Mēs ieviesām lineāras operācijas ar vektoriemļauj izveidot dažādas izteiksmes vektoru lielumi un pārveidot tos, izmantojot šīm darbībām iestatītos rekvizītus.

Pamatojoties uz doto vektoru kopu a 1, ..., a n, varat izveidot formas izteiksmi

kur a 1, ... un n ir patvaļīgi reāli skaitļi. Šo izteiksmi sauc vektoru lineāra kombinācija a 1, ..., a n. Skaitļi α i, i = 1, n, attēlo lineārās kombinācijas koeficienti. Tiek saukta arī vektoru kopa vektoru sistēma.

Saistībā ar ieviesto vektoru lineārās kombinācijas jēdzienu rodas problēma, aprakstot vektoru kopu, ko var uzrakstīt kā lineāru kombināciju no dotās vektoru sistēmas a 1, ..., a n. Turklāt ir dabiski jautājumi par apstākļiem, kādos pastāv vektora attēlojums lineāras kombinācijas formā, un par šāda attēlojuma unikalitāti.

Definīcija 2.1. Tiek izsaukti vektori a 1, ... un n lineāri atkarīgi, ja ir tāda koeficientu kopa α 1 , ... , α n, ka

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2.)

un vismaz viens no šiem koeficientiem nav nulle. Ja norādītā koeficientu kopa nepastāv, tad tiek izsaukti vektori lineāri neatkarīgs.

Ja α 1 = ... = α n = 0, tad acīmredzot α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Paturot to prātā, mēs varam teikt tā: vektori a 1, ... un n ir lineāri neatkarīgi, ja no vienādības (2.2) izriet, ka visi koeficienti α 1 , ... , α n ir vienādi ar nulli.

Sekojošā teorēma izskaidro, kāpēc jauno jēdzienu sauc par terminu "atkarība" (vai "neatkarība"), un sniedz vienkāršu lineāras atkarības kritēriju.

Teorēma 2.1. Lai vektori a 1, ... un n, n > 1 būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, ka viens no tiem ir pārējo lineāra kombinācija.

◄ Nepieciešamība. Pieņemsim, ka vektori a 1, ... un n ir lineāri atkarīgi. Saskaņā ar lineārās atkarības 2.1. definīciju vienādībā (2.2) kreisajā pusē ir vismaz viens koeficients, kas nav nulle, piemēram, α 1. Atstājot pirmo termiņu vienādības kreisajā pusē, pārējos pārvietojam uz labo pusi, mainot to zīmes, kā parasti. Iegūto vienādību dalot ar α 1, iegūstam

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektora a 1 attēlojums kā atlikušo vektoru a 2, ..., a n lineāra kombinācija.

Atbilstība. Pieņemsim, piemēram, pirmo vektoru a 1 var attēlot kā atlikušo vektoru lineāru kombināciju: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Pārnesot visus terminus no labās puses uz kreiso, iegūstam 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.i. vektoru a 1, ..., a n lineāra kombinācija ar koeficientiem α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, vienāda ar nulles vektors.Šajā lineārajā kombinācijā ne visi koeficienti ir nulle. Saskaņā ar 2.1. definīciju vektori a 1, ... un n ir lineāri atkarīgi.

Lineārās atkarības definīcija un kritērijs ir formulēti tā, lai norādītu uz divu vai vairāku vektoru klātbūtni. Tomēr mēs varam runāt arī par viena vektora lineāro atkarību. Lai realizētu šo iespēju, tā vietā, lai “vektori ir lineāri atkarīgi”, jums jāsaka: “vektoru sistēma ir lineāri atkarīga”. Ir viegli saprast, ka izteiciens “viena vektora sistēma ir lineāri atkarīga” nozīmē, ka šis viens vektors ir nulle (lineārā kombinācijā ir tikai viens koeficients, un tas nedrīkst būt vienāds ar nulli).

Lineārās atkarības jēdzienam ir vienkārša ģeometriskā interpretācija. Šie trīs apgalvojumi precizē šo interpretāciju.

Teorēma 2.2. Divi vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineārs.

◄ Ja vektori a un b ir lineāri atkarīgi, tad viens no tiem, piemēram, a, tiek izteikts caur otru, t.i. a = λb kādam reālam skaitlim λ. Saskaņā ar definīciju 1.7 darbojas vektori uz skaitli, vektori a un b ir kolineāri.

Tagad vektori a un b ir kolineāri. Ja tie abi ir nulle, tad ir acīmredzams, ka tie ir lineāri atkarīgi, jo jebkura to lineāra kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru. Lai viens no šiem vektoriem nebūtu vienāds ar 0, piemēram, vektors b. Ar λ apzīmēsim vektoru garumu attiecību: λ = |a|/|b|. Kollineārie vektori var būt vienvirziena vai pretēji vērsta. Pēdējā gadījumā mēs mainām λ zīmi. Tad, pārbaudot 1.7. definīciju, mēs esam pārliecināti, ka a = λb. Saskaņā ar 2.1. teorēmu vektori a un b ir lineāri atkarīgi.

Piezīme 2.1. Divu vektoru gadījumā, ņemot vērā lineārās atkarības kritēriju, pārbaudīto teorēmu var pārformulēt šādi: divi vektori ir kolineāri tad un tikai tad, ja viens no tiem ir attēlots kā otra reizinājums ar skaitli. Tas ir ērts divu vektoru kolinearitātes kritērijs.

Teorēma 2.3. Trīs vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir koplanārs.

◄ Ja trīs vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi, tad saskaņā ar 2.1. teorēmu viens no tiem, piemēram, a, ir pārējo lineāra kombinācija: a = βb + γс. Apvienosim vektoru b un c sākumpunktus punktā A. Tad vektoriem βb, γс būs kopīgs sākums punktā A un gar saskaņā ar paralelograma likumu to summa ir tie. vektors a būs vektors ar izcelsmi A un beigas, kas ir uz komponentu vektoriem veidota paralelograma virsotne. Tādējādi visi vektori atrodas vienā plaknē, t.i., vienā plaknē.

Lai vektori a, b, c ir vienāplaknē. Ja viens no šiem vektoriem ir nulle, tad ir skaidrs, ka tā būs pārējo lineāra kombinācija. Pietiek ņemt visus lineārās kombinācijas koeficientus, kas vienādi ar nulli. Tāpēc mēs varam pieņemt, ka visi trīs vektori nav nulle. Saderīgs sākās no šiem vektoriem kopējā punktā O. Lai to gali būtu attiecīgi punkti A, B, C (2.1. att.). Caur punktu C novelkam taisnes paralēli līnijām, kas iet caur punktu pāriem O, A un O, B. Apzīmējot krustošanās punktus kā A" un B", iegūstam paralelogramu OA"CB", tāpēc OC" = OA" + OB". Vektors OA" un nulles vektors a = OA ir kolineāri, un tāpēc pirmo no tiem var iegūt, reizinot otro ar reālu skaitli α:OA" = αOA. Tāpat OB" = βOB, β ∈ R. Rezultātā iegūstam, ka OC" = α OA. + βOB, t.i., vektors c ir vektoru a un b lineāra kombinācija. Saskaņā ar 2.1. teorēmu vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi.

Teorēma 2.4. Jebkuri četri vektori ir lineāri atkarīgi.

◄ Pierādīšanu veicam pēc tās pašas shēmas kā teorēmā 2.3. Apsveriet patvaļīgus četrus vektorus a, b, c un d. Ja viens no četriem vektoriem ir nulle vai starp tiem ir divi kolineāri vektori, vai trīs no četriem vektoriem ir koplanāri, tad šie četri vektori ir lineāri atkarīgi. Piemēram, ja vektori a un b ir kolineāri, tad mēs varam izveidot to lineāro kombināciju αa + βb = 0 ar koeficientiem, kas nav nulle, un pēc tam pievienot šai kombinācijai atlikušos divus vektorus, par koeficientiem ņemot nulles. Iegūstam četru vektoru lineāru kombināciju, kas vienāda ar 0, kurā ir koeficienti, kas nav nulle.

Tādējādi mēs varam pieņemt, ka starp atlasītajiem četriem vektoriem neviens vektors nav nulle, neviens nav kolineārs un neviens nav trīs kopplanārs. Izvēlēsimies punktu O kā to kopīgo sākumu. Tad vektoru a, b, c, d gali būs daži punkti A, B, C, D (2.2. att.). Caur punktu D novelkam trīs plaknes, kas ir paralēlas plaknēm OBC, OCA, OAB, un lai A", B", C" ir šo plakņu krustošanās punkti attiecīgi ar taisnēm OA, OB, OS. Iegūstam a paralēlskaldnis OA" C "B" C" B"DA", un vektori a, b, c atrodas uz tā malām, kas iziet no virsotnes O. Tā kā četrstūris OC"DC" ir paralelograms, tad OD = OC" + OC " Savukārt segments OC ir diagonāle OA"C"B", tātad OC" = OA" + OB" un OD = OA" + OB" + OC" .

Atliek atzīmēt, ka vektoru pāri OA ≠ 0 un OA" , OB ≠ 0 un OB" , OC ≠ 0 un OC" ir kolineāri, un tāpēc ir iespējams izvēlēties koeficientus α, β, γ tā, lai OA" = αOA, OB" = βOB un OC" = γOC. Beidzot iegūstam OD = αOA + βOB + γOC. Līdz ar to OD vektors tiek izteikts caur pārējiem trim vektoriem, un visi četri vektori saskaņā ar 2.1. teorēmu ir lineāri atkarīgi.

Vektoru lineārā atkarība un lineārā neatkarība.
Vektoru bāze. Afīna koordinātu sistēma

Auditorijā ir rati ar šokolādes konfektēm, un katrs apmeklētājs šodien iegūs saldu pārīti - analītisko ģeometriju ar lineāro algebru. Šajā rakstā vienlaikus tiks apskatītas divas augstākās matemātikas sadaļas, un mēs redzēsim, kā tās pastāv līdzās vienā iesaiņojumā. Paņemiet pārtraukumu, apēdiet Twix! ...sasodīts, kas par muļķībām. Lai gan, labi, es negūšu punktus, galu galā jums vajadzētu būt pozitīvai attieksmei pret studijām.

Vektoru lineārā atkarība, lineārā vektora neatkarība, vektoru bāze un citiem terminiem ir ne tikai ģeometriska interpretācija, bet, galvenais, algebriska nozīme. Pats “vektora” jēdziens no lineārās algebras viedokļa ne vienmēr ir “parastais” vektors, ko mēs varam attēlot plaknē vai telpā. Jums nav tālu jāmeklē pierādījumi, mēģiniet uzzīmēt piecdimensiju telpas vektoru . Vai laika apstākļu vektors, pēc kura tikko devos uz Gismeteo: attiecīgi temperatūra un atmosfēras spiediens. Piemērs, protams, ir nepareizs no vektortelpas īpašību viedokļa, taču, neskatoties uz to, neviens neaizliedz formalizēt šos parametrus kā vektoru. Rudens elpa...

Nē, es netaisos jūs garlaikot ar teoriju, lineārām vektortelpām, uzdevums ir saprast definīcijas un teorēmas. Jaunie termini (lineārā atkarība, neatkarība, lineārā kombinācija, bāze u.c.) attiecas uz visiem vektoriem no algebriskā viedokļa, bet tiks doti ģeometriskie piemēri. Tādējādi viss ir vienkāršs, pieejams un skaidrs. Papildus analītiskās ģeometrijas problēmām mēs apsvērsim arī dažas tipiskas algebras problēmas. Lai apgūtu materiālu, ieteicams iepazīties ar nodarbībām Manekenu vektori Un Kā aprēķināt determinantu?

Plaknes vektoru lineārā atkarība un neatkarība.
Plaknes bāze un afīnu koordinātu sistēma

Apskatīsim jūsu datora galda plakni (tikai galds, naktsgaldiņš, grīda, griesti, kas jums patīk). Uzdevums sastāvēs no šādām darbībām:

1) Izvēlieties plaknes bāzi. Aptuveni runājot, galda virsmai ir garums un platums, tāpēc ir intuitīvi, ka pamata izveidošanai būs nepieciešami divi vektori. Ar vienu vektoru nepārprotami nepietiek, ar trim vektoriem ir par daudz.

2) Pamatojoties uz izvēlēto pamatu iestatīt koordinātu sistēmu(koordinātu režģis), lai piešķirtu koordinātas visiem objektiem tabulā.

Nebrīnieties, sākumā skaidrojumi būs uz pirkstiem. Turklāt uz jūsu. Lūdzu, novietojiet kreisais rādītājpirksts uz galda virsmas, lai viņš skatītos uz monitoru. Tas būs vektors. Tagad vieta labais mazais pirksts uz galda malas tādā pašā veidā - tā, lai tas būtu vērsts uz monitora ekrānu. Tas būs vektors. Pasmaidi, tu izskaties lieliski! Ko mēs varam teikt par vektoriem? Datu vektori kolineārs, kas nozīmē lineārs izteikti viens ar otru:
, labi vai otrādi: , kur kāds skaitlis atšķiras no nulles.

Šīs darbības attēlu varat redzēt klasē. Manekenu vektori, kur es izskaidroju noteikumu vektora reizināšanai ar skaitli.

Vai jūsu pirksti noliks pamatu datora galda plaknē? Acīmredzot nē. Kolineārie vektori pārvietojas uz priekšu un atpakaļ šķērsām vienatnē virzienā, un plaknei ir garums un platums.

Tādus vektorus sauc lineāri atkarīgi.

Atsauce: Vārdi “lineāri”, “lineāri” apzīmē faktu, ka matemātiskajos vienādojumos un izteiksmēs nav kvadrātu, kubu, citu pakāpju, logaritmu, sinusu utt. Ir tikai lineāras (1. pakāpes) izteiksmes un atkarības.

Divi plaknes vektori lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineāri.

Sakrustiet pirkstus uz galda tā, lai starp tiem būtu kāds leņķis, kas nav 0 vai 180 grādi. Divi plaknes vektorilineārs Nav atkarīgi tad un tikai tad, ja tie nav kolineāri. Tātad pamats ir iegūts. Nav jākaunas, ka bāze izrādījās “šķība” ar dažāda garuma neperpendikulāriem vektoriem. Pavisam drīz redzēsim, ka tā uzbūvei ir piemērots ne tikai 90 grādu leņķis, bet ne tikai vienāda garuma vienību vektori

Jebkurš plaknes vektors vienīgais ceļš tiek paplašināts saskaņā ar pamatu:
, kur ir reālie skaitļi. Tiek izsaukti numuri vektora koordinātasšajā pamatā.

Runā arī, ka vektorspasniegts kā lineāra kombinācija bāzes vektori. Tas ir, izteiksme tiek saukta vektoru dekompozīcijapēc pamata vai lineāra kombinācija bāzes vektori.

Piemēram, mēs varam teikt, ka vektors ir sadalīts pa plaknes ortonormālo bāzi, vai arī mēs varam teikt, ka tas ir attēlots kā lineāra vektoru kombinācija.

Formulēsim pamata definīcija formāli: Lidmašīnas pamats sauc par lineāri neatkarīgu (nekolineāru) vektoru pāri, , kurā jebkura plaknes vektors ir lineāra bāzes vektoru kombinācija.

Būtisks definīcijas punkts ir fakts, ka tiek ņemti vektori noteiktā secībā. Bāzes – tās ir divas pilnīgi atšķirīgas bāzes! Kā saka, kreisās rokas mazo pirkstiņu nevar aizstāt labās rokas mazā pirkstiņa vietā.

Mēs esam izdomājuši pamatu, taču ar to nepietiek, lai iestatītu koordinātu režģi un piešķirtu koordinātas katram datora galda vienumam. Kāpēc ar to nepietiek? Vektori ir brīvi un klīst pa visu plakni. Tātad, kā piešķirt koordinātas tiem mazajiem netīrajiem plankumiem uz galda, kas palikuši pāri pēc mežonīgas nedēļas nogales? Ir vajadzīgs sākuma punkts. Un šāds orientieris ir visiem pazīstams punkts - koordinātu izcelsme. Sapratīsim koordinātu sistēmu:

Sākšu ar “skolas” sistēmu. Jau ievadstundā Manekenu vektori Es uzsvēru dažas atšķirības starp taisnstūra koordinātu sistēmu un ortonormālo bāzi. Šeit ir standarta attēls:

Kad viņi runā par taisnstūra koordinātu sistēma, tad visbiežāk tie nozīmē izcelsmi, koordinātu asis un mērogu gar asīm. Mēģiniet meklētājā ierakstīt "taisnstūra koordinātu sistēma", un jūs redzēsiet, ka daudzi avoti jums pastāstīs par koordinātu asīm, kas pazīstamas no 5. līdz 6. klasei, un to, kā attēlot punktus plaknē.

No otras puses, šķiet, ka taisnstūra koordinātu sistēmu var definēt, izmantojot ortonormālo bāzi. Un tā ir gandrīz taisnība. Formulējums ir šāds:

izcelsmi, Un ortonormāls ir noteikts pamats Dekarta taisnstūra plaknes koordinātu sistēma . Tas ir, taisnstūra koordinātu sistēma noteikti ir definēts ar vienu punktu un diviem ortogonāliem vektoriem. Tāpēc jūs redzat zīmējumu, ko es sniedzu iepriekš - ģeometriskos uzdevumos bieži (bet ne vienmēr) tiek zīmēti gan vektori, gan koordinātu asis.

Es domāju, ka visi to saprot, izmantojot punktu (izcelsmi) un ortonormālo bāzi JEBKURS PUNKTS lidmašīnā un JEBKURS VEKTORS lidmašīnā var piešķirt koordinātas. Tēlaini izsakoties, "visu lidmašīnā var numurēt."

Vai koordinātu vektoriem ir jābūt vienībām? Nē, tiem var būt patvaļīgs garums, kas atšķiras no nulles. Apsveriet punktu un divus ortogonālus vektorus ar patvaļīgu garumu, kas nav nulle:

Tādu pamatu sauc ortogonāls. Koordinātu izcelsmi ar vektoriem nosaka koordinātu režģis, un jebkuram plaknes punktam, jebkuram vektoram ir savas koordinātes noteiktā bāzē. Piemēram, vai. Acīmredzama neērtība ir tā, ka koordinātu vektori vispār ir dažādi garumi, izņemot vienotību. Ja garumi ir vienādi ar vienību, tad iegūst parasto ortonormālo bāzi.

! Piezīme : ortogonālajā bāzē, kā arī zemāk plaknes un telpas afīnās bāzēs tiek ņemtas vērā vienības gar asīm NOSACĪJUMI. Piemēram, viena vienība gar x asi satur 4 cm, viena vienība gar ordinātu asi satur 2 cm Ar šo informāciju pietiek, lai vajadzības gadījumā pārvērstu “nestandarta” koordinātas “mūsu parastajos centimetros”.

Un otrs jautājums, uz kuru faktiski jau ir atbildēts, vai leņķim starp bāzes vektoriem jābūt vienādam ar 90 grādiem? Nē! Kā teikts definīcijā, bāzes vektoriem jābūt tikai nekolineārs. Attiecīgi leņķis var būt jebkas, izņemot 0 un 180 grādus.

Punkts lidmašīnā sauca izcelsmi, Un nekolineārs vektori, , komplekts afīnās plaknes koordinātu sistēma :

Dažreiz šādu koordinātu sistēmu sauc slīpi sistēma. Kā piemērus zīmējumā ir parādīti punkti un vektori:

Kā jūs saprotat, afīnās koordinātu sistēma ir vēl mazāk ērta vektoru un segmentu garumu formulas, kuras mēs apspriedām nodarbības otrajā daļā, tajā nedarbojas; Manekenu vektori, daudzas gardas formulas, kas saistītas ar vektoru skalārais reizinājums. Bet ir spēkā noteikumi par vektoru pievienošanu un vektora reizināšanu ar skaitli, formulas segmenta dalīšanai šajā ziņā, kā arī daži citi problēmu veidi, kurus mēs drīz apsvērsim.

Un secinājums ir tāds, ka ērtākais afīnās koordinātu sistēmas īpašais gadījums ir Dekarta taisnstūrveida sistēma. Tāpēc tev viņa visbiežāk ir jāredz, mans dārgais. ...Tomēr viss šajā dzīvē ir relatīvs - ir daudzas situācijas, kurās slīps leņķis (vai kāds cits, piemēram, polārais) koordinātu sistēma. Un humanoīdiem varētu patikt šādas sistēmas =)

Pārejam uz praktisko daļu. Visas šīs nodarbības problēmas ir derīgas gan taisnstūra koordinātu sistēmai, gan vispārējam afīnam. Šeit nav nekā sarežģīta, viss materiāls ir pieejams pat skolēnam.

Kā noteikt plaknes vektoru kolinearitāti?

Tipiska lieta. Lai divi plaknes vektori ir kolineāras, ir nepieciešams un pietiekami, lai to atbilstošās koordinātas būtu proporcionālas Būtībā šī ir acīmredzamo attiecību detalizēta informācija par katru koordinātu.

1. piemērs

a) Pārbaudiet, vai vektori ir kolineāri .
b) Vai vektori veido pamatu? ?

Risinājums:
a) Noskaidrosim, vai ir vektoriem proporcionalitātes koeficients, lai vienādības būtu izpildītas:

Es noteikti pastāstīšu par šī noteikuma piemērošanas “nepatīkamo” versiju, kas praksē darbojas diezgan labi. Ideja ir nekavējoties izveidot proporciju un pārbaudīt, vai tā ir pareiza:

Izveidosim proporciju no vektoru atbilstošo koordinātu attiecībām:

Saīsināsim:
, tādējādi atbilstošās koordinātas ir proporcionālas, tāpēc

Attiecības var izveidot otrādi, šī ir līdzvērtīga iespēja:

Pašpārbaudei varat izmantot faktu, ka kolineārie vektori tiek lineāri izteikti viens caur otru. Šajā gadījumā notiek vienādības . To derīgumu var viegli pārbaudīt, veicot elementāras darbības ar vektoriem:

b) Divi plaknes vektori veido pamatu, ja tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Mēs pārbaudām vektoru kolinearitāti . Izveidosim sistēmu:

No pirmā vienādojuma izriet, ka no otrā vienādojuma izriet, ka , kas nozīmē sistēma ir nekonsekventa(nav risinājumu). Tādējādi atbilstošās vektoru koordinātas nav proporcionālas.

Secinājums: vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Vienkāršota risinājuma versija izskatās šādi:

Izveidosim proporciju no atbilstošām vektoru koordinātām :
, kas nozīmē, ka šie vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Parasti šo iespēju recenzenti nenoraida, taču problēma rodas gadījumos, kad dažas koordinātas ir vienādas ar nulli. Kā šis: . Vai arī šādi: . Vai arī šādi: . Kā šeit izmantot proporcijas? (patiesi, jūs nevarat dalīt ar nulli). Šī iemesla dēļ es nosaucu vienkāršoto risinājumu par “foppish”.

Atbilde: a) , b) forma.

Neliels radošs piemērs jūsu risinājumam:

2. piemērs

Pie kādas parametra vērtības atrodas vektori vai tie būs kolineāri?

Parauga risinājumā parametrs tiek atrasts caur proporciju.

Ir elegants algebrisks veids, kā pārbaudīt vektoru kolinearitāti. Sistematizēsim savas zināšanas un pievienosim tās kā piekto punktu.

Diviem plaknes vektoriem šādi apgalvojumi ir līdzvērtīgi:

2) vektori veido pamatu;
3) vektori nav kolineāri;

+ 5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, nav nulle.

Respektīvi, sekojošie pretējie apgalvojumi ir līdzvērtīgi:
1) vektori ir lineāri atkarīgi;
2) vektori neveido bāzi;
3) vektori ir kolineāri;
4) vektori var būt lineāri izteikti viens caur otru;
+ 5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli.

Es ļoti, ļoti ceru, ka tagad jūs jau saprotat visus terminus un apgalvojumus, ar kuriem esat saskāries.

Apskatīsim tuvāk jauno, piekto punktu: divi plaknes vektori ir kolineāri tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no doto vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli:. Lai izmantotu šo funkciju, protams, jums tas ir jāspēj atrast noteicošos faktorus.

Izlemsim 1. piemērs otrajā veidā:

a) Aprēķināsim determinantu, ko veido vektoru koordinātas :
, kas nozīmē, ka šie vektori ir kolineāri.

b) Divi plaknes vektori veido pamatu, ja tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas :
, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Atbilde: a) , b) forma.

Tas izskatās daudz kompaktāks un glītāks nekā risinājums ar proporcijām.

Ar aplūkotā materiāla palīdzību ir iespējams konstatēt ne tikai vektoru kolinearitāti, bet arī pierādīt nogriežņu un taisnes paralēlismu. Apskatīsim dažas problēmas ar konkrētām ģeometriskām formām.

3. piemērs

Ir dotas četrstūra virsotnes. Pierādīt, ka četrstūris ir paralelograms.

Pierādījums: uzdevumā nav jākonstruē zīmējums, jo risinājums būs tīri analītisks. Atcerēsimies paralelograma definīciju:
Paralēlogramma Tiek saukts četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas pa pāriem.

Tādējādi ir jāpierāda:
1) pretējo malu paralēlisms un;
2) pretējo malu paralēlisms un.

Mēs pierādam:

1) Atrodiet vektorus:

2) Atrodiet vektorus:

Rezultāts ir vienāds vektors (“saskaņā ar skolu” – vienādi vektori). Kolinearitāte ir diezgan acīmredzama, taču labāk ir skaidri noformēt lēmumu ar vienošanos. Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas:
, kas nozīmē, ka šie vektori ir kolineāri, un .

Secinājums: Četrstūra pretējās malas ir paralēlas pa pāriem, kas nozīmē, ka tas pēc definīcijas ir paralelograms. Q.E.D.

Vairāk labu un dažādu figūru:

4. piemērs

Ir dotas četrstūra virsotnes. Pierādīt, ka četrstūris ir trapece.

Stingrākai pierādījuma formulēšanai, protams, labāk ir iegūt trapeces definīciju, taču pietiek tikai atcerēties, kā tas izskatās.

Šis ir uzdevums, kas jums jāatrisina pašam. Pilns risinājums nodarbības beigās.

Un tagad ir pienācis laiks lēnām pāriet no lidmašīnas kosmosā:

Kā noteikt telpas vektoru kolinearitāti?

Noteikums ir ļoti līdzīgs. Lai divi telpas vektori būtu kolineāri, ir nepieciešams un pietiekami, lai to atbilstošās koordinātas būtu proporcionālas.

5. piemērs

Uzziniet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:

A) ;
b)
V)

Risinājums:
a) Pārbaudīsim, vai attiecīgajām vektoru koordinātām ir proporcionalitātes koeficients:

Sistēmai nav risinājuma, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.

“Vienkāršots” tiek formalizēts, pārbaudot proporciju. Šajā gadījumā:
– atbilstošās koordinātas nav proporcionālas, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.

Atbilde: vektori nav kolineāri.

b-c) Tie ir punkti neatkarīgam lēmumam. Izmēģiniet to divos veidos.

Ir metode telpisko vektoru kolinearitātes pārbaudei, izmantojot trešās kārtas determinantu. Šī metode ir aplūkota rakstā Vektoru vektorreizinājums.

Līdzīgi kā plaknes gadījumā aplūkotos rīkus var izmantot, lai pētītu telpisko segmentu un taisnu līniju paralēlismu.

Laipni lūdzam otrajā sadaļā:

Vektoru lineārā atkarība un neatkarība trīsdimensiju telpā.
Telpiskā bāze un afīnu koordinātu sistēma

Daudzi modeļi, kurus mēs pārbaudījām lidmašīnā, būs derīgi arī kosmosā. Es mēģināju samazināt teorijas piezīmes, jo lielākā daļa informācijas jau ir sakošļāta. Tomēr iesaku rūpīgi izlasīt ievaddaļu, jo parādīsies jauni termini un jēdzieni.

Tagad datora galda plaknes vietā mēs pētām trīsdimensiju telpu. Pirmkārt, izveidosim tā pamatu. Kāds tagad atrodas telpās, kāds ir ārā, bet jebkurā gadījumā mēs nevaram izvairīties no trim dimensijām: platums, garums un augstums. Tāpēc, lai izveidotu bāzi, būs nepieciešami trīs telpiskie vektori. Ar vienu vai diviem vektoriem nepietiek, ceturtais ir lieks.

Un atkal sasildāmies uz pirkstiem. Lūdzu, paceliet roku uz augšu un izklājiet to dažādos virzienos īkšķi, rādītājpirkstu un vidējo pirkstu. Tie būs vektori, tie skatās dažādos virzienos, tiem ir dažādi garumi un dažādi leņķi savā starpā. Apsveicam, trīsdimensiju telpas pamats ir gatavs! Starp citu, tas nav jādemonstrē skolotājiem, lai kā tu locītu pirkstus, bet no definīcijām nekur neizbēgt =)

Tālāk uzdosim sev svarīgu jautājumu: vai kādi trīs vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu? Lūdzu, stingri piespiediet trīs pirkstus datora galda augšpusē. Kas notika? Trīs vektori atrodas vienā plaknē, un, rupji sakot, mēs esam zaudējuši vienu no dimensijām - augstumu. Šādi vektori ir koplanārs un, ir pilnīgi skaidrs, ka trīsdimensiju telpas pamats nav radīts.

Jāatzīmē, ka koplanāriem vektoriem nav jāatrodas vienā plaknē, tie var būt paralēlās plaknēs (tikai nedariet to ar pirkstiem, to izdarīja tikai Salvadors Dalī =)).

Definīcija: vektorus sauc koplanārs, ja ir plakne, kurai tie ir paralēli. Šeit ir loģiski piebilst, ka, ja šādas plaknes nav, tad vektori nebūs koplanāri.

Trīs koplanāri vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi, tas ir, tie ir lineāri izteikti viens caur otru. Vienkāršības labad atkal iedomāsimies, ka tie atrodas vienā plaknē. Pirmkārt, vektori ir ne tikai koplanāri, tie var būt arī kolineāri, tad jebkuru vektoru var izteikt caur jebkuru vektoru. Otrajā gadījumā, ja, piemēram, vektori nav kolineāri, tad trešais vektors caur tiem tiek izteikts unikālā veidā: (un kāpēc to ir viegli uzminēt no iepriekšējās sadaļas materiāliem).

Arī otrādi ir taisnība: trīs nekopplanāri vektori vienmēr ir lineāri neatkarīgi, tas ir, tie nekādā veidā netiek izteikti viens ar otru. Un, protams, tikai šādi vektori var veidot trīsdimensiju telpas pamatu.

Definīcija: Trīsdimensiju telpas pamats sauc par lineāri neatkarīgu (ne-kopplanāru) vektoru trīskāršu, pieņemts noteiktā secībā, un jebkurš telpas vektors vienīgais ceļš ir sadalīts noteiktā bāzē, kur ir vektora koordinātas šajā bāzē

Atgādināšu, ka var arī teikt, ka vektors ir attēlots formā lineāra kombinācija bāzes vektori.

Koordinātu sistēmas jēdziens tiek ieviests tieši tādā pašā veidā kā plaknes gadījumā, pietiek ar vienu punktu un jebkuriem trim lineāri neatkarīgiem vektoriem:

izcelsmi, Un ne-kopplanārs vektori, pieņemts noteiktā secībā, komplekts trīsdimensiju telpas afīna koordinātu sistēma :

Protams, koordinātu režģis ir “slīps” un neērts, bet tomēr izveidotā koordinātu sistēma ļauj mums noteikti noteikt jebkura vektora koordinātas un jebkura telpas punkta koordinātas. Līdzīgi kā plaknē, dažas formulas, kuras jau minēju, nedarbosies telpas afīnās koordinātu sistēmā.

Vispazīstamākais un ērtākais afīnās koordinātu sistēmas īpašais gadījums, kā visi uzminē, ir taisnstūra telpas koordinātu sistēma:

Punkts telpā, ko sauc izcelsmi, Un ortonormāls ir noteikts pamats Dekarta taisnstūra telpas koordinātu sistēma . Pazīstams attēls:

Pirms pāriet pie praktiskiem uzdevumiem, vēlreiz sistematizējam informāciju:

Trīs telpas vektoriem šādi apgalvojumi ir līdzvērtīgi:
1) vektori ir lineāri neatkarīgi;
2) vektori veido pamatu;
3) vektori nav koplanāri;
4) vektorus nevar lineāri izteikt viens caur otru;
5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, atšķiras no nulles.

Manuprāt, ir saprotami pretēji apgalvojumi.

Telpas vektoru lineāro atkarību/neatkarību tradicionāli pārbauda, ​​izmantojot determinantu (5. punkts). Atlikušajiem praktiskiem uzdevumiem būs nepārprotami algebrisks raksturs. Ir pienācis laiks nolikt ģeometrijas nūju un vadīt lineārās algebras beisbola nūju:

Trīs telpas vektori ir koplanāri tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no doto vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli: .

Vēlos vērst jūsu uzmanību uz nelielu tehnisku niansi: vektoru koordinātas var rakstīt ne tikai kolonnās, bet arī rindās (determinanta vērtība tāpēc nemainīsies - skatiet determinantu īpašības). Bet tas ir daudz labāk kolonnās, jo tas ir izdevīgāk dažu praktisku problēmu risināšanai.

Tiem lasītājiem, kuri ir nedaudz aizmirsuši determinantu aprēķināšanas metodes vai varbūt vispār par tām maz zina, iesaku vienu no savām vecākajām nodarbībām: Kā aprēķināt determinantu?

6. piemērs

Pārbaudiet, vai trīsdimensiju telpas pamatā ir šādi vektori:

Risinājums: Faktiski viss risinājums ir noteicošā faktora aprēķināšana.

a) Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas (determinants tiek atklāts pirmajā rindā):

, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri neatkarīgi (nav koplanāri) un veido trīsdimensiju telpas pamatu.

Atbilde: šie vektori veido pamatu

b) Šis ir neatkarīga lēmuma punkts. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir arī radoši uzdevumi:

7. piemērs

Pie kādas parametra vērtības vektori būs koplanāri?

Risinājums: Vektori ir vienādi tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli:

Būtībā jums ir jāatrisina vienādojums ar determinantu. Mēs sitamies uz nullēm kā pūķi uz jerboas — vislabāk ir atvērt noteicēju otrajā rindā un nekavējoties atbrīvoties no mīnusiem:

Mēs veicam turpmākus vienkāršojumus un reducējam jautājumu līdz vienkāršākajam lineārajam vienādojumam:

Atbilde: plkst

To ir viegli pārbaudīt, lai to izdarītu, iegūtā vērtība ir jāaizstāj ar sākotnējo determinantu un jāpārliecinās , atverot to vēlreiz.

Noslēgumā apskatīsim vēl vienu tipisku problēmu, kurai ir vairāk algebrisks raksturs un kas tradicionāli tiek iekļauta lineārās algebras kursā. Tas ir tik izplatīts, ka ir pelnījis savu tēmu:

Pierādīt, ka trīsdimensiju telpas pamatā ir 3 vektori
un atrodiet šajā bāzē 4. vektora koordinātas

8. piemērs

Ir doti vektori. Parādiet, ka vektori veido pamatu trīsdimensiju telpā, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē.

Risinājums: Pirmkārt, aplūkosim nosacījumu. Pēc nosacījuma ir doti četri vektori, un, kā redzat, tiem jau ir zināmas koordinātas. Kas ir šis pamats, mūs neinteresē. Un interesants ir sekojošais: trīs vektori var izveidot jaunu pamatu. Un pirmais posms pilnībā sakrīt ar 6. piemēra risinājumu, ir jāpārbauda, ​​vai vektori patiešām ir lineāri neatkarīgi:

Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas:

, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri neatkarīgi un veido trīsdimensiju telpas pamatu.

! Svarīgs : vektora koordinātas Obligāti pierakstīt kolonnās determinants, nevis virknēs. Pretējā gadījumā turpmākajā risinājuma algoritmā radīsies neskaidrības.

Vektoru sistēmu sauc lineāri atkarīgi, ja ir skaitļi, starp kuriem vismaz viens atšķiras no nulles, lai vienādība https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ja šī vienādība ir izpildīta tikai tad, ja visi , tad tiek izsaukta vektoru sistēma lineāri neatkarīgs.

Teorēma. Vektoru sistēma būs lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja vismaz viens no tā vektoriem ir pārējo lineāra kombinācija.

1. piemērs. Polinoms ir lineāra polinomu kombinācija https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi veido lineāri neatkarīgu sistēmu, jo polinoms https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2. piemērs. Matricas sistēma https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ir lineāri neatkarīga, jo lineāra kombinācija ir vienāda ar nulles matrica tikai gadījumā, ja https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineāri atkarīgs.

Risinājums.

Izveidosim šo vektoru lineāru kombināciju https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" augstums=" 22">.

Pielīdzinot vienādas vektoru koordinātas, mēs iegūstam https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Beidzot saņemam

Un

Sistēmai ir unikāls triviāls risinājums, tāpēc šo vektoru lineāra kombinācija ir vienāda ar nulli tikai tad, ja visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc šī vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

4. piemērs. Vektori ir lineāri neatkarīgi. Kādas būs vektoru sistēmas?

a).;

b).?

Risinājums.

a). Izveidosim lineāru kombināciju un pielīdzināsim to nullei

Izmantojot operāciju īpašības ar vektoriem lineārajā telpā, formā pārrakstām pēdējo vienādību

Tā kā vektori ir lineāri neatkarīgi, koeficientiem ir jābūt vienādiem ar nulli, t.i..gif" width="12" height="23 src=">

Iegūtajai vienādojumu sistēmai ir unikāls triviāls risinājums .

Kopš vienlīdzības (*) izpildīts tikai tad, ja https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> — lineāri neatkarīgs;

b). Izveidosim vienādību https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Izmantojot līdzīgu argumentāciju, mēs iegūstam

Atrisinot vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi, iegūstam

vai

Pēdējā sistēmā ir bezgalīgs skaits risinājumu https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Tādējādi pastāv ne- nulles koeficientu kopa, kurai ir vienādība (**) . Tāpēc vektoru sistēma – lineāri atkarīgi.

5. piemērs Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, un vektoru sistēma ir lineāri atkarīga..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Vienlīdzībā (***) . Patiešām, pie , sistēma būtu lineāri atkarīga.

No attiecībām (***) mēs saņemam vai Apzīmēsim .

Mēs saņemam

Problēmas patstāvīgam risinājumam (klasē)

1. Sistēma, kas satur nulles vektoru, ir lineāri atkarīga.

2. Sistēma, kas sastāv no viena vektora A, ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, a=0.

3. Sistēma, kas sastāv no diviem vektoriem, ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vektori ir proporcionāli (tas ir, vienu no tiem iegūst no otra, reizinot ar skaitli).

4. Ja lineāri atkarīgai sistēmai pievienojat vektoru, iegūstat lineāri atkarīgu sistēmu.

5. Ja vektoru noņem no lineāri neatkarīgas sistēmas, tad iegūtā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

6. Ja sistēma S ir lineāri neatkarīgs, bet, pievienojot vektoru, kļūst lineāri atkarīgs b, tad vektors b lineāri izteikts ar sistēmas vektoriem S.

c). Matricu sistēma , , otrās kārtas matricu telpā.

10. Ļaujiet vektoru sistēmai a,b,c vektora telpa ir lineāri neatkarīga. Pierādiet šādu vektoru sistēmu lineāro neatkarību:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– patvaļīgs skaitlis

c).a+b, a+c, b+c.

11. Ļaujiet a,b,c– trīs vektori uz plaknes, no kuriem var izveidot trīsstūri. Vai šie vektori būs lineāri atkarīgi?

12. Ir doti divi vektori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Atrodiet vēl divus četrdimensiju vektorus a3 una4 lai sistēma a1,a2,a3,a4 bija lineāri neatkarīgs .

Definīcija. Lineāra vektoru kombinācija a 1 , ..., a n ar koeficientiem x 1 , ..., x n sauc par vektoru

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviāls, ja visi koeficienti x 1 , ..., x n ir vienādi ar nulli.

Definīcija. Tiek izsaukta lineārā kombinācija x 1 a 1 + ... + x n a n netriviāls, ja vismaz viens no koeficientiem x 1, ..., x n nav vienāds ar nulli.

lineāri neatkarīgs, ja nav netriviālas šo vektoru kombinācijas, kas vienādas ar nulles vektoru.

Tas ir, vektori a 1, ..., a n ir lineāri neatkarīgi, ja x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tad un tikai tad, ja x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definīcija. Tiek izsaukti vektori a 1, ..., a n lineāri atkarīgi, ja ir netriviāla šo vektoru kombinācija, kas vienāda ar nulles vektoru.

Lineāri atkarīgo vektoru īpašības:

2 un 3 dimensiju vektoriem.

Divi lineāri atkarīgi vektori ir kolineāri. (Kolineārie vektori ir lineāri atkarīgi.)

Trīsdimensiju vektoriem.

Trīs lineāri atkarīgi vektori ir koplanāri. (Trīs koplanāri vektori ir lineāri atkarīgi.)

• N-dimensiju vektoriem.

  n + 1 vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi.

Lineārās atkarības un vektoru lineārās neatkarības problēmu piemēri:

1. piemērs. Pārbaudiet, vai vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) ir lineāri neatkarīgi .

Risinājums:

Vektori būs lineāri atkarīgi, jo vektoru izmērs ir mazāks par vektoru skaitu.

Piemērs 2. Pārbaudiet, vai vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

atņemiet otro no pirmās rindas; pievienojiet otro rindiņu trešajai rindai:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Šis risinājums parāda, ka sistēmai ir daudz risinājumu, tas ir, pastāv skaitļu x 1, x 2, x 3 vērtību kombinācija, kas nav nulles tāda, ka vektoru a, b, c lineārā kombinācija ir vienāda ar nulles vektors, piemēram:

A + b + c = 0

un tas nozīmē, ka vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi.

Atbilde: vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi.

Piemērs 3. Pārbaudiet, vai vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums:Ļaujiet mums atrast koeficientu vērtības, pie kurām šo vektoru lineārā kombinācija būs vienāda ar nulles vektoru.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Šo vektora vienādojumu var uzrakstīt kā lineāru vienādojumu sistēmu

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Atrisināsim šo sistēmu, izmantojot Gausa metodi

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

atņemiet pirmo no otrās rindas; atņemiet pirmo no trešās rindas:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

no pirmās rindas atņem otro; pievienojiet otru trešajai rindai.

Formas izteiksme sauca vektoru lineāra kombinācija A 1 , A 2 ,...,A n ar izredzēm λ 1, λ 2,...,λ n.

Vektoru sistēmas lineārās atkarības noteikšana

Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineāri atkarīgi, ja ir skaitļu kopa, kas nav nulle λ 1, λ 2,...,λ n, kurā vektoru lineārā kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +... + λ n * A n vienāds ar nulles vektoru, tas ir, vienādojumu sistēma: ir risinājums, kas atšķiras no nulles.
Ciparu kopa λ 1, λ 2,...,λ n nav nulle, ja vismaz viens no skaitļiem λ 1, λ 2,...,λ n atšķiras no nulles.

Vektoru sistēmas lineārās neatkarības noteikšana

Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineāri neatkarīgs, ja šo vektoru lineārā kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +... + λ n * A n vienāds ar nulles vektoru tikai nulles skaitļu kopai λ 1, λ 2,...,λ n , tas ir, vienādojumu sistēma: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ir unikāls nulles risinājums.

Piemērs 29.1

Pārbaudiet, vai vektoru sistēma ir lineāri atkarīga

Risinājums:

1. Mēs veidojam vienādojumu sistēmu:

2. Mēs to atrisinām, izmantojot Gausa metodi. Sistēmas Jordanano transformācijas dotas 29.1. tabulā. Aprēķinot, sistēmas labās puses netiek pierakstītas, jo tās ir vienādas ar nulli un Jordānijas transformāciju laikā nemainās.

3. No pēdējām trim tabulas rindām pierakstiet atrisināto sistēmu, kas līdzvērtīga oriģinālajai sistēma:

4. Mēs iegūstam sistēmas vispārīgo risinājumu:

5. Pēc brīvā mainīgā vērtības x 3 =1 iestatīšanas pēc saviem ieskatiem, iegūstam konkrētu risinājumu, kas atšķiras no nulles X=(-3,2,1).

Atbilde: Tādējādi skaitļu kopai, kas nav nulle (-3,2,1), vektoru lineārā kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Tāpēc vektoru sistēma lineāri atkarīga.

Vektoru sistēmu īpašības

Īpašums (1)
Ja vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, tad vismaz viens no vektoriem tiek paplašināts attiecībā uz pārējiem un otrādi, ja vismaz viens no sistēmas vektoriem tiek paplašināts attiecībā uz pārējiem, tad vektoru sistēma ir lineāri atkarīgs.

Īpašums (2)
Ja kāda vektoru apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad visa sistēma ir lineāri atkarīga.

Īpašums (3)
Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri neatkarīga.

Īpašums (4)
Jebkura vektoru sistēma, kas satur nulles vektoru, ir lineāri atkarīga.

Īpašums (5)
M-dimensiju vektoru sistēma vienmēr ir lineāri atkarīga, ja vektoru skaits n ir lielāks par to izmēru (n>m)

Vektoru sistēmas pamati

Vektoru sistēmas pamats A 1 , A 2 ,..., A šādu apakšsistēmu B 1 , B 2 ,...,B r sauc(katrs no vektoriem B 1, B 2,..., B r ir viens no vektoriem A 1, A 2,..., A n), kas atbilst šādiem nosacījumiem:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineāri neatkarīga vektoru sistēma;
2. jebkurš vektors A j Sistēma A 1 , A 2 ,..., A n ir lineāri izteikta caur vektoriem B 1 , B 2 ,..., B r

r— bāzē iekļauto vektoru skaits.

Teorēma 29.1. Uz vektoru sistēmas vienības bāzes.

Ja m-dimensiju vektoru sistēma satur m dažādu vienību vektoru E 1 E 2 ,..., E m , tad tie veido sistēmas pamatu.

Algoritms vektoru sistēmas pamata atrašanai

Lai atrastu vektoru sistēmas A 1 ,A 2 ,...,A n bāzi, nepieciešams:

• Izveidojiet homogēnu vienādojumu sistēmu, kas atbilst vektoru sistēmai A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Atnesiet šo sistēmu