ऑनलाइन कैलकुलेटर। बहुपद को सरल बनाना। सरल कोष्ठक का उपयोग कैसे करें

कोष्ठकों का विस्तार करना एक प्रकार का अभिव्यक्ति परिवर्तन है। इस अनुभाग में हम कोष्ठक खोलने के नियमों का वर्णन करेंगे, और समस्याओं के सबसे सामान्य उदाहरणों पर भी नज़र डालेंगे।

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प्रारंभिक कोष्ठक क्या है?

कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें संख्यात्मक, शाब्दिक और परिवर्तनीय अभिव्यक्तियों में क्रियाएं की जाती हैं। कोष्ठक वाले व्यंजक से कोष्ठक रहित समरूप समान व्यंजक की ओर जाना सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2 · (3 + 4) को फॉर्म की अभिव्यक्ति से बदलें 2 3 + 2 4कोष्ठक के बिना. इस तकनीक को ब्रैकेट खोलना कहा जाता है।

परिभाषा 1

कोष्ठकों का विस्तार करना कोष्ठकों से छुटकारा पाने की तकनीकों को संदर्भित करता है और आमतौर पर उन अभिव्यक्तियों के संबंध में माना जाता है जिनमें शामिल हो सकते हैं:

• योग या अंतर वाले कोष्ठकों से पहले "+" या "-" चिह्न;
• किसी संख्या, अक्षर या कई अक्षरों और योग या अंतर का गुणनफल, जिसे कोष्ठक में रखा गया है।

इस प्रकार हम पाठ्यक्रम में कोष्ठक खोलने की प्रक्रिया पर विचार करने के आदी हैं स्कूल के पाठ्यक्रम. हालाँकि, हमें इस कार्रवाई को अधिक व्यापक रूप से देखने से कोई नहीं रोक रहा है। हम कोष्ठक में ऋणात्मक संख्याओं वाले व्यंजक से कोष्ठक रहित व्यंजक में परिवर्तन को खोलने वाले कोष्ठक कह सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम 5 + (− 3) − (− 7) से 5 − 3 + 7 तक जा सकते हैं। वास्तव में, यह कोष्ठक का उद्घाटन भी है।

उसी तरह, हम फॉर्म (ए + बी) · (सी + डी) के कोष्ठक में अभिव्यक्ति के उत्पाद को ए · सी + ए · डी + बी · सी + बी · डी के योग से बदल सकते हैं। यह तकनीक कोष्ठक खोलने के अर्थ का खंडन भी नहीं करती है।

यहाँ एक और उदाहरण है. हम यह मान सकते हैं कि व्यंजकों में संख्याओं और चरों के स्थान पर किसी भी व्यंजक का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x 2 · 1 a - x + पाप (बी) फॉर्म x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · पाप (बी) के कोष्ठक के बिना एक अभिव्यक्ति के अनुरूप होगी।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय निर्णय रिकॉर्ड करने की ख़ासियत से संबंधित है। हम प्रारंभिक अभिव्यक्ति को कोष्ठक के साथ लिख सकते हैं और कोष्ठक खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के स्थान पर कोष्ठक का विस्तार करने के बाद 3 − (5 − 7) हमें अभिव्यक्ति मिलती है 3 − 5 + 7 . हम इन दोनों अभिव्यक्तियों को समानता 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 के रूप में लिख सकते हैं।

बोझिल अभिव्यक्तियों के साथ कार्यों को करने के लिए मध्यवर्ती परिणामों को रिकॉर्ड करने की आवश्यकता हो सकती है। तब समाधान समानता की शृंखला का रूप लेगा। उदाहरण के लिए, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 या 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

कोष्ठक खोलने के नियम, उदाहरण

आइए कोष्ठक खोलने के नियमों को देखना शुरू करें।

कोष्ठक में एकल संख्याओं के लिए

कोष्ठकों में ऋणात्मक संख्याएँ अक्सर भावों में पाई जाती हैं। उदाहरण के लिए, (− 4) और 3 + (− 4) . कोष्ठक में धनात्मक संख्याओं का भी स्थान होता है।

आइए एकल धनात्मक संख्याओं वाले कोष्ठकों को खोलने के लिए एक नियम बनाएं। आइए मान लें कि a कोई धनात्मक संख्या है। फिर हम (ए) को ए से, + (ए) को + ए से, - (ए) को - ए से बदल सकते हैं। यदि a के स्थान पर कोई विशिष्ट संख्या लें तो नियम के अनुसार संख्या (5) इस प्रकार लिखी जायेगी 5 , अभिव्यक्ति 3 + (5) बिना कोष्ठक के रूप लेगी 3 + 5 , चूँकि + (5) को प्रतिस्थापित कर दिया गया है + 5 , और व्यंजक 3 + (− 5) व्यंजक के समतुल्य है 3 − 5 , क्योंकि + (− 5) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है − 5 .

सकारात्मक संख्याएँ आमतौर पर कोष्ठक का उपयोग किए बिना लिखी जाती हैं, क्योंकि इस मामले में कोष्ठक अनावश्यक हैं।

अब उन कोष्ठकों को खोलने के नियम पर विचार करें जिनमें एकल ऋणात्मक संख्या होती है। + (- ए)हम इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं − ए, − (− a) को + a द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि व्यंजक ऋणात्मक संख्या से प्रारंभ होता है (- ए), जिसे कोष्ठक में लिखा जाता है, फिर कोष्ठक को हटा दिया जाता है और उसके स्थान पर लिख दिया जाता है (- ए)अवशेष − ए.

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: (- 5) को - 5 के रूप में लिखा जा सकता है, (- 3) + 0, 5 बन जाता है - 3 + 0, 5, 4 + (- 3) बन जाता है 4 − 3 , और − (− 4) − (− 3) कोष्ठक खोलने के बाद 4 + 3 का रूप ले लेता है, क्योंकि − (− 4) और − (− 3) + 4 और + 3 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह समझा जाना चाहिए कि अभिव्यक्ति 3 · (− 5) को 3 · − 5 के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इस पर निम्नलिखित पैराग्राफ में चर्चा की जाएगी।

आइए देखें कि कोष्ठक खोलने के नियम किस पर आधारित हैं।

नियम के अनुसार, अंतर a − b, a + (− b) के बराबर है। संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों के आधार पर हम समानताओं की एक श्रृंखला बना सकते हैं (ए + (− बी)) + बी = ए + ((− बी) + बी) = ए + 0 = एजो उचित होगा. समानता की यह श्रृंखला, घटाव के अर्थ के आधार पर, साबित करती है कि अभिव्यक्ति ए + (- बी) अंतर है ए − बी.

विपरीत संख्याओं के गुणों और घटाव नियमों के आधार पर नकारात्मक संख्याएँहम बता सकते हैं कि − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

ऐसे भाव हैं जो एक संख्या, ऋण चिह्न और कोष्ठक के कई जोड़े से बने होते हैं। उपरोक्त नियमों का उपयोग करने से आप आंतरिक से बाहरी कोष्ठक की ओर या विपरीत दिशा में चलते हुए कोष्ठकों से क्रमिक रूप से छुटकारा पा सकते हैं। ऐसी अभिव्यक्ति का एक उदाहरण होगा − (− ((− (5)))) . आइए अंदर से बाहर की ओर बढ़ते हुए, कोष्ठक खोलें: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . इस उदाहरण का विश्लेषण विपरीत दिशा में भी किया जा सकता है: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

अंतर्गत एऔर बी को न केवल संख्याओं के रूप में समझा जा सकता है, बल्कि मनमाने संख्यात्मक या के रूप में भी समझा जा सकता है शाब्दिक अभिव्यक्तियाँसामने "+" चिह्न के साथ, जो योग या अंतर नहीं हैं। इन सभी मामलों में, आप नियमों को उसी तरह लागू कर सकते हैं जैसे हमने कोष्ठक में एकल संख्याओं के लिए किया था।

उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद अभिव्यक्ति − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) 2 · x - x 2 - 1 x - 2 · x · y 2: z का रूप लेगा। हम इसे कैसे करेंगे? हम जानते हैं कि − (− 2 x) + 2 x है, और चूँकि यह अभिव्यक्ति पहले आती है, तो + 2 x को 2 x के रूप में लिखा जा सकता है, − (x 2) = − x 2, + (- 1 एक्स) = - 1 एक्स और − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

दो संख्याओं के गुणनफल में

आइए दो संख्याओं के गुणनफल में कोष्ठक खोलने के नियम से शुरुआत करें।

चलिए मान लेते हैं एऔर बी दो है सकारात्मक संख्या. इस मामले में, दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल − एऔर − b फॉर्म (− a) · (− b) को हम (a · b) से बदल सकते हैं, और फॉर्म के विपरीत चिह्नों वाली दो संख्याओं के गुणनफल (− a) · b और a · (− b) से बदला जा सकता है (- ए बी). माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर माइनस मिलता है, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करने पर माइनस मिलता है।

लिखित नियम के पहले भाग की सत्यता की पुष्टि ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम से होती है। नियम के दूसरे भाग की पुष्टि करने के लिए, हम विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को गुणा करने के नियमों का उपयोग कर सकते हैं।

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

आइए फॉर्म (- 2) · - 4 3 5 के दो नकारात्मक संख्याओं - 4 3 5 और - 2 के गुणनफल में कोष्ठक खोलने के लिए एक एल्गोरिदम पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को 2 · 4 3 5 से बदलें। आइए कोष्ठक खोलें और 2 · 4 3 5 प्राप्त करें।

और यदि हम ऋणात्मक संख्याओं (− 4) : (− 2) का भागफल लें, तो कोष्ठक खोलने के बाद प्रविष्टि 4: 2 जैसी दिखेगी

ऋणात्मक संख्याओं के स्थान पर − एऔर − b सामने ऋण चिह्न वाला कोई भी भाव हो सकता है जो योग या अंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, ये गुणनफल, भागफल, भिन्न, घात, मूल, लघुगणक, हो सकते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यवगैरह।

आइए अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलें - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

अभिव्यक्ति (−3)2अभिव्यक्ति (− 3 2) में परिवर्तित किया जा सकता है। इसके बाद आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने के लिए कोष्ठकों के प्रारंभिक विस्तार की भी आवश्यकता हो सकती है: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 और 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5।

नियम का उपयोग विभिन्न चिह्नों वाले भावों का गुणन और भाग करने के लिए किया जा सकता है। चलिए दो उदाहरण देते हैं.

1 एक्स + 1: एक्स - 3 = - 1 एक्स + 1: एक्स - 3 = - 1 एक्स + 1: एक्स - 3

पाप (x) (- x 2) = (- पाप (x) x 2) = - पाप (x) x 2

तीन या अधिक संख्याओं के गुणनफल में

आइए उन उत्पादों और भागफलों पर चलते हैं जिनमें शामिल हैं अधिकनंबर. कोष्ठक खोलने के लिए निम्नलिखित नियम यहाँ लागू होगा। पर सम संख्याऋणात्मक संख्याओं के लिए, आप कोष्ठकों को हटा सकते हैं और संख्याओं को उनके विपरीत संख्याओं से बदल सकते हैं। इसके बाद, आपको परिणामी अभिव्यक्ति को नए कोष्ठक में संलग्न करना होगा। यदि ऋणात्मक संख्याओं की संख्या विषम है, तो कोष्ठकों को हटा दें और संख्याओं को उनके विपरीत संख्याओं से बदल दें। इसके बाद, परिणामी अभिव्यक्ति को नए कोष्ठक में रखा जाना चाहिए और उसके सामने एक ऋण चिह्न रखा जाना चाहिए।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 5 · (− 3) · (− 2) लें, जो तीन संख्याओं का गुणनफल है। दो ऋणात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं (5 · 3 · 2) और फिर अंत में कोष्ठक खोलें, अभिव्यक्ति 5 · 3 · 2 प्राप्त करें।

गुणनफल में (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) पाँच संख्याएँ ऋणात्मक हैं। इसलिए (- 2, 5) · (- 3) : (- 2) · 4: (- 1, 25) : (- 1) = (- 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . अंततः कोष्ठक खोलने पर, हमें प्राप्त होता है −2.5 3:2 4:1.25:1.

उपरोक्त नियम को निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। सबसे पहले, हम ऐसे भावों को गुणनफल के रूप में फिर से लिख सकते हैं, उन्हें गुणा से प्रतिस्थापित कर सकते हैं पारस्परिक संख्याविभाजन। हम प्रत्येक ऋणात्मक संख्या को एक गुणन संख्या के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं और - 1 या - 1 से प्रतिस्थापित कर देते हैं (- 1)ए.

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करते हुए, हम गुणनखंडों की अदला-बदली करते हैं और सभी गुणनखंडों को समान रूप से स्थानांतरित करते हैं − 1 , अभिव्यक्ति की शुरुआत तक। सम संख्या का गुणनफल एक घटाकर 1 के बराबर होता है, और विषम संख्या का गुणनफल 1 के बराबर होता है − 1 , जो हमें ऋण चिह्न का उपयोग करने की अनुमति देता है।

यदि हमने नियम का उपयोग नहीं किया, तो अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलने के लिए क्रियाओं की श्रृंखला - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 इस तरह दिखेगी:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

उपरोक्त नियम का उपयोग उन अभिव्यक्तियों में कोष्ठक खोलते समय किया जा सकता है जो ऋण चिह्न के साथ उत्पादों और भागफलों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो योग या अंतर नहीं हैं। आइए उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति लें

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

इसे बिना कोष्ठक x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 के व्यंजक में घटाया जा सकता है।

कोष्ठकों का विस्तार करने के पहले + चिह्न आता है

एक नियम पर विचार करें जिसे उन कोष्ठकों का विस्तार करने के लिए लागू किया जा सकता है जिनके पहले प्लस चिह्न है, और उन कोष्ठकों की "सामग्री" को किसी भी संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा या विभाजित नहीं किया जाता है।

नियम के अनुसार, कोष्ठक, उनके सामने के चिह्न सहित हटा दिए जाते हैं, जबकि कोष्ठक में सभी पदों के चिह्न सुरक्षित रहते हैं। यदि कोष्ठक में पहले पद से पहले कोई चिह्न नहीं है, तो आपको प्लस चिह्न लगाना होगा।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, हम अभिव्यक्ति देते हैं (12 − 3 , 5) − 7 . कोष्ठकों को हटाकर, हम पदों के चिह्नों को कोष्ठकों में रखते हैं और पहले पद के सामने धन चिह्न लगाते हैं। प्रविष्टि (12 − ​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7 जैसी दिखेगी। दिए गए उदाहरण में, पहले पद के आगे चिह्न लगाना आवश्यक नहीं है, क्योंकि + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

उदाहरण 4

आइए एक और उदाहरण देखें. आइए अभिव्यक्ति x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x लें और इसके साथ क्रियाएं x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x करें + 2 ए - 3 एक्स 2 + 1 - एक्स 2 - 4 + 1 एक्स

यहां कोष्ठकों के विस्तार का एक और उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न का विस्तार कैसे किया जाता है?

आइए उन मामलों पर विचार करें जहां कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न है, और जिन्हें किसी संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा (या विभाजित) नहीं किया गया है। कोष्ठक खोलने के नियम के अनुसार "-" चिह्न से पहले, "-" चिह्न वाले कोष्ठक छोड़ दिए जाते हैं, और कोष्ठक के अंदर सभी शब्दों के चिह्न उलट दिए जाते हैं।

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए:

1 2 = 1 2 , - 1 एक्स + 1 = - 1 एक्स + 1 , - (- एक्स 2) = एक्स 2

चर वाले भावों को समान नियम का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

एक्स + एक्स 3 - 3 - - 2 एक्स 2 + 3 एक्स 3 एक्स + 1 एक्स - 1 - एक्स + 2,

हमें x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 मिलता है।

किसी संख्या को कोष्ठक से गुणा करने पर कोष्ठक खुलना, भाव को कोष्ठक से गुणा करना

यहां हम उन मामलों को देखेंगे जहां आपको कोष्ठकों का विस्तार करने की आवश्यकता है जो किसी संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा या विभाजित होते हैं। फॉर्म के सूत्र (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) या बी · (ए 1 ± ए 2 ± … ± ए एन) = (बी · ए 1 ± बी · ए 2 ± … ± बी · ए एन), कहाँ ए 1 , ए 2 , … , ए एनऔर b कुछ संख्याएँ या भाव हैं।

उदाहरण 7

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें (3 − 7) 2. नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . हमें 3 · 2 − 7 · 2 मिलता है।

अभिव्यक्ति 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 में कोष्ठक खोलने पर, हमें 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2 मिलता है।

कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करना

(a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) रूप के दो कोष्ठकों के गुणनफल पर विचार करें। इससे हमें कोष्ठक-दर-कोष्ठक गुणन करते समय कोष्ठक खोलने का नियम प्राप्त करने में मदद मिलेगी।

दिए गए उदाहरण को हल करने के लिए, हम व्यंजक को निरूपित करते हैं (बी 1 + बी 2)जैसे बी. यह हमें किसी कोष्ठक को किसी व्यंजक से गुणा करने के नियम का उपयोग करने की अनुमति देगा। हमें (ए 1 + ए 2) · (बी 1 + बी 2) = (ए 1 + ए 2) · बी = (ए 1 · बी + ए 2 · बी) = ए 1 · बी + ए 2 · बी मिलता है। रिवर्स रिप्लेसमेंट करके बी(बी 1 + बी 2) द्वारा, किसी अभिव्यक्ति को कोष्ठक से गुणा करने का नियम फिर से लागू करें: ए 1 बी + ए 2 बी = = ए 1 (बी 1 + बी 2) + ए 2 (बी 1 + बी 2) = = (ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2) + (ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2) = = ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2 + ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2

कई सरल तकनीकों की बदौलत, हम पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद के गुणनफल का योग दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से प्राप्त कर सकते हैं। नियम को कोष्ठक के अंदर किसी भी संख्या तक बढ़ाया जा सकता है।

आइए हम कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करने के नियम बनाएं: दो योगों को एक साथ गुणा करने के लिए, आपको पहले योग के प्रत्येक पद को दूसरे योग के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

(ए 1 + ए 2 + ... + ए एम) · (बी 1 + बी 2 + ... + बी एन) = = ए 1 बी 1 + ए 1 बी 2 +। . . + ए 1 बी एन + + ए 2 बी 1 + ए 2 बी 2 +। . . + ए 2 बी एन + + . . . + + ए एम बी 1 + ए एम बी 1 +। . . ए एम बी एन

आइए अभिव्यक्ति (1 + x) · (x 2 + x + 6) में कोष्ठक का विस्तार करें यह दो योगों का गुणनफल है। आइए समाधान लिखें: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

उन मामलों का अलग से उल्लेख करना आवश्यक है जहां कोष्ठक में धन चिह्न के साथ ऋण चिह्न भी है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) लें।

सबसे पहले, आइए कोष्ठक में दिए गए भावों को योग के रूप में प्रस्तुत करें: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). अब हम नियम लागू कर सकते हैं: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · एक्स · वाई 3) + (− एक्स) · 3 · एक्स · वाई + (− एक्स) · (− 2 · एक्स · वाई 3))

आइए कोष्ठक खोलें: 1 · 3 · x · y - 1 · 2 · x · y 3 - x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3।

एकाधिक कोष्ठकों और अभिव्यक्तियों के उत्पादों में कोष्ठकों का विस्तार करना

यदि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठकों में तीन या अधिक अभिव्यक्तियाँ हैं, तो कोष्ठकों को क्रमिक रूप से खोला जाना चाहिए। आपको पहले दो कारकों को कोष्ठक में रखकर परिवर्तन शुरू करना होगा। इन कोष्ठकों के भीतर हम ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार परिवर्तन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में कोष्ठक (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) ।

अभिव्यक्ति में एक साथ तीन कारक शामिल हैं (2 + 4) , 3 और (5 + 7 8) . हम कोष्ठकों को क्रमानुसार खोलेंगे। आइए पहले दो कारकों को दूसरे ब्रैकेट में संलग्न करें, जिन्हें हम स्पष्टता के लिए लाल बना देंगे: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

किसी कोष्ठक को किसी संख्या से गुणा करने के नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित क्रियाएं कर सकते हैं: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

ब्रैकेट को ब्रैकेट से गुणा करें: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8।

प्रकार में ब्रैकेट

डिग्री, जिसका आधार प्राकृतिक घातांक के साथ कोष्ठक में लिखे गए कुछ भाव हैं, को कई कोष्ठकों का उत्पाद माना जा सकता है। इसके अलावा, पिछले दो अनुच्छेदों के नियमों के अनुसार, उन्हें इन कोष्ठकों के बिना भी लिखा जा सकता है।

अभिव्यक्ति को रूपांतरित करने की प्रक्रिया पर विचार करें (ए + बी + सी) 2 . इसे दो कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है (ए + बी + सी) · (ए + बी + सी). आइए ब्रैकेट को ब्रैकेट से गुणा करें और a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c प्राप्त करें।

आइए एक और उदाहरण देखें:

उदाहरण 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

कोष्ठक को संख्या से और कोष्ठक को कोष्ठक से विभाजित करना

किसी कोष्ठक को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए आवश्यक है कि कोष्ठक में संलग्न सभी पदों को संख्या से विभाजित किया जाए। उदाहरण के लिए, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4।

विभाजन को पहले गुणन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसके बाद आप किसी उत्पाद में कोष्ठक खोलने के लिए उपयुक्त नियम का उपयोग कर सकते हैं। कोष्ठक को कोष्ठक से विभाजित करते समय भी यही नियम लागू होता है।

उदाहरण के लिए, हमें अभिव्यक्ति (x + 2) : 2 3 में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, पहले विभाजन को पारस्परिक संख्या (x + 2) से गुणा करके बदलें: 2 3 = (x + 2) · 2 3। कोष्ठक को संख्या (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 से गुणा करें।

कोष्ठक द्वारा विभाजन का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

उदाहरण 9

1 एक्स + एक्स + 1: (एक्स + 2) .

आइए विभाजन को गुणन से बदलें: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

आइए गुणा करें: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2।

कोष्ठक खोलने का क्रम

आइए अब ऊपर चर्चा किए गए नियमों को सामान्य अभिव्यक्तियों में लागू करने के क्रम पर विचार करें, अर्थात ऐसे भावों में जिनमें अंतर के साथ योग, भागफल के साथ गुणनफल, प्राकृतिक डिग्री तक कोष्ठक शामिल होते हैं।

प्रक्रिया:

• पहला कदम कोष्ठकों को प्राकृतिक शक्ति तक ऊपर उठाना है;
• दूसरे चरण में, कार्यों और भागफलों में कोष्ठक खोलने का कार्य किया जाता है;
• अंतिम चरण योग और अंतर में कोष्ठक खोलना है।

आइए अभिव्यक्ति के उदाहरण का उपयोग करके क्रियाओं के क्रम पर विचार करें (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . आइए अभिव्यक्ति 3 · (− 2) : (− 4) और 6 · (− 7) से रूपांतरित करें, जिसे रूप लेना चाहिए (3 2:4)और (− 6 · 7) . प्राप्त परिणामों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: (- 5) + 3 · (- 2) : (- 4) - 6 · (- 7) = (- 5) + (3 · 2: 4) - (− 6 · 7) . कोष्ठक खोलें: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक वाले अभिव्यक्तियों से निपटते समय, अंदर से बाहर तक काम करके परिवर्तन करना सुविधाजनक होता है।

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A+(b + c) को कोष्ठक के बिना लिखा जा सकता है: a+(b + c)=a + b + c। इस ऑपरेशन को ओपनिंग कोष्ठक कहा जाता है।

उदाहरण 1.आइए व्यंजक a + (- b + c) में कोष्ठक खोलें।

समाधान।ए + (-बी+सी) = ए + ((-बी) + सी)=ए + (-बी) + सी = ए-बी + सी।

यदि कोष्ठक के सामने "+" चिन्ह है, तो आप कोष्ठक में शब्दों के चिन्ह बनाए रखते हुए कोष्ठक और इस "+" चिन्ह को हटा सकते हैं। यदि कोष्ठक में पहला पद बिना चिन्ह के लिखा हो तो उसे "+" चिन्ह के साथ लिखा जाना चाहिए।

उदाहरण 2.आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें -2.87+ (2.87-7.639)।

समाधान।कोष्ठक खोलने पर, हमें मिलता है - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639।

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए - (- 9 + 5) आपको जोड़ना होगा नंबर-9 और 5 और परिणामी योग के विपरीत संख्या ज्ञात करें: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4।

समान मान दूसरे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले इन पदों के विपरीत संख्याओं को लिखें (अर्थात उनके चिह्न बदलें), और फिर जोड़ें: 9 + (- 5) = 4. इस प्रकार, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

कई पदों के योग के विपरीत योग लिखने के लिए, आपको इन पदों के चिह्न बदलने होंगे।

इसका मतलब है - (ए + बी) = - ए - बी।

उदाहरण 3.आइए व्यंजक 16 - (10 -18 + 12) का मान ज्ञात करें।

समाधान। 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

"-" चिह्न से पहले वाले कोष्ठक को खोलने के लिए, आपको इस चिह्न को "+" से बदलना होगा, कोष्ठक में सभी शब्दों के संकेतों को विपरीत में बदलना होगा, और फिर कोष्ठक को खोलना होगा।

उदाहरण 4.आइए व्यंजक 9.36-(9.36 - 5.48) का मान ज्ञात करें।

समाधान। 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -एफ 5.48 = 5 ,48.

कोष्ठकों का विस्तार करना और क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों को लागू करना जोड़नाआपको गणनाओं को सरल बनाने की अनुमति देता है।

उदाहरण 5.आइए व्यंजक (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 का मान ज्ञात करें।

समाधान।सबसे पहले, हम कोष्ठक खोलेंगे, और फिर हम सभी सकारात्मक संख्याओं का योग अलग से और सभी नकारात्मक संख्याओं का योग अलग से निकालेंगे और अंत में, परिणाम जोड़ेंगे:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

उदाहरण 6.आइए अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें

समाधान।सबसे पहले, आइए प्रत्येक पद को उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में कल्पना करें, फिर कोष्ठक खोलें, फिर पूर्णांक जोड़ें और अलग से आंशिकभाग और अंत में परिणाम जोड़ें:

आप "+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं? आप किसी ऐसे व्यंजक का मान कैसे ज्ञात कर सकते हैं जो कई संख्याओं के योग के विपरीत है? "-" चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार कैसे करें?

1218. कोष्ठक खोलें:

ए) 3.4+(2.6+ 8.3); सी) एम+(एन-के);

बी) 4.57+(2.6 - 4.57); घ) सी+(-ए + बी).

1219. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1220. कोष्ठक खोलें:

ए) 85+(7.8+ 98); घ) -(80-16) + 84; जी) ए-(बी-के-एन);
बी) (4.7 -17)+7.5; ई) -ए + (एम-2.6); ज) -(ए-बी + सी);
ग) 64-(90 + 100); ई) सी+(- ए-बी); i) (एम-एन)-(पी-के)।

1221. कोष्ठक खोलें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1222. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

1223. लिखो मात्रादो अभिव्यक्तियाँ और इसे सरल बनाएं:

ए) - 4 - एम और एम + 6.4; डी) ए+बी और पी - बी
बी) 1.1+ए और -26-ए; ई) - एम + एन और -के - एन;
सी) ए + 13 और -13 + बी; ई)एम - एन और एन - एम।

1224. दो भावों का अंतर लिखिए और सरल कीजिए:

1226. समस्या को हल करने के लिए समीकरण का उपयोग करें:

a) एक शेल्फ पर 42 किताबें हैं, और दूसरे शेल्फ पर 34 किताबें हैं। दूसरी शेल्फ से कई किताबें हटा दी गईं, और पहली शेल्फ से उतनी ही किताबें ली गईं जितनी दूसरी शेल्फ पर छोड़ी गई थीं। उसके बाद, पहली शेल्फ पर 12 किताबें बची थीं। दूसरी शेल्फ से कितनी किताबें हटाई गईं?

बी) पहली कक्षा में 42 छात्र हैं, दूसरी में तीसरी की तुलना में 3 छात्र कम हैं। यदि इन तीन ग्रेडों में 125 छात्र हैं तो तीसरी कक्षा में कितने छात्र हैं?

1227. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1228. मौखिक रूप से गणना करें:

1229. खोजें उच्चतम मूल्यभाव:

1230. 4 क्रमागत पूर्णांक निर्दिष्ट करें यदि:

क) उनमें से छोटा -12 है; ग) उनमें से छोटा n है;
बी) उनमें से सबसे बड़ा -18 है; d) उनमें से बड़ा k के बराबर है।

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समीकरण का वह भाग कोष्ठक में अभिव्यक्ति है। कोष्ठक खोलने के लिए, कोष्ठक के सामने चिह्न को देखें। यदि कोई प्लस चिह्न है, तो अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलने से कुछ भी नहीं बदलेगा: बस कोष्ठक हटा दें। यदि कोई ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक खोलते समय, आपको कोष्ठक में मूल रूप से मौजूद सभी चिह्नों को विपरीत चिह्नों में बदलना होगा। उदाहरण के लिए, -(2x-3)=-2x+3.

दो कोष्ठकों को गुणा करना.
यदि समीकरण में दो कोष्ठकों का गुणनफल है, तो मानक नियम के अनुसार कोष्ठकों का विस्तार करें। पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। परिणामी संख्याओं का सारांश दिया गया है। इस मामले में, दो "प्लस" या दो "माइनस" का उत्पाद शब्द को "प्लस" चिह्न देता है, और यदि कारकों में है विभिन्न संकेत, फिर एक ऋण चिह्न प्राप्त होता है।
आइए विचार करें.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

कोष्ठक खोलकर, कभी-कभी एक अभिव्यक्ति बढ़ाकर। वर्ग और घन के फार्मूले को याद रखना चाहिए और याद रखना चाहिए।
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
तीन से बड़े व्यंजक के निर्माण के सूत्र पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके किए जा सकते हैं।

स्रोत:

• कोष्ठक विस्तार सूत्र

कोष्ठक में संलग्न गणितीय संक्रियाओं में चर और अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं बदलती डिग्रीजटिलता. ऐसे भावों को गुणा करने के लिए, आपको समाधान खोजना होगा सामान्य रूप से देखें, कोष्ठक खोलना और परिणाम को सरल बनाना। यदि कोष्ठक में चर के बिना, केवल संख्यात्मक मानों के साथ संचालन होता है, तो कोष्ठक खोलना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यदि आपके पास एक कंप्यूटर है, तो उसके उपयोगकर्ता के पास बहुत महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग संसाधनों तक पहुंच है - अभिव्यक्ति को सरल बनाने की तुलना में उनका उपयोग करना आसान है।

निर्देश

यदि आप सामान्य रूप में परिणाम प्राप्त करना चाहते हैं तो एक कोष्ठक में मौजूद प्रत्येक (या ) को अन्य सभी कोष्ठकों की सामग्री से क्रमिक रूप से गुणा करें। उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाए: (5+x)∗(6-x)∗(x+2)। फिर अनुक्रमिक गुणन (अर्थात कोष्ठक खोलने पर) निम्नलिखित परिणाम देगा: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

भावों को छोटा करके परिणाम को सरल बनाएं। उदाहरण के लिए, पिछले चरण में प्राप्त अभिव्यक्ति को निम्नानुसार सरल बनाया जा सकता है: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

यदि आपको x को 4.75 से गुणा करना है, यानी (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2) तो कैलकुलेटर का उपयोग करें। इस मान की गणना करने के लिए, Google या निगमा खोज इंजन वेबसाइट पर जाएं और क्वेरी फ़ील्ड में अभिव्यक्ति को उसके मूल रूप (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) में दर्ज करें। Google एक बटन क्लिक किए बिना तुरंत 82.265625 दिखाएगा, लेकिन निगमा को एक बटन क्लिक करके सर्वर पर डेटा भेजना होगा।

इस पाठ में आप सीखेंगे कि कोष्ठक वाले व्यंजक को बिना कोष्ठक वाले व्यंजक में कैसे बदला जाए। आप सीखेंगे कि धन चिह्न और ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलें। हम याद रखेंगे कि गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके कोष्ठक कैसे खोलें। विचार किए गए उदाहरण आपको नई और पहले अध्ययन की गई सामग्री को एक पूरे में जोड़ने की अनुमति देंगे।

विषय: समीकरणों को हल करना

पाठ: कोष्ठकों का विस्तार करना

"+" चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार कैसे करें। जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करना।

यदि आपको किसी संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने की आवश्यकता है, तो आप पहले इस संख्या में पहला पद जोड़ सकते हैं, और फिर दूसरा।

समान चिह्न के बाईं ओर कोष्ठक के साथ एक अभिव्यक्ति है, और दाईं ओर कोष्ठक के बिना एक अभिव्यक्ति है। इसका मतलब यह है कि समानता के बाईं ओर से दाईं ओर जाने पर कोष्ठक का उद्घाटन हुआ।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1.

कोष्ठक खोलकर हमने क्रियाओं का क्रम बदल दिया। गिनना अधिक सुविधाजनक हो गया है।

उदाहरण 2.

उदाहरण 3.

ध्यान दें कि तीनों उदाहरणों में हमने केवल कोष्ठक हटा दिए हैं। आइए एक नियम बनाएं:

टिप्पणी।

यदि कोष्ठक में पहला पद अहस्ताक्षरित है, तो उसे धन चिह्न के साथ लिखा जाना चाहिए।

आप चरण दर चरण उदाहरण का अनुसरण कर सकते हैं. सबसे पहले 445 को 889 में जोड़ें। यह क्रिया मानसिक रूप से की जा सकती है, लेकिन यह बहुत आसान नहीं है। आइए कोष्ठक खोलें और देखें कि बदली हुई प्रक्रिया गणना को काफी सरल बना देगी।

यदि आप संकेतित प्रक्रिया का पालन करते हैं, तो आपको पहले 512 में से 345 घटाना होगा, और फिर परिणाम में 1345 जोड़ना होगा। कोष्ठक खोलकर, हम प्रक्रिया बदल देंगे और गणना को काफी सरल बना देंगे।

सचित्र उदाहरण और नियम.

आइए एक उदाहरण देखें: . आप 2 और 5 को जोड़कर और फिर परिणामी संख्या लेकर किसी अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कर सकते हैं विपरीत संकेत. हमें -7 मिलता है।

दूसरी ओर, मूल संख्याओं की विपरीत संख्याओं को जोड़कर भी वही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

आइए एक नियम बनाएं:

उदाहरण 1.

उदाहरण 2.

यदि कोष्ठक में दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक पद हों तो नियम नहीं बदलता।

उदाहरण 3.

टिप्पणी। केवल पदों के सामने ही चिन्ह उलटे होते हैं।

कोष्ठक खोलने के लिए, इस मामले में हमें वितरण गुण को याद रखने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, पहले ब्रैकेट को 2 से गुणा करें, और दूसरे को 3 से गुणा करें।

पहले ब्रैकेट के पहले "+" चिह्न है, जिसका अर्थ है कि चिह्नों को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए। दूसरे चिह्न के पहले "-" चिह्न है, इसलिए, सभी चिह्नों को विपरीत में बदलने की आवश्यकता है

संदर्भ

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम.: मेनेमोसिन, 2012।
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3. डेपमैन आई.वाई.ए., विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - ज्ञानोदय, 1989.
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित पाठ्यक्रम ग्रेड 5-6 के लिए असाइनमेंट - ZSh MEPhI, 2011।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार विद्यालय में छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: ग्रेड 5-6 के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार हाई स्कूल. गणित शिक्षक का पुस्तकालय. - ज्ञानोदय, 1989.

1. गणित में ऑनलाइन परीक्षण ()।
2. आप खंड 1.2 में निर्दिष्ट को डाउनलोड कर सकते हैं। किताबें()।

गृहकार्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम.: मेनेमोसिन, 2012। (लिंक 1.2 देखें)
2. गृहकार्य: क्रमांक 1254, क्रमांक 1255, क्रमांक 1256 (बी, डी)
3. अन्य कार्य: क्रमांक 1258(सी), क्रमांक 1248

हर जगह. हर जगह और जहां भी आप देखें, आप ये डिज़ाइन देख सकते हैं:

ये "निर्माण" साक्षर लोगों के बीच मिश्रित प्रतिक्रिया का कारण बनते हैं। कम से कम जैसे "क्या यह सचमुच सही है?"
सामान्य तौर पर, मैं व्यक्तिगत रूप से यह नहीं समझ पा रहा हूं कि बाहरी उद्धरण चिह्नों को बंद न करने का "फैशन" कहां से आया। इसमें जो पहला और एकमात्र सादृश्य आता है वह कोष्ठक के साथ सादृश्य है। इसमें कोई संदेह नहीं है कि एक पंक्ति में दो कोष्ठक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए: "संपूर्ण संचलन के लिए भुगतान करें (200 टुकड़े (जिनमें से 100 दोषपूर्ण हैं))।" लेकिन किसी ने एक पंक्ति में दो उद्धरण चिह्न लगाने की सामान्यता पर संदेह किया (मुझे आश्चर्य है कि पहले कौन था?) ... और अब हर कोई पूरी तरह से बन गया है स्पष्ट विवेकफर्म पुपकोव एंड कंपनी एलएलसी जैसी संरचनाओं का निर्माण करना।
लेकिन भले ही आपने अपने जीवन में कभी भी नियम नहीं देखा हो, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी, तो एकमात्र तार्किक विकल्प (कोष्ठक के उदाहरण का उपयोग करके) निम्नलिखित होगा: एलएलसी फर्म पुपकोव एंड कंपनी।
तो, नियम स्वयं:
यदि उद्धरण के आरंभ में या अंत में (यही बात प्रत्यक्ष भाषण पर लागू होती है) आंतरिक और बाहरी उद्धरण चिह्न हैं, तो उन्हें डिज़ाइन में एक दूसरे से भिन्न होना चाहिए (तथाकथित "हेरिंगबोन" और "पंखुड़ियाँ"), और बाहरी उद्धरण चिह्नों को छोड़ा नहीं जाना चाहिए, उदाहरण के लिए: C स्टीमर के किनारों पर रेडियो प्रसारित हुआ: "लेनिनग्राद ने उष्णकटिबंधीय क्षेत्र में प्रवेश किया है और अपने रास्ते पर जारी है।" ज़ुकोवस्की के बारे में, बेलिंस्की लिखते हैं: “ज़ुकोवस्की की युवावस्था के समकालीन लोग उन्हें मुख्य रूप से गाथागीतों के लेखक के रूप में देखते थे, और अपने एक पत्र में बट्युशकोव ने उन्हें “गाथालेखक” कहा था।
© रूसी वर्तनी और विराम चिह्न के नियम। - तुला: ऑटोग्राफ, 1995. - 192 पी।
तदनुसार... यदि आपके पास "हेरिंगबोन" उद्धरण टाइप करने का अवसर नहीं है, तो आप क्या कर सकते हैं, आपको ऐसे "" आइकन का उपयोग करना होगा। हालाँकि, रूसी उद्धरण चिह्नों का उपयोग करने में असमर्थता (या अनिच्छा) ऐसा कोई कारण नहीं है कि आप बाहरी उद्धरण चिह्नों को बंद नहीं कर सकते।

इस प्रकार, एलएलसी "फर्म पुपकोव एंड कंपनी" के डिजाइन की अशुद्धि को सुलझा लिया गया है। एलएलसी फर्म "पुपकोव एंड कंपनी" जैसे निर्माण भी हो रहे हैं।
नियम से यह पूर्णतया स्पष्ट है कि ऐसे निर्माण भी अनपढ़ हैं... (सही: एलएलसी "फर्म पुपकोव एंड कंपनी"

तथापि!
ए.ई. मिल्चिन (2004 संस्करण) द्वारा "प्रकाशक और लेखक की मार्गदर्शिका" में कहा गया है कि ऐसे मामलों में दो डिज़ाइन विकल्पों का उपयोग किया जा सकता है। "हेरिंगबोन्स" और "पैरों" का उपयोग और (तकनीकी साधनों के अभाव में) केवल "हेरिंगबोन्स" का उपयोग: दो खुलने वाले और एक बंद होने वाला।
निर्देशिका "ताज़ा" है और व्यक्तिगत रूप से, मेरे यहाँ तुरंत 2 प्रश्न हैं। सबसे पहले, कोई किस ख़ुशी से एक समापन उद्धरण चिह्न का उपयोग कर सकता है (ठीक है, यह अतार्किक है, ऊपर देखें), और दूसरी बात, वाक्यांश "तकनीकी साधनों के अभाव में" विशेष रूप से ध्यान आकर्षित करता है। यह कैसा है, क्षमा करें? अब नोटपैड खोलें और "केवल क्रिसमस पेड़: दो उद्घाटन और एक समापन" टाइप करें। कीबोर्ड पर ऐसे कोई चिन्ह नहीं हैं. मैं "हेरिंगबोन" प्रिंट नहीं कर सकता... संयोजन Shift + 2 "चिह्न उत्पन्न करता है (जो, जैसा कि आप जानते हैं, उद्धरण चिह्न नहीं है)। अब खोलें माइक्रोसॉफ्ट वर्डऔर फिर से Shift + 2 दबाएं। प्रोग्राम "से" (या ") को सही करेगा। खैर, यह पता चला है कि दशकों से मौजूद नियम को माइक्रोसॉफ्ट वर्ड के तहत लिया गया था और फिर से लिखा गया था? जैसे, "फर्म" पुपकोव से शब्द के बाद से एंड कंपनी'' ''फर्म'' पुपकोव एंड कंपनी'' बनाती है, तो इसे अब स्वीकार्य और सही होने दें???
ऐसा ही लगता है. और यदि ऐसा है, तो इस तरह के नवाचार की शुद्धता पर संदेह करने का हर कारण है।

हाँ, और एक और स्पष्टीकरण... "तकनीकी साधनों की कमी" के बारे में। तथ्य यह है कि विंडोज़ वाले किसी भी कंप्यूटर पर "क्रिसमस ट्री" और "पैर" दोनों में प्रवेश करने के लिए हमेशा "तकनीकी साधन" होते हैं, इसलिए यह नया "नियम" (मेरे लिए यह उद्धरण चिह्नों में है) शुरू से ही गलत है!

किसी फ़ॉन्ट में सभी विशेष वर्णों को उस वर्ण की संगत संख्या जानकर आसानी से टाइप किया जा सकता है। बस Alt दबाए रखें और NumLock कीबोर्ड पर संबंधित प्रतीक संख्या टाइप करें (NumLock दबाया गया है, संकेतक लाइट चालू है):

„ Alt + 0132 (बाएं "पैर")
“Alt + 0147 (दाहिना पैर)
« Alt + 0171 (बायाँ हेरिंगबोन)
»Alt + 0187 (दायाँ हेरिंगबोन)