Что такое нок чисел. Наименьшее общее кратное (НОК)

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Определение 1

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

Пример 1

Согласно данному выше определению для числа 12 общими кратными числами будут 3 и 2 . Также число 12 будет общим кратным для чисел 2 , 3 и 4 . Числа 12 и - 12 являются общими кратными числами для чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12 .

В то же время общим кратным числом для чисел 2 и 3 будут числа 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 и целый ряд любых других.

Если мы возьмем числа, которые делятся на первое число из пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Так, для чисел 2 и 3 числа 16 , − 27 , 5 009 , 27 001 не будут общими кратными.

0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Если вспомнить свойство делимости относительно противоположных чисел, то получается, что некоторое целое число k будет общим кратным данных чисел точно также, как и число – k . Это значит, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Пример 2

Предположим, что нам даны k целых чисел a 1 , a 2 , … , a k . Число, которое мы получим в ходе умножения чисел a 1 · a 2 · … · a k согласно свойству делимости будет делиться на каждый из множителей, который входил в изначальное произведение. Это значит, что произведение чисел a 1 , a 2 , … , a k является наименьшим общим кратным для этих чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Пример 3

Предположим, что у нас есть некоторое число k . Тогда произведение чисел k · z , где z – это целое число, будет являться общим кратным чисел k и z . С учетом того, что количество чисел бесконечно, то и количество общих кратных бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Определение 2

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Наименьшее общее кратное существует для любого количества данных чисел. Наиболее употребимой для обозначения понятия в справочной литературе является аббревиатура НОК. Краткая запись наименьшего общего кратного для чисел a 1 , a 2 , … , a k будет иметь вид НОК (a 1 , a 2 , … , a k) .

Пример 4

Наименьшее общее кратное чисел 6 и 7 – это 42 . Т.е. НОК (6 , 7) = 42 . Наименьшее общее кратное четырех чисел - 2 , 12 , 15 и 3 будет равно 60 . Краткая запись будет иметь вид НОК (- 2 , 12 , 15 , 3) = 60 .

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Теорема 1

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Доказательство 1

Предположим, что мы имеем некоторое число M , которое кратно числам a и b . Если число M делится на a , также существует некоторое целое число z , при котором справедливо равенство M = a · k . Согласно определению делимости, если M делится и на b , то тогда a · k делится на b .

Если мы введем новое обозначение для НОД (a , b) как d , то сможем использовать равенства a = a 1 · d и b = b 1 · d . При этом оба равенства будут взаимно простыми числами.

Мы уже установили выше, что a · k делится на b . Теперь это условие можно записать следующим образом:
a 1 · d · k делится на b 1 · d , что эквивалентно условию a 1 · k делится на b 1 согласно свойствам делимости.

Согласно свойству взаимно простых чисел, если a 1 и b 1 – взаимно простые числа, a 1 не делится на b 1 при том, что a 1 · k делится на b 1 , то b 1 должно делиться k .

В этом случае уместно будет предположить, что существует число t , для которого k = b 1 · t , а так как b 1 = b: d , то k = b: d · t .

Теперь вместо k подставим в равенство M = a · k выражение вида b: d · t . Это позволяет нам прийти к равенству M = a · b: d · t . При t = 1 мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел a и b , равное a · b: d , при условии, что числа a и b положительные.

Так мы доказали, что НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

Определение 3

Теорема имеет два важных следствия:

кратные наименьшего общего кратного двух чисел совпадает с общими кратными этих двух чисел;
наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обосновать эти два факта не составляет труда. Любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M = НОК (a , b) · t при некотором целом значении t . Так как a и b взаимно простые, то НОД (a , b) = 1 , следовательно, НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) = a · b: 1 = a · b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Теорема 2

Предположим, что a 1 , a 2 , … , a k – это некоторые целые положительные числа. Для того, чтобы вычислить НОК m k этих чисел, нам необходимо последовательно вычислить m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k - 1 , a k) .

Доказательство 2

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

общие кратные чисел a 1 и a 2 совпадают с кратными их НОК, фактически, они совпадают с кратными числа m 2 ;
общие кратные чисел a 1 , a 2 и a 3 m 2 и a 3 m 3 ;
общие кратные чисел a 1 , a 2 , … , a k совпадают с общими кратными чисел m k - 1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k ;
в связи с тем, что наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , … , a k является m k .

Так мы доказали теорему.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК - это одно из основных, особенно часто применяемое в Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

Определение

Общее кратное - число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

НОК - это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

Пример № 1

Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

Пример № 2

Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК - обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Первый этап завершен.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК - это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

Проверка:

6300 / 300 = 21 - верно;

6300 / 1260 = 5 - верно.

Правильность полученного результата определяется посредством проверки - деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

Что значит НОК в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта - не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве - трем, пяти и так далее. Чем больше чисел - тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, - для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

Проверка:

1) 3000 / 250 = 12 - верно;

2) 3000 / 600 = 5 - верно;

3) 3000 / 1500 = 2 - верно.

Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

Еще один способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24, ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.

В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.

Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).

Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.

Например, НОК (10, 11) = 110.

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Теорема.

Доказательство.

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b . То есть, М делится на a , и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k . Но М делится и на b , тогда a·k делится на b .

Обозначим НОД(a, b) как d . Тогда можно записать равенства a=a 1 ·d и b=b 1 ·d , причем a 1 =a:d и b 1 =b:d будут взаимно простыми числами . Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b , можно переформулировать так: a 1 ·d·k делится на b 1 ·d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 ·k делится на b 1 .

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t .

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1 , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.a 1 , a 2 , …, a k совпадают с общими кратными чисел m k-1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k . А так как наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , …, a k является m k .

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Виноградов И.М. Основы теории чисел.
Михелович Ш.Х. Теория чисел.
Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Как найти наименьшее общее кратное?

Нужно найти каждый множитель каждого из двух чисел, у которых находим наименьшее общее кратное, а потом перемножить друг на друга множители, которые совпали у первого и второго числа. Результатом произведения будет искомое кратное.

Например у нас есть числа 3 и 5 и нам надо найти НОК(наименьшее общее кратное). Нам надо умножать и тройку и пятрку на все числа начиная с 1 2 3 ... и т д пока мы не увидим одинаковое число и там и там.

Множим тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

Множим пятрку и получаем: 5, 10, 15

Метод разложения на простые множители - самый классический для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) для нескольких чисел. Наглядно и просто продемонстрирован этот метод в следующем видеоролике:

Складывать, умножать, делить, приводить к общему знаменателю и другие арифметические действия очень увлекательное занятие, особенно восхищают примеры, занимающие целый лист.

Итак найти общее кратное для двух чисел, которое будет являться самым маленьким числом на которое делятся два числа. Хочу заметить, что не обязательно в дальнейшем прибегать к формулам, чтобы найти искомое, если можешь считать в уме (а это можно натренировать), то цифры сами всплывают в голове и потом дроби щелкаются как орешки.

Для начала усвоим, что можно умножить два числа друг на друга, а потом эту цифру уменьшать и делить поочередно на данные два числа, так мы найдем наименьшее кратное.

Например, два числа 15 и 6. Умножаем и получаем 90. Это явно больше число. Причем 15 делится на 3 и 6 делится на 3, значит 90 тоже делим на 3. Получаем 30. Пробуем 30 разделить 15 равно 2. И 30 делим 6 равно 5. Так как 2 это предел, то получается, что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.

С цифрами побольше будет немного трудней. но если знать, какие цифры дают нулевой остаток при делении или умножении, то трудностей, в принципе, больших нет.

Как найти НОК

Вот видео, в котором вам будет предложено два способа нахождения наименьшего общего кратного (НОК). Поупражнявшись в использовании первого из предложенных способов, вы сможете лучше понять, что такое наименьшее общее кратное.

Представляю ещ один способ нахождения наименьшего общего кратного. Рассмотрим его на наглядном примере.

Необходимо найти НОК сразу трх чисел: 16, 20 и 28.

Представляем каждое число как произведение его простых множителей:

Записываем степени всех простых множителей:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Выбираем все простые делители (множители) с наибольшими степенями, перемножаем их и находим НОК:

НОК = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

НОК(16, 20, 28) = 560.

Таким образом, в итоге расчета получилось число 560. Оно является наименьшим общим кратным, то есть делится на каждое из трх чисел без остатка.

Наименьшее общее кратное число - это такая цифра, которая разделится на несколько предложенных чисел без остатка. Для того, чтобы такую цифру высчитать, надо взять каждое число и разложить его на простые множители. Те цифры, которые совпадают, убираем. Оставляет всех по одной, перемножаем их между собой по очереди и получаем искомое - наименьшее общее кратное.

НОК, или наименьшее общее кратное , - это наименьшее натуральное число двух и более чисел, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.

Первым делом нужно разложить данные числа на простые множители.

Для 30 - это 2 х 3 х 5.

Для 42 - это 2 х 3 х 7. Так как 2 и 3 имеются в разложении числа 30, то вычеркиваем их.

Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5 .
Теперь нужно домножить их на недостающий множитель, который имеем при разложении 42,а это 7. Получаем 2 х 3 х 5 х 7.
Находим, чему равно 2 х 3 х 5 х 7 и получаем 210.

В итоге получаем, что НОК чисел 30 и 42 равен 210.

Чтобы найти наименьшее общее кратное , нужно выполнить последовательно несколько простых действий. Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12

Разлагаем оба числа на простые множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
Сокращаем одинаковые множители у одного из чисел. В нашем случае совпадают 2*2, сократим их для числа 12, тогда у 12 останется один множитель: 3.
Находим произведение всех оставшихся множителей: 2*2*2*3=24

Проверяя, убеждаемся, что 24 делится и на 8 и на 12, причем это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Вот мы и нашли наименьшее общее кратное .

Попробую объяснить на примере цифр 6 и 8. Наименьшее общее кратное - это число, которое можно разделить на эти числа(в нашем случае 6 и 8) и остатка не будет.

Итак, начинаем умножать сначала 6 на 1, 2, 3 и т. д и 8 на 1, 2, 3 и т. д.