हम बहुपदों को मानक रूप में छोटा करना सीखते हैं।

बहुपद की अवधारणा

बहुपद की परिभाषा: एक बहुपद एकपदी का योग है। बहुपद उदाहरण:

यहां हम दो एकपदों का योग देखते हैं, और यह एक बहुपद है, अर्थात। एकपदी का योग.

वे पद जो बहुपद बनाते हैं, बहुपद के पद कहलाते हैं।

क्या एकपदी का अंतर एक बहुपद है? हाँ, ऐसा है, क्योंकि अंतर आसानी से एक योग तक कम हो जाता है, उदाहरण: 5a - 2b = 5a + (-2b)।

एकपदी को बहुपद भी माना जाता है। लेकिन एकपदी का कोई योग नहीं होता, फिर इसे बहुपद क्यों माना जाता है? और आप इसमें शून्य जोड़ सकते हैं और शून्य एकपदी के साथ इसका योग प्राप्त कर सकते हैं। तो एकपदी है विशेष मामलाबहुपद, इसमें एक सदस्य होता है।

संख्या शून्य शून्य बहुपद है।

बहुपद का मानक रूप

मानक रूप का बहुपद क्या है? एक बहुपद एकपदी का योग है, और यदि बहुपद बनाने वाले ये सभी एकपदी मानक रूप में लिखे गए हैं, और उनके बीच कोई समान नहीं होना चाहिए, तो बहुपद मानक रूप में लिखा जाता है।

मानक रूप में बहुपद का एक उदाहरण:

यहां बहुपद में 2 एकपदी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक मानक रूप होता है, इन एकपदी में कोई समान नहीं होता है;

अब एक बहुपद का उदाहरण जिसका कोई मानक रूप नहीं है:

यहां दो एकपदी: 2ए और 4ए समान हैं। आपको उन्हें जोड़ना होगा, फिर बहुपद मानक रूप ले लेगा:

एक और उदाहरण:

इस बहुपद को घटा दिया गया है मानक दृश्य? नहीं, उनका दूसरा कार्यकाल मानक रूप में नहीं लिखा गया है। इसे मानक रूप में लिखने पर हमें मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त होता है:

बहुपद डिग्री

बहुपद की डिग्री क्या है?

बहुपद डिग्री परिभाषा:

बहुपद की घात वह उच्चतम घात होती है जो किसी दिए गए मानक रूप के बहुपद को बनाने वाले एकपदी के पास होती है।

उदाहरण। बहुपद 5h की घात क्या है? बहुपद 5h की घात एक के बराबर होती है, क्योंकि इस बहुपद में केवल एक एकपद होता है और इसकी घात एक के बराबर होती है।

एक और उदाहरण। बहुपद 5a 2 h 3 s 4 +1 की घात क्या है? बहुपद 5a 2 h 3 s 4 + 1 की घात नौ के बराबर है, क्योंकि इस बहुपद में दो एकपदी शामिल हैं, पहले एकपदी 5a 2 h 3 s 4 की घात सबसे अधिक है, और इसकी घात 9 है।

एक और उदाहरण। बहुपद 5 की घात क्या है? एक बहुपद 5 की घात शून्य है। तो, एक बहुपद की घात जिसमें केवल एक संख्या होती है, अर्थात। अक्षरों के बिना, शून्य के बराबर है।

आखिरी उदाहरण. शून्य बहुपद की डिग्री क्या है, अर्थात शून्य? शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।

बहुपद एकपदी का योग है। यदि बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में लिखा जाए (अनुच्छेद 51 देखें) और समान पदों को घटा दिया जाए, तो आपको मानक रूप का बहुपद मिलेगा।

किसी भी पूर्णांक व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में परिवर्तित किया जा सकता है - यही पूर्णांक व्यंजकों के रूपांतरण (सरलीकरण) का उद्देश्य है।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जिनमें एक संपूर्ण व्यंजक को बहुपद के मानक रूप में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

समाधान। सबसे पहले, आइए बहुपद के पदों को मानक रूप में लाएँ। समान पदों को लाने पर हमें मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त होता है

समाधान। यदि कोष्ठक के सामने धन चिह्न है, तो कोष्ठक में दिए गए सभी शब्दों के चिह्नों को सुरक्षित रखते हुए, कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है। कोष्ठक खोलने के लिए इस नियम का उपयोग करने पर, हमें यह मिलता है:

समाधान। यदि कोष्ठकों के पहले ऋण चिह्न लगा है तो कोष्ठकों में संलग्न सभी पदों के चिह्नों को बदलकर कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है। कोष्ठकों को छिपाने के लिए इस नियम का उपयोग करने पर, हमें यह मिलता है:

समाधान। वितरण नियम के अनुसार एकपदी और बहुपद का गुणनफल, इस एकपदी और बहुपद के प्रत्येक सदस्य के गुणनफल के योग के बराबर होता है। हम पाते हैं

समाधान। हमारे पास है

समाधान। हमारे पास है

समान शर्तें देना बाकी है (उन्हें रेखांकित किया गया है)। हम पाते हैं:

53. संक्षिप्त गुणन सूत्र।

कुछ मामलों में, संपूर्ण अभिव्यक्ति को बहुपद के मानक रूप में लाना सर्वसमिकाओं का उपयोग करके किया जाता है:

इन सर्वसमिकाओं को संक्षिप्त गुणन सूत्र कहा जाता है,

आइए ऐसे उदाहरण देखें जिनमें आपको किसी दिए गए अभिव्यक्ति को मानक रूप मायोगोक्लीस में बदलने की आवश्यकता है।

उदाहरण 1। ।

समाधान। सूत्र (1) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.

समाधान।

उदाहरण 3.

समाधान। सूत्र (3) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4.

समाधान। सूत्र (4) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

54. बहुपदों का गुणनखंडन।

कभी-कभी आप एक बहुपद को कई कारकों के उत्पाद में बदल सकते हैं - बहुपद या उपपद। इस तरह के पहचान परिवर्तन को बहुपद का गुणनखंडन कहा जाता है। इस मामले में, बहुपद को इनमें से प्रत्येक कारक से विभाज्य कहा जाता है।

आइए बहुपदों का गुणनखंड करने के कुछ तरीकों पर नजर डालें,

1) सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना। यह परिवर्तन वितरणात्मक कानून का प्रत्यक्ष परिणाम है (स्पष्टता के लिए, आपको बस इस कानून को "दाएं से बाएं" फिर से लिखना होगा):

उदाहरण 1: एक बहुपद का गुणनखंड करें

समाधान। .

आमतौर पर, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते समय, बहुपद के सभी पदों में शामिल प्रत्येक चर को इस बहुपद में मौजूद सबसे कम घातांक के साथ निकाला जाता है। यदि बहुपद के सभी गुणांक पूर्णांक हैं, तो मापांक में सबसे बड़े को सामान्य कारक के गुणांक के रूप में लिया जाता है सामान्य भाजकबहुपद के सभी गुणांक.

2) संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना। पैराग्राफ 53 से सूत्र (1) - (7), दाएं से बाएं पढ़े जाने पर, कई मामलों में बहुपदों का गुणनखंड करने के लिए उपयोगी साबित होते हैं।

उदाहरण 2: कारक।

समाधान। हमारे पास है। सूत्र (1) (वर्गों का अंतर) लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। लगाने से

अब सूत्र (4) और (5) (घनों का योग, घनों का अंतर), हमें मिलता है:

उदाहरण 3.

समाधान। सबसे पहले, आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें। ऐसा करने के लिए, हम गुणांक 4, 16, 16 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और सबसे छोटा घातांक पाएंगे जिसके साथ चर ए और बी इस बहुपद के घटक एकपदी में शामिल हैं। हम पाते हैं:

3) समूहीकरण की विधि. यह इस तथ्य पर आधारित है कि जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम एक बहुपद के सदस्यों को समूहीकृत करने की अनुमति देते हैं विभिन्न तरीके. कभी-कभी इस तरह से समूह बनाना संभव होता है कि सामान्य गुणनखंडों को कोष्ठक से बाहर निकालने के बाद, प्रत्येक समूह में कोष्ठक में एक ही बहुपद रहता है, जो बदले में, एक सामान्य कारक के रूप में, कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है। आइए बहुपद के गुणनखंडन के उदाहरण देखें।

उदाहरण 4.

समाधान। आइए समूहीकरण इस प्रकार करें:

पहले समूह में, आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर दूसरे में लें - सामान्य गुणनखंड 5। अब हम बहुपद को कोष्ठक से बाहर एक सामान्य गुणनखंड के रूप में रखते हैं: इस प्रकार, हमें मिलता है:

उदाहरण 5.

समाधान। .

उदाहरण 6.

समाधान। यहां, कोई भी समूहीकरण सभी समूहों में एक ही बहुपद की उपस्थिति को जन्म नहीं देगा। ऐसे मामलों में, कभी-कभी बहुपद के एक सदस्य को योग के रूप में प्रस्तुत करना और फिर समूहीकरण विधि को फिर से आज़माना उपयोगी होता है। हमारे उदाहरण में, इसे हमें प्राप्त योग के रूप में प्रस्तुत करना उचित है

उदाहरण 7.

समाधान। एकपदी को जोड़ने और घटाने पर हमें प्राप्त होता है

55. एक चर वाले बहुपद।

एक बहुपद, जहाँ a, b चर संख्याएँ हैं, प्रथम घात वाला बहुपद कहलाता है; एक बहुपद जहाँ a, b, c चर संख्याएँ हैं, दूसरी डिग्री का बहुपद या वर्ग त्रिपद कहलाता है; एक बहुपद जहाँ a, b, c, d संख्याएँ हैं, चर को तीसरी डिग्री का बहुपद कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, यदि o एक चर है, तो यह एक बहुपद है

lsmogochnolenol डिग्री (x के सापेक्ष) कहा जाता है; , एम-बहुपद के पद, गुणांक, बहुपद का अग्रणी पद, ए अग्रणी पद का गुणांक है, बहुपद का मुक्त पद है। आमतौर पर, एक बहुपद को एक चर की अवरोही शक्तियों में लिखा जाता है, यानी, एक चर की शक्तियां धीरे-धीरे कम हो जाती हैं, विशेष रूप से, अग्रणी पद पहले स्थान पर होता है, और मुक्त पद अंतिम स्थान पर होता है। बहुपद की घात उच्चतम पद की घात होती है।

उदाहरण के लिए, पाँचवीं डिग्री का एक बहुपद, जिसमें अग्रणी पद, 1, बहुपद का मुक्त पद है।

बहुपद का मूल वह मान है जिस पर बहुपद लुप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 एक बहुपद का मूल है

हमने कहा कि मानक और गैर-मानक दोनों बहुपद हैं। वहां हमने नोट किया कि कोई भी कर सकता है बहुपद को मानक रूप में लाएँ. इस लेख में, हम सबसे पहले यह पता लगाएंगे कि इस वाक्यांश का क्या अर्थ है। आगे हम किसी भी बहुपद को मानक रूप में बदलने के चरणों को सूचीबद्ध करते हैं। अंत में, आइए विशिष्ट उदाहरणों के समाधान देखें। बहुपदों को मानक रूप में कम करते समय उत्पन्न होने वाली सभी बारीकियों को समझने के लिए हम समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

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किसी बहुपद को मानक रूप में छोटा करने का क्या मतलब है?

सबसे पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि बहुपद को मानक रूप में घटाने का क्या मतलब है। आइए इसका पता लगाएं।

बहुपद, किसी भी अन्य अभिव्यक्ति की तरह, समान परिवर्तनों के अधीन हो सकते हैं। ऐसे परिवर्तनों को करने के परिणामस्वरूप, ऐसे भाव प्राप्त होते हैं जो मूल अभिव्यक्ति के समान होते हैं। इस प्रकार, गैर-मानक रूप के बहुपदों के साथ कुछ परिवर्तन करने से व्यक्ति को उन बहुपदों की ओर बढ़ने की अनुमति मिलती है जो उनके समान हैं, लेकिन मानक रूप में लिखे गए हैं। इस परिवर्तन को बहुपद को मानक रूप में घटाना कहा जाता है।

इसलिए, बहुपद को मानक रूप में घटाएँ- इसका अर्थ है मूल बहुपद को एक मानक रूप के समान रूप से समान बहुपद के साथ बदलना, जो समान परिवर्तनों को पूरा करके मूल बहुपद से प्राप्त होता है।

बहुपद को मानक रूप में कैसे छोटा करें?

आइए इस बारे में सोचें कि कौन से परिवर्तन हमें बहुपद को एक मानक रूप में लाने में मदद करेंगे। हम मानक रूप के बहुपद की परिभाषा से शुरुआत करेंगे।

परिभाषा के अनुसार, मानक रूप के बहुपद का प्रत्येक पद मानक रूप का एकपदी होता है, और मानक रूप के बहुपद में कोई समान पद नहीं होता है। बदले में, मानक के अलावा किसी अन्य रूप में लिखे गए बहुपद में गैर-मानक रूप में एकपदी शामिल हो सकते हैं और समान पद हो सकते हैं। यह तार्किक रूप से निम्नलिखित नियम का पालन करता है, जो बताता है बहुपद को मानक रूप में कैसे छोटा करें:

• सबसे पहले आपको मूल बहुपद बनाने वाले एकपदी को मानक रूप में लाना होगा,
• फिर समान पदों की कमी करें।

परिणामस्वरूप, मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त होगा, क्योंकि इसके सभी पद मानक रूप में लिखे जाएंगे, और इसमें समान पद नहीं होंगे।

उदाहरण, समाधान

आइए बहुपदों को मानक रूप में घटाने के उदाहरण देखें। हल करते समय, हम पिछले पैराग्राफ के नियम द्वारा निर्धारित चरणों का पालन करेंगे।

आइए यहां ध्यान दें कि कभी-कभी बहुपद के सभी पद तुरंत मानक रूप में लिखे जाते हैं, इस स्थिति में केवल समान पद देना ही पर्याप्त है; कभी-कभी बहुपद के पदों को मानक रूप में लाने के बाद कोई समान पद नहीं रह जाता है, इसलिए इस स्थिति में समान पद लाने की अवस्था छोड़ दी जाती है। सामान्य तौर पर, आपको दोनों करना होगा.

उदाहरण।

बहुपदों को मानक रूप में प्रस्तुत करें: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5और ।

समाधान।

बहुपद 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 के सभी पद मानक रूप में लिखे गए हैं, इसमें समान पद नहीं हैं, इसलिए, यह बहुपद पहले से ही मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है;

आइए अगले बहुपद पर चलते हैं 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5. इसका रूप मानक नहीं है, जैसा कि गैर-मानक रूप के पदों 2·ए 3 ·0.6 और −बी·ए·बी 4 ·बी 5 से प्रमाणित होता है। आइए इसे मानक रूप में प्रस्तुत करें।

मूल बहुपद को मानक रूप में लाने के पहले चरण में, हमें इसके सभी पदों को मानक रूप में प्रस्तुत करना होगा। इसलिए, हम एकपदी 2·a 3 ·0.6 को मानक रूप में लाते हैं, हमारे पास 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 है, जिसके बाद - एकपदी −b·a·b 4 ·b 5, हमारे पास है −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. इस प्रकार, । परिणामी बहुपद में, सभी पद मानक रूप में लिखे गए हैं, इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि इसमें कोई समान पद नहीं हैं। नतीजतन, यह मूल बहुपद को मानक रूप में घटाने को पूरा करता है।

दिए गए बहुपदों में से अंतिम को मानक रूप में प्रस्तुत करना बाकी है। इसके सभी सदस्यों को मानक रूप में लाने के बाद इसे इस प्रकार लिखा जाएगा . इसमें समान सदस्य हैं, इसलिए आपको समान सदस्यों को कास्ट करना होगा:

अतः मूल बहुपद ने मानक रूप -x·y+1 लिया।

उत्तर:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 - पहले से ही मानक रूप में, 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5 =0.8+1.2 ए 3 −ए बी 10, .

अक्सर, किसी बहुपद को मानक रूप में लाना समस्या के उत्पन्न प्रश्न का उत्तर देने में केवल एक मध्यवर्ती कदम होता है। उदाहरण के लिए, किसी बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए मानक रूप में इसके प्रारंभिक प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

एक बहुपद दीजिए मानक रूप में, इसकी डिग्री इंगित करें और पदों को चर की अवरोही डिग्री में व्यवस्थित करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में लाते हैं: .

अब हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं:

इसलिए हमने मूल बहुपद को एक मानक रूप में लाया, इससे हमें बहुपद की डिग्री निर्धारित करने की अनुमति मिलती है, जो इसमें शामिल एकपदी की उच्चतम डिग्री के बराबर है। जाहिर है यह 5 के बराबर है.

चरों की घटती घातों में बहुपद के पदों को व्यवस्थित करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, आपको बस आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए मानक रूप के परिणामी बहुपद में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करना होगा। पद z 5 की घात सबसे अधिक है; पदों की घात, −0.5·z 2 और 11 क्रमशः 3, 2 और 0 के बराबर हैं। इसलिए, चर की घटती घातों में व्यवस्थित पदों वाले बहुपद का रूप होगा .

उत्तर:

बहुपद की घात 5 है, और इसके पदों को चर की अवरोही घातों में व्यवस्थित करने के बाद, यह रूप लेता है .

ग्रंथ सूची.

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परिभाषा के अनुसार, एक बहुपद है बीजगणतीय अभिव्यक्तिजो एकपदी का योग है।

उदाहरण के लिए: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 बहुपद हैं, और व्यंजक z/(x - x*y^2 + 4) एक बहुपद नहीं है क्योंकि यह एकपदी का योग नहीं है। एक बहुपद को कभी-कभी बहुपद भी कहा जाता है, और एकपदी जो बहुपद का हिस्सा होते हैं वे बहुपद या एकपदी के सदस्य होते हैं।

बहुपद की जटिल अवधारणा

यदि एक बहुपद में दो पद होते हैं, तो इसे द्विपद कहा जाता है; यदि इसमें तीन पद होते हैं, तो इसे त्रिपद कहा जाता है। चारनाम, पांचनाम और अन्य नामों का उपयोग नहीं किया जाता है, और ऐसे मामलों में वे केवल बहुपद कहते हैं। ऐसे नाम, पदों की संख्या के आधार पर, हर चीज़ को उसके स्थान पर रख देते हैं।

और एकपदी शब्द सहज हो जाता है। गणितीय दृष्टिकोण से, एकपदी एक बहुपद का एक विशेष मामला है। एकपदी एक बहुपद है जिसमें एक पद होता है।

एकपदी की तरह, बहुपद का भी अपना मानक रूप होता है। बहुपद का मानक रूप बहुपद का ऐसा अंकन है जिसमें पदों के रूप में शामिल सभी एकपदों को एक मानक रूप में लिखा जाता है और समान पद दिए जाते हैं।

बहुपद का मानक रूप

एक बहुपद को मानक रूप में कम करने की प्रक्रिया प्रत्येक एकपदी को मानक रूप में कम करना है, और फिर सभी समान एकपदी को एक साथ जोड़ना है। किसी बहुपद के समान पदों को जोड़ने को समरूप पदों का घटाव कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, आइए बहुपद 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b में समान पद प्रस्तुत करें।

यहां पद 4*a*b^2*c^3 और 6*a*b^2*c^3 समान हैं। इन पदों का योग एकपदी 10*a*b^2*c^3 होगा। इसलिए, मूल बहुपद 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b को 10*a*b^2*c^3 - a* के रूप में फिर से लिखा जा सकता है बी । यह प्रविष्टि बहुपद का मानक रूप होगी.

इस तथ्य से कि किसी भी एकपदी को एक मानक रूप में घटाया जा सकता है, इससे यह भी पता चलता है कि किसी भी बहुपद को एक मानक रूप में घटाया जा सकता है।

जब एक बहुपद को एक मानक रूप में घटा दिया जाता है, तो हम बहुपद की डिग्री जैसी अवधारणा के बारे में बात कर सकते हैं। एक बहुपद की घात किसी दिए गए बहुपद में शामिल एकपदी की उच्चतम घात होती है।
इसलिए, उदाहरण के लिए, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 पांचवीं डिग्री का एक बहुपद है, क्योंकि बहुपद में शामिल एकपदी की अधिकतम डिग्री (5*x^3*y^ 2) पांचवां है.

पर यह सबकहम इस विषय की मूल परिभाषाओं को याद करेंगे और कुछ विशिष्ट समस्याओं पर विचार करेंगे, अर्थात्, एक बहुपद को एक मानक रूप में कम करना और चर के दिए गए मानों के लिए एक संख्यात्मक मान की गणना करना। हम कई उदाहरणों को हल करेंगे जिनमें विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए एक मानक रूप में कमी का उपयोग किया जाएगा।

विषय:बहुपद। एकपदी पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

पाठ:एक बहुपद को मानक रूप में कम करना। विशिष्ट कार्य

आइए मूल परिभाषा को याद करें: एक बहुपद एकपदी का योग है। प्रत्येक एकपद जो एक पद के रूप में बहुपद का भाग होता है, उसका सदस्य कहलाता है। उदाहरण के लिए:

द्विपद;

बहुपद;

द्विपद;

चूँकि एक बहुपद में एकपदी होते हैं, बहुपद के साथ पहली क्रिया यहीं से होती है - आपको सभी एकपदी को एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है। हम आपको याद दिला दें कि ऐसा करने के लिए आपको सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करना होगा - एक संख्यात्मक गुणांक प्राप्त करना होगा, और संबंधित शक्तियों को गुणा करना होगा - अक्षर भाग प्राप्त करना होगा। इसके अलावा, आइए शक्तियों के उत्पाद के बारे में प्रमेय पर ध्यान दें: जब शक्तियों को गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं।

आइए एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन पर विचार करें - एक बहुपद को मानक रूप में कम करना। उदाहरण:

टिप्पणी: एक बहुपद को एक मानक रूप में लाने के लिए, आपको इसकी संरचना में शामिल सभी एकपदी को एक मानक रूप में लाना होगा, जिसके बाद, यदि समान एकपदी हैं - और ये समान अक्षर भाग वाले एकपदी हैं - तो उनके साथ क्रियाएं करें .

इसलिए, हमने पहली विशिष्ट समस्या पर ध्यान दिया - एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना।

अगला विशिष्ट कार्य- इसमें शामिल चरों के दिए गए संख्यात्मक मानों के लिए बहुपद के विशिष्ट मान की गणना। आइए पिछले उदाहरण पर विचार करना जारी रखें और चर के मान निर्धारित करें:

टिप्पणी: याद रखें कि किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए एक एक के बराबर है, और किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए शून्य शून्य के बराबर है, इसके अलावा, याद रखें कि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमें शून्य मिलता है।

आइए एक बहुपद को एक मानक रूप में घटाने और उसके मान की गणना करने की विशिष्ट संक्रियाओं के कई उदाहरण देखें:

उदाहरण 1 - मानक रूप में लाएँ:

टिप्पणी: पहला कदम एकपदी को मानक रूप में लाना है, आपको पहला, दूसरा और छठा लाना होगा; दूसरी क्रिया - हम समान पद लाते हैं, अर्थात हम उन पर दिए गए कार्य करते हैं अंकगणितीय आपरेशनस: हम पहले को पांचवें के साथ जोड़ते हैं, दूसरे को तीसरे के साथ, बाकी को बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है, क्योंकि उनके पास समान नहीं हैं।

उदाहरण 2 - चरों के मानों को देखते हुए उदाहरण 1 से बहुपद के मान की गणना करें:

टिप्पणी: गणना करते समय, आपको याद रखना चाहिए कि किसी भी प्राकृतिक शक्ति की इकाई एक होती है; यदि दो की शक्तियों की गणना करना मुश्किल है, तो आप शक्तियों की तालिका का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 3 - तारक के स्थान पर एकपदी लगाएं जिससे परिणाम में कोई चर न हो:

टिप्पणी: कार्य चाहे जो भी हो, पहली क्रिया हमेशा एक ही होती है - बहुपद को एक मानक रूप में लाना। हमारे उदाहरण में, यह क्रिया समान शर्तों को लाने के लिए आती है। इसके बाद आपको शर्त को दोबारा ध्यान से पढ़ना चाहिए और सोचना चाहिए कि हम एकपदी से कैसे छुटकारा पा सकते हैं। जाहिर है, इसके लिए आपको इसमें वही एकपदी जोड़ने की जरूरत है, लेकिन साथ में विपरीत संकेत- . इसके बाद, हम तारांकन को इस एकपदी से बदल देते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारा समाधान सही है।