Материалы для проведения зачетов по темам "показательные уравнения и неравенства", "логарифмические уравнения и неравенства". Решение логарифмических уравнений Логарифмические уравнения вариант 4

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Область определения: x > 0;

2) Область значений: yR ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) При a>1 функция y=log a x возрастает, при 0 < a < 1 функция y=log a x убывает при всех x > 0, т.е.

a >1 и log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1 < x 2 ;

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

Задачи и тесты по теме "Логарифмические уравнения"

  • Логарифмические уравнения

    Уроков: 4 Заданий: 25 Тестов: 1

  • Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс

    Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1

  • §5.1. Решение логарифмических уравнений

    Уроков: 1 Заданий: 38

  • §7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс

    Уроков: 1 Заданий: 17

  • Равносильность уравнений - Уравнения и неравенства 11 класс

    Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями.

Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т.к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З.

Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

Примеры.

Решить уравнения:

a) log 3 (5х – 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.
log 3 (5х– 1) = 2,
log 3 (5х – 1) = log 3 3 2 ,
5х - 1 =9,
х = 2.

Главная цель при работе с предлагаемыми билетами:

  1. научить учащихся видеть общее в решении соответствующих уравнений и неравенств и различие при записи ответов;
  2. экономия времени;
  3. умение ориентироваться в содержании данного материала.

Если первая цель не вызывает вопросов, то экономия времени сразу не чувствуется. Хотя именно нехватка времени и сказалась на структуре билетов. Они составлены по единому принципу. Уравнения и неравенства расположены так, чтобы легче было установить соответствие между ними.

И не смотря на рекомендацию учителя: решать уравнение и сразу же за ним оформлять решение соответствующего неравенства, половина учеников предпочитала сначала решить все уравнения из первого столбца, а потом уж приниматься за решение неравенств. При записи ответа обращать внимание на то, что из-за отсутствия корней у уравнения не следует, что и у неравенства не будет решений.

При сдаче второго зачёта уже таких проблем не возникало, так как у многих сформировалось умение “видеть” и выработались определённые навыки.

В каждом билете материал подобран так, что, кроме, уравнений (неравенств), решаемых по определению и свойствам, даны уравнения (неравенства), решаемые разложением на множители; заменой переменных. И, естественно, повторяется решение квадратных уравнений и неравенств, второй степени.

В билетах всего 26 заданий. Поэтому ученикам предлагались такие нормы:“5” – 26 зад. , “4” – 19–25 зад. , “3” – 14–18 зад. , “2” – менее 14 зад.

Ученик, претендующий на оценку “5”, должен успеть решить за урок все уравнения и неравенства. Первые четырнадцать заданий – это обязательный минимум. Зачёт, конечно, можно и пересдать. Но желательно, чтобы укладывались в отведённое время.

При подготовке к ЕГЭ, когда навыки решения уравнений (неравенств) будут уже сформированы, задания могут быть заменены. Например, такие:

  1. указать сумму (произведение) корней уравнения;
  2. указать наименьший (наибольший) корень уравнения;
  3. найти наименьшее (наибольшее) целое решение неравенства;
  4. найти сумму (произведение) целых решений неравенства.

Конечно, каждый учитель может сам дополнить этот список. В зависимости от класса возникает необходимость на одни задания обратить больше внимания, на другие – меньше.

Билеты могут быть использованы как для зачётов, так и для самостоятельных работ. Каждый билет состоит из двух блоков: базовый уровень (1 уровень) и повышенный (2 уровень). Блок состоит из двух частей: уравнения и неравенства, которые разделены на два столбца, чтобы ученику легче было устанавливать соответствие между ними.

Ниже приведено по шесть вариантов билетов по каждой теме. К ним даны ответы.

Приложение 1. Логарифмические уравнения и неравенства.

Приложение 2 . Показательные уравнения и неравенства.

Приложение 3. Ответы к билетам по алгебре и началам анализа.

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Концентрация внимания: Концентрация внимания равна N . N = (число верных ответов) х 0,125 х 100%. Запишите частный случай формулы перехода к логарифму другого основания Запишите формулу перехода к логарифму другого основания Чему равен логарифм степени числа и основания? Чему равен логарифм степени основания? Чему равен логарифм степени числа? Чему равен логарифм частного? Чему равен логарифм произведения? Сформулируйте определение логарифма О т в е т В о п р о с к р о с с – о п р о с

Рассмотрим взаимное расположение графика функции y = log a x (a > 0, a ≠ 1) и прямой y = b . y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

Логарифмические уравнения их типы и методы решения ВЫВОД: График функции y = log a x (a > 0, a ≠ 1) и прямая y = b пересекаются в единственной точке, т.е. уравнение log a x = b, a > 0, a ≠ 1 , x > 0 имеет единственное решение x 0 = a b .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнение log a x = b , a > 0 , a ≠ 1 , x > 0 называется простейшим логарифмическим уравнением. Логарифмические уравнения их типы и методы решения Пример:

Типы и методы решения логарифмических уравнений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Логарифмическими называются уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма (или и то и другое одновременно). Логарифмические уравнения их типы и методы решения

Типы и методы решения логарифмических уравнений. ДОПОЛНЕНИЕ: При решении логарифмических уравнений необходимо учитывать: область допустимых значений логарифма: под знаком логарифма могут находиться только положительные величины; в основании логарифмов - только положительные величины, отличные от единицы; свойства логарифмов; действие потенцирования. Логарифмические уравнения их типы и методы решения

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 1) Простейшие логарифмические уравнения. Пример №1 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 2) Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим логарифмическим уравнениям. Пример №1 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 2) Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим логарифмическим уравнениям. Пример №2 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 2) Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим логарифмическим уравнениям. Пример №3 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 2) Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим логарифмическим уравнениям. Пример №4 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 3) Логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. Пример №1 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 3) Логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. Пример №2 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной x преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. С учётом области допустимых значений получим: 10; 100

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 4) Логарифмические уравнения, сводящиеся к рациональным уравнениям. Пример №1 Ответ: Решение: Вернёмся к переменной х

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 4) Логарифмические уравнения, сводящиеся к рациональным уравнениям. Пример №2 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной х преобразуем данное уравнение и получим: Вернёмся к переменной х:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 5) Логарифмические уравнения с переменной в основании и под знаком логарифма. Пример №1 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной х преобразуем уравнение и получим: С учётом области допустимых значений переменной х получим:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 5) Логарифмические уравнения с переменной в основании и под знаком логарифма. Пример №2 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной х уравнение равносильно совокупности: С учётом области допустимых значений переменной х получим: 5;6.

Логарифмические уравнения их типы и методы решения

1 вариант

    1. Найдите произведение корней уравнения: log π (x 2 + 0,1) = 0
    1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.
    2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения log 0,5 (x - 9) = 1 + log 0,5 5
    1) (11; 13); 2) (9; 11); 3) (-12; -10); 4) [ -10; -9 ].
    3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 4 (4 - х) + log 4 x = 1
    1) (-3; -1); 2) (0; 2); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].
    4. Найдите сумму корней уравнения log √3 x 2 = log √3 (9x - 20)
    1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.
    5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 1/3 (2х - 3) 5 = 15
    1) [ -3; 2); 2) [ 2; 5); 3) [ 5; 8); 4) [ 8; 11).
    6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lg (х + 7) - lg (х + 5) = 1
    1) (-∞; -7); 2) (-7; -5); 3) (-5; -3); 4) (0; +∞).
    7. Решите неравенство log 3 (4 - 2х) >= 1
    1) (-∞; 0,5 ]; 2) (-∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞); 4) [ 0,5; + ∞).
    8. Решите неравенство log π (3х + 2) <= log π (х - 1)
    1) (-2/3; + ∞); 2) (-∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) решений нет.
    9. Решите неравенство log 1/9 (6 - 0,3х) > -1
    1) (-10; +∞); 2) (-∞; -10); 3) (-10; 20); 4) (-0,1; 20).
    10. Найдите число целых отрицательных решений неравенства lg (х + 5) <= 2 - lg 2
    1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного

2 вариант

    1.Найдите произведение корней уравнения: lg (x 2 + 1) = 1
    1) - 99; 2) - 9; 3) 33; 4) -33.
    2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 4 (x - 5) = log 25 5
    1) (-4; -2); 2) (6; 8); 3) (3; 6); 4) [ -8; -6 ].
    3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lоg 0,4 (5 - 2х) - lоg 0,4 2 = 1
    1) (-∞; -2); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) (2; +∞).
    4. Найдите сумму корней уравнения lg (4x - 3) = 2 lg x
    1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.
    5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 (64х²) = 6
    1) [ 5; 7]; 2) [ 9; 11 ]; 3) (3; 5); 4) [ 1; 3 ].
    6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lоg 2 (х - 1)³ = 6 log 2 3
    1) [ 0; 5); 2) [ 5; 8); 3) [ 8; 11); 4) [ 11; 14).
    7. Решите неравенство log 0,8 (0,25 - 0,1х) > -1
    1) (-∞; 2,5); 2) (-10; 2,5); 3) (2,5; + ∞); 4) (-10; + ∞).
    8. Решите неравенство log 1,25 (0,8х + 0,4) <= - l
    1) (-0,5; + ∞); 2) (-∞; - 0,5 ]; 3) (-0,5; 0,5 ]; 4) (-2; 2 ] .
    9. Решите неравенство log 10/3 (1 - 1,4х) < -1
    1) (0,5; +∞); 2) (-∞; 0,5); 3) (1,4; 2); 4) (0,5; 5/7).
    10. Найдите число целых решений неравенства lоg 0,5 (х - 2) >= - 2
    1) 5; 2) 4; 3) бесконечно много; 4) ни одного.

Ключ

А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 B1 B2 C1
1вариант 2 1 3 4 1 3 1 4 3 2
2 вариант 2 2 4 2 4 3 2 3 4 2


Похожие статьи