तीन प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपण ड्राइंग। तीन प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपण

विषय: एक बिंदु को तीन तलों पर प्रक्षेपित करना।

लक्ष्य और उद्देश्य: देना सामान्य जानकारीप्रक्षेपण के बारे में. छात्रों को आयताकार प्रक्षेपणों की प्रणाली में एक बिंदु की छवियां बनाने से परिचित कराएं।

उपकरण: टेबल, हैंडआउट्स, ड्राइंग आपूर्तियाँ

पाठ का प्रकार: नए ज्ञान के निर्माण पर पाठ

साहित्य: । चित्रकला।

वैज्ञानिक और पद्धति संबंधी पत्रिका। स्कूल और उद्योग

चित्रकला

रचनात्मक ड्राइंग कार्य.

ड्राइंग पर शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

तकनीकी ड्राइंग असाइनमेंट

1 व्याख्यान के रूप में प्रक्षेपण के बारे में, किसी बिंदु की छवि के बारे में सैद्धांतिक सामग्री दें। एक बिंदु को किसी विशेष वस्तु की छवि का एक तत्व माना जाता है।

2 समानांतर प्रक्षेपण के गुणों में से एक को तैयार करें: एक बिंदु का प्रक्षेपण एक बिंदु है।

3 एक बिंदु के आयताकार प्रक्षेपण का निर्माण दिखाएं, संचार लाइनों को परिभाषित करें, निर्देशांक का उपयोग करके अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने का तरीका दिखाएं

4 व्यावहारिक कार्य. मनोरंजक समस्याओं का समाधान.

पाठ की प्रगति:

1. दोहराव

दो और तीन तलों पर प्रक्षेपण द्वारा किसी वस्तु का चित्र कैसे प्राप्त करें।

समतल पर किसी वस्तु का प्रतिबिम्ब क्या कहलाता है?

2 . नई सामग्री की व्याख्या

1. श्रम और ड्राइंग पाठों में, आपको अक्सर जीवन से किसी वस्तु के तीन प्रक्षेपण बनाने होते हैं, वस्तु को सामने से, ऊपर से और ऊपर से देखते हुए। इस तरह आप सरल और जटिल दोनों प्रकार की वस्तु प्रदर्शित कर सकते हैं।

प्रकृति का अवलोकन करते हुए, कई मामलों में यह पता लगाना आसान होता है कि सामने का दृश्य और शीर्ष दृश्य कैसा दिखेगा, और यह सुनिश्चित करना भी आसान है कि समस्या का परिणामी समाधान सही है।

उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि एक शंकु के दो प्रक्षेपण एक त्रिभुज और एक वृत्त हैं। इसकी पुष्टि के लिए, आप शंकु की आकृति का पता भी लगा सकते हैं।

लेकिन उसी शंकु के अंदर एक बिंदु अंकित करने का प्रयास करें।

यह अनुमान लगाना असंभव है कि यह कहां है, क्योंकि इस बात की कोई निश्चितता नहीं है कि निर्धारित बिंदु शंकु की सतह पर बिल्कुल "चालू" होगा। वह आसानी से "ऊपर" या "नीचे" हो सकती है। इस समस्या को हल करने के लिए कई विशेष निर्माण करना आवश्यक है।

एक बिंदु एक रेखा और एक सतह का मुख्य ज्यामितीय तत्व है, इसलिए किसी वस्तु के आयताकार प्रक्षेपण का अध्ययन एक बिंदु के आयताकार प्रक्षेपण के निर्माण से शुरू होता है।

2. ड्राइंग में, दो प्रक्षेपण प्राप्त करने के लिए जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करते हैं, प्रक्षेपण के दो परस्पर लंबवत विमानों एच और वी का उपयोग किया जाता है।

https://pandia.ru/text/78/379/images/image004_120.jpg' width='113' ऊंचाई='84 src='>चित्र 2

चित्र 2 को देखकर, हम एक बिंदु के प्रक्षेपणों की एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति का उत्तर दे सकते हैं: वे प्रक्षेपणों की धुरी ऑक्स के लंबवत एक ही रेखा पर स्थित हैं।

ऐसे मामलों में जहां दो प्रक्षेपणों से किसी वस्तु के आकार की कल्पना करना असंभव है, इसे तीन प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपित किया जाता है। इस मामले में, एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण विमान डब्ल्यू पेश किया गया है, जो विमान वी और एच के लंबवत है। तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली का एक दृश्य प्रतिनिधित्व चित्र 3 चित्र 3 में दिया गया है।

3. आइए एक उदाहरण पर विचार करें कि किसी वस्तु की सतह पर निर्दिष्ट बिंदु का प्रक्षेपण कैसे बनाया जाए। आइए समस्या की ओर मुड़ें: हमें चिमनी को सामने के दृश्य में पूरा करने की आवश्यकता है, अर्थात, छत के ढलान के साथ पाइप के किनारे के मिलन बिंदु का पता लगाएं।

क) सामने के दृश्य में एक अधूरी चिमनी वाले घर के दो प्रक्षेपण दिए जाएं।

बी) आपको z और y अक्ष और ड्राइंग की निरंतर सीधी रेखा खींचने की आवश्यकता है।

ग) शीर्ष दृश्य में, तीन बिंदु ए, बी, सी चिह्नित करें। बिंदु ए, बी छत के ढलान के किनारे का प्रक्षेपण है, बिंदु सी उस बिंदु का प्रक्षेपण है जहां पाइप का किनारा छत के ढलान से मिलता है।

डी) छत के ढलान का तीसरा प्रक्षेपण ढूंढना आवश्यक है - अंक ए"" और बी""। उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़ें जिस पर "" वाला बिंदु ज्ञात करना है।

ई) बिंदु के दो प्रक्षेपण सी और सी "" का उपयोग करके, सी " ढूंढें (यानी, क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण का उपयोग करके, वांछित बिंदु सी का ललाट प्रक्षेपण ढूंढें।

च) घर के सामने के दृश्य में चिमनी को पूरा करके कार्य पूरा करें।

https://pandia.ru/text/78/379/images/image007_84.jpg" width=”127” ऊंचाई=”99 src=”>चित्र 5

कार्यों का विश्लेषण. पाठ सारांश.

इसे केंद्रीय का एक विशेष मामला माना जा सकता है, जिसमें प्रक्षेपण केंद्र को अनंत तक हटा दिया जाता है।

किसी निश्चित दिशा में खींची गई समानांतर प्रक्षेपण रेखाओं का उपयोग किया जाता है।

यदि प्रक्षेपण की दिशा प्रक्षेपण तल के लंबवत है, तो प्रक्षेपण को आयताकार या ऑर्थोगोनल कहा जाता है।

समानांतर प्रक्षेपण के साथ, केंद्रीय एक के सभी गुण संरक्षित होते हैं, और निम्नलिखित गुण भी उत्पन्न होते हैं:

ए)। परस्पर // सीधी रेखाओं // के प्रक्षेपण, और ऐसी सीधी रेखाओं के खंडों की लंबाई का अनुपात उनके अनुमानों की लंबाई के अनुपात के बराबर है

बी)। समतल आकृति, // प्रक्षेपण तल को प्राकृतिक आकार में इस तल पर प्रक्षेपित किया जाता है

वी). यदि एक सीधी रेखा प्रक्षेपण की दिशा के लंबवत है, तो उसका प्रक्षेपण बिंदु है

यदि समानांतर प्रक्षेपण का केंद्र है, तो हम अंतरिक्ष में बिंदु की स्थिति निर्धारित नहीं कर पाएंगे।

जी एस्पर मोंगे ने दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों (क्षैतिज पी 1 और ललाट पी 2) को लेने और प्रक्षेपित किरणों को विमानों के लंबवत निर्देशित करने के लिए आयताकार प्रक्षेपण विधि का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा।

पी 1 - क्षैतिज प्रक्षेपण विमान

पी 2 - प्रक्षेपण का ललाट तल

एक्स - प्रक्षेपण अक्ष - विमानों पी 1 और पी 2 या पी 1 / पी 2 के चौराहे की रेखा

ए एक्स ए 1 और ए एक्स ए 2 - एक्स-अक्ष - संचार लाइन के लंबवत

यदि अंतरिक्ष में कोई बिंदु A है, तो हम उससे P 1 (बिंदु A - A 1 का क्षैतिज प्रक्षेपण) और समतल P 2 (बिंदु A - A 2 का ललाट प्रक्षेपण) पर एक लंब गिराते हैं।

लेकिन पी 1/पी 2 प्रणाली में एक बिंदु का यह दृश्य प्रतिनिधित्व ड्राइंग उद्देश्यों के लिए असुविधाजनक है।

आइए इसे रूपांतरित करें ताकि क्षैतिज प्रक्षेपण विमान ललाट के साथ मेल खाए, जिससे एक ड्राइंग विमान बनता है।

यह परिवर्तन विमान P1 को X अक्ष के चारों ओर 90° के कोण पर नीचे की ओर घुमाकर किया जाता है। इस स्थिति में, A x A 2 और A x A 1 प्रक्षेपण अक्ष X के लंबवत पर स्थित एक खंड बनाते हैं, जिसे कहा जाता है संचार लाइन.

हमें मोंज डायग्राम नामक एक चित्र प्राप्त हुआ।

क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण हमेशा अक्ष के लंबवत एक ही कनेक्शन लाइन पर स्थित होते हैं।

जटिलता के आधार पर, भागों के आकार को पूरी तरह से पहचानने के लिए तीन या अधिक छवियों की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, तीन या अधिक प्रक्षेपण विमान पेश किए गए हैं।

एक बिंदु को तीन प्रक्षेपण तलों पर प्रक्षेपित करना। जटिल बिंदु रेखांकन.

हमने तीन विमानों के लिए एक मोंज आरेख प्राप्त किया या जटिल रेखांकनबिंदु ए

एच(पी 1) - क्षैतिज प्रक्षेपण विमान

वी(पी 2) - प्रक्षेपण का ललाट तल

डब्ल्यू(पी 3) - प्रक्षेपण का प्रोफाइल विमान

ए 1 - बिंदु ए का क्षैतिज प्रक्षेपण

ए 2 - बिंदु ए का ललाट प्रक्षेपण

ए 3 - बिंदु ए का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण

पी 1 और पी 2 एक्स अक्ष बनाते हैं

P 2 और P 3 Z अक्ष बनाते हैं

P 1 और P 3 Y अक्ष बनाते हैं

एक बिंदु के दो प्रक्षेपण अक्ष के लंबवत एक ही कनेक्शन रेखा पर स्थित होते हैं।

बिंदु A से प्रक्षेपण तल तक प्रक्षेपण रेखाओं के खंड - बिंदु निर्देशांक (एक्स ए, यू ए , जेड ए ). संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट.

OA x - बिंदु A का भुज - निर्देशांक X A - A से P 3 की दूरी।

OA x = A 1 A y = A z A 2

OA y - बिंदु A की कोटि - निर्देशांक UA - A से P 2 की दूरी। . ओए वाई = ए एक्स ए 1

OA z - बिंदु A का अनुप्रयोग - निर्देशांक Z A - A से P 1 की दूरी। ओए जेड = ए एक्स ए 2

स्व-परीक्षण प्रश्न

प्रक्षेपण विधियाँ क्या हैं?

केंद्रीय प्रक्षेपण के गुण क्या हैं?

समानांतर प्रक्षेपण के गुण क्या हैं?

दो प्रक्षेपण तलों पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कैसे प्राप्त करें?

तीन प्रक्षेपण तलों पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कैसे प्राप्त करें?

आइए वस्तु को प्रक्षेपण तल के सामने रखें ताकि प्रक्षेपित होने पर, इसके तीन पक्ष परिणामी छवि पर दिखाई दें (चित्र 36)। इन छवियों को देखकर, वस्तु की स्थानिक छवि की कल्पना करना आसान है।
ड्राइंग में इस तरह के प्रक्षेपण का उपयोग दृश्य छवियों के निर्माण के लिए किया जाता है।
दृश्य छवियां आयताकार और तिरछी दोनों समानांतर प्रक्षेपण के परिणामस्वरूप प्राप्त की जा सकती हैं
हालाँकि, दृश्य छवियों में, वस्तुओं को बड़ी विकृतियाँ प्राप्त होती हैं। गोल भागों को अण्डाकार भागों में, समकोण भागों को अधिक कोणों में और न्यून कोणों में प्रक्षेपित किया जाता है। वस्तु के कुछ आयाम भी बदलते हैं। इसलिए, व्यवहार में ऐसी छवियों का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

आइए वस्तु को प्रक्षेपण तल के सामने रखें ताकि छवि में यह केवल एक तरफ से दिखाई दे (चित्र 37), और इसके आयताकार प्रक्षेपण का निर्माण करें। अब वस्तु की लंबाई और चौड़ाई के आयाम नहीं बदलेंगे, सीधी रेखाओं के बीच के कोण विकृत नहीं होंगे, गोल छेद एक वृत्त के रूप में चित्रित किया जाएगा।
हालाँकि, इसका कोई तीसरा आयाम नहीं है - ऊँचाई। ऐसी छवि को व्यवहार में उपयोग के लिए उपयुक्त बनाने के लिए, इसे वस्तु की ऊंचाई के संकेत के साथ पूरक किया जाता है। ऊंचाई को ड्राइंग में पारंपरिक रूप से दर्शाया जा सकता है। ऐसा तब किया जाता है जब चित्रित वस्तु में उभार, गड्ढा आदि न हो।

चित्र में. चित्र 38 में "गैस्केट" नामक एक भाग का चित्र दिखाया गया है। चित्र में एक आयताकार प्रक्षेपण है। चित्र से पता चलता है कि भाग की लंबाई 30 मिमी और चौड़ाई 24 मिमी है। भाग में छेद के माध्यम से एक गोल 0 16 मिमी है। ड्राइंग में की गई प्रविष्टि से, हमें पता चलता है कि चित्रित भाग की मोटाई (यानी ऊंचाई) 4 मिमी (एस 4) है। आपने चित्र में एक आयताकार प्रक्षेपण वाले चित्रों के उदाहरण देखे हैं। 31 और 32.
एक तल पर आयताकार प्रक्षेपण द्वारा प्राप्त चित्र में, आप न केवल संपूर्ण वस्तु की ऊंचाई, बल्कि उसके प्रत्येक भाग, उदाहरण के लिए, प्रत्येक बिंदु (शीर्ष) की ऊंचाई भी इंगित कर सकते हैं। इस मामले में, हर बार "ऊंचाई" या "मोटाई" शब्द लिखने की आवश्यकता नहीं है। वस्तु के एक या दूसरे भाग के प्रक्षेपण के आगे उसकी ऊंचाई दर्शाते हुए एक संख्या डालना पर्याप्त है।
ऐसे प्रक्षेपण जिन पर वस्तुओं के हिस्सों की ऊँचाई को एक संख्या द्वारा दर्शाया जाता है, संख्यात्मक चिह्न वाले प्रक्षेपण कहलाते हैं।
आप पहले ही भूगोल में संख्यात्मक अंकों वाले अनुमानों का सामना कर चुके हैं।

दो प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपण।

चित्र में. 41 अनेक वस्तुओं को प्रक्षेपित करने की प्रक्रिया को दर्शाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, उन सभी का अनुमान समान है। इसलिए, एक प्रक्षेपण वाले चित्र से, किसी वस्तु (समानांतर चतुर्भुज, सिलेंडर या अन्य पिंड) के ज्यामितीय आकार का सटीक अनुमान लगाना हमेशा संभव नहीं होता है। इसके अलावा, इस तरह के चित्र में वस्तु केवल एक तरफ से दिखाई देती है, इससे वस्तु की ऊंचाई प्रतिबिंबित नहीं होती है। यदि आप वस्तु के एक नहीं, बल्कि दो प्रक्षेपण बनाते हैं तो इन सभी कमियों को दूर किया जा सकता है। इस प्रयोजन के लिए, अंतरिक्ष में दो प्रक्षेपण विमानों को लेना आवश्यक है (चित्र 42), जो एक दूसरे के लंबवत स्थित हैं।

प्रक्षेपण विमानों में से एक को क्षैतिज रूप से रखा गया है। इसे क्षैतिज प्रक्षेपण तल कहा जाता है और इसे H ( लैटिन पत्र ax) इस तल पर किसी वस्तु के प्रक्षेपण को क्षैतिज प्रक्षेपण कहा जाता है।

दूसरा प्रक्षेपण विमान V ("ve" पढ़ता है) लंबवत रखा गया है। कई ऊर्ध्वाधर विमान हो सकते हैं, इसलिए दर्शक के सामने स्थित प्रक्षेपण विमान को फ्रंटल कहा जाता है (फ्रांसीसी शब्द "फ्रंटल" से, जिसका अर्थ है "दर्शक का सामना करना")। इस तल पर प्राप्त किसी वस्तु के प्रक्षेपण को ललाट कहा जाता है। ध्यान दें कि भाग में छेद को सामने के प्रक्षेपण विमान पर अदृश्य के रूप में प्रक्षेपित किया गया था, इसलिए इसे धराशायी रेखाओं के रूप में दिखाया गया है।

इस तरह से निर्मित प्रक्षेपण विभिन्न विमानों (क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर) में अंतरिक्ष में स्थित होते हैं। किसी वस्तु का चित्र एक शीट पर अर्थात् एक तल में बनाया जाता है। इसलिए, किसी वस्तु का चित्र प्राप्त करने के लिए दोनों तलों को एक में लाया (संयुक्त) किया जाता है। इस प्रक्रिया का आसानी से पता लगाया जा सकता है यदि हम कल्पना करें कि प्रक्षेपण तल x रेखा के साथ एक दूसरे को काटते हैं, जिसे प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है (चित्र 42, बी)। यदि अब हम प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल को 90° नीचे कर दें ताकि यह ऊर्ध्वाधर तल के साथ संपाती हो जाए, तो दोनों प्रक्षेपण एक ही तल में स्थित होंगे (चित्र 43)।
प्रक्षेपण विमानों की सीमा को चित्र में नहीं दिखाया जा सकता है (चित्र 43, बी)। प्रक्षेपित किरणें और प्रक्षेपण तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा, यानी, प्रक्षेपण अक्ष, यदि आवश्यक न हो तो चित्र पर नहीं खींचे जाते हैं।
यह देखने के लिए कि चित्र में दिखाए गए प्रक्षेपण एक ही वस्तु की छवियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, उन्हें एक के नीचे एक, सख्त क्रम में रखा गया है।
चित्र में. 43 क्षैतिज प्रक्षेपण ललाट के नीचे स्थित है। ड्राइंग में स्वीकृत अनुमान लगाने के इस नियम का उल्लंघन नहीं किया जा सकता है। दो आयताकार प्रक्षेपणों वाले एक चित्र का एक उदाहरण - ललाट और क्षैतिज। दो परस्पर लंबवत विमानों पर आयताकार प्रक्षेपण की विधि 18 वीं शताब्दी के अंत में फ्रांसीसी ज्यामितीय गैसपार्ड मोंगे द्वारा विकसित की गई थी। इसलिए, इस विधि को कभी-कभी मोंज विधि भी कहा जाता है।
जी मोंगे ने विकास की शुरुआत की नया विज्ञानवस्तुओं की छवि के बारे में - वर्णनात्मक ज्यामिति।

तीन प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपण।

किसी वस्तु के दो प्रक्षेपणों का उपयोग करके, वस्तु की स्थानिक छवि का सटीक प्रतिनिधित्व करना भी हमेशा संभव नहीं होता है। चित्र में छवियाँ। 45, लेकिन चित्र में दिखाई गई वस्तुओं के प्रक्षेपण हो सकते हैं। 45, बी, अंजीर। 45, सी, आदि। इसके अलावा, व्यवहार में अक्सर बहुत जटिल वस्तुओं के चित्र बनाना आवश्यक होता है, जहां चित्रित वस्तु के ज्यामितीय आकार और आयामों की पहचान करने के लिए दो प्रक्षेपण पर्याप्त नहीं होते हैं।

ऐसा चित्र प्राप्त करने के लिए, जिससे चित्रित वस्तु की एकल छवि स्थापित करना संभव हो, कभी-कभी दो नहीं, बल्कि तीन प्रक्षेपण विमानों (चित्र 46) का उपयोग करना आवश्यक होता है।
प्रक्षेपण के तीसरे तल W ("डबल वे" पढ़ें) को प्रोफ़ाइल कहा जाता है, और उस पर प्राप्त प्रक्षेपण को वस्तु का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण कहा जाता है (फ़्रेंच शब्द "प्रोफ़ाइल" से, जिसका अर्थ है "साइड व्यू")।
प्रक्षेपणों का प्रोफ़ाइल तल ऊर्ध्वाधर है। किसी वस्तु का चित्र बनाने के लिए, इसे इस प्रकार स्थापित किया जाता है कि यह एक साथ प्रक्षेपण के क्षैतिज और ललाट तलों के लंबवत हो। H तल के साथ प्रतिच्छेदन पर, यह y-अक्ष बनाता है, और V तल के साथ, z-अक्ष बनाता है।
एक चित्र प्राप्त करने के लिए, W तल को दाईं ओर 90° घुमाया जाता है, और H तल को नीचे की ओर घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त चित्र (चित्र 46) में वस्तु के तीन आयताकार प्रक्षेपण हैं। (प्रक्षेपण अक्षों और प्रक्षेपण किरणों को ड्राइंग में नहीं दिखाया गया है।) ड्राइंग में, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण को हमेशा ललाट के समान ऊंचाई पर, उसके दाईं ओर रखा जाता है। हम ऐसे चित्र को आयताकार प्रक्षेपणों की प्रणाली में चित्र कहेंगे।

प्रक्षेपण उपकरण

प्रक्षेपण उपकरण (चित्र 1) में तीन प्रक्षेपण विमान शामिल हैं:

π 1 –क्षैतिज प्रक्षेपण विमान;

π 2 –अनुमानों का ललाट तल;

π 3– प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण विमान .

प्रक्षेपण तल परस्पर लंबवत हैं ( π 1^ π 2^ π 3), और उनकी प्रतिच्छेदन रेखाएँ अक्ष बनाती हैं:

विमानों का प्रतिच्छेदन π 1और π 2एक धुरी बनाओ 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

विमानों का प्रतिच्छेदन π 1और π 3एक धुरी बनाओ 0य (π 1∩ π 3 = 0य);

विमानों का प्रतिच्छेदन π 2और π 3एक धुरी बनाओ 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु (OX∩OY∩OZ=0) को प्रारंभिक बिंदु (बिंदु 0) माना जाता है।

चूँकि तल और अक्ष परस्पर लंबवत हैं, ऐसा उपकरण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के समान है।

प्रक्षेपण तल संपूर्ण स्थान को आठ अष्टांशों में विभाजित करते हैं (चित्र 1 में उन्हें रोमन अंकों द्वारा दर्शाया गया है)। प्रक्षेपण विमानों को अपारदर्शी माना जाता है, और दर्शक हमेशा अंदर रहता है मैं-वें अष्टक.

प्रक्षेपण केंद्रों के साथ ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण एस 1, एस 2और एस 3क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण विमानों के लिए क्रमशः।

ए.

प्रक्षेपण केन्द्रों से एस 1, एस 2और एस 3प्रक्षेपित किरणें निकलती हैं मैं 1, मैं 2और मैं 3 ए

- ए 1 ए;

- ए 2– बिंदु का ललाट प्रक्षेपण ए;

- ए 3- एक बिंदु का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ए.

अंतरिक्ष में एक बिंदु की पहचान उसके निर्देशांकों से होती है ए(एक्स, वाई, जेड). अंक एक एक्स, ए वाईऔर ए ज़ेडक्रमशः अक्षों पर 0X, 0यऔर 0Zनिर्देशांक दिखाएं एक्स, वाईऔर जेडअंक ए. चित्र में. 1 सभी आवश्यक नोटेशन देता है और बिंदु के बीच संबंध दिखाता है एअंतरिक्ष, उसके प्रक्षेपण और निर्देशांक।

बिंदु आरेख

एक बिंदु का प्लॉट प्राप्त करने के लिए ए(चित्र 2), प्रक्षेपण उपकरण में (चित्र 1) तल π 1 ए 1 0X π 2. फिर विमान π 3बिंदु प्रक्षेपण के साथ ए 3, अक्ष के चारों ओर वामावर्त घुमाएँ 0Z, जब तक कि यह समतल के साथ संरेखित न हो जाए π 2. समतल घूर्णन की दिशा π 2और π 3चित्र में दिखाया गया है 1 तीर. एक ही समय में, सीधे ए 1 ए एक्सऔर ए 2 ए एक्स 0Xसीधा ए 1 ए 2, और सीधी रेखाएँ ए 2 ए एक्सऔर ए 3 ए एक्सएक सामान्य अक्ष पर स्थित होगा 0Zसीधा ए 2 ए 3. निम्नलिखित में हम इन पंक्तियों को क्रमशः नाम देंगे खड़ा और क्षैतिज संचार लाइनें.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रक्षेपण उपकरण से आरेख की ओर बढ़ने पर, प्रक्षेपित वस्तु गायब हो जाती है, लेकिन इसके आकार, ज्यामितीय आयाम और अंतरिक्ष में इसके स्थान के बारे में सभी जानकारी संरक्षित रहती है।

ए(एक्स ए , वाई ए , जेड एएक्स ए , वाई एऔर जेड एनिम्नलिखित क्रम में (चित्र 2)। इस क्रम को बिंदु आरेख बनाने की विधि कहा जाता है।

1. अक्षों को लंबवत रूप से खींचा जाता है बैल, ओएऔर आस्ट्रेलिया.

2. अक्ष पर बैल एक्सएअंक एऔर बिंदु की स्थिति प्राप्त करें एक एक्स.

3. बिंदु के माध्यम से एक एक्सअक्ष के लंबवत बैल

एक एक्सअक्ष के अनुदिश ओएनिर्देशांक का संख्यात्मक मान आलेखित किया गया है वाई एअंक ए ए 1आरेख पर.

एक एक्सअक्ष के अनुदिश आउंसनिर्देशांक का संख्यात्मक मान आलेखित किया गया है जेड एअंक ए ए 2आरेख पर.

6. बिंदु के माध्यम से ए 2अक्ष के समानांतर बैलएक क्षैतिज संचार रेखा खींची गई है. इस रेखा और अक्ष का प्रतिच्छेदन आउंसबिंदु की स्थिति बताएगा ए ज़ेड.

7. एक बिंदु से क्षैतिज संचार लाइन पर ए ज़ेडअक्ष के अनुदिश ओएनिर्देशांक का संख्यात्मक मान आलेखित किया गया है वाई एअंक एऔर बिंदु के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित की जाती है ए 3आरेख पर.

बिंदुओं के लक्षण

अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं को विशेष और सामान्य स्थिति वाले बिंदुओं में विभाजित किया गया है।

विशेष स्थिति के बिंदु. प्रक्षेपण तंत्र से संबंधित बिंदुओं को विशेष स्थिति के बिंदु कहा जाता है। इनमें प्रक्षेपण तल, अक्ष, मूल बिंदु और प्रक्षेपण केंद्र से संबंधित बिंदु शामिल हैं। विशेष स्थिति बिंदुओं की विशिष्ट विशेषताएं हैं:

मेटामैथमैटिकल - एक, दो या सभी संख्यात्मक समन्वय मान शून्य और (या) अनंत के बराबर हैं;

आरेख पर, एक बिंदु के दो या सभी प्रक्षेपण अक्षों पर स्थित होते हैं और (या) अनंत पर स्थित होते हैं।

अंक सामान्य स्थिति. सामान्य स्थिति के बिंदुओं में वे बिंदु शामिल होते हैं जो प्रक्षेपण तंत्र से संबंधित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, डॉट एचित्र में 1 और 2.

सामान्य स्थिति में, किसी बिंदु के निर्देशांक के संख्यात्मक मान प्रक्षेपण विमान से इसकी दूरी को दर्शाते हैं: समन्वय एक्सविमान से π 3; कोआर्डिनेट यविमान से π 2; कोआर्डिनेट जेडविमान से π 1. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि निर्देशांक के संख्यात्मक मानों के संकेत उस दिशा को दर्शाते हैं जिसमें बिंदु प्रक्षेपण विमानों से दूर जाता है। किसी बिंदु के निर्देशांक के संख्यात्मक मानों के लिए संकेतों के संयोजन के आधार पर यह निर्भर करता है कि वह किस ऑक्टेन में है।

दो छवि विधि

व्यवहार में, पूर्ण प्रक्षेपण विधि के अतिरिक्त, दो-छवि विधि का उपयोग किया जाता है। यह अलग है कि यह विधि वस्तु के तीसरे प्रक्षेपण को समाप्त कर देती है। दो-छवि विधि के प्रक्षेपण उपकरण को प्राप्त करने के लिए, इसके प्रक्षेपण केंद्र के साथ प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण विमान को पूर्ण प्रक्षेपण उपकरण (छवि 3) से बाहर रखा गया है। इसके अलावा, धुरी पर 0Xएक संदर्भ बिंदु निर्दिष्ट किया गया है (बिंदु)। 0 ) और इससे अक्ष पर लंबवत 0Xप्रक्षेपण विमानों में π 1और π 2कुल्हाड़ियाँ खींचना 0यऔर 0Zक्रमश।

इस उपकरण में संपूर्ण स्थान को चार चतुर्थांशों में विभाजित किया गया है। चित्र में. 3 उन्हें रोमन अंकों द्वारा दर्शाया गया है।

प्रक्षेपण विमानों को अपारदर्शी माना जाता है, और दर्शक हमेशा अंदर रहता है मैं-वाँ चतुर्थांश.

आइए एक बिंदु प्रक्षेपित करने के उदाहरण का उपयोग करके डिवाइस के संचालन पर विचार करें ए.

प्रक्षेपण केन्द्रों से एस 1और एस 2प्रक्षेपित किरणें निकलती हैं मैं 1और मैं 2. ये किरणें बिंदु से होकर गुजरती हैं एऔर प्रक्षेपण तलों के साथ प्रतिच्छेद करते हुए इसके प्रक्षेपण बनते हैं:

- ए 1– एक बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण ए;

- ए 2– बिंदु का ललाट प्रक्षेपण ए.

एक बिंदु का प्लॉट प्राप्त करने के लिए ए(चित्र 4), प्रक्षेपण उपकरण में (चित्र 3) तल π 1बिंदु के परिणामी प्रक्षेपण के साथ ए 1एक अक्ष के चारों ओर दक्षिणावर्त घुमाएँ 0X, जब तक कि यह समतल के साथ संरेखित न हो जाए π 2. समतल घूर्णन की दिशा π 1चित्र में दिखाया गया है 3 तीर. इस मामले में, दो छवियों की विधि द्वारा प्राप्त एक बिंदु के आरेख पर, केवल एक ही रहता है खड़ाजोड़ना ए 1 ए 2.

व्यवहार में, एक बिंदु का आलेखन करना ए(एक्स ए , वाई ए , जेड ए) इसके निर्देशांक के संख्यात्मक मानों के अनुसार किया जाता है एक्स ए , वाई एऔर जेड एनिम्नलिखित क्रम में (चित्र 4)।

1. अक्ष खींचा गया है बैलऔर एक संदर्भ बिंदु निर्दिष्ट किया गया है (बिंदु)। 0 ).

2. अक्ष पर बैलनिर्देशांक का संख्यात्मक मान आलेखित किया गया है एक्सएअंक एऔर बिंदु की स्थिति प्राप्त करें एक एक्स.

3. बिंदु के माध्यम से एक एक्सअक्ष के लंबवत बैलकिया गया ऊर्ध्वाधर रेखासंचार.

4. एक बिंदु से ऊर्ध्वाधर संचार लाइन पर एक एक्सअक्ष के अनुदिश ओएनिर्देशांक का संख्यात्मक मान आलेखित किया गया है वाई एअंक एऔर बिंदु के क्षैतिज प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित की जाती है ए 1 ओएनिकाला नहीं गया है, बल्कि माना गया है सकारात्मक मूल्यअक्ष के नीचे स्थित है बैल, और नकारात्मक अधिक हैं।

5. एक बिंदु से ऊर्ध्वाधर संचार लाइन पर एक एक्सअक्ष के अनुदिश आउंसनिर्देशांक का संख्यात्मक मान आलेखित किया गया है जेड एअंक एऔर बिंदु के ललाट प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित की जाती है ए 2आरेख पर. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आरेख में अक्ष आउंसखींचा नहीं गया है, लेकिन यह माना जाता है कि इसके सकारात्मक मान अक्ष के ऊपर स्थित हैं बैल, और नकारात्मक वाले कम हैं।

प्रतिस्पर्धी अंक

एक ही प्रक्षेपित किरण पर स्थित बिंदुओं को प्रतिस्पर्धी बिंदु कहा जाता है। प्रक्षेपित किरण की दिशा में, उनके लिए एक सामान्य प्रक्षेपण होता है, अर्थात। उनके अनुमान समान हैं। एक विशिष्ट विशेषताआरेख पर प्रतिस्पर्धी बिंदु एक ही नाम के उनके प्रक्षेपणों के समान संयोग हैं। प्रतिस्पर्धा पर्यवेक्षक के सापेक्ष इन अनुमानों की दृश्यता में निहित है। दूसरे शब्दों में, पर्यवेक्षक के लिए अंतरिक्ष में एक बिंदु दिखाई देता है, दूसरा नहीं। और, तदनुसार, ड्राइंग में: प्रतिस्पर्धी बिंदुओं का एक प्रक्षेपण दृश्यमान है, और दूसरे बिंदु का प्रक्षेपण अदृश्य है।

दो प्रतिस्पर्धी बिंदुओं से स्थानिक प्रक्षेपण मॉडल (चित्र 5) पर एऔर मेंदृश्य बिंदु एदो परस्पर पूरक विशेषताओं के अनुसार। श्रृंखला द्वारा निर्णय लेना एस 1 →ए→बीडॉट एबिंदु की अपेक्षा प्रेक्षक के अधिक निकट में. और, तदनुसार, प्रक्षेपण तल से आगे π 1(वे। जेड ए > जेड ए).

चावल। 5 चित्र 6

अगर बिंदु ही दिखाई दे रहा है ए, तो उसका प्रक्षेपण भी दिखाई देता है ए 1. इसके साथ मेल खाने वाले प्रक्षेपण के संबंध में बी 1. स्पष्टता के लिए और, यदि आवश्यक हो, तो आरेख पर, बिंदुओं के अदृश्य प्रक्षेपण आमतौर पर कोष्ठक में संलग्न होते हैं।

आइए मॉडल पर बिंदुओं को हटा दें एऔर में. विमान पर उनके संयोगी प्रक्षेपण बने रहेंगे π 1और अलग-अलग अनुमान - पर π 2. आइए हम प्रक्षेपण के केंद्र में स्थित पर्यवेक्षक (⇩) के ललाट प्रक्षेपण को सशर्त रूप से छोड़ दें एस 1. फिर, छवियों की श्रृंखला के साथ ⇩ → ए 2 → बी 2इसका निर्णय करना संभव होगा जेड ए > जेड बीऔर वह बिंदु स्वयं दृश्यमान है एऔर उसका प्रक्षेपण ए 1.

आइए इसी प्रकार प्रतिस्पर्धी बिंदुओं पर विचार करें साथऔर डीπ 2 तल के सापेक्ष दिखने में। चूँकि इन बिंदुओं की सामान्य प्रक्षेपण किरण है मैं 2अक्ष के समानांतर 0य, फिर प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की दृश्यता का संकेत साथऔर डीअसमानता द्वारा निर्धारित वाई सी > वाई डी. इसलिए, वह बिंदु डीएक बिंदु द्वारा बंद साथऔर तदनुसार बिंदु का प्रक्षेपण डी 2बिंदु के प्रक्षेपण द्वारा कवर किया जाएगा सी 2विमान पर π 2.

आइए विचार करें कि एक जटिल ड्राइंग में प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की दृश्यता कैसे निर्धारित की जाती है (चित्र 6)।

संयोग अनुमानों से निर्णय लेना ए 1≡बी 1अंक स्वयं एऔर मेंअक्ष के समानांतर एक प्रक्षेपित किरण पर हैं 0Z. इसका मतलब है कि निर्देशांक की तुलना की जा सकती है जेड एऔर जेड बीये बिंदु. ऐसा करने के लिए, हम बिंदुओं की अलग-अलग छवियों के साथ ललाट प्रक्षेपण विमान का उपयोग करते हैं। इस मामले में जेड ए > जेड बी. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रक्षेपण दृश्यमान है ए 1.

अंक सीऔर डीविचाराधीन जटिल ड्राइंग में (चित्र 6) भी एक ही प्रक्षेपित बीम पर हैं, लेकिन केवल अक्ष के समानांतर हैं 0य. अत: तुलना से वाई सी > वाई डीहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रक्षेपण C2 दृश्यमान है।

सामान्य नियम . प्रतिस्पर्धी बिंदुओं के मिलान अनुमानों की दृश्यता एक सामान्य प्रक्षेपण किरण की दिशा में उन बिंदुओं के निर्देशांक की तुलना करके निर्धारित की जाती है। जिस बिंदु का निर्देशांक अधिक होता है उसका प्रक्षेपण दृष्टिगोचर होता है। इस मामले में, प्रक्षेपण तल पर बिंदुओं की अलग-अलग छवियों के साथ निर्देशांक की तुलना की जाती है।

ए 1 – एक बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण ए: ए 1= एए 1Ç पी 1. क्षैतिज प्रक्षेपण रेखा एए 1सीधा पी 1. खंड एए 1निर्देशांक को परिभाषित करता है जेडअंक ए, यानी इसकी ऊंचाई.

ए 2 – बिंदु का ललाट प्रक्षेपण ए: ए 2= एए 2Ç पी 2. सामने की ओर सीधा निकला हुआ एए 2सीधा पी 2. खंड एए 2निर्देशांक को परिभाषित करता है परअंक ए, यानी इसकी गहराई.

ए 3 - एक बिंदु का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ए: ए 3= एए 3Ç पी 3. सीधा एए 3सीधा पी 3, यह कहा जाता है प्रोफ़ाइल-प्रोजेक्टिंग लाइन. खंड एए 3निर्देशांक को परिभाषित करता है एक्सअंक ए, यानी इसकी चौड़ाई.

प्राप्त करने के लिए तीन-चित्र जटिल ड्राइंगएक बिंदु को प्रक्षेपित करने के बाद, दो घुमाव एक साथ किए जाते हैं ( चावल। 8 ए):

· विमान पी 1एक अक्ष के चारों ओर घूमता है x 12जब तक यह समतल के साथ संरेखित न हो जाए तब तक दक्षिणावर्त 90° घुमाएँ पी 2, जो दो-चित्र जटिल ड्राइंग प्राप्त करते समय एक समान रोटेशन से पूरी तरह मेल खाता है;

· विमान पी 3एक अक्ष के चारों ओर घूमता है जेड 23धुरी के अंत से देखने पर वामावर्त 90° जेड 23, जब तक कि यह समतल के साथ संरेखित न हो जाए पी 2.

ए बी

चित्र 8

परचावल। 8बी को इस प्रकार प्राप्त किया गया दिखाया गया है तीन-चित्र जटिल बिंदु रेखांकनए .

जाहिर है, दो विमानों का घूर्णन पी 1और पी 3अक्ष की नकल किये बिना संभव नहीं य 13. कुल्हाड़ियों में से एक य 1विमान के घूर्णन में भाग लेंगे पी 1, और दूसरा य 3 – पी 3. लेकिन इस सम्मेलन को बिंदु की समान गहराई सुनिश्चित करनी चाहिए, अर्थात। 1 पर=तीन बजे. यह क्षमता प्रदान करने वाली एक ग्राफ़िकल विधि नीचे दिखाई गई है चावल। 8 बी.

अक्ष से 45° के कोण पर तीन बजेचलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं 13 तक, बुलाया निरंतर सीधी रेखा जटिल रेखांकन. क्षैतिज प्रक्षेपण को जोड़ने वाली संचार लाइन ए 1प्रोफ़ाइल के साथ ए 3, हम इस सीधी रेखा पर समकोण पर अपवर्तन करेंगे। क्षैतिज खंड ए 1 वाई ए^ 1 पर, और ऊर्ध्वाधर ए 3 वाई ए ^ तीन बजे.

दो-चित्र वाली ड्राइंग के अनुरूप, यह साबित किया जा सकता है कि बिंदुओं के प्रक्षेपण की कनेक्शन रेखाएं संबंधित अक्षों के लंबवत होंगी, यानी। ए 1 ए 2 ^ x 12, ए 2 ए 3 ^ जेड 23.

चित्र में. 8 बी: ए 1 ए 2- लंबवत संचार लाइन;

ए 2 ए 3- क्षैतिज संचार लाइन;

ए 1 वाई एऔर य ए ए 3- टूटी हुई संचार लाइन;

बैल ए = वाई ए ए 1= जेड ए ए 2= एक्स-बिंदु अक्षांश ए.

ओए ए = एक्स ए ए 1 = जेड ए ए 3 = य- बिंदु गहराई ए;

ओज़ ए = एक्स ए ए 2 = य ए ए 3 = जेड-बिंदु ऊंचाई ए;

टिप्पणी: चूँकि समतलों की सीमाएँ नहीं होतीं, संयुक्त स्थिति में (आरेख पर) उनकी सीमाएँ नहीं दिखाई जातीं। प्रक्षेपण अक्ष प्रक्षेपण विमानों की स्थिति को ठीक करते हैं। इसे स्थापित करना अक्सर व्यावहारिक रूप से अधिक महत्वपूर्ण होता है सापेक्ष स्थितिमूल के तत्व (अर्थात, चित्रित वस्तु) और प्रक्षेपण विमानों की दूरी की तुलना में उनका आकार। इसलिए, इन मामलों में चित्र बनाते समय, प्रक्षेपण अक्षों को चित्रित नहीं किया जा सकता है या आंशिक रूप से चित्रित किया जा सकता है, हालांकि, इसका अर्थ यह है कि प्रक्षेपण दो या तीन परस्पर लंबवत विमानों पर ऑर्थोगोनल रूप से किया जाता है। इस मामले में, संचार लाइनों को चित्रित किया जाना चाहिए। यदि किसी कारण से ड्राइंग में छोड़े गए प्रक्षेपण अक्षों को पुनर्स्थापित करना आवश्यक है, तो उन्हें बिंदु प्रक्षेपणों की कनेक्शन लाइनों पर ध्यान केंद्रित करते हुए खींचा जा सकता है ताकि x 12 ^ ए 1 ए 2, जेड 23^. ए 2 ए 3, और निर्देशांक की उत्पत्ति एक स्थिर सीधी रेखा पर स्थित थी 13 तक.