Взаимное расположение 2 прямых в пространстве. Прямая в пространстве – необходимые сведения

Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, то есть не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны.

В пространстве рассматриваются три случая возможного расположения двух прямых. Две прямые в пространстве могут:

1. Лежать в одной плоскости и иметь общую точку;

2. Лежать в одной плоскости и не иметь общих точек;

Не лежать в одной плоскости и, следовательно, не иметь общих точек.

Определение : Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Определение : Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.


Определение : Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны (не лежат в одной плоскости).

Обозначение : a · b

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Теорема : Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Дано : ; ; .

Доказать : a · b

Доказательство : (методом от противного)

Предположим противоположное тому, что требуется доказать, то есть, что данные прямые пересекаются или параллельны: .

Через две пересекающиеся или параллельные прямые можно провести единственную плоскость, следовательно, существует некоторая плоскость, в которой лежат данные прямые: .

По условию теоремы .

По предположению .

Из условия теоремы и из предположения следует, что обе плоскости проходят через прямую «а» и не принадлежащую ей точку М. А так как через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость, следовательно, плоскости совпадают. .

По предположению .

По условию .

Получили противоречие с условием теоремы, следовательно, предположение не верно, а верно то, что требовалось доказать, то есть прямые скрещиваются: a · b.

Напомним, что углом между скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Другими словами, если прямые l o и l 1 скрещиваются, то мы должны совершить параллельный перенос прямой l o , так чтобы получилась прямая l o ¢ , пересекающаяся с l 1 , и измерять угол между l o ¢ и l 1 .

Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Его длина называется расстоянием между прямыми.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

l o: = = , l 1: = = . (35)

Тогда сразу можем сделать вывод, что (a 1 , a 2 , a 3)½½ l o , (b 1 , b 2 , b 3)½½ l 1 , A o (x o , y o , z o)Î l o , A 1 (x 1 , y 1 , z 1)Î l 1 . Составим матрицу

x 1 – x o y 1 – y o z 1 – z o

A = a 1 a 2 a 3 ,

b 1 b 2 b 3

и пусть D = detA .

Теорема 8. 1. Угол между l и p вычисляется по формуле

cos a = = . (36)

2. Прямые l o и l 1 скрещиваются Û D ≠ 0.

3. Прямые l o и l 1 пересекаются Û D = 0 и не коллинеарен .

4. l o ½½ l 1 Û rank A = 2 и ½½ .

5. l o = l 1 Û rank A = 1.

Доказательство. 1. Угол a между прямыми l o и l 1 может быть равен углу b между их направляющими векторами, а может быть смежным с ним. В первом случае

cos a = cos b = ,

а во втором случае

cos a = – cos b =½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю. Обратите внимание, что на чертеже изображена не прямая l o , а параллельная ей прямая l o ¢ .

2, 3. Очевидно, что прямые l o и l 1 не параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы и не коллинеарны. При этом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются Û векторы, компланарны Û их смешанное произведение равно нулю: = 0. А в координатах это произведение точности равно D .

Соответственно, если D ≠ 0, то векторы, не компланарны, а значит, прямые l o и l 1 не лежат в одной плоскости Þ они скрещиваются.

4, 5. Если l o ½½ l 1 или l o = l 1 , то ½½ . Но в первом случае вектор неколлинеарен и, и поэтому первая строка в матрице A непропорциональна второй и третей строкам. Значит, rank A = 2.

Во втором случае все три вектора, коллинеарны друг другу, и поэтому, все строки

в матрицеA пропорциональны. Значит, rank A = 1.

И обратно, если || , то прямые l o и l 1 параллельны или совпадают; при этом, вторая и третья строки матрицы A пропорциональны. Если, при этом, rank A = 2, то первая строка матрицы непропорциональна второй и третьей, а значит, вектор неколлинеарен и Û l o || l 1 . Если же rank A = 1, то все строки в матрицеA пропорциональны, а значит, все три вектора, коллинеарны друг другу Û l o = l 1 .

Теорема 9. Пусть две прямые l o и l 1 в пространстве заданы своими каноническими уравнениями (35). Тогда

1. если l o ½½ l 1 , то расстояние между l o и l 1 находится по формуле

h = , (37)

2. если l o и l 1 скрещиваются, то расстояние между ними находится по формуле

h = . (38)

Доказательство. 1. Пусть l o ½½ l 1 . Отложим вектор от точки A o , и на векторах и построим параллелограмм. Тогда его высота h будет расстоянием между l o и l 1 . Площадь этого параллелограмма: S =½ ´½ , а основание равно ½ ½. Поэтому

h = S/ ½ ½ = (37).

2. Пусть l o и l 1 скрещиваются. Проведем через прямую l o плоскость p o ½½ l 1 , а через прямую l 1 проведем плоскость p 1 ½½ l o .

Тогда общий перпендикуляр к l o и l 1 будет общим перпендикуляром к p o и p 1 . Отложим векторы и из точки A o и на векторах, и построим параллелепипед. Тогда его нижнее основание лежит в плоскости p o , а верхнее – в плоскости p 1 . Поэтому высота параллелепипеда будет общим перпендикуляром к p o и p 1 , а ее величина h будет расстоянием между l o и l 1 . Объем параллелепипеда равен ½ ½, а площадь основания – ½´½ Þ

h = V/S осн = (38).

Следствие. Расстояние от точки A 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямой l , заданной уравнением

вычисляется по формуле (37).

Примеры решения задач.

1. Даны координаты вершин A (1,– 6), B (–3, 0), C (6, 9) треугольника ABC . Составить уравнение окружности описанной вокруг треугольника.

Решение. Для того, чтобы составить уравнение окружности нам необходимо знать ее радиус R и координаты центра О (a , b ). Тогда уравнение выглядит так:

(x –a ) 2 +(y –b ) 2 = R 2 .

Центр окружности, описанной вокруг треугольника находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Находим координаты середин M 1 (x 1 , y 1), и M 3 (x 3 , y 3) сторон BC и AB соответственно:

x 1 = = = , y 1 = = = , M 1 .

Аналогично M 3 (–1,–3).

Пусть l 3 – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB , а l 1 – к BC . Тогда = (– 4, 6) ^ l 3 и l 3 проходит через M 3 . Поэтому ее уравнение:

– 4(x +1) + 6(y +3) = 0.

Аналогично = (9, 9) ^ l 3 . Поэтому уравнение l 1:

9(x -) + 9(y -) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l 1 I l 3 . Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l 1 и l 3:

x + y – 6 = 0 ,

– 4x + 6y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O (5, 1).

Радиус равен расстоянию от О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =½½= = .

Значит уравнение окружности:

(x – 5) 2 + (y –1) 2 = 65.

2. В прямоугольном треугольнике ABC известныуравнение одного из катетов 3x – 2y + 5 = 0, координаты вершины C (–5,–5) и координаты середины O (– 3/2,–3) гипотенузы AB. Найти координаты

вершин A, B и координаты точки E, симметричной O относительно стороны BC. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC .

Решение. Пусть катет, уравнение которого нам дано, – это СВ . Он задан общим уравнением вида

ax + by + c = 0.

В данном уравнении геометрический смысл

коэффициентов a и b – это координаты вектора нормали (a , b ). Поэтому (3,-2)^ВС .

Составим уравнение перпендикуляра l = OD к стороне СВ и найдем координаты точки D . Вектор будет параллелен OD , т.е. он является направляющим вектором этой прямой. Кроме этого, нам известны координаты точки О на этой прямой. Составляем параметрическое уравнение l :

x = – + 3t , (*)

y = – 3 - 2t .

Имеем D = l I BC . Поэтому, для того, чтобы найти координаты этой точки мы должны решить совместно уравнения l и BC . Подставляем x и y из уравнения l в уравнение BC :

3(– + 3t ) –2(–3 -2t )+5 = 0,

– + 9t +6 +4t +5 = 0,

13t = –, t D = – .

Подставляем найденное t в уравнение l и находим координаты точки D (–3,–2). Для того, чтобы найти координаты E вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это О ОE вдвое длиннее отрезка ОD . Если за время t D = – мы прошли путь от О до D , то путь от О до E мы пройдем за время t E = 2t D = –1. Подставляя это значение в (*), находим E (– 4,5;–1).

Точка D делит отрезок BC пополам. Поэтому

x D = , y D = .

Отсюда находим

x B = 2x D – x C = –1, y B = 2y D – y C =1, B (–1, 1).

Аналогично, используя тот факт, что О – середина АВ , находим координаты точки А (-2,-7). Возможен другой путь решения этой задачи: достроить ΔABC до параллелограмма.

Общие формулы деления отрезка в данном отношении выглядят так:

x С = , y D = ,

если точка С делит отрезок АВ в отношении l 1:l 2 , т.е. ½AC ½:½BC ½=l 1:l 2 .

Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В нашем случае Р делит СО в отношении 2:1. Поэтому

x P = = = – ,

y P = = = – .

Ответ: А (–2,–7), B (–1, 1), P .

3. Даны координаты вершин A (– 4,–2), B (9, 7), C (2,– 4) треугольника ABC. Составить общее уравнение биссектрисы AD и найти координаты точки D.

Решение. Из курса элементарной математики известно, что = . Вычисляем

(13, 9), (6,–2);

½½= = 5, ½½= = 2 .

x D = = = 4,

y D = = = – , D (4,–).

Составляем уравнение прямой, проходящей через точки A и D . Для неё вектор является направляющим. Но, в качестве направляющего мы можем взять любой вектор, коллинеарный. Например, удобно будет взять = , (7, 1). Тогда уравнение

AD : = y + 2 Û x – 7y – 10 = 0.

Ответ: D (4,–), AD : x – 7y – 10 = 0.

4. Даны уравнения двух медиан x – y – 3 = 0, 5x + 4y – 9 = 0 треугольника ABC и координаты вершины A (– 1, 2). Составьте уравнение третьей медианы .

Решение. Сначала мы убедимся, что точка A не принадлежит данным медианам. Медианы треугольника пересекаются в одной точке M . Поэтому они входят в пучок прямых, проходящих через M . Составим уравнение этого пучка:

l(x – y – 3) + m(5x + 4y – 9) = 0.

Коэффициенты l и m определяются с точностью до пропорциональности; поэтому можем считать, что m = 1 (если m = 0 то уравнение пучка задает только первую медиану, а искомая прямая не совпадает с ней). Получаем уравнение пучка:

(l + 5) x + (–l + 4) y – 3l – 9 = 0.

Нам из этого пучка надо выбрать прямую, проходящую через точку A (– 1, 2). Подставим её координаты в уравнение пучка:

– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,

– 6l – 6 = 0, l = –1.

Найденное значение l подставляем в уравнение пучка и получаем искомое уравнение медианы:

4x + 5y – 6 = 0.

Ответ: 4x + 5y – 6 = 0.

5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC : A (–3, 7, 1), B (–1, 9, 2), C (–3, 6, 6) S (6,–5,–2). Составить уравнение плоскости основания ABC и уравнение высоты SD. Найти координаты точки D и точки S ¢, симметричной S относительно плоскости основания.

Решение. Найдем координаты двух векторов параллельных плоскости основания p = ABC :

= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку A (x o , y o , z o) параллельно двум неколлинеарным векторам (a 1 , a 2 , a 3), (b 1 , b 2 , b 3) имеет вид

x – x o y – y o z – z o

a 1 a 2 a 3 = 0.

b 1 b 2 b 3

Подставляем в это уравнение наши данные:

x + 3 y – 7 z – 1

2 2 1 = 0.

0 –1 5

Раскрываем определитель:

Из уравнения плоскости находим, что вектор (11,–10,–2) является вектором нормали к плоскости. Этот же вектор будет направляющим для прямой h = SD . Параметрическое уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x o , y o , z o) с направляющим вектором (a 1 , a 2 , a 3) имеет вид

x = x o + a 1 t ,

y = y o + a 2 t ,

z = z o + a 3 t .

В нашем случае получаем уравнение:

x = 6 + 11t ,

h : y = –5 – 10t , (*)

z = –2 – 2t .

Найдем основание перпендикуляра. Это точка пересечения прямой с плоскостью p. Для этого мы должны решить совместно уравнения и p. Подставляем из уравнения l в уравнение π:

11(6 + 11t ) – 10(–5 – 10 t ) – 2(–2 – 2t ) + 105 = 0,

66 + 121 t + 50 + 100 t + 4 + 4 t + 105 = 0,

225 y = –225, t = –1.

Найденное t подставляем в уравнение l и находим координаты D (–5, 5, 0).

Вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это S , вектор скорости – это. Отрезок SS ¢вдвое длиннее отрезка SD и на его прохождение понадобится вдвое больше времени. Если за время t D = – 1 мы прошли путь от S до D , то путь от S до S ¢ мы пройдем за время t ¢= 2t D = –2. Подставляя это значение в (*), находим S ¢(–16, 15; 2).

Ответ: ABC : 11x – 10y – 2z +105 = 0, D (–5, 5, 0), S ¢(–16, 15; 2),

x = 6 + 11t ,

SD : y = –5 – 10t ,

z = –2 – 2t .

6. Даны уравнения прямой l плоскости p :

Убедиться, что l и p пересекаются и составить уравнение проекции l ¢ прямой l на плоскость. Найти угол между l и p .

Решение. Из уравнения прямой находим ее направляющий вектор: (1,–1, 2) и точку на этой прямой: A (6, 0, 2) , а из уравненияплоскости – векторнормали к плоскости:

(5,–2, 4). Очевидно, что если l ½½ p или , то ^ т.е. · = 0. Проверим:

· = 5·1 – 2·(–1) + 4·2 = 15 ¹ 0.

Значит, l пересекает π. Угол между l и pнаходим по формуле:

sin a = ;

|| = = , || = = = 3 .

sin a = = .

Пусть A o – проекция точки A на плоскость, а B = l Iπ . Тогда l ¢= A o B – это проекция прямой . Найдем сначала координаты точки B . Для этого перепишем уравнение прямой l в параметрическом виде:

x = 6 + t ,

l : y = – t ,

z = 2 + 2t ,

и решим его совместно с уравнением плоскости π . Подставляем из уравнения l в уравнение π :

5(6 + t ) – 2(– t ) + 4(2 + 2t ) + 7 = 0,

30 + 5t + 2t + 8 + 8t + 7 = 0,

15t = – 45, t = – 3.

Подставляя это t в уравнение l находим координаты B (3, 3, 4). Составим уравнение перпендикуляра h = AA o . Для прямой h вектор служит направляющим. Поэтому h задается уравнением

x = 6 + 5t ,

h : y = –2 t ,

z = 2 + 4t ,

Решаем его совместно с уравнением плоскости π, чтобы найти координаты точки A o:

5(6 + 5t ) – 2(–2t ) + 4(2 + 4t ) + 7 = 0,

30 + 25t + 4t + 8 + 16t + 7 = 0,

45t = – 45, t = – 1.

Подставляем это t в уравнение h и находим A o (1, 2,–2). Находим направляющий вектор прямой l" : A o B (2, 1,–2) и получаем ее уравнение:

.

7. Прямая l в пространстве задана системой уравнений

2x +2y – z – 1=0,

4x – 8y + z – 5= 0,

и даны координаты точки A (–5,6,1). Найти координаты точки В, симметричной А относительно прямой l .

Решение. Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l . Сначала мы найдем координаты точки P . Для этого мы составим уравнение плоскости p, проходящей через точку A перпендикулярно плоскостям p 1 и p 2 . Находим векторы нормали к этим плоскостям: (2, 2,–1), (4,–8, 1). Для плоскости p они будут направляющими. Поэтому уравнение этой плоскости:

x + 5 y – 6 z – 1

2 2 –1 = 0.

4 –8 1

– 6(x + 5) – 6(y – 6) –24(z – 1) = 0 .

Прежде чем раскрывать скобки обязательно

Сначала делим все уравнение на – 6:

x + 5 + y – 6 + 4(z – 1) = 0,

x+ y+ 4z – 5 = 0.

Теперь P – точка пересечения плоскостей p , p 1 и p 2 . Для того, чтобы найти ее координаты мы должны решить систему, составленную из уравнений этих плоскостей:

x + y + 4z – 5 = 0,

4x – 8y + z – 5 = 0,

2x + 2y – z – 1 = 0.

Решая ее по методу Гаусса, находим P (1,0,1). Далее, используя тот факт, что P – середина AB мы находим координаты точки B (7,–6,1).

Точку P можно найти другим способом, как ближайшую к A точку прямой l . Для этого необходимо составить параметрическое уравнение этой прямой. Как это делается, см. задачу 10 . Дальнейшие действия см. в задаче 8 .

8. В DABC с вершинами A (9, 5, 1), B (–3, 8, 4), C (9,–13,–8) проведена высота AD. Найти координаты точки D , составить уравнение прямой AD , вычислить h =½AD ½ и проверить h, вычислив S D ABC с помощью векторного произведения .

Решение. Очевидно, что точку D можно найти так: D = π I BC , где π – это плоскость, которая проходит через точку A перпендикулярно стороне BC . Для этой плоскости служит вектором нормали. Находим (12,–21,–12). Координаты этого вектора нацело делятся на 3. Поэтому в качестве вектора нормали к p можем взять = , (4,–7,– 4). Уравнение плоскости π, проходящей через точку A o (x o , y o , z o) перпендикулярно вектору (a , b , c ), имеет вид:

a (x – x o) + b (y – y o) + c (z – z o) = 0.

В нашем случае:

4(x – 9) - 7(y – 5) - 4(z – 1) = 0,

4x - 7y - 4z + 3 = 0,

Составим уравнение прямой BC . Для нее вектор будет направляющим:

x = –3 + 4t ,

BC : y = 8 – 7t , (*)

z = 4 – 4t ,

Поскольку D = π I BC , для нахождения координат точки D нужно решить совместно уравнения π и BC . Подставляем из уравнения BC в уравнение π:

4(–3 + 4t ) – 7(8 – 7t ) – 4(4 – 4t ) + 3 = 0,

–12 + 16 t – 56 + 49t – 16 + 16 t + 3 = 0,

81t = 81, t = 1.

Подставляем это t в уравнение прямой BC и находим D (1, 1, 0). Далее, зная координаты точек A и D , составляем уравнение прямой AD вычисляем по формуле расстояния между точками:

i j k i j k

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(–i + 4j – 8k ) .

0 –18 –9 0 2 1

(В процессе вычисления мы воспользовались свойством определителя: общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя).

S ΔABC = · 27 = .

С другой стороны S ΔABC = | |·h . Отсюда h = . Находим

Поэтому h = 9. Это совпадает с ранее найденным ответом.

Точку D можно найти, как ближайшую к A точку прямой BC , используя методы дифференциального исчисления. Пусть M (t ) – произвольная точка прямой BC ; её координаты определяются системой (*):

M (–3 + 4t , 8 – 7t , 4 – 4t ).

Находим квадрат расстояние от точки A до M (t ):

h 2 (t ) = (9 + 3 – 4t ) 2 + (5 – 8 + 7t ) 2 + (1 – 4 + 4t ) 2

= (12 – 4t ) 2 + (–3 + 7t ) 2 + (–3 + 4t ) 2 =

144 – 96t + 16t 2 + 9 – 42t + 49t 2 + 9 – 24t + 16t 2 =

81t 2 – 162t + 162.

Найдем наименьшее значение функции h 2 (t ) с помощью производной:

h 2 (t ) = 162t – 162; h 2 (t ) = 0 Þ t = 1.

Подставляем это значение t в уравнение прямой BC и находим, что D (1, 1, 0) является ближайшей к A точкой на прямой BC .

9. Исследовать взаимное расположение следующих пар плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают ). Если плоскости пересекаются, то найдите угол между ними, если параллельны – расстояние между ними .

а). p 1: 2y + z + 5 = 0, p 2: 5x + 4y – 2z +11 = 0.

Решение. Если плоскости p 1 и p 2 заданы своими общими уравнениями

a 1 x + b 1 y + c 1 z +d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z +d 2 = 0,

p 1 ½½ p 2 Û = = ¹ ,

p 1 = p 2 Û = = = .

В нашем случае ¹ ¹ , поэтому плоскости не параллельны и не совпадают. Значит, они пересекаются. Угол между плоскостями вычисляется по формуле

cos a = ,

где и – векторы нормали к этим плоскостям. В нашем случае

(0, 2, 1), (5, 4,–2), · = 0·5 + 2· 4 + 1·(–2);

|| = = , || = = 3 .

Значит, cos a = = .

Ответ: a = arccos .

б) p 1: x – y + 2z + 8 = 0,

p 2: 2x – y + 4z –12 = 0.

Решение. Проверяем на параллельность или совпадение:

Значит, p 1 ½½ p 2 но p 1 ¹ p 2 . Расстояние от точки A (x , y , z ) до плоскости, заданной уравнением находится по формуле

h = .

Выберем точку А Îp 1 . Для этого надо подобрать любые три координаты, удовлетворяющие уравнению p 1 . В нашем случае, самое простое: A o (0, 8, 0). Расстояние от A o до p 2 и будет расстоянием между p 1 и p 2:

h = = .

10. Составить уравнение плоскости p, которая делит пополам тот из двугранных углов между плоскостями

p 1: 2x – y + 2= 0, p 2: 5x + 4y – 2z –14 = 0,

который содержит данную точку А (0, 3,–2). Составить параметрическое уравнение прямой l = p 1 Ip 2 ;

Решение. Если точка лежит на плоскости p, которая делит двугранный угол пополам, то расстояния h 1 и h 2 от этой точки до p 1 и до p 2 равны.

Находим эти расстояния и приравниваем их:

Модули мы можем раскрывать с одинаковыми или разными знаками. Поэтому можем получить 2 ответа, т.к. p 1 и p 2 образуют два двугранных угла. Но в условии требуется найти уравнение плоскости, которая делит пополам тот угол, в котором находится точка А . Значит координаты точки М при подстановке в левые части уравнений данных плоскостей p 1 и должны такие же знаки, что и координаты точки А . Легко проверить, что эти знаки для p 1 и «+» для p 2 . Поэтому мы раскрываем первый модуль со знаком «–», а второй – со знаком «+»:

3(-2x + y - 2) = 5x + 4y – 2z –14,

p:11x + y - 2z - 14 = 0.

Для того, чтобы составить уравнение прямой l , нам нужно найти направляющий вектор этой прямой и точку на ней.

Из уравнений p 1 и p 2 находим координаты векторов нормали к этим плоскостям: (2,–1, 0), (5, 4,–2). Направляющий вектор прямой l перпендикулярен и. Такой можно найти с помощью векторного произведения (по определению, если = ´ , то ^ и ^):

= ´ = 2 –1 0 = 2i + 4j + 13k .

Для того, чтобы найти координаты одной точки на прямой, мы должны найти частное решение системы уравнений

Поскольку уравнений два, а неизвестных три, то система имеет бесконечное количество решений. Нам достаточно подобрать одно. Проще всего положить x = 0 и тогда находим

Þ z = – 3, .

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку B (x o , y o , z o) параллельно вектору (a 1 , a 2 , a 3), имеет вид:

В нашем случае имеем уравнение:

l : = = .

Ответ: p: 11x + y – 2z = 0, l : = = .

11. Даны уравнения двух прямых в пространстве :

x = –1 – t , x = –3 + 2t ¢,

l 1: y = 6 + 2 t , l 2: y = –2 – 3t ¢,

z = 5 + 2t , z = 3 – 2t ¢.

Доказать, что данные прямые скрещиваются и составить уравнение их общего перпендикуляра.

Решение. Из уравнений прямых находим координаты их направляющих векторов: (–1, 2, 2), (2,–3,–2) и точек l 1 , а значит, является направляющим вектором общего перпендикуляра к этим прямым. Мы уже нашли его коор-динаты: (2, 2,–1). Для того, чтобы

составить уравнение h нам нужно найти координаты одной точки на этой прямой. Для этого мы составим уравнение плоскости π, проходящей через l 1 и h . Для нее векторы, будут направляющими, и A Îp.

x – 1 y – 2 z – 1

– 6(x – 1) + 3(y – 2) – 6(z – 1) = 0.

– 2(x – 1) + (y – 2) – 2(z – 1) = 0.

p: –2x + y – 2z + 2 = 0.

Находим точку пересечения l 2 и π . Для этого из уравнения l 2 подставляем в уравнение π:

–2(–3 + 2t ¢) –2 + 3t ¢ – 2(3 – 2t ¢) + 2 = 0,

6 – 4t ¢ – 2 – 3t ¢ – 6 – 4t ¢ + 2 = 0,

–7t ¢= 0, t ¢= 0.

Подставляем найденное t ¢ в

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

3. Прямая пересекает прямые AB и BC под прямыми углами. Параллельны ли прямые AB и BC ?

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.



Похожие статьи