Чему равно а центростремительное. Центростремительное ускорение - вывод формулы и практическое применение

Определение

Центростремительным ускорением называют компоненту полного ускорения материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, которая определяет быстроту изменения направления вектора скорости.

Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости. Обозначают центростремительное ускорение, обычно ${\overline{a}}_n$. Центростремительное ускорение еще называют нормальным.

Центростремительное ускорение равно:

\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{r^2}\overline{r\ }=\frac{v^2}{r}{\overline{e}}_r\left(1\right),\]

где ${\overline{e}}_r=\frac{\overline{r\ }}{r}$ - единичный вектор, который направлен от центра кривизны траектории к рассматриваемой точке; $r$ - радиус кривизны траектории в месте нахождения материальной точки в рассматриваемый момент времени.

Первым верные формулы для вычисления центростремительного ускорения получил Х. Гюйгенс.

Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:

\[\left=\frac{м}{с^2}.\]

Формула центростремительного ускорения при равномерном движении точки по окружности

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. При таком перемещении величина скорости материальной точки неизменна ($v=const$). Но это не означает, что полное ускорение материальной точки при таком виде движения равно нулю. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности, по которой перемещается точка. Следовательно, в этом движении скорость постоянно изменяет свое направление. Отсюда следует, что точка имеет ускорение.

Рассмотрим точки A и B которые лежат на траектории движения частицы. Вектор изменения скорости для точек A и B найдем как:

\[\Delta \overline{v}={\overline{v}}"-\overline{v}\left(2\right).\]

Если время, затрачиваемое на движение от точки A до точки B, стремится к нулю, то дуга AB мало не отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, получим:

\[\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta l}{R}=\alpha \left(3\right).\]

Величину модуля среднего ускорения определяют как:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\Delta l}{R\Delta t}\left(4\right).\]

Перейдем к пределу при $\Delta t\to 0\ $ от $\left\langle a\right\rangle \ \ $в формуле (4):

Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:

\[\beta =\frac{\pi +\alpha }{2}\left(6\right).\]

При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $\frac{\pi }{2}$.

И так, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, обладает ускорением, которое направленно к центру окружности (${\overline{a}}_n\bot \overline{v}$), его величина равна скорости в квадрате, деленной на радиус окружности:

где $\omega $ - угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot R$). В векторном виде формулу для центростремительного ускорения можно записать, опираясь на (7) как:

\[{\overline{a}}_n=-{\omega }^2\overline{R}\ \left(8\right),\]

где $\overline{R}$ - радиус-вектор, равный по длине радиусу дуги окружности, направленный от центра кривизны к местоположению рассматриваемой материальной точки.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Векторное уравнение $\overline{r}\left(t\right)=\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin \left(\omega t\right)\ }\ }$, где $\omega =2\ \frac{рад}{с},$ описывает движение материальной точки. По какой траектории движется данная точка? Чему равен модуль ее центростремительного ускорения? Считайте, что все величины в системе СИ.

Решение. Рассмотрим уравнение движения точки:

\[\overline{r}\left(t\right)=\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin (\omega t)\ }\ }\ \left(1.1\right).\]

В декартовой системе координат это уравнение эквивалентно системе уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c} x={\cos \left(\omega t\right);;\ } \\ y={\sin \left(\omega t\right)\ } \end{array} \left(1.2\right).\right.\]

Для того, чтобы понять по какой траектории движется точка нам следует исключить время из уравнений системы (1.2). Для этого возведем оба уравнение в квадрат и сложим их:

Из уравнения (1.3) мы видим, что траекторией движения точки является окружность (рис.2) радиуса $R=1$ м.

Для того чтобы найти центростремительное ускорение воспользуемся формулой:

Модуль скорости определим используя систему уравнений (1.2). Найдем компоненты скорости, которые равны:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=\frac{dx}{dt}=-\omega {\sin \left(\omega t\right)\ }, \\ v_y=\frac{dy}{dt}=\omega {{\cos \left(\omega t\right)\ } ,\ } \end{array} \right.\left(1.5\right).\]

Квадрат модуля скорости будет равен:

Из того, какой получился модуль скорости (1.6), мы видим, что наша точка движется по окружности равномерно, следовательно, центростремительное ускорение будет совпадать с полным ускорением.

Подставим $v^2$ из (1.6) в формулу (1.4), имеем:

Вычислим $a_n$:

$a_n=\frac{4}{1}=4\ \left(\frac{м}{с^2}\right).$

Ответ. 1) Окружность; 2) $a_n=4\ \frac{м}{с^2}$

Пример 2

Задание. Каково центростремительное ускорение точек на ободе диска в момент времени, равный $t=2$c, если диск вращается в соответствии с уравнением: $\varphi (t)=3+2t^3$? Радиус диска равен $R=0,{\rm 1}$ м.

Решение. Центростремительное ускорение точек диска будем искать, применяя формулу:

Угловую скорость найдем, используя уравнение $\varphi (t)=3+2t^3$ как:

\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}=6t^2.\ \]

При $t=2\ $c угловая скорость равна:

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]

Можно вычислить центростремительное ускорение по формуле (2.1):

Ответ. $a_n=57,6\frac{м}{с^2}$

Основные законы Динамики. Законы Ньютона - первый, второй, третий. Принцип относительности Галилея. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Силы упругости. Вес. Силы трения - покоя, скольжения, качения + трение в жидкостях и газах.

Кинематика. Основные понятия. Равномерное прямолинейное движение. Равноускоренное движение. Равномерное движение по окружности. Система отсчёта. Траектория, перемещение, путь, уравнение движения, скорость, ускорение, связь линейной и угловой скорости.

Простые механизмы. Рычаг (рычаг первого рода и рычаг второго рода). Блок (неподвижный блок и подвижный блок). Наклонная плоскость. Гидравлический пресс. Золотое правило механики

Законы сохранения в механике. Механическая работа, мощность, энергия, закон сохранения импульса, закон сохранения энергии, равновесие твердых тел

Вы сейчас здесь: Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости

Механические колебания. Свободные и вынужденные колебания. Гармонические колебания. Упругие колебания. Математический маятник. Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механические волны. Скорость и длина волны. Уравнение бегущей волны. Волновые явления (дифракция. интерференция...)

Гидромеханика и аэромеханика. Давление, гидростатическое давление. Закон Паскаля. Основное уравнение гидростатики. Сообщающиеся сосуды. Закон Архимеда. Условия плавания тел. Течение жидкости. Закон Бернулли. Формула Торричели

Молекулярная физика. Основные положения МКТ. Основные понятия и формулы. Свойства идеального газа. Основное уравнение МКТ. Температура. Уравнение состояния идеального газа. Уравнение Менделеева-Клайперона. Газовые законы - изотерма, изобара, изохора

Волновая оптика. Корпускулярно-волновая теория света. Волновые свойства света. Дисперсия света. Интерференция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция света. Поляризация света

Термодинамика. Внутренняя энергия. Работа. Количество теплоты. Тепловые явления. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к различным процессам. Уравнение теплового балланса. Второй закон термодинамики. Тепловые двигатели

Электростатика. Основные понятия. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теория близкодействия. Потенциал электрического поля. Конденсатор.

Постоянный электрический ток. Закон Ома для участка цепи. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца. Закон Ома для полной цепи. Закон электролиза Фарадея. Электрические цепи - последовательное и параллельное соединение. Правила Кирхгофа.

Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур. Переменный электрический ток. Конденсатор в цепи переменного тока. Катушка индуктивности ("соленоид") в цепи переменного тока.

Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Относительность одновременности, расстояний, промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости. Основной закон релятивистский динамики...

Погрешности прямых и косвенных измерений. Абсолютная, относительная погрешность. Систематические и случайные погрешности. Среднее квадратическое отклонение (ошибка). Таблица определения погрешностей косвенных измерений различных функций.

Два луча, исходящие из нее, формируют угол. Его значение может быть определено как в радианах, так и в градусах. Теперь на некотором расстоянии от точки-центра мысленно проведем окружность. Мера угла, выраженная в радианах, в таком случае представляет собой математическое отношение длины дуги L, отделенной двумя лучами, к значению расстояния между центральной точкой и линией окружности (R), то есть:

Если теперь представить описанную систему материальной, то к ней можно применить не только понятие угла и радиуса, но также центростремительное ускорение, вращение и т.д. Большинство из них описывают поведение точки, находящейся на вращающейся окружности. Кстати, сплошной диск также может быть представлен набором окружностей, различие которых лишь в расстоянии от центра.

Одна из характеристик подобной вращающейся системы - это период обращения. Он указывает на значение времени, за которое точка на произвольной окружности возвратится к начальному положению или, что также верно, обернется на 360 градусов. При неизменной скорости вращения выполняется соответствие T = (2*3.1416) / Ug (здесь и далее Ug - угол).

Частота вращения указывает на количество полных оборотов, выполняемых за 1 секунду. При неизменной скорости получаем v = 1 / T.

Зависит от времени и так называемого угла поворота. То есть, если взять за начало отсчета произвольную точку А на окружности, то при вращении системы эта точка сместится до А1 за время t, образовав угол между радиусами А-центр и А1-центр. Зная время и угол, можно вычислить угловую скорость.

А раз есть окружность, движение и скорость, значит, присутствует и центростремительное ускорение. Оно представляет собой одну из составляющих, описывающих перемещение в случае криволинейного движения. Термины «нормальное» и «центростремительное ускорение» идентичны. Отличие в том, что второй применяют для описания перемещения по кругу, когда вектор ускорения направлен к центру системы. Поэтому всегда необходимо знать, как именно двигается тело (точка) и его центростремительное ускорение. Определение его следующее: оно является быстротой изменения скорости, вектор которого направлен перпендикулярно направлению вектору и изменяет направленность последнего. В энциклопедии указано, что изучением данного вопроса занимался Гюйгенс. Формула центростремительного ускорения, предложенная им, выглядит как:

Acs = (v*v) / r,

где r - радиус кривизны пройденного пути; v - скорость перемещения.

Формула, по которой рассчитывают центростремительное ускорение, до сих пор вызывает жаркие споры среди энтузиастов. К примеру, недавно была озвучена любопытная теория.

Гюйгенс, рассматривая систему, исходил из того, что тело перемещается по кругу радиуса R со скоростью v, замеренной в начальной точке А. Так как вектор инерции направлен по то получается траектория в виде прямой АБ. Однако центростремительная сила удерживает тело на кругу в точке С. Если обозначить центр за О и провести линии АБ, БО (сумма БС и СО), а также АО, то получается треугольник. В соответствии с законом Пифагора:

БС=(a*(t*t)) / 2, где а - ускорение; t - время (a*t*t - это и есть скорость).

Если теперь использовать формулу Пифагора, то:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, где R - радиус, а буквено-цифровое написание без знака умножения - степень.

Гюйгенс допустил, что, так как время t мало, то его можно в расчетах не учитывать. Преобразовав предыдущую формулу, она пришел к известной Acs = (v*v) / r.

Однако так как время взято в квадрате, то возникает прогрессия: чем больше t, тем выше погрешность. Например, для 0.9 оказывается неучтенными почти итогового значения 20%.

Понятие центростремительного ускорения важно для современной науки, но, очевидно, что в этом вопросе еще рано ставить точку.

Объект, который движется по круговой орбите радиуса r с равномерной касательной скоростью u - это вектор скорости v , величина которого постоянна, но направление которого постоянно меняется. Отсюда следует, что объект должен иметь ускорение, так как (вектор) - это степень изменения (вектор) скорости, и (вектор) скорость действительно различны по времени.

Предположим, что объект движется от точки P к точке Q между временем t и, t + δ t как показано на рисунке выше. Предположим, далее, что объект поворачивается на δθ радианов в этот промежуток времени. Вектор , как показано на схеме, идентичен вектору . Кроме того, угол, между векторами и это δθ . Вектор представляет собой изменение в вектор скорости, δ v , между временем t и t + δ t . Отсюда понятно, что этот вектор направлен к центру круга. Из стандартной тригонометрии, длина вектора :

Тем не менее, при малых углах sin θ ≃ θ , при условии, что θ измеряется в радианах. Следовательно,

δv ≃ v δθ.

где - это угловая скорость объекта в радианах в секунду. Таким образом, объект, движущийся по круговой орбите, радиусом r , при равномерной тангенциальной скорости v , и равномерной угловой скорости , имеет ускорение, направленное к центру круга - то есть, центростремительное ускорение - величиной:

Предположим, что тело, массой m , прикреплен к концу кабеля, длиной r , и вращается таким образом, что тело описывает горизонтальный круг, радиуса r , с равномерной тангенциальной скоростью v . Как мы только что узнали, тело обладает центростремительным ускорением величины . Следовательно, тело испытывает центростремительную силу

Что дает эту силу? Хорошо, на данном примере, сила обеспечивается натяжением кабеля. Следовательно, .

Предположим, что кабель таков, что он рвется, когда напряжение в нем превышает некоторое критическое значение . Отсюда следует, что существует максимальная скорость, с которой тело может двигаться, а именно:

Если v превышает v max , то кабель будет рваться. Как только кабель порвется, тело перестанет испытывать центростремительную силу, так что оно будет двигаться со скоростью v max по прямой линии, которая является касательной к круговой орбите, ранее существовавшей.

Центростремительное ускорение - компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной (вторая компонента, тангенциальное ускорение , характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение ». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой .

Наиболее простым примером центростремительного ускорения является вектор ускорения при равномерном движении по окружности (направленный к центру окружности).

Осестремительное ускорение в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  A n = v 2 R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}\ } a n = ω 2 R , {\displaystyle a_{n}=\omega ^{2}R\ ,}

  где a n {\displaystyle a_{n}\ } - нормальное (центростремительное) ускорение, v {\displaystyle v\ } - (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, ω {\displaystyle \omega \ } - (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, R {\displaystyle R\ } - радиус кривизны траектории в данной точке. (Связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая v = ω R {\displaystyle v=\omega R\ } ).

  Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на e R {\displaystyle \mathbf {e} _{R}} - единичный вектор от центра кривизны траектории к данной её точке:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R {\displaystyle \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{R}={\frac {v^{2}}{R^{2}}}\mathbf {R} } a n = ω 2 R . {\displaystyle \mathbf {a} _{n}=\omega ^{2}\mathbf {R} .}

  Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории (или, что то же, перпендикулярная вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорения тогда входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение ) a τ = d v / d t {\displaystyle a_{\tau }=dv/dt\ } , по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью) .

  Мотивация и вывод

  То, что разложение вектора ускорения на компоненты - одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) - может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности.

  Формальный вывод

  Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

  Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ } .

  v 2 R e n {\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ }

  Нормальным (центростремительным) ускорением. При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что e n {\displaystyle \mathbf {e} _{n}\ } - действительно вектор нормали) - будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, - достаточно простой факт; в данном случае мы применяем это утверждение для d e τ d t {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}}

  Замечания

  Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

  Приведенные здесь способы или их варианты могут быть использованы для введения таких понятий, как кривизна кривой и радиус кривизны кривой (поскольку в случае, когда кривая - окружность, R совпадает с радиусом такой окружности; не слишком трудно также показать, что окружность в плоскости e τ , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau },e_{n}\ } с центром в направлении e n {\displaystyle e_{n}\ } от данной точки на расстоянии R от неё - будет совпадать с данной кривой - траекторией - с точностью до второго порядка малости по расстоянию до данной точки).

  История

  Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс . Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач и т.д.

  Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

  К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.