3.86 /5 (77.14%) проголосовало 7

Развертка конуса. Построение развертки конуса.

Расчет развертки конуса.

Возьмем вертикальную и горизонтальную проекции конуса (рис. 1, а). Вертикальная проекция конуса будет иметь вид треугольника, основание которого равно диаметру окружности, а стороны равны образующей конуса. Горизонтальная проекция конуса будет изображаться окружностью. Если задана высота конуса Н, то длина образующей определяется по формуле:

т. е. как гипотенуза прямоугольного треугольника.

Обвернем картоном поверхность конуса. Развернув картон снова в одну плоскость (рис. 1, б), получим сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Полную развертку боковой поверхности конуса выполняют следующим образом.

Рис . 1. Развертка конуса:

а - проекция; б - развертка.

Угол развертки конуса.

Принимая за радиус образующую конуса (рис. 1, б), на металле вычерчивают дугу, на которой затем откладывают отрезок дуги КМ , равный длине окружности основания конуса 2 π r . Длине дуги в 2 π r соответствует угол α , величина которого определяется по формуле:

г - радиус окружности основания конуса;

l - длина образующей конуса.

Построение развертки сводится к следующему. На длине ранее вычерченной дуги откладывается не часть дуги КМ , что практически является невозможным, а хорда, соединяющая концы этой дуги и соответствующая углу α . Величина хорды для заданного угла находится в справочнике или проставляется на чертеже.

Найденные точки КМ соединяются с центром окружности. Круговой сектор, полученный в результате построения, будет развернутой боковой поверхностью конуса.

Построение разверток

К атегория:

Медницко-жестяницкие работы

Построение разверток

Чтобы изготовить пустотелые изделия различной формы, нужно разметить на листе развертку этого изделия. Наиболее часто составляющие части изделия имеют формы цилиндра и конуса, поэтому рассмотрим построение разверток этих фигур.

Развертка прямого цилиндра представляет собой прямоугольник (рис. 1, а), ширина которого равна высоте цилиндра Н, а длина - длине окружности цилиндра. Для определения этой длины диаметр цилиндра D умножают на число 3,14, обозначаемое в формулах греческой буквой п.

Длина окружности цилиндра определится по формуле L = nD = 3.14D.

Например, если цилиндр имеет диаметр 100 мм, то длина развертки L = 3,14 100 = 314 мм. При этом расчете

he учитывают длину материала, идущего на соединительный шов. Полная длина развертки равна длине окружности плюс припуск на шов.

Рис. 1. Построение развертки цилиндра; а - прямого: о - усеченного

Развертка усеченного цилиндра представлена на рисунке 5 б. В натуральную величину вычерчены две проекции усеченного цилиндра: вид сбоку и вид сверху (план). Окружность круга (основания цилиндра) делят на несколько равных частей, проще всего на 12; в результате получают точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Эти точки соединяют линиями, перпендикулярными диаметру 1-7,

с наклонной линией верхней проекции 1‘-7’. При пересечении получают точки Г; 2’, 12’; 3’, 11’; 4’, 10’; 5’, 9’; 6’, 8’ и 7’. Вправо от верхней проекции проводят линию АБ, которая является продолжением линии аб (основания верхней проекции) и по длине равняется длине окружности основания цилиндра (L = 3,14D). Линию АБ делят на 12 равных частей. Из каждой точки на линии АБ восстанавливают перпендикуляры, а из каждой точки на наклонной Г-V проводят линии, параллельные прямой АБ, до пересечения с этими перпендикулярами. Пересечение линии, проведенной из точки 1’, с перпендикуляром, восстановленным из точки 1 на линии АБ, даст точку I развертки; пересечение линии, проведенной из точки 2’, с перпендикуляром, восстановленным из точки 2, даст точку II развертки и т. д. Соединив все полученные точки плавной кривой, получают развертку усеченного цилиндра в натуральную величину. Если изделие соединяется фальцевыми швами, к развертке прибавляют припуск на швы.

Рис. 2. Построение развертки конуса; а - прямого; б - усеченного

Развертка конуса приведена на рисунке 2а. Для ее построения вычерчивают в натуральную величину боковую проекцию конуса, которая представляет собой треугольник. Высота треугольника равна высоте конуса (h), а основание - диаметру окружности, лежащей в основании конуса (D). На боковой проекции конуса измеряют циркулем сторону треугольника, обозначенную на рисунке буквой, и, не изменяя развода циркуля, проводят рядом с проекцией часть окружности радиусом, равным. От точки А, лежащей на дуге этой окружности, откладывают расстояние, равное L = 3,14D. Для этого берут тонкую проволоку длиной L = 3,14D и от точки А откладывают ее по дуге. Там, где проволока кончится, отмечают точку Б и соединяют точки А и Б с центром О. Полученная фигура АОБ - развертка боковой поверхности конуса. При соединении конуса фальцевым швом прибавляют припуск на шов.

Для ускорения и упрощения построения развертки основание треугольника (боковой проекции конуса) делят на 7 частей, а затем, отмерив циркулем одну такую часть, откладывают от точки А по дуге 22 такие части. В этом случае длина дуги АБ будет равняться 3.14D, так как если представить число 3,14 простой дробью, то оно выглядит как 22/7.

Развертка боковой поверхности усеченного конуса показана на рисунке 2. Построение ее аналогично построению развертки для неусеченного конуса.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Бийский технологический институт (филиал)

Г.И. Куничан, Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК

ПОВЕРХНОСТЕЙ

171200, 120100, 171500, 170600

УДК 515.0(075.8)

Куничан Г.И., Идт Л.И. Построение разверток поверхностей:

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600.

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск.

Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 22с.

В методических рекомендациях подробно рассмотрены примеры построения разверток многогранников и поверхностей вращения по теме построение разверток поверхностей курса начертательной геометрии, которые изложены в виде лекционного материала. Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Рассмотрены и одобрены

на заседании

технической

Протокол №20 от 05.02.2004 г.

Рецензент: завкафедрой МРСиИ БТИ АлтГТУ, к.т.н. Фирсов А.М.

 Куничан Г.И., Идт Л.И., Леонова Г.Д., 2005

БТИ АлтГТУ, 2005

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЕРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Представляя поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой пленки, можно говорить о таком преобразовании поверхности, при котором поверхность совмещается
с плоскостью без складок и разрывов. Следует указать, что далеко не каждая поверхность допускает такое преобразование. Ниже будет показано, какие типы поверхностей возможно совместить с плоскостью при помощи изгибания, без растяжения и сжатия.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися , а фигура на плоскости, в которую поверхность преобразуется, называется разверткой поверхности .

Построение разверток поверхностей имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала. При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей.

К числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилиндрические, конические и торы.

Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость и поэтому при необходимости изготовления этих поверхностей из листового материала их приближенно заменяют развертывающимися поверхностями.

1 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПИРАМИДАЛЬНЫХ

ПОВЕР ХНОСТЕЙ

Построение разверток пирамидальных поверхностей приводит к многократному построению натурального вида треугольников, из которых состоит данная пирамидальная поверхность или многогранная поверхность, вписанная (или описанная) в какую-либо коническую или линейчатую поверхность, которой заменяется указанная поверхность. Описываемый способ приводит к разбивке поверхности на треугольники, он называется способом треугольников (триангуляции).

Покажем применение этого способа для пирамидальных поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки таких поверхностей можно считать точными.

Пример 1 . Построить полную развертку поверхности части треугольной пирамиды SABC .

Так как боковые грани пирамиды являются треугольниками, то для построения ее развертки нужно построить натуральные виды этих треугольников. Для этого предварительно должны быть определены натуральные величины боковых ребер. Натуральную величину боковых ребер можно определить при помощи прямоугольных треугольников, в каждом из которых одним катетом является превышение точки S над точками А , В и С , а вторым катетом – отрезок, равный горизонтальной проекции соответствующего бокового ребра (рисунок 1).

Так как стороны нижнего основания являются горизонталями, то их натуральные величины можно измерить на плоскости П 1 . После этого каждая боковая грань строится как треугольник по трем сторонам. Развертка боковой поверхности пирамиды получается в виде ряда примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S (S 2 C*, S 2 A*, S 2 B* – являются натуральными величинами ребер пира-миды).

Для нанесения на развертку точек D , E и F , соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью, нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S D* , E* и F* на соответствующие натуральные величины боковых ребер.

Рисунок 1

После построения развертки боковой поверхности усеченной части пирамиды, следует пристроить к ней треугольники АВС и DEF . Треугольник АВС является основанием усеченной пирамиды и изображен на горизонтальной плоскости проекций в натуральную величину.

2 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК КОНИЧЕСКИХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрим построение разверток конических поверхностей. Несмотря на то, что конические поверхности являются развертывающимися и, следовательно, имеют теоретически точные развертки, практически строят их приближенные развертки, пользуясь способом треугольников . Для этого заменяют коническую поверхность вписанной в нее поверхностью пирамиды.

Пример 2 . Построить развертку прямого конуса с отсеченной вершиной (рису-нок 2а, б).

1. Необходимо предварительно построить развертку боковой поверхности конуса. Этой разверткой является круговой сектор, радиус которого равен натуральной величине образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Практически дугу сектора определяют при помощи ее хорд, которые принимают равными хордам, стягивающим дуги основания конуса. Иначе говоря, поверхность конуса заменяется поверхностью вписанной пирамиды.

2. Чтобы на развертку нанести точки фигуры сечения (А,В,С,D,F,G,K ), нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S , для чего следует перенести точки А 2 , В 2 , С 2 , D 2 , F 2 , G 2 , K 2 на соответствующие натуральные величины образующих конуса. Так как в прямом конусе все образующие равны, то достаточно перенести проекции точек сечения на крайние образующие S 2 1 2 и S 2 7 2 . Таким образом, отрезки S 2 A*, S 2 B*, S 2 D*, S 2 F*, S 2 G*, S 2 K* являются искомыми, т.е. равными натуральной величине расстояния от S до точек сечения.

Рисунок 2 (а)

Рисунок 2 (б)

Пример 3. Построить развертку боковой поверхности эллиптического конуса с круговым основанием (рисунок 3).

В данном примере коническая поверхность заменяется поверхностью вписанной двенадцатиугольной пирамиды. Так как коническая поверхность имеет плоскость симметрии, то можно построить развертку только одной половины поверхности. Разделив от точки О половину окружности основания конической поверхности на шесть равных частей и определив с помощью прямоугольных треугольников натуральные величины образующих, проведенных в точки деления, строим шесть примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S.

Каждый из этих треугольников строится по трем сторонам; при этом две стороны равны натуральным величинам образующих, а третья – хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления (например О 1 -1 1 , 1 1 -2 1 , 2 1 - 3 1 и т.д.) После этого через точки 0, 1, 2 … разогнутого по способу хорд основания конической поверхности проводится плавная кривая.

Если на развертке надо нанести какую-либо точку М , находящуюся на поверхности конуса, то следует предварительно построить точку М* на гипотенузе S 2 –7* прямоугольного треугольника, с помощью которого определена натуральная величина образующей S – 7 , проходящей через точку М . После этого следует провести на развертке прямую S – 7 , определив точку 7 из условия равенства хорд 2 1 – 7 1 =2 – 7 , и на ней отложить расстояние SM=S 2 M* .

Рисунок 3

3 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ

И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей приводит в общем случае к многократному построению натурального вида трапеций, из которых состоит данная призматическая поверхность, или призматическая поверхность, вписанная (или описанная) в цилиндрическую поверхность и заменяющая ее. Если, в частности, призматическая или цилиндрическая поверхности ограничены параллельными основаниями, то трапеции, на которые разбивается поверхность, обращаются в прямоугольники или параллелограммы, в зависимости от того, перпендикулярны или нет плоскости оснований боковым ребрам или образующим поверхности.

Построение трапеций или параллелограммов проще всего произвести по их основаниям и высотам, причем необходимо также знать отрезки оснований, на которые они делятся высотой. Поэтому для построения развертки призматической или цилиндрической поверхности необходимо предварительно определить натуральный вид нормального сечения данной поверхности. Стороны этого сечения, в случае призматической поверхности, и будут высотами трапеций или параллелограммов, из которых состоит поверхность. В случае цилиндрической поверхности высотами будут хорды, стягивающие дуги нормального сечения, на которые разделена кривая, ограничивающая это сечение.

Так как указанный способ требует построения нормального сечения, то он называется способом нормального сечения .

Покажем применение этого способа для призматических поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки этих поверхностей можно считать точными.

Пример 4. АВСDEF (рисунок 4).

Пусть данная призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее боковые ребра являются фронталями. Тогда они проецируются на плоскость проекций П 2 в натуральную величину и фронтально проецирующая плоскость S v , перпендикулярная боковым ребрам, определит нормальное сечение PQR призмы.

Построив натуральный вид P 4 Q 4 R 4 этого сечения, найдем натуральные величины P 4 Q 4 , Q 4 R 4 и R 4 P 4 - высот параллелограммов, из которых состоит боковая поверхность призмы.

Рисунок 4

Так как боковые ребра призмы параллельны между собой, а стороны нормального сечения им перпендикулярны, то из свойства сохранения углов на развертке следует, что на развертке призмы боковые ребра будут также параллельны между собой, а стороны нормального сечения развернутся в одну прямую. Поэтому для построения развертки призмы нужно отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормального сечения, а затем через их концы провести прямые,

перпендикулярные к этой прямой. Если теперь отложить на этих перпендикулярах

по обе стороны от прямой QQ отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости проекций П 2 , и соединить отрезками прямых концы отложенных отрезков, то получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединяя к этой развертке оба основания призмы, получим ее полную развертку.

Если боковые ребра данной призмы имели бы произвольное расположение относительно плоскостей проекций, то нужно было бы предварительно преобразовать их в прямые уровня.

Существуют также другие способы построения разверток призматических поверхностей, один из которых – раскатка на плоскости – рассмотрим на примере 5.

Пример 5. Построить полную развертку поверхности треугольной призмы ABCDEF (рисунок 5).

Рисунок 5

Эта призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее ребра являются фронталями, т.е. на фронтальной плоскости проекций П 2 изображены в натуральную величину. Это позволяет использовать один из методов вращения, позволяющих находить натуральную величину фигуры путем вращения ее вокруг прямой уровня. В соответствии с этим методом точки B,C,A,D,E,F, вращаясь вокруг ребер AD, BE и CF, совмещаются с фронтальной плоскостью проекций. Т.е. траектория движения точек В 2 и F 2 изобразится перпендикулярно A 2 D 2 .

Раствором циркуля, равным натуральной величине отрезка АВ (АВ=А 1 В 1 ), из точек А 2 и D 2 делаем засечки на траектории движения точек В 2 и F 2 . Полученная грань A 2 D 2 B F изображена в натуральную величину. Следующие две грани B F C E и C E AD строим аналогичным способом. Пристраиваем к развертке два основания АВС и DEF . Если призма расположена так, что ее ребра не являются прямыми уровня, то используя методы преобразования чертежа (замены плоскостей проекций или вращения), следует провести преобразование так, чтобы ребра призмы стали прямыми уровня.

Рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей. Хотя цилиндрические поверхности являются развертывающимися, практически строят приближенные развертки, заменяя их вписанными призматическими поверхностями.

П ример 6. Построить развертку прямого цилиндра, усеченного плоскостью Sv (рисунок 6).

Рисунок 6

Построение развертки прямого цилиндра не представляет никакой сложности, т.к. является прямоугольником, длина одной стороны равняется 2πR, а длина другой равна образующей цилиндра. Но если требуется нанести на развертку контур усеченной части, то построение целесообразно вести, вписав в цилиндр двенад-цатигранную призму. Обозначим точки сечения (сечение является эллипсом), лежащие на соответствующих образующих, точками 1 2 , 2 2 , 3 2 … и по линиям связи
перенесем их на развертку цилиндра. Соединим эти точки плавной линией и пристроим натуральную величину сечения и основание к развертке.

Если цилиндрическая поверхность наклонная, то развертку можно строить двумя способами, рассмотренными ранее на рисунках 4 и 5.

П ример 7. Построить полную развертку наклонного цилиндра второго порядка (рисунок 7).

Рисунок 7

Образующие цилиндра параллельны плоскости проекций П 2, т.е. изображены на фронтальной плоскости проекций в натуральную величину. Основание цилиндра делят на 12 равных частей и через полученные точки проводят образующие. Развертку боковой поверхности цилиндра строят так же, как была построена развертка наклонной призмы, т.е. приближенным способом.

Для этого из точек 1 2 , 2 2 , …, 12 2 опускают перпендикуляры к очерковой образующей 1А и радиусом, равным хорде 1 1 2 1 , т.е. 1/12 части деления окружности основания, последовательно делают засечки на этих перпендикулярах. Например, делая засечку из точки 1 2 на перпендикуляре, проведенном из точки 2 2 , получают 2 . Принимая далее точку 2 за центр, тем же раствором циркуля делают засечку на перпендикуляре, проведенном из точки 3 2 , и получают точку 3 и т.д. Полученные точки 1 2 , 2 , 3 ,… , 1 соединяют плавной лекальной кривой. Развертка верхнего основания симметрична развертке нижнего, так как сохраняется равенство длин всех образующих цилиндра.

4 ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ШАРОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Шаровая поверхность относится к так называемым неразвертываемым поверхностям, т. е. к таким, которые не могут быть совмещены с плоскостью, не претерпев при этом каких-либо повреждений (разрывов, складок). Таким образом, шаровая поверхность может быть развернута лишь приближенно.

Один из способов приближенной развертки шаровой поверхности рассмотрен на рисунке 8.

Сущность этого приема состоит в том, что шаровая поверхность при помощи меридианальных плоскостей, проходящих через ось шара SP , разбивается на ряд одинаковых частей.

На рисунке 8 шаровая поверхность разбита на 12 равных частей и показана горизонтальная проекция (s 1 , k 1 , l 1 ) только одной такой части. Затем дуга k 4 l заменена прямой (m 1 n 1 ), касательной к окружности, и эта часть шаровой поверхности заменена цилиндрической поверхностью с осью, проходящей через центр шара и параллельной касательной тп. Далее дуга s 2 4 2 разделена на четыре равные части. Точки 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 приняты за фронтальные проекции отрезков образующих цилиндрической поверхности с осью, параллельной тп. Их горизонтальные проекции: a 1 b 1 , c 1 d 1 , e 1 f 1 , т 1 п 1 . Затем на произвольной прямой MN отложен отрезок тп . Через его середину проведен перпендикуляр к MN и на нем отложены отрезки 4 2 3 2 , 3 2 2 2 , 2 2 1 2 , 1 2 S 2 , равные соответствующим дугам 4 2 3 2 , 3 2 2 2 , 2 2 1 2 , 1 2 s 2 . Через полученные точки проведены линии, параллельные тп, и на них отложены соответственно отрезки а 1 b 1 , c 1 d 1 , e 1 f 1 . Крайние точки этих отрезков соединены плавной кривой. Получилась развертка 1 / 12 части шаровой поверхности. Очевидно, для построения полной развертки шара надо вычертить 12 таких разверток.

5 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ КОЛЬЦА

Пример 9 . Построить развертку поверхности кольца (рисунок 9).

Разобьем поверхность кольца при помощи меридианов на двенадцать равных частей и построим приближенную развертку одной части. Заменяем поверхность этой части описанной цилиндрической поверхностью, нормальным сечением которой будет средний меридиан рассматриваемой части кольца. Если теперь спрямить этот меридиан в отрезок прямой и через точки деления провести перпендикулярно к нему образующие цилиндрической поверхности, то, соединив их концы плавными кривыми, получим приближенную развертку 1/12 части поверхности кольца.

Рисунок 8

Рисунок 9

6 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ ВОЗДУХОВОДА

В заключение покажем построение развертки поверхности одной технической детали, изготовляемой из листового материала.

На рисунке 10 изображена поверхность, с помощью которой осуществляется переход с квадратного сечения на круглое. Эта поверхность состоит из двух
конических поверхностей I , двух конических поверхностей II , двух плоских треугольников III и плоских треугольников IV и V .

Рисунок 10

Для построения развертки данной поверхности нужно предварительно определить натуральные величины тех образующих конических поверхностей I и II , с помощью которых эти поверхности заменяются совокупностью треугольников. На вспомогательном чертеже по способу прямоугольного треугольника построены натуральные величины этих образующих. После этого строят развертки конических поверхностей, а между ними в определенной последовательности строят треугольники III , IV и V , натуральный вид которых определяется по натуральной величине их сторон.

На чертеже (см. рисунок 10) показано построение развертки части от данной поверхности. Для построения полной развертки воздуховода следует достроить конические поверхности I, II и треугольник III.

Рисунок 11

На рисунке 11 приведен пример развертки воздуховода, поверхность которого можно разбить на 4 одинаковые цилиндрические поверхности и 4 одинаковые треугольника. Цилиндрические поверхности представляют собой наклонные цилиндры. Метод построения развертки наклонного цилиндра методом раскатки приведен подробно ранее на рисунке 7. Более удобным и наглядным для данной фигуры методом построения развертки представляется метод триангуляции, т.е. цилиндрическая поверхность разбивается на треугольники. А затем определяется натуральная величина сторон методом прямоугольного треугольника. Построение развертки цилиндрической части воздуховода обоими способами приведено на рисунке 11.

Вопросы для самоконтроля

1. Укажите приемы построения разверток цилиндрических и конических поверхностей.

2. Как построить развертку боковой поверхности усеченного конуса, если нельзя достроить этот конус до полного?

3. Как построить условную развертку сферической поверхности?

4. Что называется разверткой поверхности?

5. Какие поверхности относятся к развертывающимся?

6. Перечислите свойства поверхности, которые сохраняются на ее развертке.

7. Назовите способы построения разверток и сформулируйте содержание каждого из них.

8. В каких случаях для построения развертки используются способы нормального сечения, раскатки, треугольников?

Литература

Основная литература

1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцо-Огиевский; под ред. В.О. Гордона. – 25-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.

2. Гордон, В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. В.О. Гордона. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.

3. Курс начертательной геометрии / под ред. В.О. Гордона. – 24-е изд, стер. – М.: Выcшая школа, 2002.

4. Начертательная геометрия / под ред. Н.Н. Крылова. – 7-е изд., перераб. и доп.- М.: Выcшая школа, 2000.

5. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: программа, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инже-нерно-технических и педагогических специальностей вузов / А.А. Чекмарев,
А.В. Верховский, А.А. Пузиков; под ред. А.А. Чекмарева. – 2-е изд., испр. – М.: Выcшая школа, 2001.

Дополнительная литература

6. Фролов, С.А. Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1978.

7. Бубенников, А.В. Начертательная геометрия / А.В. Бубенников, М.Я. Громов. – М.: Высшая школа, 1973.

8. Начертательная геометрия / под общей ред. Ю.Б. Иванова. – Минск: Вышейшая школа, 1967.

9. Боголюбов, С.К. Черчение: учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений / С.К. Боголюбов. – 3-е изд., испр. и дополн. – М.: Машиностроение, 2000.

Общие понятия о развертывании поверхностей………………………………………...3

1 Построение разверток пирамидальных поверхностей………………………………..3

2 Построение разверток конических поверхностей………………………………….….5

3 Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей………….9

4 Приближенное развертывание шаровой поверхности………………………….….. 14

5 Построение развертки кольца………………………………………………………....14

6 Построение развертки воздуховода…………………………………………………...16

Вопросы для самоконтроля……………………………………………………………...19

Литература………………………………………………………………………………..20

Куничан Галина Ивановна

Идт Любовь Ивановна

Построение разверток поверхностей

Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600

Редактор Идт Л.И.

Технический редактор Малыгина Ю.Н.

Корректор Малыгина И.В.

Подписано в печать 25.01.05. Формат 61х86 /8.

Усл. п. л. 2,67. Уч.-изд. л. 2,75.

Печать – ризография, множительно-копировальный

аппарат «RISO TR -1510»

Тираж 60 экз. Заказ 2005-06.

Издательство Алтайского государственного

технического университета,

656099, г. Барнаул, пр.-т Ленина, 46

Оригинал-макет подготовлен ИИЦ БТИ АлтГТУ.

Отпечатано в ИИЦ БТИ АлтГТУ.

659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 29

Г.И. Куничан, Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

для самостоятельной работы студентов механических специальностей

Мы знаем, что такое конус, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько теста пойдет на изготовление вафельного рожка? Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную крышу замка?

Измерить площадь боковой поверхности конуса просто так не получится. Но представим себе все тот же рожок, обмотанный тканью. Чтобы найти площадь куска ткани, нужно разрезать и разложить ее на столе. Получится плоская фигура, ее площадь мы сможем найти.

Рис. 1. Разрез конуса по образующей

Сделаем так же с конусом. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например, (см. рис. 1).

Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем сектор. Центр этого сектора - вершина конуса, радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги совпадает с длиной окружности основания конуса. Такой сектор называется разверткой боковой поверхности конуса (см. рис. 2).

Рис. 2. Развертка боковой поверхности

Рис. 3. Измерение угла в радианах

Попробуем найти площадь сектора по имеющимся данным. Сперва введем обозначение: пусть угол при вершине сектора в радианах (см. рис. 3).

С углом при вершине развертки нам придется часто сталкиваться в задачах. Пока же попробуем ответить на вопрос: а не может ли этот угол получиться больше 360 градусов? То есть не получится ли так, что развертка наложится сама на себя? Конечно же, нет. Докажем это математически. Пусть развертка «наложилась» сама на себя. Это означает, что длина дуги развертки больше длины окружности радиуса . Но, как уже было сказано, длина дуги развертки есть длина окружности радиуса . А радиус основания конуса, разумеется, меньше образующей, например, потому, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы

Тогда вспомним две формулы из курса планиметрии: длина дуги . Площадь сектора: .

В нашем случае роль играет образующая , а длина дуги равна длине окружности основания конуса, то есть . Имеем:

Окончательно получаем: .

Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить площадь основания. Но основание - это круг радиуса , чья площадь по формуле равна .

Окончательно имеем: , где - радиус основания цилиндра, - образующая.

Решим пару задач на приведенные формулы.

Рис. 4. Искомый угол

Пример 1 . Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с углом при вершине. Найти этот угол, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см (см. рис. 4).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник, образующий конус

Первым действием, по теореме Пифагора, найдем образующую: 5 см (см. рис. 5). Далее, мы знаем, что .

Пример 2 . Площадь осевого сечения конуса равна , высота равна . Найти площадь полной поверхности (см. рис. 6).

Стенки которого были бы идеально ровными, получается далеко не в каждом случае даже при условии использования качественных сверл и дрелей. Кроме этого, диаметр отверстия может отличаться от необходимого на несколько десятых миллиметров. Чтобы зазоры были идеальными, нужна ручная развертка. Эти металлорежущий инструмент, специально предназначенный для финишной обработки отверстий после операций сверления и зенкерования. Давайте рассмотрим, что собой представляет этот инструмент, как он работает, для чего он необходим и как его применять.

Характеристика

Развертка представляет собой режущий инструмент для отверстие данным приспособлением, можно увеличить его диаметр, а также значительно повысить чистоту поверхности и точность размера. Развертки применяются как для финишной, так и для предварительной обработки. Существует стандарт, по которому регламентируется развертка ручная - ГОСТ 7722-77. Ручными считаются инструменты, предназначенные для обработки отверстий с диаметром в диапазоне от 3 до 60 мм (шаг - 1 мм).

C помощью этих инструментов можно получать размеры, точность которых будет соответствовать второму и третьему классу. Что касается чистоты поверхности, то она может быть от Rz 10 до Rz 6.3. Сверлением такой чистоты добиться невозможно.

Принцип действия разверток

Используя инструмент для обработки отверстий, можно достичь высокой точности и качества поверхности - об этом уже сказано выше. Ручная развертка работает с небольшими масштабами. Корректировать отверстия с такой точностью удается потому, что инструмент оснащен несколькими режущими кромками. Так, ручная развертка - в зависимости от вида - может иметь от 4 до 14 режущих кромок. Именно за счет этого снимаются самые малые прикуски.

Работает инструмент следующим образом. Развертку нужно вставить в отверстие, затем, если она ручная, надеть специальный вороток и вращать с помощью него инструмент. Приспособление будет работать не только при вращательных движениях, но и при одновременном продвижении вниз или вверх по оси. Инструмент способен снимать тонкие слои металла - от нескольких десятых до сотых долей миллиметра.

Обрабатывать таким образом можно не только традиционные цилиндрические отверстия, но и конические. Для этого используется развертка коническая. Существует несколько видов этого режущего инструмента. В статье мы рассмотрим каждый из этих видов.

Как выглядит развертка?

А выглядит приспособление следующим образом. Это цилиндрический либо конический стержень, который на рабочей части имеет продольные канавки. Другая же часть его гладкая и может быть оснащена на конце квадратом или коническим хвостовиком.

Рабочая сторона инструмента представлена несколькими отделами. Передняя часть - коническая и короткая. Затем идет непосредственно режущая, после - направляющая часть и, наконец, задняя рабочая.

Вот так выглядит развертка. Инструмент, несмотря на такое большое количество рабочих частей, непосредственно режет металл только приемной или рабочей частью. Короткую заднюю сторону называют калибрующей. Между режущими зубьями образуются канавки. Они предназначены для схода стружки в процессе работы инструмента. Режущие кромки расположены по всей окружности стержня.

Классификация

Как известно, развертки предназначены для финишной чистовой обработки отверстий. В прямой зависимости от технологических требований, при помощи этих инструментов получают отверстия в разных диапазонах допуска - от четвертого класса до первого. От конструкции, а также от качества инструмента зависит точность ее работы. Для разных отверстий используются разная ручная развертка - рассмотрим основные виды.

Что касается характеристик инструмента, то здесь играет роль далеко не один фактор:

• Величины припусков для развертывания.
• Уровень заточки инструмента.
• Геометрия режущей кромки, а также многие другие факторы.

Развертки различают по типу отверстия, для которых они предназначены. Также важна форма режущих зубьев и обрабатываемый материал.

В эксплуатации для выполнения основной части слесарных операций используются: развертка цилиндрическая, регулируемые инструменты, конические. Наряду с ручными, существуют также и машинные. Эти инструменты могут быть разных видов. Существуют цилиндрические, конические, со сменными зубьями, с твердосплавными режущими пластинами.

Включает в себя большую группу инструмента - для конических штифтов, для обработки конической резьбы, под конус Морзе, под метрические конуса. Особенно широко в слесарном деле применяют цилиндрический мелкозернистый инструмент.

Цилиндрическая

Такая развертка предназначена для обработки отверстий цилиндрической формы.

Ручная развертка может использоваться как при помощи воротка, так и электрической дрели на малых оборотах. Этот инструмент может выполняться в цельном виде или же с возможностью регулировки рабочего диаметра.

Коническая

Такой инструмент предназначен для работы с отверстиями конической формы.

Также их можно использовать и для традиционных цилиндрических отверстий.

Черновые, промежуточные, чистовые

Если нужно расширить размер отверстия в серьезных пределах, то здесь не обойтись без комплекта инструментов разной чистоты. Развертка коническая, как и все прочие, разделяется на черновые, промежуточные, и чистовые.

Первый инструмент отличается зубьями, расположенными по всей линии ступенями. Работает такой инструмент следующим образом. Срезается узкая стружка при помощи режущей кромки каждой из ступеней. При этом, если отверстие было цилиндрическим, то после такой обработки оно превращается в ступенчатое коническое.

Промежуточная развертка по металлу может срезать стружку значительно меньшей толщины. Режущая часть различается специальными каналами для стружкоразделения. Чистовые инструменты срезают металл всей рабочей поверхностью. Так, образуется цилиндрическое или коническое отверстие нужного размера. Как видите, принцип работы достаточно простой.

Регулируемая

Современный режущий инструмент такого типа может быть различных конструкций. На рынке можно встретить разжимные и раздвижные модели. Оба типа работают на базе одного принципа - при движении вверх или вниз, диаметр отверстия может уменьшаться или же увеличиваться. Развертка регулируемая двух этих типов различается по тому, как осуществляется затяжка, а также по диапазону размеров.

Так, в разжимной конструкции есть верхняя и нижняя гайка. Размер можно менять в диапазоне от 0.25 до 3 миллиметров. В раздвижных развертках диаметр меняется за счет затяжки винта. Последний заставляет двигаться специальный шарик в корпусе, который разжимает режущие части. Раздвижная развертка регулируемая считается более точной, а максимально увеличить диаметр можно от 0,15 до 0,5 миллиметра.

Что касается последнего типа, то конструктивно инструмент похож на все прочие развертки. Он представляет собой корпус, изготовленный из недорогих сталей и вставных режущих частей. Ножи изготавливают чаще в виде тонких пластин. В качестве материала используются инструментальные стали. Пластины снимаются, поддаются заточке и замене.

Такая развертка по металлу дает возможность изменить диаметр отверстия на десятые и сотые доли миллиметра. В отличии от цельных, они являются более экономичными. В случае износа, ножи можно легко заменить.

Что нужно знать о

Процесс расточки отверстия лучше всего выполнять с применением двух классов инструмента - черновой разверткой и чистовой. Первые изготавливаются чаще из старых и изношенных материалов. Прежде чем развертывать отверстие, его торцевую часть обтачивают. Делается это для того, чтобы развертка могла эффективно работать каждым своим зубом. Это актуально и для деталей из чугуна. Если пренебречь такой предварительно обработкой, есть риск затупить развертку.

В процессе работы с разверткой лучше лишний раз не спешить. Подача должна осуществляться равномерно. Чем медленней будет подаваться инструмент в отверстие, тем лучше финальный результат. Процесс развертывания не предусматривает работу на высоких оборотах, как в случае с дрелью. Опытные слесари рекомендуют отложить электрическую дрель, а вместо нее взять вороток. В данном случае контроль за процессом буде гораздо выше.