Centripetālais paātrinājums. es

Vienmērīgā kustībā pa apli ķermenis pārvietojas ar centripetālu paātrinājumu. Noteiksim šo paātrinājumu.

Paātrinājums ir vērsts tajā pašā virzienā kā ātruma izmaiņas, tāpēc paātrinājums ir vērsts uz apļa centru. Svarīgs pieņēmums: leņķis  ir tik mazs, ka hordas AB garums sakrīt ar loka garumu:

gar divām proporcionālām malām un leņķi starp tām. Tātad:

– centripetālā paātrinājuma modulis.

Dinamikas pamati Ņūtona pirmais likums. Inerciālās atskaites sistēmas. Galileja relativitātes princips

Jebkurš ķermenis paliek nekustīgs, līdz uz to iedarbojas citi ķermeņi. Ķermenis, kas pārvietojas ar noteiktu ātrumu, turpina kustēties vienmērīgi un taisnā līnijā, līdz uz to iedarbojas citi ķermeņi. Itāļu zinātnieks Galileo Galilejs bija pirmais, kurš nonāca pie šādiem secinājumiem par ķermeņu kustības likumiem.

Tiek saukta parādība, ka ķermeņa kustības ātrums tiek uzturēts bez ārējas ietekmes inerce.

Visa atpūta un ķermeņu kustība ir relatīva. Tas pats ķermenis var būt miera stāvoklī vienā atskaites sistēmā un pārvietoties ar paātrinājumu citā. Bet ir tādas atskaites sistēmas, attiecībā pret kurām translācijas kustīgie ķermeņi saglabā savu ātrumu nemainīgu, ja citi ķermeņi uz tiem neiedarbojas. Šo apgalvojumu sauc par Ņūtona pirmo likumu (inerces likumu).

Atsauces sistēmas, attiecībā pret kurām ķermenis, ja nav ārējas ietekmes, pārvietojas taisni un vienmērīgi, sauc inerciālās atskaites sistēmas.

Inerciālo atskaites sistēmu var būt tik daudz, cik vēlas, t.i. jebkurš atskaites rāmis, kas pārvietojas vienmērīgi un taisni attiecībā pret inerciālu, arī ir inerciāls. Nav patiesu (absolūtu) inerciālu atskaites sistēmu.

Ķermeņu kustības ātruma izmaiņu iemesls vienmēr ir tā mijiedarbība ar citiem ķermeņiem.

Diviem ķermeņiem mijiedarbojoties, vienmēr mainās gan pirmā, gan otrā ķermeņa ātrums, t.i. abi ķermeņi iegūst paātrinājumu. Divu mijiedarbojošu ķermeņu paātrinājumi var būt dažādi, tie ir atkarīgi no ķermeņu inerces.

Inerce– ķermeņa spēja saglabāt kustību (atpūtas) stāvokli. Jo lielāka ir ķermeņa inerce, jo mazāku paātrinājumu tas iegūs, mijiedarbojoties ar citiem ķermeņiem, un jo tuvāk tā kustība būs vienmērīgai taisnvirziena kustībai ar inerci.

Svars– fizikāls lielums, kas raksturo ķermeņa inerci. Jo lielāka ir ķermeņa masa, jo mazāku paātrinājumu tas saņem mijiedarbības laikā.

SI masas mērvienība ir kilograms: [m]=1 kg.

Inerciālās atskaites sistēmās jebkuras ķermeņa ātruma izmaiņas notiek citu ķermeņu ietekmē. Spēks ir viena ķermeņa iedarbības uz citu ķermeņa kvantitatīva izpausme.

Spēks– vektora fiziskais lielums tiek pieņemts par ķermeņa paātrinājuma virzienu, ko izraisa šis spēks. Spēkam vienmēr ir pielietojuma punkts.

SI, spēka mērvienība tiek uzskatīta par spēku, kas piešķir 1 m/s 2 paātrinājumu ķermenim, kas sver 1 kg. Šo vienību sauc par Ņūtonu:

Ņūtona otrais likums

Spēks, kas iedarbojas uz ķermeni, ir vienāds ar ķermeņa masas un šī spēka radītā paātrinājuma reizinājumu:

Tādējādi ķermeņa paātrinājums ir tieši proporcionāls spēkam, kas iedarbojas uz ķermeni, un apgriezti proporcionāls tā masai:

Ļauj mums eksistēt uz šīs planētas. Kā mēs varam saprast, kas ir centripetālais paātrinājums? Šī fiziskā daudzuma definīcija ir sniegta zemāk.

Novērojumi

Vienkāršāko piemēru ķermeņa, kas kustas pa apli, paātrinājumam var novērot, pagriežot akmeni uz virves. Jūs velciet virvi, un virve velk akmeni uz centru. Katrā laika brīdī virve piešķir akmenim noteiktu kustību un katru reizi jaunā virzienā. Jūs varat iedomāties virves kustību kā vāju grūdienu sēriju. Raustīšanās - un virve maina virzienu, otrs raustījums - vēl viena maiņa un tā tālāk pa apli. Pēkšņi atlaižot virvi, raustīšanās apstāsies, un līdz ar to apstāsies arī ātruma virziena maiņa. Akmens pārvietosies virzienā, kas pieskaras aplim. Rodas jautājums: "Ar kādu paātrinājumu ķermenis pārvietosies šajā brīdī?"

Formula centripetālam paātrinājumam

Pirmkārt, ir vērts atzīmēt, ka ķermeņa kustība pa apli ir sarežģīta. Akmens vienlaikus piedalās divu veidu kustībās: spēka ietekmē tas virzās uz griešanās centru un vienlaikus pa apļa pieskari, attālinoties no šī centra. Saskaņā ar Ņūtona otro likumu spēks, kas notur akmeni uz virves, ir vērsts uz rotācijas centru gar virvi. Turp tiks novirzīts arī paātrinājuma vektors.

Pieņemsim, ka pēc kāda laika t mūsu akmens, vienmērīgi kustoties ar ātrumu V, nokļūst no punkta A līdz punktam B. Pieņemsim, ka brīdī, kad ķermenis šķērsoja punktu B, uz to pārstāja iedarboties centrtieces spēks. . Tad noteiktā laika posmā tas nonāks punktā K. Tas atrodas uz pieskares. Ja tajā pašā laika momentā uz ķermeni iedarbotos tikai centripetālie spēki, tad laikā t, kustoties ar tādu pašu paātrinājumu, tas nonāktu punktā O, kas atrodas uz taisnes, kas attēlo apļa diametru. Abi segmenti ir vektori un ievēro vektoru pievienošanas likumu. Summējot šīs divas kustības laika periodā t, iegūstam iegūto kustību pa loku AB.

Ja laika intervālu t pieņem par nenozīmīgi mazu, tad loks AB maz atšķirsies no hordas AB. Tādējādi kustību pa loku iespējams aizstāt ar kustību pa akordu. Šajā gadījumā akmens kustība pa hordu pakļausies taisnās kustības likumiem, tas ir, nobrauktais attālums AB būs vienāds ar akmens ātruma un tā kustības laika reizinājumu. AB = V x t.

Apzīmēsim vēlamo centripetālo paātrinājumu ar burtu a. Tad ceļu, kas noiets tikai centripetālā paātrinājuma ietekmē, var aprēķināt, izmantojot vienmērīgi paātrinātas kustības formulu:

Attālums AB ir vienāds ar ātruma un laika reizinājumu, tas ir, AB = V x t,

AO - aprēķināts iepriekš, izmantojot vienmērīgi paātrinātas kustības formulu, lai pārvietotos pa taisnu līniju: AO = pie 2/2.

Aizvietojot šos datus formulā un pārveidojot tos, mēs iegūstam vienkāršu un elegantu formulu centripetālajam paātrinājumam:

Vārdos to var izteikt šādi: ķermeņa, kas pārvietojas pa apli, centripetālais paātrinājums ir vienāds ar lineārā ātruma koeficientu, kas kvadrātā ar apļa rādiusu, pa kuru ķermenis griežas. Centrpetālais spēks šajā gadījumā izskatīsies kā attēlā zemāk.

Leņķiskais ātrums

Leņķiskais ātrums ir vienāds ar lineāro ātrumu, kas dalīts ar apļa rādiusu. Arī apgrieztais apgalvojums ir patiess: V = ωR, kur ω ir leņķiskais ātrums

Ja šo vērtību aizstājam formulā, mēs varam iegūt leņķiskā ātruma centrbēdzes paātrinājuma izteiksmi. Tas izskatīsies šādi:

Paātrinājums, nemainot ātrumu

Un tomēr, kāpēc ķermenis ar paātrinājumu, kas vērsts uz centru, nepārvietojas ātrāk un netuvojas griešanās centram? Atbilde slēpjas pašā paātrinājuma formulējumā. Fakti liecina, ka apļveida kustība ir reāla, taču tās uzturēšanai nepieciešams paātrinājums, kas vērsts uz centru. Šī paātrinājuma radītā spēka ietekmē notiek kustības apjoma izmaiņas, kā rezultātā kustības trajektorija ir pastāvīgi izliekta, visu laiku mainot ātruma vektora virzienu, bet nemainot tā absolūto vērtību . Virzoties pa apli, mūsu ilgi cietušais akmens metās iekšā, pretējā gadījumā tas turpinātu kustēties tangenciāli. Katru brīdi, ejot tangenciāli, akmens pievelkas centrā, bet tajā neiekrīt. Vēl viens centripetāla paātrinājuma piemērs būtu ūdensslēpotājs, kurš veic nelielus apļus uz ūdens. Sportista figūra ir noliekta; šķiet, ka viņš nokrīt, turpinot kustēties un noliecoties uz priekšu.

Tādējādi mēs varam secināt, ka paātrinājums nepalielina ķermeņa ātrumu, jo ātruma un paātrinājuma vektori ir perpendikulāri viens otram. Pievienojot ātruma vektoram, paātrinājums maina tikai kustības virzienu un notur ķermeni orbītā.

Drošības koeficienta pārsniegšana

Iepriekšējā eksperimentā mums bija darīšana ar perfektu virvi, kas nepārtrūka. Bet pieņemsim, ka mūsu virve ir visparastākā, un jūs pat varat aprēķināt spēku, pēc kura tā vienkārši pārtrūks. Lai aprēķinātu šo spēku, pietiek salīdzināt virves drošības rezervi ar slodzi, ko tā piedzīvo akmens griešanās laikā. Rotējot akmeni ar lielāku ātrumu, jūs piešķirat tam lielāku kustību un tādējādi arī lielāku paātrinājumu.

Ar džutas virves diametru aptuveni 20 mm, tās stiepes izturība ir aptuveni 26 kN. Zīmīgi, ka virves garums nekur neparādās. Pagriežot 1 kg smagu slodzi uz virves ar rādiusu 1 m, varam aprēķināt, ka tās pārraušanai nepieciešamais lineārais ātrums ir 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m Tādējādi ātrums, kas ir bīstams pārsniegt būs vienāds ar √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Gravitācija

Apsverot eksperimentu, mēs atstājām novārtā gravitācijas ietekmi, jo tik lielos ātrumos tā ietekme ir niecīga. Taču var pamanīt, ka, atritinot garu virvi, ķermenis apraksta sarežģītāku trajektoriju un pamazām tuvojas zemei.

Debesu ķermeņi

Ja apļveida kustības likumus pārnesam telpā un piemērojam tos debess ķermeņu kustībai, varam no jauna atklāt vairākas sen pazīstamas formulas. Piemēram, spēku, ar kādu ķermeni pievelk Zeme, zina pēc formulas:

Mūsu gadījumā faktors g ir tas pats centripetālais paātrinājums, kas tika iegūts no iepriekšējās formulas. Tikai šajā gadījumā akmens lomu pildīs debess ķermenis, kas piesaistīts Zemei, bet virves lomu - gravitācijas spēks. Koeficients g tiks izteikts ar mūsu planētas rādiusu un tās rotācijas ātrumu.

Rezultāti

Centrpetālā paātrinājuma būtība ir smagais un nepateicīgais darbs, noturot kustīgu ķermeni orbītā. Tiek novērots paradoksāls gadījums, kad ar pastāvīgu paātrinājumu ķermenis nemaina sava ātruma vērtību. Neapmācītam prātam šāds apgalvojums ir diezgan paradoksāls. Neskatoties uz to, gan aprēķinot elektrona kustību ap kodolu, gan aprēķinot zvaigznes griešanās ātrumu ap melno caurumu, centripetālajam paātrinājumam ir liela nozīme.

Vienotu apļveida kustību raksturo ķermeņa kustība pa apli. Šajā gadījumā mainās tikai ātruma virziens, un tā lielums paliek nemainīgs.

Kopumā ķermenis pārvietojas pa izliektu ceļu, un to ir grūti aprakstīt. Lai vienkāršotu līknes kustības aprakstu, tā tiek sadalīta vienkāršākos kustības veidos. Jo īpaši viens no šiem veidiem ir vienmērīga kustība aplī. Jebkuru izliektu kustības trajektoriju var iedalīt pietiekami maza izmēra daļās, kurās ķermenis aptuveni pārvietosies pa loku, kas ir daļa no apļa.

Kad ķermenis pārvietojas pa apli, lineārais ātrums ir vērsts tangenciāli. Līdz ar to, pat ja ķermenis pārvietojas pa loku ar nemainīgu absolūto ātrumu, kustības virziens katrā punktā būs atšķirīgs. Tādējādi jebkura kustība aplī ir kustība ar paātrinājumu.

Iedomājieties apli, pa kuru pārvietojas materiālais punkts. Nulles laika momentā tas atrodas pozīcijā A. Pēc noteikta laika intervāla tas nonāk punktā B. Ja no apļa centra uz punktu A un punktu B novelkam divus rādiusa vektorus, tad tiks izveidots noteikts leņķis. iegūt starp tām. Sauksim to par leņķi phi. Ja vienādos laika periodos punkts griežas pa to pašu leņķi phi, tad šādu kustību sauc par vienmērīgu un ātrumu sauc par leņķisko.

1. attēlā - leņķiskais ātrums.

Leņķisko ātrumu mēra apgriezienos sekundē. Viens apgrieziens sekundē ir tad, kad punkts šķērso visu apli un atgriežas sākotnējā pozīcijā, aizņemot vienu sekundi. Šo apgrozījumu sauc par aprites periodu. Rotācijas perioda apgriezto vērtību sauc par rotācijas frekvenci. Tas ir, cik apgriezienus punkts paspēj veikt vienas sekundes laikā. Leņķi, ko veido divi rādiusa vektori, mēra radiānos. Radiāns ir leņķis starp diviem rādiusa vektoriem, kas griež rādiusa garuma loku uz apļa virsmas.

Punkta ātrumu, kas pārvietojas ap apli, var izmērīt arī radiānos sekundē. Šajā gadījumā punkta kustību par vienu radiānu sekundē sauc par ātrumu. Šo ātrumu sauc par leņķisko ātrumu. Tas ir, cik vienību leņķus rādiusa vektoram izdodas pagriezt vienas sekundes laikā? Ar vienmērīgu kustību aplī leņķiskais ātrums ir nemainīgs.

Lai noteiktu kustības paātrinājumu aplī, mēs attēlojam attēlā punktu A un B ātruma vektorus. Leņķis starp šiem vektoriem ir vienāds ar leņķi starp rādiusa vektoriem. Tā kā paātrinājums ir starpība starp ātrumiem, kas uzņemti noteiktā laika intervālā, dalīta ar šo intervālu. Pēc tam, izmantojot paralēlo tulkošanu, mēs pārnesim ātruma vektora sākumu punktā A uz punktu B. Atšķirība starp šiem vektoriem būs vektora delta V. Ja mēs to sadalīsim ar hordu, kas savieno punktus A un B, ar nosacījumu, ka attālums starp punktiem ir bezgala mazs, tad iegūsim paātrinājuma vektoru, kas vērsts uz apļa centru. To sauc arī par centripetālo paātrinājumu.

Pētot kustību fizikā, liela nozīme ir trajektorijas jēdzienam. Tieši tas lielā mērā nosaka objektu kustības veidu un līdz ar to arī formulu veidu, kas tiek izmantots šīs kustības aprakstīšanai. Viena no izplatītākajām kustības trajektorijām ir aplis. Šajā rakstā mēs apskatīsim centripetālo kustību, pārvietojoties pa apli.

Pilnīga paātrinājuma jēdziens

Pirms centripetālā paātrinājuma raksturošanas, pārvietojoties pa apli, aplūkosim kopējā paātrinājuma jēdzienu. To uzskata par fizisku lielumu, kas vienlaikus apraksta absolūtās vērtības un ātruma vektora izmaiņas. Matemātiskā formā šī definīcija izskatās šādi:

Paātrinājums ir ātruma kopējais atvasinājums attiecībā pret laiku.

Kā zināms, ķermeņa ātrums v¯ katrā trajektorijas punktā ir vērsts pa tangenti. Šis fakts ļauj to attēlot kā moduļa v un vienības pieskares vektora u¯ reizinājumu, tas ir:

Tad to var aprēķināt šādi:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Lielums a¯ ir divu terminu vektora summa. Pirmais termins ir vērsts tangenciāli (tāpat kā ķermeņa ātrums) un tiek saukts. Tas nosaka ātruma moduļa izmaiņu ātrumu. Otrais termins — apskatīsim to sīkāk vēlāk rakstā.

Uzrakstīsim iepriekš minēto izteiksmi parastajam paātrinājuma komponentam a n ¯ skaidrā formā:

a n ¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v 2 /r*r e ¯

Šeit dl ir ķermeņa ceļš pa trajektoriju laikā dt, r e ¯ ir vienības vektors, kas vērsts uz trajektorijas izliekuma centru, r ir izliekuma rādiuss. Iegūtā formula noved pie vairākām svarīgām kopējā paātrinājuma komponenta a n¯ iezīmēm:

Lielums a n ¯ palielinās kā ātruma kvadrāts un samazinās apgriezti proporcionāli rādiusam, kas to atšķir no tangenciālās komponentes. Pēdējais nav vienāds ar nulli tikai tad, ja mainās ātruma modulis.
Normāls paātrinājums vienmēr ir vērsts uz izliekuma centru, tāpēc to sauc par centripetālu.

Tādējādi galvenais nosacījums, lai pastāvētu liels daudzums a n ¯, ir trajektorijas izliekums. Ja šāda izliekuma nav (lineāra nobīde), tad a n ¯ = 0, jo r->∞.

Centripetālais paātrinājums, pārvietojoties pa apli

Aplis ir ģeometriska līnija, kuras visi punkti atrodas vienādā attālumā no noteikta punkta. Pēdējo sauc par apļa centru, un minētais attālums ir tā rādiuss. Ja ķermeņa ātrums rotācijas laikā nemainās absolūtā vērtībā, tad mēs runājam par vienmērīgu kustību aplī. Centripetālo paātrinājumu šajā gadījumā var viegli aprēķināt, izmantojot vienu no divām tālāk norādītajām formulām:

Kur ω ir leņķiskais ātrums, ko mēra radiānos sekundē (rad/s). Otro vienādību iegūst, pateicoties formulai leņķiskā un lineārā ātruma attiecībai:

Centripetālie un centrbēdzes spēki

Kad ķermenis vienmērīgi pārvietojas pa apli, atbilstošā centripetālā spēka iedarbības rezultātā rodas centripetālais paātrinājums. Tās vektors vienmēr ir vērsts uz apļa centru.

Šī spēka raksturs var būt ļoti dažāds. Piemēram, kad cilvēks atgriež pie virves piesietu akmeni, to savā trajektorijā notur virves spriegošanas spēks. Vēl viens centripetālā spēka darbības piemērs ir gravitācijas mijiedarbība starp Sauli un planētām. Tas ir tas, kas liek visām planētām un asteroīdiem pārvietoties apļveida orbītā. Centrpetālais spēks nespēj mainīt ķermeņa kinētisko enerģiju, jo tas ir vērsts perpendikulāri tā ātrumam.

Katrs varēja pamanīt, ka automašīnai pagriežoties, piemēram, pa kreisi, pasažieri tiek piespiesti transportlīdzekļa salona labajā malā. Šis process ir rotācijas kustības centrbēdzes spēka rezultāts. Faktiski šis spēks ir nereāls, jo tas ir saistīts ar ķermeņa inerciālajām īpašībām un tā vēlmi pārvietoties pa taisnu ceļu.

Centrbēdzes un centripetālie spēki ir vienādi pēc lieluma un pretēji virzienam. Ja tas tā nebūtu, tad tiktu izjaukta ķermeņa apļveida trajektorija. Ja ņemam vērā Ņūtona otro likumu, tad varam teikt, ka rotācijas kustības laikā centrbēdzes paātrinājums ir vienāds ar centrbēdzes paātrinājumu.