Fourier serisi genişleme katsayıları. Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği
Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.
Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ile akustik dalgalar, periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarında kullanımının tipik pratik örnekleridir.
Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):
sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani
-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,
Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.
Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.
Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.
Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.
Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.
Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.
Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).
f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.
Çift ve tek fonksiyonlar.
y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyonlara iki örnek: y=x2 ve y=cosx.
y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.
Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.
Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.
Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,
Fourier serisinin katsayıları nerede,
Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).
Buradan,
Fourier serisinin katsayıları nerede,
Yarım çevrimde Fourier serileri.
Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Fourier yakınında yarım döngüde.
Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.
Eğer almanız gerekiyorsa Fourier yarım döngü sinüs genişlemesi f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B
Keyfi bir aralık için Fourier serileri.
Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.
Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.
-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:
(Entegral limitleri L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)
L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.
u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.
0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:
Fourier serilerinin ifadelerini trigonometrik ve karmaşık formda ele alacağız ve Fourier serilerinin yakınsaklığı için Dirichlet koşullarını da dikkate alacağız. Ek olarak, spektral analiz teorisine alışmada sıklıkla zorluk yaratan sinyal spektrumunun negatif frekansı gibi bir kavramın açıklaması üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.
Periyodik sinyal. Trigonometrik Fourier serisi
Bir c periyoduyla tekrarlanan sürekli zamanın periyodik bir sinyali olsun, yani. , burada keyfi bir tam sayıdır.
Örnek olarak, Şekil 1, c süresiyle tekrarlanan, c süresindeki dikdörtgen darbe dizisini göstermektedir.
Şekil 1. Periyodik dizi
dikdörtgen darbeler
Matematiksel analiz sürecinden trigonometrik fonksiyonlar sisteminin olduğu bilinmektedir.
Rad/s'nin bir tam sayı olduğu çoklu frekanslarda, Dirichlet koşullarını karşılayan bir periyoda sahip periyodik sinyallerin ayrıştırılması için ortonormal bir temel oluşturur. Fourier serisinin yakınsaması için Dirichlet koşulları, segment üzerinde periyodik bir sinyalin belirtilmesini ve aşağıdaki koşulları karşılamasını gerektirir:
Örneğin periyodik fonksiyon 
fonksiyon Dirichlet koşullarını karşılamamaktadır çünkü fonksiyon ikinci türden süreksizliklere sahiptir ve keyfi bir tamsayı olan sonsuz değerler alır. Yani fonksiyon Fourier serisi ile temsil edilemez. Ayrıca fonksiyona bir örnek de verebilirsiniz. 
Sınırlıdır ancak sıfıra yaklaşırken sonsuz sayıda uç noktaya sahip olduğundan Dirichlet koşullarını da karşılamaz. Bir fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilmiştir.
Şekil 2. Fonksiyon grafiği :
a - iki tekrar periyodu; b - civarda
Şekil 2a, fonksiyonun iki tekrar periyodunu göstermektedir ve Şekil 2b'de - yakınındaki alan. Sıfıra yaklaştıkça salınım frekansının sonsuz derecede arttığı ve böyle bir fonksiyonun parçalı monoton olmadığı için Fourier serisi ile temsil edilemeyeceği görülmektedir.
Pratikte sonsuz akım veya gerilim değerlerine sahip hiçbir sinyalin bulunmadığına dikkat edilmelidir. Sonsuz sayıda ekstrema tipine sahip fonksiyonlar uygulanan problemlerde de oluşmaz. Tüm gerçek periyodik sinyaller Dirichlet koşullarını karşılar ve aşağıdaki formdaki sonsuz trigonometrik Fourier serisiyle temsil edilebilir:
İfade (2)'de katsayı periyodik sinyalin sabit bileşenini belirtir.
Sinyalin sürekli olduğu tüm noktalarda, Fourier serisi (2) verilen sinyalin değerlerine ve birinci türden süreksizlik noktalarında - ortalama değere yakınsar ve burada ve soldaki sınırlardır ve sırasıyla süreksizlik noktasının sağında.
Matematiksel analiz sürecinden, sonsuz bir toplam yerine yalnızca ilk terimleri içeren kesik Fourier serisinin kullanımının sinyalin yaklaşık bir temsiline yol açtığı da bilinmektedir:
Minimum ortalama karesel hatanın sağlandığı nokta. Şekil 3, farklı sayıdaki Fourier serisi terimleri kullanıldığında periyodik bir kare dalga dizisinin ve periyodik bir rampa dalgasının yaklaşımını göstermektedir.
Şekil 3. Kesik Fourier serisi kullanılarak sinyallerin yaklaşımı:
a - dikdörtgen darbeler; b - testere dişi sinyali
Fourier serileri karmaşık formda
Önceki bölümde Dirichlet koşullarını sağlayan rastgele bir periyodik sinyalin açılımı için trigonometrik Fourier serisini inceledik. Euler formülünü kullanarak şunu gösterebiliriz:
Daha sonra trigonometrik Fourier serisi (2) dikkate alınarak (4):
Böylece, periyodik bir sinyal, sabit bir bileşenin ve pozitif frekanslar için katsayılara sahip frekanslarda dönen karmaşık üstellerin ve negatif frekanslarda dönen karmaşık üstellerin toplamı ile temsil edilebilir.
Pozitif frekanslarla dönen karmaşık üstellerin katsayılarını ele alalım:
Benzer şekilde, negatif frekanslarla dönen karmaşık üstellerin katsayıları şöyledir:
İfadeler (6) ve (7) çakışmaktadır; ayrıca sabit bileşen sıfır frekansta karmaşık bir üstel aracılığıyla da yazılabilir:
Böylece, (5) (6)-(8) dikkate alınarak eksi sonsuzdan sonsuza endekslendiğinde tek bir toplam olarak temsil edilebilir:
İfade (2)'den, gerçek bir sinyal için (2) serisinin katsayılarının da gerçek olduğu sonucu çıkar. Bununla birlikte, (9) gerçek bir sinyali hem pozitif hem de negatif frekanslarla ilgili bir dizi karmaşık eşlenik katsayıyla ilişkilendirir.
Fourier serisinin karmaşık biçimde bazı açıklamaları
Bir önceki bölümde trigonometrik Fourier serilerinden (2) karmaşık formdaki Fourier serilerine (9) geçiş yapmıştık. Sonuç olarak, periyodik sinyalleri gerçek trigonometrik fonksiyonlar temelinde ayrıştırmak yerine, karmaşık katsayılar içeren karmaşık üstel sayılar temelinde bir genişleme elde ettik ve genişlemede negatif frekanslar bile ortaya çıktı! Bu konu sıklıkla yanlış anlaşıldığından, bazı açıklamalara ihtiyaç duyulmaktadır.
Birincisi, karmaşık üslerle çalışmak çoğu durumda trigonometrik fonksiyonlarla çalışmaktan daha kolaydır. Örneğin, karmaşık üslü sayıları çarparken ve bölerken, sadece üsleri toplamak (çıkarmak) yeterli olurken, trigonometrik fonksiyonları çarpma ve bölme formülleri daha hantaldır.
Üstel sayıların, hatta karmaşık olanların bile türevini almak ve entegre etmek, türevlendiğinde ve entegre edildiğinde sürekli değişen (sinüs kosinüse veya tam tersi) trigonometrik fonksiyonlardan daha kolaydır.
Sinyal periyodik ve gerçekse, trigonometrik Fourier serisi (2) daha net görünür çünkü tüm genişleme katsayıları ve gerçek kalır. Bununla birlikte, çoğu zaman karmaşık periyodik sinyallerle uğraşmak gerekir (örneğin, modülasyon ve demodüle etme sırasında karmaşık zarfın karesel bir temsili kullanılır). Bu durumda, trigonometrik Fourier serisi kullanıldığında, tüm katsayılar ve açılımlar (2) karmaşık hale gelirken, Fourier serisi karmaşık biçimde (9) kullanıldığında, hem gerçek hem de karmaşık giriş sinyalleri için aynı genişleme katsayıları kullanılacaktır. .
Ve son olarak (9)’da ortaya çıkan negatif frekansların açıklaması üzerinde durmak gerekir. Bu soru çoğu zaman yanlış anlaşılmalara neden olur. Günlük hayatta negatif frekanslarla karşılaşmıyoruz. Örneğin radyomuzu hiçbir zaman negatif frekansa ayarlamayız. Mekanikten aşağıdaki benzetmeyi ele alalım. Belirli bir frekansta serbestçe salınan mekanik bir yaylı sarkaç olsun. Bir sarkaç negatif frekansta salınabilir mi? Tabii ki değil. Negatif frekanslarda yayın yapan radyo istasyonları olmadığı gibi, sarkacın salınımlarının frekansı da negatif olamaz. Ancak yaylı sarkaç tek boyutlu bir nesnedir (sarkaç tek bir düz çizgi boyunca salınır).
Mekanikten bir benzetme daha yapabiliriz: frekansıyla dönen bir tekerlek. Sarkaçtan farklı olarak tekerlek döner, yani. Tekerleğin yüzeyindeki bir nokta bir düzlemde hareket eder ve tek bir düz çizgi boyunca salınmaz. Bu nedenle, tekerleğin dönüşünü benzersiz bir şekilde belirlemek için dönüş hızını ayarlamak yeterli değildir çünkü dönüş yönünü de ayarlamak gerekir. İşte tam da bu yüzden frekans işaretini kullanabiliriz.
Dolayısıyla, eğer tekerlek saat yönünün tersine rad/s açısal frekansıyla dönüyorsa, o zaman tekerleğin pozitif bir frekansla döndüğünü, saat yönünde ise dönme frekansının negatif olacağını düşünüyoruz. Böylece, bir dönüş komutu için negatif frekans anlamsız olmaktan çıkar ve dönüş yönünü belirtir.
Ve şimdi anlamamız gereken en önemli şey. Tek boyutlu bir nesnenin (örneğin bir yay sarkacının) salınımı, Şekil 4'te gösterilen iki vektörün dönüşlerinin toplamı olarak temsil edilebilir.
Şekil 4. Yay sarkacının salınımı
iki vektörün dönüşlerinin toplamı olarak
karmaşık düzlemde
Sarkaç, karmaşık düzlemin gerçek ekseni boyunca harmonik yasasına göre bir frekansta salınır. Sarkacın hareketi yatay bir vektör olarak gösterilmiştir. Üstteki vektör karmaşık düzlemde pozitif frekansla (saat yönünün tersine) döner ve alt vektör negatif frekansla (saat yönünde) döner. Şekil 4, trigonometri dersindeki iyi bilinen ilişkiyi açıkça göstermektedir:
Böylece karmaşık formdaki (9) Fourier serisi, pozitif ve negatif frekanslarla dönen karmaşık düzlem üzerindeki vektörlerin toplamı olarak periyodik tek boyutlu sinyalleri temsil eder. Aynı zamanda, (9)'a göre, gerçek bir sinyal durumunda, negatif frekanslar için genişleme katsayılarının, pozitif frekanslar için karşılık gelen katsayılarla karmaşık eşlenik olduğunu da belirtelim. Karmaşık bir sinyal durumunda, katsayıların bu özelliği, ve'nin de karmaşık olması nedeniyle geçerli değildir.
Periyodik sinyal spektrumu
Karmaşık formdaki Fourier serisi, periyodik bir sinyalin, sinyalin spektrumunu belirleyen karşılık gelen karmaşık katsayılarla birlikte, rad/c'nin katları halinde pozitif ve negatif frekanslarda dönen karmaşık üstellerin toplamına ayrıştırılmasıdır. Karmaşık katsayılar Euler formülü kullanılarak şu şekilde temsil edilebilir; burada genlik spektrumu, a ise faz spektrumudur.
Periyodik sinyaller yalnızca sabit bir frekans ızgarasında arka arkaya yerleştirildiğinden, periyodik sinyallerin spektrumu çizgidir (ayrık).
Şekil 5. Periyodik bir dizinin spektrumu
dikdörtgen darbeler:
a - genlik spektrumu; b - faz spektrumu
Şekil 5, c, darbe süresi c ve darbe genliği B'de periyodik bir dikdörtgen darbe dizisinin (bkz. Şekil 1) genlik ve faz spektrumunun bir örneğini gösterir.
Deşifre metni
1 RF EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI NOVOSIBIRSK DEVLET ÜNİVERSİTESİ FAKÜLTESİ FİZİK FAKÜLTESİ R. K. Belkheeva ÖRNEKLER VE SORUNLARDA FOURIER SERİSİ Ders Kitabı Novosibirsk 211
2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. Örnekler ve problemlerde Fourier serisi: Ders Kitabı / Novosibirsk. durum üniversite Novosibirsk, s. ISBN Ders kitabı Fourier serileri hakkında temel bilgiler vermekte ve çalışılan her konu için örnekler sunmaktadır. Bir sicimin enine titreşimleri sorununu çözmek için Fourier yönteminin uygulanmasına ilişkin bir örnek ayrıntılı olarak analiz edilmektedir. Açıklayıcı materyal sağlanmaktadır. Bağımsız çözüm için görevler var. NSU Fizik Fakültesi öğrencileri ve öğretmenlerine yöneliktir. NSU Fizik Fakültesi metodolojik komisyonunun kararıyla yayınlandı. Hakem: Dr. Phys.-Math. Bilim. V. A. Aleksandrov Kılavuz, NRU-NSU Kalkınma Programının yıllardır uygulanmasının bir parçası olarak hazırlandı. ISBN c Novosibirsk Devlet Üniversitesi, 211 c Belkheeva R.K., 211
3 1. 2π-periyodik bir fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi. Tanım. f(x) fonksiyonunun Fourier serisi, a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) fonksiyonel serisidir; burada a n, b n katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,... (3) Formüllere (2) (3) Euler Fourier formülleri denir. f(x) fonksiyonunun Fourier serisi (1)'e karşılık gelmesi f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) formülü olarak yazılır ve formülün sağ tarafının ( () olduğunu söyleriz. 4) formal bir Fourier fonksiyonu f(x) serisidir. Başka bir deyişle, formül (4) sadece a n, b n katsayılarının (2), (3) formülleri kullanılarak bulunduğu anlamına gelir. 3
4 Tanım. Eğer [, π] aralığında sonlu sayıda nokta = x varsa, 2π-periyodik bir f(x) fonksiyonuna parçalı düzgün denir.< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4
5 Şek. 1. f(x) fonksiyonunun grafiği Fourier katsayılarını hesaplayın a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, n tek için, n çift için, f(x ) sin nxdx =, çünkü f(x) fonksiyonu çifttir. f(x) fonksiyonu için formal Fourier serisini yazalım: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.
6 f(x) fonksiyonunun parçalı düzgün olup olmadığını bulalım. Sürekli olduğundan, x = ±π aralığının uç noktalarında ve x = : kırılma noktasındaki limitleri (6) hesaplarız ve f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Limitler mevcuttur ve sonludur, dolayısıyla fonksiyon parçalı düzgündür. Noktasal yakınsama teoremine göre, Fourier serisi her noktada f(x) sayısına yakınsar, yani f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Şekil 2'de. Şekil 2, 3, S n (x) Fourier serisinin kısmi toplamlarının, S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1'in f(x) fonksiyonuna yaklaşımının doğasını gösterir. ) [, π] aralığında. 6
7 Şek. 2. S(x) = a 2 ve S 1(x) = a 2 + a 1 cos x kısmi toplamlarının üst üste bindirilmiş grafikleriyle f(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 1. 3. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine kısmi toplamın bindirildiği grafik S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7
8 x ='yi (7)'de yerine koyarsak şunu elde ederiz: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, buradan sayı serisinin toplamını buluruz: = π2 8. Bu serinin toplamını bildiğimizde, aşağıdaki toplamı bulmak kolay Elimizde: S = ( ) S = ()= π S, dolayısıyla S = π2 6, yani 1 n = π Bu ünlü serinin toplamı ilk olarak Leonhard Euler tarafından keşfedildi. Genellikle matematiksel analiz ve uygulamalarında bulunur. ÖRNEK 2. Bir grafik çizelim ve x için f(x) = x formülü verilen bir fonksiyonun Fourier serisini bulalım.< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8
9 Şek. 4. f(x) fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonu (, π) aralığında sürekli olarak türevlenebilir. x = ±π noktalarında sonlu limitleri (5) vardır: f() =, f(π) = π. Ayrıca sonlu limitler de vardır (6): f(+ h) f(+) lim = 1 ve h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Dolayısıyla f(x) şöyle olur: parçalı düzgün fonksiyon. f(x) fonksiyonu tek olduğundan a n = olur. B n katsayılarını kısmi integral alarak buluyoruz: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ 1. n 2(1) n+1 f(x) sin nx fonksiyonunun formal bir Fourier serisini oluşturalım. n 9 cosnxdx ] =
10 Parçalı düzgün 2π-periyodik fonksiyonun noktasal yakınsaklığı teoremine göre, f(x) fonksiyonunun Fourier serisi şu toplama yakınsar: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, eğer π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1
11 Şek. 6. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 2 (x) kısmi toplamının eklendiği grafik. 7. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 3 (x) 11 kısmi toplamının üst üste bindirildiği grafik
12 Şek. 8. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 99 (x) kısmi toplamının eklendiği grafik. İki sayı serisinin toplamını bulmak için sonuçtaki Fourier serisini kullanırız. (8)'e x = π/2 koyalım. O zaman 2 () +... = π 2 veya = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Ünlü Leibniz serisinin toplamını kolayca bulduk. (8)'e x = π/3 koyarsak, () +... = π 2 3 veya (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k'yi buluruz.
13 ÖRNEK 3. Bir grafik çizelim, periyodu 2π olduğunu varsayarak f(x) = sin x fonksiyonunun Fourier serisini bulalım ve 4n sayı serisinin toplamını hesaplayalım 2 1. Çözüm. f(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 2’de gösterilmektedir. 9. Açıkçası, f(x) = sin x periyodu π olan sürekli bir çift fonksiyondur. Ancak 2π aynı zamanda f(x) fonksiyonunun periyodudur. Pirinç. 9. f(x) fonksiyonunun grafiği Fourier katsayılarını hesaplayalım. Hepsi b n = çünkü fonksiyon çifttir. Trigonometrik formülleri kullanarak, n 1 için bir n hesaplıyoruz: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 eğer n = 2k ise, = π n 2 1 eğer n = 2 bin
14 Bu hesaplama a 1 katsayısını bulmamıza izin vermez çünkü n = 1'de payda sıfıra gider. Bu nedenle a 1 katsayısını doğrudan hesaplıyoruz: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. f(x) (,) ve (, π) üzerinde ve kπ noktalarında (k bir tam sayıdır) sürekli türevlenebilir olduğundan, (5) ve (6) sonlu limitleri vardır, bu durumda fonksiyonun Fourier serisi yakınsar her noktada ona: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Şekil f(x) fonksiyonunun yaklaşımının doğasını göstermektedir. Fourier serilerinin kısmi toplamları ile. (9) Şek. 1. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S (x) 14 kısmi toplamının üst üste bindirildiği grafik
15 Şek. 11. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 1(x) kısmi toplamının grafiği eklenmiş. 12. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 2 (x) kısmi toplamının grafiği eklenmiş. 13. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 99 (x) 15 kısmi toplamının üst üste bindirildiği grafik
16 1 Sayı serilerinin toplamını hesaplayın. Bunu yapmak için (9) x ='ye 4n 2 1 koyun. O halde tüm n = 1, 2,... için cosnx = 1 ve Bu nedenle, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ÖRNEK 4. Parçalı pürüzsüz sürekli bir f(x) fonksiyonunun tüm x'ler için f(x π) = f(x) koşulunu sağlaması durumunda (yani π-periyodik olması durumunda), bu durumda tüm n 1 için a 2n 1 = b 2n 1 = ve tam tersi, eğer tüm n 1 için a 2n 1 = b 2n 1 = ise f(x) π-periyodiktir. Çözüm. f(x) fonksiyonu π-periyodik olsun. Fourier katsayılarını a 2n 1 ve b 2n 1'i hesaplayalım: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos (2n 1)xdx. İlk integralde x = t π değişkeninde bir değişiklik yapıyoruz: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16
17 cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t ve f(t π) = f(t) gerçeğini kullanarak şunu elde ederiz: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Benzer şekilde b 2n 1 = olduğu kanıtlanmıştır. Tersine, a 2n 1 = b 2n 1 = olsun. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundan, bir fonksiyonun bir noktadaki Fourier serisiyle temsil edilebilirliğine ilişkin teoreme göre, şunu elde ederiz: f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n günah 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), bu da f(x)'in bir π-periyodik fonksiyon olduğu anlamına gelir. ÖRNEK 5. Parçalı düzgün bir f(x) fonksiyonu tüm x'ler için f(x) = f(x) koşulunu sağlıyorsa, o zaman a = ve tüm n 1 için a 2n = b 2n = ve bunun tersi olduğunu kanıtlayalım. , eğer a = a 2n = b 2n = ise, o zaman tüm x'ler için f(x π) = f(x). Çözüm. f(x) fonksiyonunun f(x π) = f(x) koşulunu karşıladığını varsayalım. Fourier katsayılarını hesaplayalım: 17
18 = 1 π (a n = 1 π f(x) çünkü nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. İlk integralde x = t π değişkenini değiştireceğiz. O halde f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. cos n(t π) = (1) n cost ve f(t π) = f(t) gerçeğini kullanarak şunu elde ederiz: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = if n çift, = 2 π f(t) cos nt dt, eğer n tekse. π Benzer şekilde b 2n = olduğu kanıtlanmıştır. Tersine, tüm n 1 için a = a 2n = b 2n = olsun. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundan, bir fonksiyonun bir noktadaki Fourier serisiyle temsil edilebilirliğine ilişkin teoreme göre, f( eşitliği x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18
19 O halde = f(x π) = = = f(x). ÖRNEK 6. [, π/2] aralığında integrallenebilir bir f(x) fonksiyonunu [, π] aralığına nasıl genişleteceğimizi inceleyelim, böylece Fourier serisi şu şekilde olur: a 2n 1 cos(2n 1) X. (1) Çözüm. Fonksiyon grafiğinin Şekil 2'de gösterilen forma sahip olmasına izin verin. 14. (1) serisinde a = a 2n = b 2n = tüm n'ler için olduğundan, örnek 5'ten f(x) fonksiyonunun tüm x'ler için f(x π) = f(x) eşitliğini sağlaması gerektiği sonucu çıkar. . Bu gözlem, f(x) fonksiyonunu [, /2] aralığına genişletmenin bir yolunu sağlar: f(x) = f(x+π), Şekil 1. 15. Seri (1)'in yalnızca kosinüsler içermesi gerçeğinden, genişletilmiş f(x) fonksiyonunun çift olması gerektiği (yani grafiğinin Oy eksenine göre simetrik olması gerektiği) sonucunu çıkarıyoruz, Şekil 1.
20 Şek. 14. f(x) fonksiyonunun grafiği Şek. 15. f(x) fonksiyonunun [, /2] 2 aralığına kadar devamının grafiği
21 Dolayısıyla gerekli fonksiyon Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 16. Şek. 16. f(x) fonksiyonunun [, π] aralığı için devam grafiği Özetlemek gerekirse, fonksiyonun şu şekilde devam etmesi gerektiği sonucuna varırız: f(x) = f(x), f(π x) = f (x), yani [π/2, π] aralığında f(x) fonksiyonunun grafiği (π/2,) noktasına göre merkezi olarak simetriktir ve [, π aralığındadır ], grafiği Oy eksenine göre simetriktir. 21
22 ÖRNEKLERİN GENELLENDİRİLMESİ 3 6 l >. İki koşulu ele alalım: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Geometrik açıdan bakıldığında, (a) koşulu, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x = l/2 dikey çizgisine göre simetrik olduğu ve (b) koşulu, f(x) grafiğinin şu şekilde olduğu anlamına gelir: apsis ekseni üzerindeki (l/2;) noktasına göre merkezi olarak simetriktir. O halde aşağıdaki ifadeler doğrudur: 1) eğer f(x) fonksiyonu çift ise ve (a) koşulu karşılanıyorsa, o zaman b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) f(x) fonksiyonu çift ise ve (b) koşulu karşılanıyorsa, o zaman b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) f(x) fonksiyonu tekse ve (a) koşulu karşılanıyorsa, o zaman a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) f(x) fonksiyonu tek ise ve (b) koşulu karşılanıyorsa, o zaman a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. SORUNLAR 1'den 7'ye kadar olan problemlerde, fonksiyonların grafiklerini çizin ve Fourier serilerini bulun (periyodlarının 2π olduğunu varsayarak: eğer< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22
23 ( 1 eğer /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23
24 2. [, π] aralığında verilen bir fonksiyonun sadece sinüs veya sadece kosinüs cinsinden açılımı f fonksiyonu [, π] aralığında verilsin. Bunu bu aralıkta bir Fourier serisine genişletmek istediğimizde, f'yi önce keyfi bir şekilde [, π] aralığına genişletiriz ve ardından Euler'in Fourier formüllerini kullanırız. Bir fonksiyonun devamındaki keyfilik, aynı f: [, π] R fonksiyonu için farklı Fourier serileri elde edebilmemize yol açar. Ancak bu keyfiliği yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde bir genişleme elde etmek için kullanabilirsiniz: ilk durumda f'yi tek bir şekilde, ikincisinde ise çift bir şekilde devam ettirmek yeterlidir. Çözüm algoritması 1. Fonksiyona (,) kadar tek (çift) bir şekilde devam edin ve ardından periyodik olarak 2π'lik bir periyotla tüm eksen boyunca fonksiyona devam edin. 2. Fourier katsayılarını hesaplayın. 3. f(x) fonksiyonunun Fourier serisini oluşturun. 4. Serinin yakınsaklık koşullarını kontrol edin. 5. Bu serinin yakınsadığı fonksiyonu belirtiniz. ÖRNEK 7. f(x) = cosx fonksiyonunu genişletelim,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис
25 Şek. 17. Genişletilmiş fonksiyonun grafiği f(x) fonksiyonunun parçalı düzgün olduğu açıktır. Fourier katsayılarını hesaplayalım: a n = tüm n'ler için çünkü f(x) fonksiyonu tektir. Eğer n 1 ise b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, eğer n = 2 k + 1 ise, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, eğer n = 2k ise. π n 2 1 Önceki hesaplamalarda n = 1 olduğunda payda sıfıra gider, dolayısıyla b 1 katsayısı doğrudan hesaplanabilir - 25
26 doğal olarak: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx fonksiyonunun Fourier serisini oluşturalım. f(x) fonksiyonu parçalı düzgün olduğundan, noktasal yakınsama teoremine göre f(x) fonksiyonunun Fourier serisi toplama yakınsar: cosx eğer π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26
27 Şek. 18. f(x) fonksiyonunun grafiği, üzerine S 1(x) kısmi toplamının grafiği eklenmiş. 19. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 2 (x) 27 kısmi toplamının üst üste bindirildiği grafik
28 Şek. 2. f(x) fonksiyonunun grafiği, üzerine S3(x) kısmi toplamının grafiği eklenmiş. Şekil 21 f(x) fonksiyonunun ve onun kısmi toplamı S 99(x)'in grafiklerini göstermektedir. Pirinç. 21. F (x) fonksiyonunun grafiği, üzerine bindirilmiş S 99 (x) 28 kısmi toplamının grafiği ile
ÖRNEK 8. f(x) = e ax, a >, x [, π] fonksiyonunu yalnızca kosinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletelim. Çözüm. Fonksiyonu (,)'ye eşit olarak genişletelim (yani, f(x) = f(x) eşitliği tüm x (, π) için geçerli olacak şekilde) ve sonra tüm sayı doğrusu boyunca 2π'lik bir periyotla periyodik olarak genişletelim. Grafiği Şekil 2'de gösterilen f (x) fonksiyonunu elde ediyoruz. 22. Şekil 2'deki noktalarda f(x) fonksiyonu 22. Genişletilmiş f(x) x = kπ fonksiyonunun grafiği, k bir tamsayıdır, kıvrımları vardır. Fourier katsayılarını hesaplayalım: b n =, çünkü f(x) çifttir. Parçalara göre integrasyon yaparsak 29 elde ederiz
30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1) ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Bu nedenle, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 f(x) sürekli olduğundan, noktasal yakınsama teoremine göre Fourier serisi f(x)'e yakınsar. Bu, tüm x [, π] için f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) değerine sahip olduğumuz anlamına gelir. Şekiller, Fourier serilerinin kısmi toplamlarının belirli bir süreksiz fonksiyona kademeli yaklaşımını göstermektedir. 3
31 Şek. 23. f(x) ve S(x) fonksiyonlarının grafikleri Şek. 24. f(x) ve S 1(x) fonksiyonlarının grafikleri Şek. 25. f(x) ve S2(x) fonksiyonlarının grafikleri Şek. 26. f (x) ve S 3 (x) 31 fonksiyonlarının grafikleri
32 Şek. 27. f(x) ve S4(x) fonksiyonlarının grafikleri Şek. 28. f (x) ve S fonksiyonlarının grafikleri 99 (x) SORUNLAR 9. f (x) = cos x, x π fonksiyonunu yalnızca kosinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. 1. f(x) = e ax, a >, x π fonksiyonunu yalnızca sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. 11. f(x) = x 2, x π fonksiyonunu yalnızca sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. 12. f(x) = sin ax, x π fonksiyonunu yalnızca kosinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. 13. f(x) = x sin x, x π fonksiyonunu yalnızca sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. Cevaplar 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32
33 12. Eğer a bir tam sayı değilse sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; a = 2m bir çift sayı ise sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; a = 2m 1 pozitif bir tek sayı ise sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Keyfi periyotlu bir fonksiyonun Fourier serisi f(x) fonksiyonunun [ l, l], l > aralığında verildiğini varsayalım. x = ly, y π değişimini yaparak π [, π] aralığında tanımlanan g(y) = f(ly/π) fonksiyonunu elde ederiz. Bu g(y) fonksiyonu, katsayıları Euler Fourier formülleri kullanılarak bulunan bir (biçimsel) Fourier serisine () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) karşılık gelir: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33
34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Eski değişkene dönersek, yani yazılı formüllerde y = πx/ olduğunu varsayarsak l, f(x) fonksiyonu için biraz değiştirilmiş bir formun trigonometrik serisini elde ederiz: burada f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,... (13) Formüller (11) (13) bir fonksiyonun keyfi bir periyoda sahip Fourier serisi açılımını tanımladığı söylenir. ÖRNEK 9. ( A, if l) ifadesiyle (l, l) aralığında belirtilen bir fonksiyonun Fourier serisini bulalım.< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34
35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l Bir dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) çünkü πnx l dx = = 1 l = 1 l l A çünkü πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B çünkü πnx l sin πn =, eğer n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn f (x) fonksiyonunun bir Fourier serisini oluşturalım: f(x) A + B π (B A cosπn = (1) n olduğundan, n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). n = 2k için l, b n = b 2k =, n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1) için elde ederiz.
36 Dolayısıyla f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Noktasal yakınsaklık teoremine göre, f(x) fonksiyonunun Fourier serisi l ise A toplamına yakınsar< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).
37 Şek. 29. S (x) = a 2 ve S 1 (x) = b 1 sinx harmonik grafiklerinin üzerine bindirildiği f (x) fonksiyonunun grafiği. Açıklık sağlamak için, üç yüksek harmoniğin grafikleri S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l ve S 7 (x) = b 7 sin 7πx dikey olarak yukarı doğru kaydırılır l 37
38 Şek. 3. f(x) fonksiyonunun grafiği ve üzerine S 99 (x) kısmi toplamının eklendiği grafik. 31. Şek. Başka bir ölçekte 3 38
39 SORUNLAR Problemlerde belirtilen fonksiyonları verilen aralıklarla Fourier serilerine genişletiniz. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1 ise 2 1).< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39
40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 çünkü πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (çünkü π π 2 2 x 2 2 çünkü 2π 2 2 x çünkü 3π 2 2 x çünkü 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Fourier serisinin karmaşık formu Açılımı f(x) = c n e inx, burada c n = 1 2π f(x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., Fourier serisinin karmaşık formu olarak adlandırılır. Bir fonksiyon, gerçek bir Fourier serisine genişletilirken aynı koşullar karşılanırsa, karmaşık bir Fourier serisine genişletilir. 4
41 ÖRNEK 1. a'nın bir gerçel sayı olduğu [, π) aralığında f(x) = e ax formülüyle verilen fonksiyonun karmaşık formundaki Fourier serisini bulun. Çözüm. Katsayıları hesaplayalım: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a inç) π(a inç) f fonksiyonunun karmaşık Fourier serisi, einx'te f(x) sinh aπ π n= (1) n a biçimindedir. f(x) fonksiyonunun parçalı düzgün olduğundan emin olalım: (, π) aralığında sürekli türevlenebilirdir ve x = ±π noktalarında (5), (6) sonlu limitler vardır lim h + ea (+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Sonuç olarak, f(x) fonksiyonu einx'teki sh aπ π n= (1) n a Fourier serisiyle temsil edilebilir; bu seri şu toplama yakınsar: ( e S(x) = ax eğer π< x < π, ch a, если x = ±π. 41
42 ÖRNEK 11. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 formülüyle verilen fonksiyonun karmaşık ve gerçel formundaki Fourier serisini bulun; burada a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42
43 Paydası q olan sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamının (q) olduğunu hatırlayın.< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43
44 Şimdi Fourier serisini gerçel formda bulalım. Bunu yapmak için, terimleri n için n ve n sayılarıyla gruplandırırız: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx c = 1 olduğuna göre 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Bu f(x) fonksiyonunun gerçel formundaki Fourier serisidir. Böylece tek bir integral hesaplamadan fonksiyonun Fourier serisini bulduk. Aynı zamanda cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a parametresine bağlı olarak zor bir integral hesapladık.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44
45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = ben 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za a)(za 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Basit kesirlerin her birini geometrik ilerleme formülünü kullanarak genişletelim: + a za a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 za a = az = a n z n. n= Bu mümkündür çünkü az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, veya daha kısaca c n = 1 2i a n sgnn. Böylece karmaşık formdaki Fourier serisi bulunmuş oldu. Terimleri n ve n sayılarıyla gruplandırarak fonksiyonun Fourier serisini gerçek formda elde ederiz: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n = +) = c n e inx = a n sin nx. Bir kez daha şu karmaşık integrali hesaplayabildik: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45
46 SORUNLAR 24. (15)'i kullanarak reel a, a için integrali cos nxdx 1 2a cosx + a 2'yi hesaplayın > (16)'yı kullanarak reel a, a > a cosx + a2 için integral sin x sin nxdx'i hesaplayın. problemler için, fonksiyonlar için karmaşık biçimde Fourier serisini bulun. 26. f(x) = işaret x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46
47 5. Lyapunov Eşitlik Teoremi (Lyapunov eşitliği). f: [, π] R fonksiyonu f 2 (x) dx olacak şekilde olsun.< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47
48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Dolayısıyla f(x) fonksiyonu için Lyapunov eşitliği şu formu alır: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. a π için son eşitlikten sin 2 na n 2 = a(π a) 2'yi buluruz. a = π 2 ayarlandığında, n = 2k 1 için sin2 na = 1 ve n = 2k için sin 2 na = elde ederiz. Dolayısıyla k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ÖRNEK 14. f(x) = x cosx, x [, π] fonksiyonu için Lyapunov eşitliğini yazalım ve bunu sayının toplamını bulmak için kullanalım. seri (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Çözüm. Doğrudan hesaplamalar şunu verir: = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x çünkü x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =
49 f(x) çift fonksiyon olduğundan, tüm n'ler için elimizde b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) bulunur. )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, eğer n = 2k, 2, eğer n = 2k + 1. Genel formülde n = 1 için kesrin paydası gittiğinden, a 1 katsayısı ayrı olarak hesaplanmalıdır. sıfıra. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.
50 Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu için Lyapunov eşitliği şu şekildedir: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, buradan (4n 2) sayı serisinin toplamını buluruz + 1) 2 (4n 2 1) = π π SORUNLAR 32. ( x f(x) = 2 πx, eğer x fonksiyonu için Lyapunov eşitliğini yazın< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5
51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Cevaplar + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, burada c n, f(x) fonksiyonunun Fourier katsayısı 2π'dir, ve d n Fourier katsayı fonksiyonları g(x)'tir. 6. Fourier serilerinin türevlenmesi f: R R, sürekli türevlenebilir 2π-periyodik bir fonksiyon olsun. Fourier serisi şu şekildedir: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Bu fonksiyonun türevi f(x), sürekli ve 2π-periyodik bir fonksiyon olacaktır; bunun için resmi bir Fourier serisi yazabiliriz: f (x) a 2 + (an cos nx + b n sin nx), burada a, a n , b n, n = 1 , 2,... f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları. 51
52 Teorem (Fourier serilerinin terim terim farklılaşması hakkında). Yukarıdaki varsayımlar altında a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 eşitlikleri geçerlidir. ÖRNEK 15. Parçalı düzgün fonksiyon f(x)'in [, π] aralığında sürekli olduğunu varsayalım. f(x)dx = koşulu karşılanırsa Steklov eşitsizliği adı verilen 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlayalım ve bu eşitliğin yalnızca f(x) = formundaki fonksiyonlar için geçerli olduğundan emin olalım. Bir cosx. Başka bir deyişle Steklov eşitsizliği, türevin küçüklüğünün (ortalama karede) fonksiyonun küçüklüğünü (ortalama karede) ima ettiği koşulları verir. Çözüm. f(x) fonksiyonunu [, ] aralığına eşit bir şekilde genişletelim. Genişletilmiş fonksiyonu aynı f(x) sembolüyle gösterelim. Bu durumda genişletilmiş fonksiyon [, π] aralığında sürekli ve parçalı düzgün olacaktır. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundan f 2 (x) aralıkta süreklidir ve 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52
53 Devam eden fonksiyon çift olduğuna göre b n =, a = koşuluna göre. Sonuç olarak Lyapunov eşitliği 1 π 2 dx = a 2 π n formunu alır. (17) f(x) için Fourier serisinin terim terim farklılaşmasına ilişkin teoremin sonucunun karşılandığından emin olalım, yani a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. f(x) türevinin [, π] aralığında x 1, x 2,..., x N noktalarında bükülmelere uğramasına izin verin. x =, x N+1 = π'yi gösterelim. İntegral aralığını [, π] N +1 aralıklara (x, x 1),..., (x N, x N+1) bölelim; bunların her biri f(x) sürekli türevlenebilir. Daha sonra, integralin toplanabilirlik özelliğini kullanarak ve parçalara göre integral alarak şunu elde ederiz: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)
54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Son eşitlik, f(x) fonksiyonunun çift yönlü devam etmesinden kaynaklanmaktadır, yani f(π) = f(). Benzer şekilde a n = nb n elde ederiz. [, π] aralığındaki türevi birinci tür süreksizliklere maruz kalan, sürekli parçalı pürüzsüz bir 2π-periyodik fonksiyon için Fourier serisinin terim terim farklılaşmasına ilişkin teoremin doğru olduğunu gösterdik. Bu, f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx anlamına gelir, çünkü a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... 2 dx'ten beri< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)
55 (18)'deki serideki her terim (17)'deki serideki karşılık gelen terimden büyük veya ona eşit olduğundan, o zaman 2 dx 2 dx. f(x)'in orijinal fonksiyonun çift devamı olduğunu hatırlarsak, 2 dx 2 dx elde ederiz. Steklov eşitliğinin kanıtladığı şey de budur. Şimdi Steklov eşitsizliğinde eşitliğin hangi işlevler için geçerli olduğunu inceliyoruz. En az bir n 2 için a n katsayısı sıfırdan farklıysa, o zaman a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55
56 SORUNLAR 37. Parçalı düzgün fonksiyon f(x)'in [, π] aralığında sürekli olduğunu varsayalım. f() = f(π) = koşulu karşılandığında, Steklov eşitsizliği olarak da adlandırılan 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlayın ve eşitliğin yalnızca f(x) formundaki fonksiyonlar için geçerli olduğundan emin olun. = B sin x. 38. f fonksiyonu [, π] aralığında sürekli olsun ve içinde (belki sonlu sayıda nokta hariç) kare integrali alınabilen bir f(x) türevi olsun. f() = f(π) ve f(x) dx = koşulları karşılanırsa, Wirtinger eşitsizliği adı verilen 2 dx 2 dx eşitsizliğinin geçerli olduğunu ve içindeki eşitliğin yalnızca f formundaki fonksiyonlar için geçerli olduğunu kanıtlayın. (x) = A cosx + B sin x. 56
57 7. Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için Fourier serilerinin uygulanması Gerçek bir nesneyi (doğal olay, üretim süreci, kontrol sistemi vb.) incelerken iki faktör önemlidir: incelenen nesne hakkında birikmiş bilgi düzeyi ve Matematiksel aparatın geliştirilmesi. Bilimsel araştırmanın şu anki aşamasında aşağıdaki zincir geliştirilmiştir: fenomen fiziksel modeli matematiksel modeli. Sorunun fiziksel formülasyonu (modeli) şu şekildedir: Sürecin gelişimi için koşullar ve onu etkileyen ana faktörler belirlenir. Matematiksel formülasyon (model), fiziksel formülasyonda seçilen faktörlerin ve koşulların bir denklem sistemi (cebirsel, diferansiyel, integral vb.) biçiminde tanımlanmasından oluşur. Belirli bir fonksiyonel uzayda problemin çözümü benzersiz ve sürekli olarak başlangıç ve sınır koşullarına bağlıysa, bu problem iyi konumlanmış olarak adlandırılır. Matematiksel model, ele alınan nesnenin aynısı değildir ancak onun yaklaşık bir açıklamasıdır. Bir ipin serbest küçük enine titreşimleri için denklemin türetilmesi Ders kitabını takip edeceğiz. İpin uçlarının sabitlenmesine ve ipin kendisinin gergin olmasına izin verin. Bir ipi denge konumundan hareket ettirirseniz (örneğin geri çekerseniz veya vurursanız), o zaman ip 57'ye doğru hareket etmeye başlayacaktır.
58 tereddüt ediyorum. İpin tüm noktalarının denge konumuna dik olarak hareket ettiğini (enine titreşimler) ve ipin zamanın her anında aynı düzlemde bulunduğunu varsayacağız. Bu düzlemde xou dikdörtgen koordinatlarından oluşan bir sistem alalım. Daha sonra, eğer başlangıç anında t = ip Ox ekseni boyunca bulunuyorsa, o zaman u, ipin denge konumundan sapması, yani ipin apsis x ile olan noktasının konumu anlamına gelecektir. zamanın rastgele bir anı t, u(x, t) fonksiyonunun değerine karşılık gelir. Her sabit t değeri için, u(x, t) fonksiyonunun grafiği, titreşen ipin t zamanındaki şeklini temsil eder (Şekil 32). Sabit bir x değerinde, u(x, t) fonksiyonu apsisi x olan bir noktanın Ou eksenine paralel bir düz çizgi boyunca hareket yasasını verir; u t türevi bu hareketin hızıdır ve ikinci türev 2 u t 2 ivmesidir. Pirinç. 32. Bir ipin sonsuz küçük bir bölümüne uygulanan kuvvetler Şimdi u(x, t) fonksiyonunun sağlaması gereken bir denklem oluşturalım. Bunu yapmak için birkaç basitleştirici varsayım daha yapacağız. Dizinin tamamen esnek olduğunu düşüneceğiz - 58
59 koy yani ipin bükülmeye karşı dayanıklı olmadığını varsayacağız; bu, ipte ortaya çıkan gerilimlerin her zaman anlık profiline teğet olarak yönlendirildiği anlamına gelir. Sicimin elastik olduğu ve Hooke yasasına tabi olduğu varsayılır; bu, çekme kuvvetinin büyüklüğündeki değişikliğin ipin uzunluğundaki değişiklikle orantılı olduğu anlamına gelir. Dizinin homojen olduğunu varsayalım; bu onun doğrusal yoğunluğunun ρ sabit olduğu anlamına gelir. Dış güçleri ihmal ediyoruz. Bu, serbest titreşimleri dikkate aldığımız anlamına gelir. İpin yalnızca küçük titreşimlerini inceleyeceğiz. Eğer apsis ekseni ile apsis x'in olduğu noktada ipe teğet arasındaki açıyı t zamanında ϕ(x, t) ile belirtirsek, o zaman küçük salınımların koşulu ϕ 2 (x, t) değerinin olmasıdır. ϕ (x, t), yani ϕ 2 ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir. ϕ açısı küçük olduğundan cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u dolayısıyla (u x x,) 2 değeri de ihmal edilebilir. Bundan hemen sonra, titreşim süreci sırasında ipin herhangi bir bölümünün uzunluğundaki değişikliği ihmal edebileceğimiz sonucu çıkar. Gerçekten de, x 2 = x 1 + x olan apsis ekseni aralığına yansıtılan bir M 1 M 2 ip parçasının uzunluğu, l = x 2 x () 2 u dx x'e eşittir. x Varsayımlarımız altında, T çekme kuvvetinin büyüklüğünün tüm ip boyunca sabit olacağını gösterelim. Bunun için M 1 M 2 dizisinin (Şekil 32) t zamanındaki herhangi bir bölümünü alalım ve atılan bölümlerin hareketini değiştirelim - 59
Gerilme kuvvetleri T 1 ve T 2 tarafından 60. Koşula göre ipin tüm noktaları Ou eksenine paralel hareket ettiğinden ve hiçbir dış kuvvet olmadığından, gerilim kuvvetlerinin Ox ekseni üzerindeki izdüşümlerinin toplamı olmalıdır. sıfıra eşit olmalıdır: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Dolayısıyla ϕ 1 = ϕ(x 1, t) ve ϕ 2 = ϕ(x 2, t) açılarının küçüklüğü nedeniyle T 1 = T 2 olduğu sonucuna varırız. T 1 ='nin toplam değerini gösterelim. T 2 x T. Şimdi aynı kuvvetlerin Ou eksenindeki F u projeksiyonlarının toplamını hesaplıyoruz: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Küçük açılar için sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t) ve tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x olduğundan, denklem (2) F u olarak yeniden yazılabilir. T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . x 1 noktası keyfi olarak seçildiği için F u T 2 u x2(x, t) x olur. M 1 M 2 kesitine etki eden tüm kuvvetler bulunduktan sonra, ona kütle ve ivmenin çarpımının tüm etki eden kuvvetlerin toplamına eşit olduğu Newton'un ikinci yasasını uyguluyoruz. Bir M 1 M 2 sicim parçasının kütlesi m = ρ l ρ x'e eşittir ve ivme ise 2 u(x, t)'ye eşittir. Newton'un t 2 denklemi şu biçimi alır: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, burada α 2 = T ρ sabit bir pozitif sayıdır. 6
61 x ile azaltarak 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) elde ederiz. (21) Sonuç olarak sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem elde ettik. Buna sicim titreşim denklemi veya tek boyutlu dalga denklemi denir. Denklem (21) aslında Newton yasasının yeniden formüle edilmiş halidir ve sicimin hareketini açıklar. Ancak problemin fiziksel formülasyonunda ipin uçlarının sabit olması ve ipin belirli bir andaki konumunun bilinmesi gereklilikleri vardı. Bu koşulları aşağıdaki gibi denklemler halinde yazacağız: a) ipin uçlarının x = ve x = l noktalarında sabit olduğunu varsayacağız, yani tüm t için u(, t) =, u ilişkilerinin olduğunu varsayacağız. (l, t) = ; (22) b) t = zamanında dizenin konumunun f(x) fonksiyonunun grafiğiyle çakıştığını varsayacağız, yani tüm x [, l] için u(x,) = eşitliğinin olduğunu varsayacağız. f( x); (23) c) t = apsis x'li ipin noktasına g(x) hızının verildiğini varsayacağız, yani u (x,) = g(x) olduğunu varsayacağız. (24) t İlişkiler (22)'ye sınır koşulları, ilişkiler (23) ve (24)'e ise başlangıç koşulları adı verilir. Serbest küçük eninelerin matematiksel modeli 61
62 sicim salınımları için, denklem (21)'i sınır koşulları (22) ve başlangıç koşulları (23) ve (24) ile çözmenin gerekli olmasıdır. Serbest küçük enine sicim salınımları denkleminin Fourier yöntemiyle çözülmesi Denklem (21)'in çözülmesi bölge x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (25)'i (21)'de değiştirerek şunu elde ederiz: X T = a 2 X T, (26) veya T (t) a 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Değişken ayrımının oluştuğunu söylüyorlar. x ve t birbirine bağlı olmadığı için (27)'nin sol tarafı x'e, sağ tarafı da t'ye bağlı değildir ve bu ilişkilerin toplam değeri 62'dir.
63, λ ile gösterdiğimiz bir sabit olmalıdır: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Buradan iki sıradan diferansiyel denklem elde ederiz: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Bu durumda sınır koşulları (22) X()T(t) = ve X(l)T(t) = formunu alacaktır. Tüm t, t> için bunların sağlanması gerektiğinden, bu durumda X() = X(l) =. (3) Denklem (28)'in sınır koşullarını (3) sağlayan çözümler bulalım. Üç durumu ele alalım. Durum 1: λ>. λ = β 2'yi gösterelim. Denklem (28) X (x) β 2 X(x) = formunu alır. Karakteristik denklemi k 2 β 2 ='nin kökleri k = ±β'dır. Dolayısıyla denklem (28)'in genel çözümü X(x) = C e βx + De βx'tir. Sınır koşullarının (3) karşılanması için C ve D sabitlerini seçmeliyiz, yani X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. β olduğundan bu denklem sisteminin tek bir çözümü vardır: C = D =. Bu nedenle X(x) ve 63
64 u(x, t). Böylece durum 1'de daha fazla ele almayacağımız önemsiz bir çözüm elde ettik. Durum 2: λ =. O zaman denklem (28) X(x) = formunu alır ve çözümü açıkça şu formülle verilir: X(x) = C x+d. Bu çözümü sınır koşullarında (3) yerine koyarak X() = D = ve X(l) = Cl = elde ederiz, bu da C = D = anlamına gelir. Dolayısıyla X(x) ve u(x, t) ve yine önemsiz bir çözümümüz var. Durum 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64
65 Aşağıda n'ye yalnızca pozitif değerler vereceğiz n = 1, 2,..., çünkü negatif n için aynı türde (nπ) çözümler elde edeceğiz. λ n = miktarlarına özdeğerler denir ve fonksiyonlara Sınır koşulları (3) ile diferansiyel denklemin (28) özfonksiyonlarına göre X n (x) = C n sin πnx. Şimdi denklem (29)'u çözelim. Bunun için karakteristik denklem k 2 α 2 λ = biçimindedir. (32) l 2 Yukarıda denklem (28)'in önemsiz olmayan X(x) çözümlerinin yalnızca λ = n2 π 2'ye eşit negatif λ için mevcut olduğunu öğrendiğimize göre, o zaman tam olarak böyle bir λ'yı daha fazla ele alacağız. Denklemin (32) kökleri k = ±iα λ'dır ve denklem (29)'un çözümleri şu şekildedir: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l burada A n ve B n keyfi sabitlerdir. Formül (31) ve (33)'ü (25)'te değiştirerek, denklem (21)'in sınır koşullarını (22) karşılayan kısmi çözümlerini buluruz: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) Cn sin πnx. l l l C n faktörünü parantez içine alarak ve C n A n = b n ve B n C n = a n notasyonlarını ekleyerek, u n (X, T)'yi (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n) biçiminde yazarız sin πnαt) sin πnx. (34) ll 65
66 u n (x, t) çözümlerine karşılık gelen ipin titreşimlerine ipin doğal titreşimleri denir. Denklem (21) ve sınır koşulları (22) doğrusal ve homojen olduğundan, (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l çözümlerinin doğrusal kombinasyonu bir çözüm olacaktır denklem (21)'e göre, özel a n ve b n katsayıları seçimiyle sınır koşullarını (22) karşılayarak serinin düzgün yakınsamasını sağlar. Şimdi çözüm (35)'in a n ve b n katsayılarını seçelim, böylece sadece sınır koşullarını değil aynı zamanda f(x), g(x)'in verilen fonksiyonlar olduğu başlangıç koşullarını (23) ve (24) de karşılar. (ve f() = f (l) = g() = g(l) =). f(x) ve g(x) fonksiyonlarının Fourier serisindeki genişleme koşullarını sağladığını varsayıyoruz. t = değerini (35)'te değiştirerek u(x,) = a n sin πnx l = f(x) elde ederiz. (35) serisinin t'ye göre türevini alıp t = yerine koyarak u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) elde ederiz ve bu f(x) ve g(x) fonksiyonlarının açılımıdır Fourier serisine dönüştürülür. Bu nedenle, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66
67 a n ve b n katsayıları için ifadeleri (35) serisinde değiştirerek, (22) sınır koşullarını ve (23) ve (24) başlangıç koşullarını karşılayan denklem (21) için bir çözüm elde ederiz. Böylece bir ipin serbest küçük enine titreşimleri problemini çözdük. Formül (34) ile tanımlanan bir ipin serbest salınımları probleminin u n (x, t) özfonksiyonlarının fiziksel anlamını bulalım. Bunu şu şekilde yeniden yazalım: u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n . l a n Formül (37)'den, ipin tüm noktalarının aynı frekans ω n = πnα ve faz πnα δ n ile harmonik salınımlar gerçekleştirdiği açıktır. Titreşimin genliği ipin l l abscissa x noktasına bağlıdır ve α n sin πnx'e eşittir. Böyle bir salınımla ipin tüm noktaları aynı anda şu veya bu yönde maksimum sapmalarına ulaşır ve aynı anda denge konumunu geçer. Bu tür salınımlara duran dalgalar denir. Bir duran dalganın, [, l] aralığında sin πnx = denkleminin kökleri tarafından verilen n + 1 sabit noktası olacaktır. Sabit noktalara duran dalga düğümleri denir. Düğümlerin ortasında sapmaların maksimuma ulaştığı noktalar vardır; bu tür noktalara antinodlar denir. Her telin kesin olarak tanımlanmış frekanslarda kendi titreşimleri olabilir: ω n = πnα, n = 1, 2,.... Bu frekanslara telin doğal frekansları denir. Bir telin üretebileceği en düşük l tonu 67 ile belirlenir.
68 düşük doğal frekans ω 1 = π T olup telin temel tonu olarak adlandırılır. l ρ frekansları ω n, n = 2, 3,...'ye karşılık gelen geri kalan tonlara üst tonlar veya harmonikler denir. Açıklık sağlamak için, temel tonu (Şekil 33), birinci üst tonu (Şekil 34) ve ikinci üst tonu (Şekil 35) üreten bir telin tipik profillerini tasvir edelim. Pirinç. 33. Ana tonu üreten telin profili Şek. 34. İlk üst tonu üreten telin profili Şekil 3. 35. İkinci bir armonik ton yayan telin profili Eğer tel, başlangıç koşulları tarafından belirlenen serbest titreşimler gerçekleştiriyorsa, o zaman u(x, t) fonksiyonu, formül (35)'ten görülebileceği gibi, bireysel harmoniklerin toplamı olarak temsil edilir. . Böylece keyfi dalgalanma 68
69 tel duran dalgaların süperpozisyonudur. Bu durumda telin sesinin doğası (ton, ses yoğunluğu, tını), bireysel harmoniklerin genlikleri arasındaki ilişkiye bağlı olacaktır. Titreşen bir tel, algılanan hava titreşimlerini harekete geçirir. insan kulağı tarafından telin yaydığı ses olarak algılanır. Sesin gücü, titreşimlerin enerjisi veya genliği ile karakterize edilir: enerji ne kadar büyükse, sesin gücü de o kadar büyük olur. Bir sesin perdesi, frekansına veya titreşim periyoduna göre belirlenir: frekans ne kadar yüksek olursa, ses de o kadar yüksek olur. Sesin tınısı, armonilerin varlığı, enerjinin harmonikler arasındaki dağılımı, yani titreşimlerin uyarılma yöntemi ile belirlenir. Üst tonların genlikleri, genel olarak konuşursak, temel tonun genliğinden daha azdır ve üst tonların aşamaları isteğe bağlı olabilir. Kulağımız titreşimlerin fazına duyarlı değildir. Örneğin, Şekil 2'deki iki eğriyi karşılaştırın. 36'dan ödünç alınmıştır. Bu, klarnet (a) ve piyanodan (b) alınan aynı temel tona sahip bir sesin kaydıdır. Her iki ses de basit bir sinüs dalgası değildir. Her iki durumda da sesin temel frekansı aynıdır ve bu da aynı tonu oluşturur. Ancak eğrilerin desenleri farklıdır çünkü ana tonun üzerine farklı tonlar bindirilmiştir. Bu çizimler bir anlamda tınının ne olduğunu gösteriyor. 69
Hiperbolik tipte denklemler. Sonsuz ve yarı sonsuz bir sicimin titreşimleri. Fourier yöntemi Fourier yöntemi Duran dalgalar 4 Ders 4.1 Hiperbolik tipte denklemler. Sonsuz ve yarı sonsuz salınımlar
RUSYA Federal Devleti EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Yüksek Mesleki Eğitim Bütçe Eğitim Kurumu MATI Rusya Devlet Teknoloji Üniversitesi K. E. Tsiolkovsky adını aldı
MOSKOVA DEVLET SİVİL HAVACILIK TEKNİK ÜNİVERSİTESİ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Disiplin ve test ödevlerini incelemek için Shurinov MATEMATİK KILAVUZU
Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı EE "Vitebsk Devlet Teknoloji Üniversitesi" Konusu. Teorik ve Uygulamalı Matematik "Satırlar" Bölümü. Doç. E.B. Dunina. Temel
Federal Eğitim Ajansı Federal Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu GÜNEY FEDERAL ÜNİVERSİTESİ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodolojik
Konu Fourier serisi Pratik ders Ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Parçalı sürekli fonksiyonların uzayı Genelleştirilmiş Fourier serisi 3 Bessel eşitsizliği ve Fourier serisinin yakınsaklığı Uzay
Ders 4. Harmonik analiz. Fourier serisi Periyodik fonksiyonlar. Harmonik analiz Bilim ve teknolojide sıklıkla periyodik olaylarla, yani sürekli olarak tekrarlanan olaylarla uğraşmak zorundayız.
SERİLER TEORİSİ Seriler teorisi matematiksel analizin en önemli bileşenidir ve hem teorik hem de çok sayıda pratik uygulama alanı bulur. Sayısal ve fonksiyonel seriler vardır.
İÇİNDEKİLER FOURIER SERİSİ 4 Periyodik fonksiyon kavramı 4 Trigonometrik polinom 6 3 Ortogonal fonksiyon sistemleri 4 Trigonometrik Fourier serisi 3 5 Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier serileri 6 6 Açılım
KONU V FOURIER SERİSİ DERS 6 Periyodik bir fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi Doğada ve teknolojide meydana gelen birçok süreç, belirli zaman aralıklarında kendilerini tekrarlama özelliğine sahiptir.
KESİN İNTEGRAL. İntegral toplamlar ve belirli integral [, b] aralığında tanımlı bir y = f () fonksiyonu verilsin, burada< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
6 Fourier serisi 6 Ortogonal fonksiyon sistemleri Bir ortogonal fonksiyon sisteminde Fourier serileri, [, ] aralığında tanımlanan ve integrali alınabilen ϕ () ve ψ () fonksiyonlarına, eğer bu aralıkta ortogonal denirse
5 Kuvvet serileri 5 Kuvvet serileri: tanım, yakınsaklık bölgesi (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) formunda fonksiyonel seriler burada, a, a, K, a ,k bazı sayılara kuvvet serisi sayıları denir
BELARUS DEVLET ÜNİVERSİTESİ UYGULAMALI MATEMATİK VE BİLGİ BİLİMİ FAKÜLTESİ Yüksek Matematik Bölümü Uygulamalı Matematik ve Bilişim Fakültesi öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik el kitabı
YÜKSEK MATEMATİK DERSLERİNDE HESAPLAMA GÖREVLERİ İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR “SIRAT DİFERANSİYEL DENKLEMLER SERİLERİ ÇİFT İNTEGRALLER” BÖLÜM KONU DİZİ İçindekiler Seriler Sayı serileri Yakınsaklık ve Iraksaklık
82 4. Bölüm 4. Fonksiyonel ve kuvvet serileri 4.2. Ders 3 4.2. Ders 3 4.2.. Bir fonksiyonun Taylor serisine genişletilmesi TANIM 4.2.. y = f(x) fonksiyonu bazı komşuluklarda sonsuz türevlenebilir olsun
Bazı örneklere bakalım. Örnek. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını bulalım. Bu serinin genel teriminin formülü a+aq+...+aq n +... (a). a n = su n. Kısmi toplamlarını hesaplayalım. Eğer q = o zaman
Görev 1.1. Belirtilen bölgede diferansiyel denklemin verilen sınır koşullarını sağlayan, özdeş olmayan sıfır çözümlerini y = y(x) bulun (Sturm-Liouville problemi) Çözüm: Şunu düşünün:
Metinle ilgili açıklamalar: işaret "eşdeğer" olarak okunur ve işaretin sağındaki ve solundaki denklemlerin aynı çözüm kümesine sahip olduğu anlamına gelir, IR işareti gerçek sayılar kümesini, IN işareti
Ders 8 4 Sturm-Liouville problemi Bir ipin küçük enine titreşimlerini tanımlayan ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem için başlangıç-sınır değeri problemini düşünün.
Matematiksel analiz Konu: Belirli integral Uygun olmayan integraller Öğretim Görevlisi E.G. 2017 BÖLÜM II. Belirli İntegral ve Uygulamaları 1. Belirli İntegral ve Özellikleri 1. Problemler,
Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM KURUMU YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU “SAMARA DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ” Uygulamalı Matematik Bölümü
Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Taşımacılık Üniversitesi Yüksek ve Uygulamalı Matematik Bölümü N. P. Chuev Harmonik analizin unsurları Metodolojik
1 2 İçindekiler 1 Fourier serisi 5 1.1 Trigonometrik Fourier serisi................. 5 1.2 Yalnızca Sinüs ve Kosinüs.................. .. 7 1.3 Kompleks formda Fourier serileri.................. 11 1.4 f(x) = c k?................................. .
MATEMATİK FİZİĞİN DENKLEMLERİ 1. Kısmi diferansiyel denklemler Bilinmeyen fonksiyon u (x 1, x 2,..., x n), bağımsız değişkenler x 1, x 2,..., x n ve kısmi ile ilgili bir denklem
Bir fonksiyonun (Riemann'a göre) ve belirli bir integralin integrallenebilirliği Problem çözme örnekleri 1. Sabit f(x) = C fonksiyonu üzerinde integrallenebilir, çünkü herhangi bir bölme ve herhangi bir ξ i noktası seçimi için integral
Ders 3 Taylor ve Maclaurin serileri Kuvvet serilerinin uygulanması Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi Taylor ve Maclaurin serileri Uygulamalar için, belirli bir fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletebilmek önemlidir; bu fonksiyonlar
Ders 4. Dalga denklemleri 1. Sicim titreşimleri denkleminin türetilmesi 2. Çubuğun boyuna titreşimlerinin denklemi 3. Başlangıç koşulları, sınır koşulları 4. Problemlerin ifadeleri 1. Sicim titreşimleri denkleminin türetilmesi
S A Lavrenchenko wwwwrckoru Ders Fourier dönüşümü İntegral dönüşümü kavramı İntegral dönüşüm yöntemi matematiksel fiziğin güçlü yöntemlerinden biridir ve güçlü bir çözümdür
Ben yıl, görev. Riemann fonksiyonunun, eğer 0, m m R(), if, m, m 0 ve kesir indirgenemez ise, 0, eğer irrasyonelse, her rasyonel noktada süreksiz ve her irrasyonel noktada sürekli olduğunu kanıtlayın. Çözüm.
1. Elektrostatik 1 1. Elektrostatik Ders 6 Kartezyen koordinatlarda değişkenlerin ayrılması 1.1. (Problem 1.49) z = düzlemi σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) yoğunluğu ile yüklenmiştir; burada σ, α, β sabittir.
Ders Sayı serisi Yakınsaklığın işaretleri Sayı serisi Yakınsaklığın işaretleri + + + + sayı dizisinin sonsuz bir sayının terimlerinden oluşan sonsuz ifadesine sayı serisi denir Sayılar,
Parabolik tip denklemler. Değişkenleri ayırma yöntemi Homojen sınır değer problemi Kaynak fonksiyonu Homojen olmayan ısı denklemi 7 Ders 7.1 Parabolik tip denklemler. Ayırma yöntemi
9. Ters türev ve belirsiz integral 9.. f() fonksiyonu I R aralığında verilsin. Herhangi bir I için F () = f () ise, F () fonksiyonuna I aralığında f () fonksiyonunun ters türevi denir ve ters türevi
Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü Yüksek Matematiğin Unsurları Uzaktan teknolojileri kullanarak öğrenim gören orta mesleki eğitim öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik kompleks Modül Diferansiyel hesap Derleyen:
35 7 Trigonometrik Fourier serileri T periyoduna sahip periyodik fonksiyonlar için Fourier serileri. f(x) periyodu T olan parçalı sürekli bir periyodik fonksiyon olsun. Temel trigonometrik sistemi düşünün
İçindekiler Giriş. Temel kavramlar.... 4 1. Volterra'nın integral denklemleri... 5 Ödev seçenekleri.... 8 2. Volterra'nın integral denkleminin çözücüsü. 10 Ödev seçenekleri.... 11
Metalurji Fakültesi Yüksek Matematik Bölümü Rütbeler Metodolojik talimatlar Novokuznetsk 5 Federal Eğitim Ajansı Yüksek mesleki eğitim devlet eğitim kurumu
Modül Konusu Fonksiyonel diziler ve seriler Dizilerin ve serilerin düzgün yakınsaklığının özellikleri Kuvvet serileri Ders Fonksiyonel diziler ve serilerin tanımları Düzgün
Hiperbolik tipte denklemler. Sonsuz ve yarı sonsuz bir sicimin titreşimleri. D'Alembert'in yöntemi Sonsuz dize. D'Alembert formülü Yarı sonsuz dize 3 Ders 3.1 Hiperbolik tipte denklemler.
8. Kuvvet serileri 8.. c n (z) n, (8.) n= formundaki fonksiyonel bir seri; burada c n sayısal bir dizidir, R sabit bir sayıdır ve z R, c n katsayılı bir kuvvet serisi olarak adlandırılır . Değişken değişikliği yaparak
SIRALAR. Sayı serisi. Temel tanımlar Sonsuz bir sayı dizisi verilsin (sonsuz toplam) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= denir. bir sayı dizisi. Sayılar
Diferansiyel hesap Matematiksel analize giriş Dizi ve fonksiyonun limiti. Belirsizlikleri sınırlar dahilinde ortaya çıkarmak. Bir fonksiyonun türevi. Farklılaşma kuralları. Türev uygulaması
BİR DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARIN DİFERANSI Türev kavramı, geometrik ve fiziksel anlamı. Türev kavramına yol açan problemler. A x noktasındaki y f(x) doğrusuna teğetinin belirlenmesi; F (
Fourier serisi Ortogonal fonksiyon sistemleri Cebir açısından bakıldığında, - belirli bir sınıfın fonksiyonları ve - R veya C katsayıları olan eşitlik, basitçe vektörün B vektörlerinin doğrusal bir birleşimi olduğu anlamına gelir
3724 ÇOKLU SERİLER VE EĞRİSEL İNTEGRALLER 1 “ÇOKLU SERİLER VE EĞRİSEL İNTEGRALLER” BÖLÜMLERİNİN ÇALIŞMA PROGRAMI 11 Sayı serileri Sayı serisi kavramı Sayı serilerinin özellikleri Yakınsaklığın gerekli işareti
DERS N 7. Kuvvet serileri ve Taylor serileri.. Kuvvet serileri..... Taylor serileri.... 4. Bazı temel fonksiyonların Taylor ve Maclaurin serilerine genişletilmesi.... 5 4. Kuvvet serilerinin uygulanması... 7.Güç
BÖLÜM PARAMETRELERLE İLGİLİ SORUNLAR Yorum Parametrelerle ilgili sorunlar, Birleşik Devlet Sınavının yapısında geleneksel olarak karmaşık görevlerdir ve başvuru sahibinin yalnızca çeşitli sorunları çözmek için tüm yöntem ve tekniklere hakim olmasını gerektirmez.
Bölüm Kuvvet serisi a a a a a a a a () formundaki bir seriye kuvvet serisi denir; burada, a, serinin katsayıları olarak adlandırılan sabitlerdir. Bazen daha genel bir formun kuvvet serisi dikkate alınır: a a(a) a(a) a(a) (), burada
1. Belirli integral 1.1. F, [, b] R parçası üzerinde tanımlanan sınırlı bir fonksiyon olsun. [, b] parçasının bir bölümü, τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b noktalarından oluşan bir kümedir. ] öyle ki = x< x 1 < < x n 1
YEMEK YEMEK. CEVHER MATEMATİKSEL ANALİZİ. SAYISAL VE FONKSİYONEL SERİ NOVOSIBIRSK 200 2 RUSYA GOU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI VPO "NOVOSIBİRSK DEVLET PEDAGOJİ ÜNİVERSİTESİ" E.M. Rudoy MATEMATİKSEL ANALİZ.
Bölüm 5. Fourier serileri 5.. Ders 5 5... Temel tanımlar a 2 + (ak cos x + b k si x) (5..) formundaki bir fonksiyonel seriye trigonometrik seri denir, a ve b sayıları trigonometrik katsayılar
~ ~ Belirsiz ve belirli integraller Terstürev ve belirsiz integral kavramı. Tanım: Bir F fonksiyonuna, eğer bu fonksiyonlar aşağıdaki gibi ilişkiliyse, f fonksiyonunun ters türevi denir.
İşlev F(X Bir aralıkta tanımlanan, parçalı monoton ve bu aralığa sınırlı olan seriler, iki şekilde Fourier serisine genişletilebilir. Bunu yapmak için fonksiyonun [– aralığında devam ettiğini hayal etmek yeterlidir. ben, 0]. Devam ederse F(X) Açık [- ben, 0] çift ise (ordinat eksenine göre simetrik), bu durumda Fourier serisi (1.12–1.13) formülleri, yani kosinüsler kullanılarak yazılabilir. Fonksiyona devam edersek F(X) Açık [- ben, 0] tuhaf bir şekilde, fonksiyonun Fourier serisindeki açılımı (1.14–1.15) formülleriyle, yani sinüs cinsinden temsil edilecektir. Bu durumda her iki seri de (0, ben) aynı miktar.
Örnek. Fonksiyonu Fourier serisine genişletin sen = X, aralıkta belirtilir (bkz. Şekil 1.4).
Çözüm.
A). Kosinüs serisi açılımı. Fonksiyonun bitişik [–1, 0] aralığına eşit bir devamı oluştururuz. Fonksiyonun grafiği, [–1, 0 ]'a eşit devamı ve sonraki devamı (dönem boyunca) ile birlikte T= 2) tüm eksen için 0 XŞekil 1.5'te gösterilmiştir.
Çünkü ben= 1 ise, bu fonksiyon için eşit açılımlı Fourier serisi şu şekilde olacaktır:
(1.18)
,
Sonuç olarak şunu elde ederiz: 
Tüm eksende 0 X seri, Şekil 1.4'te gösterilen fonksiyona yakınsar.
2). Sinüs cinsinden seri açılımı. Fonksiyonun bitişik [–1, 0] aralığına tek bir devamı oluşturuyoruz. Bir fonksiyonun grafiği, [–1, 0]'a tek devamı ve ardından tüm sayı doğrusu 0'a periyodik devamı ile birlikte XŞekil 1.6'da gösterilmiştir.
Garip bir genişleme için
,
(1.20)
.
Bu nedenle, bu fonksiyon için Fourier sinüs serisi 
gibi görünecek
Noktada 
Orijinal fonksiyon 1'e eşit olmasına rağmen serinin toplamı sıfıra eşit olacaktır. Bunun nedeni, böyle bir periyodik devamla noktanın X= 1 kırılma noktası olur.
(1.19) ve (1.21) ifadelerinin karşılaştırılmasından, serinin (1.19) yakınsama oranının serinin (1.21)kinden daha yüksek olduğu sonucu çıkar: ilk durumda faktör tarafından belirlenir 
ve ikinci durumda 1/ faktörü ile N. Bu nedenle bu durumda kosinüs serisi açılımı tercih edilir.
Genel olarak, eğer fonksiyon şu şekilde gösterilebilir: F(X) aralığın uçlarından en az birinde yok olmuyorsa, bu durumda kosinüs serisine genişletilmesi tercih edilir. Bunun nedeni, bitişik aralığa eşit bir şekilde devam edilmesiyle 
fonksiyon sürekli olacaktır (bkz. Şekil 1.5) ve ortaya çıkan serinin yakınsama oranı sinüs serisinden daha yüksek olacaktır. Eğer üzerinde tanımlanan bir fonksiyon aralığın her iki ucunda da yok oluyorsa, bu durumda fonksiyonun yalnızca kendisi sürekli olmayacağından, bunun bir sinüs dizisi halinde genişletilmesi tercih edilir. F(X), ama aynı zamanda birinci türevi.
1.6. Genelleştirilmiş Fourier serileri
Fonksiyonlar 
Ve 
(N,
M= 1, 2, 3,…) denir dikey segmentte [ A,
B], eğer N
≠ M
.
(1.22)
Öyle varsayılıyor
Ve 
.
Fonksiyonun genişletilmesini düşünün F(X), aralıkta tanımlanan [ A,
B], ortogonal fonksiyonlar sistemine göre bir seride 
katsayılar nerede 
(Ben= 0,1,2...) sabit sayılardır.
Genişleme katsayılarını belirlemek için 
eşitliği (1.23) ile çarpın 
ve aralıkta terimi terime entegre edin [ A,
B] Eşitlik elde ediyoruz
Fonksiyonların ortogonal olması nedeniyle 
eşitliğin sağ tarafındaki tüm integraller sıfıra eşit olacaktır (biri hariç) 
). Şunu takip ediyor
(1.24)
Katsayıları formül (1.24) ile belirlenen ortogonal fonksiyonlar sisteminde (1.23) serisine denir. genelleştirilmiş Fourier serisi fonksiyon için F(X).
Katsayı formüllerini basitleştirmek için sözde fonksiyonların oranlanması. Fonksiyon sistemi φ 0 (X), φ 1 (X),…, φ N (X),... isminde normalleştirilmiş aralıkta [ A, B], Eğer
.
(1.25)
Teorem doğrudur: herhangi bir ortogonal fonksiyon sistemi normalleştirilebilir. Bu, sabit sayıları bulmanın mümkün olduğu anlamına gelir μ 0 , μ 1 ,…, μ N,... böylece işlevler sistemi μ 0 φ 0 (X), μ 1 φ 1 (X),…, μ N φ N (X),... sadece ortogonal değildi, aynı zamanda normalleştirilmişti. Gerçekten de durumdan
bunu anladık
.
isminde norm
işlevler
ve ile gösterilir 
.
Fonksiyonlar sistemi normalleştirilirse, o zaman açıkça 
. Fonksiyonların sırası φ
0 (X),
φ
1 (X),…,
φ
N (X),…, aralıkta tanımlı [ A,
B], dır-dir ortonormal eğer tüm fonksiyonlar normalleştirilmişse ve karşılıklı olarak ortogonal ise bu segmentte [ A,
B].
Bir ortonormal fonksiyon sistemi için genelleştirilmiş Fourier serisinin katsayıları şuna eşittir:
.
(1.26)
Örnek. Bir işlevi genişlet sen
= 2 – 3X segmentte 
özdeğer probleminin özfonksiyonlarını aldığımız bu parça üzerinde dik işlevler sisteminde genelleştirilmiş bir Fourier serisine
daha önce bunları ikinci dereceden integrallenebilirlik ve diklik açısından kontrol etmiştim.
Yorum.İşlev diyorlar 
, segmentte tanımlanmış 
Kendisi ve karesi integrallenebilirse, kare integrallenebilirliği olan bir fonksiyon vardır. 
yani integraller varsa 
Ve 
.
Çözüm.Öncelikle özdeğer problemini çözelim. Bu problemin denkleminin genel çözümü şu şekilde olacaktır:
ve türevi şu şekilde yazılacaktır:
Bu nedenle sınır koşullarından şu sonuç çıkar:
Önemsiz olmayan bir çözümün var olması için kabul edilmesi gerekir
,
nereden geliyor 
Bu nedenle parametrenin özdeğerleri 
eşit
,
ve bir faktöre kadar karşılık gelen özfonksiyonlar şöyle olacaktır:
.
(1.27)
Elde edilen özfonksiyonların parça üzerinde diklik açısından kontrol edelim:
tam sayılar için 
.Nerede
Sonuç olarak, bulunan özfonksiyonlar aralıkta diktir.
Verilen fonksiyonu ortogonal özfonksiyonlar sistemi (1.27) cinsinden genelleştirilmiş bir Fourier serisine genişletelim:
,
(1.28)
katsayıları (1.24)'e göre hesaplanır:
.
(1.29)
(129)'u (1.28)'de yerine koyarsak, sonunda şunu elde ederiz:
Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı Bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye açılımı Keyfi periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serileri Fourier serisinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal fonksiyon sistemlerinde Fourier serileri Fourier serileri ortogonal sistem Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Eşitlik Parseval Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı
Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı \-1 aralığında tanımlanan, I > 0 olan bir f(x) fonksiyonu, çift fonksiyonun grafiği ordinat eksenine göre simetrik olsa bile çağrılır. J parçası üzerinde tanımlanan ve I > 0 olan bir f(x) fonksiyonuna, eğer tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse tek fonksiyon denir. Örnek. a) Fonksiyon |-jt, jt aralığında çifttir, çünkü tüm x e b) Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı, bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya sinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi olduğundan, fonksiyon tektir. kosinüs Keyfi periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serileri Fourier serilerinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Bir ortogonal sistem için Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı c) Fonksiyon f (x)=x2-x, burada ne çift ne de tek fonksiyonlara ait değildir, çünkü Teorem 1'in koşullarını sağlayan f(x) fonksiyonu x| aralığında çift olsun. O zaman herkes için yani. /(x) cos nx bir çift fonksiyondur ve f(x) sinnx bir tek fonksiyondur. Bu nedenle, bir çift fonksiyon f(x)'in Fourier katsayıları eşit olacaktır. Bu nedenle, bir çift fonksiyonun Fourier serisi, f(x) sin х - bir çift fonksiyon biçimine sahiptir. Bu nedenle, tek bir fonksiyonun Fourier serisi Örnek 1 formunu alır. Fonksiyon 4'ü -x ^ x ^ n aralığında bir Fourier serisine genişletin. Bu fonksiyon çift olduğundan ve Teorem 1'in koşullarını sağladığından, o zaman Fourier serisi Fourier katsayılarını bulun biçimine sahiptir. İntegrali iki kez parçalar halinde uygulayarak şunu elde ederiz: Yani, bu fonksiyonun Fourier serisi şuna benzer: veya genişletilmiş biçimde, Bu eşitlik herhangi bir x € için geçerlidir, çünkü x = ±ir noktalarında toplamı f(x) = x fonksiyonunun grafikleri ve elde edilen serilerin toplamı Şekil 2'de verildiğinden, seri f(x) = x2 fonksiyonunun değerleriyle çakışmaktadır. Yorum. Bu Fourier serisi, yakınsak sayısal serilerden birinin toplamını bulmamızı sağlar, yani x = 0 için Örnek 2'yi elde ederiz. /(x) = x fonksiyonunu aralıktaki bir Fourier serisine genişletin. /(x) fonksiyonu Teorem 1'in koşullarını karşılar, bu nedenle bir Fourier serisine genişletilebilir, bu fonksiyonun tuhaflığı nedeniyle şu forma sahip olacaktır: Parçalara göre integral alarak Fourier katsayılarını buluruz. Bu fonksiyonun Fourier serisi şu şekildedir: Bu eşitlik x - ±t noktalarındaki tüm x B için geçerlidir, Fourier serilerinin toplamı /(x) = x fonksiyonunun değerleriyle örtüşmez, çünkü eşittir [-*, i-] aralığının dışında serinin toplamı /(x) = x fonksiyonunun periyodik bir devamıdır; grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 6. § 6. Bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi Aralıkta sınırlı, parçalı monoton bir fonksiyon / verilsin. Bu fonksiyonun 0| aralığındaki değerleri çeşitli şekillerde daha da tanımlanabilir. Örneğin, tc] segmentinde bir / fonksiyonu tanımlayabilirsiniz, böylece /. Bu durumda şöyle diyorlar: “0] segmentine eşit bir şekilde uzatıldı”; Fourier serisi yalnızca kosinüsleri içerecektir. /(x) fonksiyonu [-l-, mc] aralığında /( olacak şekilde tanımlanırsa, sonuç tek fonksiyon olur ve sonra /'nin “[-*, 0] aralığına genişletildiğini” söylerler. tuhaf bir şekilde”; bu durumda Fourier serisi yalnızca sinüsleri içerecektir. Böylece aralıkta tanımlanan her sınırlı parçalı monotonik fonksiyon hem sinüs hem de kosinüslerde bir Fourier serisine genişletilebilir. Fonksiyon bir Fourier serisine genişletilebilir: a) kosinüslerle; b) sinüslere göre. M |-x,0) segmentindeki çift ve tek devamlarıyla bu fonksiyon sınırlı ve parçalı monoton olacaktır. a) /(z)'yi 0 doğru parçasına uzatın) a) j\x)'i (-π,0|) doğru parçasına eşit bir şekilde uzatın (Şek. 7), o zaman Fourier serisi i, Π = 1 formunu alacaktır. Fourier katsayıları sırasıyla eşittir. Bu nedenle, b) /(z)'yi [-x,0] doğru parçasına garip bir şekilde uzatalım (Şekil 8). Sonra Fourier serisi §7. Rastgele periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serisi (Fix fonksiyonu) 21,1 ^ 0 periyoduyla periyodik olsun. I > 0 aralığında bir Fourier serisine genişletmek için, x = jt şeklinde bir değişken değişikliği yaparız. . O zaman F(t) = / ^tj fonksiyonu, t argümanının periyotlu periyodik bir fonksiyonu olacaktır ve segment üzerinde bir Fourier serisine genişletilebilir. x değişkenine, yani ayara dönersek, tüm teoremlerin geçerli olduğunu elde ederiz. Periyodu 2π olan Fourier serisi periyodik fonksiyonlar için, keyfi periyodu 21 olan periyodik fonksiyonlar için geçerli kalır. Özellikle, bir Fourier serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için yeterli bir kriter de geçerliliğini korur. Örnek 1. Formülle [-/,/] aralığında verilen, periyodu 21 olan bir periyodik fonksiyonu Fourier serisine genişletin (Şekil 9). Bu fonksiyon eşit olduğundan, Fourier serisi şu şekildedir: Fourier katsayılarının bulunan değerlerini Fourier serisine değiştirerek, periyodik fonksiyonların önemli bir özelliğini not ederiz. Teorem 5. Eğer bir fonksiyon T periyoduna sahipse ve integrallenebilirse, bu durumda herhangi bir a sayısı için m eşitliği sağlanır. yani uzunluğu T periyoduna eşit olan bir parçanın üzerindeki integral, bu parçanın sayı eksenindeki konumuna bakılmaksızın aynı değere sahiptir. Aslında ikinci integralde de değişken değişimini varsayarak yapıyoruz. Bu verir ve dolayısıyla Geometrik olarak bu özellik, Şekil 2'de gölgeli alan durumunda şu anlama gelir: 10 alan birbirine eşittir. Özellikle, periyodu olan bir f(x) fonksiyonu için, çift ve tek fonksiyonların Fourier serisine genişletilmesi, bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi, keyfi bir fonksiyon için Fourier serisi periyot Fourier serisinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal sistem fonksiyonlarında Fourier serileri Ortogonal sistemdeki Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı Örnek 2. x fonksiyonu bir periyotla periyodiktir Bu fonksiyonun tuhaflığı, integralleri hesaplamadan, herhangi biri için şunu söyleyebiliriz: Kanıtlanmış özellik, özellikle periyodu 21 olan bir f(x) periyodik fonksiyonunun Fourier katsayılarının, a'nın bir olduğu formüller kullanılarak hesaplanabileceğini gösterir. keyfi gerçek sayı (cos - ve sin fonksiyonlarının 2/ periyoduna sahip olduğuna dikkat edin). Örnek 3. Periyodu 2x olan bir aralıkta verilen bir fonksiyonu Fourier serisine genişletin (Şekil 11). 4 Bu fonksiyonun Fourier katsayılarını bulalım. Bu nedenle Fourier serisi şu şekilde görünecektir: x = jt noktasında (birinci tür süreksizlik noktası) §8'e sahibiz. Fourier serisinin karmaşık kaydı Bu bölümde karmaşık analizin bazı unsurları kullanılmaktadır (bkz. Bölüm XXX, burada karmaşık ifadelerle gerçekleştirilen tüm eylemler kesinlikle gerekçelendirilmiştir). f(x) fonksiyonunun Fourier serisine genişletilmesi için yeterli koşulları sağlamasına izin verin. O zaman x] parçası üzerinde şu formdaki bir dizi ile temsil edilebilir. Euler formüllerini kullanarak Bu ifadeleri cos πx ve sin φx yerine seri (1)'e koyarsak aşağıdaki gösterimi tanıtalım. Sonra seri (2) alacaktır. form Böylece Fourier serisi (1) karmaşık formda (3) temsil edilir. İntegraller aracılığıyla katsayıların ifadelerini bulalım. Benzer şekilde şunu bulduk: с, с_п ve с için son formüller şu şekilde yazılabilir: . . Katsayılara с‐ fonksiyonun karmaşık Fourier katsayıları denir. Periyodik bir periyodik fonksiyon için, Fourier serisinin karmaşık formu, Cn katsayılarının serilerin yakınsaması (3) kullanılarak hesaplandığı şekli alacaktır. ) ve (4) şu şekilde anlaşılmaktadır: (3) ve (4) serilerine verilen değerler için limitler varsa yakınsak denir Örnek. Periyot fonksiyonunu karmaşık bir Fourier serisine genişletin Bu fonksiyon, bir Fourier serisine genişleme için yeterli koşulları karşılar. Bu fonksiyonun karmaşık Fourier katsayılarını bulalım. Çift n için tekimiz var, kısacası. Değerleri yerine koyarsak, sonunda şunu elde ederiz: Bu serinin aşağıdaki şekilde de yazılabileceğine dikkat edin: Genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri 9.1. Ortogonal fonksiyon sistemleri [a, 6] aralığında tanımlanan ve bir kareyle integrallenebilen tüm (gerçek) fonksiyonlar kümesini, yani kendisi için bir integralin mevcut olduğu fonksiyonları, özellikle tüm f(x) fonksiyonlarını sürekli olarak gösterelim. [a , 6] aralığında, 6'ya aittir ve Lebesgue integrallerinin değerleri, Riemann integrallerinin değerleriyle örtüşmektedir. Tanım. Koşul (1) özellikle hiçbir fonksiyonun aynı şekilde sıfır olmadığını varsayıyorsa, [a, b\ aralığında ortogonal olarak adlandırılan bir fonksiyonlar sistemi. İntegral Lebesgue anlamında anlaşılmaktadır. ve niceliğe fonksiyonun normu deriz. Eğer bir ortogonal sistemde sahip olduğumuz herhangi bir n için bu fonksiyon sistemine ortonormal denir. Eğer (y>(x)) sistemi dik ise, o zaman sistem Örnek 1. Trigonometrik sistem bir doğru parçası üzerinde diktir. Fonksiyonlar sistemi, Örnek 2'deki ortonormal bir fonksiyon sistemidir. Kosinüs sistemi ve sinüs sistemi ortonormaldir. (0, f| aralığında ortogonal olduklarını, ancak ortonormal olmadıklarını (I Ф- 2 için). Normları COS olduğundan Örnek 3. Eşitlik ile tanımlanan polinomlara Legendre polinomları (polinomlar) adı verilir. n = 0'a sahibiz. Fonksiyonların aralıkta bir ortonormal fonksiyon sistemi oluşturduğu kanıtlanabilir. Örneğin, Legendre polinomlarının dikliğini gösterelim. Bu durumda n kere kısmi integral alalım. t/m = (z2 - I)m fonksiyonu için m - I dahil mertebesine kadar tüm türevlerin [-1,1] parçasının uçlarında yok olduğunu buluruz. Tanım. Bir fonksiyonlar sistemi (pn(x)) (a, b) aralığı üzerinde p(x) çıkıntısıyla dik olarak adlandırılır, eğer: 1) tüm n = 1,2,... için integraller varsa. p(x) ağırlık fonksiyonunun tanımlı ve (a, b) aralığının her yerinde pozitif olduğu, p(x)'in yok olabileceği sonlu sayıda noktanın olası istisnası olduğu varsayılmıştır. Formül (3)'te farklılaşmayı yaptıktan sonra buluyoruz. Chebyshev-Hermite polinomlarının, Örnek 4 aralığında dik olduğu gösterilebilir. Bessel fonksiyonları sistemi (jL(pix)^, Bessel fonksiyonunun sıfır aralıklarında diktir. Örnek 5. Chebyshev-Hermite polinomlarını düşünün; ortogonal sistemde Fourier serileri (a, 6) aralığında ortogonal bir fonksiyonlar sistemi olsun ve (cj = const) serisinin bu aralıkta f(x) fonksiyonuna yakınsamasını sağlayın: Son eşitliğin her iki tarafının -sabit ile çarpılması ve x üzerinden a'dan 6'ya kadar integral alınması Sistemin ortogonalliği nedeniyle, bu işlemin genel anlamda tamamen biçimsel bir karaktere sahip olduğunu elde ederiz. Ancak bazı durumlarda, örneğin (4) serisinin düzgün yakınsak olması, tüm fonksiyonların sürekli olması ve (a, 6) aralığının sonlu olması durumunda bu işlem yasaldır. Ancak bizim için artık önemli olan resmi yorumdur. O halde bir fonksiyon verilsin. Formül (5)'e göre c* sayılarını oluşturalım ve yazalım. Sağ taraftaki seriye f(x) fonksiyonunun (^n(i)) sistemine göre Fourier serisi denir. bu sisteme göre f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları denir. Formül (6)'daki ~ işareti yalnızca Cn sayılarının formül (5)'e göre f(x) fonksiyonuyla ilişkili olduğu anlamına gelir (sağdaki serinin hiç yakınsak olduğu varsayılmaz, f fonksiyonuna çok daha az yakınsar) (X)). Dolayısıyla doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Bu serinin özellikleri nelerdir? Hangi anlamda f(x) fonksiyonunu “temsil eder”? 9.3. Ortalama Tanımda Yakınsama. Norm Teorem 6 uzayındaysa, bir dizi ortalama olarak ] elemanına yakınsar. Bir dizi ) düzgün bir şekilde yakınsarsa, o zaman ortalama olarak yakınsar. M ()) dizisinin [a, b] aralığında /(x) fonksiyonuna düzgün yakınsak olmasına izin verin. Bu, herkes için, yeterince büyük olan tüm n'ler için, ifademizin buradan çıktığı Dolayısıyla elimizde olduğu anlamına gelir. Bunun tersi doğru değildir: () dizisi ortalama olarak /(x)'e yakınsak olabilir ancak düzgün yakınsak olmayabilir. Örnek. nx dizisini düşünün Bunu görmek kolaydır. Ancak bu yakınsaklık tekdüze değildir: örneğin, n ne kadar büyük olursa olsun, keyfi periyoda sahip bir fonksiyon için kosinüs Fourier serisinde bir e vardır. Fourier serilerinin genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Bir ortogonal sistem için Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı ve Let Fonksiyonun Fourier katsayılarını c* ile gösteririz /(x) ) ortonormal bir sistem tarafından b n ^ 1'in sabit bir tam sayı olduğu doğrusal bir kombinasyon düşünün ve integralin minimum değer aldığı sabitlerin değerlerini bulun. Daha detaylı yazalım. Sistemin ortonormalliği nedeniyle terimin integralini alırsak eşitliğin sağ tarafındaki ilk iki terim (7) bağımsızdır ve üçüncü terim negatif değildir. Bu nedenle integral (*), ak = sk'de minimum değer alır. İntegral, /(x) fonksiyonunun Tn(x)'in doğrusal birleşimiyle ortalama kare yaklaşımı olarak adlandırılır. Böylece /\ fonksiyonunun ortalama karekök yaklaşımı minimum değeri alır. Tn(x), /(x) fonksiyonunun Fourier serisinin () sistemi üzerindeki 71'inci kısmi toplamı olduğunda. ak = sk olarak ayarlayarak (7)'den Eşitlik (9) elde ederiz, Bessel özdeşliği denir. taraf negatif değilse, bundan Bessel eşitsizliği çıkar. Burada keyfi olarak bulunduğum için, Bessel eşitsizliği güçlendirilmiş bir biçimde temsil edilebilir, yani herhangi bir fonksiyon için / bu fonksiyonun karesel Fourier katsayılarının serisi ortonormal bir sistemde yakınsar. . Sistem [-x, m] aralığında ortonormal olduğundan, trigonometrik Fourier serisinin olağan notasyonuna çevrilen eşitsizlik (10), entegre edilebilir bir kareye sahip herhangi bir /(x) fonksiyonu için geçerli olan do ilişkisini verir. Eğer f2(x) integrallenebilirse, serinin eşitsizliğinin (11) sol tarafında yakınsaması için gerekli koşuldan dolayı bunu elde ederiz. Parseval eşitliği Bazı sistemler için (^'(x)) formül (10)'daki eşitsizlik işareti (tüm f(x) 6 × fonksiyonları için) bir eşittir işaretiyle değiştirilebilir. Ortaya çıkan eşitliğe Parseval-Steklov eşitliği (tamlık koşulu) adı verilir. Bessel'in özdeşliği (9), koşul (12)'yi eşdeğer biçimde yazmamıza izin verir. Dolayısıyla, tamlık koşulunun yerine getirilmesi, /(x) fonksiyonunun Fourier serisinin kısmi toplamlarının Sn(x) fonksiyonuna yakınsaması anlamına gelir. /(x) ortalama olarak, yani uzay normuna göre 6]. Tanım. Bir ortonormal sistem (, b2[аy b]'de tam olarak adlandırılır, eğer her fonksiyon, formun yeterince fazla sayıda terim içeren doğrusal bir kombinasyonu ile ortalama olarak herhangi bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplanabiliyorsa, yani herhangi bir fonksiyon için /(x) ∈ b2 ise [a, b\ ve herhangi bir e > 0 için bir nq doğal sayısı ve a\, a2y... sayıları vardır, öyle ki Hayır Yukarıdaki akıl yürütmeden Teorem 7 izlenir. Ortonormalleştirme ile sistem () uzayda tamamlanmışsa, Bu sistemde herhangi bir fonksiyonun Fourier serisi ortalama olarak f(x)'e yakınsar, yani norma göre trigonometrik sistemin uzayda tam olduğu gösterilebilir. Teorem 8. Bir fonksiyonun trigonometrik Fourier serisi ona ortalama olarak yakınsarsa. 9.5. Kapalı sistemler. Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı Tanımı. Li\a, b) uzayında tüm fonksiyonlara dik sıfırdan farklı bir fonksiyon yoksa, \ ortonormal fonksiyonlar sistemine kapalı denir. L2\a, b\ uzayında, ortonormal sistemlerin tamlık ve kapalılık kavramları çakışır. Alıştırmalar 1. Fonksiyon 2'yi (-i-, x) aralığında bir Fourier serisine genişletin 2. Fonksiyonu (-tr, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin 3. Fonksiyon 4'ü bir Fourier serisine genişletin (-tr, tr) aralığını, (-jt, tr) aralığı fonksiyonu 5'teki Fourier serisine dönüştürün. f(x) = x + x fonksiyonunu (-tr, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 6. n fonksiyonunu (-jt, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 7. /(x) = sin2 x fonksiyonunu (-tr, x) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 8. f(x) = y fonksiyonunu (-tr, jt) aralığında bir Fourier serisine genişletin 9. f(x) = | fonksiyonunu genişletin günah x|. 10. f(x) = § fonksiyonunu (-π-, π) aralığındaki bir Fourier serisine genişletin. 11. f(x) = sin § fonksiyonunu (-tr, tr) aralığındaki bir Fourier serisine genişletin. 12. (0, x) aralığında verilen f(x) = n -2x fonksiyonunu bir Fourier serisine genişletin ve onu (-x, 0) aralığına genişletin: a) eşit bir şekilde; b) tuhaf bir şekilde. 13. (0, x) aralığında verilen /(x) = x2 fonksiyonunu sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. 14. (-2,2) aralığında verilen /(x) = 3 fonksiyonunu Fourier serisine genişletin. 15. (-1,1) aralığında verilen f(x) = |x| fonksiyonunu Fourier serisine genişletin. 16. (0,1) aralığında belirtilen f(x) = 2x fonksiyonunu sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin.
Benzer makaleler
Nazar ve hasara karşı en iyi muskalar Çocuklar için elleriyle nazara karşı muska
-
Nazar ve hasara karşı en iyi muskalar Çocuklar için elleriyle nazara karşı muska
-
Nazar ve hasara karşı en iyi muskalar Çocuklar için elleriyle nazara karşı muska
Mezmur nasıl doğru okunur
-
Mezmur nasıl doğru okunur
-
Mezmur nasıl doğru okunur
Sosisli lezzetli yemekler
Bella'ya bir bakış. Romantik kronik. Bir dahiye bakış. Akhmadulina hakkında Messerer Boris Messerer Bella'nın romantik tarihçesine bir bakış
Rüyamda nehirde bir teknede yelken açtığımı gördüm
Bir tavada dana antrikot nasıl pişirilir