Skaitļu salīdzinājums pēc. Skaitļu salīdzināšana modulo

Risinot vienādojumus un nevienādības, kā arī uzdevumus ar moduļiem, atrastās saknes ir jānovieto uz skaitļu līnijas. Kā zināms, atrastās saknes var būt dažādas. Tie var būt šādi: , vai tie var būt šādi: , .

Attiecīgi, ja skaitļi ir nevis racionāli, bet iracionāli (ja esat aizmirsis, kas tie ir, skatieties tēmā), vai arī ir sarežģītas matemātiskas izteiksmes, tad to novietošana uz skaitļu līnijas ir ļoti problemātiska. Turklāt eksāmena laikā jūs nevarat izmantot kalkulatorus, un aptuvenie aprēķini nesniedz 100% garantijas, ka viens skaitlis ir mazāks par citu (ja nu ir atšķirība starp salīdzināmajiem skaitļiem?).

Protams, jūs zināt, ka pozitīvie skaitļi vienmēr ir lielāki par negatīvajiem un, ja mēs iedomājamies skaitļa asi, tad, salīdzinot, lielākie skaitļi būs pa labi nekā mazākie: ; ; utt.

Bet vai vienmēr viss ir tik vienkārši? Kur skaitļu rindā atzīmējam, .

Kā tos var salīdzināt, piemēram, ar skaitli? Šī ir berzēšana...)

Pirmkārt, parunāsim vispārīgi par to, kā un ko salīdzināt.

Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli un tas ir aizliegts kvadrāts, ja viena no daļām ir negatīva.

Daļskaitļu salīdzinājums

Tātad, mums ir jāsalīdzina divas frakcijas: un.

Ir vairākas iespējas, kā to izdarīt.

1. variants. Samaziniet daļskaitļus līdz kopsaucējam.

Rakstīsim to parastas daļskaitļa formā:

- (kā redzat, samazināju arī skaitītāju un saucēju).

Tagad mums ir jāsalīdzina daļskaitļi:

Tagad mēs varam turpināt salīdzināt divos veidos. Mēs varam:

vienkārši apvienojiet visu pie kopsaucēja, uzrādot abas daļas kā nepareizas (skaitītājs ir lielāks par saucēju):
Kurš skaitlis ir lielāks? Tieši tā, tas, kuram ir lielāks skaitītājs, tas ir, pirmais.
“atmetīsim” (ņemam vērā, ka no katras frakcijas esam atņēmuši vienu, un attiecīgi daļskaitļu attiecība viena pret otru nav mainījusies) un salīdziniet daļas:
Mēs arī apvienojam tos ar kopsaucēju:
Mēs saņēmām tieši tādu pašu rezultātu kā iepriekšējā gadījumā - pirmais skaitlis ir lielāks par otro:
Pārbaudīsim arī, vai vienu atņēmām pareizi? Aprēķināsim skaitītāja starpību pirmajā un otrajā aprēķinā:
1)
2)

Tātad, mēs apskatījām, kā salīdzināt daļskaitļus, apvienojot tos līdz kopsaucējam. Pāriesim pie citas metodes – daļskaitļu salīdzināšanu, savešanu pie kopējā... skaitītāja.

2. variants. Daļskaitļu salīdzināšana, reducējot līdz kopējam skaitītājam.

Jā jā. Tā nav drukas kļūda. Šo metodi reti kurš māca skolā, bet ļoti bieži tā ir ļoti ērta. Lai jūs ātri saprastu tā būtību, es jums uzdošu tikai vienu jautājumu - "kādos gadījumos ir vislielākā daļa no vērtības?" Protams, jūs sakāt: “kad skaitītājs ir pēc iespējas lielāks un saucējs pēc iespējas mazāks”.

Piemēram, jūs noteikti varat teikt, ka tā ir taisnība? Ko darīt, ja jāsalīdzina šādas daļskaitļi: ? Es domāju, ka jūs arī uzreiz pareizi uzliksit zīmi, jo pirmajā gadījumā tās ir sadalītas daļās, bet otrajā - veselās, kas nozīmē, ka otrajā gadījumā gabali izrādās ļoti mazi, un attiecīgi: . Kā redzat, saucēji šeit ir atšķirīgi, bet skaitītāji ir vienādi. Taču, lai salīdzinātu šīs divas daļskaitļus, nav jāmeklē kopsaucējs. Lai gan... atrodiet un paskatieties, vai salīdzināšanas zīme joprojām ir nepareiza?

Bet zīme ir tāda pati.

Atgriezīsimies pie sākotnējā uzdevuma - salīdziniet un... Salīdzināsim un... Reducēsim šīs daļas nevis līdz kopsaucējam, bet gan kopējam skaitītājam. Lai to izdarītu vienkārši skaitītājs un saucējs reiziniet pirmo daļu ar. Mēs iegūstam:

Un. Kura frakcija ir lielāka? Tieši tā, pirmais.

3. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot atņemšanu.

Kā salīdzināt daļskaitļus, izmantojot atņemšanu? Jā, ļoti vienkārši. No vienas daļskaitļa mēs atņemam citu. Ja rezultāts ir pozitīvs, tad pirmā daļa (minuend) ir lielāka par otro (subtrahenda), un, ja negatīva, tad otrādi.

Mūsu gadījumā mēģināsim atņemt pirmo daļskaitli no otrās: .

Kā jūs jau saprotat, mēs arī pārvēršam parastā daļskaitlī un iegūstam tādu pašu rezultātu - . Mūsu izteiksme izpaužas šādā formā:

Tālāk mums joprojām būs jāizmanto samazinājums līdz kopsaucējam. Jautājums ir šāds: pirmajā veidā frakcijas pārvēršot nepareizās vai otrajā veidā, it kā “noņemot” vienību? Starp citu, šai darbībai ir pilnīgi matemātisks pamatojums. Skaties:

Man labāk patīk otrais variants, jo skaitītāja reizināšana, samazinot to līdz kopsaucējam, kļūst daudz vienkāršāka.

Savedīsim to pie kopsaucēja:

Šeit galvenais ir neapjukt, no kura skaitļa un kur mēs atņēmām. Uzmanīgi apskatiet risinājuma gaitu un nejauši nesajauciet zīmes. Mēs atņēmām pirmo skaitli no otrā skaitļa un saņēmām noraidošu atbildi, tātad?.. Tieši tā, pirmais skaitlis ir lielāks par otro.

Sapratu? Mēģiniet salīdzināt daļskaitļus:

Stop, stop. Nesteidzieties reducēt līdz kopsaucējam vai atņemt. Skatieties: varat to viegli pārvērst decimāldaļdaļā. Cik ilgi tas būs? Pa labi. Kas vēl beigās?

Šī ir vēl viena iespēja - daļskaitļu salīdzināšana, pārvēršot decimāldaļās.

4. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot dalīšanu.

Jā jā. Un arī tas ir iespējams. Loģika ir vienkārša: sadalot lielāku skaitli ar mazāku skaitli, iegūstam skaitli, kas ir lielāks par vienu, un, ja mazāku skaitli dalām ar lielāku skaitli, tad atbilde iekrīt intervālā no līdz.

Lai atcerētos šo noteikumu, salīdzināšanai ņemiet jebkurus divus pirmskaitļus, piemēram, un. Vai jūs zināt, kas ir vairāk? Tagad dalīsim ar. Mūsu atbilde ir. Attiecīgi teorija ir pareiza. Ja dalām ar, iegūtais ir mazāks par vienu, kas savukārt apstiprina, ka patiesībā tas ir mazāks.

Mēģināsim piemērot šo noteikumu parastajām daļām. Salīdzināsim:

Sadaliet pirmo daļu ar otro:

Pamazām saīsināsim.

Iegūtais rezultāts ir mazāks, kas nozīmē, ka dividende ir mazāka par dalītāju, tas ir:

Mēs esam izskatījuši visas iespējamās frakciju salīdzināšanas iespējas. Kā jūs tos redzat 5:

samazināšana līdz kopsaucējam;
samazinājums līdz kopējam skaitītājam;
samazināšana līdz decimāldaļai;
atņemšana;
nodaļa.

Vai esat gatavs trenēties? Salīdziniet frakcijas optimālā veidā:

Salīdzināsim atbildes:

(- konvertēt decimāldaļās)
(dala daļskaitli ar otru un samazina ar skaitītāju un saucēju)
(izvēlieties visu daļu un salīdziniet daļas, pamatojoties uz viena un tā paša skaitītāja principu)
(dalītu daļskaitli ar otru un samazinātu ar skaitītāju un saucēju).

2. Pakāpju salīdzinājums

Tagad iedomājieties, ka mums ir jāsalīdzina ne tikai skaitļi, bet arī izteiksmes, kur ir pakāpe ().

Protams, jūs varat viegli izlikt zīmi:

Galu galā, ja pakāpi aizstājam ar reizināšanu, mēs iegūstam:

No šī mazā un primitīvā piemēra izriet noteikums:

Tagad mēģiniet salīdzināt sekojošo: . Varat arī viegli ievietot zīmi:

Jo, ja mēs kāpināšanu aizstājam ar reizināšanu...

Kopumā jūs visu saprotat, un tas nemaz nav grūti.

Grūtības rodas tikai tad, ja, salīdzinot, grādiem ir dažādas bāzes un rādītāji. Šajā gadījumā ir jācenšas novest pie kopēja pamata. Piemēram:

Protams, jūs zināt, ka šis izteiciens attiecīgi izpaužas šādā formā:

Atvērsim iekavas un salīdzināsim iegūto:

Nedaudz īpašs gadījums ir, ja grāda () bāze ir mazāka par vienu.

Ja, tad no diviem grādiem un lielāka ir tā, kuras indekss ir mazāks.

Mēģināsim pierādīt šo noteikumu. Ļaujiet būt.

Ieviesīsim kādu naturālu skaitli kā atšķirību starp un.

Loģiski, vai ne?

Un tagad vēlreiz pievērsīsim uzmanību nosacījumam - .

Attiecīgi:. Līdz ar to,.

Piemēram:

Kā jūs saprotat, mēs izskatījām gadījumu, kad pilnvaru pamati ir vienādi. Tagad redzēsim, kad bāze atrodas intervālā no līdz, bet eksponenti ir vienādi. Šeit viss ir ļoti vienkārši.

Atcerēsimies, kā to salīdzināt, izmantojot piemēru:

Protams, jūs ātri izdarījāt aprēķinu:

Tāpēc, saskaroties ar līdzīgām problēmām salīdzināšanai, paturiet prātā dažus vienkāršus līdzīgus piemērus, kurus varat ātri aprēķināt, un, pamatojoties uz šo piemēru, novietojiet zīmes sarežģītākā piemērā.

Veicot transformācijas, atceries, ja reizini, saskaiti, atņem vai dala, tad visas darbības jāveic gan ar kreiso, gan labo pusi (ja reizina ar, tad jāreizina abas).

Turklāt ir gadījumi, kad veikt jebkādas manipulācijas ir vienkārši neizdevīgi. Piemēram, jums ir jāsalīdzina. Šajā gadījumā nav tik grūti pacelt spēku un sakārtot zīmi, pamatojoties uz to:

Trenējamies. Salīdziniet grādus:

Vai esat gatavs salīdzināt atbildes? Lūk, ko es saņēmu:

- Tāpat kā
- Tāpat kā
- Tāpat kā
- Tāpat kā

3. Skaitļu salīdzināšana ar saknēm

Pirmkārt, atcerēsimies, kas ir saknes? Vai atceries šo ierakstu?

Reāla skaitļa pakāpes sakne ir skaitlis, uz kuru attiecas vienādība.

Saknes nepāra pakāpes pastāv negatīviem un pozitīviem skaitļiem, un pat saknes- tikai pozitīvajiem.

Saknes vērtība bieži vien ir bezgalīgs decimālskaitlis, kas apgrūtina precīzu aprēķinu, tāpēc ir svarīgi spēt salīdzināt saknes.

Ja esat aizmirsis, kas tas ir un ar ko to ēd - . Ja visu atceraties, iemācīsimies soli pa solim salīdzināt saknes.

Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:

Lai salīdzinātu šīs divas saknes, jums nav jāveic nekādi aprēķini, vienkārši analizējiet pašu “saknes” jēdzienu. Vai jūs saprotat, par ko es runāju? Jā, par to: pretējā gadījumā to var uzrakstīt kā kāda skaitļa trešo pakāpi, kas vienāda ar radikālo izteiksmi.

Kas vēl? vai? Protams, to var salīdzināt bez jebkādām grūtībām. Jo lielāku skaitli palielināsim līdz pakāpei, jo lielāka būs vērtība.

Tātad. Atvasināsim noteikumu.

Ja sakņu eksponenti ir vienādi (mūsu gadījumā tas ir), tad ir jāsalīdzina radikāļu izteiksmes (un) - jo lielāks ir radikāļu skaitlis, jo lielāka ir saknes vērtība ar vienādiem eksponentiem.

Grūti atcerēties? Tad vienkārši paturi piemēru savā galvā un... Tas vairāk?

Sakņu eksponenti ir vienādi, jo sakne ir kvadrātveida. Viena skaitļa () radikālā izteiksme ir lielāka nekā cita (), kas nozīmē, ka noteikums patiešām ir patiess.

Ko darīt, ja radikālās izteiksmes ir vienādas, bet sakņu pakāpes atšķiras? Piemēram: .

Ir arī pilnīgi skaidrs, ka, izraujot lielākas pakāpes sakni, tiks iegūts mazāks skaitlis. Ņemsim, piemēram:

Apzīmēsim pirmās saknes vērtību kā, bet otrās - kā, tad:

Jūs varat viegli redzēt, ka šajos vienādojumos ir jābūt vairāk, tāpēc:

Ja radikālās izteiksmes ir vienādas(mūsu gadījumā), un sakņu eksponenti ir dažādi(mūsu gadījumā tas ir un), tad ir jāsalīdzina eksponenti(Un) - jo augstāks rādītājs, jo mazāka šī izteiksme.

Mēģiniet salīdzināt šādas saknes:

Salīdzināsim rezultātus?

Mēs to veiksmīgi nokārtojām :). Rodas vēl viens jautājums: ja nu mēs visi esam atšķirīgi? Gan pakāpe, gan radikāla izpausme? Ne viss ir tik sarežģīti, vajag tikai... “atbrīvoties” no saknes. Jā jā. Vienkārši atbrīvojieties no tā)

Ja mums ir dažādas pakāpes un radikālas izteiksmes, sakņu eksponentiem jāatrod mazākais kopīgais daudzkārtnis (lasiet sadaļu par to) un abas izteiksmes jāpaaugstina līdz pakāpei, kas vienāda ar mazāko kopējo daudzkārtni.

Ka mēs visi esam vārdos un vārdos. Šeit ir piemērs:

Mēs skatāmies uz sakņu rādītājiem - un. To mazākais kopīgais daudzkārtnis ir .
Paaugstināsim abus izteiksmes pakāpē:
Pārveidosim izteiksmi un atveram iekavas (sīkāka informācija nodaļā):
Saskaitīsim paveikto un uzliksim zīmi:

4. Logaritmu salīdzinājums

Tātad lēnām, bet noteikti mēs nonākam pie jautājuma par logaritmu salīdzināšanu. Ja neatceraties, kāda veida dzīvnieks tas ir, iesaku vispirms izlasīt teoriju no sadaļas. Vai esi izlasījis? Pēc tam atbildiet uz dažiem svarīgiem jautājumiem:

Kāds ir logaritma arguments un kāda ir tā bāze?
Kas nosaka, vai funkcija palielinās vai samazinās?

Ja visu atceraties un esat to lieliski apguvis, sāksim!

Lai salīdzinātu logaritmus savā starpā, jums jāzina tikai 3 paņēmieni:

samazināšana līdz tādam pašam pamatam;
samazinājums uz to pašu argumentu;
salīdzinājums ar trešo numuru.

Sākumā pievērsiet uzmanību logaritma bāzei. Vai atceraties, ja tas ir mazāks, tad funkcija samazinās, un, ja ir vairāk, tad tā palielinās. Uz to balstīsies mūsu spriedumi.

Apskatīsim logaritmu salīdzinājumu, kas jau ir samazināti līdz tādai pašai bāzei vai argumentam.

Sākumā vienkāršosim uzdevumu: ievadiet salīdzinātos logaritmus vienādi pamatojumi. Pēc tam:

Funkcija for palielinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“tiešs salīdzinājums”).
Piemērs:- pamatojums ir vienāds, mēs attiecīgi salīdzinām argumentus: tāpēc:
Funkcija pie samazinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“apgrieztā salīdzināšana”). - bāzes ir vienādas, attiecīgi salīdzinām argumentus: tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”, jo funkcija samazinās: .

Tagad apsveriet gadījumus, kad iemesli ir atšķirīgi, bet argumenti ir vienādi.

Pamatne ir lielāka.
- . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram: - argumenti ir vienādi, un. Salīdzināsim bāzes: tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”:
Pamatne a atrodas spraugā.
- . Šajā gadījumā mēs izmantojam “tiešo salīdzinājumu”. Piemēram:
- . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram:

Pierakstīsim visu vispārīgā tabulas veidā:

, kurā	, kurā

Attiecīgi, kā jūs jau sapratāt, salīdzinot logaritmus, mums ir jānoved pie vienas bāzes jeb argumenta, izmantojot formulu pārejai no vienas bāzes uz otru.

Varat arī salīdzināt logaritmus ar trešo skaitli un, pamatojoties uz to, izdarīt secinājumu par to, kas ir mazāk un kas ir vairāk. Piemēram, padomājiet par to, kā salīdzināt šos divus logaritmus?

Neliels mājiens - salīdzinājumam jums ļoti palīdzēs logaritms, kura arguments būs līdzvērtīgs.

Domāja? Izlemsim kopā.

Mēs varam viegli salīdzināt šos divus logaritmus ar jums:

Nezinu kā? Skatīt iepriekš. Mēs tikko to nokārtojām. Kāda zīme būs? Pa labi:

Piekrītu?

Salīdzināsim viens ar otru:

Jums vajadzētu iegūt sekojošo:

Tagad apvienojiet visus mūsu secinājumus vienā. Vai notika?

5. Trigonometrisko izteiksmju salīdzinājums.

Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss? Kāpēc mums ir vajadzīgs vienību aplis un kā uz tā atrast trigonometrisko funkciju vērtību? Ja nezināt atbildes uz šiem jautājumiem, ļoti iesaku izlasīt teoriju par šo tēmu. Un, ja jūs zināt, tad salīdzināt trigonometriskās izteiksmes savā starpā jums nav grūti!

Nedaudz atsvaidzināsim atmiņu. Uzzīmēsim vienības trigonometrisko apli un tajā ierakstītu trīsstūri. Vai jums izdevās? Tagad atzīmējiet, kurā pusē mēs uzzīmējam kosinusu un kurā pusē sinusu, izmantojot trijstūra malas. (jūs, protams, atceraties, ka sinuss ir pretējās puses attiecība pret hipotenūzu, bet kosinuss ir blakus esošā puse?). Vai jūs to uzzīmējāt? Lieliski! Pēdējais pieskāriens ir nolikt, kur mums tas būs, kur un tā tālāk. Vai tu to noliku? Phew) Salīdzināsim to, kas notika ar tevi un mani.

Fu! Tagad sāksim salīdzināt!

Pieņemsim, ka jāsalīdzina un. Uzzīmējiet šos leņķus, izmantojot uzvednes lodziņos (kur esam atzīmējuši), novietojot punktus uz vienības apļa. Vai jums izdevās? Lūk, ko es saņēmu.

Tagad nometīsim perpendikulu no punktiem, kurus atzīmējām uz apļa uz asi... Kuru? Kura ass parāda sinusa vērtību? Pa labi, . Tas ir tas, ko jums vajadzētu iegūt:

Skatoties uz šo attēlu, kurš ir lielāks: vai? Protams, jo punkts ir virs punkta.

Līdzīgā veidā mēs salīdzinām kosinusu vērtību. Mēs nolaižam tikai perpendikulu pret asi... Tieši tā, . Attiecīgi mēs skatāmies, kurš punkts ir pa labi (vai augstāks, kā sinusu gadījumā), tad vērtība ir lielāka.

Jūs droši vien jau zināt, kā salīdzināt pieskares, vai ne? Viss, kas jums jāzina, ir tas, kas ir tangenss. Tātad, kas ir tangenss?) Tieši tā, sinusa un kosinusa attiecība.

Lai salīdzinātu pieskares, mēs zīmējam leņķi tāpat kā iepriekšējā gadījumā. Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:

Vai jūs to uzzīmējāt? Tagad mēs atzīmējam arī sinusa vērtības uz koordinātu ass. Vai pamanījāt? Tagad uz koordinātu līnijas norādiet kosinusa vērtības. Vai notika? Salīdzināsim:

Tagad analizējiet to, ko uzrakstījāt. - mēs sadalām lielu segmentu mazā. Atbildē būs vērtība, kas noteikti ir lielāka par vienu. Pa labi?

Un kad sadalām mazo ar lielo. Atbilde būs skaitlis, kas ir tieši mazāks par vienu.

Tātad, kurai trigonometriskajai izteiksmei ir lielāka vērtība?

Pa labi:

Kā jūs tagad saprotat, kotangenšu salīdzināšana ir viena un tā pati lieta, tikai otrādi: mēs skatāmies, kā segmenti, kas nosaka kosinusu un sinusu, ir saistīti viens ar otru.

Mēģiniet pats salīdzināt šādas trigonometriskās izteiksmes:

Piemēri.

Atbildes.

SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. VIDĒJAIS LĪMENIS.

Kurš skaitlis ir lielāks: vai? Atbilde ir acīmredzama. Un tagad: vai? Vairs nav tik acīmredzami, vai ne? Tātad: vai?

Bieži vien jums jāzina, kura skaitliskā izteiksme ir lielāka. Piemēram, risinot nevienādību, novietot punktus uz ass pareizā secībā.

Tagad es jums iemācīšu, kā salīdzināt šādus skaitļus.

Ja jums ir jāsalīdzina skaitļi un, mēs ievietojam starp tiem zīmi (atvasināta no latīņu vārda Versus vai saīsināti pret - pret): . Šī zīme aizstāj nezināmo nevienlīdzības zīmi (). Tālāk veiksim identiskas transformācijas, līdz kļūs skaidrs, kura zīme jāievieto starp cipariem.

Skaitļu salīdzināšanas būtība ir šāda: mēs pret zīmi attiecamies tā, it kā tā būtu kāda veida nevienlīdzības zīme. Un ar izteiksmi mēs varam darīt visu, ko mēs parasti darām ar nevienlīdzību:

pievienojiet jebkuru skaitli abām pusēm (un, protams, mēs varam arī atņemt)
“pārvietot visu uz vienu pusi”, tas ir, no abām daļām atņemiet vienu no salīdzinātajām izteiksmēm. Atņemtās izteiksmes vietā paliks: .
reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli. Ja šis skaitlis ir negatīvs, nevienlīdzības zīme tiek apgriezta: .
paceliet abas puses uz vienu spēku. Ja šī jauda ir vienmērīga, jums jāpārliecinās, ka abām daļām ir vienāda zīme; ja abas daļas ir pozitīvas, zīme nemainās, paceļot pakāpē, bet, ja tās ir negatīvas, tad mainās uz pretējo.
no abām daļām izvelciet tādas pašas pakāpes sakni. Ja mēs iegūstam pāra pakāpes sakni, vispirms ir jāpārliecinās, ka abas izteiksmes nav negatīvas.
jebkuras citas līdzvērtīgas pārvērtības.

Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli, un jūs nevarat to kvadrātā, ja viena no daļām ir negatīva.

Apskatīsim dažas tipiskas situācijas.

1. Paaugstināšana.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Tā kā abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, mēs varam to kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes:

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Šeit mēs varam arī to kvadrātā, bet tas tikai palīdzēs mums atbrīvoties no kvadrātsaknes. Šeit tas ir jāpaaugstina līdz tādai pakāpei, lai abas saknes izzustu. Tas nozīmē, ka šīs pakāpes eksponentam ir jādalās gan ar (pirmās saknes pakāpe), gan ar. Tāpēc šis skaitlis tiek palielināts līdz pakāpei:

2. Reizināšana ar tā konjugātu.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Reizināsim un dalīsim katru starpību ar konjugēto summu:

Acīmredzot saucējs labajā pusē ir lielāks nekā saucējs kreisajā pusē. Tāpēc labā frakcija ir mazāka par kreiso:

3. Atņemšana

Atcerēsimies to.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Protams, mēs varētu visu sadalīt kvadrātā, pārgrupēt un vēlreiz kvadrātā. Bet jūs varat darīt kaut ko gudrāku:

Var redzēt, ka kreisajā pusē katrs termins ir mazāks nekā katrs vārds labajā pusē.

Attiecīgi visu terminu summa kreisajā pusē ir mazāka nekā visu labās puses terminu summa.

Bet esi piesardzīgs! Mums jautāja, kas vēl...

Labā puse ir lielāka.

Piemērs.

Salīdziniet skaitļus un...

Risinājums.

Atcerēsimies trigonometrijas formulas:

Pārbaudīsim, kurās trigonometriskā apļa ceturtdaļās ir punkti un meli.

4. Sadalījums.

Šeit mēs izmantojam arī vienkāršu noteikumu: .

Pie vai, tas ir.

Kad zīme mainās: .

Piemērs.

Salīdzināt: .

Risinājums.

5. Salīdziniet skaitļus ar trešo skaitli

Ja un, tad (transitivitātes likums).

Piemērs.

Salīdzināt.

Risinājums.

Salīdzināsim skaitļus nevis savā starpā, bet ar skaitli.

Ir skaidrs, ka.

Citā pusē, .

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Abi skaitļi ir lielāki, bet mazāki. Atlasīsim tādu skaitli, lai tas būtu lielāks par vienu, bet mazāks par otru. Piemēram, . Pārbaudīsim:

6. Ko darīt ar logaritmiem?

Nekas īpašs. Kā atbrīvoties no logaritmiem, ir detalizēti aprakstīts tēmā. Pamatnoteikumi ir:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \bultiņa pa kreisi (\rm( ))\left[ (\begin(masīvs)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \ķīlis (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \ķīlis y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Mēs varam arī pievienot noteikumu par logaritmiem ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:

To var izskaidrot šādi: jo lielāka ir bāze, jo mazāka pakāpe būs jāpaaugstina, lai iegūtu vienu un to pašu. Ja bāze ir mazāka, tad ir otrādi, jo atbilstošā funkcija monotoni samazinās.

Piemērs.

Salīdziniet skaitļus: un.

Risinājums.

Saskaņā ar iepriekš minētajiem noteikumiem:

Un tagad formula progresīviem.

Logaritmu salīdzināšanas noteikumu var uzrakstīt īsāk:

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Piemērs.

Salīdziniet, kurš skaitlis ir lielāks: .

Risinājums.

SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

1. Paaugstināšana

Ja abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, tās var sadalīt kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes

2. Reizināšana ar tā konjugātu

Konjugāts ir faktors, kas papildina izteiksmi ar kvadrātu atšķirības formulu: - konjugāts par un otrādi, jo .

3. Atņemšana

4. Sadalījums

Kad vai tas ir

Kad zīme mainās:

5. Salīdzinājums ar trešo numuru

Ja un tad

6. Logaritmu salīdzinājums

Pamatnoteikumi:

Logaritmi ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Vienkārši neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

Diviem veseliem skaitļiem X Un plkst Ieviesīsim salīdzināmības attiecību pēc paritātes, ja to atšķirība ir pāra skaitlis. Ir viegli pārbaudīt, vai ir izpildīti visi trīs iepriekš ieviestie ekvivalences nosacījumi. Šādā veidā ieviestā ekvivalences attiecība sadala visu veselo skaitļu kopu divās nesaistītās apakškopās: pāra skaitļu apakškopā un nepāra skaitļu apakškopā.

Vispārinot šo gadījumu, mēs teiksim, ka divi veseli skaitļi, kas atšķiras ar kāda fiksēta naturālā skaitļa daudzkārtni, ir līdzvērtīgi. Tas ir pamats modulo salīdzināmības koncepcijai, ko ieviesa Gauss.

Numurs A, salīdzināms ar b modulo m, ja to starpība dalās ar fiksētu naturālu skaitli m, tas ir a - b dalīts ar m. Simboliski tas ir rakstīts šādi:

a ≡ b(mod m),

un tas skan šādi: A salīdzināms ar b modulo m.

Šādā veidā ieviestā sakarība, pateicoties dziļai analoģijai starp salīdzinājumiem un vienādībām, vienkāršo aprēķinus, kuros skaitļi atšķiras ar reizinājumu m, faktiski neatšķiras (jo salīdzināšana ir vienādība līdz dažiem m daudzkārtņiem).

Piemēram, skaitļi 7 un 19 ir salīdzināmi modulo 4, bet nav salīdzināmi modulo 5, jo 19-7=12 dalās ar 4 un nedalās ar 5.

Var arī teikt, ka numurs X modulo m vienāds ar atlikumu, dalot ar veselu skaitli X ieslēgts m, jo

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

Ir viegli pārbaudīt, vai skaitļu salīdzināmībai saskaņā ar doto moduli ir visas ekvivalences īpašības. Tāpēc veselo skaitļu kopa ir sadalīta skaitļu klasēs, kas ir salīdzināmas pēc moduļa m. Šādu klašu skaits ir vienāds m, un visi vienas klases skaitļi, dalīti ar m dod to pašu atlikumu. Piemēram, ja m= 3, tad mēs iegūstam trīs klases: skaitļu klasi, kas ir 3 reizinātāji (dodot atlikumu 0, ja dala ar 3), skaitļu klasi, kas atstāj atlikumu 1, dalot ar 3, un skaitļu klasi, kas atstāj atlikums 2, dalīts ar 3.

Salīdzinājumu izmantošanas piemērus sniedz labi zināmie dalāmības kritēriji. Kopējais skaitļu attēlojums n cipariem decimālo skaitļu sistēmā ir šāda forma:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

Kur a, b, c,- skaitļa cipari, kas rakstīti no labās uz kreiso pusi, tātad A- vienību skaits, b- desmitnieku skaits utt. Kopš 10k ≡ 1(mod9) jebkuram k≥0, tad no rakstītā izriet, ka

n ≡ c + b + a(mod9),

no kurienes seko dalāmības ar 9 tests: n dalās ar 9 tad un tikai tad, ja tā ciparu summa dalās ar 9. Šis arguments attiecas arī uz 9 aizvietošanu ar 3.

Iegūstam testu dalīšanai ar 11. Salīdzinājumi notiek:

10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1 (mod11) un tā tālāk. Tāpēc n ≡ c - b + a - ….(mod11).

Tāpēc n dalās ar 11 tad un tikai tad, ja tā mainīgā ciparu summa a - b + c -... dalās ar 11.

Piemēram, skaitļa 9581 mainīgā ciparu summa ir 1 - 8 + 5 - 9 = -11, tā dalās ar 11, kas nozīmē, ka skaitlis 9581 dalās ar 11.

Ja ir salīdzinājumi: , tad tos var saskaitīt, atņemt un reizināt pa vārdam tāpat kā vienādības:

Salīdzinājumu vienmēr var reizināt ar veselu skaitli:

ja tad

Tomēr ne vienmēr ir iespējams samazināt salīdzinājumu ar jebkuru koeficientu, piemēram, skaitļiem 42 un 12 to nav iespējams samazināt par kopējo koeficientu 6. šāds samazinājums noved pie nepareiza rezultāta, jo .

No salīdzināmības moduļa definīcijas izriet, ka samazinājums par koeficientu ir pieļaujams, ja šis faktors ir vienāds ar moduli.

Iepriekš jau tika atzīmēts, ka jebkurš vesels skaitlis ir salīdzināms mod m ar vienu no šādiem skaitļiem: 0, 1, 2,... , m-1.

Papildus šai sērijai ir arī citas skaitļu sērijas, kurām ir tāds pats īpašums; tā, piemēram, jebkurš skaitlis ir salīdzināms mod 5 ar vienu no šiem skaitļiem: 0, 1, 2, 3, 4, bet arī salīdzināms ar kādu no šiem skaitļiem: 0, -4, -3, -2, - 1 vai 0, 1, -1, 2, -2. Jebkuru šādu skaitļu sēriju sauc par pilnīgu atlikumu sistēmu modulo 5.

Tādējādi pilnīga atlieku sistēma mod m jebkura sērija m skaitļi, no kuriem divi nav salīdzināmi. Parasti tiek izmantota pilnīga atskaitījumu sistēma, kas sastāv no skaitļiem: 0, 1, 2, ..., m-1. Skaitļa atņemšana n modulo m ir divīzijas atlikums n ieslēgts m, kas izriet no attēlojuma n = km + r, 0<r<m- 1.

Definīcija 1. Ja divi skaitļi ir 1) a Un b kad dala ar lpp dod to pašu atlikumu r, tad šādus skaitļus sauc par equiremainder vai salīdzināms pēc moduļa lpp.

Paziņojums, apgalvojums 1. Ļaujiet lpp kāds pozitīvs skaitlis. Tad katrs cipars a vienmēr un turklāt vienīgajā veidā var attēlot formā

Bet šos skaitļus var iegūt, iestatot r vienāds ar 0, 1, 2,..., lpp−1. Līdz ar to sp+r=a iegūs visas iespējamās veselas vērtības.

Parādīsim, ka šis attēlojums ir unikāls. Izliksimies tā lpp var attēlot divos veidos a=sp+r Un a=s 1 lpp+r 1 . Tad

(2)

Jo r 1 pieņem vienu no skaitļiem 0,1, ..., lpp−1, tad absolūtā vērtība r 1 −r mazāk lpp. Bet no (2) izriet, ka r 1 −r vairākas lpp. Līdz ar to r 1 =r Un s 1 =s.

Numurs r sauca mīnus cipariem a modulo lpp(citiem vārdiem sakot, numurs r sauca skaitļa atlikušo daļu a ieslēgts lpp).

Paziņojums, apgalvojums 2. Ja divi cipari a Un b salīdzināms pēc moduļa lpp, Tas a-b dalīts ar lpp.

Tiešām. Ja divi cipari a Un b salīdzināms pēc moduļa lpp, tad dalot ar lpp ir tāds pats atlikums lpp. Tad

dalīts ar lpp, jo vienādojuma (3) labā puse tiek dalīta ar lpp.

Paziņojums, apgalvojums 3. Ja divu skaitļu starpība dalās ar lpp, tad šie skaitļi ir salīdzināmi pēc moduļa lpp.

Pierādījums. Apzīmēsim ar r Un r 1 divīzijas atlikums a Un b ieslēgts lpp. Tad

Piemēri 25≡39 (7. mod.), –18≡14. (4. mod.).

No pirmā piemēra izriet, ka 25, dalot ar 7, iegūst tādu pašu atlikumu kā 39. Patiešām, 25 = 3·7+4 (atlikušais 4). 39=3·7+4 (atlikušais 4). Apsverot otro piemēru, jāņem vērā, ka atlikumam ir jābūt nenegatīvam skaitlim, kas ir mazāks par moduli (t.i., 4). Tad varam rakstīt: −18=−5·4+2 (atlikušais 2), 14=3·4+2 (atlikušais 2). Tāpēc −18, dalot ar 4, paliek 2, un 14, dalītu ar 4, paliek 2.

Moduļu salīdzināšanas īpašības

Īpašums 1. Jebkuram a Un lpp Vienmēr

ne vienmēr ir salīdzinājums

Kur λ ir lielākais skaitļu kopējais dalītājs m Un lpp.

Pierādījums. Ļaujiet λ lielākais kopējais skaitļu dalītājs m Un lpp. Tad

Jo m(a-b) dalīts ar k, Tas

Skaitļa absolūtā vērtība

Skaitļa a modulis apzīmē $|a|$. Vertikālas domuzīmes pa labi un pa kreisi no skaitļa veido moduļa zīmi.

Piemēram, jebkura skaitļa (dabiskā, vesela skaitļa, racionālā vai iracionālā) moduli raksta šādi: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt(45)|$ .

1. definīcija

Skaitļa a modulis vienāds ar pašu skaitli $a$, ja $a$ ir pozitīvs, skaitli $−a$, ja $a$ ir negatīvs, vai $0$, ja $a=0$.

Šo skaitļa moduļa definīciju var uzrakstīt šādi:

$|a|= \begin(cases) a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Varat izmantot īsāku apzīmējumu:

$|a|=\begin(cases) a, & a \geq 0 \\ -a, & a

1. piemērs

Aprēķiniet skaitļu $23$ un $-3.45$ moduli.

Risinājums.

Atradīsim skaitļa $23$ moduli.

Skaitlis $23$ ir pozitīvs, tāpēc pēc definīcijas pozitīva skaitļa modulis ir vienāds ar šo skaitli:

Atradīsim skaitļa $–3,45 $ moduli.

Skaitlis $–3.45$ ir negatīvs skaitlis, tāpēc saskaņā ar definīciju negatīva skaitļa modulis ir vienāds ar dotā pretējo skaitli:

Atbilde: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

2. definīcija

Skaitļa modulis ir skaitļa absolūtā vērtība.

Tādējādi skaitļa modulis ir skaitlis zem moduļa zīmes, neņemot vērā tā zīmi.

Skaitļa modulis kā attālums

Skaitļa moduļa ģeometriskā vērtība: Skaitļa modulis ir attālums.

3. definīcija

Skaitļa a modulis– tas ir attālums no atskaites punkta (nulles) uz skaitļu līnijas līdz punktam, kas atbilst skaitlim $a$.

2. piemērs

Piemēram, skaitļa $12$ modulis ir vienāds ar $12$, jo attālums no atskaites punkta līdz punktam ar koordinātu $12$ ir vienāds ar divpadsmit:

Punkts ar koordinātu $−8.46$ atrodas $8.46$ attālumā no sākuma, tātad $|-8.46|=8.46$.

Skaitļa modulis kā aritmētiskā kvadrātsakne

4. definīcija

Skaitļa a modulis ir $a^2$ aritmētiskā kvadrātsakne:

$|a|=\sqrt(a^2)$.

3. piemērs

Aprēķiniet skaitļa $–14 $ moduli, izmantojot skaitļa moduļa definīciju caur kvadrātsakni.

Risinājums.

$|-14|=\sqrt(((-14)^2)=\sqrt((-14) \cdot (-14))=\sqrt(14 \cdot 14)=\sqrt((14)^2 )=14 USD.

Atbilde: $|-14|=14$.

Negatīvo skaitļu salīdzināšana

Negatīvo skaitļu salīdzināšana balstās uz šo skaitļu moduļu salīdzināšanu.

1. piezīme

Noteikums negatīvu skaitļu salīdzināšanai:

Ja viena negatīvā skaitļa modulis ir lielāks, tad šis skaitlis ir mazāks;
ja viena negatīvā skaitļa modulis ir mazāks, tad šāds skaitlis ir liels;
ja skaitļu moduļi ir vienādi, tad negatīvie skaitļi ir vienādi.

2. piezīme

Ciparu rindā mazākais negatīvais skaitlis atrodas pa kreisi no lielākā negatīvā skaitļa.

4. piemērs

Salīdziniet negatīvos skaitļus $−27$ un $−4$.

Risinājums.

Saskaņā ar negatīvo skaitļu salīdzināšanas noteikumu vispirms atradīsim skaitļu $–27$ un $–4$ absolūtās vērtības un pēc tam salīdzināsim iegūtos pozitīvos skaitļus.

Tādējādi mēs iegūstam, ka $–27 |-4|$.

Atbilde: $–27

Salīdzinot negatīvos racionālos skaitļus, abi skaitļi ir jāpārvērš daļskaitļos vai decimāldaļās.

Apzīmēsim divus punktus uz koordinātu līnijas, kas atbilst skaitļiem −4 un 2.

Punkts A, kas atbilst skaitlim −4, atrodas 4 vienību segmentu attālumā no punkta 0 (izcelsmes), tas ir, segmenta OA garums ir vienāds ar 4 vienībām.

Skaitli 4 (segmenta OA garums) sauc par skaitļa −4 moduli.

Norīkot skaitļa absolūtā vērtība kā šis: |−4| = 4

Iepriekš minētie simboli tiek lasīti šādi: "skaitļa modulis mīnus četri ir vienāds ar četriem."

Punkts B, kas atbilst skaitlim +2, atrodas divu vienības segmentu attālumā no sākuma, tas ir, segmenta OB garums ir vienāds ar divām vienībām.

Skaitli 2 sauc par skaitļa +2 moduli un raksta: |+2| = 2 vai |2| = 2.

Ja mēs ņemam noteiktu skaitli “a” un attēlosim to kā punktu A uz koordinātu līnijas, tad attālums no punkta A līdz sākuma punktam (citiem vārdiem sakot, segmenta OA garums) tiks saukts par skaitļa moduli “ a”.

Atcerieties

Racionāla skaitļa modulis Viņi sauc attālumu no sākuma līdz punktam koordinātu līnijā, kas atbilst šim skaitlim.

Tā kā attālumu (nozares garumu) var izteikt tikai kā pozitīvu skaitli vai nulli, mēs varam teikt, ka skaitļa modulis nevar būt negatīvs.

Atcerieties

Pierakstīsim moduļa rekvizītus izmantojot burtiskus izteicienus, ņemot vērā

visi iespējamie gadījumi.

1. Pozitīva skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli. |a| = a, ja a > 0;

2. Negatīvā skaitļa modulis ir vienāds ar pretējo skaitli. |−a| = a ja a< 0;

3. Nulles modulis ir nulle. |0| = 0, ja a = 0;

4. Pretējiem skaitļiem ir vienādi moduļi.

Racionālo skaitļu moduļu piemēri:

· |−4,8| = 4,8

· |0| = 0

· |−3/8| = |3/8|

No diviem skaitļiem uz koordinātu līnijas tas, kas atrodas pa labi, ir lielāks, un tas, kas atrodas pa kreisi, ir mazāks.

Atcerieties

jebkurš pozitīvs skaitlis, kas ir lielāks par nulli un lielāks par jebkuru

negatīvs skaitlis;

· jebkurš negatīvs skaitlis ir mazāks par nulli un mazāks par jebkuru

pozitīvs skaitlis.

Piemērs.

Ir ērti salīdzināt racionālos skaitļus, izmantojot moduļa jēdzienu.

Lielāko no diviem pozitīvajiem skaitļiem attēlo punkts, kas atrodas uz koordinātu līnijas pa labi, tas ir, tālāk no sākuma. Tas nozīmē, ka šim skaitlim ir lielāks modulis.

Atcerieties

No diviem pozitīviem skaitļiem tas, kura modulis ir lielāks, ir lielāks.

Salīdzinot divus negatīvus skaitļus, lielākais atradīsies pa labi, tas ir, tuvāk izcelsmei. Tas nozīmē, ka tā modulis (segmenta garums no nulles līdz skaitlim) būs mazāks.