Металлические проводники в целом являются нейтральными: в них поровну отрицательных и положительных зарядов. Положительно заряженные - это ионы в узлах кристаллической решетки, отрицательные - электроны, свободно перемещающиеся по проводнику. Когда проводнику сообщают избыточное количество электронов, он заряжается отрицательно, если же у проводника «отбирают» какое-то количество электронов, он заряжается положительно.

Избыточный заряд распределяется только по внешней поверхности проводника. Если проводник полый, то на его внутренних поверхностях нет зарядов. Это используют для полной передачи заряда от одного проводника другому (см. рис. 8).

Отсутствие поля внутри полости в проводнике позволяет создать электростатическую защиту. Проводник или достаточно густая металлическая сетка, окружающие со всех сторон некоторую область, экранируют ее от электрических полей, созданных внешними зарядами.

В электростатике рассматривается стационарное, неизменное распределение зарядов. Условием стационарности является равенство нулю напряженности поля внутри проводника: Е = 0. Если бы напряженность не была равна нулю, это создало бы электрические силы, вызывающие направленное перемещение электронов, т.е. электрический ток.

Избыточные заряды, сообщаемые проводнику, распределяется равномерно только по поверхности металлических сферы или шара. Во всех остальных случаях заряды распределяются неравномерно: чем больше кривизна поверхности, тем больше поверхностная плотность зарядов на поверхности проводника. Докажем это. Возьмем два шара радиусами R 1 и R 2 , заряженные зарядами q 1 и q 2 , соответственно. Соединим их проволочкой. Заряды будут перемещаться с одного шара на другой до тех пор, пока потенциал всей системы не станет одинаковым. Влиянием проволочки будем пренебрегать.

Таблица 14

Найдем напряженность поля заряженного проводника вблизи его поверхности, используя теорему Гаусса. Весь проводник представляет собой одну эквипотенциальную поверхность. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Выберем в качестве гауссовой поверхности S цилиндр очень малого размера, образующие которого перпендикулярны поверхности проводника (см. рис. 9). В пределах цилиндра поверхностную плотность заряда будем считать постоянной.

Таблица 15

Таким образом, чем более искривлена поверхность заряженного проводника, тем больше скапливается на ней зарядов и тем больше оказывается напряженность поля в этом месте. На рис.показаны силовые линии и эквипотенциальные поверхности поля заряженного тела. Наибольшая напряженность получается у острых выступов поверхности. Это приводит к так называемому «стеканию зарядов». В действительности из-за высокой напряженности вблизи острия возникают сложные явления: могут ионизироваться молекулы воздуха, дипольные молекулы втягиваются в область более сильного поля, в результате скорость потока частиц от острия оказывается большей, и образуется «электрический ветер». Этот ветер может привести во вращение легкое колесо, находящееся вблизи острия. Воздух становится проводящей средой, возникает разряд, вблизи острых концов часто наблюдается свечение. Поэтому всем деталям в электроустановках, находящихся под высоким напряжением, придают закругленную форму и делают их поверхности гладкими.

Он будет находиться в пол-ной безопасности внутри металличес-кой кабины, если не будет пытаться из нее выйти, пока внешняя ее часть не будет разряжена или не обесточе-на сеть. Пассажиры самолета нахо-дятся в безопасности, когда в него ударяет молния, потому что заряд проводится вокруг внешней части фю-зеляжа в низлежащую атмосферу. Были проделаны опыты, в ходе ко-торых к крыше автомобиля, проез-жающего мимо высоковольтного ге-нератора, прилагался потенциал 1 млн. В. Несмотря на громадный заряд между генератором и автомобилем, водитель мог повторно продемонстрировать опыт без какого-либо ущерба и для себя, и для автомобиля. Эти экспе-рименты показывают, что заряд рас-полагается на внешней поверхности проводника.


Примечание.

Это относится в рав-ной степени и к полым, и к монолит-ным проводникам, и, конечно, к изо-ляторам.

Если некоторый отрицательный за-ряд помещен на металлическую сфе-ру, находящуюся на изолирующей подставке, как на рисунке 1, а, то отрицательные заряды взаимооттал- киваются и перемещаются через ме-талл. Электроны распределяются, по-ка каждая точка на сфере не под-нимается до одинакового отрицатель-ного потенциала; перераспределение заряда затем прекращается. Все точ-ки заряженной сферы должны иметь одинаковый потенциал, поскольку ес-ли бы этого не произошло, то между различными точками на проводнике должна была бы существовать раз-ность потенциалов. Это бы вызывало движение зарядов, до тех пор покуда потенциалы не уравнялись бы. Заря-женный проводник вне зависимости от его формы должен, таким образом, иметь одинаковый потенциал во всех точках как на, так и внутри его по-верхности. Проводник цилиндричес-кой формы на рисунке 1, б имеет постоянный положительный потенци-ал во всех точках его поверхности. Точно так же отрицательно заря-женный проводник грушевидной фор-мы на рисунке 1, в имеет постоянный отрицательный потенциал но всей его поверхности. Итак, заряд распре-деляется таким образом, что потен-циал является однородным по всему проводнику. На телах правильной формы, такой, как сфера, распреде-ление заряда будет равномерным или однородным. На телах же неправильной формы, таких, какие показаны на рисунке 1, б и в, нет рав-номерного распределения заряда по их поверхности. Заряд, который на-капливается в любой данной точке на поверхности, зависит от кривизны поверхности в этой точке. Чем боль-ше кривизна, т. е. чем меньше ради-ус, тем больше заряд. Таким обра-зом, большая концентрация заряда присутствует на «заостренном» конце грушеобразного проводника, чтобы поддерживать во всех точках по-верхности одинаковый потенциал.


Подобные же эксперименты могут быть проведены для проверки распре-деления заряда по поверхностям проводников различной формы. Вы долж-ны обнаружить, что заряженная сфе-ра имеет однородное распределение заряда по своей поверхности.

Если вы присоедините тонко за-остренный проводник к высоковольт-ной электропередаче, т. е. вставите его в свод генератора Ван-де-Граафа, то вы сможете ощутить «электричес-кий ветер», держа руку в нескольких сантиметрах от заостренного конца проводника, как на рисунке 2, а. Высокая концентрация положитель-ного заряда на острие проводника бу-дет притягивать отрицательные заря-ды (электроны) до тех пор, пока за-ряд не нейтрализуется. В то же время положительные ионы в воздухе оттал-киваются положительным зарядом на острие. Среди молекул воздуха в ком-нате всегда присутствуют положи-тельные ионы (молекулы газов, из ко-торых состоит воздух, потерявшие один-два электрона) и некоторое чис-ло отрицательных ионов («потерян-ные» электроны). На рисунке 2, б показано движение заряда в воздухе, т. е. положительно заряженные ионы, отталкиваемые от положительно за-ряженного острого проводника, и от-рицательно заряженные ионы, притя-гиваемые к нему. Притяжение отрицательных зарядов (электронов) к по-ложительно заряженному острию ней-трализует положительные заряды на острие и, следовательно, понижает его положительный потенциал. Та-ким образом, заряженный проводник разряжается путем, известным как разряд — стекание заряда с острия. Положительные заряды, которые устремляются прочь от точечного проводника,— это положительные ио-ны (почти молекулы воздуха), и имен-но это создает движение воздуха, или «ветер».

Примечание.

Этот процесс непре-рывен, потому что к куполу генера-тора Ван-де-Граафа постоянно до-бавляется заряд от генератора. Это объяснение показывает, что заострен-ный проводник очень хорошо подхо-дит для собирания заряда, так же как и для поддержания большой кон-центрации заряда.

Громоотвод

Важным применением стекания заряда с острия является громоотвод. Движение облаков в атмосфере может образовывать на облаке громадный статический заряд. Это возрастание заряда может быть столь велико, что разность потенциалов между облаком и землей (нулевым потенциалом) ста-новится достаточно большой для то-го, чтобы преодолеть изолирующие свойства воздуха. Когда это проис-ходит, то воздух становится проводя-щим и заряд течет к земле в виде вспышки молнии, ударяя в ближай-шие или наиболее высокие здания или же в присутствующие объекты, т. е. заряд выбирает кратчайший путь к земле. Никогда не укрывайтесь под деревьями во время грозы: молния может ударить в дерево и ранить или убить вас, когда она устремляется вниз по дереву к земле. Лучше всего стать на колени на открытом месте, как можно ниже опустив голову и положив руки на колени, направив их пальцами к земле. Если молния и уда-рит в вас, то она должна ударить в ваши плечи, пройти вниз по вашим рукам и из ваших пальцев в землю. Таким образом, это положение защи-щает вашу голову и жизненно важ-ные органы, такие, как сердце.

Если вспышка молнии ударила бы в здание, то мог бы быть нанесен большой ущерб. Громоотвод же мо-жет предохранить здание от этого. Громоотвод состоит из некоторого числа заостренных проводников, ук-репленных на высокой точке здания и соединенных с толстой медной про-волокой, которая проходит по одной из стен вниз и оканчивается на ме-таллической пластине, закопанной в земле. Когда положительно заряжен-ное облако проходит над зданием, происходит разделение равных и про-тивоположных по знаку зарядов в медной проволоке при высокой кон-центрации отрицательных зарядов на остриях проводников и положитель-ном заряде, который стремится акку-мулироваться на металлической плас-тине. Земля, однако, имеет громадный запас отрицательного заряда, и поэ-тому, как только образуется положи-тельный заряд на пластине, он немедленно нейтрализуется отрицательны-ми зарядами (электронами), исходя-щими из земли. Электроны также при-тягиваются из земли вверх к за-остренным концам проводника под воздействием положительного потен-циала на облаке. На остриях может сконцентрироваться очень высокий электрический заряд, и это способ-ствует уменьшению положительного потенциала облака, тем самым умень-шая для него возможность преодо-леть изолирующие свойства воздуха. Заряженные ионы воздуха также дви-жутся в «электрическом ветре»; от-рицательные заряды (электроны) от-талкиваются остриями и притягиваются облаком, также помогая пони-зить положительный его потенциал, т. е. разрядить облако. Положитель-ные ионы воздуха притягиваются по-ложительно заряженными заострен-ными проводниками, но громадные запасы отрицательного заряда в зем-ле могут предоставить неограничен-ный отрицательный заряд остриям, чтобы нейтрализовать их. Если мол-ния и ударит в проводник, то она пошлет свой электрический заряд че-рез проводник и «безопасно» в землю.

В проводниках электрические заряды могут свободно перемещаться под действием поля. Силы, действующие на свободные электроны металлического проводника, помещенного во внешнее электростатическое поле, пропорциональны напряженности этого поля. Поэтому под действием внешнего поля заряды в проводнике перераспределяются так, чтобы напряженность поля в любой точке внутри проводника была равна нулю.

На поверхности заряженного проводника вектор напряженности должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей вектора , касательной к поверхности проводника, заряды перемещались бы по проводнику. Это противоречит их статическому распределению. Таким образом:

1. Во всех точках внутри проводника , а во всех точках его поверхности , .

2. Весь объем проводника, находящегося в электростатическом поле, является эквипотенциальным, в любой точке внутри проводника:

Поверхность проводника также эквипотенциальна, так как для любой линии поверхности

3. В заряженном проводнике нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Действительно, проведем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность , ограничивающую некоторый внутренний объем проводника (рис.1.3.1). Тогда согласно теореме Гаусса суммарный заряд этого объема равен:

так как в точках поверхности , находящихся внутри проводника, поля нет.

Определим напряженность поля заряженного проводника. Для этого выделим на его поверхности произвольную малую площадку и построим на ней цилиндр высоты с образующей, перпендикулярной к площадке , с основаниями и , параллельными . На поверхности проводника и вблизи нее векторы и перпендикулярны к этой поверхности, и поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поток электрического смещения сквозь также равен нулю, так как она лежит внутри проводника, и во всех ее точках .

Поток смещения сквозь всю замкнутую поверхность цилиндра равен потоку сквозь верхнее основание :

По теореме Гаусса этот поток равен сумме зарядов , охватываемых поверхностью:

,

где - поверхностная плотность зарядов на элементе поверхности проводника. Тогда

И , так как .

Таким образом, если электростатическое поле создается заряженным проводником, то напряженность этого поля на поверхности проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности зарядов, находящихся в нем.

Исследования распределения зарядов на проводниках различной формы, находящихся в однородном диэлектрике вдали от других тел показали, что распределение зарядов во внешней поверхности проводника зависит только от ее формы: чем больше кривизна поверхности, тем больше плотность зарядов ; на внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные заряды отсутствуют и .

Большая величина напряженности поля вблизи острого выступа на заряженном проводнике приводит к электрическому ветру. В сильном электрическом поле около острия положительные ионы, имеющиеся в воздухе, движутся с большой скоростью, сталкиваясь с молекулами воздуха и ионизируя их. Возникает все большее число движущихся ионов, образующих электрический ветер. Вследствие сильной ионизации воздуха около острия оно быстро теряет электрический заряд. Поэтому для сохранения заряда на проводниках стремятся, чтобы поверхности их не имели острых выступов.

1.3.2.ПРОВОДНИК ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Если незаряженный проводник внести во внешнее электростатическое поле, то под влиянием электрических сил свободные электроны будут перемещаться в нем в направлении, противоположном направлению напряженности поля. В результате этого на двух противоположных концах проводника появятся разноименные заряды: отрицательный на том конце, где оказались лишние электроны, и положительный - на том, где электронов не хватает. Эти заряды называются индуцированными. Явление, состоящее в электризации незаряженного проводника во внешнем электрическом поле путем разделения на этом проводнике уже имеющихся в нем в равных количествах положительных и отрицательных электрических зарядов, называется электризацией через влияние или электростатической индукцией. Если проводник удалить из поля, индуцированные заряды исчезают.

Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равномерном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основана электростатическая защита. Когда прибор хотят оградить (экранировать) от внешних полей, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами.

1.3.3.ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА

Рассмотрим проводник, находящийся в однородной среде вдали от других проводников. Такой проводник называется уединенным. При сообщении этому проводнику электричества, происходит перераспределение его зарядов. Характер этого перераспределения зависит от формы проводника. Каждая новая часть зарядов распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей, таким образом, при увеличении в раз заряда проводника во столько же раз возрастает поверхностная плотность заряды в любой точке его поверхности , где - некоторая функция координат рассматриваемой точки поверхности.

Поверхность проводника разобьем на бесконечно малые элементы , заряд каждого такого элемента равен , и его можно считать точечным. Потенциал поля заряда в точке, отстоящей от него на расстояние равен:

Потенциал в произвольной точке электростатического поля, образованного замкнутой поверхностью проводника, равен интегралу:

(1.3.1)

Для точки, лежащей на поверхности проводника, является функцией координат этой точки и элемента . В этом случае интеграл зависит только от размеров и формы поверхности проводника. При этом для всех точек проводника потенциал одинаков, поэтому и значения одинаковы.

Считается, что потенциал незаряженного уединенного проводника равен нулю.

Из формулы (1.3.1) видно, что потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду. Отношение называется электрической емкостью

. (1.3.2)

Электроемкость уединенного проводника численно равна электрическому заряду, который нужно сообщить этому проводнику для того, чтобы потенциал проводника изменился на единицу. Электроемкость проводника зависит от его формы и размеров, причем геометрически подобные проводники обладают пропорциональными емкостями, так как распределение зарядов на них также подобно, а расстояния от аналогичных зарядов до соответствующих точек поля прямо пропорциональны линейным размерам проводников.

Потенциал же электростатического поля, создаваемого каждым точечным зарядом, обратно пропорционален расстоянию от этого заряда. Таким образом, потенциалы одинаково заряженных и геометрически подобных проводников изменяются обратно пропорционально их линейным размерам, а емкости этих проводников – прямо пропорционально.

Из выражения (1.3.2) видно, что емкость прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды. Ни от материала проводника, ни от его агрегатного состояния, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его емкость не зависит. Это связано с тем, что избыточные заряды распределены только на внешней поверхности проводника. не зависит также от и .

Единицы емкости: - фарад, производные от него ; .

Емкость Земли как проводящего шара () равна .

1.3.4. ВЗАИМНАЯ ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ

Рассмотрим проводник , вблизи которого имеются другие проводники. Этот проводник уже нельзя считать уединенным, его емкость окажется большей, чем емкость уединенного проводника. Это связано с тем, что при сообщении проводнику заряда окружающие его проводники заряжаются через влияние, причем ближайшими к наводящему заряду оказываются заряды противоположного знака. Эти заряды несколько ослабляют поле, создаваемое зарядом . Таким образом, они понижают потенциал проводника и повышают его электроемкость (1.3.2).

Рассмотрим систему, составленную из близко расположенных проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку. Обозначим разность потенциалов между проводниками , абсолютная величина зарядов равна . Если проводники находятся вдали от других заряженных тел, то

где - взаимная электроемкость двух проводников:

- она численно равна заряду, который необходимо перенести с одного проводника на другой для изменения разности потенциалов между ними на единицу.

Взаимная электроемкость двух проводников зависит от их формы, размеров и взаимного расположения, а также от диэлектрической проницаемости среды. Для однородной среды .

Если один из проводников удалить, то разность потенциалов возрастает, и взаимная емкость убывает, стремясь к значению емкости уединенного проводника.

Рассмотрим два разноименно заряженных проводника, у которых форма и взаимное расположение таковы, что создаваемое ими поле сосредоточено в ограниченной области пространства. Такая система называется конденсатором.

1.Плоский конденсатор имеет две параллельные металлические пластины площадью , расположенные на расстоянии одна от другой (1.3.3). Заряды пластин и . Если линейные размеры пластин велики по сравнению с расстоянием , то электростатическое поле между пластинами можно считать эквивалентным полю между двумя бесконечными плоскостями, заряженными разноименно с поверхностными плотностями зарядов и , напряженность поля , разность потенциалов между обкладками , тогда , где - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор.

2.Сферический конденсатор состоит из металлического шара радиусом , окруженного концентрическим с ним полым металлическим шаром радиусом , (рис.1.3.4). Вне конденсатора поля, создаваемые внутренней и внешними обкладками, взаимно уничтожаются. Поле между обкладками создается только зарядом шара , так как заряд шара не создает внутри этого шара электрического поля. Поэтому разность потенциалов между обкладками: , тогда

При внутреннюю обкладку сферического конденсатора можно рассматривать как уединенный шар. В этом случае , и .

Проводники это тела, в которых электрические заряды способны перемещаться под действием как угодно слабого электростатического поля.

Вследствие этого сообщенный проводнику заряд будет перераспределяться до тех пор, пока в любой точке внутри проводника напряженность электрического поля не станет равной нулю.

Таким образом, напряженность электрического поля внутри проводника должна быть равной нулю.

Так как , то , φ=const

Потенциал внутри проводника должен быть постоянен.

2.) На поверхности заряженного проводника вектор напряженности Е должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей, касательной к поверхности (Е t). заряды перемещались бы по поверхности проводника.

Таким образом, при условии статического распределения зарядов напряженность на поверхности

где E n -нормальная составляющая напряженности.

Отсюда следует, что при равновесии зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной.

3. В заряженном проводнике некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника.

Проведём внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый внутренний объём проводника. Согласно теореме Гаусса, суммарный заряд этого объёма равен:

Таким образом, в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет. Поэтому если мы удалим вещество из некоторого объёма, взятого внутри проводника, то это никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. по его наружной поверхности. На внутренней поверхности избыточные заряды располагаться не могут. Это следует также из того, что одноимённые заряды отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Исследуя величину напряжённости электрического поля вблизи поверхности заряженных тел различной формы можно судить и о распределении зарядов по поверхности.

Исследования показали, что плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности – она растёт с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости).Особенно велика бывает плотность на остриях. Напряженность поля вблизи остриёв может быть настолько большой, что происходит ионизация молекул окружающего газа. При этом заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия.

Если поместить на внутреннюю поверхность полого проводника электрический заряд, то этот заряд перейдёт на наружную поверхность проводника, повышая потенциал последнего. Многократно повторяя передачу полому проводнику можно значительно повысить его потенциал до величины, ограничиваемой явлением стекания зарядов с проводника. Этот принцип был использован Ван-дер-Граафом для построения электростатического генератора. В этом устройстве заряд от электростатической машины передаётся бесконечной непроводящей ленте, переносящий его внутрь большой металлической сферы. Там заряд снимается и переходит на наружную поверхность проводника, таким образом, удаётся постепенно сообщить сфере очень большой заряд и достигнуть разности потенциалов в несколько миллионов вольт.

Проводники во внешнем электрическом поле.

В проводниках могут свободно перемещаться не только заряды, принесённые извне, но и заряды, из которых состоят атомы и молекулы проводника (электроны и ионы). Поэтому при помещении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле свободные заряды будут перемещаться к его поверхности, положительные по полю, а отрицательные против поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами. Это явление, состоящее в электризации незаряженного проводника во внешнем электростатическом поле путём разделения на этом проводнике уже имеющихся в нём в равных количествах положительных и отрицательных электрических зарядов называется электризацией через влияние или электростатической индукцией .

Перемещение зарядов в проводнике помещённом во внешнее электрическое поле Е 0 будет происходить до тех пор, пока создаваемое индукционными зарядами дополнительное поле Е доп не скомпенсирует внешнее поле Е 0 во всех точках внутри проводника и результирующее поле Е внутри проводника станет равным нулю.

Суммарное поле Е вблизи проводника будет заметно отличаться от своего первоначального значения Е 0 . Линии Е будут перпендикулярны к поверхности проводника и будут частично кончаться на индуцированных отрицательных зарядах и вновь начинаться на индуцированных положительных зарядах.

Индуцированные на проводнике заряды исчезают, когда проводник удаляют из электрического поля. Если предварительно отвести индуцированные заряды одного знака на другой проводник (например в землю) и отключить последний, то первый проводник останется заряженным электричеством противоположного знака.

Отсутствие поля внутри проводника, помещённого в электрическое поле, широко применяется в технике для электростатической защиты от внешних электрических полей (экранировки) разных электрических приборов и проводов. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим футляром (экраном). Подобный экран действует хорошо и в том случае, если его сделать не сплошным, а в виде густой сетки.

В случае равновесного распределения заряды проводника распределяются в тонком поверхностном слое. Так, например, если проводнику сообщить отрицательный заряд, то из-за наличия сил отталкивания элементов этого заряда они рассредоточатся по всей поверхности проводника.

Исследование при помощи пробной пластинки

Для того чтобы на опыте исследовать, как распределяются заряды на внешней поверхности проводника используют так называемую пробную пластинку. Эта пластинка настолько мала, что при соприкосновении с проводником ее можно рассматривать как часть поверхности проводника. Если эту пластинку приложить к заряженному проводнику, то часть заряда ($\triangle q$) перейдет на нее и величина этого заряда будет равна заряду, который находился на поверхности проводника по площади равной площади пластинки ($\triangle S$).

Тогда величина равная:

\[\sigma=\frac{\triangle q}{\triangle S}(1)\]

называется поверхностной плотностью распределения заряда в данной точке.

Разряжая пробную пластинку через электрометр можно судить о величине поверхностной плотности заряда. Так, например, если зарядить проводящий шар, то можно увидеть, с помощью вышеприведенного метода, что в состоянии равновесия поверхностная плотность заряда на шаре одна и та же во всех его точках. То есть заряд по поверхности шара распределяется равномерно. Для проводников более сложной формы распределение заряда сложнее.

Поверхностная плотность проводника

Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, но в общем случае плотность распределения заряда может очень сильно отличаться в разных точках. Поверхностная плотность распределения заряда зависит от кривизны поверхности. В разделе, который был посвящен описанию состояния проводников в электростатическом поле, мы установили, что напряженность поля около поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника в любой его точке и равна по модулю:

где ${\varepsilon }_0$ -- электрическая постоянная, $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды. Следовательно,

\[\sigma=E\varepsilon {\varepsilon }_0\ \left(3\right).\]

Чем больше кривизна поверхности тем, тем больше напряженность поля. Следовательно, на выступах плотность заряда особенно велика. Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже. Следовательно, напряженность поля и плотность зарядов в этих местах меньше. Плотность зарядов при заданном потенциале проводника определяется кривизной поверхности. Она растет с увеличением выпуклости и убывает с увеличением вогнутости. Особенно большая плотность заряда на остриях проводников. Так, напряженность поля на острие может быть настолько велика, что может возникать ионизация молекул газа, который окружает проводник. Ионы газа противоположного знака заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака отталкиваются от проводника, «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Такое явление называют электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается в результате процесса нейтрализации, он как бы стекает с острия. Такое явление называют истечением заряда с острия.

Мы уже говорили, что когда мы вносим проводник в электрическое поле, происходит разделение положительных зарядов (ядер) и отрицательных (электронов). Такое явление носит название электростатической индукции. Заряды, которые появляются в результате, называют индуцированными. Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле.

Поле индуцированных зарядов направлено в сторону противоположную направлению внешнего поля. Поэтому заряды, которые накапливаются на проводнике, ослабляют внешнее поле.

Перераспределение зарядов идет, пока не выполнены условия равновесия зарядов для проводников. Такие как: равенство нулю напряженности поля везде внутри проводника и перпендикулярность вектора напряженности заряженной поверхности проводника. Если в проводнике есть полость, то при равновесном распределении индуцированного заряда поле внутри полости равно нулю. На этом явлении основана электростатическая защита. Если какой-либо прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном. В таком случае внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Такой может быть не обязательно сплошным, но и в виде густой сетки.

Задание: Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью $\tau $, расположена перпендикулярно бесконечно большой проводящей плоскости. Расстояние от нити до плоскости $l$. Если продолжить нить до пересечения с плоскостью, то в месте пересечения получим некоторую точку А. Составьте формулу зависимости поверхностной плотности $\sigma \left(r\right)\ $индуцированных зарядов на плоскости от расстояния до точки А.

Рассмотрим некоторую точку В на плоскости. Бесконечно длинная заряженная нить в точке В создает электростатическое поле, в поле находится проводящая плоскость, на плоскости образуются индуцированные заряды, которые в свою очередь создают поле, которое ослабляет внешнее поле нити. Нормальная составляющая поля плоскости (индуцированных зарядов) в точке В будет равна нормальной составляющей поля нити в этой же точке, если система находится в равновесии. Выделим на нити элементарный заряд ($dq=\tau dx,\ где\ dx-элементарный\ кусочек\ нити\ $), найдем в точке В напряжённость, создаваемую этим зарядом ($dE$):

Найдем нормальную составляющую элемента напряженности поля нити в точке В:

где $cos\alpha $ выразим как:

Выразим расстояние $a$ по теореме Пифагора как:

Подставим (1.3) и (1.4) в (1.2), получим:

Найдем интеграл от (1.5) где пределы интегрирования от $l\ (расстояние\ до\ ближайшего\ конца\ нити\ от\ плоскости)\ до\ \infty $:

С другой стороны, мы знаем, что поле равномерно заряженной плоскости равно:

Приравняем (1.6) и (1.7), выразим поверхностную плотность заряда:

\[\frac{1}{2}\cdot \frac{\sigma}{\varepsilon {\varepsilon }_0}=\frac{\tau }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\cdot \frac{1}{{\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}\to \sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.\]

Ответ: $\sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.$

Пример 2

Задание: Рассчитайте поверхностную плотность заряда, который создается около поверхности Земли, если напряженность поля Земли равна 200$\ \frac{В}{м}$.

Будем считать, что диэлектрическая проводимость воздуха $\varepsilon =1$ как у вакуума. За основу решения задачи примем формулу для расчёта напряженности заряженного проводника:

Выразим поверхностную плотность заряда, получим:

\[\sigma=E{\varepsilon }_0\varepsilon \ \left(2.2\right),\]

где электрическая постоянная нам известна и равна в СИ ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}.$

Проведем вычисления:

\[\sigma=200\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}=1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}.\]

Ответ: Поверхностная плотность распределения заряда поверхности Земли равна $1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}$.