Atgādināsim nepieciešamo informāciju par kompleksajiem skaitļiem.

Komplekss skaitlis ir formas izpausme a + bi, Kur a, b ir reāli skaitļi un i- tā sauktais iedomātā vienība, simbols, kura kvadrāts ir vienāds ar –1, tas ir i 2 = –1. Numurs a sauca īstā daļa un numuru b - iedomātā daļa kompleksais skaitlis z = a + bi. Ja b= 0, tad tā vietā a + 0i viņi raksta vienkārši a. Var redzēt, ka reālie skaitļi ir īpašs komplekso skaitļu gadījums.

Aritmētiskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem ir tādas pašas kā ar reāliem skaitļiem: tos var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt vienu ar otru. Saskaitīšana un atņemšana notiek saskaņā ar noteikumu ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, un reizināšana notiek pēc likuma ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (reklāma + bc)i(šeit tas tiek izmantots i 2 = –1). Skaitlis = a – bi sauca komplekss konjugāts Uz z = a + bi. Vienlīdzība z · = a 2 + b 2 ļauj saprast, kā vienu komplekso skaitli dalīt ar citu (kas nav nulle) komplekso skaitli:

(Piemēram, .)

Kompleksajiem skaitļiem ir ērts un vizuāls ģeometriskais attēlojums: skaitlis z = a + bi var attēlot ar vektoru ar koordinātām ( a; b) Dekarta plaknē (vai, kas ir gandrīz tas pats, punkts - vektora beigas ar šīm koordinātām). Šajā gadījumā divu komplekso skaitļu summa tiek attēlota kā atbilstošo vektoru summa (ko var atrast, izmantojot paralelograma noteikumu). Saskaņā ar Pitagora teorēmu vektora garums ar koordinātām ( a; b) ir vienāds ar . Šo daudzumu sauc modulis kompleksais skaitlis z = a + bi un tiek apzīmēts ar | z|. Tiek saukts leņķis, ko šis vektors veido ar x ass pozitīvo virzienu (skaitot pretēji pulksteņrādītāja virzienam). arguments kompleksais skaitlis z un tiek apzīmēts ar Arg z. Arguments nav unikāli definēts, bet tikai līdz 2 reizinājuma pievienošanai π radiānos (vai 360°, ja skaita grādos) - galu galā ir skaidrs, ka pagriešana par šādu leņķi ap ​​oriģinālu vektoru nemainīs. Bet ja garuma vektors r veido leņķi φ ar x ass pozitīvo virzienu, tad tā koordinātas ir vienādas ar ( r cos φ ; r grēks φ ). No šejienes izrādās trigonometriskais apzīmējums kompleksais skaitlis: z = |z| · (cos(Arg z) + i grēks (Arg z)). Bieži vien ir ērti rakstīt kompleksos skaitļus šādā formā, jo tas ievērojami vienkāršo aprēķinus. Komplekso skaitļu reizināšana trigonometriskā formā ir ļoti vienkārša: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i grēks (Arg z 1 + Arg z 2)) (reizinot divus kompleksos skaitļus, tiek reizināti to moduļi un saskaitīti argumenti). No šejienes sekojiet Moivre formulas: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i grēks ( n· (Arg z))). Izmantojot šīs formulas, ir viegli iemācīties iegūt jebkuras pakāpes saknes no kompleksajiem skaitļiem. n-tā sakne no z- tas ir komplekss skaitlis w, Kas w n = z. Ir skaidrs, ka , un , kur k var ņemt jebkuru vērtību no kopas (0, 1, ..., n– 1). Tas nozīmē, ka vienmēr ir tieši n saknes n kompleksā skaitļa pakāpe (plaknē tie atrodas regulārās virsotnēs n-gon).

PriekšmetsKompleksie skaitļi un polinomi

Lekcija 22

§1. Kompleksie skaitļi: pamata definīcijas

Simbols tiek ieviests ar attiecību
un to sauc par iedomātu vienību. Citiem vārdiem sakot,
.

Definīcija. Formas izteiksme
, Kur
, sauc par komplekso skaitli un skaitli sauc par kompleksā skaitļa reālo daļu un apzīmē
, numurs – iedomātā daļa un apzīmē
.

No šīs definīcijas izriet, ka reālie skaitļi ir tie kompleksie skaitļi, kuru iedomātā daļa ir vienāda ar nulli.

Ir ērti attēlot kompleksos skaitļus ar plaknes punktiem, uz kuriem ir dota Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma, proti: kompleksais skaitlis
atbilst punktam
un otrādi. Uz ass
ir attēloti reālie skaitļi, un to sauc par reālo asi. Veidlapas kompleksie skaitļi

tiek saukti par tīri iedomātiem. Tos attēlo punkti uz ass
, ko sauc par iedomāto asi. Šo plakni, kas kalpo komplekso skaitļu attēlošanai, sauc par komplekso plakni. Komplekss skaitlis, kas nav reāls, t.i. tāds tāds
, ko dažreiz sauc par iedomātu.

Tiek uzskatīts, ka divi kompleksie skaitļi ir vienādi tad un tikai tad, ja to reālā un iedomātā daļa ir vienādas.

Komplekso skaitļu saskaitīšana, atņemšana un reizināšana tiek veikta saskaņā ar parastajiem polinoma algebras noteikumiem, ņemot vērā to, ka

. Dalīšanas operāciju var definēt kā reizināšanas operācijas apgriezto vērtību un var pierādīt rezultāta unikalitāti (ja dalītājs nav nulle). Tomēr praksē tiek izmantota cita pieeja.

Sarežģīti skaitļi
Un
tiek saukti par konjugātiem kompleksajā plaknē tie ir attēloti ar punktiem, kas ir simetriski ap reālo asi. Ir skaidrs, ka:

1)

;

2)
;

3)
.

Tagad sadaliet ieslēgts var izdarīt šādi:

.

Nav grūti to parādīt

,

kur ir simbols apzīmē jebkuru aritmētisku darbību.

Ļaujiet
kādu iedomātu skaitli un - reāls mainīgais. Divu binomiālu reizinājums

ir kvadrātveida trinomāls ar reāliem koeficientiem.

Tagad, ja mūsu rīcībā ir kompleksie skaitļi, mēs varam atrisināt jebkuru kvadrātvienādojumu
.Ja , tad

un vienādojumam ir divas sarežģītas konjugātas saknes

.

Ja
, tad vienādojumam ir divas dažādas reālās saknes. Ja
, tad vienādojumam ir divas identiskas saknes.

§2. Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma

Kā minēts iepriekš, komplekss skaitlis
ērti attēlot kā punktu
. Šo skaitli var identificēt arī ar šī punkta rādiusa vektoru
. Ar šo interpretāciju komplekso skaitļu saskaitīšana un atņemšana tiek veikta saskaņā ar vektoru saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem. Komplekso skaitļu reizināšanai un dalīšanai ērtāka ir cita forma.

Ļaujiet mums iepazīstināt kompleksajā plaknē
polāro koordinātu sistēma. Tad kur
,
un kompleksais skaitlis
var rakstīt šādi:

Šo apzīmējuma formu sauc par trigonometrisko (atšķirībā no algebriskās formas
). Šajā formā numurs sauc par moduli, un – kompleksa skaitļa arguments . Tie ir apzīmēti:
,

. Modulim mums ir formula

Skaitļa arguments nav unikāli definēts, bet līdz terminam
,
. Argumenta vērtība, kas apmierina nevienlīdzību
, tiek saukts par galveno un tiek apzīmēts
. Tad
. Argumenta galvenajai vērtībai varat iegūt šādas izteiksmes:

,

skaitļa arguments
tiek uzskatīts par nenoteiktu.

Divu komplekso skaitļu vienādības nosacījumam trigonometriskā formā ir šāda forma: skaitļu moduļi ir vienādi, un argumenti atšķiras ar daudzkārtni
.

Atradīsim divu komplekso skaitļu reizinājumu trigonometriskā formā:

Tātad, reizinot skaitļus, tiek reizināti to moduļi un pievienoti to argumenti.

Līdzīgā veidā varam konstatēt, ka dalot skaitļu moduļus sadala un argumentus atņem.

Izprotot kāpināšanu kā atkārtotu reizināšanu, mēs varam iegūt formulu kompleksā skaitļa paaugstināšanai pakāpē:

Atvasināsim formulu
- sakne - kompleksā skaitļa pakāpe (nejaukt ar reāla skaitļa aritmētisko sakni!). Saknes izvilkšanas operācija ir apgriezta kāpināšanas darbībai. Tieši tāpēc
ir komplekss skaitlis tāds tāds
.

Ļaujiet
ir zināms, bet
nepieciešams atrast. Tad

No divu komplekso skaitļu vienādības trigonometriskā formā izriet, ka

,
,
.

No šejienes
(šī ir aritmētiskā sakne!),

,
.

To ir viegli pārbaudīt var tikai pieņemt būtībā atšķirīgas vērtības, piemēram, kad
. Visbeidzot, mums ir formula:

,
.

Tātad sakne ir kompleksa skaitļa th jauda dažādas nozīmes. Sarežģītajā plaknē šīs vērtības atrodas pareizi virsotnēs -trijstūris, kas ierakstīts rādiusa aplī
ar centru izcelsmē. “Pirmajai” saknei ir arguments
, divu “kaimiņu” sakņu argumenti atšķiras ar
.

Piemērs. Ņemsim iedomātās vienības kuba sakni:
,
,
. Pēc tam:

,

Sarežģīti skaitļi. Komplekss skaitlis ir skaitlis formā z=a+biabRi2=−1

komentēt.
Reālais skaitlis a ir skaitļa z reālā daļa, un to apzīmē ar a=Rez
Reālais skaitlis b ir skaitļa z iedomātā daļa un tiek apzīmēts ar b=Imz
Reālie skaitļi ir pilns skaitļu un ar tiem veikto darbību kopums, ar kuru, šķiet, vajadzētu pietikt, lai atrisinātu matemātikas kursa uzdevumus. Bet kā atrisināt šādu vienādojumu reālos skaitļos x2+1=0? Ir vēl viens skaitļu paplašinājums - kompleksie skaitļi. Sarežģītos skaitļos jūs varat iegūt saknes no negatīviem skaitļiem.
Kompleksa skaitļa algebriskā forma. Kompleksā skaitļa algebriskā forma ir z=a+bi(aRbRi2=−1)

komentēt. Ja a=ReZ=0b=Imz=0, tad skaitli z sauc par iedomātu. Ja a=ReZ=0b=Imz=0, tad skaitli z sauc par tīri iedomātu

Reālo skaitļu ģeometriskā interpretācija ir reālā līnija. Turklāt reālajā rindā “nav vietas jauniem punktiem”, tas ir, jebkurš reālās ass punkts atbilst reālam skaitlim. Līdz ar to šajā taisnē vairs nav iespējams novietot kompleksos skaitļus, bet varam mēģināt līdzās reālajai asij, uz kuras uzzīmēsim kompleksā skaitļa reālo daļu, apsvērt vēl vienu tai perpendikulāru asi; mēs to sauksim par iedomāto asi. Tad jebkuru komplekso skaitli z = a + ib var saistīt ar punktu koordinātu plaknē. Mēs uzzīmēsim kompleksā skaitļa reālo daļu uz abscisu ass, bet iedomāto daļu uz ordinātu ass. Tādā veidā tiek izveidota atbilstība viens pret vienu starp visiem kompleksajiem skaitļiem un visiem plaknes punktiem. Ja tiek konstruēta šāda atbilstība, tad koordinātu plakni sauc par komplekso plakni. Kompleksā skaitļa z = a + b i interpretācija ir vektors OA ar koordinātām (a,b) ar sākumu punktā O(0,0) un beigas punktā A(a,b)

Konjugētie skaitļi. Skaitļus z=a+bi un z=a-bi sauc par konjugētajiem kompleksajiem skaitļiem

Īpašums. Divu konjugētu komplekso skaitļu summa un reizinājums ir reāli skaitļi: z+z=2azz=a2+b2

Pretēji skaitļi. Skaitļus z=a+bi un −z=-a-bi sauc par pretējiem kompleksajiem skaitļiem.

Īpašums. Divu pretēju komplekso skaitļu summa ir nulle:
z+(-z)=0

Vienādi skaitļi. Tiek uzskatīts, ka divi kompleksie skaitļi ir vienādi, ja to reālās un iedomātās daļas ir vienādas.

Darbības ar kompleksiem skaitļiem, kas norādīti algebriskā formā:

Saskaitīšanas īpašība: divu komplekso skaitļu z1=a+bi un z2=c+di summa būs komplekss skaitlis formā z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d )i
Piemērs: 5+3i+3−i=8+2i

Atņemšanas īpašība: divu komplekso skaitļu z1=a+bi un z2=c+di starpība būs kompleksais skaitlis formā z=z1-z2=a+bi-c+di=a-c+(b-d) i

Piemērs: . 5+3i−3−i=2+4i

Reizināšanas īpašība: divu komplekso skaitļu reizinājums z1=a+bi un z2=c+di būs kompleksais skaitlis formā z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i

Piemērs: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

Dalīšanas īpašība: divu komplekso skaitļu z1=a+bi un z2=c+di koeficients būs komplekss skaitlis formā z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi.

Piemērs: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

Darbības ar kompleksiem skaitļiem, kas doti trigonometriskā formā
Kompleksā skaitļa z = a + bi rakstīšanu formā z=rcos+isin sauc par kompleksā skaitļa trigonometrisko formu.

Kompleksā skaitļa modulis: r=a2+b2

Kompleksā skaitļa arguments: cos=rasin=rb

Iedomātie un kompleksie skaitļi

Apsveriet nepilnīgo kvadrātvienādojumu:
x 2 = a,
kur a ir zināms daudzums. Šī vienādojuma risinājumu var uzrakstīt šādi:
Šeit ir iespējami trīs gadījumi:

1). Ja a = 0, tad x = 0.

2). Ja a ir pozitīvs skaitlis, tad tā kvadrātsaknei ir divas vērtības: viena pozitīva, otra negatīva; piemēram, vienādojumam x 2 = 25 ir divas saknes: 5 un – 5. To bieži raksta kā dubultsakni:
3).Ja a ir negatīvs skaitlis, tad šim vienādojumam nav atrisinājumu starp mums zināmajiem pozitīvajiem un negatīvajiem skaitļiem, jo ​​jebkura skaitļa otrais pakāpiens ir nenegatīvs skaitlis (padomājiet par to!). Bet, ja mēs vēlamies iegūt vienādojuma x 2 = a atrisinājumus arī a negatīvām vērtībām, mēs esam spiesti ieviest jauna veida skaitļus - iedomātus skaitļus. Tādējādi skaitli, kura otrā pakāpe ir negatīvs skaitlis, sauc par iedomātu. Saskaņā ar šo iedomāto skaitļu definīciju mēs varam definēt arī iedomātu vienību:
Tad vienādojumam x 2 = – 25 iegūstam divas iedomātas saknes:
Aizvietojot abas šīs saknes mūsu vienādojumā, mēs iegūstam identitāti. (Pārbaudiet!). Atšķirībā no iedomātajiem skaitļiem, visus pārējos skaitļus (pozitīvos un negatīvos, veselos un daļskaitļus, racionālos un iracionālos) sauc par reāliem vai reāliem skaitļiem. Reālā un iedomātā skaitļa summu sauc par komplekso skaitli un apzīmē ar:

Kur a, b ir reāli skaitļi, i ir iedomāta vienība.

Komplekso skaitļu piemēri: 3 + 4 i, 7 – 13,6 i, 0 + 25 i = 25 i, 2 + i.

Kompleksie skaitļi ir mums zināmo reālo skaitļu kopas minimālais paplašinājums. To būtiskā atšķirība ir tāda, ka parādās elements, kas kvadrātā dod -1, t.i. es, vai .

Jebkurš kompleksais skaitlis sastāv no divām daļām: reāls un iedomāts:

Tādējādi ir skaidrs, ka reālo skaitļu kopa sakrīt ar komplekso skaitļu kopu ar nulles iedomāto daļu.

Vispopulārākais komplekso skaitļu kopas modelis ir parastā plakne. Katra punkta pirmā koordināte būs tā reālā daļa, bet otrā būs tā iedomātā daļa. Tad pašu komplekso skaitļu loma būs vektoriem ar sākumu punktā (0,0).

Operācijas ar kompleksajiem skaitļiem.

Faktiski, ja ņemam vērā komplekso skaitļu kopas modeli, ir intuitīvi skaidrs, ka divu komplekso skaitļu saskaitīšana (atņemšana) un reizināšana tiek veikta tāpat kā atbilstošās darbības ar vektoriem. Turklāt mēs domājam vektoru vektoru reizinājumu, jo šīs darbības rezultāts atkal ir vektors.

1.1 Papildinājums.

(Kā redzat, šī darbība precīzi atbilst)

1.2. Atņemšana, līdzīgi tiek ražots saskaņā ar šādu noteikumu:

2. Reizināšana.

3. Sadalījums.

Definēta vienkārši kā reizināšanas apgrieztā darbība.

Trigonometriskā forma.

Kompleksā skaitļa z modulis ir šāds lielums:

,

acīmredzot, tas atkal ir tikai vektora (a, b) modulis (garums).

Visbiežāk kompleksā skaitļa modulis tiek apzīmēts kā ρ.

Izrādās, ka

z = ρ(cosφ+isinφ).

No kompleksā skaitļa rakstīšanas trigonometriskās formas izriet tieši sekojošais: formulas :

Pēdējā formula tiek saukta Moivra formula. Formula ir iegūta tieši no tā kompleksa skaitļa n-tā sakne:

tātad kompleksajam skaitlim z ir n-tās saknes.

1. piemērs

Pievienojiet divus kompleksos skaitļus,

Lai pievienotu divus kompleksos skaitļus, jums jāpievieno to reālā un iedomātā daļa:

Vienkārši, vai ne? Darbība ir tik acīmredzama, ka tai nav nepieciešami papildu komentāri.

Šādā vienkāršā veidā jūs varat atrast jebkura skaita terminu summu: summējiet reālās daļas un summējiet iedomātās daļas.

Kompleksajiem skaitļiem ir spēkā pirmās klases noteikums:

– nosacījumu pārkārtošana summu nemaina.

Komplekso skaitļu atņemšana

2. piemērs

Atrodiet komplekso skaitļu atšķirības un, ja

Darbība ir līdzīga saskaitīšanai, vienīgā īpatnība ir tāda, ka iekavās jāieliek apakšrinda, un pēc tam iekavas jāatver standarta veidā, mainot zīmi:

Rezultāts nedrīkst būt mulsinošs, iegūtajam skaitlim ir divas, nevis trīs daļas. Vienkārši reālā daļa ir savienojums: . Skaidrības labad atbildi var pārrakstīt šādi:

Aprēķināsim otro starpību:

Šeit arī reālā daļa ir salikta:

Lai izvairītos no pārāk zemas izteikšanas, es sniegšu īsu piemēru ar “sliktu” iedomātu daļu: . Šeit vairs nevar iztikt bez iekavām.

Komplekso skaitļu reizināšana

Ir pienācis laiks jūs iepazīstināt ar slaveno vienlīdzību:

3. piemērs

Atrodiet komplekso skaitļu reizinājumu,

Acīmredzot darbs jāraksta šādi:

Ko tas liecina? Tas lūdz atvērt iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu. Tas ir tas, kas jums jādara! Visas algebriskās darbības jums ir pazīstamas, galvenais ir to atcerēties un esi uzmanīgs.

Atkārtosim skolas noteikumu polinomu reizināšanai: Lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar katru cita polinoma terminu.

Es to uzrakstīšu sīkāk:

Ceru, ka tas visiem bija skaidrs

Uzmanību un vēlreiz uzmanību, visbiežāk tiek pieļautas kļūdas zīmēs.

Tāpat kā summa, komplekso skaitļu reizinājums ir maināms, tas ir, vienādība ir patiesa: .

Mācību literatūrā un internetā ir viegli atrast īpašu formulu komplekso skaitļu reizinājuma aprēķināšanai. Izmantojiet to, ja vēlaties, bet man šķiet, ka pieeja ar polinomu reizināšanu ir universālāka un skaidrāka. Es nesniegšu formulu, es domāju, ka šajā gadījumā tā piepilda galvu ar zāģu skaidām.

Komplekso skaitļu dalīšana

4. piemērs

Tiek doti kompleksie skaitļi. Atrodiet koeficientu.

Izveidosim koeficientu:

Tiek veikta skaitļu dalīšana reizinot saucēju un skaitītāju ar saucēja konjugēto izteiksmi.

Atcerēsimies bārdaino formulu un paskatīsimies uz mūsu saucējs: . Saucējam jau ir, tāpēc konjugētā izteiksme šajā gadījumā ir, tas ir

Saskaņā ar noteikumu saucējs jāreizina ar , un, lai nekas nemainītos, skaitītājs jāreizina ar to pašu skaitli:

Es to uzrakstīšu sīkāk:

Dažos gadījumos pirms daļskaitļa dalīšanas ieteicams to vienkāršot, piemēram, ņemt vērā skaitļu koeficientu: . Pirms dalīšanas mēs atbrīvojamies no nevajadzīgiem mīnusiem: skaitītājā un saucējā mēs izņemam mīnusus no iekavām un samazinām šos mīnusus: . Tiem, kam patīk risināt problēmas, šeit ir pareizā atbilde:

Reti, bet notiek šāds uzdevums:

5. piemērs

Paņēmiens ir tāds pats - mēs reizinām saucēju un skaitītāju ar konjugātu, ņemot vērā komplekso skaitli. Ierakstiet doto skaitli algebriskā formā (t.i., formā).

saucēja izteiksme. Apskatīsim formulu vēlreiz. Saucējs jau pastāv, tāpēc saucējs un skaitītājs ir jāreizina ar konjugāta izteiksmi, tas ir, ar:

6. piemērs

Doti divi kompleksie skaitļi,. Atrodiet to summu, starpību, reizinājumu un koeficientu.