Самостоятельная работа по логике. Контрольная работа по информатике и икт "элементы алгебры логики" Пусть а ане нравятся уроки

Иванов, Ожегов, Крысин, Лопатин, Бунин, Фонвизин, Грин, Цейтлин, Дарвин . Мужские фамилии на -ов, -ин (русские и заимствованные) склоняются: словарь Ожегова, рассказ принадлежит Бунину, жду Иванова, беседовать с Крысиным о Грине .

Заимствованные фамилии на -ов, -ин , которые принадлежат иностранцам , в форме творительного падежа имеют окончание -ом (как существительные второго школьного склонения, например стол, столом ): теория предложена Дарвином, фильм снят Чаплином, книга написана Кронином. (Интересно, что так же склоняется псевдоним Грин , принадлежащий русскому писателю: книга написана Грином. ) Омонимичные русские фамилии имеют окончание -ым в форме творительного падежа: с Чаплиным (от диалектного слова чапля "цапля"), с Крониным (от крона ).

Шукшина, Ильина, Петрова, Федорова, Граудина . Женские фамилии на -ина, -ова склоняются. Фамилии типа Смородина, Жемчужина склоняются двояко, в зависимости от склонения мужской фамилии (Ирины Жемчужины и Ирины Жемчужиной, Зои Смородины и Зои Смородиной). Если мужская фамилия – Жемчужин , то правильно: приезд Ирины Жемчужиной . Если же мужская фамилия – Жемчужина , то правильно: приезд Ирины Жемчужины (фамилия склоняется как нарицательное существительное жемчужина ).

Окуджава, Глоба, Щерба, Вайда -а, -я неударное, как правило, склоняются (песни Булата Окуджавы, прогнозы Павла Глобы, фильмы Анджея Вайды).

Гамсахурдиа, Берия, Данелия, Пихоя. Фамилии на -иа не склоняются: книги Константина Гамсахурдиа . В отличие от них, грузинские фамилии на -ия склоняемы:преступления Берии, фильмы Данелии. Фамилии на -оя склоняются по образцу существительного хвоя: о Рудольфе Пихое.

Митта, Сковорода, Кваша . Мужские и женские фамилии славянского происхождения на -а ударное склоняются (об Александре Митте, с Григорием Сковородой, у Игоря Кваши).

Дюма, Золя, Гавальда . Мужские и женские фамилии французского происхождения на -а, -я ударные не склоняются (книги Александра Дюма, Эмиля Золя, Анны Гавальда).

Короленко, Довженко, Шевченко, Лукашенко, Петренко. Мужские и женские фамилии на -ко не склоняются.

Фальконе, Гастелло, Живаго, Дурново, Ландо, Данте, Кони. Мужские и женские фамилии на -о, -е, -и, -у, -ю не склоняются.

Блок, Гафт, Брокгауз, Гашек, Мицкевич, Штирлиц, Даль, Розенталь, Гудзий, Макбет . Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласную, безразлично - мягкую или твердую, склоняются (энциклопедия Брокгауза, поэзия Мицкевича, словарь написан Далем). Женские фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются (к Любови Дмитриевне Блок, воспоминания Надежды Мандельштам).

Черных, Рыжих, Крученых . Мужские и женские фамилии на -ых, -их не склоняются.

Калакуцкая, Калакуцкий, Белая, Белый, Толстая, Толстой . Мужские и женские фамилии, являющиеся по форме прилагательными, склоняются по модели прилагательных:

И. п.: Андрей Белый, Татьяна Толстая

Р. п.: Андрея Белого,Татьяны Толстой

Д. п.: Андрею Белому, Татьяне Толстой

В. п.: Андрея Белого, Татьяну Толстую

Т. п.: с Андреем Белым, с Татьяной Толстой

П. п.: об Андрее Белом, о Татьяне Толстой

См. подробнее...

Россия – страна многонациональная, поэтому тут существует множество самых разных по происхождению имен и фамилий.

Нам приходится подписывать тетради, заполнять документы, при этом мы должны поставить свою фамилию в определенном падеже и не ошибиться с окончанием. Вот здесь-то и поджидают нас трудности. Например, как сказать правильно: «наградить Лянка Елену или Лянку Елену , Бавтрук Тимура или Бавтрука Тимура , Антона Седых или Антона Седого »?

Сегодня мы попробуем разобраться с некоторыми моментами склонения фамилий иноязычных и русскоязычных, мужских и женских.

Начнем с того, что большинство фамилий исконно русских по форме похожи на прилагательные, имеющие суффиксы -ск-, -ин-, -ов- (-ев-) : Хворостовский, Веселкин, Михалков, Иванов, Царев. Они могут иметь форму и мужского, и женского рода, а также употребляться во множественном числе. При этом редко у кого возникнут сложности со склонением таких фамилий.

И. п. (кто? что?) Хворостовский, Хворостовская, Хворостовские.

Р. п. (кого? чего?) Хворостовского, Хворостовской, Хворостовских.

Д. п. (кому? чему?) Хворостовскому, Хворостовской, Хворостовским.

В. п. (кого? что?) Хворостовского, Хворостовскую, Хворостовских.

Т. п. (кем? чем?) Хворостовским, Хворостовской, Хворостовскими.

П. п. (о ком? о чем?) о Хворостовском, о Хворостовской, о Хворостовских.

Однако нужно быть внимательными с фамилиями, оканчивающимися на согласную букву или на мягкий знак. Например, Шакаль, Тавгень, Короб, Прадед. В этом случае склонение будет зависеть от того, лицу какого пола принадлежит фамилия. Если речь идет о женщине, то подобные фамилии являются несклоняемыми, а вот мужские фамилии склоняются, как существительные 2 склонения муж. р. (типа стол, олень). Это не касается фамилий, оканчивающихся на -их (-ых). Например, идти вместе с Шакаль Анной и Шакалем Антоном, говорить о Тавгень Анастасии и о Тавг ене Александре , прогуливаться с Прадед Дарьей и с Прадедом Емельяном.

Некоторые фамилии типа Ребенок, Кравец, Журавель могут иметь вариативное склонение из-за того, что они похожи на нарицательные существительные. При склонении существительных наблюдается выпадение гласной в конце слова (полет журавл я, купать ребенк а), при склонении фамилии гласную можно сохранять, чтобы не допустить искажения либо комического звучания фамилии (написать Журавелю, депеша от Ребенока).

Не склоняются мужские и женские фамилии на -ых (-их). Говорить о Диане Седых и об Антоне Седых , писать Велимиру Крученых и Антонине Крученых.

Все женские и мужские фамилии, оканчивающиеся на гласные, кроме -а или -я, являются несклоняемыми . Например, Артмане, Амаду, Боссюэ, Гёте, Голсуорси, Грамши, Гретри, Дебюсси, Джусойты, Доде, Камю, Корню, Люлли, Манцу, Модильяни, Навои, Руставели, Орджоникидзе, Чабукиани, Энеску и многие другие.

Сюда же относятся фамилии, оканчивающиеся на -о , и фамилии украинского происхождения на -ко . Например, Гюго, Ларошфуко, Леонкавалло, Лонгфелло, Пикассо, Ремесло, Хитрово, Шамиссо, Макаренко, Короленко, Горбатко, Шепитько, Савченко, Живаго, Деревяго и др.

Склонение фамилий, оканчивающихся на -а , вызывает самые большие затруднения. Здесь необходимо учитывать несколько критериев: происхождение фамилии, ударение и букву, после которой -а находится. Попробуем максимально упростить картину.

Не склоняются фамилии на -а , если перед этой буквой идет гласная (наиболее часто у или и ): Гулиа, Моравиа, Делакруа, Эредиа. Это касается в том числе фамилий грузинского происхождения.

Не склоняются фамилии на -а французского происхождения с ударением на последний слог: Дега, Дюма, Люка, Тома, Ферма, Петипа и др.

Все остальные фамилии на -а склоняются в русском языке. Принести Лянке Елене , взять у Шатравки Инны , прочитать Петрарку , вместе с Куросавой , о Глинке , для Александра Митты.

Похожа ситуация со склонением фамилий с конечной -я : не склоняются фамилии французского происхождения с ударением на последний слог (Золя). Все остальные фамилии, оканчивающиеся на -я , склоняются. Например, уговорить Ивана Головню и Елену Головню , писать о Берии , фильм Георгия Данелии.

Таким образом, как Вы могли заметить, нужно знать не так уж и много правил, чтобы правильно склонять свою фамилию по-русски. Мы надеемся, что теперь Вы не допустите ошибок, подписывая тетрадь или заполняя документы! Но если все-таки остались какие-то сомнения, обращайтесь. Наши специалисты всегда постараются помочь!

Удачи Вам и красивого, грамотного, богатого русского языка!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

1. Имена (славянские) на -о типа Левко, Марко, Павло, Петро склоняются по образцу склонения существительных мужского-среднего рода, например: впереди Левка, у Марка; у М. Горького имя Данко не склоняется («...рассказывала о горящем сердце Данко»).

Имена, имеющие параллельные формы на -о – -а (Гаврило – Гаврила, Михаила – Михайла), обычно склоняются по типу существительных женского склонения: у Гаврилы, к Гавриле, с Гаврилой. Другие окончания (у Гаврила, к Гаврилу, с Гаврилом) образуются от другой исходной формы Гаврил.

2. Иностранные имена на согласный звук склоняются независимо от того, употребляются ли они самостоятельно или вместе с фамилией, например: романы Жюля Верна (не «Жюль Верна»), рассказы Марка Твена, пьесы Джона Бойнтона Пристли, сказки Ханса Кристиана Андерсена, книга Пьера-Анри Симона. Частичные отступления наблюдаются при двойных французских именах, например: философские воззрения Жан-Жака Руссо, вечер памяти Жан-Ришара Блока (первое имя не склоняется, см. § 13, п. 3).

3. При склонении славянских имен и фамилий используются формы русского склонения (в частности, в косвенных формах сохраняются беглые гласные), например: Эдек, Владек (польские имена) – Эдека, Владека (не «Эдка», «Владка»); Карел Чапек – Карела Чапека, (не «Чапка»); Вацлав Гавел – Вацлава Гавела (не «Гавла»).

4. Русские и иноязычные фамилии, оканчивающиеся на согласный звук, склоняются, если относятся к мужчинам, и не склоняются, если относятся к женщинам. Ср.: студенту Кулику – студентке Кулик, у Джорджа Буша – у Барбары Буш. Частые отступления от правила (несклоняемость русских мужских фамилий, оканчивающихся на согласный звук) наблюдаются в тех случаях, когда фамилия созвучна с названием животного или предмета неодушевленного (Гусь, Ремень), во избежание непривычных или курьезных сочетаний, например: «У господина Гуся», «гражданину Ремню». Нередко в подобных случаях, особенно в официально-деловой речи, сохраняют фамилию в начальной форме (ср.: тренироваться у Станислава Жук) или вносят изменения в данный тип склонения, например, сохраняют в формах косвенных падежей беглый гласный звук (ср.: высоко оценить мужество Константина Кобеца).

5. Не склоняются фамилии на -аго, -ако, -яго, -ых, -их, -ово : Шамбинаго, Плевако, Дубяго, Красных, Долгих, Дурново. Только в просторечии встречаются формы типа «у Ивана Седыха».

6. Иностранные фамилии, оканчивающиеся на гласный звук (кроме неударяемых -а, -я , с предшествующим согласным) не склоняются, например: романы Золя, стихотворения Гюго, оперы Бизе, музыка Пунчини, пьесы Шоу, стихи Салмана Рушди.

Нередко под это правило подводятся и славянские (польские и чешские) фамилии на -ски и -ы : мнения Збигнева Бжезински (американский общественно-политический деятель), словарь Покорны (чешский лингвист). Следует, однако, иметь ввиду, что тенденция к передаче подобных фамилий в соответствии с их звучанием в языке-источнике (ср. написание польских фамилий Глиньски, Лещиньска – с буквой ь перед ск ) сочетается с традицией их передачи по русскому образцу в написании и склонении: произведения польского писателя Красиньского, выступления певицы Эвы Бандровской-Турской, концерт пианистки Черны-Стефаньской, статья Октавии Опульской-Данецкой и т.п. Чтобы избежать трудностей в функционировании подобных фамилий в русском языке, целесообразно оформлять их по образцу склонения русских мужских и женских фамилий на -ский, -цкий, -ый, -ая . Аналогично склоняются польские сочетания, например: Армия Крайова, Армии Крайовой и т.п.

Из фамилий на ударяемые -а склоняются только славянские: У писателя Майбороды, к философу Сковороде, фильмы Александра Митты.

Нерусские фамилии на неударяемые -о, -я (в основном славянские и романские) склоняются, например: творчество Яна Неруды, стихи Пабло Неруды, труды почетного академика Н.Ф. Гамалеи, утопизм Кампанеллы, жестокость Торквемады, фильм с участием Джульетты Мазины; но фильмы с участием Генри Фонда и Джейн Фонда. Не склоняются также финские фамилии на -а: встреча с Куусела. Иностранные фамилии на -иа не склоняются, например: сонеты Эредиа, рассказы Гулиа; на -ия – склоняются, например: зверства Берии.

Колебания наблюдаются в употреблении фамилий грузинских, японских и некоторых других; ср.: ария в исполнении Зураба Соткилава, песни Окуджавы, правительство Ардзинбы, 100 лет со дня рождения Сен-Катаямы, политика генерала Танака, произведения Рюноске Акутагавы. В последние годы явно наметилась тенденция к склонению подобных фамилий.

7. Украинские фамилии на -ко (-енко) в художественной литературе обычно склоняются, хотя по разному типу склонения (как слова мужского или среднего рода), например: приказ голове Евтуху Макогоненку; стихотворение, посвященное Родзянке М.В. В современной печати такие фамилии, как правило, не склоняются, например: юбилей Тараса Шевченко, воспоминания о В.Г. Короленко. В некоторых случаях, однако, их изменяемость целесообразна для внесения в текст ясности, ср.: письмо В.Г. Короленко А.В. Луначарскому – письмо, адресованное В.Г. Короленке. Ср. также у Чехова: «Под вечер Беликов... поплелся к Коваленкам». Не склоняются фамилии на -ко ударное: театр имени Франко, рассказы Ляшко.

8. В составных именах и фамилиях корейских, вьетнамских, бирманских склоняется последняя часть (если она оканчивается на согласный звук), например: речь Цой Хена, заявление Фам Ван Донга, беседа с У Ку Лингом.

9. В русских двойных фамилиях первая часть склоняется, если она сама по себе употребляется как фамилия, например: песни Соловьева-Седого, картины Соколова-Скаля. Если же первая часть не образует фамилии, то она не склоняется, например: исследования Грум-Гржимайло, в роли Сквозник-Дмухановского, скульптура Демут-Малиновского.

10. Нерусские фамилии, относящиеся к двум или нескольким лицам, в одних случаях ставятся в форме множественного числа, в других – в форме единственного:

1) если при фамилии имеются два мужских имени, то она ставится в форме множественного числа, например: Генрих и Томас Манны, Август и Жан Пикары, Адольф и Михаил Готлибы; также отец и сын Ойстрахи;
- 2) при двух женских именах фамилия ставится в форме единственного числа, например: Ирина и Тамара Пресс (ср. несклоняемость фамилий на согласный звук, относящихся к женщинам);
- 3) если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа, например: Франклин и Элеонора Рузвельт, Рональд и Нэнси Рейган, Ариадна и Петр Тур, Нина и Станислав Жук;
- 4) в единственном числе ставится также фамилия, если она сопровождается двумя нарицательными существительными, указывающими на разный пол, например: господин и госпожа Клинтон, лорд и леди Гамильтон; однако при сочетаниях муж и жена, брат и сестра фамилия чаще употребляется в форме множественного числа: муж и жена Эстремы, брат и сестра Ниринги;
- 5) при слове супруги фамилия ставится в форме единственного числа, например: супруги Кент, супруги Мейджор;
- 6) при слове братья фамилия тоже обычно ставится в форме единственного числа, например: братья Гримм, братья Шпигель, братья Шелленберг, братья Покрасс; то же при слове сёстры: сёстры Кох;
- 7) при слове семья фамилия обычно ставится в форме единственного числа, например: семья Оппенгейм, семья Гофман-сталь.

11. В сочетаниях русских фамилий с именами числительными используются такие формы: два Петрова, оба Петрова, двое Петровых, оба брата Петровы, два друга Петровы; двое (оба) Жуковских; две (обе) Жуковские. Под это правило подводятся также сочетания числительных с иноязычными фамилиями: оба Шлегеля, два брата Манны.

12. Женские отчества склоняются по типу склонения имен существительных, а не имен прилагательных, например: у Анны Ивановны, к Анне Ивановне, с Анной Ивановной.

| § 1.3. Элементы алгебры логики

Уроки 8 - 12
§ 1.3. Элементы алгебры логики

Ключевые слова:

алгебра логики
высказывание
логическая операция
конъюнкция
дизъюнкция
отрицание
логическое выражение
таблица истинности
законы логики

1.3.1. Высказывание

Алгебра в широком смысле этого слова - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами . Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.

Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания .

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное .

Например , относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six Is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Например , предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того, чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.

Относительно предложения «Компьютерная графика - самая интересная тема в курсе школьной информатики» также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно. Подумайте сами почему.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Например , не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл?».

Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков - математики, физики, химии и т. п.

Примерами высказываний могут служить:

«Na - металл» (истинное высказывание);
«Второй закон Ньютона выражается формулой F=m а» (истинное высказывание);
«Периметр прямоугольника с длинами сторон a и b равен а b» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:

«3 + 5 = 2 4» (истинное высказывание);
«II + VI > VIII» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные. Например, предложение «X < 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Обоснование истинности или ложности высказываний решается теми науками, к сфере которых они относятся. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Её интересует только то, истинно или ложно данное высказывание. В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными. При этом если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно - нулём (Б = 0). 0 и 1, обозначающие значения логических переменных, называются логическими значениями.

Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний.

Оперируя логическими переменными, которые могут быть равны только 0 или 1, алгебра логики позволяет свести обработку информации к операциям с двоичными данными. Именно аппарат алгебры логики положен в основу компьютерных устройств хранения и обработки информации. С применением элементов алгебры логики вы будете встречаться и во многих других разделах информатики.

1.3.2. Логические операции

Высказывания бывают простые и сложные . Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.

Рассмотрим основные логические операции, определённые над высказываниями. Все они соответствуют связкам, употребляемым в естественном языке.

Конъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль», В = «Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике». Очевидно, новое высказывание «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.

Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: ∧, , И, &. Например: А ∧ В, А В, А И В, А & Б.

Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы А и В), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: 00, 01, 10, 11. В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

Иначе конъюнкцию называют логическим умножением. Подумайте почему.

Дизъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу», В = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики». Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.

Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотренных высказываний.

Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ∨, |, ИЛИ, +. Например: A∨B, А|В, А ИЛИ Б, А+Б.

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Иначе дизъюнкцию называют логическим сложением. Подумайте почему.

Инверсия

Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ, ¬, ‾. Например: НЕ А, ¬А, .

Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Инверсию иначе называют логическим отрицанием.

Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, «У меня дома нет компьютера». Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке одно и то же, «Я знаю китайский язык». Отрицанием высказывания «Все юноши 9-х классов - отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши 9-х классов - отличники», другими словами, «Не все юноши 9-х классов - отличники».

Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что...», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».

Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения - выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очерёдности: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Изменить порядок выполнения операций можно с помощью расстановки скобок.

Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Пример 1 . Пусть А = «На Web-странице встречается слово "крейсер"», В = «На Web-странице встречается слово "линкор"». Рассматривается некоторый сегмент сети Интернет, содержащий 5 000 000 Web-страниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание A v В - для 7000 страниц. Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание?

а) НЕ (А ИЛИ В);

в) На Web-странице встречается слово "крейсер" и не встречается слово " линкор".

Решение . Изобразим множество всех Web-страниц рассматриваемого сектора сети Интернет кругом, внутри которого разместим два круга: одному из них соответствует множество Web-страниц, где истинно высказывание А, второму - где истинно высказывание В (рис. 1.3).

Рис. 1.3.
Графическое изображение множеств Web-страниц

Изобразим графически множества Web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) - в) (рис. 1.4)

Рис. 1.4.
Графическое изображение множеств Web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) - в)

Построенные схемы помогут нам ответить на вопросы, содержащиеся в задании.

Выражение А ИЛИ В истинно для 7000 Web-страниц, а всего страниц 5 000 000. Следовательно, выражение А ИЛИ В ложно для 4 993 000 Web-страниц. Иначе говоря, для 4 993 000 Web-страниц истинно выражение НЕ (А ИЛИ В).

Выражение A ∨ B истинно для тех Web-страниц, где истинно А (4800), а также тех Web-страниц, где истинно В (4500). Если бы все Web-страницы были различны, то выражение A v В было бы истинно для 9300 (4800 + 4500) Web-страниц. Но, согласно условию, таких Web-страниц всего 7000. Это значит, что на 2300 (9300 - 7000) Web-страницах встречаются оба слова одновременно. Следовательно, выражение А & В истинно для 2300 Web-страниц.

Чтобы выяснить, для скольких Web-страниц истинно высказывание А и одновременно ложно высказывание В, следует из 4800 вычесть 2300. Таким образом, высказывание «На Web-странице встречается слово "крейсер" И не встречается слово "линкор" » истинно на 2500 Web-страницах.

Самостоятельно запишите логическое выражение, соответствующее рассмотренному высказыванию.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcoir.edu.ru/) размещён информационный модуль «Высказывание. Простые и сложные высказывания. Основные логические операции». Знакомство с этим ресурсом позволит вам расширить представления по изучаемой теме.

1.3.3. Построение таблиц истинности для логических выражений

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности следует:

подсчитать n - число переменных в выражении;
подсчитать общее число логических операций в выражении;
установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов;
определить число столбцов в таблице: число переменных + число операций;
заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции в соответствии с последовательностью, установленной в п. 3;
определить число строк в таблице (не считая шапки таблицы) m = 2n;
выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n - 1;
провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Построим таблицу истинности для логического выражения A ∨ А & В. В нём две переменные, две операции, причём сначала выполняется конъюнкция, а затем - дизъюнкция. Всего в таблице будет четыре столбца:

Наборы входных переменных - это целые числа от О до 3, представленные в двухразрядном двоичном коде: 00, 01, 10, 11. Заполненная таблица истинности имеет вид:

Обратите внимание, что последний столбец (результат) совпал со столбцом А. В таком случае говорят, что логическое выражение A ∨ А & Б равносильно логическому выражению А.

1.3.4. Свойства логических операций

Рассмотрим основные свойства (законы) алгебры логики.

Переместительный (коммутативный) закон

для логического умножения:

А & В = В & А;

для логического сложения:

A ∨ B = В ∨ А.

Сочетательный (ассоциативный) закон

для логического умножения:

(А & В) & С = А & (B & С);

для логического сложения:

(A ∨ B) ∨ C = A ∨(B ∨ C).

При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

Распределительный (дистрибутивный) закон

для логического умножения:

А & (В ∨ С) = (А & В) ∨ (А & С);

для логического сложения:

A ∨ (B & С) = (A ∨ В) & (A ∨ С).

Закон двойного отрицания

Закон исключения третьего

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе - ложно, третьего не дано.

Закон повторения

для логического умножения:
для логического сложения:

Законы операций с 0 и 1

для логического умножения:

А & 0 = 0; А & 1 = А;

для логического сложения:

A ∨ O = A; A ∨ l = l.

Законы общей инверсии

Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности.

Докажем распределительный закон для логическического сложения:

A ∨ (В & С) = (А ∨ В) & (A ∨ С).

Совпадение столбцов, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона для логического сложения.

Пример 2 . Найдём значение логического выражения для числа Х = 0.

Решение . При X = 0 получаем следующее логическое выражение: . Так как логические выражения 0 < 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Решение логических задач

Рассмотрим несколько способов решения логических задач.

Задача 1 . Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:

Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал.

Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля.

Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа.

Бабушка знала, что один из её внуков, назовём его правдивым, оба раза сказал правду; второй, назовём его шутником, оба раза сказал неправду; третий, назовём его хитрецом, один раз сказал правду, а другой раз - неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто из внуков разбил вазу?

Решение. Пусть К = «Коля разбил вазу», В = «Вася разбил вазу», С = «Серёжа разбил вазу». Составим таблицу истинности, с которой представим высказывания каждого мальчика 1 .

1 С учётом того, что ваза разбита одним внуком, можно было составлять не всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий следуюнще наборы входных переменных: 001, 010, 100.

Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строки, содержащие в каком-либо порядке три комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10). Таких строк в таблице оказалось две (они отмечены галочками). Согласно второй из них, вазу разбили Коля и Вася, что противоречит условию. Согласно первой из найденных строк, вазу разбил Серёжа, он же оказался хитрецом. Шутником оказался Вася. Имя правдивого внука - Коля.

Задача 2 . В соревнованиях по гимнастике участвуют Алла, Валя, Сима и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:

Сима будет первой, Валя - второй;
Сима будет второй, Даша - третьей;
Алла будет второй, Даша - четвёртой.

По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все они оказались на разных местах?

Решение . Рассмотрим простые высказывания:

C 1 = «Сима заняла первое место»;

В 2 = «Валя заняла второе место»;

С 2 = «Сима заняла второе место»;

Д 3 = «Даша заняла третье место»;

А 2 = «Алла заняла второе место»;

Д 4 = «Даша заняла четвёртое место».

Так как в каждом из трёх предположений одно из высказываний истинно, а другое ложно, то можно заключить следующее:

C 1 + В 2 = 1, С 1 В 2 = 0;
С 2 + Д 3 = 1, С 2 Д 3 = 0;
А 2 + Д 4 = 1, А 2 Д 4 = 0.

Логическое произведение истинных высказываний будет истинным:

(С 1 + В 2) (С 2 + Д 3) (А 2 + Д 4) = 1.

На основании распределительного закона преобразуем левую часть этого выражения:

(С 1 С 2 + С 1 Д 3 + В 2 С 2 + В 2 Д 3) (А 2 + Д 4) = 1.

Высказывание С 1 С 2 означает, что Сима заняла и первое, и второе места. Согласно условию задачи, это высказывание ложно. Ложным является и высказывание В 2 С 2 . Учитывая закон операций с константой 0, запишем:

(С 1 Д 3 + В 2 Д 3) (А 2 +Д 4) = 1.

Дальнейшее преобразование левой части этого равенства и исключение заведомо ложных высказываний дают:

С 1 Д 3 А 2 + С 1 Д 3 Д 4 + В 2 Д 3 А 2 + В 2 Д 3 Д 4 = 1.

C 1 Д 3 А 2 = 1.

Из последнего равенства следует, что С 1 = 1, Д 3 = 1, А 2 = 1. Это означает, что Сима заняла первое место, Алла - второе, Даша - третье. Следовательно, Валя заняла четвёртое место.

Познакомиться с другими способами решения логических задач, а также принять участие в Интернет-олимпиадах и конкурсах по их решению вы сможете на сайте «Математика для школьников» (http://www.kenqyry.com/) .

На сайте http://www.kaser.com/ вы сможете скачать демонстрационную версию очень полезной, развивающей логику и умение рассуждать логической головоломки Шерлок.

1.3.6. Логические элементы

Алгебра логики - раздел математики, играющий важную роль в конструировании автоматических устройств, разработке аппаратных и программных средств информационных и коммуникационных технологий.

Вы уже знаете, что любая информация может быть представлена в дискретной форме - в виде фиксированного набора отдельных значений. Устройства, которые обрабатывают такие значения (сигналы), называются дискретными. Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом.

На рис. 1.5 приведены условные обозначения (схемы) логических элементов, реализующих логическое умножение, логическое сложение и инверсию.

Рис 1.5.
Логические элементы

Логический элемент И (конъюнктор) реализует операцию логического умножения (рис. 1.5, а). Единица на выходе этого элемента появится только тогда, когда на всех входах будут единицы.

Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) реализует операцию логического сложения (рис. 1.5, б). Если хотя бы на одном входе будет единица, то на выходе элемента также будет единица.

Логический элемент НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания (рис. 1.5, в). Если на входе элемента О, то на выходе 1 и наоборот.

Компьютерные устройства, производящие операции над двоичными числами, и ячейки, хранящие данные, представляют собой электронные схемы, состоящие из отдельных логических элементов. Более подробно эти вопросы будут раскрыты в курсе информатики 10-11 классов.

Пример 3 . Проанализируем электронную схему, т. е. выясним, какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном наборе сигналов на входах.

Решение . Все возможные комбинации сигналов на входах А к В внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему.

Таблицу истинности можно построить и по логическому выражению, соответствующему электронной схеме. Последний логический элемент в рассматриваемой схеме - конъюнктор. В него поступают сигналы от входа Л и от инвертора. В свою очередь, в инвертор поступает сигнал от входа В. Таким образом,

Составить более полное представление о логических элементах и электронных схемах вам поможет работа с тренажёром «Логика» (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm).

Самое главное

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Основные логические операции, определённые над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция .

Таблицы истинности для основных логических операций:

При вычислении логических выражений сначала выполняются действия в скобках. Приоритет выполнения логических операций:

Вопросы и задания

Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями.

Какого цвета этот дом?
Число X не превосходит единицы.
4X + 3.
Посмотрите в окно.
Пейте томатный сок!
Эта тема скучна.
Рикки Мартин - самый популярный певец.
Вы были в театре?

Приведите по одному примеру истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы.
В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.

Число 376 чётное и трёхзначное.
Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.
Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

Постройте отрицания следующих высказываний.

Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин».
Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
Число 1 есть простое число.
Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами.
Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
Коля решил все задания контрольной работы.
Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.
Некоторые млекопитающие не живут на суше.

Пусть А = «Ане нравятся уроки математики», а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке:

Рассмотрите представленные на рисунке электрические схемы:

На них изображены известные вам из курса физики параллельное и последовательное соединения переключателей. В первом случае, чтобы лампочка загорелась, должны быть включены оба переключателя. Во втором случае достаточно, чтобы был включён один из переключателей. Попытайтесь самостоятельно провести аналогию между элементами электрических схем и объектами и операциями алгебры логики:

Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот её фрагмент:

По запросу сомики & гуппи было найдено 0 сайтов, по запросу сомики & меченосцы - 20 сайтов, а по запросу меченосцы & гуппи - 10 сайтов.

Сколько сайтов будет найдено по запросу сомики | меченосцы | гуппи?

Для скольких сайтов рассматриваемого сегмента ложно высказывание «Сомики - ключевое слово сайта ИЛИ меченосцы - ключевое слово сайта ИЛИ гуппи - ключевое слово сайта»?

Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

Проведите доказательство рассмотренных в параграфе логических законов с помощью таблиц истинности.
Даны три числа в десятичной системе счисления: А = 23, B = 19, С = 26. Переведите А, B и С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (A ∨ B) & С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.
Найдите значения выражений:

Найдите значение логического выражения для указанных значений числа X:

1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4

Пусть А = «Первая буква имени - гласная», В = «Четвёртая буква имени согласная». Найдите значение логического выражения для следующих имён:

4) ФЁДОР

Разбирается дело Джона, Брауна и Смита. Известно, что один из них нашёл и утаил клад. На следствии каждый из подозреваемых сделал два заявления:

Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это».

Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это».

Браун: «Я не делал этого. Джон не делал этого».

Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто из подозреваемых должен быть оправдан?

Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:
1. Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».
2. Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке».
3. Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».
  Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
Выясните, какой сигнал должен быть на выходе электронной схемы при каждом возможном наборе сигналов на входах. Составьте таблицу работы схемы. Каким логическим выражением описывается схема?

Ключевые слова:

алгебра логики
высказывание
логическая операция
конъюнкция
дизъюнкция
отрицание
логическое выражение
таблица истинности
законы логики

1.3.1. Высказывание

Алгебра в широком смысле этого слова - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами. Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.

Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.

Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six Is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.

Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того, чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.

Например, не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл? ».

Примерами высказываний могут служить:

«Na - металл» (истинное высказывание);
«Второй закон Ньютона выражается формулой F=m а» (истинное высказывание);
«Периметр прямоугольника с длинами сторон a u b равен а b» (ложное высказывание).

«34-5 = 2 4» (истинное высказывание);
«II4-VI > VIII» (ложное высказывание).

1.3.2. Логические операции

Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.

Конъюнкция

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: , , И, &. Например: А В, А В, А И В, А&Б.

Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

Иначе конъюнкцию называют логическим умножением. Подумайте почему.

Дизъюнкция

Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотренных высказываний.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: v, |, ИЛИ, +. Например: AvB, А|В, А ИЛИ Б, А+Б.

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Иначе дизъюнкцию называют логическим сложением. Подумайте почему.

Инверсия

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ, ¬, ‾. Например: НЕ, ¬, ‾.

Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Инверсию иначе называют логическим отрицанием.

Пример 1 . Пусть А = «На Web-странице встречается слово "крейсер"», В = «На Web-странице встречается слово "линкор"». Рассматривается некоторый сегмент сети Интернет, содержащий 5 000 000 Web-страниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание A v В - для 7000 страниц. Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание?

а) НЕ (А ИЛИ В);

в) На Web-странице встречается слово "крейсер" и не встречается слово " линкор".

Решение . Изобразим множество всех Web-страниц рассматриваемого сектора сети Интернет кругом, внутри которого разместим два круга: одному из них соответствует множество Web-страниц, где истинно высказывание А, второму - где истинно высказывание В (рис. 1.3).

Рис. 1.3.
Графическое изображение множеств Web-страниц

Изобразим графически множества Web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) - в) (рис. 1.4)

Рис. 1.4.
Графическое изображение множеств Web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) - в)

Построенные схемы помогут нам ответить на вопросы, содержащиеся в задании.

Выражение A v B истинно для тех Web-страниц, где истинно А (4800), а также тех Web-страниц, где истинно В (4500). Если бы все Web-страницы были различны, то выражение A v В было бы истинно для 9300 (4800 + 4500) Web-страниц. Но, согласно условию, таких Web-страниц всего 7000. Это значит, что на 2300 (9300 - 7000) Web-страницах встречаются оба слова одновременно. Следовательно, выражение А & В истинно для 2300 Web-страниц.

Самостоятельно запишите логическое выражение, соответствующее рассмотренному высказыванию.

1.3.3. Построение таблиц истинности для логических выражений

подсчитать n - число переменных в выражении;
подсчитать общее число логических операций в выражении;
установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов;
определить число столбцов в таблице: число переменных + число операций;
заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции в соответствии с последовательностью, установленной в п. 3;
определить число строк в таблице (не считая шапки таблицы) m = 2n;
выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n - 1;
провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Построим таблицу истинности для логического выражения A v А & В. В нём две переменные, две операции, причём сначала выполняется конъюнкция, а затем - дизъюнкция. Всего в таблице будет четыре столбца:

Обратите внимание, что последний столбец (результат) совпал со столбцом А. В таком случае говорят, что логическое выражение A v А & Б равносильно логическому выражению А.

1.3.4. Свойства логических операций

Рассмотрим основные свойства (законы) алгебры логики.

Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности.

Докажем распределительный закон для логическического сложения:

A v (В & С) = (А V В) & (A v С).

Пример 2 . Найдём значение логического выражения для числа Х = 0.

Решение . При X = 0 получаем следующее логическое выражение: . Так как логические выражения 0 < 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Решение логических задач

Рассмотрим несколько способов решения логических задач.

Задача 1 . Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:

Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал.

Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля.

Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа.

Решение. Пусть К = «Коля разбил вазу», В = «Вася разбил вазу», С = «Серёжа разбил вазу». Составим таблицу истинности, с которой представим высказывания каждого мальчика 1 .