Dekomponering af en matrix til rækkeelementer. Matrix determinant online

Ofte på universiteter støder vi på problemer i højere matematik, hvor det er nødvendigt beregne determinanten af ​​en matrix. Determinanten kan i øvrigt kun være i kvadratiske matricer. Nedenfor vil vi overveje de grundlæggende definitioner, hvilke egenskaber determinanten har, og hvordan den beregnes korrekt. Vi vil også vise en detaljeret løsning ved hjælp af eksempler.

Hvad er determinanten for en matrix: beregning af determinanten ved hjælp af definitionen

Matrix determinant

Anden orden er et tal.

Determinanten af ​​en matrix betegnes – (forkortelse for det latinske navn for determinanter), eller .

Hvis:, så viser det sig

Lad os huske nogle flere hjælpedefinitioner:

Definition

Et ordnet sæt tal, der består af elementer, kaldes en rækkefølgepermutation.

For et sæt, der indeholder elementer, er der en faktor (n), som altid er angivet med et udråbstegn: . Permutationerne adskiller sig kun fra hinanden i den rækkefølge, de optræder. For at gøre det klarere, lad os give et eksempel:

Overvej et sæt af tre elementer (3, 6, 7). Der er 6 permutationer i alt, da .:

Definition

En inversion i en permutation af orden er et ordnet sæt tal (det kaldes også en bijektion), hvor to af dem danner en slags uorden. Dette er, når det større tal i en given permutation er placeret til venstre for det mindre tal.

Ovenfor så vi på et eksempel med inversion af en permutation, hvor der var tal . Så lad os tage den anden linje, hvor at dømme efter disse tal viser det sig, at , a , da det andet element er større end det tredje element. Lad os tage den sjette linje til sammenligning, hvor tallene er placeret: . Der er tre par her: , og , siden title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Vi vil ikke studere selve inversionen, men permutationer vil være meget nyttige for os i videre overvejelse af emnet.

Definition

Determinant af matrix x – antal:

er en permutation af tal fra 1 til et uendeligt tal, og er antallet af inversioner i permutationen. Determinanten omfatter således udtryk, der kaldes "determinantens vilkår".

Du kan beregne determinanten for en matrix af anden, tredje og endda fjerde orden. Også værd at nævne:

Definition

Determinanten for en matrix er det tal, der er lig med

For at forstå denne formel, lad os beskrive den mere detaljeret. Determinanten for en kvadratisk matrix x er en sum, der indeholder led, og hvert led er produktet af et vist antal matrixelementer. Desuden er der i hvert produkt et element fra hver række og hver kolonne i matrixen.

Det kan forekomme før et bestemt udtryk, hvis matrixelementerne i produktet er i orden (efter rækkenummer), og antallet af inversioner i permutationen af ​​mange kolonnenumre er ulige.

Det blev nævnt ovenfor, at determinanten af ​​en matrix er betegnet med eller, det vil sige, at determinanten ofte kaldes en determinant.

Så lad os vende tilbage til formlen:

Ud fra formlen er det klart, at determinanten af ​​en førsteordens matrix er et element i den samme matrix.

Beregning af determinanten af ​​en andenordens matrix

Oftest i praksis løses determinanten af ​​en matrix ved hjælp af metoder af anden, tredje og sjældnere, fjerde orden. Lad os se på, hvordan determinanten for en andenordens matrix beregnes:

I en andenordens matrix følger det, at faktoren er . Før du anvender formlen

Det er nødvendigt at bestemme, hvilke data vi indhenter:

2. permutationer af sæt: og ;

3. antal inversioner i permutationen : og , siden title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. tilsvarende arbejder: og.

Det viser sig:

Baseret på ovenstående får vi en formel til at beregne determinanten af ​​en andenordens kvadratmatrix, det vil sige x:

Lad os se på et specifikt eksempel på, hvordan man beregner determinanten af ​​en andenordens kvadratmatrix:

Eksempel

Opgave

Beregn determinanten af ​​matrixen x:

Løsning

Så vi får , , , .

For at løse skal du bruge den tidligere diskuterede formel:

Vi erstatter tallene fra eksemplet og finder:

Svar

Andenordens matrixdeterminant = .

Beregning af determinanten for en tredjeordensmatrix: eksempel og løsning ved hjælp af formlen

Definition

Determinanten for en tredjeordens matrix er et tal opnået fra ni givne tal arrangeret i en kvadratisk tabel,

Den tredje ordens determinant findes på næsten samme måde som den anden ordens determinant. Den eneste forskel er i formlen. Derfor, hvis du forstår formlen godt, så vil der ikke være nogen problemer med løsningen.

Overvej en tredjeordens kvadratisk matrix *:

Baseret på denne matrix forstår vi, at derfor er factorial = , hvilket betyder, at de samlede permutationer er

For at anvende formlen korrekt skal du finde dataene:

Så de samlede permutationer af sættet er:

Antallet af inversioner i permutationen og de tilsvarende produkter =;

Antal inversioner i permutation title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversioner i permutation title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inversioner i permutation title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversioner i permutation title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversioner i permutation title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Nu får vi:

Således har vi en formel til at beregne determinanten af ​​en matrix af orden x:

Find en tredjeordens matrix ved hjælp af trekantsreglen (Sarrus-reglen)

Som nævnt ovenfor er elementerne i 3. ordens determinant placeret i tre rækker og tre kolonner. Hvis du indtaster betegnelsen for det generelle element, angiver det første element rækkenummeret, og det andet element fra indeksene angiver kolonnenummeret. Der er en hoved (elementer) og sekundære (elementer) diagonaler af determinanten. Termerne på højre side kaldes termer for determinanten).

Det kan ses, at hvert led af determinanten er i diagrammet med kun et element i hver række og hver kolonne.

Du kan beregne determinanten ved hjælp af rektangelreglen, som er afbildet i form af et diagram. Betingelserne for determinanten fra elementerne i hoveddiagonalen er fremhævet med rødt, såvel som vilkårene fra elementerne, der er i toppunktet af trekanter, der har en side parallel med hoveddiagonalen (venstre diagram), taget med tegnet .

Udtryk med blå pile fra elementer i sidediagonalen, samt fra elementer, der er i hjørnerne af trekanter, der har sider parallelle med sidediagonalen (højre diagram), tages med tegnet.

Ved hjælp af følgende eksempel lærer vi, hvordan man beregner determinanten af ​​en tredjeordens kvadratmatrix.

Eksempel

Opgave

Beregn determinanten for en tredjeordensmatrix:

Løsning

I dette eksempel:

Vi beregner determinanten ved hjælp af formlen eller skemaet beskrevet ovenfor:

Svar

Determinant af en tredjeordensmatrix =

Grundlæggende egenskaber for determinanter af en tredjeordensmatrix

Baseret på de tidligere definitioner og formler vil vi overveje de vigtigste egenskaber af matrixdeterminanten.

1. Størrelsen af ​​determinanten ændres ikke, når de tilsvarende rækker og kolonner udskiftes (en sådan udskiftning kaldes transponering).

Ved hjælp af et eksempel vil vi sikre os, at determinanten af ​​matricen er lig med determinanten for den transponerede matrix:

Lad os huske formlen til beregning af determinanten:

Transponer matrixen:

Vi beregner determinanten for den transponerede matrix:

Vi har verificeret, at determinanten for den transporterede matrix er lig med den oprindelige matrix, hvilket indikerer den korrekte løsning.

2. Determinantens fortegn vil ændre sig til det modsatte, hvis to af dens kolonner eller to rækker byttes om.

Lad os se på et eksempel:

Givet to tredjeordens matricer (x):

Det er nødvendigt at vise, at determinanterne for disse matricer er modsatte.

Løsning

Rækkerne i matricen og i matrixen er ændret (den tredje fra den første og fra den første til den tredje). Ifølge den anden egenskab skal determinanterne for to matricer være forskellige i fortegn. Det vil sige, at den ene matrix har et positivt fortegn, og den anden har et negativt fortegn. Lad os kontrollere denne egenskab ved at bruge formlen til at beregne determinanten.

Ejendommen er sand, fordi .

3. En determinant er lig med nul, hvis den har de samme tilsvarende elementer i to rækker (kolonner). Lad determinanten have identiske elementer i første og anden kolonne:

Ved at bytte identiske kolonner får vi ifølge egenskab 2 en ny determinant: = . På den anden side falder den nye determinant sammen med den oprindelige, da elementerne har de samme svar, det vil sige =. Fra disse ligheder får vi: =.

4. Determinanten er lig nul, hvis alle elementer i en række (kolonne) er nul. Dette udsagn udspringer af, at hvert led af determinanten ifølge formel (1) har et og kun ét element fra hver række (kolonne), som kun har nuller.

Lad os se på et eksempel:

Lad os vise, at determinanten af ​​matricen er lig med nul:

Vores matrix har to identiske kolonner (anden og tredje), derfor skal determinanten, baseret på denne egenskab, være lig nul. Lad os tjekke:

Faktisk er determinanten for en matrix med to identiske søjler lig med nul.

5. Den fælles faktor for elementerne i den første række (kolonne) kan tages ud af determinanttegnet:

6. Hvis elementerne i en række eller en kolonne i en determinant er proportionale med de tilsvarende elementer i den anden række (kolonne), så er en sådan determinant lig med nul.

Efter egenskab 5 kan proportionalitetskoefficienten faktisk tages ud af determinantens fortegn, og så kan egenskab 3 bruges.

7. Hvis hvert af elementerne i rækkerne (kolonnerne) af determinanten er summen af ​​to led, kan denne determinant præsenteres som summen af ​​de tilsvarende determinanter:

For at kontrollere er det nok at skrive i udvidet form i henhold til (1) den determinant, der er på venstre side af ligheden, derefter separat gruppere de termer, der indeholder elementerne og Hver af de resulterende grupper af termer vil være hhv , den første og anden determinant på højre side af ligheden.

8. Definitionsværdierne ændres ikke, hvis de tilsvarende elementer i den anden række (kolonne) tilføjes til et element i en række eller kolonne, ganget med det samme tal:

Denne lighed opnås ud fra egenskaberne 6 og 7.

9. Matrixens determinant, , er lig med summen af ​​produkterne af elementerne i enhver række eller kolonne og deres algebraiske komplementer.

Her ved hjælp af det algebraiske komplement af et matrixelement. Ved at bruge denne egenskab kan du beregne ikke kun tredjeordens matricer, men også matricer af højere orden (x eller x) Med andre ord er dette en tilbagevendende formel, der er nødvendig for at beregne determinanten af ​​en matrix af enhver rækkefølge. . Husk det, da det ofte bruges i praksis.

Det er værd at sige, at ved hjælp af den niende egenskab er det muligt at beregne determinanterne for matricer ikke kun af fjerde orden, men også af højere orden. Men i dette tilfælde skal du udføre en masse beregningsoperationer og være forsigtig, da den mindste fejl i tegnene vil føre til en forkert beslutning. Det er mest bekvemt at løse matricer af højere orden ved hjælp af Gauss-metoden, og vi vil tale om dette senere.

10. Determinanten af ​​produktet af matricer af samme orden er lig med produktet af deres determinanter.

Lad os se på et eksempel:

Eksempel

Opgave

Sørg for, at determinanten af ​​to matricer og er lig med produktet af deres determinanter. Der er givet to matricer:

Løsning

Først finder vi produktet af determinanterne af to matricer og .

Lad os nu gange begge matricer og dermed beregne determinanten:

Svar

Det sørgede vi for

Beregning af determinanten af ​​en matrix ved hjælp af Gauss-metoden

Matrix determinant opdateret: 22. november 2019 af: Videnskabelige artikler.Ru

Yderligere egenskaber er relateret til begreberne mindre og algebraisk komplement

Mindre element kaldes en determinant, sammensat af elementer, der er tilbage efter at have krydset rækken og kolonnen ud, hvor dette element er placeret. Det mindre element i ordredeterminanten har orden. Vi vil betegne det med.

Eksempel 1. Lade , Så .

Denne mindre fås fra A ved at krydse anden række og tredje kolonne over.

Algebraisk komplement element kaldes den tilsvarende mol ganget med , dvs. , hvor er nummeret på rækken og kolonnen i skæringspunktet, hvor dette element er placeret.

VIII.(Dekomponering af determinanten i elementer af en bestemt streng). Determinanten er lig med summen af ​​produkterne af elementerne i en bestemt række og deres tilsvarende algebraiske komplementer.

Eksempel 2. Lade , Så

Eksempel 3. Lad os finde determinanten for matricen , dekomponerer det i elementerne i den første række.

Formelt set er dette teorem og andre egenskaber ved determinanter kun anvendelige for determinanter af matricer af højst tredje orden, da vi ikke har overvejet andre determinanter. Den følgende definition vil tillade os at udvide disse egenskaber til determinanter af enhver rækkefølge.

Matrixens determinant bestille er et tal beregnet ved sekventiel anvendelse af ekspansionssætningen og andre egenskaber ved determinanter.

Du kan kontrollere, at resultatet af beregningerne ikke afhænger af den rækkefølge, som ovenstående egenskaber anvendes i, og for hvilke rækker og kolonner. Ved at bruge denne definition findes determinanten entydigt.

Selvom denne definition ikke indeholder en eksplicit formel til at finde determinanten, giver den mulighed for at finde den ved at reducere den til determinanterne for matricer af lavere orden. Sådanne definitioner kaldes tilbagevendende.

Eksempel 4. Beregn determinanten:

Selvom faktoriseringssætningen kan anvendes på enhver række eller kolonne i en given matrix, opnås færre beregninger ved at faktorisere langs den kolonne, der indeholder så mange nuller som muligt.

Da matricen ikke har nul-elementer, får vi dem ved hjælp af egenskaben VII. Gang den første linje i rækkefølge med tal og føj det til linjerne og få:

Lad os udvide den resulterende determinant langs den første kolonne og få:

da determinanten indeholder to proportionale kolonner.

Nogle typer matricer og deres determinanter

En kvadratisk matrix, der har nul elementer under eller over hoveddiagonalen () kaldes trekantet.

Deres skematiske struktur ser derfor ud som: eller

.

Matricer bruges i matematik til kompakt at skrive systemer af lineære algebraiske eller differentialligninger. I dette tilfælde svarer antallet af rækker i matrixen til antallet af ligninger, og antallet af kolonner svarer til antallet af ukendte. Som et resultat er løsning af lineære ligninger reduceret til operationer på matricer.

Matrixen er skrevet som en rektangulær tabel over elementer i en ring eller et felt (for eksempel heltal, komplekse eller reelle tal). Det er en samling af rækker og kolonner, hvor dets elementer er placeret. Størrelsen af ​​matrixen bestemmes af antallet af rækker og kolonner.

En vigtig værdi af enhver matrix er dens determinant, som beregnes ved hjælp af en bestemt formel.

Det er nødvendigt manuelt at udføre en række operationer på matrixen for at beregne dens determinant. Determinanten kan enten være positiv eller negativ eller lig med nul.

For at tjekke dine beregninger af matricens determinant kan du bruge vores online-beregner. Online-beregneren vil øjeblikkeligt beregne determinanten af ​​matrixen og give den nøjagtige værdi.

Determinanten af ​​en matrix er en slags karakteristik af en matrix, eller mere præcist, den kan bruges til at bestemme, om det tilsvarende ligningssystem har en løsning. Determinanten for en matrix bruges i vid udstrækning i videnskaben, såsom fysik, ved hjælp af hvilken den fysiske betydning af mange mængder beregnes.

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger

Ved hjælp af vores lommeregner kan du også løse et system af lineære algebraiske ligninger (SLAE).

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger er et af de almindelige lineære algebraproblemer. SLAE'er og metoder til deres løsning ligger til grund for mange anvendte områder, herunder økonometri og lineær programmering.

Gratis online lommeregner

Vores gratis solver giver dig mulighed for at løse ligninger online af enhver kompleksitet i løbet af få sekunder. Alt du skal gøre er blot at indtaste dine data i lommeregneren. Du kan også se videoinstruktioner og lære, hvordan du løser ligningen på vores hjemmeside. Og hvis du stadig har spørgsmål, kan du stille dem i vores VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher.

Dernæst går vi videre til determinantens egenskaber, som vi vil formulere i form af sætninger uden bevis. Her får vi en metode til at beregne determinanten gennem dens udvidelse til elementerne i en række eller kolonne. Denne metode giver dig mulighed for at reducere beregningen af ​​determinanten for en matrix af orden n med n til beregningen af ​​determinanterne for matricer af orden 3 med 3 eller mindre. Vi vil helt sikkert vise løsninger på flere eksempler.

Afslutningsvis vil vi fokusere på at beregne determinanten ved hjælp af Gauss-metoden. Denne metode er god til at finde værdierne af determinanter for matricer af orden højere end 3 gange 3, da den kræver mindre beregningsindsats. Vi vil også se på løsningerne til eksemplerne.

Sidenavigation.

Bestemmelse af determinanten af ​​en matrix, beregning af determinanten af ​​en matrix per definition.

Lad os huske nogle få hjælpebegreber.

Definition.

Permutation af ordre n Et ordnet sæt tal bestående af n elementer kaldes.

For et sæt, der indeholder n elementer, er der n!

(n faktorielle) permutationer af orden n. Permutationer adskiller sig kun fra hinanden i den rækkefølge, som elementerne optræder. ):

Definition.

Overvej for eksempel et sæt bestående af tre tal: . Lad os skrive alle permutationerne ned (der er seks i alt, siden Ved inversion i en permutation af orden n

Ethvert par af indekser p og q, for hvilke det p-te element i permutationen er større end q-te, kaldes.

I det foregående eksempel er det omvendte af permutationen 4, 9, 7 parret p=2, q=3, da det andet element i permutationen er lig med 9 og det er større end det tredje, lig med 7. Inversionen af ​​permutationen 9, 7, 4 vil være tre par: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) og p=2, q=3 (7>4).

Vi vil være mere interesserede i antallet af inversioner i permutationen, snarere end selve inversionen.

Definition.

Matrix determinant Lad være en kvadratisk matrix af orden n gange n over feltet af reelle (eller komplekse) tal. Lade være sættet af alle permutationer af rækkefølge n af sættet. Sættet indeholder n! .

permutationer. Lad os betegne den k-te permutation af sættet som , og antallet af inversioner i den k-te permutation som .

Determinanten af ​​matrix A betegnes normalt som , og det(A) bruges også. Du kan også høre determinanten kaldet en determinant.

Så, .

Heraf er det klart, at determinanten af ​​en førsteordens matrix er elementet i denne matrix.

Beregning af determinanten af ​​en anden ordens kvadratisk matrix - formel og eksempel.

omkring 2 gange 2 generelt.

I dette tilfælde n=2, derfor n!=2!=2.

.

Det har vi

Således har vi fået en formel til at beregne determinanten af ​​en matrix af orden 2 gange 2, den har formen .

Eksempel.

ordre.

Løsning.

I vores eksempel. Vi anvender den resulterende formel :

Beregning af determinanten for en kvadratisk matrix af tredje orden - formel og eksempel.

Lad os finde determinanten af ​​en kvadratisk matrix omkring 3 gange 3 generelt.

I dette tilfælde n=3, derfor n!=3!=6.

Lad os arrangere de nødvendige data i form af en tabel for at anvende formlen .

Det har vi

Således har vi fået en formel til at beregne determinanten af ​​en matrix af orden 3 gange 3, den har formen

På samme måde kan du få formler til at beregne determinanterne for matricer af orden 4 gange 4, 5 gange 5 og højere. De vil se meget omfangsrige ud.

Eksempel.

Beregn determinanten af ​​en kvadratisk matrix omkring 3 gange 3.

Løsning.

I vores eksempel

Vi anvender den resulterende formel til at beregne determinanten af ​​en tredjeordensmatrix:

Formler til beregning af determinanterne af kvadratmatricer af anden og tredje orden bruges meget ofte, så vi anbefaler, at du husker dem.

Egenskaber for determinanten af ​​en matrix, beregning af determinanten af ​​en matrix ved hjælp af egenskaber.

Baseret på den angivne definition er følgende sande: egenskaber af matrixdeterminanten.

Determinanten for matricen A er lig med determinanten for den transponerede matrix A T, dvs.

Eksempel.

Sørg for, at determinanten af ​​matrixen er lig med determinanten af ​​den transponerede matrix.

Løsning.

Lad os bruge formlen til at beregne determinanten for en matrix af orden 3 gange 3:



Transponer matrix A:


Lad os beregne determinanten for den transponerede matrix:



Faktisk er determinanten for den transponerede matrix lig med determinanten for den oprindelige matrix.

Hvis i en kvadratisk matrix alle elementer i mindst en af ​​rækkerne (en af ​​kolonnerne) er nul, er determinanten for en sådan matrix lig med nul.

Eksempel.

Kontroller, at determinanten af ​​matricen orden 3 gange 3 er nul.

Løsning.




Faktisk er determinanten for en matrix med en nulsøjle lig med nul.

Hvis du omarrangerer to rækker (kolonner) i en kvadratisk matrix, vil determinanten for den resulterende matrix være modsat den oprindelige (det vil sige, at tegnet ændres).

Eksempel.

Givet to kvadratiske matricer af orden 3 gange 3 Og . Vis, at deres determinanter er modsatte.

Løsning.

Matrix B fås fra matrix A ved at erstatte den tredje række med den første og den første med den tredje. Ifølge den betragtede egenskab skal determinanterne for sådanne matricer være forskellige i fortegn. Lad os tjekke dette ved at beregne determinanterne ved hjælp af den velkendte formel.



Virkelig,.

Hvis i en kvadratisk matrix mindst to rækker (to kolonner) er ens, så er dens determinant lig med nul.

Eksempel.

Vis, at determinanten af ​​matricen lig med nul.

Løsning.

I denne matrix er den anden og tredje kolonne ens, så ifølge den betragtede egenskab skal dens determinant være lig nul. Lad os tjekke det ud.



Faktisk er determinanten for en matrix med to identiske kolonner nul.

Hvis alle elementerne i en række (søjle) i en kvadratisk matrix multipliceres med et bestemt tal k, så vil determinanten af ​​den resulterende matrix være lig med determinanten af ​​den oprindelige matrix ganget med k. f.eks.



Eksempel.

Bevis, at determinanten af ​​matricen lig med tredobbelt determinanten af ​​matricen .

Løsning.

Elementerne i den første kolonne af matrix B opnås fra de tilsvarende elementer i den første kolonne af matrix A ved at gange med 3. Så skal ligheden på grund af den betragtede ejendom holde. Lad os kontrollere dette ved at beregne determinanterne for matricerne A og B.



Derfor var det det, der skulle bevises.

BEMÆRK VENLIGST.

Undlad at forveksle eller blande begreberne matrix og determinant! Den betragtede egenskab for determinanten af ​​en matrix og operationen med at gange en matrix med et tal er langt fra det samme.
, Men .

Hvis alle elementerne i en række (søjle) i en kvadratisk matrix repræsenterer summen af ​​s led (s er et naturligt tal større end én), så vil determinanten af ​​en sådan matrix være lig med summen af ​​s determinanter af opnåede matricer fra den oprindelige, hvis elementerne i rækken (kolonnen) er: lad et led ad gangen. f.eks.


Eksempel.

Bevis, at determinanten af ​​en matrix er lig med summen af ​​determinanterne af matricer .

Løsning.

I vores eksempel Derfor skal ligheden være opfyldt på grund af den betragtede egenskab af matricens determinant . Lad os kontrollere det ved at beregne de tilsvarende determinanter af matricer af orden 2 gange 2 ved hjælp af formlen .


Det fremgår klart af de opnåede resultater . Dette fuldender beviset.

Hvis de tilsvarende elementer i en anden række (kolonne) lægges til elementerne i en bestemt række (kolonne) i en matrix, ganget med et vilkårligt tal k, så vil determinanten af ​​den resulterende matrix være lig med determinanten for den oprindelige matrix .

Eksempel.

Sørg for, at hvis til elementerne i den tredje kolonne i matrixen tilføj de tilsvarende elementer i den anden kolonne i denne matrix, ganget med (-2), og tilføj de tilsvarende elementer i den første kolonne i matrixen, ganget med et vilkårligt reelt tal, så vil determinanten for den resulterende matrix være lig med determinanten for den oprindelige matrix.

Løsning.

Hvis vi starter fra den betragtede egenskab af determinanten, så vil determinanten af ​​matricen opnået efter alle de transformationer, der er specificeret i problemet, være lig med determinanten af ​​matrix A.

Lad os først beregne determinanten for den oprindelige matrix A:



Lad os nu udføre de nødvendige transformationer af matrix A.

Lad os tilføje elementerne i den tredje søjle i matricen de tilsvarende elementer i den anden søjle af matrixen, efter at have ganget dem med (-2). Efter dette vil matricen have formen:


Til elementerne i den tredje kolonne i den resulterende matrix tilføjer vi de tilsvarende elementer i den første kolonne multipliceret med:


Lad os beregne determinanten for den resulterende matrix og sikre os, at den er lig med determinanten for matrix A, det vil sige -24:



Determinanten af ​​en kvadratisk matrix er lig med summen af ​​produkterne af elementerne i enhver række (kolonne) efter deres algebraiske tilføjelser.



Her er det algebraiske komplement til matrixelementet .

Denne egenskab gør det muligt at beregne determinanterne for matricer af orden højere end 3 gange 3 ved at reducere dem til summen af ​​flere determinanter af matricer af orden en lavere. Med andre ord er dette en tilbagevendende formel til beregning af determinanten af ​​en kvadratisk matrix af enhver rækkefølge. Vi anbefaler, at du husker det på grund af dets ret hyppige anvendelse.

Lad os se på et par eksempler.

Eksempel.

omkring 4 gange 4, hvilket udvider det

• ved elementer i 3. linje,
• ved elementer i 2. kolonne.

Løsning.

Vi bruger formlen til at dekomponere determinanten i elementerne i 3. række



Det har vi



Så problemet med at finde determinanten for en matrix af orden 4 gange 4 blev reduceret til at beregne tre determinanter af matricer af orden 3 med 3:



Ved at erstatte de opnåede værdier kommer vi til resultatet:


Vi bruger formlen til at dekomponere determinanten i elementerne i 2. kolonne


og vi handler på samme måde.

Vi vil ikke beskrive i detaljer beregningen af ​​determinanter af tredjeordens matricer.



Eksempel.

Beregn determinant af matrix omkring 4 gange 4.

Løsning.

Du kan udvide determinanten af ​​en matrix til elementerne i enhver kolonne eller en hvilken som helst række, men det er mere rentabelt at vælge den række eller kolonne, der indeholder det største antal nul-elementer, da dette vil hjælpe med at undgå unødvendige beregninger. Lad os udvide determinanten til elementerne i den første linje:



Lad os beregne de resulterende determinanter af matricer af orden 3 gange 3 ved at bruge den for os kendte formel:



Erstat resultaterne og få den ønskede værdi


Eksempel.

Beregn determinant af matrix omkring 5 gange 5.

Løsning.

Den fjerde række af matricen har det største antal nul-elementer blandt alle rækker og kolonner, så det er tilrådeligt at udvide determinanten af ​​matrixen præcist i henhold til elementerne i den fjerde række, da vi i dette tilfælde har brug for færre beregninger.



De resulterende determinanter af matricer af orden 4 x 4 blev fundet i tidligere eksempler, så lad os bruge de færdige resultater:



Eksempel.

Beregn determinant af matrix omkring 7 gange 7.

Løsning.

Du bør ikke straks skynde dig at sortere determinanten i elementerne i en række eller kolonne. Hvis du ser nærmere på matricen, vil du bemærke, at elementerne i den sjette række af matricen kan fås ved at gange de tilsvarende elementer i den anden række med to. Det vil sige, at hvis de tilsvarende elementer i den anden række lægges til elementerne i den sjette række, ganget med (-2), vil determinanten ikke ændre sig på grund af den syvende egenskab, og den sjette række i den resulterende matrix vil bestå af nuller. Determinanten for en sådan matrix er lig med nul med den anden egenskab.

Svar:

Det skal bemærkes, at den betragtede egenskab tillader en at beregne determinanterne af matricer af enhver rækkefølge, men man skal udføre en masse beregningsoperationer. I de fleste tilfælde er det mere fordelagtigt at finde determinanten for matricer af orden højere end den tredje ved hjælp af Gauss-metoden, som vi vil overveje nedenfor.

Summen af ​​produkterne af elementerne i enhver række (søjle) i en kvadratisk matrix ved de algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i en anden række (søjle) er lig med nul.


Eksempel.

Vis, at summen af ​​produkterne af elementerne i den tredje kolonne af matricen på de algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i den første kolonne er lig med nul.

Løsning.




Determinanten af ​​produktet af kvadratiske matricer af samme orden er lig med produktet af deres determinanter, dvs. , hvor m er et naturligt tal større end én, A k, k=1,2,...,m er kvadratiske matricer af samme orden.

Eksempel.

Bekræft, at determinanten af ​​produktet af to matricer og er lig med produktet af deres determinanter.

Løsning.

Lad os først finde produktet af determinanter af matricer A og B:


Lad os nu udføre matrixmultiplikation og beregne determinanten for den resulterende matrix:



Således, , hvilket er det, der skulle vises.

Beregning af determinanten af ​​en matrix ved hjælp af Gauss-metoden.

Lad os beskrive essensen af ​​denne metode. Ved hjælp af elementære transformationer reduceres matrix A til en sådan form, at alle elementer undtagen dem i første kolonne bliver nul (dette kan altid gøres, hvis determinanten af ​​matrix A er forskellig fra nul). Vi vil beskrive denne procedure lidt senere, men nu vil vi forklare, hvorfor dette gøres. Nulelementer opnås for at opnå den enkleste udvidelse af determinanten over elementerne i den første kolonne. Efter en sådan transformation af matrixen A, under hensyntagen til den ottende egenskab og, får vi

Hvor - mindre (n-1) orden, opnået fra matrix A ved at slette elementerne i dens første række og første kolonne.

Med den matrix, som minor svarer til, udføres den samme procedure for at opnå nul-elementer i den første kolonne. Og så videre indtil den endelige beregning af determinanten.

Nu er det tilbage at besvare spørgsmålet: "Hvordan får man nul elementer i den første kolonne"?

Lad os beskrive handlingsalgoritmen.

Hvis , så tilføjes de tilsvarende elementer i den k. række til elementerne i den første række af matricen, hvor . (Hvis alle elementerne i den første kolonne i matrix A uden undtagelse er nul, så er dens determinant lig med nul med den anden egenskab, og der er ingen Gauss-metode nødvendig). Efter en sådan transformation vil det "nye" element være ikke-nul. Determinanten for den "nye" matrix vil være lig med determinanten for den oprindelige matrix på grund af den syvende egenskab.

Nu har vi en matrix med . Når vi til elementerne i den anden linje tilføjer de tilsvarende elementer i den første linje, ganget med , til elementerne i den tredje linje - de tilsvarende elementer i den første linje, ganget med . Og så videre. Til sidst tilføjer vi til elementerne i den n'te række de tilsvarende elementer i den første række ganget med . Dette vil resultere i en transformeret matrix A, hvor alle elementer i den første kolonne, undtagen , vil være nul. Determinanten af ​​den resulterende matrix vil være lig med determinanten af ​​den oprindelige matrix på grund af den syvende egenskab.

Lad os se på metoden, når vi løser et eksempel, det vil være tydeligere.

Eksempel.

Beregn determinanten for en matrix af orden 5 gange 5 .

Løsning.

Lad os bruge den Gaussiske metode. Lad os transformere matrix A, så alle elementer i dens første kolonne, undtagen , bliver nul.

Da elementet oprindeligt er , føjer vi til elementerne i den første række af matrixen de tilsvarende elementer, for eksempel i den anden række, da:

Tegnet "~" angiver ækvivalens.

Nu tilføjer vi til elementerne i den anden linje de tilsvarende elementer i den første linje, ganget med , til elementerne i den tredje linje – de tilsvarende elementer i den første linje, ganget med , og fortsæt på samme måde op til den sjette linje:

Vi får

Med matrix Vi udfører den samme procedure for at opnå nul elementer i den første kolonne:

Derfor,

Nu udfører vi transformationer med matricen :

Kommentar.

På et eller andet trin af matrixtransformationen ved hjælp af Gauss-metoden kan der opstå en situation, hvor alle elementerne i de sidste par rækker af matrixen bliver nul. Dette vil indikere, at determinanten er lig nul.

Lad os opsummere.

Determinanten for en kvadratisk matrix, hvis elementer er tal, er et tal. Vi så på tre måder at beregne determinanten på:

1. gennem summen af ​​produkter af kombinationer af matrixelementer;
2. gennem nedbrydning af determinanten til elementerne i en række eller kolonne i matrixen;
3. ved at reducere matrixen til en øvre trekantet (Gauss-metoden).

Formler blev opnået til at beregne determinanterne for matricer af orden 2 x 2 og 3 gange 3.

Vi har undersøgt egenskaberne for determinanten af ​​en matrix. Nogle af dem giver dig mulighed for hurtigt at forstå, at determinanten er nul.

Når man beregner determinanterne for matricer af orden højere end 3 gange 3, er det tilrådeligt at bruge Gauss-metoden: udfør elementære transformationer af matricen og reducer den til en øvre trekantet. Determinanten for en sådan matrix er lig med produktet af alle elementer på hoveddiagonalen.

Lad os huske Laplaces sætning:
Laplaces sætning:

Lad k rækker (eller k kolonner) være vilkårligt valgt i determinanten d af orden n, . Så er summen af ​​produkterne af alle mindreårige af k. orden indeholdt i de valgte rækker og deres algebraiske komplementer lig med determinanten d.

For at beregne determinanter tages i det generelle tilfælde k lig med 1. Dvs. i determinanten d af orden n vælges en række (eller kolonne) vilkårligt. Så er summen af ​​produkterne af alle elementer indeholdt i den valgte række (eller kolonne) og deres algebraiske komplementer lig med determinanten d.

Eksempel:
Beregn determinant

Løsning:

Lad os vælge en vilkårlig række eller kolonne. Af en grund, der vil blive indlysende lidt senere, vil vi begrænse vores valg til enten den tredje række eller den fjerde kolonne. Og lad os stoppe på tredje linje.

Lad os bruge Laplaces sætning.

Det første element i den valgte række er 10, det vises i den tredje række og første kolonne. Lad os beregne det algebraiske komplement til det, dvs. Lad os finde den determinant opnået ved at strege kolonnen og rækken ud, som dette element står på (10) og finde tegnet.

"plus hvis summen af ​​tallene for alle rækker og kolonner, hvori den mindre M er placeret, er lige, og minus hvis denne sum er ulige."
Og vi tog den mindre, bestående af et enkelt element 10, som er i den første kolonne i den tredje række.

Så:


Det fjerde led i denne sum er 0, hvorfor det er værd at vælge rækker eller kolonner med det maksimale antal nul elementer.

Svar: -1228

Eksempel:
Beregn determinanten:

Løsning:
Lad os vælge den første kolonne, fordi... to elementer i den er lig med 0. Lad os udvide determinanten langs den første kolonne.


Vi udvider hver af tredjeordens determinanter langs den første anden række


Vi udvider hver af andenordens determinanter langs den første kolonne


Svar: 48
Kommentar: ved løsning af dette problem blev der ikke brugt formler til beregning af determinanter af 2. og 3. orden. Kun række- eller kolonnenedbrydning blev brugt. Hvilket fører til et fald i rækkefølgen af ​​determinanter.