Eksistensen af ​​grænser for en monoton afgrænset sekvens. Weierstrass' sætning om grænsen for en monoton sekvens

Definition: hvis alle n є N, kompatibel x n є N, så siger de det

form numerisk efterfølgende.

- medlemmer sekvenser

- generel medlem sekvenser

Den introducerede definition indebærer, at enhver talrække skal være uendelig, men betyder ikke, at alle medlemmer skal være forskellige tal.

Nummerrækken tages i betragtning givet, hvis der er angivet en lov, hvorved ethvert medlem af sekvensen kan findes.

Medlemmer eller sekvenselementer (1) nummereret med alle naturlige tal i stigende rækkefølge. For n+1 > n-1 følger (foregår) udtrykket udtrykket, uanset om tallet i sig selv er større end, mindre end eller ligefrem lig med tallet.

Definition: En variabel x, der antager en sekvens (1) betydninger, vil vi - efter Meray (Ch. Meray) - kalde valgmulighed.

I et skolematematikkursus kan du finde variabler af netop denne type, såsom muligheder.

For eksempel en sekvens som

(aritmetik) eller type

(geometrisk progression)

Det variable led for en eller anden progression er valgmulighed.

I forbindelse med bestemmelse af længden af ​​en cirkel betragter vi normalt omkredsen af ​​en regulær polygon indskrevet i cirklen, opnået fra en sekskant ved successivt at fordoble antallet af sider. Denne indstilling tager således følgende rækkefølge af værdier:

Lad os også nævne decimaltilnærmelsen (ved ulempe) til, med stigende nøjagtighed. Det tager en række værdier:

og præsenterer også muligheden.

Variablen x, der løber gennem sekvensen (1), er ofte angivet ved at identificere den med variablen ("fælles") medlem af denne sekvens.

Nogle gange angives muligheden x n ved direkte at angive udtrykket for x n ; så i tilfælde af en aritmetisk eller geometrisk progression har vi henholdsvis x n =a+(n-1) d eller x n =aq n-1. Ved at bruge dette udtryk kan du straks beregne enhver variantværdi baseret på dets givne tal uden at beregne tidligere værdier.

For omkredsen af ​​en regulær indskrevet polygon er et sådant generelt udtryk kun muligt, hvis vi introducerer tallet p; generelt er omkredsen p m af en regulær indskrevet m-gon givet af formlen

Definition 1: En talrække (x n) siges at være afgrænset over (nedenfor), hvis et sådant tal findes M (T), at der for ethvert element i denne sekvens er en ulighed, og tallet M (m) kaldes top (sænke) kant.

Definition 2: En talfølge (x n) kaldes afgrænset, hvis den er afgrænset både over og under, dvs. der findes M, m, sådan at for evt

Lad os betegne A = max (|M|, |m|), så er det indlysende, at den numeriske sekvens vil være begrænset, hvis ligheden |x n |?A for nogen gælder, den sidste ulighed er en betingelse for, at den numeriske sekvens kan være begrænset.

Definition 3: en talrække kaldes uendeligt stor sekvens, hvis for enhver A>0, kan du angive et tal N, således at for alle n>N ||>A gælder.

Definition 4: talrækken (b n) kaldes uendeligt lille sekvens, hvis for en given e > 0, kan du angive et tal N(e), således at for enhver n > N(e) uligheden | b n |< е.

Definition 5: talrækken (x n) kaldes konvergent, hvis der er et tal a sådan, at sekvensen (x n - a) er en infinitesimal sekvens. Samtidig er en - begrænse original numerisk sekvenser.

Af denne definition følger det, at alle infinitesimale sekvenser er konvergerende og grænsen for disse sekvenser = 0.

På grund af det faktum, at begrebet en konvergent sekvens er knyttet til begrebet en infinitesimal sekvens, kan definitionen af ​​en konvergent sekvens gives i en anden form:

Definition 6: talrækken (x n) kaldes konvergent til et tal a, hvis der for et hvilket som helst vilkårligt lille tal er sådan, at for alle n > N er uligheden

a er grænsen for sekvensen

Fordi er ækvivalent, og det betyder, at det hører til intervallet x n є (a - e; a+ e) eller, som er det samme, hører til e - naboskabet til punkt a. Så kan vi give en anden definition af en konvergent talrække.

Definition 7: talrækken (x n) kaldes konvergent, hvis der er et punkt a, således at der i et tilstrækkeligt lille e-kvarter i dette punkt er elementer i denne sekvens, startende fra et eller andet nummer N.

Bemærk: ifølge definitionerne (5) og (6), hvis a er grænsen for sekvensen (x n), så er x n - a et element i en infinitesimal sekvens, dvs. x n - a = b n, hvor b n er et element i en infinitesimal sekvens. Følgelig er x n = a + b n, og så har vi ret til at hævde, at hvis en numerisk sekvens (x n) konvergerer, så kan den altid repræsenteres som summen af ​​dens grænse og et element i en infinitesimal sekvens.

Det omvendte udsagn er også sandt: hvis ethvert element i sekvensen (x n) kan repræsenteres som summen af ​​et konstant tal og et element i en infinitesimal sekvens, så er denne konstant begrænse givet sekvenser.

Definition 8. Sekvens Ikke stiger (ikke falder), hvis for.

Definition 9. Sekvens stiger (faldende), hvis for.

Definition 10. En strengt stigende eller strengt faldende sekvens kaldes monotont rækkefølge.

Der gives et bevis for Weierstrass' sætning om grænsen for en monoton sekvens. Tilfældene af afgrænsede og ubundne sekvenser tages i betragtning. Et eksempel betragtes, hvor det er nødvendigt, ved hjælp af Weierstrass' sætning, at bevise konvergensen af ​​en sekvens og finde dens grænse.

Tilfreds

Se også: Grænser for monotone funktioner

Enhver monoton afgrænset sekvens (xn) har en endelig grænse lig med den nøjagtige øvre grænse, sup(xn) for en ikke-aftagende og nøjagtig nedre grænse, inf(xn) for en ikke-stigende sekvens.
Enhver monoton ubundet sekvens har en uendelig grænse svarende til plus uendelig for en ikke-faldende sekvens og minus uendelig for en ikke-tiltagende sekvens.

Bevis

1) ikke-aftagende afgrænset sekvens.

(1.1) .

Da sekvensen er afgrænset, har den en endelig øvre grænse
.
Det betyder, at:

• for alle n,
  (1.2) ;
• for ethvert positivt tal er der et tal afhængigt af ε, således at
  (1.3) .

.
Her brugte vi også (1.3). Ved at kombinere med (1.2) finder vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Den første del af teoremet er blevet bevist.

2) Lad nu rækkefølgen være ikke-tiltagende afgrænset sekvens:
(2.1) for alle n.

Da sekvensen er afgrænset, har den en endelig nedre grænse
.
Det betyder følgende:

• for alle n gælder følgende uligheder:
  (2.2) ;
• for ethvert positivt tal er der et tal, afhængigt af ε, for hvilket
  (2.3) .

.
Her brugte vi også (2.3). Under hensyntagen til (2.2) finder vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Det betyder, at tallet er grænsen for rækkefølgen.
Den anden del af sætningen er bevist.

Overvej nu ubegrænsede sekvenser.
3) Lad rækkefølgen være ubegrænset ikke-faldende sekvens.

Da sekvensen ikke er faldende, gælder følgende uligheder for alle n:
(3.1) .

Da sekvensen er ikke-aftagende og ubegrænset, er den ubegrænset på højre side. Så for ethvert tal M er der et tal, afhængigt af M, for hvilket
(3.2) .

Da rækkefølgen ikke er faldende, så når vi har:
.
Her brugte vi også (3.2).

.
Dette betyder, at grænsen for sekvensen er plus uendelig:
.
Den tredje del af sætningen er bevist.

4) Overvej endelig sagen hvornår ubegrænset ikke-stigende sekvens.

Svarende til den foregående, da sekvensen altså ikke er stigende
(4.1) for alle n.

Da sekvensen ikke er stigende og ubegrænset, er den ubegrænset på venstre side. Så for ethvert tal M er der et tal, afhængigt af M, for hvilket
(4.2) .

Da rækkefølgen ikke er stigende, så når vi har:
.

Så for ethvert tal M er der et naturligt tal afhængigt af M, så for alle tal gælder følgende uligheder:
.
Det betyder, at sekvensens grænse er lig med minus uendelig:
.
Sætningen er blevet bevist.

Eksempel på problemløsning

Alle eksempler Brug Weierstrass' sætning til at bevise konvergensen af ​​sekvensen:
, , . . . , , . . .
Så find dens grænse.

Lad os repræsentere sekvensen i form af tilbagevendende formler:
,
.

Lad os bevise, at den givne sekvens er afgrænset ovenfor af værdien
(P1) .
Beviset udføres ved hjælp af metoden matematisk induktion.
.
Lad .
.
Så

Ulighed (A1) er bevist.
;
Lad os bevise, at rækkefølgen stiger monotont. .
(P2)
.
Siden , så er nævneren af ​​brøken og den første faktor i tælleren positive. På grund af begrænsningen af ​​sekvensens vilkår ved ulighed (A1), er den anden faktor også positiv. Det er derfor

Det vil sige, at rækkefølgen er strengt stigende.

Da sekvensen er stigende og afgrænset ovenfor, er den en afgrænset sekvens. Derfor har den ifølge Weierstrass' sætning en grænse.
.
Lad os finde denne grænse. Lad os betegne det med et:
.
Lad os bruge det faktum
.
Lad os anvende dette på (A2) ved at bruge de aritmetiske egenskaber for grænser for konvergente sekvenser:

Betingelsen er opfyldt ved roden.