Formelt er denne opgave skrevet som følger:

maksimer (c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3) (1)

under restriktioner

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ≤ b1;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ≤ b2;

a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ≤b 3 , (2)

hvor a 1 j , a 2 j , a 3 j er den tid, der kræves til at behandle en enhed af den j. type produkt, henholdsvis på dreje-, fræse- og boremaskiner (j = 1, 2, 3); 2 ,b 3 – ugentlig ressource af maskintid til henholdsvis dreje-, fræse- og boremaskiner.

Lad os betegne y 1 , y 2 og y 3 – prisen for en enhed driftstid på dreje-, fræse- og boremaskiner. Så kan 11 y 1 +a 21 y 2 +a 31 y 3 – fortolkes som omkostningerne ved at fremstille en produktenhed af den første type; a 12 y 1 +a 22 y 2 +a 32 y 3 – omkostningerne ved fremstilling af en produktenhed af den anden type osv. .d.

Lad os antage, at ressourcepriserne y 1 ,y 2 ,...,y m er valgt således, at følgende relationer er opfyldt:

a 11 y 1 + a 21 y 2 + a 31 y 3 ≥ c 1;

a 12 y 1 + a 22 y 2 + a 32 y 3 ≥ c2;

a 13 y 1 + a 23 y 2 + a 33 y 3 ≥ c 3. (3)

Da b 1, b 2 og b 3 er de brugte maskintidsressourcer for hver af maskinerne, så er b 1 y 1 + b 2 y 2 + b 3 y 3 de samlede produktionsomkostninger.

Det er påkrævet at finde sådanne y 1 , y 2 og y 3, der opfylder betingelser (3), under hvilke de samlede produktionsomkostninger minimeres:

minimer g(y 1 ,y 2 ,y 3)=b 1 y 1 +b 2 y 2 +b 3 y 3 (4)

under forhold

y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0.

Dette problem kaldes dobbelt opgave i forhold til problemstilling (1), kaldet direkte.

Lad os nu nedskrive de direkte og dobbelte problemer i den generelle sag.

Direkte opgave:

maksimere

under forhold

(7)

Dobbelt problem:

minimere

under forhold

(10)

I matrixform er et par dobbeltopgaver skrevet som følger:

maksimere

under forhold

minimere

under forhold

A T y≥c;

(15)

Ved at sammenligne registreringsformerne for de direkte og dobbelte problemer kan følgende sammenhænge etableres mellem dem:

hvis det direkte problem er et maksimeringsproblem, så vil det dobbelte problem være et minimeringsproblem og omvendt; koefficienter for den objektive funktion af det direkte problem c 1, c 2,..., c n

frie betingelser for det direkte problems begrænsninger b 1 , b 2 ,..., b m blive koefficienter for den objektive funktion af det dobbelte problem;

begrænsningsmatricen for det dobbelte problem opnås ved at transponere begrænsningsmatricen for det direkte problem;

tegnene på uligheder i restriktionerne er vendt;

antallet af begrænsninger for det direkte problem er lig med antallet af variabler i det dobbelte problem, og antallet af begrænsninger for det dobbelte problem er lig med antallet af variable i det direkte problem.

Variablerne y 1 , y 2 ,…, y m i det dobbelte problem kaldes nogle gange for skyggepriser.

Det er mere rentabelt at løse et dobbelt problem end den oprindelige lige linje, hvis den er i den lige linje

et problem med et lille antal variable har et stort antal begrænsninger (m n).

Forbindelsen mellem de optimale løsninger af de direkte og dobbelte problemer etableres gennem følgende dualitetssætninger.

SÆTNING 1. Hvis - tilladte løsninger af direkte og dobbelte problemer, altså så

dem. værdierne af den objektive funktion af det direkte problem overstiger aldrig værdierne for den objektive funktion af det dobbelte problem.

SÆTNING 2 (fundamental dualitetssætning).Hvis -tilladelige løsninger på de direkte og dobbelte problemer og evt , Det – optimale løsninger på et par dobbelte problemer.

SÆTNING 3.Hvis i den optimale løsning af det direkte problem(5) – (7) jeg-th begrænsning er opfyldt som en streng ulighed, så er den optimale værdi af den tilsvarende dobbelte variabel lig med nul, dvs.

Hvor - jegrække af matrix A.

Betydningen af sætning 3 er som følger. Hvis en vis ressource er tilgængelig i overskud, og den i-te begrænsning i den optimale løsning er opfyldt som en streng ulighed, så bliver den ubetydelig, og den optimale pris for den tilsvarende ressource er lig med 0.

Sætning 3 suppleres af sætning 4, som fastslår forholdet mellem den optimale løsning af det direkte problem og begrænsningerne for det dobbelte.

SÆTNING 4. Hvis i den optimale løsning af det dobbelte problem begrænsningenjer opfyldt som en streng ulighed, så skal den optimale værdi af den tilsvarende variabel i det direkte problem være lig med nul, dvs. At

Lad os give en økonomisk fortolkning af sætning 4.

Siden mængderne repræsentere priserne på de tilsvarende ressourcer, så

er prisen på den j. teknologiske proces, værdien er fortjenesten fra salg pr. produktenhed. Ud fra et økonomisk synspunkt betyder sætning 2.7 derfor følgende: Hvis den j-te teknologiske proces viser sig at være strengt urentabel ud fra et synspunkt om optimale ressourcepriser, så i den optimale løsning af det direkte problem er intensiteten af denne teknologiske proces skal være lig med 0.

Således udtrykker sætning 4 rentabilitetsprincip optimalt organiseret produktion.

Heraf følger også, at

(20)

Lad os antage, at der blandt variablerne x 1 ,x 2 ,...,x n i det direkte problem er et sæt mvariabler, som har en værdi, der ikke er nul i den optimale løsning. Lad for eksempel disse være de første variable i rækkefølge.

Derefter, baseret på ligning (22), opnås mprofitabilitetsbetingelser:

(21)

Lad os præsentere yderligere to vigtige sætninger om dualitetsteori.

SÆTNING 5 (eksistenssætning).De direkte og dobbelte problemer har optimale løsninger, hvis og kun hvis de begge har gennemførlige løsninger.

SÆTNING 6 (dualitetssætning).Gyldig vektorx 0 er optimal, hvis og kun hvis det dobbelte problem har en så gennemførlig løsningy 0 , Hvad

Følgende forhold eksisterer mellem de optimale løsninger af de direkte og dobbelte problemer og elementerne i indeksrækkerne i simplekstabellerne, der svarer til disse løsninger:

i=1, 2, …,m;j=1, 2, …,n,

hvor n er antallet af variabler i det direkte problem m er antallet af dets begrænsninger; er de tilsvarende elementer i indekslinjen for henholdsvis de direkte og dobbelte problemer. Ydermere, hvis n+i, hvor 1 ≤i≤m er større end antallet af kolonnevektorer i begrænsningsmatrixen af den udvidede form af det tilsvarende problem, så findes elementerne ved cyklisk at omarrangere elementerne i indeksrækken, startende med elementet

Generelt tilfælde af dualitet

I det foregående afsnit blev de grundlæggende relationer etableret for et par dobbelte LP-problemer under begrænsninger i form af uligheder. Lad os nu generalisere disse resultater til tilfældet med vilkårlige restriktioner.

Lad det direkte LP-problem gives i formen:

maksimere

under forhold

Så er det dobbelte problem med hensyn til (24)-(26) (eller konjugerer til det) at minimere den lineære form:

minimere

under forhold

Således er et problem forbundet med et problem med blandede forhold kompileret efter følgende regler:

Hvis variablen x j i det direkte problem antages at være ikke-negativ, så er den j. betingelse i systemet af begrænsninger (28) en ulighed.

Hvis ingen sådan begrænsning pålægges x j, så vil den j. begrænsning af det dobbelte problem være lighed.

Tegnene på variablerne for det dobbelte problem y i og de tilsvarende begrænsninger af det direkte problem er relateret på lignende måde. Bemærk, at hvis vi sætter m 1 = min 1 = n, så får vi et specialtilfælde af et par dobbelte problemer med begrænsninger i form af uligheder.

Det skal bemærkes, at metoder til løsning af lineære programmeringsproblemer omfatter ikke til økonomi, men til matematik og computerteknologi. Samtidig skal økonomen sikre de mest behagelige betingelser for dialog med den relevante software. Til gengæld kan sådanne betingelser kun tilvejebringes af dynamisk udviklende og interaktive udviklingsmiljøer, der i deres arsenal har et sæt biblioteker, der er nødvendige for at løse sådanne problemer. Et af hvilke softwareudviklingsmiljøer er helt klart Python.

Redegørelse for problemet

Publikationerne overvejede løsninger på direkte optimeringsproblemer ved hjælp af den lineære programmeringsmetode og foreslog et rimeligt valg af scipy-løseren. optimere.

Det er dog kendt, at hvert lineært programmeringsproblem svarer til et såkaldt distinguished (dobbelt) problem. I det, sammenlignet med det direkte problem, bliver rækker til kolonner, uligheder skifter fortegn, i stedet for et maksimum søges et minimum (eller omvendt, i stedet for et minimum søges et maksimum). Opgaven dual til dual er selve den oprindelige opgave.

At løse det dobbelte problem er meget vigtigt for at analysere ressourceforbrug. I denne publikation vil det blive bevist, at de optimale værdier af objektivfunktionerne i det originale og det dobbelte problem falder sammen (dvs. maksimum i det oprindelige problem falder sammen med minimum i det dobbelte).

De optimale værdier af materiale- og arbejdsomkostninger vil blive vurderet ud fra deres bidrag til den objektive funktion. Resultatet vil være "objektivt bestemte skøn" af råvarer og arbejdskraft, der ikke er sammenfaldende med markedspriserne.

Løsning af det direkte problem med det optimale produktionsprogram

I betragtning af det høje niveau af matematisk træning for langt de fleste brugere af denne ressource, vil jeg ikke præsentere balanceligninger med øvre og nedre restriktioner og indførelsen af yderligere variabler for at flytte til ligheder. Derfor vil jeg straks give betegnelserne for de variabler, der er brugt i løsningen:
N – antal producerede typer produkter;
m – antal anvendte typer råmaterialer;
b_ub - vektor af tilgængelige ressourcer af dimension m;
A_ub er en matrix af dimensionen m×N, hvor hvert element er forbruget af en ressource af type i til fremstilling af en enhed af produktet af type j;
c er vektoren for profit fra produktionen af en enhed af hver type produkt;
x – de nødvendige mængder af producerede produkter af hver type (optimal produktionsplan), der sikrer maksimal fortjeneste.

Mål funktion
maxF(x)=c×x

Begrænsninger
A×x≤b

Numeriske værdier af variable:
N=5; m=4; b_ub = ; A_ub = [, , ,]; c =.

Opgaver
1. Find x for at sikre maksimal profit
2. Find de ressourcer, der bruges, når du udfører trin 1
3. Find de resterende ressourcer (hvis nogen), når du udfører trin 1

For at bestemme maksimum (som standard er minimum bestemt, skal koefficienterne for objektivfunktionen skrives med et negativt fortegn c = [-25, -35,-25,-40,-30] og ignorere minustegnet i foran overskuddet.

Notationer brugt til at vise resultaterne:
x– en række variable værdier, der giver minimum (maksimum) af målfunktionen;
slap– værdier af yderligere variabler. Hver variabel svarer til en ulighedsbegrænsning. En variabel værdi på nul betyder, at den tilsvarende begrænsning er aktiv;
succes– Sandt nok, hvis funktionen formåede at finde den optimale løsning;
status– beslutningsstatus:
0 – søgningen efter den optimale løsning blev gennemført med succes;
1 – grænsen for antallet af iterationer er nået;
2 – problemet har ingen løsninger;
3 – den objektive funktion er ikke begrænset.
nit– antal udførte iterationer.

Liste over løsningen på det direkte optimeringsproblem

#!/usr/bin/python # -*- kodning: utf-8 -*- importer scipy fra scipy.optimize importer linprog # loading LP-bibliotek c = [-25, -35,-25,-40,-30] # liste over koefficienter for målfunktionen b_ub = # liste over ressourcevolumener A_ub = [, # matrix med specifikke ressourceværdier, , ] d=linprog(c, A_ub, b_ub) # søg efter en løsning for key,val in d.items(): print(key ,val) # løsningsoutput hvis nøgle=="x": q=#used resources print("A_ub*x",q) q1= scipy.array(b_ub)-scipy.array (q) #resterende ressourcer print(" b_ub-A_ub*x", q1)

Resultater af løsning af problemet
nit 3
status 0

succes Sandt
x [ 0. 0. 18.18181818 22.72727273 150. ]
A_ub*x
b_ub-A_ub*x [0. 0. 90.90909091]
sjov -5863.63636364
slap [0. 0. 90.90909091]

Konklusioner

Den optimale plan for produkttyper blev fundet
Fundet faktisk ressourceforbrug
Resten af den ubrugte fjerde type ressource blev fundet [ 0. 0 0.0 0.0 90.909]
Der er ikke behov for beregninger i henhold til trin 3, da det samme resultat vises i slack-variablen

Løsning af det dobbelte problem på det optimale produktionsprogram

Den fjerde type ressource i den direkte opgave er ikke fuldt ud brugt. Så viser værdien af denne ressource for virksomheden sig at være lavere sammenlignet med ressourcer, der begrænser produktionen, og virksomheden er villig til at betale en højere pris for anskaffelsen af ressourcer, der øger profitten.

Lad os introducere et nyt formål for den ønskede variabel x som en vis "skygge" pris, der bestemmer værdien af en given ressource i forhold til profit ved salg af fremstillede produkter.

C – vektor af tilgængelige ressourcer;
b_ub er vektoren for profit fra produktionen af en enhed af hver type produkt;
A_ub_T – transponeret matrix A_ub.

Mål funktion
minF(x)=c×x

Begrænsninger
A_ub_T ×x≥ b_ub

Numeriske værdier og relationer for variable:
c =; A_ub_T transponere(A_ub); b_ub = .

Opgave:
Find x, der angiver værdien for producenten af hver type ressource.

Funktioner af løsningen med scipy-biblioteket. optimere
For at erstatte restriktioner fra oven med restriktioner nedefra, er det nødvendigt at gange begge dele af restriktionen med minus én – A_ub_T ×x≥ b_ub... For at gøre dette skal du skrive de originale data på formen: b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30]; A_ub_T =- scipy.transpose(A_ub).

Liste over løsningen på det dobbelte optimeringsproblem

#!/usr/bin/python # -*- kodning: utf-8 -*- import scipy fra scipy.optimize import linprog A_ub = [, , , ] c= b_ub = [-25, -35,-25,- 40,-30] A_ub_T =-scipy.transpose(A_ub) d=linprog(c, A_ub_T, b_ub) for key,val in d.items(): print(key,val)

Resultater af løsning af problemet
nit 7
besked Optimering blev afsluttet.
sjov 5863.63636364
x [ 2,27272727 1,81818182 6,36363636 0. ]
slæk [5.45454545 2.27272727 0. 0. 0. ]
status 0
succes Sandt

Konklusioner

Den tredje type ressource har den største værdi for producenten, så denne type ressource skal købes først, derefter den første og anden type. Den fjerde type ressource har nul værdi for producenten og er købt sidst.

Resultater af sammenligning af direkte og dobbelte problemer

Det dobbelte problem udvider mulighederne for produktplanlægning, men ved at bruge scipy. optimize løses i dobbelt så mange direkte iterationer.
Slack-variablen viser information om aktiviteten af begrænsninger i form af uligheder, som for eksempel kan bruges til at analysere råstofbalancer.
Det direkte problem er et maksimeringsproblem, og det dobbelte problem er et minimeringsproblem og omvendt.
Koefficienterne for den objektive funktion i det direkte problem er begrænsninger i det dobbelte problem.
Begrænsninger i det direkte problem bliver koefficienter for den objektive funktion i det dobbelte.
Tegnene på uligheder i restriktioner er vendt.
Matrixen af lighedssystemet er transponeret.

Links

Da der er tre enhedsvektorer, altså
du kan straks skrive referenceplanen ned
X=(0,0,0,360,192,180).
Lad os lave en nul simplex-tabel

Vi tjekker den resulterende referenceplan
for optimalitet.
Vi beregner værdien af den objektive funktion og
simplex forskelle.
F0 c P0 0 360 0 192 0 180 0,
1 z1 c1 c P1 c1 9,
2 z2 c2 cP2 c2 10,...

Som det kan ses fra 0. tabel, ikke-nul
er variablerne x4 , x5 , x6 og x , x , x
1
2
3
er lig med nul, fordi De er ikke grundlæggende, men gratis.
Yderligere variabler x4 , x5 , x6
tage deres værdier efter
restriktioner.
Disse variable værdier svarer til dette
"plan", hvorunder intet produceres, råvarer
ikke bruges, og værdien af den objektive funktion er
nul, det vil sige prisen på fremstillede produkter
fraværende.
Denne plan er selvfølgelig ikke optimal.
Dette kan også ses af 4. række i tabellen, hvori
der er tre negative score -9, -16 og -10.

10.

Negative tal er ikke kun
angive muligheden for at øge
samlede omkostninger for fremstillede produkter (i
kolonner over negative vurderinger
er positive tal), men også
vise, hvor meget dette beløb vil stige
når man indfører en enhed af dette eller hint i planen
type produkt.
Så tallet -9 betyder, at når det er tændt
produktionsplan for ét produkt A
giver en stigning i omkostningerne
produkter til 9 enheder

11.

Hvis du medtager i produktionsplanen for
ét produkt B og C, derefter de samlede omkostninger
fremstillede produkter vil stige
henholdsvis 10 og 16 enheder. Derfor med
økonomisk gennemførligt
er optagelse af produkter C i planen.
Det samme skal gøres fra det tidspunkt
mener, at -16 er den mindste
negativ vurdering. Så til grundlaget
lad os introducere vektoren P3.

12.

Lad os finde tallet Q.
360 192 180
Qmin
;
;
min 30; 24;60
3
12 8
Lad os indtaste det i den sidste kolonne i tabellen.
Tallet 24 svarer til vektoren P5.
192/8=24 fra et økonomisk synspunkt
betyder hvor mange produkter C
virksomheden kan producere under hensyntagen
forbrugsrater og tilgængelige mængder af råvarer
hver type.

13.

Da råvarer af hver type er tilgængelige
henholdsvis 360, 192 og 180 kg, og for en
produkt C kræver forbrug af råvarer for hver
type 12, 8 og 3 kg, derefter det maksimale antal
produkter C, der kan fremstilles
virksomhed er lig
min(360/12,192/8,180/3)=192/8=24, dvs.
begrænsende faktor for produktionen
produkter C er den tilgængelige mængde råvarer
2. type. Under hensyntagen til hans virksomhed kan
producere 24 produkter C. I dette tilfælde vil råvarer af 2. type blive brugt fuldstændigt og,
dette betyder, at vektoren er underlagt udelukkelse fra
P5
basis.

14.

Lad os oprette følgende tabel. I den
den anden linje er tilladelig,
og den løsende kolonne er den tredje. På
deres skæringspunkt indeholder element 8.
Divider den anden linje med 8 og derefter
nul ved hjælp af Jordan-Gauss-metoden
eller ifølge formlerne for trekanten tredje
kolonne.

15.

16.

Lad os beregne simplex-forskellene og udfylde 4. række i tabellen.
Med denne produktionsplan
24 varer C produceres og forbliver
ubrugte 72 kg råvarer 1. og 108 kg
råvarer af 3. type. 2. type anvendt råvare
fuldt ud. Prisen for alle produkter kl
i denne henseende er CU 384. Specificeret
tallene er skrevet i kolonnen Plan. Det er igen
parametre for opgaven, men de har gennemgået
ændringer. Andres data er også ændret
kolonner. Deres økonomiske indhold
er blevet endnu mere kompleks.

17.

Der er én negativ vurdering -2.
Planen kan forbedres. Lad os introducere til grundlaget
vektor P2. Lad os beregne
72 24 108
Q min;
;
min 8; 48;72 8.
9 1/ 2 3 / 2
.
Vi udleder af grundlaget P4.

18.

De tilladelige linjer vil være 1. linje og 2. linje
kolonne. Tilladende element 9.
Divider 1. linje med 9, udfyld
1. række af den nye tabel, så
Lad os nulstille den anden kolonne. Til dette
gange 1. linje med (-1/2) og
læg til 2'eren og gange så 1'eren
linje med (-3/2) og tilføje til 3. linje.
Lad os udfylde tabel 2.

19.

20.

Det er vi overbeviste om
beregning af simplex-forskelle
1 cP1 c1 10 1 16 0,25 9 5,
2 cP2 c2 10 1 16 0 10 0,
3 cP3 c3 10 0 16 1 0 0 16 0,
4 cP4 c4 10 1/ 9 16 1/ 8 0 (1/ 6) 2/9,
5 cP5 -c5 =10 (-1/6)+16 5/24+0(-1/2)=5/3,
6 0.

21.

Den optimale produktionsplan er ikke
produktion af produkter A påtænkes introduktion til
produktionsplan for type A-produkter ville føre til
reduktion af de angivne samlede omkostninger.
Dette kan ses fra 4. linje i kolonnen, hvor tallet er 5
viser, at med denne plan inddragelsen
outputtet af en enhed af produkt A fører til det
kun til et fald i den samlede værdi
værdi med 5 enheder
Så planen giver mulighed for frigivelse af 8 produkter
B og 20 produkter C. Råvarer af type 1 og 2
er brugt fuldt ud, og type 3 efterlader 96 kg ubrugt.

22. DOBBELT LINEÆRE PROGRAMMERINGSPROBLEMER

Hver ZLP kan matches
problem kaldet dobbelt til det originale
opgave.
Overvej problemet med at bruge
ressourcer. Lad os antage, at virksomhed A
producerer n typer produkter, værdi
hvis frigivelse er bestemt af variabler
x1, x2, ..., xn
.
I produktion m anderledes
typer af ressourcer, hvis omfang er begrænset
værdier b1, b2, ..., bn.

23.

Omkostningssatserne for hver ressource pr. enhed er kendt
hver type produkt danner en matrix,
a11
a21
EN
...
am1
a12
a22
...
er 2
... a1n
... a2 n
... ...
...amn
samt enhedsprisen for hver type produkt
c1, c2, ..., cn
Det er nødvendigt at tilrettelægge produktionen således
virksomhed A blev forsynet med maksimum
profit.

24.

Opgaven handler om at finde
ikke-negative variable
x1, x2, ..., xn,
hvor ressourceforbruget ikke er
overstiger deres angivne antal, og
prisen på alle produkter vil nå
maksimum.

25.

I matematisk form problemet
er skrevet i følgende form:
F c1 x1 c2 x2 ... c j x j ... cn xn maks
under forhold
a11 x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1 ,
a21 x2 a22 x2 ... a2 j x j ... a2 n xn b2 ,
.
...............................................................,
a x a x ... a x ... a x b
mj j
mn
m
m1 1 m 2 2
x j 0, j 1, n.

26.

Baseret på de samme indledende data kan det være
endnu en opgave er formuleret.
Antag, at virksomhed B beslutter at købe
alle ressourcer til rådighed for virksomheden A. B
I dette tilfælde skal virksomhed B etablere sig
optimale priser for disse ressourcer, baseret på
følgende forhold:
samlede ressourceomkostninger for virksomhed B
bør være minimal;
for hver type ressource, virksomhed A har behov for
betale ikke mindre end det beløb, som det
virksomheden kan modtage under behandlingen
af denne type ressource til færdige produkter.

27.

Hvis angivet med y1, y2, ..., yn
priser, hvortil virksomhed B
køber ressourcer fra virksomhed A, så
opgaven bunder i følgende: find
sådanne værdier af variablerne y1, y2, ..., yn,
hvor omkostningerne til ressourcer,
brugt pr. enhed af enhver type
produkter er ikke mindre end profit (priser)
for denne produktionsenhed og det samlede beløb
ressourceomkostninger når
minimum,

28.

dvs. hvad skal være enhedsvurderingen
hver af ressourcerne y1, y2, ..., yn,
således at for givne mængder
tilgængelige ressourcer bi , givet
koster c j (j 1, n) enheder
produkter og omkostningsstandarder aij
minimere det samlede omkostningsestimat
for alle produkter.

29. Mat. dobbelt problem model

I matematisk form problemet
er skrevet som:
*
F b1 y1 b2 y2 ... bm ym min
under restriktioner
a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 ,
a y a y ... a y c ,
m2 m
2
12 1 22 2
..................................................
a y a y ... a y c ,
mn m
n
1n 1 2 n 2
yi 0, i 1, 2,..., m.

30. Økonomisk betydning af variablerne i det dobbelte problem

Variabler yi af det dobbelte problem i litteraturen
kan have forskellige navne: regnskabsmæssig, implicit,
skygge, objektivt bestemte vurderinger,
dobbelte vurderinger eller "priser" på ressourcer.
Disse to problemer danner et par gensidigt
dobbelte problemer, som alle kan
betragtes som original. Løsningen på en
opgaver giver en optimal produktionsplan
produkter, og løsningen er anderledes – optimal
klassificeringssystem for råvarer, der anvendes til
produktion af disse produkter.

31.

Dobbelt problemer med lineær
programmering kaldes
symmetriske, hvis de opfylder
følgende egenskaber:
antal variable i dobbelt problem
er lig med antallet af begrænsninger for det oprindelige problem, og
antallet af begrænsninger for det dobbelte problem
lig med antallet lig med antallet af variabler i
original;
i et problem søges målets maksimum
funktioner, i den anden – et minimum;
koefficienter for variabler i målet
funktionerne i en opgave er gratis
medlemmer af begrænsningssystemet for et andet problem;

32.

i hvert problem er systemet af begrænsninger specificeret i
i form af uligheder, og i problemet med at finde
maksimum, alle uligheder af formen "≤", og i opgaven på
at finde minimum, alle uligheder i formen "≥";
begrænsningssystem koefficient matrix
den ene opnås fra den anden ved transponering;
hver begrænsning af et problem svarer
variabel for en anden opgave, variabeltal
matcher begrænsningsnummeret;
betingelser for ikke-negativitet af variable
gemmes i begge opgaver;

33. Løsning af symmetriske dobbelte problemer

Første dualitetssætning.
Hvis et af de dobbelte problemer
har en optimal løsning, så
en anden har en optimal løsning
opgave, mens målværdierne
opgavernes funktioner er lige hinanden.
Hvis målfunktionen er en af
opgaver er ikke begrænset, så en anden opgave
har ingen løsning overhovedet

34. Økonomisk indhold af den første dualitetssætning

Hvis problemet med at bestemme den optimale plan,
maksimering af output er da afgørende
Problemet med at bestemme ressourceestimater er også løseligt.
Desuden er prisen på produktet opnået som et resultat
implementering af den optimale plan falder sammen med
total vurdering af ressourcer.
Sammenfald af målfunktionsværdier for
tilsvarende løsninger på et par dobbelte problemer
nok til at disse beslutninger er
optimal.
Løsning af ZLP ved hjælp af simplex-metoden, vi samtidig
Vi løser både de originale og dobbelte problemer.

35. Metode til samtidig løsning af et par dobbelte problemer

Oprindeligt problem: Dobbelt problem:
F c1x1 c2 x2 ... c j x j ... F * b1 y1 b2 y2 ...
cn xn maks
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn xn 1 b1 ,
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn xn 2 b2 ,
..........................................................
a x a x ... a x x b ,
mn
n m
m
m1 1 m 2 2
x j 0, j 1, 2,..., n m.
bm ym min,
a11 y1 a21 y2 ... am1 ym ym 1 c1 ,
a y a y ... a y y c ,
m2 m
m 2
2
12 1 22 2
.............................................................
a y a y ... a y y c ,
mn m
m n
n
1n 1 2 n 2
yi 0, i 1, 2,..., m n.

36.

Antallet af variable i problemer er det samme
og er lig med m + n. I det originale problem
de grundlæggende variabler er

variable xn 1 , xn 2 , ..., xn m
,
og i det dobbelte problem –
hjælpe ikke-negativ
variable yn 1, yn 2, ..., yn m.
Grundlæggende variabler for et problem
frie variabler svarer
en anden opgave og omvendt.

37.

38.

Når du løser ZLP'en ved hjælp af tabelular simplex-metoden, løser du det dobbelte problem
er indeholdt i den sidste række i tabellen.
Dette er j.
Desuden er de vigtigste variabler i den dobbelte

tilsvarende yderligere
variabler for det oprindelige problem, og
yderligere variabler af dualen
opgaver er indeholdt i kolonner,
svarende til det vigtigste
(originale) begyndelsesvariable
opgaver.

39. Eksempel.

Lad os formulere en model af problemdualen
til opgaven fra eksempel 2 (begyndelsen af forelæsningen):
Find maksimum af en funktion

40.

41.

Variablerne i den oprindelige opgave x1, x2, x3 er antallet af produkter A, B og C. Lad os introducere
dobbelte problemvariabler y1, y2, y3
Find minimum af en funktion
F * 360 y1 192 y2 180 y3 min
under restriktioner
18 y1 6 y2 5 y3 9,
15 y1 4 y2 3 y3 10,
12 y 8 y 3 y 16,
2
3
1
y1, y2, y3 0.

42. Overvej den sidste tabel i det oprindelige problem

43.

Værdien af y1 i den sidste række i kolonne P4,
dem. y12;
9 år 5
værdi 2 3 i sidste række i kolonne P5,
værdien af y3 0 i den sidste række i kolonne P6.
De resterende værdier findes i kolonne 1,2,3.
2 5
Y (; ;0;5;0;0)
9 3
På samme tid
2
5
F 360 192 180 0 0 5 0 0 0 0 400
9
3
*
- Dette er minimumsomkostningerne for alle produkter.
2/9 og 5/3 er skyggepriser på råvarer af 1. og 2.
arter hhv.