पाठ "बहुपद का मानक रूप"। बहुपदों

विषय पर पाठ: "बहुपद की अवधारणा और परिभाषा। बहुपद का मानक रूप"

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दोस्तों, आप पहले ही इस विषय में एकपदी का अध्ययन कर चुके हैं: एकपदी का मानक रूप। परिभाषाएँ। उदाहरण. आइए बुनियादी परिभाषाओं की समीक्षा करें।

एकपदीय- एक अभिव्यक्ति जिसमें संख्याओं और चरों का गुणनफल शामिल है। चर को प्राकृतिक शक्तियों तक बढ़ाया जा सकता है। एकपदी में गुणन के अलावा कोई अन्य संक्रिया नहीं होती है।

एकपदी का मानक रूप- यह प्रकार तब होता है जब गुणांक (संख्यात्मक कारक) पहले आता है, उसके बाद विभिन्न चर की डिग्री आती है।

समान एकपदी- ये या तो समान मोनोमियल हैं, या एकपदी जो एक गुणांक द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

बहुपद की अवधारणा

एकपदी की तरह एक बहुपद, एक निश्चित प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों के लिए एक सामान्यीकृत नाम है। हमने पहले भी ऐसे सामान्यीकरणों का सामना किया है। उदाहरण के लिए, "योग", "उत्पाद", "घातांक"। जब हम "संख्या अंतर" सुनते हैं, तो गुणा या भाग का विचार भी हमारे मन में नहीं आता है। इसके अलावा, एक बहुपद एक कड़ाई से परिभाषित प्रकार की अभिव्यक्ति है।

बहुपद की परिभाषा

बहुपदएकपदी का योग है.

वे एकपदी जो एक बहुपद बनाते हैं, कहलाते हैं बहुपद के सदस्य. यदि दो पद हैं, तो हम एक द्विपद के साथ काम कर रहे हैं, यदि तीन हैं, तो एक त्रिपद के साथ। यदि अधिक पद हों तो यह एक बहुपद है।

बहुपद के उदाहरण.

1) 2एबी + 4सीडी (द्विपद);

2) 4एबी + 3सीडी + 4एक्स (ट्रिनोमियल);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.

आइए अंतिम अभिव्यक्ति को ध्यान से देखें। परिभाषा के अनुसार, एक बहुपद एकपदी का योग है, लेकिन अंतिम उदाहरण में हम न केवल जोड़ते हैं, बल्कि एकपदी घटाते भी हैं।
स्पष्ट करने के लिए, आइए एक छोटा सा उदाहरण देखें।

आइए अभिव्यक्ति लिखें ए + बी - सी(आइए इससे सहमत हैं a ≥ 0, b ≥ 0 और c ≥0) और प्रश्न का उत्तर दें: क्या यह योग है या अंतर? कहना मुश्किल है।
दरअसल, अगर हम अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं ए + बी + (-सी), हमें दो सकारात्मक और एक नकारात्मक पदों का योग मिलता है।
यदि आप हमारे उदाहरण को देखें, तो हम विशेष रूप से गुणांक वाले एकपदी के योग से निपट रहे हैं: 3, - 2, 7, -5। गणित में एक शब्द है " बीजगणितीय योग"। इस प्रकार, बहुपद की परिभाषा में, हमारा मतलब "बीजगणितीय योग" से है।

लेकिन फॉर्म 3a: b + 7c का एक अंकन एक बहुपद नहीं है क्योंकि 3a: b एकपदी नहीं है।
फॉर्म 3बी + 2ए * (सी 2 + डी) का अंकन भी एक बहुपद नहीं है, क्योंकि 2ए * (सी 2 + डी) एकपदी नहीं है। यदि आप कोष्ठक खोलते हैं, तो परिणामी अभिव्यक्ति एक बहुपद होगी।
3बी + 2ए * (सी 2 + डी) = 3बी + 2एसी 2 + 2एडी।

बहुपद डिग्रीइसके सदस्यों की उच्चतम डिग्री है।
बहुपद a 3 b 2 + a 4 की पांचवीं घात है, क्योंकि एकपदी a 3 b 2 की घात 2 + 3= 5 है, और एकपदी a 4 की घात 4 है।

बहुपद का मानक रूप

एक बहुपद जिसमें समान पद नहीं होते हैं और बहुपद की शर्तों की शक्तियों के अवरोही क्रम में लिखा जाता है, मानक रूप का बहुपद होता है।

अनावश्यक बोझिल लेखन को हटाने और इसके साथ आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाने के लिए बहुपद को एक मानक रूप में लाया जाता है।

वास्तव में, उदाहरण के लिए, लंबी अभिव्यक्ति 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4 क्यों लिखें, जबकि इसे 9b 2 + 3a 2 + 8 से छोटा लिखा जा सकता है।

एक बहुपद को मानक रूप में लाने के लिए, आपको यह करना होगा:
1. इसके सभी सदस्यों को एक मानक रूप में लाएँ,
2. समान (समान या भिन्न संख्यात्मक गुणांक वाले) पद जोड़ें। यह कार्यविधिअक्सर कॉल किया गया समान ला रहा हूँ.

उदाहरण।
बहुपद aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 को मानक रूप में घटाएँ।

समाधान।

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

आइए व्यंजक में शामिल एकपदी की घातें निर्धारित करें और उन्हें घटते क्रम में व्यवस्थित करें।
11a 2 b के पास तीसरी डिग्री है, 3 x 5 y 2 के पास सातवीं डिग्री है, 14 के पास शून्य डिग्री है।
इसका मतलब यह है कि हम पहले स्थान पर 3 x 5 y 2 (7वीं डिग्री), दूसरे स्थान पर 12a 2 b (तीसरी डिग्री) और तीसरे स्थान पर 14 (शून्य डिग्री) रखेंगे।
परिणामस्वरूप, हमें मानक रूप 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14 का एक बहुपद प्राप्त होता है।

स्व-समाधान के उदाहरण

बहुपदों को मानक रूप में घटाएँ।

1) 4बी 3 एए - 5एक्स 2 वाई + 6एसी - 2बी 3 ए 2 - 56 + एसी + एक्स 2 वाई + 50 * (2 ए 2 बी 3 - 4एक्स 2 वाई + 7एसी - 6);

2) 6ए 5 बी + 3एक्स 2 वाई + 45 + एक्स 2 वाई + एबी - 40 * (6ए 5 बी + 4एक्सवाई + एबी + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2)।

हमने कहा कि मानक और गैर-मानक दोनों बहुपद हैं। वहां हमने नोट किया कि कोई भी कर सकता है बहुपद को मानक रूप में लाएँ. इस लेख में, हम सबसे पहले यह पता लगाएंगे कि इस वाक्यांश का क्या अर्थ है। आगे हम उन चरणों को सूचीबद्ध करते हैं जो आपको किसी भी बहुपद को रूपांतरित करने की अनुमति देते हैं मानक दृश्य. अंत में, आइए विशिष्ट उदाहरणों के समाधान देखें। बहुपदों को मानक रूप में कम करते समय उत्पन्न होने वाली सभी बारीकियों को समझने के लिए हम समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

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किसी बहुपद को मानक रूप में छोटा करने का क्या मतलब है?

सबसे पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि बहुपद को मानक रूप में घटाने का क्या मतलब है। आइए इसका पता लगाएं।

बहुपद, किसी भी अन्य अभिव्यक्ति की तरह, समान परिवर्तनों के अधीन हो सकते हैं। ऐसे परिवर्तन करने के परिणामस्वरूप, ऐसे भाव प्राप्त होते हैं जो मूल अभिव्यक्ति के समान होते हैं। इस प्रकार, गैर-मानक रूप के बहुपदों के साथ कुछ परिवर्तन करने से व्यक्ति को उन बहुपदों की ओर बढ़ने की अनुमति मिलती है जो उनके समान हैं, लेकिन मानक रूप में लिखे गए हैं। इस परिवर्तन को बहुपद को मानक रूप में घटाना कहा जाता है।

इसलिए, बहुपद को मानक रूप में घटाएँ- इसका अर्थ है मूल बहुपद को एक मानक रूप के समान रूप से समान बहुपद के साथ बदलना, जो समान परिवर्तनों को पूरा करके मूल बहुपद से प्राप्त होता है।

बहुपद को मानक रूप में कैसे छोटा करें?

आइए इस बारे में सोचें कि कौन से परिवर्तन हमें बहुपद को एक मानक रूप में लाने में मदद करेंगे। हम मानक रूप के बहुपद की परिभाषा से शुरुआत करेंगे।

परिभाषा के अनुसार, मानक रूप के बहुपद का प्रत्येक पद मानक रूप का एकपदी होता है, और मानक रूप के बहुपद में कोई समान पद नहीं होता है। बदले में, मानक के अलावा किसी अन्य रूप में लिखे गए बहुपद में गैर-मानक रूप में एकपदी शामिल हो सकते हैं और समान पद हो सकते हैं। यह तार्किक रूप से निम्नलिखित नियम का पालन करता है, जो बताता है बहुपद को मानक रूप में कैसे छोटा करें:

• सबसे पहले आपको मूल बहुपद बनाने वाले एकपदी को मानक रूप में लाना होगा,
• फिर समान पदों की कमी करें।

परिणामस्वरूप, मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त होगा, क्योंकि इसके सभी पद मानक रूप में लिखे जाएंगे, और इसमें समान पद नहीं होंगे।

उदाहरण, समाधान

आइए बहुपदों को मानक रूप में घटाने के उदाहरण देखें। हल करते समय, हम पिछले पैराग्राफ के नियम द्वारा निर्धारित चरणों का पालन करेंगे।

यहां हम ध्यान देते हैं कि कभी-कभी बहुपद के सभी पद तुरंत मानक रूप में लिखे जाते हैं, इस मामले में केवल समान पद देना ही पर्याप्त है; कभी-कभी बहुपद के पदों को मानक रूप में लाने के बाद कोई समान पद नहीं रह जाता है, इसलिए इस स्थिति में समान पद लाने की अवस्था छोड़ दी जाती है। सामान्य तौर पर, आपको दोनों करना होगा.

उदाहरण।

बहुपदों को मानक रूप में प्रस्तुत करें: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5और ।

समाधान।

बहुपद 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 के सभी पद मानक रूप में लिखे गए हैं, इसमें समान पद नहीं हैं, इसलिए, यह बहुपद पहले से ही मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है;

आइए अगले बहुपद पर चलते हैं 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5. इसका रूप मानक नहीं है, जैसा कि गैर-मानक रूप के शब्दों 2·ए 3 ·0.6 और −बी·ए·बी 4 ·बी 5 से प्रमाणित होता है। आइए इसे मानक रूप में प्रस्तुत करें।

मूल बहुपद को मानक रूप में लाने के पहले चरण में, हमें इसके सभी पदों को मानक रूप में प्रस्तुत करना होगा। इसलिए, हम एकपदी 2·a 3 ·0.6 को मानक रूप में घटाते हैं, हमारे पास 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 है, जिसके बाद हम एकपदी −b·a·b 4 ·b 5 लेते हैं, हमारे पास है −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. इस प्रकार, । परिणामी बहुपद में, सभी पद मानक रूप में लिखे गए हैं, इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि इसमें कोई समान पद नहीं हैं। नतीजतन, यह मूल बहुपद को मानक रूप में घटाने को पूरा करता है।

दिए गए बहुपदों में से अंतिम को मानक रूप में प्रस्तुत करना बाकी है। इसके सभी सदस्यों को मानक रूप में लाने के बाद इसे इस प्रकार लिखा जाएगा . इसमें समान सदस्य हैं, इसलिए आपको समान सदस्यों को कास्ट करना होगा:

अतः मूल बहुपद ने मानक रूप -x·y+1 लिया।

उत्तर:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 - पहले से ही मानक रूप में, 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5 =0.8+1.2 ए 3 −ए बी 10, .

अक्सर, किसी बहुपद को मानक रूप में लाना समस्या के उत्पन्न प्रश्न का उत्तर देने में केवल एक मध्यवर्ती कदम होता है। उदाहरण के लिए, किसी बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए मानक रूप में इसके प्रारंभिक प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

एक बहुपद दीजिए मानक रूप में, इसकी डिग्री इंगित करें और पदों को चर की अवरोही डिग्री में व्यवस्थित करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में लाते हैं: .

अब हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं:

इसलिए हमने मूल बहुपद को एक मानक रूप में लाया, इससे हमें बहुपद की डिग्री निर्धारित करने की अनुमति मिलती है, जो इसमें शामिल एकपदी की उच्चतम डिग्री के बराबर है। जाहिर है यह 5 के बराबर है.

चरों की घटती घातों में बहुपद के पदों को व्यवस्थित करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, आपको बस आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए मानक रूप के परिणामी बहुपद में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करना होगा। पद z 5 की घात सबसे अधिक है; पदों की घात, −0.5·z 2 और 11 क्रमशः 3, 2 और 0 के बराबर हैं। इसलिए, चर की घटती घातों में व्यवस्थित पदों वाले बहुपद का रूप होगा .

उत्तर:

बहुपद की घात 5 है, और इसके पदों को चर की अवरोही घातों में व्यवस्थित करने के बाद, यह रूप लेता है .

सन्दर्भ.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 7वीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 17वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
• मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. सातवीं कक्षा. 2 घंटे में। भाग 1। सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 17वाँ संस्करण, जोड़ें। - एम.: मेनेमोसिन, 2013. - 175 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-02432-3।
• बीजगणितऔर शुरू हो गया गणितीय विश्लेषण. 10वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। स्तर / [यू. एम. कोल्यागिन, एम. वी. तकाचेवा, एन. ई. फेडोरोवा, एम. आई. शबुनिन]; द्वारा संपादित ए. बी. ज़िज़चेंको। - तीसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2010.- 368 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-022771-1.
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता.- एम.; उच्च स्कूल, 1984.-351 पी., बीमार।

पर यह सबकहम इस विषय की मूल परिभाषाओं को याद करेंगे और कुछ विशिष्ट समस्याओं पर विचार करेंगे, अर्थात् एक बहुपद को एक मानक रूप में कम करना और चर के दिए गए मानों के लिए एक संख्यात्मक मान की गणना करना। हम कई उदाहरणों को हल करेंगे जिनमें विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए एक मानक रूप में कमी का उपयोग किया जाएगा।

विषय:बहुपद. एकपदी पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

पाठ:एक बहुपद को मानक रूप में कम करना। विशिष्ट कार्य

आइए मूल परिभाषा को याद करें: एक बहुपद एकपदी का योग है। प्रत्येक एकपद जो एक पद के रूप में बहुपद का भाग होता है, उसका सदस्य कहलाता है। उदाहरण के लिए:

द्विपद;

बहुपद;

द्विपद;

चूँकि एक बहुपद में एकपदी होते हैं, बहुपद के साथ पहली क्रिया यहाँ से होती है - आपको सभी एकपदी को एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है। हम आपको याद दिला दें कि ऐसा करने के लिए आपको सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करना होगा - एक संख्यात्मक गुणांक प्राप्त करना होगा, और संबंधित शक्तियों को गुणा करना होगा - अक्षर भाग प्राप्त करना होगा। इसके अलावा, आइए शक्तियों के उत्पाद के बारे में प्रमेय पर ध्यान दें: जब शक्तियों को गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं।

आइए एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन पर विचार करें - एक बहुपद को मानक रूप में कम करना। उदाहरण:

टिप्पणी: एक बहुपद को एक मानक रूप में लाने के लिए, आपको इसकी संरचना में शामिल सभी एकपदी को एक मानक रूप में लाना होगा, जिसके बाद, यदि समान एकपदी हैं - और ये समान अक्षर भाग वाले एकपदी हैं - तो उनके साथ क्रियाएं करें .

इसलिए, हमने पहली विशिष्ट समस्या पर ध्यान दिया - एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना।

अगला विशिष्ट कार्य- इसमें शामिल चरों के दिए गए संख्यात्मक मानों के लिए बहुपद के विशिष्ट मान की गणना। आइए पिछले उदाहरण को देखना जारी रखें और चर के मान निर्धारित करें:

टिप्पणी: आइए याद रखें कि किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए एक एक के बराबर है, और किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए शून्य शून्य के बराबर है, इसके अलावा, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमें शून्य मिलता है।

आइए एक बहुपद को मानक रूप में लाने और उसके मान की गणना करने की विशिष्ट संक्रियाओं के कई उदाहरण देखें:

उदाहरण 1 - मानक रूप में लाएँ:

टिप्पणी: पहला कदम एकपदी को मानक रूप में लाना है, आपको पहला, दूसरा और छठा लाना होगा; दूसरी क्रिया - हम समान पद लाते हैं, अर्थात हम उन पर दिए गए कार्य करते हैं अंकगणितीय परिचालन: हम पहले को पांचवें के साथ जोड़ते हैं, दूसरे को तीसरे के साथ, बाकी को बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है, क्योंकि उनके पास कोई समान नहीं है।

उदाहरण 2 - चरों के मानों को देखते हुए उदाहरण 1 से बहुपद के मान की गणना करें:

टिप्पणी: गणना करते समय, आपको याद रखना चाहिए कि किसी भी प्राकृतिक शक्ति की इकाई एक होती है; यदि दो की शक्तियों की गणना करना मुश्किल है, तो आप शक्तियों की तालिका का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 3 - तारक के स्थान पर एकपदी लगाएं जिससे परिणाम में कोई चर न हो:

टिप्पणी: कार्य चाहे जो भी हो, पहली क्रिया हमेशा एक ही होती है - बहुपद को एक मानक रूप में लाना। हमारे उदाहरण में, यह क्रिया समान शर्तों को लाने के लिए आती है। इसके बाद आपको शर्त को दोबारा ध्यान से पढ़ना चाहिए और सोचना चाहिए कि हम एकपदी से कैसे छुटकारा पा सकते हैं। जाहिर है, इसके लिए आपको इसमें वही एकपदी जोड़ने की जरूरत है, लेकिन साथ में विपरीत संकेत- . इसके बाद, हम तारांकन को इस एकपदी से बदल देते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारा समाधान सही है।

- बहुआयामी पद. इस लेख में हम सभी प्रारंभिक और की रूपरेखा प्रस्तुत करेंगे आवश्यक जानकारीबहुपद के बारे में. इनमें सबसे पहले, बहुपद की परिभाषा के साथ-साथ बहुपद के पदों की परिभाषा, विशेष रूप से मुक्त पद और समान पद शामिल हैं। दूसरे, हम मानक रूप के बहुपदों पर ध्यान देंगे, उचित परिभाषा देंगे और उनके उदाहरण देंगे। अंत में, हम एक बहुपद की घात की परिभाषा प्रस्तुत करेंगे, यह पता लगाएंगे कि इसे कैसे खोजा जाए, और बहुपद के पदों के गुणांकों के बारे में बात करेंगे।

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बहुपद और उसके पद - परिभाषाएँ और उदाहरण

ग्रेड 7 में, बहुपदों का अध्ययन एकपदी के तुरंत बाद किया जाता है, यह समझ में आता है, क्योंकि बहुपद परिभाषाएकपदी के माध्यम से दिया गया है। बहुपद क्या है, यह समझाने के लिए आइए हम यह परिभाषा दें।

परिभाषा।

बहुपदएकपदी का योग है; एकपदी को बहुपद का एक विशेष मामला माना जाता है।

लिखित परिभाषा आपको बहुपदों के जितने चाहें उतने उदाहरण देने की अनुमति देती है। कोई एकपदी 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12, आदि। एक बहुपद है. इसके अलावा, परिभाषा के अनुसार, 1+x, a 2 +b 2 और बहुपद हैं।

बहुपदों का वर्णन करने की सुविधा के लिए, बहुपद पद की एक परिभाषा प्रस्तुत की गई है।

परिभाषा।

बहुपद पदएक बहुपद के घटक एकपदी हैं।

उदाहरण के लिए, बहुपद 3 x 4 −2 x y+3−y 3 में चार पद हैं: 3 x 4 , −2 x y , 3 और −y 3 । एकपदी को एक पद से युक्त बहुपद माना जाता है।

परिभाषा।

जिन बहुपदों में दो और तीन पद होते हैं उनके विशेष नाम होते हैं - द्विपदऔर त्रिनामक्रमश।

तो x+y एक द्विपद है, और 2 x 3 q−q x x x+7 b एक त्रिपद है।

स्कूल में, हमें अक्सर साथ काम करना पड़ता है रैखिक द्विपद a x+b , जहां a और b कुछ संख्याएं हैं, और x एक चर है, साथ ही c भी है द्विघात त्रिपद a·x 2 +b·x+c, जहां a, b और c कुछ संख्याएं हैं, और x एक चर है। यहां रैखिक द्विपदों के उदाहरण हैं: x+1, x 7,2−4, और यहां वर्ग त्रिपदों के उदाहरण हैं: x 2 +3 x−5 और .

बहुपदों के अंकन में समान पद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद 1+5 x−3+y+2 x में समान पद 1 और −3 हैं, साथ ही 5 x और 2 x भी हैं। उनका अपना विशेष नाम है - बहुपद के समान पद।

परिभाषा।

बहुपद के समान पदबहुपद में समान पद कहलाते हैं।

पिछले उदाहरण में, 1 और −3, साथ ही जोड़ी 5 x और 2 x, बहुपद के समान पद हैं। जिन बहुपदों में समान पद होते हैं, आप उनके रूप को सरल बनाने के लिए समान पदों को छोटा कर सकते हैं।

मानक रूप का बहुपद

बहुपदों के लिए, जैसे एकपदों के लिए, एक तथाकथित मानक रूप होता है। आइए हम संबंधित परिभाषा पर विचार करें।

पर आधारित यह परिभाषा, हम मानक रूप के बहुपदों के उदाहरण दे सकते हैं। तो बहुपद 3 x 2 −x y+1 और मानक रूप में लिखा गया है। और अभिव्यक्ति 5+3 x 2 −x 2 +2 x z और x+x y 3 x z 2 +3 z मानक रूप के बहुपद नहीं हैं, क्योंकि उनमें से पहले में समान पद 3 x 2 और −x 2 शामिल हैं, और में दूसरा - एकपदी x·y 3 ·x·z 2 , जिसका रूप मानक एक से भिन्न है।

ध्यान दें कि, यदि आवश्यक हो, तो आप हमेशा बहुपद को मानक रूप में छोटा कर सकते हैं।

मानक रूप के बहुपदों से संबंधित एक अन्य अवधारणा बहुपद के मुक्त पद की अवधारणा है।

परिभाषा।

एक बहुपद का मुक्त पदअक्षर भाग के बिना मानक रूप के बहुपद का एक सदस्य है।

दूसरे शब्दों में, यदि मानक रूप के बहुपद में एक संख्या हो, तो उसे मुक्त सदस्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 5 बहुपद x 2 z+5 का मुक्त पद है, लेकिन बहुपद 7 a+4 a b+b 3 का कोई मुक्त पद नहीं है।

बहुपद की घात - इसे कैसे ज्ञात करें?

एक अन्य महत्वपूर्ण संबंधित परिभाषा बहुपद की डिग्री की परिभाषा है। सबसे पहले, हम मानक रूप के एक बहुपद की डिग्री को परिभाषित करते हैं; यह परिभाषा इसकी संरचना में मौजूद एकपदी की डिग्री पर आधारित है।

परिभाषा।

मानक रूप के बहुपद की डिग्रीइसके अंकन में शामिल एकपदी की घातों में सबसे बड़ी है।

चलिए उदाहरण देते हैं. बहुपद 5 x 3 −4 की घात 3 के बराबर है, क्योंकि इसमें शामिल एकपदी 5 x 3 और −4 की घात क्रमशः 3 और 0 है, इनमें से सबसे बड़ी संख्या 3 है, जो बहुपद की घात है परिभाषा से। और बहुपद की डिग्री 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5 और 1, यानी 5 में से सबसे बड़ी संख्या के बराबर।

आइए अब जानें कि किसी भी रूप के बहुपद की घात कैसे ज्ञात करें।

परिभाषा।

मनमाना रूप के बहुपद की डिग्रीमानक रूप के संगत बहुपद की घात बताइए।

इसलिए, यदि कोई बहुपद मानक रूप में नहीं लिखा गया है, और आपको इसकी डिग्री खोजने की आवश्यकता है, तो आपको मूल बहुपद को मानक रूप में कम करने की आवश्यकता है, और परिणामी बहुपद की डिग्री ढूंढें - यह आवश्यक बहुपद होगा। आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

बहुपद की घात ज्ञात कीजिए 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

समाधान।

सबसे पहले आपको बहुपद को मानक रूप में प्रस्तुत करना होगा:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 ए 12 −2 ए 12 −ए 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

मानक रूप के परिणामी बहुपद में दो एकपद शामिल हैं -2 · ए 2 · बी 2 · सी 2 और वाई 2 · जेड 2। आइए उनकी घातें ज्ञात करें: 2+2+2=6 और 2+2=4. जाहिर है, इनमें से सबसे बड़ी घात 6 है, जो परिभाषा के अनुसार मानक रूप के बहुपद की घात है −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, और इसलिए मूल बहुपद की डिग्री।, बहुपद 2 x−0.5 x y+3 x+7 के 3 x और 7।

सन्दर्भ.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 7वीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 17वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
• मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. सातवीं कक्षा. 2 घंटे में। भाग 1। सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 17वाँ संस्करण, जोड़ें। - एम.: मेनेमोसिन, 2013. - 175 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-02432-3।
• बीजगणितऔर गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. 10वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। स्तर / [यू. एम. कोल्यागिन, एम. वी. तकाचेवा, एन. ई. फेडोरोवा, एम. आई. शबुनिन]; द्वारा संपादित ए. बी. ज़िज़चेंको। - तीसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2010.- 368 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-022771-1.
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता.- एम.; उच्च स्कूल, 1984.-351 पी., बीमार।

बहुपद के विषय का अध्ययन करते समय यह अलग से उल्लेख करना आवश्यक है कि बहुपद मानक तथा अमानक दोनों रूपों में होते हैं। इस मामले में, एक गैर-मानक रूप के बहुपद को मानक रूप में घटाया जा सकता है। दरअसल, इस लेख में इस प्रश्न पर चर्चा की जाएगी। आइए विस्तृत चरण-दर-चरण विवरण के साथ उदाहरणों के साथ स्पष्टीकरण को सुदृढ़ करें।

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बहुपद को मानक रूप में घटाने का अर्थ

आइए अवधारणा, क्रिया - "एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना" में थोड़ा गहराई से उतरें।

बहुपद, किसी भी अन्य अभिव्यक्ति की तरह, समान रूप से रूपांतरित किए जा सकते हैं। परिणामस्वरूप, इस मामले में हमें ऐसे भाव प्राप्त होते हैं जो मूल अभिव्यक्ति के समान होते हैं।

परिभाषा 1

बहुपद को मानक रूप में घटाएँ- इसका अर्थ है मूल बहुपद को समान परिवर्तनों का उपयोग करके मूल बहुपद से प्राप्त मानक रूप के समान बहुपद के साथ बदलना।

बहुपद को मानक रूप में छोटा करने की एक विधि

आइए इस विषय पर अनुमान लगाएं कि कौन से पहचान परिवर्तन बहुपद को मानक रूप में ले जाएंगे।

परिभाषा 2

परिभाषा के अनुसार, मानक रूप के प्रत्येक बहुपद में एक मानक रूप के एकपदी होते हैं और इसमें समान पद नहीं होते हैं। एक गैर-मानक रूप के बहुपद में एक गैर-मानक रूप के एकपदी और समान पद शामिल हो सकते हैं। उपरोक्त से, एक नियम स्वाभाविक रूप से निकाला जाता है कि एक बहुपद को मानक रूप में कैसे कम किया जाए:

• सबसे पहले, किसी दिए गए बहुपद को बनाने वाले एकपदी को मानक रूप में घटा दिया जाता है;
• फिर समान सदस्यों की कमी की जाती है।

उदाहरण और समाधान

आइए उन उदाहरणों की विस्तार से जांच करें जिनमें हम बहुपद को मानक रूप में घटाते हैं। हम ऊपर दिए गए नियम का पालन करेंगे।

ध्यान दें कि कभी-कभी प्रारंभिक अवस्था में बहुपद के पदों का पहले से ही एक मानक रूप होता है, और जो कुछ बचा है वह समान पदों को लाना है। ऐसा होता है कि कार्रवाई के पहले चरण के बाद ऐसी कोई शर्तें नहीं होती हैं, तो हम दूसरा चरण छोड़ देते हैं। सामान्य मामलों में, उपरोक्त नियम से दोनों क्रियाएं करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

बहुपद दिए गए हैं:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 ,

0, 8 + 2 ए 3 0, 6 - बी ए बी 4 बी 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8।

इन्हें मानक स्वरूप में लाना जरूरी है।

समाधान

आइए सबसे पहले बहुपद 5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 पर विचार करें : इसके सदस्यों के पास एक मानक रूप है, कोई समान पद नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद एक मानक रूप में निर्दिष्ट है, और किसी अतिरिक्त कार्रवाई की आवश्यकता नहीं है।

अब आइए बहुपद 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 को देखें। इसमें गैर-मानक मोनोमियल शामिल हैं: 2 · ए 3 · 0, 6 और - बी · ए · बी 4 · बी 5, यानी। हमें बहुपद को मानक रूप में लाने की आवश्यकता है, जिसके लिए पहला कदम एकपदी को मानक रूप में बदलना है:

2 · ए 3 · 0, 6 = 1, 2 · ए 3;

- बी · ए · बी 4 · बी 5 = - ए · बी 1 + 4 + 5 = - ए · बी 10, इस प्रकार हमें निम्नलिखित बहुपद प्राप्त होता है:

0, 8 + 2 · ए 3 · 0, 6 - बी · ए · बी 4 · बी 5 = 0, 8 + 1, 2 · ए 3 - ए · बी 10।

परिणामी बहुपद में, सभी पद मानक हैं, कोई समान पद नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद को मानक रूप में लाने के हमारे कार्य पूरे हो गए हैं।

दिए गए तीसरे बहुपद पर विचार करें: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

आइए इसके सदस्यों को मानक रूप में लाएँ और प्राप्त करें:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

हम देखते हैं कि बहुपद में समान सदस्य होते हैं, आइए समान सदस्य लाते हैं:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = एक्स वाई + 1

इस प्रकार, दिया गया बहुपद 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 मानक रूप लेता है - x y + 1।

उत्तर:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1- बहुपद को मानक के रूप में सेट किया गया है;

0, 8 + 2 ए 3 0, 6 - बी ए बी 4 बी 5 = 0, 8 + 1, 2 ए 3 - ए बी 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1।

कई समस्याओं में, उत्तर की खोज करते समय एक बहुपद को मानक रूप में कम करने की क्रिया मध्यवर्ती होती है प्रश्न पूछा. आइए इस उदाहरण पर विचार करें.

उदाहरण 2

बहुपद 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 दिया गया है। 5 · z 2 + z 3 . इसे एक मानक रूप में लाना, इसकी डिग्री इंगित करना और किसी दिए गए बहुपद के पदों को चर की अवरोही डिग्री में व्यवस्थित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए हम दिए गए बहुपद के पदों को मानक रूप में घटाएँ:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

अगला कदमयहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

हमने मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त किया है, जो हमें बहुपद की डिग्री (इसके घटक एकपदी की उच्चतम डिग्री के बराबर) निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। जाहिर है, आवश्यक डिग्री 5 है।

जो कुछ बचा है वह चरों की घटती घातों में पदों को व्यवस्थित करना है। इस प्रयोजन के लिए, हम आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए, मानक रूप के परिणामी बहुपद में पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं। इस प्रकार, हमें मिलता है:

जेड 5 + 1 3 · जेड 3 - 0 , 5 · जेड 2 + 11 .

उत्तर:

11 - 2 3 · जेड 2 · जेड + 1 3 · जेड 5 · 3 - 0, 5 · जेड 2 + जेड 3 = 11 + 1 3 · जेड 3 + जेड 5 - 0, 5 · जेड 2, जबकि की डिग्री बहुपद - 5; चरों की घटती घातों में बहुपद के पदों को व्यवस्थित करने के परिणामस्वरूप, बहुपद का रूप होगा: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

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