Intervālu sērijas vidējā vērtība. Variācijas rādītāji: jēdziens, veidi, aprēķinu formulas

Saskaņā ar izlases aptauju noguldītāji tika grupēti pēc viņu depozīta lieluma pilsētas Sberbankā:

Definēt:

1) variāciju apjoms;

2) vidējais depozīta lielums;

3) vidējā lineārā novirze;

4) dispersija;

5) standartnovirze;

6) iemaksu variācijas koeficients.

Risinājums:

Šajā izplatīšanas sērijā ir atvērti intervāli. Šādās sērijās parasti tiek pieņemts, ka pirmās grupas intervāla vērtība ir vienāda ar nākamās grupas intervāla vērtību, un pēdējās grupas intervāla vērtība ir vienāda ar grupas intervāla vērtību. iepriekšējā.

Otrās grupas intervāla vērtība ir vienāda ar 200, tāpēc arī pirmās grupas vērtība ir vienāda ar 200. Priekšpēdējās grupas intervāla vērtība ir vienāda ar 200, kas nozīmē, ka arī pēdējais intervāls kuru vērtība ir 200.

1) Definēsim variāciju diapazonu kā starpību starp lielāko un zemākā vērtība zīme:

Depozīta lieluma variāciju diapazons ir 1000 rubļu.

2) Iemaksas vidējais lielums tiks noteikts, izmantojot vidējo svērto aritmētisko formulu.

Vispirms noteiksim atribūta diskrēto vērtību katrā intervālā. Lai to izdarītu, izmantojot vienkāršu vidējo aritmētisko formulu, mēs atrodam intervālu viduspunktus.

Pirmā intervāla vidējā vērtība būs:

otrais - 500 utt.

Aprēķinu rezultātus ievadīsim tabulā:

Depozīta summa, berzēt.	Noguldītāju skaits, f	Intervāla vidus, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Kopā	400	-	312000

Vidējais depozīts pilsētas Sberbankā būs 780 rubļi:

3) Vidējā lineārā novirze ir aritmētiskais vidējais rādītāja atsevišķu vērtību absolūtajām novirzēm no kopējā vidējā:

Vidējās lineārās novirzes aprēķināšanas procedūra intervālu sadalījuma rindā ir šāda:

1. Svērto vidējo aritmētisko aprēķina, kā parādīts 2. punktā).

2. Tiek noteiktas absolūtās novirzes no vidējā:

3. Iegūtās novirzes reizina ar frekvencēm:

4. Atrodiet svērto noviržu summu, neņemot vērā zīmi:

5. Svērto noviržu summu dala ar frekvenču summu:

Ir ērti izmantot aprēķinu datu tabulu:

Depozīta summa, berzēt.	Noguldītāju skaits, f	Intervāla vidus, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Kopā	400	-	-	-	81280

Sberbank klientu depozīta lieluma vidējā lineārā novirze ir 203,2 rubļi.

4) Dispersija ir katras atribūta vērtības noviržu kvadrātā no vidējā aritmētiskā vidējā aritmētiskā.

Intervālu sadalījuma sēriju dispersijas aprēķins tiek veikts, izmantojot formulu:

Dispersijas aprēķināšanas procedūra šajā gadījumā ir šāda:

1. Nosakiet svērto vidējo aritmētisko, kā parādīts 2. punktā).

2. Atrodiet novirzes no vidējā:

3. Kvadrātiņā katras opcijas novirzi no vidējās vērtības:

4. Reiziniet noviržu kvadrātus ar svariem (frekvencēm):

5. Apkopojiet iegūtos produktus:

6. Iegūto summu dala ar svaru (biežumu) summu:

Aprēķinus ievietosim tabulā:

Depozīta summa, berzēt.	Noguldītāju skaits, f	Intervāla vidus, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Kopā	400	-	-	-	23040000

Statistiski apstrādājot paša pētījuma rezultātus dažāda veida iegūtās vērtības bieži tiek grupētas intervālu secībā. Lai aprēķinātu šādu secību vispārinātus salīdzinājumus, dažreiz ir jāaprēķina vidū intervāls- "centrālā opcija". Tā aprēķināšanas metodes ir diezgan primitīvas, taču tām ir dažas pazīmes, kas izriet gan no mērīšanai izmantotās skalas, gan grupēšanas rakstura (atvērtas vai slēgtas spraugas).

Instrukcijas

1. Ja intervāls ir nemainīgas skaitliskās secības sadaļa, tad, lai atrastu tā vidu, izmantojiet parastās matemātiskās metodes vidējā aritmētiskā aprēķināšanai. Minimālā vērtība intervāls(viņa priekšvārds) saskaita ar maksimumu (beigas) un kopējo summu sadala uz pusēm – šī ir viena no vidējā aritmētiskā aprēķināšanas metodēm. Pieņemsim, ka šis noteikums ir spēkā, kad mēs runājam par par vecumu intervāls X. Teiksim, pusmūžs intervāls diapazonā no 21 līdz 33 gadiem atzīme būs 27 gadi, jo (21+33)/2=27.

2. Dažreiz ir ērtāk izmantot citu metodi vidējā aritmētiskā aprēķināšanai starp augšējo un apakšējo robežu intervāls. Šajā opcijā vispirms nosakiet diapazona platumu - no maksimālās vērtības atņemiet minimālo vērtību. Pēc tam sadaliet iegūto vērtību uz pusēm un pievienojiet kopējo vērtību diapazona minimālajai vērtībai. Teiksim, ja apakšējā robeža atbilst vērtībai 47,15, bet augšējā robeža atbilst 79,13, tad diapazona platums būs 79,13-47,15 = 31,98. Tad vidus intervāls būs 63,14, jo 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

3. Ja intervāls nav daļa no parastās skaitļu virknes, tad aprēķiniet to vidū atbilstoši izmantotās mērīšanas skalas atkārtojamībai un izmēriem. Teiksim, ja runājam par vēsturisku periodu, tad vidus intervāls būs zināms kalendāra datums. Tātad priekš intervāls no 2012. gada 1. janvāra līdz 2012. gada 31. janvārim viduspunkts būs 2012. gada 16. janvāris.

4. Papildus parastajiem (slēgtajiem) intervāliem statistiskās izpētes metodes var darboties arī ar “atvērtajām”. Šādiem diapazoniem viena no robežām nav noteikta. Piemēram, atvērto periodu var norādīt ar formulējumu “no 50 gadiem un vairāk”. Vidus šajā gadījumā nosaka ar analoģiju metodi - ja visiem pārējiem attiecīgās secības diapazoniem ir identiski platumi, tad tiek pieņemts, ka šim atvērtajam intervālam ir tāda pati dimensija. Pretējā gadījumā jums ir jānosaka metamorfozes dinamika pirms atvērtās spraugas platuma un jāatvasina tās nosacītais platums, pamatojoties uz iegūto metamorfozes tendenci.

Reizēm ikdienas darbībās var rasties nepieciešamība atklāt vidū taisnas līnijas segments. Piemēram, ja jums ir nepieciešams izveidot zīmējumu, izstrādājuma skice vai viegli sazāģēt koka bloku divās vienādās daļās. Talkā nāk ģeometrija un mazliet ikdienas atjautības.

Jums būs nepieciešams

Kompass, lineāls; pin, zīmuli, pavedienu

Instrukcijas

1. Izmantojiet parastus instrumentus, kas sagatavoti garuma mērīšanai. Šī ir visvieglāk atrodamā metode vidū segmentu. Izmēriet segmenta garumu ar lineālu vai mērlenti, sadaliet iegūto vērtību uz pusēm un izmēriet iegūto kopējo summu no viena segmenta gala. Jūs saņemsiet punktu, kas atbilst segmenta vidum.

2. Ir precīzāka metode segmenta viduspunkta atrašanai, kas apgūta skolas ģeometrijas kursā. Lai to izdarītu, paņemiet kompasu un lineālu, un lineālu var aizstāt ar jebkuru piemērota garuma priekšmetu ar taisnu pusi.

3. Iestatiet attālumu starp kompasa kājām, lai tas būtu vienāds ar segmenta garumu vai lielāks par pusi no segmenta. Pēc tam novietojiet kompasa adatu segmenta vienā galā un uzzīmējiet pusloku tā, lai tas krustotu segmentu. Pārvietojiet adatu uz segmenta otru galu un, nemainot kompasa kāju laidumu, pareizi uzzīmējiet otro pusloku tādā pašā veidā.

4. Jūs esat saņēmis divus pusloku krustpunktus abās segmenta pusēs, vidū ko vēlamies atklāt. Apvienojiet šos divus punktus, izmantojot lineālu vai plakanu bloku. Savienojošā līnija iet precīzi segmenta vidū.

5. Ja pie rokas nav kompasa vai segmenta garums ievērojami pārsniedz tā iespējamo kāju garumu, varat izmantot vienkāršu ierīci no improvizētiem līdzekļiem. To var izgatavot no parastas tapas, diega un zīmuļa. Vītnes galus piesien pie tapas un zīmuļa, un vītnes garumam vajadzētu nedaudz pārsniegt segmenta garumu. Izmantojot šādu improvizētu kompasa aizstājēju, atliek tikai veikt iepriekš aprakstītās darbības.

Video par tēmu

Noderīgs padoms
Jūs varat diezgan precīzi noteikt dēļa vai bloka vidusdaļu, izmantojot parastu diegu vai auklu. Lai to izdarītu, nogrieziet pavedienu tā, lai tas atbilstu dēļa vai stieņa garumam. Atliek tikai salocīt pavedienu uz pusēm un sagriezt divās vienādās daļās. Pievienojiet iegūtā mērījuma vienu galu mērītā objekta galam, un 2. gals atbildīs tā vidum.

Aprēķinot vidējo aritmētisko intervālu variāciju rindai, vispirms nosakiet katra intervāla vidējo vērtību kā augšējās un apakšējās robežas pussummu un pēc tam visas sērijas vidējo vērtību. Atvērtu intervālu gadījumā apakšējā vai augšējā intervāla vērtību nosaka tiem blakus esošo intervālu lielums.

3. piemērs . Definējiet vidējais vecums vakara studenti.

Vecums gados	Studentu skaits	Intervāla vidējā vērtība	Intervāla viduspunkta (vecuma) un skolēnu skaita reizinājums
līdz 20		(18 + 20) / 2 =19 18 šajā gadījumā apakšējā intervāla robeža. Aprēķināts kā 20 - (22-20)
20 - 22		(20 + 22) / 2 = 21
22 - 26		(22 + 26) / 2 = 24
26 - 30		(26 + 30) / 2 = 28
30 vai vairāk		(30 + 34) / 2 = 32
Kopā

Vidējie rādītāji, kas aprēķināti no intervālu sērijām, ir aptuveni.

Strukturālie vidējie rādītāji

Papildus jaudas vidējiem rādītājiem statistikā tiek izmantoti strukturālie vidējie lielumi: režīms un mediāna mainīga raksturlieluma vērtības un sadalījuma rindu raksturlielumu relatīvai raksturošanai.

Mode- Šis ir visizplatītākais sērijas variants. Mode tiek izmantota, piemēram, klientu vidū pieprasītāko apģērbu un apavu izmēru noteikšanai.

Diskrētās sērijas režīms ir tas, kuram ir visaugstākā frekvence.

Aprēķinot režīmu intervāla variāciju sērijai, jums ir:

vispirms nosaka modālo intervālu (pēc maksimālās frekvences),

tad - atribūta modālās vērtības vērtība saskaņā ar formulu:

Grafiskā režīma noteikšana: režīmu nosaka sadalījuma histogramma. Priekš šī

modālā taisnstūra labā virsotne ir savienota ar iepriekšējā taisnstūra augšējo labo stūri, bet modālā taisnstūra kreisā virsotne ir savienota ar nākamā taisnstūra augšējo kreiso stūri. Šo līniju krustošanās punkta abscisa būs sadales režīms.

Mediāna

Mediāna- šī ir raksturlieluma vērtība, kas sadala variāciju sēriju divās vienādās daļās.

Mediāna diskrētai sērijai.

Lai noteiktu mediānas diskrētā sērijāar nepāra vispirms novērojamo vienību skaits vidējais skaitlis izmantojot formulu: , un pēc tam nosakiet, kuras opcijas vērtībai ir uzkrātā frekvence, kas vienāda ar vidējo skaitli.

Ja sērija satur pat elementu skaitu, tad mediāna būs vienāda ar vidējo no divām raksturīgajām vērtībām, kas atrodas vidū. Pirmās no šīm zīmēm skaitu nosaka pēc formulas: , otrajai - . = n (elementu skaits rindā).

Mediāna intervālu sērijai

Aprēķinot mediānu intervālu variāciju sērijām Pirmkārt, tiek noteikts vidējais intervāls, kurā atrodas mediāna.

Priekš šī:

Piemērs . Atrodiet intervālu sērijas režīmu un mediānu.

Vecuma grupas	Studentu skaits	Uzkrāto frekvenču summa ΣS


25 - 30	1054	2272



45 gadi vai vairāk

Risinājums :

Definēsim modi

Šajā piemērā modālais intervāls ir vecuma grupā no 25 līdz 30 gadiem, jo šim intervālam ir visaugstākais biežums (1054).

Aprēķināsim režīma lielumu:

Tas nozīmē, ka studentu modālais vecums ir 27 gadi.

Noteiksim mediānu.

Vidējais intervāls ir iekšā vecuma grupa 25-30 gadi, jo šajā intervālā ir iespēja sadalīt iedzīvotājus divās vienādās daļās (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Tālāk formulā aizstājam nepieciešamos skaitliskos datus un iegūstam vidējo vērtību:

Tas nozīmē, ka puse skolēnu ir jaunāki par 27,4 gadiem, bet otra puse ir vecāki par 27,4 gadiem.

Grafiski mediānu nosaka kumulāts. Lai to noteiktu, lielākās ordinātas augstums, kas atbilst visu frekvenču summai, tiek dalīts uz pusēm. Caur saņemto punktu

novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla abscisu asij, līdz tā krustojas ar kumulātu. Krustpunkta abscisa ir mediāna.

Bieži statistikā, analizējot parādību vai procesu, ir jāņem vērā ne tikai informācija par pētāmo rādītāju vidējiem līmeņiem, bet arī atsevišķu vienību vērtību izkliede vai izmaiņas , kurš ir svarīga īpašība pētāmā populācija.

Visvairāk var mainīties akciju cenas, piedāvājuma un pieprasījuma apjomi, procentu likmes V dažādi periodi laikā un dažādās vietās.

Galvenie variāciju raksturojošie rādītāji , ir diapazons, dispersija, standarta novirze un variācijas koeficients.

Variāciju diapazons apzīmē atšķirību starp raksturlieluma maksimālo un minimālo vērtību: R = Xmax – Xmin. Šī rādītāja trūkums ir tāds, ka tas novērtē tikai pazīmes variācijas robežas un neatspoguļo tās mainīgumu šajās robežās.

Izkliede trūkst šī trūkuma. To aprēķina kā atribūtu vērtību noviržu vidējo kvadrātu no tām vidējais izmērs:

Vienkāršots dispersijas aprēķināšanas veids veic, izmantojot šādas formulas (vienkāršas un svērtas):

Šo formulu pielietošanas piemēri ir sniegti 1. un 2. uzdevumā.

Praksē plaši izmantots rādītājs ir standarta novirze :

Standarta novirze ir definēta kā Kvadrātsakne no dispersijas, un tai ir tāda pati dimensija kā pētāmajai iezīmei.

Aplūkotie rādītāji ļauj iegūt variācijas absolūto vērtību, t.i. novērtē to pētāmā raksturlieluma mērvienībās. Atšķirībā no viņiem, variācijas koeficients mēra mainīgumu relatīvā izteiksmē – attiecībā pret vidējo līmeni, kas daudzos gadījumos ir vēlams.

Formula variācijas koeficienta aprēķināšanai.

Problēmu risināšanas piemēri par tēmu “Statistikas variāciju rādītāji”

1. problēma . Pētot reklāmas ietekmi uz mēneša vidējā noguldījuma lielumu reģiona bankās, tika pārbaudītas 2 bankas. Tika iegūti šādi rezultāti:

Definēt:
1) katrai bankai: a) vidējais noguldījums mēnesī; b) iemaksu izkliede;
2) mēneša vidējais noguldījums divām bankām kopā;
3) Noguldījumu dispersija 2 bankām atkarībā no reklāmas;
4) Noguldījumu dispersija 2 bankām atkarībā no visiem faktoriem, izņemot reklāmu;
5) Kopējā dispersija, izmantojot saskaitīšanas noteikumu;
6) Determinācijas koeficients;
7) Korelācijas attiecības.

Risinājums

1) Izveidosim aprēķinu tabulu bankai ar reklāmu . Lai noteiktu vidējo depozītu mēnesī, mēs atrodam intervālu viduspunktus. Šajā gadījumā atvērtā intervāla vērtība (pirmā) tiek nosacīti pielīdzināta tam blakus esošā intervāla vērtībai (otrais).

Vidējo depozīta lielumu noskaidrosim, izmantojot vidējo svērto aritmētisko formulu:

29 000/50 = 580 rubļi.

Mēs atrodam ieguldījuma dispersiju, izmantojot formulu:

23 400/50 = 468

Līdzīgas darbības mēs ražosim bankai bez reklāmas :

2) Noskaidrosim vidējo noguldījuma lielumu abām bankām kopā. Хср = (580 × 50 + 542,8 × 50) / 100 = 561,4 rub.

3) Noguldījuma dispersiju divām bankām atkarībā no reklāmas noteiksim, izmantojot formulu: σ 2 =pq (alternatīva atribūta dispersijas formula). Šeit p=0,5 ir no reklāmas atkarīgo faktoru īpatsvars; q=1-0,5, tad σ 2 =0,5*0,5=0,25.

4) Tā kā pārējo faktoru īpatsvars ir 0,5, tad noguldījuma dispersija divām bankām atkarībā no visiem faktoriem, izņemot reklāmu, arī ir 0,25.

5) Nosakiet kopējo dispersiju, izmantojot saskaitīšanas noteikumu.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 fakts + σ 2 pārējais = 552,08 + 345,96 = 898,04

6) Determinācijas koeficients η 2 = σ 2 fakts / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - iemaksas lielums ir atkarīgs no reklāmas par 39%.

7) Empīriskā korelācijas attiecība η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – sakarība ir diezgan cieša.

2. problēma . Pastāv uzņēmumu grupēšana pēc tirgojamo produktu lieluma:

Noteikt: 1) tirgojamo produktu vērtības izkliedi; 2) standartnovirze; 3) variācijas koeficients.

Risinājums

1) Pēc nosacījuma tiek parādīta intervālu sadalījuma sērija. Tas jāizsaka diskrēti, tas ir, jāatrod intervāla vidus (x"). Slēgto intervālu grupās vidu atrodam, izmantojot vienkāršu vidējo aritmētisko. Grupās ar augšējo robežu - kā starpību starp šo augšējo robežu. un uz pusi mazāks par nākamo intervālu (200-(400 -200):2=100).

Grupās ar apakšējo robežu - šīs apakšējās robežas un pusi no iepriekšējā intervāla lieluma summa (800+(800-600):2=900).

Mēs aprēķinām tirgojamo produktu vidējo vērtību, izmantojot formulu:

Хср = k×((Σ((x"-a):k) × f):Σf)+a. Šeit a=500 ir opcijas lielums augstākajā frekvencē, k=600-400=200 ir intervāla lielums visaugstākajā frekvencē Ieliksim rezultātu tabulā:

Tātad komerciālās produkcijas vidējā vērtība pētāmajā periodā parasti ir vienāda ar Хср = (-5:37) × 200+500 = 472,97 tūkstoši rubļu.

2) Mēs atrodam dispersiju, izmantojot šādu formulu:

σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05

3) standarta novirze: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 tūkstoši rubļu.

4) variācijas koeficients: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97) * 100 = 39,52%

Piemērs : Nepieciešams noteikt skolēna vidējo vecumu korespondences veidlapa apmācību saskaņā ar datiem, kas norādīti šajā tabulā:

Studentu vecums, gadi ( X)	Studentu skaits, cilvēki ( f)	intervāla vidējā vērtība (x",xcentral)	*xifi**





26 un vecāki
Kopā:

Lai aprēķinātu vidējo vērtību intervālu sērijās, vispirms nosakiet intervāla vidējo vērtību kā augšējās un apakšējās robežas pussummu un pēc tam aprēķiniet vidējo, izmantojot aritmētiski svērto vidējo formulu.

Iepriekš ir piemērs ar vienādiem intervāliem, kur pirmais un pēdējais ir atvērts.

Atbilde: Vidējais studentu vecums ir 22,6 gadi jeb aptuveni 23 gadi.

Harmoniskais vidējais ir sarežģītāka struktūra nekā vidējais aritmētiskais. Izmanto gadījumos, kad statistikas informācija nesatur frekvences atsevišķiem atribūta vērtības, un to attēlo atribūta vērtības reizinājums ar biežums . Vidējais harmoniskais kā jaudas vidējā veida veids izskatās šādi:

Atkarībā no avota datu prezentācijas formas vidējo harmonisko vērtību var aprēķināt kā vienkāršu vai svērtu. Ja avota dati nav sagrupēti, tad vidēji harmoniska vienkārša :

To izmanto, lai noteiktu, piemēram, vidējās darbaspēka, materiālu u.c. izmaksas uz vienu produkcijas vienību vairākiem uzņēmumiem.

Strādājot ar grupētiem datiem, izmantojiet harmoniskais vidējais svērtais:

Ģeometriskais vidējaisattiecas gadījumos, kad kad vidējais objekta kopējais apjoms ir reizināts lielums, tie. tiek noteikts nevis summējot, bet reizinot pazīme individuālās vērtības.

Ģeometriskā svērtā vidējā forma praktiskajos aprēķinos nav piemērojams .

Vidējais kvadrāts izmanto gadījumos, kad, aizstājot atsevišķas raksturlieluma vērtības ar vidējo vērtību, ir nepieciešams saglabāt sākotnējo vērtību kvadrātu summu nemainīgu .

mājas tā izmantošanas jomu - raksturlieluma individuālo vērtību svārstību pakāpes mērīšana attiecībā pret vidējo aritmētisko(standarta novirze). Turklāt vidējais kvadrāts izmanto gadījumos, kad nepieciešams aprēķināt vidējo vērtību raksturlielums, kas izteikts kvadrātveida vai kubikmetru mērvienībās (aprēķinot kvadrātveida laukumu vidējo lielumu, vidējo diametru caurules, maģistrāles utt.).

Vidējais kvadrāts tiek aprēķināts divos veidos: