Monotoni ierobežotas secības robežu esamība. Veierštrāsa teorēma par monotonas secības robežu

Definīcija: ja visi n є N, atbilst x n є N, tad viņi tā saka

formā skaitliski secība.

- biedriem sekvences

- ģenerālis biedrs sekvences

Ieviestā definīcija nozīmē, ka jebkurai skaitļu secībai ir jābūt bezgalīgai, taču tas nenozīmē, ka visiem dalībniekiem ir jābūt atšķirīgiem skaitļiem.

Tiek ņemta vērā skaitļu secība dots, ja ir noteikts likums, pēc kura var atrast jebkuru secības locekli.

Dalībnieki vai secības elementi (1) numurēti ar visiem naturālajiem skaitļiem augošā secībā. Ja n+1 > n-1, vārds seko (pirms) vārdam neatkarīgi no tā, vai pats skaitlis ir lielāks par skaitli, mazāks par to vai pat vienāds ar to.

Definīcija: mainīgais x, kas ieņem noteiktu secību (1) vērtības, mēs - sekojot Meray (Ch. Meray) - aicināsim opciju.

Skolas matemātikas kursā var atrast tieši šāda veida mainīgos, piemēram, opcijas.

Piemēram, tāda secība kā

(aritmētika) vai tips

(ģeometriskā progresija)

Vienas vai otras progresijas mainīgais termiņš ir opciju.

Saistībā ar riņķa garuma noteikšanu parasti ņemam vērā aplī ierakstīta regulāra daudzstūra perimetru, kas iegūts no sešstūra, secīgi dubultojot malu skaitu. Tādējādi šai opcijai tiek izmantota šāda vērtību secība:

Ar pieaugošu precizitāti pieminēsim arī decimālo tuvinājumu (pēc neizdevības). Tam nepieciešama vērtību secība:

un arī piedāvā iespēju.

Mainīgais x, kas iet cauri secībai (1), bieži tiek apzīmēts ar, identificējot to ar šīs secības mainīgo (“kopējo”) locekli.

Dažreiz opciju x n norāda, tieši norādot x n izteiksmi; tātad aritmētiskās vai ģeometriskās progresijas gadījumā mums ir attiecīgi x n =a+(n-1) d vai x n =aq n-1. Izmantojot šo izteiksmi, jūs varat nekavējoties aprēķināt jebkura varianta vērtību, pamatojoties uz tā doto skaitli, neaprēķinot iepriekšējās vērtības.

Regulāra ierakstīta daudzstūra perimetram šāda vispārīga izteiksme iespējama tikai tad, ja ievadām skaitli p; vispār regulāra ierakstīta m-stūra perimetru p m uzrāda formula

1. definīcija: tiek uzskatīts, ka skaitļu virkne (x n) ir ierobežota augšā (apakšā), ja šāds skaitlis pastāv. M (T), ka jebkuram šīs secības elementam pastāv nevienādība, un tiek izsaukts skaitlis M (m). augšpusē (zemāks) mala.

2. definīcija: skaitļu secību (x n) sauc par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan augšā, gan apakšā, t.i. pastāv M, m, tādi, ka jebkuram

Apzīmēsim A = max (|M|, |m|), tad ir skaidrs, ka skaitliskā secība būs ierobežota, ja jebkurai vienādībai |x n |?A ir spēkā pēdējā nevienādība ir nosacījums, lai skaitliskā secība būt ierobežotam.

3. definīcija: tiek izsaukta skaitļu secība bezgalīgi liels secību, ja jebkuram A>0, varat norādīt tādu skaitli N, kas atbilst visiem n>N ||>A.

4. definīcija: tiek izsaukta skaitļu secība (b n). bezgalīgi mazs secība, ja jebkuram dotajam e > 0, varat norādīt skaitli N(e), lai jebkuram n > N(e) nevienādība | b n |< е.

5. definīcija: tiek izsaukta skaitļu secība (x n). saplūst, ja ir tāds skaitlis a, ka secība (x n - a) ir bezgalīgi maza secība. Tajā pašā laikā a - ierobežojums oriģināls skaitliski sekvences.

No šīs definīcijas izriet, ka visas bezgalīgi mazas sekvences ir konverģentas un šo secību robeža = 0.

Sakarā ar to, ka konverģentas secības jēdziens ir saistīts ar bezgalīgi mazas secības jēdzienu, konverģentas secības definīciju var sniegt citā formā:

6. definīcija: tiek izsaukta skaitļu secība (x n). saplūst uz skaitli a, ja jebkuram patvaļīgi mazam ir tāds, ka visiem n > N nevienādība

a ir secības robeža

Jo ir ekvivalents, un tas nozīmē, ka tas pieder intervālam x n є (a - e; a+ e) vai, kas ir vienāds, pieder e - punkta a apkārtnei. Tad mēs varam sniegt citu konverģentas skaitļu secības definīciju.

7. definīcija: tiek izsaukta skaitļu secība (x n). saplūst, ja ir punkts a tāds, ka jebkurā pietiekami mazā šī punkta e-apkaimē ir kādi šīs secības elementi, sākot no kāda skaitļa N.

Piezīme: saskaņā ar definīcijām (5) un (6), ja a ir secības robeža (x n), tad x n - a ir bezgalīgi mazas secības elements, t.i. x n - a = b n, kur b n ir bezgalīgi mazas secības elements. Līdz ar to x n = a + b n, un tad mums ir tiesības apgalvot, ka, ja skaitliskā secība (x n) saplūst, tad to vienmēr var attēlot kā tās robežas un bezgalīgi mazas secības elementa summu.

Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums: ja jebkuru secības elementu (x n) var attēlot kā konstanta skaitļa un bezgalīgi mazas secības elementa summu, tad šī konstante ir ierobežojums dots sekvences.

8. Definīcija. Secība Nav palielinās (nē samazinās), ja priekš.

Definīcija 9. Secība palielinās (samazinās), ja priekš.

Definīcija 10. Tiek saukta stingri pieaugoša vai stingri dilstoša secība vienmuļš secība.

Dots Veierštrāsa teorēmas pierādījums par monotonas secības robežu. Tiek aplūkoti ierobežoto un neierobežoto secību gadījumi. Tiek aplūkots piemērs, kurā, izmantojot Veierštrāsa teorēmu, ir jāpierāda secības konverģence un jāatrod tās robeža.

Saturs

Skatīt arī: Monotonisko funkciju robežas

Jebkura monotoni ierobežota secība (xn) ir ierobežota robeža, kas vienāda ar precīzu augšējo robežu, sup (xn) nepazeminošai un precīzai apakšējai robežai, inf(xn) nepalielinošai secībai.
Jebkurai monotonai neierobežotai secībai ir bezgalīga robeža, kas vienāda ar plus bezgalību secībai, kas nesamazinās, un mīnus bezgalību secībai, kas nepalielinās.

Pierādījums

1) nesamazināma ierobežota secība.

(1.1) .

Tā kā secība ir ierobežota, tai ir ierobežota augšējā robeža
.
Tas nozīmē, ka:

• visiem n,
  (1.2) ;
• jebkuram pozitīvam skaitlim ir skaitlis, kas atkarīgs no ε, lai
  (1.3) .

.
Šeit mēs arī izmantojām (1.3). Apvienojot ar (1.2), mēs atrodam:
plkst.
Kopš tā laika
,
vai
plkst.
Teorēmas pirmā daļa ir pierādīta.

2) Lai tagad ir secība nepalielinoša ierobežota secība:
(2.1) visiem n.

Tā kā secība ir ierobežota, tai ir ierobežota apakšējā robeža
.
Tas nozīmē sekojošo:

• uz visām n ir spēkā šādas nevienādības:
  (2.2) ;
• jebkuram pozitīvam skaitlim atkarībā no ε ir skaitlis, kuram
  (2.3) .

.
Šeit mēs arī izmantojām (2.3). Ņemot vērā (2.2), mēs atrodam:
plkst.
Kopš tā laika
,
vai
plkst.
Tas nozīmē, ka skaitlis ir secības ierobežojums.
Teorēmas otrā daļa ir pierādīta.

Tagad apsveriet neierobežotas secības.
3) Ļaujiet secībai būt neierobežota, nesamazināma secība.

Tā kā secība nesamazinās, uz visiem n attiecas šādas nevienādības:
(3.1) .

Tā kā secība ir nesamazinoša un neierobežota, tā ir neierobežota labajā pusē. Tad jebkuram skaitlim M atkarībā no M ir skaitlis, kuram
(3.2) .

Tā kā secība nesamazinās, tad, kad mums ir:
.
Šeit mēs arī izmantojām (3.2).

.
Tas nozīmē, ka secības robeža ir plus bezgalība:
.
Teorēmas trešā daļa ir pierādīta.

4) Visbeidzot, apsveriet gadījumu, kad neierobežota nepalielinoša secība.

Līdzīgi kā iepriekšējā, jo secība nav pieaugoša, tad
(4.1) visiem n.

Tā kā secība nav pieaugoša un neierobežota, tā ir neierobežota kreisajā pusē. Tad jebkuram skaitlim M atkarībā no M ir skaitlis, kuram
(4.2) .

Tā kā secība nepalielinās, tad, kad mums ir:
.

Tātad jebkuram skaitlim M ir naturāls skaitlis, kas ir atkarīgs no M, tā ka visiem skaitļiem pastāv šādas nevienādības:
.
Tas nozīmē, ka secības robeža ir vienāda ar mīnus bezgalību:
.
Teorēma ir pierādīta.

Problēmas risinājuma piemērs

Visi piemēri Izmantojot Veierštrāsa teorēmu, pierādiet secības konverģenci:
, , . . . , , . . .
Tad atrodiet savu robežu.

Atveidosim secību atkārtotu formulu veidā:
,
.

Pierādīsim, ka dotā secība augšā ir ierobežota ar vērtību
(P1) .
Pierādīšana tiek veikta, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.
.
Ļaujiet .
.
Tad

Nevienādība (A1) ir pierādīta.
;
Pierādīsim, ka secība palielinās monotoni. .
(P2)
.
Tā kā , tad daļdaļas saucējs un skaitītāja pirmais faktors ir pozitīvi. Tā kā secības terminus ierobežo nevienādība (A1), arī otrais faktors ir pozitīvs. Tieši tāpēc

Tas ir, secība stingri palielinās.

Tā kā secība palielinās un ir ierobežota iepriekš, tā ir ierobežota secība. Tāpēc saskaņā ar Veierštrāsa teorēmu tai ir robeža.
.
Atradīsim šo robežu. Apzīmēsim to ar:
.
Izmantosim faktu, ka
.
Piemērosim to (A2), izmantojot konverģentu secību robežu aritmētiskās īpašības:

Nosacījumu apmierina sakne.