Vienmērīgu elektrostatisko lauku rada vienmērīgi uzlādēta plāksne. Elektrisko lauku aprēķins, izmantojot Ostrogradska-Gausa teorēmu

Židkevičs V.I. Plaknes elektriskais lauks // Fizika: aprēķina problēmas. - 2009. - Nr.6. - P. 19-23.

Elektrostatikas problēmas var iedalīt divās grupās: problēmas ar punktveida lādiņiem un problēmas ar uzlādētiem ķermeņiem, kuru izmērus nevar ignorēt.

Elektrisko lauku un punktveida lādiņu mijiedarbības aprēķināšanas uzdevumu risināšana ir balstīta uz Kulona likuma piemērošanu un nesagādā īpašas grūtības. Grūtāk ir noteikt lauka intensitāti un ierobežota izmēra uzlādētu ķermeņu mijiedarbību: sfēru, cilindru, plakni. Aprēķinot dažādu konfigurāciju elektrostatisko lauku stiprumu, ir jāuzsver superpozīcijas principa nozīme un jāizmanto lauki, ko rada ne tikai punktveida lādiņi, bet arī lādiņi, kas sadalīti pa virsmu un tilpumu. Apsverot lauka ietekmi uz lādiņu, formula F=qE vispārīgā gadījumā tas ir derīgs punktveida lādētiem ķermeņiem un tikai vienotā laukā ir piemērojams jebkura izmēra un formas ķermeņiem, kuriem ir lādiņš q.

Kondensatora elektriskais lauks rodas divu lauku superpozīcijas rezultātā, ko rada katra plāksne.

Plakanā kondensatorā vienu plāksni var uzskatīt par korpusu ar lādiņuq 1novietots intensitātes elektriskajā laukā E 2, ko rada cita plāksne.

Apskatīsim vairākas problēmas.

1. Bezgalīgā plakne ir uzlādēta ar virsmas blīvums σ >0. Atrodiet lauka stiprumu E un potenciāls ϕ abās plaknes pusēs, ņemot vērā plaknes potenciālu, kas vienāds ar nulli. Veidojiet atkarības diagrammas E(x), ϕ (X). x ass perpendikulāri plaknei, punkts x=0 atrodas uz plaknes.

Risinājums. Bezgalīgas plaknes elektriskais lauks ir vienmērīgs un simetrisks attiecībā pret plakni. Viņa spriedze starp intensitāti un potenciālu starpību starp diviem vienmērīga elektrostatiskā lauka punktiem izsaka ar formulu kur x - attālums starp punktiem, mērot pa lauka līniju. Tad ϕ 2 = ϕ 1 - Piem. Pie x<0 при х>0 Atkarības E(x) un ϕ (x) ir parādīti 1. attēlā.

2. Divas plaknes paralēlas plānas plāksnes, kas atrodas nelielā attālumā d viens no otra, vienmērīgi uzlādēti ar virsmas blīvuma lādiņuσ 1 un σ 2. Atrodiet lauka intensitāti punktos, kas atrodas starp plāksnēm un ārpusē. Uzzīmējiet spriedzes grafiku E(x) un potenciāls ϕ (x), skaitīšana ϕ (0)=0. Apsveriet gadījumus, kad: a)σ 1 = -σ 2 ;

Risinājums. b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 = 3 σ 2 -

Tā kā attālums starp plāksnēm ir mazs, tās var uzskatīt par bezgalīgām plaknēm. Pozitīvi lādētas plaknes lauka stiprums ir vienāds ar un režisēts

no viņas; negatīvi lādētās plaknes lauka stiprums ir vērsts pret to.

Saskaņā ar superpozīcijas principu lauks jebkurā apskatāmajā punktā tiks izveidots ar katru no lādiņiem atsevišķi. a) Divu plakņu lauki, kas uzlādēti ar vienādas un pretējas zīmes lādiņiem (plakans kondensators), summējas apgabalā starp plaknēm un atceļ viens otru ārējos apgabalos (2.

A). Plkst<0 E= 0, ϕ X =0; pie 0 d E= 0, grafiki spriedzes un potenciāla atkarība no attāluma X ir parādīti 2. attēlā,

b, c.

Ja plaknēm ir galīgi izmēri, tad lauks starp plaknēm nebūs stingri viendabīgs, un lauks ārpus plaknēm nebūs tieši nulle. b) plakņu lauki, kas uzlādēti ar lādiņiem, kuru lielums un zīme ( σ 1 = σ 2), kompensē viens otru telpā starp plaknēm un summē ārējos apgabalos (3. att.,<0 при 0A). Pie x

d Izmantojot grafiku E(x) ϕ (3. att., b), konstruēsim kvalitatīvu atkarības grafiku

(x) (3. att., c). c) Ja σ 1 = σ

2, tad, ņemot vērā lauku virzienus un izvēloties virzienu pa labi kā pozitīvu, mēs atrodam:

3. Sprieguma E atkarība no attāluma parādīta 4. attēlā. Uz vienas no plakanā kondensatora plāksnēm ar jaudu ARq 1=+3ir maksa q , un no otras puses =+ q 2 q.

Risinājums. Nosakiet potenciālu starpību starp kondensatora plāksnēm. 1. metode.Ļaujiet kondensatora plāksnes laukumam S, un attālums starp tiem d. Lauks kondensatora iekšpusē ir vienmērīgs, tāpēc potenciālo starpību (spriegumu) visā kondensatorā var noteikt pēc formulas U=E*d, kur E

- lauka stiprums kondensatora iekšpusē. kur E 1, E 2

- kondensatora plākšņu radītais lauka stiprums.

Tad 2. metode. Pievienojiet lādiņu katrai plāksnei Pēc tam plāksnes tiek kondensētas + ir maksa satora būs maksas un -q. Kondensatora iekšpusē esošo plākšņu identisku lādiņu lauki viens otru dzēš. Pievienotie lādiņi nemainīja lauku starp plāksnēm un līdz ar to arī potenciālu starpību par kondensators. .

4. U= ir maksa q/C

Risinājums. Neuzlādēta plakana kondensatora telpā starp plāksnēm tiek ievietota plāna metāla plāksne ar lādiņu +.. Nosakiet potenciālu starpību starp kondensatora plāksnēm. (5. att.). Šis lauks ir vienmērīgs, simetrisks attiecībā pret plāksni un tā intensitātiĻaujiet metāla plāksnes potenciālam būt ϕ . Tad plākšņu potenciāli A Un IN kondensatori būs vienādi ϕ- ϕ A = ϕ El 1; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Potenciālā atšķirība starp kondensatora plāksnēmJa plāksne atrodas vienādā attālumā no kondensatora plāksnēm, tad potenciālu starpība starp plāksnēm ir nulle.

5. Vienmērīgā intensitātes elektriskajā laukā E 0 lādēta metāla plāksne ir novietota perpendikulāri spēka līnijām ar lādiņa blīvumu uz katras plāksnes virsmas σ (6. att.). Nosakiet lauka stiprumu E" plāksnes iekšpusē un ārpusē un virsmas lādiņa blīvumsσ 1 un σ 2 , kas parādīsies plāksnes kreisajā un labajā pusē.

Risinājums. Lauks plāksnes iekšpusē ir nulle, un tas ir trīs lauku superpozīcija: ārējais lauks E 0, lādiņu radītais lauks plāksnes kreisajā pusē un lādiņu radītais lauks plāksnes labajā pusē. Tāpēckur σ 1 un σ 2 - virsmas lādiņa blīvums plāksnes kreisajā un labajā pusē, kas parādās pēc plāksnes ievadīšanas laukā E 0. Kopējā maksa uz šķīvja nemainīsies, tāpēcσ 1 + σ 2 = 2 σ, no kurienes σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Lauks ārpus plāksnes ir lauka superpozīcija E 0 un uzlādētu plākšņu lauki E. Pa kreisi no plāksnes Pa labi no plāksnes

6. Plakanā gaisa kondensatorā lauka stiprums ir E = 10 4 V/m. Attālums starp plāksnēm d= 2 cm Ar ko būs vienāda potenciālu starpība, ja starp tām paralēli novieto metāla loksni?d 0=0,5 cm (7. att.)?

Risinājums. Tā kā elektriskais lauks starp plāksnēm ir vienmērīgs, tad U=Ed, U=200 V.

Ja starp plāksnēm atzīmējat metāla loksni, jūs iegūstat divu sērijveidā savienotu kondensatoru sistēmu ar attālumu starp plāksnēmd 1 un d2. Šo kondensatoru jaudasTo kopējā jauda

Tā kā kondensators ir atvienots no strāvas avota, kondensatora lādiņš nemainās, pievienojot metāla loksni: q"=CU=С"U 1 ; kur ir kondensatora jauda pirms metāla loksnes pievienošanas tai. Mēs iegūstam:

U 1= 150 V.

7. Uz šķīvjiem A un C, kas atrodas paralēli attālumā d= 8 cm attālumā viens no otra, potenciāli saglabāti ϕ 1= 60 V un ϕ 2 =- Attiecīgi 60 V. Starp tiem tika novietota iezemēta plāksne D attālumā d 1 = 2 cm no plāksnes A. Cik daudz mainījies lauka stiprums posmos AD un CD? Veidojiet atkarības diagrammas ϕ (x) un E(x).

1. piemērs. Plāns, bezgalīgi garš pavediens tiek vienmērīgi uzlādēts ar lineāru lādiņa blīvumu λ . Atrodiet elektrostatiskā lauka intensitāti E(r) patvaļīgā attālumā r no pavediena.

Izveidosim zīmējumu:

Analīze:

Jo Vītnei nav punktveida maksas, ir piemērojama DI metode. Izvēlēsimies bezgalīgi mazu vadītāja garuma elementu dl, kurā būs ietverta maksa dq=dlλ. Aprēķināsim lauka intensitāti, ko rada katrs vadītāja elements patvaļīgā punktā A, kas atrodas attālumā no vītnes A. Vektors tiks virzīts pa taisnu līniju, kas savieno punkta lādiņu ar novērošanas punktu. Iegūto lauku iegūstam pa normālu pret vītni pa x asi. Ir nepieciešams atrast vērtību dE x: dE x =dE cosα. .

Pēc definīcijas:

.

Lielums dl, r, mainās konsekventi, mainoties elementa pozīcijai dl. Izteiksim tos ar vērtību α:

Kur dα– bezgalīgi mazs leņķa α pieaugums rādiusa vektora rotācijas rezultātā attiecībā pret punktu A, pārvietojoties pa vītni par dl. Tad dl=r 2 dα/a. Pārvietojoties dl no līdz punktam O leņķis mainās no 0 0 uz π/2.

Līdz ar to .

Izmēru pārbaude: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m;

Atbilde:.

2. metode.

Pateicoties lādiņa sadalījuma aksiālajai simetrijai, visi punkti, kas atrodas vienādā attālumā no vītnes, ir līdzvērtīgi un lauka stiprums tajos ir vienāds, t.i. E(r)=const, kur r- attālums no novērošanas punkta līdz vītnei. Virziens Ešajos punktos vienmēr sakrīt ar vītnes normālā virzienu. Pēc Gausa teorēmas; Kur J-lādiņš, ko sedz virsma – S’ caur kuru tiek aprēķināta plūsma, izvēlamies cilindra formā ar rādiusu a un ģenerātoru ar vītni. Ņemot vērā, ka tas ir normāli pret cilindra sānu virsmu, plūsmai iegūstam:

Jo E=konst.

S pusē = Ieslēgts 2π .

No otras puses E 2πаН=Q/ε 0 ,

Kur λН=q.

Atbilde:E=λ /4πε 0 A.

2. piemērs. Aprēķiniet vienmērīgi uzlādētas bezgalīgas plaknes spriegumu ar virsmas lādiņa blīvumu σ .

Spriegojuma līnijas ir perpendikulāras un ir vērstas abos virzienos no plaknes. Kā slēgtu virsmu izvēlamies cilindra virsmu, kuras pamatnes ir paralēlas plaknei, bet cilindra ass ir perpendikulāra plaknei. Jo cilindra ģeneratori ir paralēli spriegojuma līnijām (α=0, cos α=1 ), tad spriegojuma vektora plūsma caur sānu virsmu ir nulle, un kopējā plūsma caur slēgtu cilindrisku virsmu ir vienāda ar plūsmu summu caur tās pamatni. Slēgtas virsmas iekšpusē esošais lādiņš ir vienāds ar σ S pamata , Tad:

F E =2 ES galvenais jeb Ф E = = , tad E = =

Atbilde: E =, nav atkarīgs no cilindra garuma un ir vienāds absolūtā vērtībā jebkurā attālumā no plaknes. Vienmērīgi uzlādētas plaknes lauks ir vienmērīgs.

3. piemērs. Aprēķiniet lauku divām bezgalīgi lādētām plaknēm, kuru virsmas blīvums ir attiecīgi +σ un –σ.

E = E = 0; E = E + + E - = .

Atbilde: Iegūtais lauka stiprums apgabalā starp plaknēm ir vienāds ar E =, un ārpus plakņu ierobežotā tilpuma tas ir vienāds ar nulli.

4. piemērs. Aprēķiniet lauka intensitāti vienmērīgi lādētai sfēriskai rādiusa virsmai ar virsmas lādiņa blīvumu +σ R.

Tas un,

ja r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Atbilde:.

5. piemērs. Aprēķiniet tilpuma lādiņa intensitāti ar tilpuma blīvumu ρ , lodītes rādiusi R.

Ņemsim sfēru kā slēgtu virsmu.

Ja r ≥R, tad = 4πr 2 E; E=

ja r< R , то сфера радиусом r, aptver lādiņu q", kas vienāds ar q"= (jo lādiņi ir saistīti kā tilpumi un tilpumi kā rādiusu kubi)

Tad pēc Gausa domām

Atbilde:; vienmērīgi uzlādētas lodes iekšpusē spriegums palielinās lineāri līdz ar attālumu r no tā centra, un ārpusē - samazinās apgriezti proporcionāli r 2 .

Piemērs Nr.6. Aprēķiniet lauka intensitāti bezgalīgam apļveida cilindram, kas uzlādēts ar lineāru lādiņa blīvumu λ , rādiuss R.

Spriegojuma vektora plūsma caur cilindra galiem ir 0 un caur sānu virsmu:

Jo , vai ,

Tad (ja r > R)

ja λ > 0, E > 0, vektors Ē ir vērsts prom no cilindra,

ja λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

Ja r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

Atbilde:(r > R); E = 0 (R>r). Bezgalīgā, apaļā cilindrā, kas vienmērīgi uzlādēts virs virsmas, nav lauka.

7. piemērs. Elektrisko lauku rada divas bezgala garas paralēlas plaknes ar virsmas lādiņu plaknēm 2 nC/m 2 un 4 nC/m 2 . Noteikt lauka intensitāti I, II, III apgabalos. Izveidojiet atkarības grafiku Ē (r) .

Plaknes sadala telpu 3 zonās

Iegūtā lauka virziens Ē ir vērsts uz lielāku.

Projekcijā uz r:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

Grafiks Ē (r)

Mēroga izvēle: E 2 =2 E 1

E1 = 1; E 2 =2

Atbilde:E I = –345 V/m; EІ I = –172 V/m; E I II = 345 V/m.

Piemērs Nr.8. Melnkoka cieta bumba ar rādiusu R= 5 cm nes lādiņu, kas vienmērīgi sadalīts ar tilpuma blīvumu ρ =10 nC/m3. Noteikt elektriskā lauka intensitāti punktos: 1) attālumā r 1 = 3 cm no sfēras centra; 2) uz sfēras virsmas; 3) no attāluma r 2 = 10 cm no sfēras centra.

Bezgalīga plakne, kas uzlādēta ar virsmas lādiņa blīvumu: lai aprēķinātu bezgalīgas plaknes radītā elektriskā lauka intensitāti, izvēlamies telpā cilindru, kura ass ir perpendikulāra lādētajai plaknei, un pamatnes ir paralēlas tai, un viena no bāzēm iet cauri mums interesējošajam lauka punktam. Saskaņā ar Gausa teorēmu elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma caur slēgtu virsmu ir vienāda ar:

Ф=, no otras puses, tas ir arī: Ф=E

Pielīdzināsim vienādojumu labās puses:

Izteiksim = - caur virsmas lādiņa blīvumu un atrodam elektriskā lauka intensitāti:

Ļaujiet mums atrast elektriskā lauka intensitāti starp pretēji lādētām plāksnēm ar vienādu virsmas blīvumu:

(3)

Atradīsim lauku ārpus plāksnēm:

; ; (4)

Uzlādētas sfēras lauka stiprums

(1)

Ф= (2) Gausa punkts

par r< R

; , jo (sfēras iekšpusē nav lādiņu)

Ja r = R

( ; ; )

R > R

Lauka stiprums, ko rada bumba, kas vienmērīgi uzlādēta visā tās tilpumā

Tilpuma lādiņa blīvums,

sadalīts pa bumbu:

Par r< R

( ; Ф= )

Ja r = R

R > R

ELEKTROSTATISKĀ LAUKA DARBĪBA LĀDES PĀRVIETOŠANAI

Elektrostatiskais lauks- e-pasts stacionārā lādiņa lauks.
Fel, darbojoties pēc lādiņa, to pārvieto, veicot darbu.
Vienmērīgā elektriskajā laukā Fel = qE ir nemainīga vērtība

Darba lauks (el. spēks) nav atkarīgs uz trajektorijas formas un uz slēgtas trajektorijas = nulle.

Ja punktveida lādiņa Q elektrostatiskajā laukā cits punktveida lādiņš Q 0 pārvietojas no punkta 1 uz punktu 2 pa jebkuru trajektoriju (1. att.), tad spēks, kas tiek pielikts lādiņam, veic zināmu darbu. Darbs, ko ar spēku F veic elementārai nobīdei dl, ir vienāds ar Kopš d l/cosα=dr, tad Darbs, pārvietojot lādiņu Q 0 no punkta 1 uz punktu 2 (1), nav atkarīgs no kustības trajektorijas, bet to nosaka tikai sākotnējā 1 un beigu 2 punktu pozīcijas. Tas nozīmē, ka punktveida lādiņa elektrostatiskais lauks ir potenciāls un elektrostatiskie spēki ir konservatīvi. No formulas (1) ir skaidrs, ka darbs, kas tiek veikts, elektriskajam lādiņam pārvietojoties ārējā elektrostatiskā laukā pa patvaļīgu slēgtu ceļu L. ir vienāds ar nulli, t.i. (2) Ja ņemam viena punkta pozitīvu lādiņu kā lādiņu, kas tiek kustināts elektrostatiskā laukā, tad lauka spēku elementārais darbs pa ceļu dl ir vienāds ar Edl = E l d l, kur E l= Ecosα - vektora E projekcija uz elementārās nobīdes virzienu. Tad formulu (2) var attēlot kā (3) Integrāls sauc par spriedzes vektora cirkulāciju. Tas nozīmē, ka elektrostatiskā lauka intensitātes vektora cirkulācija pa jebkuru slēgtu kontūru ir nulle. Spēka lauku, kuram ir īpašība (3), sauc par potenciālu. No tā, ka vektora E cirkulācija ir vienāda ar nulli, izriet, ka elektrostatiskā lauka intensitātes līnijas nevar aizvērt, tās obligāti sākas un beidzas ar lādiņiem (pozitīviem vai negatīviem) vai iet līdz bezgalībai. Formula (3) ir derīga tikai elektrostatiskajam laukam. Pēc tam tiks parādīts, ka kustīgu lādiņu lauka gadījumā nosacījums (3) nav patiess (tam intensitātes vektora cirkulācija nav nulle).

Cirkulācijas teorēma elektrostatiskajam laukam.

Tā kā elektrostatiskais lauks ir centrālais, spēki, kas iedarbojas uz lādiņu šādā laukā, ir konservatīvi. Tā kā tas attēlo elementāru darbu, ko lauka spēki rada ar vienības lādiņu, konservatīvo spēku darbs slēgtā cilpā ir vienāds ar

Potenciāls

Sistēmai "lādiņš - elektrostatiskais lauks" vai "lādiņš - lādiņš" ir potenciālā enerģija, tāpat kā sistēmai "gravitācijas lauks - ķermenis" ir potenciālā enerģija.

Tiek saukts fizikāls skalārs lielums, kas raksturo lauka enerģētisko stāvokli potenciāls dots punkts laukā. Laukā atrodas lādiņš q, tam ir potenciālā enerģija W. Potenciāls ir elektrostatiskā lauka raksturlielums.

Atcerēsimies potenciālo enerģiju mehānikā. Potenciālā enerģija ir nulle, kad ķermenis atrodas uz zemes. Un, kad ķermenis tiek pacelts līdz noteiktam augstumam, tiek teikts, ka ķermenim ir potenciālā enerģija.

Attiecībā uz potenciālo enerģiju elektrībā nav potenciālās enerģijas nulles līmeņa. Tas tiek izvēlēts nejauši. Tāpēc potenciāls ir relatīvs fizikāls lielums.

Potenciālā lauka enerģija ir darbs, ko veic elektrostatiskais spēks, pārvietojot lādiņu no noteikta lauka punkta uz punktu ar nulles potenciālu.

Apskatīsim īpašu gadījumu, kad elektrostatisko lauku rada elektriskais lādiņš Q. Lai izpētītu šāda lauka potenciālu, nav nepieciešams tajā ievadīt lādiņu q. Jūs varat aprēķināt jebkura punkta potenciālu šādā laukā, kas atrodas attālumā r no lādiņa Q.

Vides dielektriskajai konstantei ir zināma vērtība (tabula), un tā raksturo vidi, kurā lauks pastāv. Gaisam tas ir vienāds ar vienotību.

Iespējamā atšķirība

Darbu, ko lauks veic, lai pārvietotu lādiņu no viena punkta uz otru, sauc par potenciālo starpību

Šo formulu var uzrādīt citā formā

Superpozīcijas princips

Vairāku lādiņu radītā lauka potenciāls ir vienāds ar katra lauka lauku potenciālu algebrisko (ņemot vērā potenciāla zīmi) potenciālu summu.

Tā ir stacionāru punktveida lādiņu sistēmas enerģija, atsevišķa uzlādēta vadītāja enerģija un uzlādēta kondensatora enerģija.

Ja ir divu uzlādētu vadītāju (kondensatora) sistēma, tad sistēmas kopējā enerģija ir vienāda ar vadītāju pašu potenciālo enerģiju un to mijiedarbības enerģijas summu:

Elektrostatiskā lauka enerģija punktu maksu sistēma ir vienāda ar:

Vienmērīgi uzlādēta plakne.
Elektriskā lauka intensitāti, ko rada bezgalīga plakne, kas uzlādēta ar virsmas lādiņa blīvumu, var aprēķināt, izmantojot Gausa teorēmu.

No simetrijas nosacījumiem izriet, ka vektors E visur perpendikulāri plaknei. Turklāt punktos, kas ir simetriski attiecībā pret plakni, vektors E būs vienāda izmēra un pretējā virzienā.
Kā slēgtu virsmu mēs izvēlamies cilindru, kura ass ir perpendikulāra plaknei un kura pamatnes atrodas simetriski attiecībā pret plakni, kā parādīts attēlā.
Tā kā spriegojuma līnijas ir paralēlas cilindra sānu virsmas ģenerātrijām, plūsma caur sānu virsmu ir nulle. Tāpēc vektoru plūsma E caur cilindra virsmu

,

kur ir cilindra pamatnes laukums. Cilindrs izgriež lādiņu no plaknes. Ja plakne atrodas viendabīgā izotropā vidē ar relatīvo dielektrisko konstanti, tad

Ja lauka stiprums nav atkarīgs no attāluma starp plaknēm, šādu lauku sauc par viendabīgu. Atkarības grafiks E (x) lidmašīnai.

Iespējamā atšķirība starp diviem punktiem, kas atrodas attālumā R 1 un R 2 no uzlādētās plaknes ir vienāds ar

2. piemērs. Divas vienmērīgi uzlādētas plaknes.
Aprēķināsim elektriskā lauka intensitāti, ko rada divas bezgalīgas plaknes. Elektriskais lādiņš ir vienmērīgi sadalīts ar virsmas blīvumu un . Mēs atrodam lauka intensitāti kā katras plaknes lauka intensitātes superpozīciju. Elektriskais lauks nav nulle tikai telpā starp plaknēm un ir vienāds ar .

Iespējamā atšķirība starp lidmašīnām , Kur d- attālums starp lidmašīnām.
Iegūtos rezultātus var izmantot galīgo izmēru plakano plātņu radīto lauku aptuvenai aprēķināšanai, ja attālumi starp tām ir daudz mazāki par to lineārajiem izmēriem. Ievērojamas kļūdas šādos aprēķinos parādās, apsverot laukus pie plākšņu malām. Atkarības grafiks E (x) divām lidmašīnām.

3. piemērs. Plāns uzlādēts stienis.
Lai aprēķinātu elektriskā lauka intensitāti, ko rada ļoti garš stienis, kas uzlādēts ar lineāru lādiņa blīvumu, mēs izmantojam Gausa teorēmu.
Pietiekami lielos attālumos no stieņa galiem elektriskā lauka intensitātes līnijas ir vērstas radiāli no stieņa ass un atrodas plaknēs, kas ir perpendikulāras šai asij. Visos punktos, kas atrodas vienādā attālumā no stieņa ass, spriegojuma skaitliskās vērtības ir vienādas, ja stienis atrodas viendabīgā izotropā vidē ar relatīvu dielektriķi
caurlaidība

Lai aprēķinātu lauka intensitāti patvaļīgā punktā, kas atrodas attālumā r no stieņa ass caur šo punktu izvelciet cilindrisku virsmu
(skat. attēlu). Šī cilindra rādiuss ir r, un tā augstums h.
Spriegojuma vektora plūsmas caur cilindra augšējo un apakšējo pamatni būs vienādas ar nulli, jo spēka līnijām nav komponentu, kas būtu normāls šo pamatņu virsmām. Visos punktos uz cilindra sānu virsmas
E= konst.
Tāpēc vektora kopējā plūsma E caur cilindra virsmu būs vienāds ar

,

Saskaņā ar Gausa teorēmu vektora plūsma E vienāds ar virsmas (šajā gadījumā cilindra) iekšpusē esošo elektrisko lādiņu algebrisko summu, kas dalīta ar vides elektriskās konstantes un relatīvās dielektriskās konstantes reizinājumu

kur ir tās stieņa daļas lādiņš, kas atrodas cilindra iekšpusē. Tāpēc elektriskā lauka stiprums

Elektriskā lauka potenciāla atšķirība starp diviem punktiem, kas atrodas attālumā R 1 un R 2 no stieņa ass, mēs to atrodam, izmantojot attiecības starp elektriskā lauka intensitāti un potenciālu. Tā kā lauka stiprums mainās tikai radiālā virzienā, tad

Piemērs 4. Uzlādēta sfēriska virsma.
Elektriskais lauks, ko rada sfēriska virsma, virs kuras vienmērīgi ir sadalīts elektriskais lādiņš ar virsmas blīvumu, ir centrāli simetrisks.

Spriegojuma līnijas ir vērstas pa rādiusiem no sfēras centra un vektora lieluma E atkarīgs tikai no attāluma r no sfēras centra. Lai aprēķinātu lauku, mēs izvēlamies slēgtu sfērisku rādiusa virsmu r.
Kad r o E = 0.
Lauka stiprums ir nulle, jo sfēras iekšpusē nav lādiņa.
Ja r > R (ārpus sfēras), saskaņā ar Gausa teorēmu

,

kur ir sfēras apkārtējās vides relatīvā dielektriskā konstante.

.

Intensitāte samazinās saskaņā ar to pašu likumu kā punktveida lādiņa lauka intensitāte, t.i., saskaņā ar likumu.
Kad r o .
R > R (ārpus sfēras) .
Atkarības grafiks E (r) sfērai.

Piemērs 5. Tilpuma uzlādēta dielektriskā bumba.
Ja bumbiņai ir rādiuss R izgatavots no viendabīga izotropa dielektriķa ar relatīvu caurlaidību ir vienmērīgi uzlādēts visā tilpumā ar blīvumu , tad tā radītais elektriskais lauks ir arī centrāli simetrisks.
Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, vektora plūsmas aprēķināšanai mēs izvēlamies slēgtu virsmu E koncentriskas sfēras formā, kuras rādiuss r var mainīties no 0 līdz .
Plkst r < R vektoru plūsma E caur šo virsmu noteiks lādiņš

Tātad

A). r < R(bumbas iekšpusē) .
Bumbiņas iekšpusē spriegums palielinās tieši proporcionāli attālumam no bumbas centra. Ārpus balles (plkst r > R) vidē ar dielektrisko konstanti , plūsmas vektoru E caur virsmu noteiks lādiņš.
Kad r o > R o (ārpus bumbas) .
Pie “bumbas vides” robežas strauji mainās elektriskā lauka stiprums, kura lielums ir atkarīgs no lodītes un vides dielektrisko konstantu attiecības. Atkarības grafiks E (r) bumbai ().

Ārpus bumbas ( r > R) elektriskā lauka potenciāls mainās atbilstoši likumam

.

bumbas iekšpusē ( r < R) potenciālu apraksta izteiksme

Noslēgumā mēs piedāvājam izteiksmes dažādu formu lādētu ķermeņu lauka intensitātes aprēķināšanai

Iespējamā atšķirība
Spriegums- potenciālo vērtību atšķirība trajektorijas sākuma un beigu punktos. Spriegums ir skaitliski vienāds ar elektrostatiskā lauka darbu, kad vienība pozitīvais lādiņš pārvietojas pa šī lauka spēka līnijām. Potenciāla starpība (spriegums) nav atkarīga no izvēles koordinātu sistēmas!
Potenciālās starpības mērvienība Spriegums ir 1 V, ja, virzot pozitīvo lādiņu 1 C pa spēka līnijām, lauks veic 1 J lielu darbu.

Diriģents- tas ir ciets ķermenis, kurā ķermenī pārvietojas “brīvie elektroni”.

Metāla vadītāji parasti ir neitrāli: tajos ir vienāds daudzums negatīvo un pozitīvo lādiņu. Pozitīvi lādēti ir joni kristāla režģa mezglos, negatīvi ir elektroni, kas brīvi pārvietojas pa vadītāju. Ja vadītājam tiek dots pārmērīgs elektronu daudzums, tas tiek negatīvi uzlādēts, bet, ja no vadītāja tiek “paņemts” noteikts elektronu skaits, tas tiek uzlādēts pozitīvi.

Pārmērīgais lādiņš tiek sadalīts tikai pa vadītāja ārējo virsmu.

1 . Lauka stiprums jebkurā vadītāja iekšpusē ir nulle.

2 . Vektors uz vadītāja virsmas ir vērsts normāli katram vadītāja virsmas punktam.

No fakta, ka vadītāja virsma ir ekvipotenciāls, izriet, ka tieši uz šīs virsmas lauks katrā punktā ir vērsts tai normāli (nosacījums 2 ). Ja tas tā nebūtu, tad tangenciālās komponentes ietekmē lādiņi sāktu pārvietoties pa vadītāja virsmu. tie. diriģenta lādiņu līdzsvars būtu neiespējams.

No 1 no tā izriet, ka kopš

Vadītāja iekšpusē nav lieku lādiņu.

Uzlādes tiek sadalītas tikai uz vadītāja virsmas ar noteiktu blīvumu s un atrodas ļoti plānā virsmas slānī (tā biezums ir aptuveni viens vai divi starpatomu attālumi).

Uzlādes blīvums- tas ir lādiņa daudzums uz garuma, laukuma vai tilpuma vienību, tādējādi nosakot lineāro, virsmas un tilpuma lādiņu blīvumu, ko mēra SI sistēmā: Kulonos uz metru [C/m], Kulonos uz kvadrātmetru [ C/m² ] un kulonos uz kubikmetru [C/m³]. Atšķirībā no matērijas blīvuma, lādiņa blīvumam var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības, tas ir saistīts ar faktu, ka ir pozitīvi un negatīvi lādiņi.

Vispārēja elektrostatikas problēma

Sprieguma vektors,

pēc Gausa teorēmas

- Puasona vienādojums.

Gadījumā, ja starp vadītājiem nav lādiņu, mēs saņemam

- Laplasa vienādojums.

Lai ir zināmi robežnosacījumi uz vadītāju virsmām: vērtības ; tad šai problēmai ir unikāls risinājums saskaņā ar unikalitātes teorēma.

Atrisinot uzdevumu, nosaka vērtību un pēc tam lauku starp vadītājiem nosaka lādiņu sadalījums uz vadītājiem (atbilstoši sprieguma vektoram uz virsmas).

Apskatīsim piemēru. Atradīsim spriegumu vadītāja tukšajā dobumā.

Potenciāls dobumā apmierina Laplasa vienādojumu;

potenciāls uz vadītāja sienām.

Laplasa vienādojuma risinājums šajā gadījumā ir triviāls, un pēc unikalitātes teorēmas nav citu risinājumu

, t.i. vadītāja dobumā nav lauka.

Puasona vienādojums ir eliptisks daļējs diferenciālvienādojums, kas cita starpā apraksta

elektrostatiskais lauks

· stacionārs temperatūras lauks,

· spiediena lauks,

· ātruma potenciāla lauks hidrodinamikā.

Tas ir nosaukts slavenā franču fiziķa un matemātiķa Simeona Denisa Puasona vārdā.

Šis vienādojums izskatās šādi:

kur ir Laplasa operators vai Laplass, un tā ir reāla vai sarežģīta funkcija kādā kolektorā.

Trīsdimensiju Dekarta koordinātu sistēmā vienādojumam ir šāda forma:

Dekarta koordinātu sistēmā Laplasa operators ir uzrakstīts formā, un Puasona vienādojums ir šāds:

Ja f tiecas uz nulli, tad Puasona vienādojums pārvēršas Laplasa vienādojumā (Laplasa vienādojums ir īpašs Puasona vienādojuma gadījums):

Puasona vienādojumu var atrisināt, izmantojot Grīna funkciju; skatiet, piemēram, rakstu Pārmeklētais Puasona vienādojums. Ir dažādas metodes skaitlisko risinājumu iegūšanai. Piemēram, tiek izmantots iteratīvs algoritms - “relaksācijas metode”.

Mēs uzskatīsim par vientuļo vadītāju, t.i., vadītāju, kas ir ievērojami atdalīts no citiem vadītājiem, ķermeņiem un lādiņiem. Tā potenciāls, kā zināms, ir tieši proporcionāls vadītāja lādiņam. No pieredzes ir zināms, ka dažādiem vadītājiem, lai arī tie ir vienādi uzlādēti, ir atšķirīgs potenciāls. Tāpēc atsevišķam vadītājam mēs varam rakstīt Daudzumu (1) sauc par atsevišķa vadītāja elektrisko jaudu (vai vienkārši kapacitāti). Izolēta vadītāja kapacitāti nosaka lādiņš, kura komunikācija ar vadītāju maina tā potenciālu par vienu. Viena vadītāja kapacitāte ir atkarīga no tā izmēra un formas, bet nav atkarīga no vadītāja iekšpusē esošo dobumu materiāla, formas un izmēra, kā arī no tā agregācijas stāvokļa. Iemesls tam ir tas, ka liekie lādiņi tiek sadalīti uz vadītāja ārējās virsmas. Kapacitāte arī nav atkarīga no vadītāja lādiņa vai tā potenciāla. Elektriskās jaudas mērvienība ir farads (F): 1 F ir izolēta vadītāja jauda, ​​kura potenciāls mainās par 1 V, ja tam tiek piešķirts 1 C lādiņš. Saskaņā ar punktveida lādiņa potenciāla formulu vientuļas lodītes ar rādiusu R, kas atrodas viendabīgā vidē ar dielektrisko konstanti ε potenciāls ir vienāds ar Pielietojot formulu (1), iegūstam, ka lodītes kapacitāte ir vienāda ar dielektrisko konstanti ε. bumba (2) No tā izriet, ka atsevišķai bumbiņai būtu 1 F ietilpība, kas atrodas vakuumā un kuras rādiuss R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, kas ir aptuveni 1400 reižu lielāks par Zemes rādiuss (Zemes elektriskā jauda C≈0,7 mF). Līdz ar to farads ir diezgan liela vērtība, tāpēc praksē tiek izmantotas submultiple mērvienības - milifarāde (mF), mikrofarāde (μF), nanofarads (nF), pikofarads (pF). No formulas (2) arī izriet, ka elektriskās konstantes ε 0 mērvienība ir farads uz metru (F/m) (sk. (78.3)).

Kondensators(no lat. kondensāts- “kompakts”, “sabiezināts”) - divu terminālu tīkls ar noteiktu kapacitātes vērtību un zemu omu vadītspēju; ierīce elektriskā lauka lādiņa un enerģijas uzkrāšanai. Kondensators ir pasīva elektroniska sastāvdaļa. Parasti sastāv no diviem plāksnes formas elektrodiem (saukti oderes), atdalītas ar dielektriķi, kura biezums ir mazs salīdzinājumā ar plākšņu izmēru.

Jauda

Kondensatora galvenā īpašība ir tā jaudu, kas raksturo kondensatora spēju uzkrāt elektrisko lādiņu. Kondensatora apzīmējums norāda nominālās kapacitātes vērtību, savukārt faktiskā kapacitāte var ievērojami atšķirties atkarībā no daudziem faktoriem. Kondensatora faktiskā kapacitāte nosaka tā elektriskās īpašības. Tādējādi saskaņā ar kapacitātes definīciju plāksnes lādiņš ir proporcionāls spriegumam starp plāksnēm ( q = CU). Tipiskās kapacitātes vērtības svārstās no pikofaradu vienībām līdz tūkstošiem mikrofaradu. Tomēr ir kondensatori (jonistori) ar ietilpību līdz pat desmitiem faradu.

Paralēlas plāksnes kondensatora kapacitāte, kas sastāv no divām paralēlām metāla plāksnēm ar laukumu S katrs atrodas attālumā d viena no otras SI sistēmā izsaka ar formulu: , kur ir vides relatīvā dielektriskā konstante, kas aizpilda telpu starp plāksnēm (vakuumā, kas vienāda ar vienotību), ir elektriskā konstante, skaitliski vienāda ar 8,854187817·10 −12 F/m. Šī formula ir derīga tikai tad, ja d daudz mazāks par plākšņu lineārajiem izmēriem.

Lai iegūtu lielas jaudas, kondensatori ir savienoti paralēli. Šajā gadījumā spriegums starp visu kondensatoru plāksnēm ir vienāds. Kopējā akumulatora jauda paralēli pieslēgto kondensatoru skaits ir vienāds ar visu akumulatorā iekļauto kondensatoru kapacitātes summu.

Ja visiem paralēli savienotajiem kondensatoriem ir vienāds attālums starp plāksnēm un dielektriskajām īpašībām, tad šos kondensatorus var attēlot kā vienu lielu kondensatoru, kas sadalīts mazāka laukuma fragmentos.

Kad kondensatori ir savienoti virknē, visu kondensatoru lādiņi ir vienādi, jo tie tiek piegādāti no barošanas avota tikai ārējiem elektrodiem, un uz iekšējiem elektrodiem tie tiek iegūti tikai lādiņu atdalīšanas dēļ, kas iepriekš neitralizēja viens otru. . Kopējā akumulatora jauda secīgi pieslēgtie kondensatori ir vienādi ar

Or

Šī jauda vienmēr ir mazāka par akumulatorā iekļautā kondensatora minimālo kapacitāti. Tomēr ar virknes savienojumu tiek samazināta kondensatoru sabojāšanās iespēja, jo katrs kondensators veido tikai daļu no sprieguma avota potenciālās starpības.

Ja visu sērijveidā savienoto kondensatoru plākšņu laukums ir vienāds, tad šos kondensatorus var attēlot kā vienu lielu kondensatoru, starp kura plāksnēm ir visu kondensatoru, kas to veido, dielektrisko plākšņu kaudze.

[rediģēt]Īpaša jauda

Kondensatoriem ir raksturīga arī īpatnējā kapacitāte - kapacitātes attiecība pret dielektriķa tilpumu (vai masu). Īpatnējās kapacitātes maksimālā vērtība tiek sasniegta ar minimālu dielektriķa biezumu, bet tajā pašā laikā samazinās tā pārrāvuma spriegums.

Tiek izmantotas dažāda veida elektriskās ķēdes kondensatoru pieslēgšanas metodes. Kondensatoru pieslēgšana var ražot: secīgi, paralēli Un sērija-paralēli(pēdējo dažreiz sauc par jauktu kondensatoru savienojumu). Esošie kondensatoru savienojumu veidi ir parādīti 1. attēlā.

1. attēls. Kondensatoru pievienošanas metodes.

8. Elektrostatisko lauku rada vienmērīgi lādēta bezgalīga plakne. Parādiet, ka šis lauks ir viendabīgs.

Lai virsmas lādiņa blīvums ir s. Ir skaidrs, ka vektors E var būt tikai perpendikulārs lādētajai plaknei. Turklāt ir acīmredzams, ka punktos, kas ir simetriski attiecībā pret šo plakni, vektors E ir vienāds pēc lieluma un pretējs virzienā. Šī lauka konfigurācija liek domāt, ka kā slēgta virsma ir jāizvēlas taisns cilindrs, kur tiek pieņemts, ka s ir lielāks par nulli. Plūsma caur šī cilindra sānu virsmu ir nulle, un tāpēc kopējā plūsma caur visu cilindra virsmu būs vienāda ar 2*E*DS, kur DS ir katra gala laukums. Saskaņā ar Gausa teorēmu

kur s*DS ir lādiņš, kas atrodas cilindra iekšpusē.

Precīzāk, šī izteiksme jāraksta šādi:

kur En ir vektora E projekcija uz normālu n uz lādētu plakni, un vektors n ir vērsts no šīs plaknes.

Fakts, ka E nav atkarīgs no attāluma līdz plaknei, nozīmē, ka atbilstošais elektriskais lauks ir vienmērīgs.

9. No vara stieples izgatavots ceturtdaļaplis ar rādiusu 56 cm. Pa stiepli vienmērīgi ir sadalīts lādiņš ar lineāro blīvumu 0,36 nC/m. Atrodiet potenciālu apļa centrā.

Tā kā lādiņš ir lineāri sadalīts pa vadu, lai atrastu potenciālu centrā, mēs izmantojam formulu:

Kur s ir lineārais lādiņa blīvums, dL ir stieples elements.

10. Punkta lādiņa Q radītā elektriskajā laukā negatīvs lādiņš -q virzās pa spēka līniju no punkta, kas atrodas attālumā r 1 no lādiņa Q, uz punktu, kas atrodas attālumā r 2 . Atrodiet lādiņa -q potenciālās enerģijas pieaugumu šajā pārvietojumā.

Pēc definīcijas potenciāls ir lielums, kas skaitliski vienāds ar vienības pozitīvā lādiņa potenciālo enerģiju noteiktā lauka punktā. Tāpēc lādiņa q 2 potenciālā enerģija:

11. Divi identiski elementi ar emf. 1,2 V un iekšējā pretestība 0,5 omi ir savienoti paralēli. Iegūtais akumulators ir aizvērts ar ārējo pretestību 3,5 omi. Atrodiet strāvu ārējā ķēdē.

Saskaņā ar Oma likumu visai ķēdei strāvas stiprums ārējā ķēdē ir:

kur E` ir elementu baterijas emf,

r` ir akumulatora iekšējā pretestība, kas ir vienāda ar:

Akumulatora emf ir vienāds ar trīs sērijveidā savienotu elementu emf summu:

Tātad:

12 Elektriskā ķēde satur vienāda garuma un diametra vara un tērauda stieples virknē. Atrodiet šajos vados izdalītā siltuma daudzumu attiecību.

Apsveriet stiepli ar garumu L un diametru d, kas izgatavota no materiāla ar pretestību p. Vada pretestību R var atrast, izmantojot formulu

Kur s = ir stieples šķērsgriezuma laukums. Pie strāvas stipruma I laikā t vadītājā izdalās siltuma daudzums Q:

Šajā gadījumā sprieguma kritums vadā ir vienāds ar:

Vara pretestība:

p1 = 0,017 μOmi*m = 1,7*10 -8 omi*m

tērauda pretestība:

p2=10 -7 omi*m

tā kā vadi ir savienoti virknē, strāvas stiprumi tajos ir vienādi un laikā t tajos izdalās siltuma daudzums Q1 un Q2:

12. Ir apļveida spole ar strāvu vienmērīgā magnētiskajā laukā. Spoles plakne ir perpendikulāra lauka līnijām. Pierādīt, ka rezultējošie spēki, kas iedarbojas uz ķēdi no magnētiskā lauka, ir nulle.

Tā kā apļveida spole ar strāvu atrodas vienmērīgā magnētiskajā laukā, uz to iedarbojas ampēra spēks. Saskaņā ar formulu dF=I iegūto ampērspēku, kas iedarbojas uz strāvu nesošo spoli, nosaka:

Ja integrācija tiek veikta pa noteiktu kontūru ar strāvu I. Tā kā magnētiskais lauks ir vienmērīgs, vektoru B var izņemt no integrāļa apakšas, un uzdevums tiks reducēts uz vektora integrāļa aprēķināšanu. Šis integrālis attēlo slēgtu elementāru vektoru ķēdi dL, tāpēc tas ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka F=0, tas ir, iegūtais ampēra spēks ir nulle vienmērīgā magnētiskajā laukā.

13. Īsa spole, kas satur 90 apgriezienus ar diametru 3 cm, nes strāvu. Strāvas radītā magnētiskā lauka stiprums uz spoles asi 3 cm attālumā no tās ir 40 A/m. Nosakiet strāvu spolē.

Ņemot vērā, ka magnētiskā indukcija punktā A ir magnētisko indukciju superpozīcija, ko rada katrs spoles pagrieziens atsevišķi:

Lai atrastu B pagriezienu, mēs izmantojam Biota-Savarta-Laplasa likumu.

Kur dBturn ir strāvas elementa IDL radītā lauka magnētiskā indukcija punktā, ko nosaka rādiusa vektors r. Izvēlamies elementu dL beigās un no tā uz punktu A novelkam rādiusa vektoru r. Mēs virzīsim dBturn vektoru saskaņā ar gimlet noteikumu.

Saskaņā ar superpozīcijas principu:

Ja integrācija tiek veikta visos dLturn elementos. Sadalīsim dBturn divās komponentēs dBturn(II) - paralēli gredzena plaknei un dBturn(I) - perpendikulāri gredzena plaknei. Tad

To pamanot simetrijas dēļ un tāpēc, ka vektori dBturn(I) ir līdzvirziena, vektoru integrāciju aizstājam ar skalāru:

Kur dBturn(I) =dBturn*cosb un

Tā kā dl ir perpendikulāra r

Samazināsim par 2p un aizstājam cosb ar R/r1

Izteiksim I no šejienes, zinot, ka R=D/2

saskaņā ar formulu, kas savieno magnētisko indukciju un magnētiskā lauka stiprumu:

tad saskaņā ar Pitagora teorēmu no zīmējuma:

14. Elektrons lido vienmērīgā magnētiskajā laukā virzienā, kas ir perpendikulārs spēka līnijām, ar ātrumu 10 × 10 6 m/s un pārvietojas pa apļveida loku ar rādiusu 2,1 cm. Atrodiet magnētiskā lauka indukciju.

Elektronu, kas pārvietojas vienmērīgā magnētiskajā laukā, iedarbos Lorenca spēks, kas ir perpendikulārs elektrona ātrumam un tāpēc ir vērsts uz apļa centru:

Tā kā leņķis starp v un I ir 90 0:

Tā kā spēks Fl ir vērsts uz apļa centru un elektrons šī spēka ietekmē pārvietojas ap apli, tad

Izteiksim magnētisko indukciju:

15. Kvadrātveida rāmis ar malu 12 cm, izgatavots no vara stieples, tiek novietots magnētiskajā laukā, kura magnētiskā indukcija mainās atbilstoši likumam B = B 0 · Sin (ωt), kur B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T un T=0,02 s. Rāmja plakne ir perpendikulāra magnētiskā lauka virzienam. Atrodiet lielāko emf vērtību. indukcija, kas notiek kadrā.

Kvadrātveida rāmja laukums S=a 2. Magnētiskās plūsmas dj izmaiņas, kad kadra plakne ir perpendikulāra dj=SdB

Inducētais emf tiek noteikts

E būs maksimālais pie cos(wt)=1