Logaritmu pamatīpašības. Logaritmi: piemēri un risinājumi Logaritma salīdzināšana ar nulli

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: log a x un žurnālu a y. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. žurnāls a x+ baļķis a y=log a (x · y);
2. žurnāls a x− žurnāls a y=log a (x : y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Baļķis 6 4 + baļķis 6 9.

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Un vēl viena lieta: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi, t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

[Paraksts attēlam]

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mums ir:

[Paraksts attēlam]

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu skaidrojumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur esošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - mēs saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir viens un tas pats skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļskaitli - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma žurnālu a x. Tad jebkuram skaitlim c tāds, ka c> 0 un c≠ 1, vienādība ir patiesa:

[Paraksts attēlam]

Jo īpaši, ja mēs ieliekam c = x, mēs iegūstam:

[Paraksts attēlam]

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

[Paraksts attēlam]

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

[Paraksts attēlam]

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

[Paraksts attēlam]

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā numurs n kļūst par argumentā esošās pakāpes rādītāju. Numurs n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: pamata logaritmiskā identitāte.

Patiesībā, kas notiks, ja numurs b paaugstināt līdz tādam jaudai, ka skaitlis bšim jaudam dod skaitli a? Tieši tā: jūs saņemat to pašu numuru a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

[Paraksts attēlam]

Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

[Paraksts attēlam]

Ja kāds nezin, tad šis bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. žurnāls a a= 1 ir logaritmiska vienība. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms uz jebkuru bāzi a no šīs pašas bāzes ir vienāds ar vienu.
2. žurnāls a 1 = 0 ir logaritmiskā nulle. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments satur vienu, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Sadaļā par jautājumu, kā salīdzināt logaritmus, kad....(+)? autora dots Izsijāt labākā atbilde ir Vai arī jūs nevarat to samazināt līdz vienai bāzei, bet izmantot logaritmiskās funkcijas īpašības.
Ja logaritmiskās funkcijas bāze ir lielāka par 1, tad funkcija palielinās, un, ja x > 1, jo mazāka ir bāze, jo augstāk atrodas grafiks,
par 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ja logaritma bāze ir lielāka par nulli un mazāka par 1, tad funkcija samazinās,
Turklāt, ja x > 1, jo mazāka bāze, jo augstāks ir grafiks,
par 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Tas izrādīsies šādi:

Atbilde no izdilis[guru]
Samaziniet logaritmus līdz tai pašai bāzei (piemēram, līdz naturālam skaitlim) un pēc tam salīdziniet.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Atbilde no Neiropatologs[guru]
Izmantojiet formulu, lai pārietu uz jaunu bāzi: log(a)b=1/log(b)a.
Pēc tam salīdziniet daļskaitļu saucējus, piemēram, logaritmus ar to pašu bāzi.
No divām daļām ar vienādiem skaitītājiem daļa ar mazāku saucēju ir lielāka.
Piemēram, log(7)16 un log(3)16
1/log(16)7 un 1/log(16)3
Tā kā log(16)7>log(16)3, tad 1/log(16)7< 1/log(16)3.

Risinot vienādojumus un nevienādības, kā arī uzdevumus ar moduļiem, atrastās saknes ir jānovieto uz skaitļu līnijas. Kā zināms, atrastās saknes var būt dažādas. Tie var būt šādi: , vai tie var būt šādi: , .

Attiecīgi, ja skaitļi ir nevis racionāli, bet iracionāli (ja esat aizmirsis, kas tie ir, skatieties tēmā), vai arī ir sarežģītas matemātiskas izteiksmes, tad to novietošana uz skaitļu līnijas ir ļoti problemātiska. Turklāt eksāmena laikā jūs nevarat izmantot kalkulatorus, un aptuvenie aprēķini nesniedz 100% garantijas, ka viens skaitlis ir mazāks par citu (ja nu ir atšķirība starp salīdzināmajiem skaitļiem?).

Protams, jūs zināt, ka pozitīvie skaitļi vienmēr ir lielāki par negatīvajiem un, ja mēs iedomājamies skaitļa asi, tad, salīdzinot, lielākie skaitļi būs pa labi nekā mazākie: ; ; utt.

Bet vai vienmēr viss ir tik vienkārši? Kur skaitļu rindā atzīmējam, .

Kā tos var salīdzināt, piemēram, ar skaitli? Šī ir berzēšana...)

Pirmkārt, parunāsim vispārīgi par to, kā un ko salīdzināt.

Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli un tas ir aizliegts kvadrāts, ja viena no daļām ir negatīva.

Daļskaitļu salīdzinājums

Tātad, mums ir jāsalīdzina divas frakcijas: un.

Ir vairākas iespējas, kā to izdarīt.

1. variants. Samaziniet daļskaitļus līdz kopsaucējam.

Rakstīsim to parastas daļskaitļa formā:

- (kā redzat, samazināju arī skaitītāju un saucēju).

Tagad mums ir jāsalīdzina daļskaitļi:

Tagad mēs varam turpināt salīdzināt divos veidos. Mēs varam:

1. vienkārši apvienojiet visu pie kopsaucēja, uzrādot abas daļas kā nepareizas (skaitītājs ir lielāks par saucēju):

   Kurš skaitlis ir lielāks? Tieši tā, tas, kuram ir lielāks skaitītājs, tas ir, pirmais.

2. “atmetīsim” (ņemam vērā, ka no katras daļdaļas esam atņēmuši vienu, un attiecīgi daļskaitļu attiecība viena pret otru nav mainījusies) un salīdziniet daļas:

   Mēs arī apvienojam tos ar kopsaucēju:

   Mēs saņēmām tieši tādu pašu rezultātu kā iepriekšējā gadījumā - pirmais skaitlis ir lielāks par otro:

   Pārbaudīsim arī, vai vienu atņēmām pareizi? Aprēķināsim skaitītāja starpību pirmajā un otrajā aprēķinā:
   1)
   2)

Tātad, mēs apskatījām, kā salīdzināt daļskaitļus, apvienojot tos līdz kopsaucējam. Pāriesim pie citas metodes – daļskaitļu salīdzināšanu, savešanu pie kopējā... skaitītāja.

2. variants. Daļskaitļu salīdzināšana, reducējot līdz kopējam skaitītājam.

Jā jā. Tā nav drukas kļūda. Šo metodi reti kurš māca skolā, bet ļoti bieži tā ir ļoti ērta. Lai jūs ātri saprastu tā būtību, es jums uzdošu tikai vienu jautājumu - "kādos gadījumos daļdaļas vērtība ir vislielākā?" Protams, jūs sakāt: "kad skaitītājs ir pēc iespējas lielāks un saucējs ir pēc iespējas mazāks."

Piemēram, jūs noteikti varat teikt, ka tā ir taisnība? Ko darīt, ja jāsalīdzina šādas daļskaitļi: ? Es domāju, ka jūs arī uzreiz pareizi uzliksit zīmi, jo pirmajā gadījumā tās ir sadalītas daļās, bet otrajā - veselās, kas nozīmē, ka otrajā gadījumā gabali izrādās ļoti mazi, un attiecīgi: . Kā redzat, saucēji šeit ir atšķirīgi, bet skaitītāji ir vienādi. Tomēr, lai salīdzinātu šīs divas daļskaitļus, jums nav jāmeklē kopsaucējs. Lai gan... atrodiet un paskatieties, vai salīdzināšanas zīme joprojām ir nepareiza?

Bet zīme ir tāda pati.

Atgriezīsimies pie sākotnējā uzdevuma – salīdziniet un... Salīdzināsim un... Reducēsim šīs daļas nevis līdz kopsaucējam, bet gan kopējam skaitītājam. Lai to izdarītu vienkārši skaitītājs un saucējs reiziniet pirmo daļu ar. Mēs iegūstam:

Un. Kura frakcija ir lielāka? Tieši tā, pirmais.

3. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot atņemšanu.

Kā salīdzināt daļskaitļus, izmantojot atņemšanu? Jā, ļoti vienkārši. No vienas daļskaitļa mēs atņemam citu. Ja rezultāts ir pozitīvs, tad pirmā daļa (minuend) ir lielāka par otro (subtrahenda), un, ja negatīva, tad otrādi.

Mūsu gadījumā mēģināsim atņemt pirmo daļskaitli no otrās: .

Kā jūs jau saprotat, mēs arī pārvēršam parastā daļskaitlī un iegūstam tādu pašu rezultātu - . Mūsu izteiksme izpaužas šādā formā:

Tālāk mums joprojām būs jāizmanto samazinājums līdz kopsaucējam. Jautājums ir: pirmajā veidā frakciju pārvēršana par nepareizām vai, otrkārt, it kā vienības “noņemšana”? Starp citu, šai darbībai ir pilnīgi matemātisks pamatojums. Skaties:

Man labāk patīk otrais variants, jo skaitītāja reizināšana, samazinot to līdz kopsaucējam, kļūst daudz vienkāršāka.

Savedīsim to pie kopsaucēja:

Šeit galvenais ir neapjukt, no kāda skaitļa mēs atņēmām un kur. Uzmanīgi apskatiet risinājuma gaitu un nejauši nesajauciet zīmes. Mēs no otrā skaitļa atņēmām pirmo skaitli un saņēmām noraidošu atbildi, tātad?.. Tieši tā, pirmais skaitlis ir lielāks par otro.

Sapratu? Mēģiniet salīdzināt daļskaitļus:

Stop, stop. Nesteidzieties pie kopsaucēja vai atņemšanas. Skatieties: varat to viegli pārvērst decimāldaļdaļā. Cik ilgi tas būs? Pa labi. Kas vēl beigās?

Šī ir vēl viena iespēja - daļskaitļu salīdzināšana, pārvēršot decimāldaļās.

4. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot dalīšanu.

Jā jā. Un arī tas ir iespējams. Loģika ir vienkārša: sadalot lielāku skaitli ar mazāku skaitli, iegūstam skaitli, kas ir lielāks par vienu, un, ja mazāku skaitli dalām ar lielāku skaitli, tad atbilde iekrīt intervālā no līdz.

Lai atcerētos šo noteikumu, salīdzināšanai ņemiet jebkurus divus pirmskaitļus, piemēram, un. Vai jūs zināt, kas ir vairāk? Tagad dalīsim ar. Mūsu atbilde ir. Attiecīgi teorija ir pareiza. Ja dalām ar, iegūstam mazāk par vienu, kas savukārt apstiprina, ka patiesībā ir mazāk.

Mēģināsim piemērot šo noteikumu parastajām daļām. Salīdzināsim:

Sadaliet pirmo daļu ar otro:

Pamazām saīsināsim.

Iegūtais rezultāts ir mazāks, kas nozīmē, ka dividende ir mazāka par dalītāju, tas ir:

Mēs esam izskatījuši visas iespējamās frakciju salīdzināšanas iespējas. Kā jūs tos redzat 5:

• samazināšana līdz kopsaucējam;
• samazinājums līdz kopējam skaitītājam;
• samazinājums līdz decimāldaļai;
• atņemšana;
• nodaļa.

Vai esat gatavs trenēties? Salīdziniet frakcijas optimālā veidā:

Salīdzināsim atbildes:

1. (- konvertēt decimāldaļās)
2. (dala daļskaitli ar otru un samazina ar skaitītāju un saucēju)
3. (izvēlieties visu daļu un salīdziniet daļas, pamatojoties uz viena un tā paša skaitītāja principu)
4. (dalītu daļskaitli ar otru un samazinātu ar skaitītāju un saucēju).

2. Pakāpju salīdzinājums

Tagad iedomājieties, ka mums ir jāsalīdzina ne tikai skaitļi, bet arī izteiksmes, kur ir pakāpe ().

Protams, jūs varat viegli izlikt zīmi:

Galu galā, ja pakāpi aizstājam ar reizināšanu, mēs iegūstam:

No šī mazā un primitīvā piemēra izriet noteikums:

Tagad mēģiniet salīdzināt sekojošo: . Varat arī viegli ievietot zīmi:

Jo, ja mēs aizstājam kāpināšanu ar reizināšanu...

Kopumā jūs visu saprotat, un tas nemaz nav grūti.

Grūtības rodas tikai tad, ja, salīdzinot, grādiem ir dažādas bāzes un rādītāji. Šajā gadījumā ir jācenšas novest pie kopēja pamata. Piemēram:

Protams, jūs zināt, ka šis izteiciens attiecīgi izpaužas šādā formā:

Atvērsim iekavas un salīdzināsim iegūto:

Nedaudz īpašs gadījums ir, ja grāda () bāze ir mazāka par vienu.

Ja, tad no diviem grādiem un lielāka ir tā, kuras indekss ir mazāks.

Mēģināsim pierādīt šo noteikumu. Ļaujiet būt.

Ieviesīsim kādu naturālu skaitli kā atšķirību starp un.

Loģiski, vai ne?

Un tagad vēlreiz pievērsīsim uzmanību nosacījumam - .

Attiecīgi:. Līdz ar to,.

Piemēram:

Kā jūs saprotat, mēs izskatījām gadījumu, kad grādu bāzes ir vienādas. Tagad redzēsim, kad bāze atrodas intervālā no līdz, bet eksponenti ir vienādi. Šeit viss ir ļoti vienkārši.

Atcerēsimies, kā to salīdzināt, izmantojot piemēru:

Protams, jūs ātri izdarījāt aprēķinu:

Tāpēc, saskaroties ar līdzīgām problēmām salīdzināšanai, paturiet prātā dažus vienkāršus līdzīgus piemērus, kurus varat ātri aprēķināt, un, pamatojoties uz šo piemēru, novietojiet zīmes sarežģītākā piemērā.

Veicot transformācijas, atceries, ja reizini, saskaiti, atņem vai dala, tad visas darbības jāveic gan ar kreiso, gan labo pusi (ja reizina ar, tad jāreizina abas).

Turklāt ir gadījumi, kad veikt jebkādas manipulācijas ir vienkārši neizdevīgi. Piemēram, jums ir jāsalīdzina. Šajā gadījumā nav tik grūti pacelt spēku un sakārtot zīmi, pamatojoties uz to:

Trenējamies. Salīdziniet grādus:

Vai esat gatavs salīdzināt atbildes? Lūk, ko es saņēmu:

1. - Tāpat kā
2. - Tāpat kā
3. - Tāpat kā
4. - Tāpat kā

3. Skaitļu salīdzināšana ar saknēm

Pirmkārt, atcerēsimies, kas ir saknes? Vai atceries šo ierakstu?

Reāla skaitļa pakāpes sakne ir skaitlis, uz kuru attiecas vienādība.

Saknes nepāra pakāpes pastāv negatīviem un pozitīviem skaitļiem, un pat saknes- tikai pozitīvajiem.

Saknes vērtība bieži vien ir bezgalīgs decimālskaitlis, kas apgrūtina precīzu aprēķinu, tāpēc ir svarīgi spēt salīdzināt saknes.

Ja esat aizmirsis, kas tas ir un ar ko to ēd - . Ja visu atceraties, iemācīsimies soli pa solim salīdzināt saknes.

Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:

Lai salīdzinātu šīs divas saknes, jums nav jāveic nekādi aprēķini, vienkārši analizējiet pašu “saknes” jēdzienu. Vai jūs saprotat, par ko es runāju? Jā, par šo: pretējā gadījumā to var uzrakstīt kā kāda skaitļa trešo pakāpi, kas vienāda ar radikālo izteiksmi.

Kas vēl? vai? Protams, to var salīdzināt bez jebkādām grūtībām. Jo lielāku skaitli mēs palielinām līdz pakāpei, jo lielāka vērtība.

Tātad. Atvasināsim noteikumu.

Ja sakņu eksponenti ir vienādi (mūsu gadījumā tas ir), tad ir jāsalīdzina radikāļu izteiksmes (un) - jo lielāks ir radikāļu skaitlis, jo lielāka ir saknes vērtība ar vienādiem eksponentiem.

Grūti atcerēties? Tad vienkārši paturi piemēru savā galvā un... Tas vairāk?

Sakņu eksponenti ir vienādi, jo sakne ir kvadrātveida. Viena skaitļa () radikālā izteiksme ir lielāka nekā cita (), kas nozīmē, ka noteikums patiešām ir patiess.

Ko darīt, ja radikālās izteiksmes ir vienādas, bet sakņu pakāpes atšķiras? Piemēram: .

Ir arī pilnīgi skaidrs, ka, izraujot lielākas pakāpes sakni, tiks iegūts mazāks skaitlis. Ņemsim, piemēram:

Apzīmēsim pirmās saknes vērtību kā, bet otrās - kā, tad:

Jūs varat viegli redzēt, ka šajos vienādojumos ir jābūt vairāk, tāpēc:

Ja radikālās izteiksmes ir vienādas(mūsu gadījumā), un sakņu eksponenti ir dažādi(mūsu gadījumā tas ir un), tad ir jāsalīdzina eksponenti(Un) - jo augstāks rādītājs, jo mazāka šī izteiksme.

Mēģiniet salīdzināt šādas saknes:

Salīdzināsim rezultātus?

Mēs to veiksmīgi nokārtojām :). Rodas vēl viens jautājums: ja nu mēs visi esam atšķirīgi? Gan pakāpe, gan radikāla izpausme? Ne viss ir tik sarežģīti, vajag tikai... “atbrīvoties” no saknes. Jā jā. Vienkārši atbrīvojieties no tā)

Ja mums ir dažādas pakāpes un radikālas izteiksmes, sakņu eksponentiem jāatrod mazākais kopīgais daudzkārtnis (lasiet sadaļu par to) un abas izteiksmes jāpaaugstina līdz pakāpei, kas vienāda ar mazāko kopējo daudzkārtni.

Ka mēs visi esam vārdos un vārdos. Šeit ir piemērs:

1. Mēs skatāmies uz sakņu rādītājiem - un. To mazākais kopīgais daudzkārtnis ir .
2. Paaugstināsim abus izteiksmes pakāpē:
3. Pārveidosim izteiksmi un atveram iekavas (sīkāka informācija nodaļā):
4. Saskaitīsim paveikto un uzliksim zīmi:

4. Logaritmu salīdzinājums

Tātad, lēnām, bet noteikti, mēs nonācām pie jautājuma par logaritmu salīdzināšanu. Ja neatceraties, kāda veida dzīvnieks tas ir, iesaku vispirms izlasīt teoriju no sadaļas. Vai esi izlasījis? Pēc tam atbildiet uz dažiem svarīgiem jautājumiem:

1. Kāds ir logaritma arguments un kāda ir tā bāze?
2. Kas nosaka, vai funkcija palielinās vai samazinās?

Ja visu atceraties un esat to lieliski apguvis, sāksim!

Lai salīdzinātu logaritmus savā starpā, jums jāzina tikai 3 paņēmieni:

• samazināšana līdz tādam pašam pamatam;
• samazinājums uz to pašu argumentu;
• salīdzinājums ar trešo numuru.

Sākumā pievērsiet uzmanību logaritma bāzei. Vai atceraties, ja tas ir mazāks, tad funkcija samazinās, un, ja ir vairāk, tad tā palielinās. Uz to balstīsies mūsu spriedumi.

Apskatīsim logaritmu salīdzinājumu, kas jau ir samazināti līdz tādai pašai bāzei vai argumentam.

Sākumā vienkāršosim uzdevumu: ievadiet salīdzinātos logaritmus vienādi pamatojumi. Pēc tam:

1. Funkcija for palielinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“tiešs salīdzinājums”).
2. Piemērs:- pamatojums ir vienāds, attiecīgi salīdzinām argumentus: , tāpēc:
3. Funkcija for samazinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“apgrieztā salīdzināšana”). - bāzes ir vienādas, attiecīgi salīdzinām argumentus: , tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”, jo funkcija samazinās: .

Tagad apsveriet gadījumus, kad iemesli ir atšķirīgi, bet argumenti ir vienādi.

1. Pamatne ir lielāka.
   • . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram: - argumenti ir vienādi, un. Salīdzināsim bāzes: tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”:
2. Pamatne a atrodas spraugā.
   • . Šajā gadījumā mēs izmantojam “tiešo salīdzinājumu”. Piemēram:
   • . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram:

Pierakstīsim visu vispārīgā tabulas veidā:

, kurā	, kurā

Attiecīgi, kā jūs jau sapratāt, salīdzinot logaritmus, mums ir jānoved pie vienas bāzes jeb argumenta, izmantojot formulu pārejai no vienas bāzes uz otru.

Varat arī salīdzināt logaritmus ar trešo skaitli un, pamatojoties uz to, izdarīt secinājumu par to, kas ir mazāk un kas ir vairāk. Piemēram, padomājiet par to, kā salīdzināt šos divus logaritmus?

Neliels mājiens - salīdzinājumam jums ļoti palīdzēs logaritms, kura arguments būs līdzvērtīgs.

Domāja? Izlemsim kopā.

Mēs varam viegli salīdzināt šos divus logaritmus ar jums:

Nezinu kā? Skatīt iepriekš. Mēs tikko to nokārtojām. Kāda zīme būs? Pa labi:

Piekrītu?

Salīdzināsim viens ar otru:

Jums vajadzētu iegūt sekojošo:

Tagad apvienojiet visus mūsu secinājumus vienā. Vai notika?

5. Trigonometrisko izteiksmju salīdzinājums.

Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss? Kāpēc mums ir vajadzīgs vienību aplis un kā uz tā atrast trigonometrisko funkciju vērtību? Ja nezināt atbildes uz šiem jautājumiem, ļoti iesaku izlasīt teoriju par šo tēmu. Un, ja jūs zināt, tad salīdzināt trigonometriskās izteiksmes savā starpā jums nav grūti!

Nedaudz atsvaidzināsim atmiņu. Uzzīmēsim vienības trigonometrisko apli un tajā ierakstītu trīsstūri. Vai jums izdevās? Tagad atzīmējiet, kurā pusē mēs uzzīmējam kosinusu un kurā pusē sinusu, izmantojot trijstūra malas. (jūs, protams, atceraties, ka sinuss ir pretējās puses attiecība pret hipotenūzu, bet kosinuss ir blakus esošā puse?). Vai jūs to uzzīmējāt? Lieliski! Pēdējais pieskāriens ir nolikt, kur mums tas būs, kur un tā tālāk. Vai tu to noliku? Phew) Salīdzināsim to, kas notika ar tevi un mani.

Fu! Tagad sāksim salīdzināt!

Pieņemsim, ka jāsalīdzina un. Uzzīmējiet šos leņķus, izmantojot uzvednes lodziņos (kur mēs esam atzīmējuši, kur), novietojot punktus uz vienības apļa. Vai jums izdevās? Lūk, ko es saņēmu.

Tagad nometīsim perpendikulu no punktiem, kurus atzīmējām uz apļa uz asi... Kuru? Kura ass parāda sinusa vērtību? Pa labi, . Tas ir tas, ko jums vajadzētu iegūt:

Skatoties uz šo attēlu, kurš ir lielāks: vai? Protams, jo punkts ir virs punkta.

Līdzīgā veidā mēs salīdzinām kosinusu vērtību. Mēs tikai nolaižam perpendikulu uz asi... Tieši tā, . Attiecīgi mēs skatāmies, kurš punkts ir pa labi (vai augstāks, kā sinusu gadījumā), tad vērtība ir lielāka.

Jūs droši vien jau zināt, kā salīdzināt pieskares, vai ne? Viss, kas jums jāzina, ir tas, kas ir tangenss. Tātad, kas ir tangenss?) Tieši tā, sinusa attiecība pret kosinusu.

Lai salīdzinātu pieskares, mēs zīmējam leņķi tāpat kā iepriekšējā gadījumā. Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:

Vai jūs to uzzīmējāt? Tagad mēs atzīmējam arī sinusa vērtības uz koordinātu ass. Vai pamanījāt? Tagad uz koordinātu līnijas norādiet kosinusa vērtības. Vai notika? Salīdzināsim:

Tagad analizējiet to, ko uzrakstījāt. - mēs sadalām lielu segmentu mazā. Atbildē būs vērtība, kas noteikti ir lielāka par vienu. Pa labi?

Un kad sadalām mazo ar lielo. Atbilde būs skaitlis, kas ir tieši mazāks par vienu.

Tātad, kurai trigonometriskajai izteiksmei ir lielāka vērtība?

Pa labi:

Kā jūs tagad saprotat, kotangenšu salīdzināšana ir viena un tā pati lieta, tikai otrādi: mēs skatāmies, kā segmenti, kas nosaka kosinusu un sinusu, ir saistīti viens ar otru.

Mēģiniet pats salīdzināt šādas trigonometriskās izteiksmes:

Piemēri.

Atbildes.

SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. VIDĒJAIS LĪMENIS.

Kurš skaitlis ir lielāks: vai? Atbilde ir acīmredzama. Un tagad: vai? Vairs nav tik acīmredzami, vai ne? Tātad: vai?

Bieži vien jums jāzina, kura skaitliskā izteiksme ir lielāka. Piemēram, lai, risinot nevienādību, novietotu punktus uz ass pareizā secībā.

Tagad es jums iemācīšu, kā salīdzināt šādus skaitļus.

Ja jums ir jāsalīdzina skaitļi un, starp tiem ievietojam zīmi (atvasināta no latīņu vārda Versus vai saīsināti pret - pret): . Šī zīme aizstāj nezināmo nevienlīdzības zīmi (). Tālāk veiksim identiskas transformācijas, līdz kļūs skaidrs, kura zīme jāievieto starp cipariem.

Skaitļu salīdzināšanas būtība ir šāda: mēs pret zīmi attiecamies tā, it kā tā būtu kāda veida nevienlīdzības zīme. Un ar izteiksmi mēs varam darīt visu, ko mēs parasti darām ar nevienlīdzību:

• pievienojiet jebkuru skaitli abām pusēm (un, protams, mēs varam arī atņemt)
• “pārvietot visu uz vienu pusi”, tas ir, no abām daļām atņemiet vienu no salīdzinātajām izteiksmēm. Atņemtās izteiksmes vietā paliks: .
• reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli. Ja šis skaitlis ir negatīvs, nevienlīdzības zīme tiek apgriezta: .
• paceliet abas puses uz vienādu spēku. Ja šī jauda ir vienmērīga, jums jāpārliecinās, ka abām daļām ir vienāda zīme; ja abas daļas ir pozitīvas, zīme nemainās, paceļot pakāpē, bet, ja tās ir negatīvas, tad mainās uz pretējo.
• no abām daļām izvelciet tādas pašas pakāpes sakni. Ja mēs iegūstam pāra pakāpes sakni, vispirms ir jāpārliecinās, ka abas izteiksmes nav negatīvas.
• jebkuras citas līdzvērtīgas pārvērtības.

Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli, un jūs nevarat to kvadrātā, ja viena no daļām ir negatīva.

Apskatīsim dažas tipiskas situācijas.

1. Paaugstināšana.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Tā kā abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, mēs varam to kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes:

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Šeit mēs varam arī to kvadrātā, bet tas tikai palīdzēs mums atbrīvoties no kvadrātsaknes. Šeit tas ir jāpaaugstina līdz tādai pakāpei, lai abas saknes izzustu. Tas nozīmē, ka šīs pakāpes eksponentam ir jādalās gan ar (pirmās saknes pakāpe), gan ar. Tāpēc šis skaitlis tiek palielināts līdz pakāpei:

2. Reizināšana ar tā konjugātu.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Reizināsim un dalīsim katru starpību ar konjugēto summu:

Acīmredzot saucējs labajā pusē ir lielāks nekā saucējs kreisajā pusē. Tāpēc labā frakcija ir mazāka par kreiso:

3. Atņemšana

Atcerēsimies to.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Protams, mēs varētu visu sadalīt kvadrātā, pārgrupēt un vēlreiz kvadrātā. Bet jūs varat darīt kaut ko gudrāku:

Var redzēt, ka kreisajā pusē katrs termins ir mazāks nekā katrs vārds labajā pusē.

Attiecīgi visu terminu summa kreisajā pusē ir mazāka nekā visu labās puses terminu summa.

Bet esi piesardzīgs! Mums jautāja, kas vēl...

Labā puse ir lielāka.

Piemērs.

Salīdziniet skaitļus un...

Risinājums.

Atcerēsimies trigonometrijas formulas:

Pārbaudīsim, kurās trigonometriskā apļa ceturtdaļās atrodas punkti un meli.

4. Sadalījums.

Šeit mēs izmantojam arī vienkāršu noteikumu: .

Pie vai, tas ir.

Kad zīme mainās: .

Piemērs.

Salīdzināt: .

Risinājums.

5. Salīdziniet skaitļus ar trešo skaitli

Ja un, tad (transitivitātes likums).

Piemērs.

Salīdzināt.

Risinājums.

Salīdzināsim skaitļus nevis savā starpā, bet ar skaitli.

Ir skaidrs, ka.

Citā pusē, .

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Abi skaitļi ir lielāki, bet mazāki. Atlasīsim tādu skaitli, lai tas būtu lielāks par vienu, bet mazāks par otru. Piemēram, . Pārbaudīsim:

6. Ko darīt ar logaritmiem?

Nekas īpašs. Kā atbrīvoties no logaritmiem, ir detalizēti aprakstīts tēmā. Pamatnoteikumi ir:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \bultiņa pa kreisi (\rm( ))\left[ (\begin(masīvs)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \ķīlis (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \ķīlis y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Mēs varam arī pievienot noteikumu par logaritmiem ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:

To var izskaidrot šādi: jo lielāka ir bāze, jo mazāka pakāpe būs jāpaaugstina, lai iegūtu vienu un to pašu. Ja bāze ir mazāka, tad ir otrādi, jo atbilstošā funkcija monotoni samazinās.

Piemērs.

Salīdziniet skaitļus: un.

Risinājums.

Saskaņā ar iepriekš minētajiem noteikumiem:

Un tagad formula progresīviem.

Logaritmu salīdzināšanas noteikumu var uzrakstīt īsāk:

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Piemērs.

Salīdziniet, kurš skaitlis ir lielāks: .

Risinājums.

SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

1. Paaugstināšana

Ja abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, tās var sadalīt kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes

2. Reizināšana ar tā konjugātu

Konjugāts ir faktors, kas papildina izteiksmi ar kvadrātu atšķirības formulu: - konjugāts par un otrādi, jo .

3. Atņemšana

4. Sadalījums

Kad vai tas ir

Kad zīme mainās:

5. Salīdzinājums ar trešo numuru

Ja un tad

6. Logaritmu salīdzinājums

Pamatnoteikumi:

Logaritmi ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt pašlaik lasāmās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

Logaritmu vērtību vai logaritma vērtību salīdzināšana ar noteiktu skaitli skolas problēmu risināšanas praksē notiek ne tikai kā patstāvīgs uzdevums. Jums ir jāsalīdzina logaritmi, piemēram, risinot vienādojumus un nevienādības. Raksta materiāli (problēmas un to risinājumi) ir sakārtoti pēc principa “no vienkāršas uz sarežģītu” un izmantojami mācību stundas (nodarbību) sagatavošanai un vadīšanai par šo tēmu, kā arī izvēles nodarbībās. Stundā aplūkojamo uzdevumu skaits ir atkarīgs no klases līmeņa un tās specializētās jomas. Padziļinātās matemātikas klasēs šo materiālu var izmantot divu stundu lekciju nodarbībai.

1. (Mutiski.) Kuras no funkcijām palielinās un kuras samazinās:

komentēt.Šis vingrinājums ir sagatavošanās vingrinājums.

2. (Mutiski.)Salīdziniet ar nulli:

komentēt. Risinot uzdevumu Nr.2, var izmantot gan logaritmiskās funkcijas īpašības, izmantojot logaritmiskās funkcijas grafiku, gan sekojošo noderīgs īpašums:

ja pozitīvi skaitļi a un b atrodas uz skaitļu līnijas pa labi no 1 vai pa kreisi no 1 (tas ir, a>1 un b>1 vai 0 0 ;
ja pozitīvi skaitļi a un b atrodas uz skaitļu līnijas 1 pretējās pusēs (tas ir, 0 .

Parādīsim šī īpašuma izmantošanu lēmumā Nr.2(a).

Kopš funkcijas y = log 7 t palielinās par R+, 10 > 7, tad log 7 10 > log 7 7, tas ir, log 7 10 > 1. Tādējādi pozitīvie skaitļi sin3 un log 7 10 atrodas 1 pretējās pusēs. Tāpēc log sin3 log 7 10< 0.

3. (Mutiski.) Atrodiet kļūdu argumentācijā:

Funkcija y = lgt palielinās par R + , tad ,

Sadalīsim abas pēdējās nevienādības puses ar . Mēs iegūstam, ka 2 > 3.

Risinājums.

Pozitīvi skaitļi un 10 (logaritma bāze) atrodas 1 pretējās pusēs. Tas nozīmē, ka< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Mutiski.) Salīdziniet skaitļus:

komentēt. Risinot uzdevumus Nr.4(a–c), izmantojam logaritmiskās funkcijas monotonitātes īpašību. Risinājumam Nr. 4(d) mēs izmantojam īpašību:

ja c > a >1, tad b>1 nevienādība log a b > log c b ir patiesa.

4(d) risinājums.

Kopš 1< 5 < 7 и 13 >1, tad log 5 13 > log 7 13.

5. Salīdziniet skaitļusžurnāls 2 6 un 2.

Risinājums.

Pirmais veids (izmantojot logaritmiskās funkcijas monotonitāti).

Funkcija y = log 2 t palielinās par R+, 6 > 4. Tātad, žurnāls 2 6 > žurnāls 2 4 Un žurnāls 2 5 > 2.

Otrā metode (atšķirības sastādīšana).

Izlīdzināsim atšķirību.

6. Salīdziniet skaitļus Un -1.

Funkcija y = samazinās par R+ , 3 < 5. Значит, >Un > -1 .

7. Salīdziniet skaitļus Un 3log 8 26 .

Funkcija y = log 2 t palielinās par R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Pirmais veids.

Reizināsim abas nevienādības puses ar 3:

Funkcija y = log 5 t palielinās par R+ , 27 > 25. Tātad,

Otrais veids.

Izlīdzināsim atšķirību
. No šejienes.

9. Salīdziniet skaitļus log 4 26 Un žurnāls 6 17.

Novērtēsim logaritmus, ņemot vērā, ka funkcijas y = log 4 t un y = log 6 t pieaugot par R+:

Ņemot vērā, ka funkcijas samazinās par R+, mums ir:

nozīmē,

komentēt. Piedāvātā salīdzināšanas metode tiek saukta "Ievietošanas" metode vai “atdalīšanas” metode(mēs atradām skaitli 4, kas atdala šos divus skaitļus).

11. Salīdziniet skaitļus log 2 3 Un žurnāls 3 5.

Ņemiet vērā, ka abi logaritmi ir lielāki par 1, bet mazāki par 2.

Pirmais veids. Mēģināsim izmantot “atdalīšanas” metodi. Salīdzināsim logaritmus ar skaitli.

Otrā metode ( reizināšana ar naturālu skaitli).

Piezīme 1. Būtība metodi “reizinot ar naturālu skaitli” ir tas, ka mēs meklējam naturālu skaitli k, reizinot ar salīdzinātajiem skaitļiem a Un b iegūt šos skaitļus ka Un kb ka starp tiem ir vismaz viens vesels skaitlis.

2. piezīme. Iepriekš minētās metodes ieviešana var būt ļoti darbietilpīga, ja salīdzināmie skaitļi ir ļoti tuvu viens otram.
Šajā gadījumā varat mēģināt salīdzināt metode "atņemt vienu"" Parādīsim to ar šādu piemēru.

12. Salīdziniet skaitļus log 7 8 Un žurnāls 6 7.

Pirmais veids (atņemiet vienu).

No salīdzināmajiem skaitļiem atņemiet 1.

Pirmajā nevienlīdzībā mēs izmantojām faktu, ka

ja c > a > 1, tad b > 1 nevienādība log a b > log c b ir patiesa.

Otrajā nevienādībā – funkcijas y = log a x monotonitāte.

Otrais veids (Košī nevienādības pielietojums).

13. Salīdziniet skaitļus log 24 72 Un žurnāls 12 18.

14. Salīdziniet skaitļus log 20 80 Un žurnāls 80 640.

Ļaujiet log 2 5 = x. ievērojiet, tas x > 0.

Mēs iegūstam nevienlīdzību.

Atradīsim daudzus risinājumus nevienlīdzībai, kas atbilst nosacījumam x > 0.

Konstruēsim abas nevienlīdzības puses kvadrātā (at x> 0 abas nevienādības puses ir pozitīvas). Mums ir 9x2< 9x + 28.

Pēdējās nevienādības risinājumu kopa ir intervāls.

Ņemot vērā, ka x> 0, mēs iegūstam: .

Atbilde: Nevienlīdzība ir patiesa.

Problēmu risināšanas darbnīca.

1. Salīdziniet skaitļus:

2. Sakārtojiet skaitļus augošā secībā:

3. Atrisiniet nevienlīdzību 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Vai numurs √2 risinājums šai nevienlīdzībai? (Atbilde:(–∞; log 2 3) ; numuru √2 ir šīs nevienlīdzības risinājums.)

Secinājums.

Logaritmu salīdzināšanai ir daudz metožu. Nodarbību par šo tēmu mērķis ir iemācīt orientēties metožu daudzveidībā, izvēlēties un pielietot racionālāko risinājuma metodi katrā konkrētajā situācijā.

Nodarbībās ar padziļinātu matemātikas apguvi materiālu par šo tēmu var prezentēt lekcijas veidā. Šī izglītojošās aktivitātes forma paredz, ka lekciju materiāls ir rūpīgi atlasīts, izstrādāts un sakārtots noteiktā loģiskā secībā. Skolotāja piezīmēm uz tāfeles jābūt pārdomātām un matemātiski precīzām.

Praktiskajās nodarbībās vēlams nostiprināt lekciju materiālu un praktizēt problēmu risināšanas prasmes. Darbnīcas mērķis ir ne tikai nostiprināt un pārbaudīt iegūtās zināšanas, bet arī tās paplašināt. Tāpēc uzdevumos jāiekļauj dažāda līmeņa uzdevumi, sākot no vienkāršākajiem uzdevumiem līdz paaugstinātas sarežģītības uzdevumiem. Skolotājs šādās darbnīcās darbojas kā konsultants.

Literatūra.

1. Galitskis M.L. un citi. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes kursa izpēte: Metode. ieteikumi un mācību materiāli: Rokasgrāmata skolotājiem – M.: Izglītība, 1986.g.
2. Ziv B.G., Goldich V.A. Didaktiskie materiāli par algebru un pamata analīzi 10. klasei. – Sanktpēterburga: “CheRo-on-Neva”, 2003. gads.
3. Ļitviņenko V.N., Mordkovičs A.G. Seminārs par elementāru matemātiku. Algebra. Trigonometrija: izglītojoša publikācija. – M.: Izglītība, 1990.g.
4. Rjazanovskis A.R. Algebra un analīzes pirmsākumi: 500 matemātikas problēmu risināšanas veidi un metodes skolēniem un universitātēs studējošajiem. – M.: Bustards, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V. Matemātika. Sacensību uzdevumi algebrā ar risinājumiem. 4. daļa. Logaritmiskie vienādojumi, nevienādības, sistēmas. Mācību grāmata.-3. izdevums, ster.-M.: UNTsDO izdevējdarbības nodaļa, 2003. gads.
6. Šarigins I.F., Golubevs V.I. Matemātikas izvēles kurss: Problēmu risināšana: Proc. pabalsts 11.klasei. vidusskola – M.: Prosveščenie, 1991.g.