Matricas sadalīšana rindas elementos. Matricas noteicējs tiešsaistē

Bieži vien augstskolās mēs saskaramies ar augstākās matemātikas problēmām, kurās tas ir nepieciešams aprēķināt matricas determinantu. Starp citu, determinants var būt tikai kvadrātveida matricās. Zemāk apskatīsim pamatdefinīcijas, kādas ir determinanta īpašības un kā to pareizi aprēķināt Mēs arī parādīsim detalizētu risinājumu, izmantojot piemērus.

Kas ir matricas determinants: determinanta aprēķināšana, izmantojot definīciju

Matricas determinants

Otrā secība ir skaitlis.

Matricas determinants tiek apzīmēts – (saīsinājums no latīņu nosaukuma determinantiem) vai .

Ja:, tad izrādās

Atcerēsimies vēl dažas palīgdefinīcijas:

Definīcija

Sakārtotu skaitļu kopu, kas sastāv no elementiem, sauc par kārtas permutāciju.

Kopai, kas satur elementus, ir faktoriāls (n), kas vienmēr tiek apzīmēts ar izsaukuma zīmi: . Permutācijas atšķiras viena no otras tikai secībā, kādā tās parādās. Lai padarītu to skaidrāku, sniegsim piemēru:

Apsveriet trīs elementu kopu (3, 6, 7). Kopumā ir 6 permutācijas, jo .:

Definīcija

Inversija secības permutācijā ir sakārtota skaitļu kopa (to sauc arī par bijekciju), kur divi no tiem veido sava veida traucējumus. Tas ir tad, kad lielākais skaitlis noteiktā permutācijā atrodas pa kreisi no mazākā skaitļa.

Iepriekš mēs apskatījām piemēru ar permutācijas inversiju, kur bija skaitļi . Tātad, pieņemsim otro rindu, kur, spriežot pēc šiem skaitļiem, izrādās, ka , a , jo otrais elements ir lielāks par trešo elementu. Ņemsim salīdzinājumam sesto rindiņu, kur atrodas skaitļi: . Šeit ir trīs pāri: , un , kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Renderējis QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Renderējis QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Mēs nepētīsim pašu inversiju, taču permutācijas mums ļoti noderēs tālākā tēmas izskatīšanā.

Definīcija

Matricas x determinants – skaitlis:

ir skaitļu permutācija no 1 līdz bezgalīgam skaitlim un ir inversiju skaits permutācijā. Tādējādi determinants ietver terminus, ko sauc par “determinanta nosacījumiem”.

Varat aprēķināt otrās, trešās un pat ceturtās kārtas matricas determinantu. Tāpat vērts pieminēt:

Definīcija

Matricas determinants ir skaitlis, kas ir vienāds

Lai saprastu šo formulu, aprakstīsim to sīkāk. Kvadrātveida matricas x determinants ir summa, kas satur terminus, un katrs termins ir noteikta skaita matricas elementu reizinājums. Turklāt katrā produktā ir elements no katras matricas rindas un katras kolonnas.

Tas var parādīties pirms noteikta termina, ja reizinājuma matricas elementi ir sakārtoti (pēc rindas numura) un inversiju skaits daudzu kolonnu numuru permutācijā ir nepāra.

Iepriekš tika minēts, ka matricas determinants tiek apzīmēts ar vai, tas ir, determinantu bieži sauc par determinantu.

Tātad, atgriezīsimies pie formulas:

No formulas ir skaidrs, ka pirmās kārtas matricas determinants ir tās pašas matricas elements.

Otrās kārtas matricas determinanta aprēķins

Visbiežāk praksē matricas determinants tiek atrisināts, izmantojot otrās, trešās un retāk ceturtās kārtas metodes. Apskatīsim, kā tiek aprēķināts otrās kārtas matricas determinants:

Otrās kārtas matricā no tā izriet, ka faktoriāls ir . Pirms formulas pielietošanas

Ir jānosaka, kādus datus mēs iegūstam:

2. kopu permutācijas: un ;

3. inversiju skaits permutācijā : un kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. atbilstošie darbi: un.

Izrādās:

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs iegūstam formulu otrās kārtas kvadrātveida matricas determinanta aprēķināšanai, tas ir, x:

Apskatīsim konkrētu piemēru, kā aprēķināt otrās kārtas kvadrātveida matricas determinantu:

Piemērs

Uzdevums

Aprēķiniet matricas x determinantu:

Risinājums

Tātad, mēs iegūstam , , , .

Lai atrisinātu, jums jāizmanto iepriekš apspriestā formula:

Mēs aizstājam skaitļus no piemēra un atrodam:

Atbilde

Otrās kārtas matricas determinants = .

Trešās kārtas matricas determinanta aprēķins: piemērs un risinājums, izmantojot formulu

Definīcija

Trešās kārtas matricas determinants ir skaitlis, kas iegūts no deviņiem dotiem skaitļiem, kas sakārtoti kvadrātveida tabulā,

Trešās kārtas determinants tiek atrasts gandrīz tādā pašā veidā kā otrās kārtas determinants. Vienīgā atšķirība ir formulā. Tāpēc, ja jūs labi saprotat formulu, tad ar risinājumu problēmu nebūs.

Apsveriet trešās kārtas kvadrātveida matricu *:

Pamatojoties uz šo matricu, mēs saprotam, ka attiecīgi faktoriāls = , kas nozīmē, ka kopējās permutācijas ir

Lai pareizi lietotu formulu, jums jāatrod dati:

Tātad kopas kopējās permutācijas ir:

Inversiju skaits permutācijā un attiecīgie produkti =;

Inversiju skaits permutācijā title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversijas permutācijā title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inversijas permutācijā title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversijas permutācijā title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Tagad mēs iegūstam:

Tādējādi mums ir formula x kārtas matricas determinanta aprēķināšanai:

Trešās kārtas matricas atrašana, izmantojot trijstūra likumu (Sarrus likums)

Kā minēts iepriekš, 3. kārtas determinanta elementi atrodas trīs rindās un trīs kolonnās. Ja ievadāt vispārīgā elementa apzīmējumu, tad pirmais elements apzīmē rindas numuru, bet otrais elements no indeksiem apzīmē kolonnas numuru. Ir determinanta galvenā (elementi) un sekundārā (elementi) diagonāles. Labajā pusē esošos terminus sauc par determinanta terminiem).

Redzams, ka katrs determinanta termins ir diagrammā ar tikai vienu elementu katrā rindā un katrā kolonnā.

Determinantu var aprēķināt, izmantojot taisnstūra likumu, kas ir attēlots diagrammas veidā. Sarkanā krāsā ir izcelti determinanta termini no galvenās diagonāles elementiem, kā arī termini no elementiem, kas atrodas virsotnē trijstūriem, kuriem viena mala ir paralēla galvenajai diagonālei (kreisā diagramma), ņemot vērā zīmi .

Ar zīmi tiek ņemti termini ar zilām bultiņām no sānu diagonāles elementiem, kā arī no elementiem, kas atrodas trijstūra virsotnēs, kuru malas ir paralēlas sānu diagonālei (labā diagramma).

Izmantojot šādu piemēru, mēs uzzināsim, kā aprēķināt trešās kārtas kvadrātveida matricas determinantu.

Piemērs

Uzdevums

Aprēķiniet trešās kārtas matricas determinantu:

Risinājums

Šajā piemērā:

Mēs aprēķinām determinantu, izmantojot iepriekš apspriesto formulu vai shēmu:

Atbilde

Trešās kārtas matricas determinants =

Trešās kārtas matricas determinantu pamatīpašības

Pamatojoties uz iepriekšējām definīcijām un formulām, mēs apsvērsim galveno matricas determinanta īpašības.

1. Aizstājot atbilstošās rindas un kolonnas, determinanta lielums nemainīsies (šādu aizstāšanu sauc par transponēšanu).

Izmantojot piemēru, mēs pārliecināsimies, ka matricas determinants ir vienāds ar transponētās matricas determinantu:

Atcerēsimies determinanta aprēķināšanas formulu:

Transponē matricu:

Mēs aprēķinām transponētās matricas determinantu:

Mēs esam pārliecinājušies, ka transportētās matricas determinants ir vienāds ar sākotnējo matricu, kas norāda uz pareizo risinājumu.

2. Determinanta zīme mainīsies uz pretējo, ja tiks apmainītas kādas divas tā kolonnas vai divas rindas.

Apskatīsim piemēru:

Dotas divas trešās kārtas matricas (x):

Ir jāparāda, ka šo matricu determinanti ir pretēji.

Risinājums

Rindas matricā un matricā ir mainījušās (trešā no pirmās un no pirmās uz trešo). Saskaņā ar otro īpašību divu matricu determinantiem jāatšķiras pēc zīmes. Tas ir, vienai matricai ir pozitīva zīme, bet otrai - negatīva zīme. Pārbaudīsim šo īpašību, izmantojot formulu, lai aprēķinātu determinantu.

Īpašums ir patiess, jo .

3. Determinants ir vienāds ar nulli, ja tam ir vienādi atbilstošie elementi divās rindās (kolonnās). Lai determinantam būtu identiski pirmās un otrās kolonnas elementi:

Apmainot identiskas kolonnas, mēs saskaņā ar 2. rekvizītu iegūstam jaunu determinantu: = . No otras puses, jaunais determinants sakrīt ar sākotnējo, jo elementiem ir vienādas atbildes, tas ir, = . No šīm vienādībām mēs iegūstam: = .

4. Determinants ir vienāds ar nulli, ja visi vienas rindas (kolonnas) elementi ir nulles. Šis apgalvojums izriet no fakta, ka katram determinanta vārdam saskaņā ar formulu (1) ir viens, un tikai viens elements no katras rindas (kolonnas), kurā ir tikai nulles.

Apskatīsim piemēru:

Parādīsim, ka matricas determinants ir vienāds ar nulli:

Mūsu matricai ir divas identiskas kolonnas (otrā un trešā), tāpēc, pamatojoties uz šo īpašību, determinantam ir jābūt vienādam ar nulli. Pārbaudīsim:

Patiešām, matricas ar divām identiskām kolonnām determinants ir vienāds ar nulli.

5. Pirmās rindas (kolonnas) elementu kopējo faktoru var izņemt no noteicošās zīmes:

6. Ja determinanta vienas rindas vai vienas kolonnas elementi ir proporcionāli otras rindas (kolonnas) atbilstošajiem elementiem, tad šāds determinants ir vienāds ar nulli.

Patiešām, pēc 5. rekvizīta proporcionalitātes koeficientu var izņemt no determinanta zīmes un pēc tam izmantot īpašību 3.

7. Ja katrs no determinanta rindu (kolonnu) elementiem ir divu terminu summa, tad šo determinantu var uzrādīt kā atbilstošo determinantu summu:

Lai pārbaudītu, pietiek uzrakstīt izvērstā formā atbilstoši (1) determinantam, kas atrodas vienādības kreisajā pusē, pēc tam atsevišķi sagrupēt terminus, kas satur elementus un . Katra no iegūtajām terminu grupām būs attiecīgi , pirmais un otrais determinants vienādības labajā pusē.

8. Definīcijas vērtības nemainīsies, ja vienas rindas vai kolonnas elementam tiks pievienoti atbilstošie otrās rindas (kolonnas) elementi, kas reizināti ar to pašu skaitli:

Šo vienādību iegūst, pamatojoties uz 6. un 7. īpašībām.

9. Matricas determinants ir vienāds ar jebkuras rindas vai kolonnas elementu un to algebrisko komplementu reizinājumu summu.

Šeit ar matricas elementa algebrisko papildinājumu. Izmantojot šo īpašību, jūs varat aprēķināt ne tikai trešās kārtas matricas, bet arī augstākas kārtas matricas (x vai x). Citiem vārdiem sakot, šī ir atkārtota formula, kas nepieciešama, lai aprēķinātu jebkuras kārtas matricas determinantu. . Atcerieties to, jo to bieži izmanto praksē.

Ir vērts teikt, ka, izmantojot devīto īpašību, jūs varat aprēķināt ne tikai ceturtās, bet arī augstākas kārtas matricu determinantus. Tomēr šajā gadījumā jums ir jāveic daudz skaitļošanas operāciju un jābūt uzmanīgiem, jo mazākās kļūdas zīmēs novedīs pie nepareiza lēmuma. Visērtāk ir atrisināt augstākas kārtas matricas, izmantojot Gausa metodi, un par to mēs runāsim vēlāk.

10. Tādas pašas kārtas matricu reizinājuma determinants ir vienāds ar to determinantu reizinājumu.

Apskatīsim piemēru:

Piemērs

Uzdevums

Pārliecinieties, ka divu matricu determinants un ir vienāds ar to determinantu reizinājumu. Tiek dotas divas matricas:

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrodam divu matricu determinantu reizinājumu un .

Tagad sareizināsim abas matricas un tādējādi aprēķināsim determinantu:

Atbilde

Mēs par to pārliecinājāmies

Matricas determinanta aprēķināšana, izmantojot Gausa metodi

Matricas determinants atjaunināts: 2019. gada 22. novembrī: Zinātniskie raksti.Ru

Citas īpašības ir saistītas ar minora un algebriskā komplementa jēdzieniem

Nepilngadīga elementu sauc par determinantu, kas sastāv no elementiem, kas paliek pēc rindas un kolonnas, kuru krustpunktā šis elements atrodas, izsvītrošanas. Kārtības noteicēja nelielajam elementam ir kārtība . Mēs to apzīmēsim ar .

1. piemērs.Ļaujiet , Tad .

Šo minoru iegūst no A, nosvītrojot otro rindu un trešo kolonnu.

Algebriskais papildinājums elementu sauc par atbilstošo minoru, kas reizināts ar , t.i. , kur ir rindas un kolonnas numurs, kuras krustpunktā atrodas šis elements.

VIII.(Determinanta sadalīšana noteiktas virknes elementos). Determinants ir vienāds ar noteiktas rindas elementu un tiem atbilstošo algebrisko komplementu reizinājumu summu.

2. piemērs.Ļaujiet , Tad

3. piemērs. Atradīsim matricas determinantu , sadalot to pirmās rindas elementos.

Formāli šī teorēma un citas determinantu īpašības ir piemērojamas tikai matricu determinantiem, kas nav augstāki par trešo kārtu, jo mēs neesam aplūkojuši citus determinantus. Tālāk sniegtā definīcija ļaus mums paplašināt šīs īpašības uz jebkuras kārtas noteicošajiem faktoriem.

Matricas determinants pasūtījums ir skaitlis, ko aprēķina, secīgi piemērojot paplašināšanas teorēmu un citas determinantu īpašības.

Varat pārbaudīt, vai aprēķinu rezultāts nav atkarīgs no secības, kādā tiek lietotas iepriekš minētās īpašības un kurām rindām un kolonnām. Izmantojot šo definīciju, determinants tiek atrasts unikāli.

Lai gan šī definīcija nesatur skaidru formulu determinanta atrašanai, tā ļauj to atrast, reducējot to uz zemākas kārtas matricu determinantiem. Šādas definīcijas sauc atkārtojas.

4. piemērs. Aprēķiniet determinantu:

Lai gan faktorizācijas teorēmu var piemērot jebkurai dotās matricas rindai vai kolonnai, mazāk aprēķinu tiek iegūts, faktorējot kolonnu, kurā ir pēc iespējas vairāk nulles.

Tā kā matricā nav nulles elementu, mēs tos iegūstam, izmantojot īpašību VII. Reiziniet pirmo rindu secīgi ar skaitļiem un pievienojiet to rindām un iegūstiet:

Izvērsīsim iegūto determinantu pirmajā kolonnā un iegūstam:

jo determinants satur divas proporcionālas kolonnas.

Daži matricu veidi un to noteicošie faktori

Tiek izsaukta kvadrātveida matrica, kurā ir nulle elementi zem vai virs galvenās diagonāles (). trīsstūrveida.

To shematiskā struktūra attiecīgi izskatās šādi: vai

Matricas izmanto matemātikā, lai kompakti rakstītu lineāro algebrisko vai diferenciālvienādojumu sistēmas. Šajā gadījumā matricas rindu skaits atbilst vienādojumu skaitam, bet kolonnu skaits - nezināmo. Rezultātā lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana tiek reducēta līdz operācijām ar matricām.

Matrica ir uzrakstīta kā gredzena vai lauka elementu taisnstūra tabula (piemēram, veseli skaitļi, kompleksie vai reālie skaitļi). Tā ir rindu un kolonnu kolekcija, kuras krustpunktā atrodas tās elementi. Matricas lielumu nosaka rindu un kolonnu skaits.

Jebkuras matricas svarīga vērtība ir tās determinants, kas tiek aprēķināts, izmantojot noteiktu formulu.

Lai aprēķinātu tās determinantu, ar matricu ir manuāli jāveic vairākas darbības. Determinants var būt pozitīvs vai negatīvs vai vienāds ar nulli.

Lai pārbaudītu matricas determinanta aprēķinus, varat izmantot mūsu tiešsaistes kalkulatoru. Tiešsaistes kalkulators uzreiz aprēķinās matricas noteicošo faktoru un sniegs precīzu vērtību.

Matricas determinants ir sava veida matricas raksturlielums, vai drīzāk to var izmantot, lai noteiktu, vai atbilstošajai vienādojumu sistēmai ir risinājums. Matricas determinants tiek plaši izmantots zinātnē, piemēram, fizikā, ar kuras palīdzību tiek aprēķināta daudzu lielumu fiziskā nozīme.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana

Turklāt, izmantojot mūsu kalkulatoru, jūs varat atrisināt lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE).

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ir viena no izplatītākajām lineārās algebras problēmām. SLAE un to risināšanas metodes ir daudzu lietoto jomu pamatā, tostarp ekonometrija un lineārā programmēšana.

Bezmaksas tiešsaistes kalkulators

Mūsu bezmaksas risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības vienādojumus tiešsaistē. Viss, kas jums jādara, ir vienkārši ievadīt savus datus kalkulatorā. Mūsu vietnē varat arī noskatīties video instrukcijas un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu. Un, ja jums joprojām ir jautājumi, varat tos uzdot mūsu VKontakte grupā http://vk.com/pocketteacher.

Tālāk mēs pārejam pie determinanta īpašībām, kuras formulēsim teorēmu veidā bez pierādījumiem. Šeit mēs iegūsim metodi determinanta aprēķināšanai, izvēršot to rindas vai kolonnas elementos. Šī metode ļauj samazināt n kārtas matricas determinanta aprēķinu par n līdz 3. kārtas matricu determinantu aprēķiniem par 3 vai mazāk. Noteikti parādīsim risinājumus vairākiem piemēriem.

Noslēgumā mēs pievērsīsimies determinanta aprēķināšanai, izmantojot Gausa metodi. Šī metode ir piemērota, lai atrastu determinantu vērtības matricām, kuru secība ir lielāka par 3 x 3, jo tā prasa mazāku skaitļošanas piepūli. Apskatīsim arī piemēru risinājumus.

Lapas navigācija.

Matricas determinanta noteikšana, matricas determinanta aprēķināšana pēc definīcijas.

Atcerēsimies dažus palīgjēdzienus.

Definīcija.

Kārtības n permutācija Tiek izsaukta sakārtota skaitļu kopa, kas sastāv no n elementiem.

Kopai, kurā ir n elementi, ir n!

(n faktoriālas) permutācijas n kārtībā. Permutācijas atšķiras viena no otras tikai elementu parādīšanās secībā. ):

Definīcija.

Piemēram, apsveriet kopu, kas sastāv no trim skaitļiem: . Pierakstīsim visas permutācijas (kopā ir sešas, kopš Ar inversiju n kārtas permutācijā

Tiek izsaukts jebkurš indeksu p un q pāris, kuram permutācijas p-tais elements ir lielāks par q-to.

Iepriekšējā piemērā permutācijas 4, 9, 7 apgrieztā vērtība ir pāris p=2, q=3, jo otrais permutācijas elements ir vienāds ar 9 un tas ir lielāks par trešo, vienāds ar 7. Permutācijas 9, 7, 4 inversija būs trīs pāri: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) un p=2, q=3 (7>4).

Mūs vairāk interesēs inversiju skaits permutācijā, nevis pati inversija.

Definīcija.

Matricas determinantsĻaut būt kvadrātveida matricai n pēc n pār reālo (vai komplekso) skaitļu lauku. Ļaut ir visu kopas n kārtas permutāciju kopa. Komplektā ietilpst n! .

permutācijas. Apzīmēsim kopas k-to permutāciju kā , bet inversiju skaitu k-tajā permutācijā kā .

Matricas A determinants parasti tiek apzīmēts kā , un tiek izmantots arī det(A). Jūs varat arī dzirdēt determinantu, ko sauc par determinantu.

Tātad, .

No tā ir skaidrs, ka pirmās kārtas matricas determinants ir šīs matricas elements.

Otrās kārtas kvadrātmatricas determinanta aprēķināšana - formula un piemērs.

apmēram 2 uz 2 kopumā.

Šajā gadījumā n=2, tātad n!=2!=2 .

Mums ir

Tādējādi mēs esam ieguvuši formulu, lai aprēķinātu matricas determinanta kārtu 2 ar 2, tai ir forma .

Piemērs.

pasūtījums.

Risinājums.

Mūsu piemērā. Mēs izmantojam iegūto formulu :

Trešās kārtas kvadrātmatricas determinanta aprēķināšana - formula un piemērs.

Atradīsim kvadrātmatricas determinantu apmēram 3 uz 3 kopumā.

Šajā gadījumā n=3, tātad n!=3!=6.

Sakārtosim tabulas veidā nepieciešamos datus formulas pielietošanai .

Mums ir

Tādējādi mēs esam ieguvuši formulu, lai aprēķinātu matricas determinanta kārtu no 3 līdz 3, tai ir forma

Līdzīgi varat iegūt formulas, lai aprēķinātu determinantus matricām, kuru secība ir 4 reize 4, 5 reize 5 un augstāka. Tie izskatīsies ļoti apjomīgi.

Piemērs.

Aprēķiniet kvadrātveida matricas determinantu apmēram 3 pa 3.

Risinājums.

Mūsu piemērā

Mēs izmantojam iegūto formulu, lai aprēķinātu trešās kārtas matricas determinantu:

Ļoti bieži tiek izmantotas otrās un trešās kārtas kvadrātmatricu determinantu aprēķināšanas formulas, tāpēc iesakām tās atcerēties.

Matricas determinanta īpašības, aprēķinot matricas determinantu, izmantojot īpašības.

Pamatojoties uz norādīto definīciju, ir taisnība: matricas determinanta īpašības.

Matricas A determinants ir vienāds ar transponētās matricas A T determinantu, tas ir, .

Piemērs.

Pārliecinieties, ka matricas determinants ir vienāds ar transponētās matricas determinantu.

Risinājums.

Izmantosim formulu, lai aprēķinātu matricas determinantu 3x3:

Transponēt matricu A:

Aprēķināsim transponētās matricas determinantu:

Patiešām, transponētās matricas determinants ir vienāds ar sākotnējās matricas determinantu.

Ja kvadrātveida matricā visi elementi vismaz vienā rindā (vienā no kolonnām) ir nulle, šādas matricas determinants ir vienāds ar nulli.

Piemērs.

Pārbaudiet, vai matricas determinants secība 3 reiz 3 ir nulle.

Risinājums.

Patiešām, matricas ar nulles kolonnu determinants ir vienāds ar nulli.

Ja kvadrātmatricā pārkārtojat jebkuras divas rindas (kolonnas), tad iegūtās matricas determinants būs pretējs sākotnējai (tas ir, zīme mainīsies).

Piemērs.

Dotas divas kvadrātveida matricas 3x3 Un . Parādiet, ka to noteicošie faktori ir pretēji.

Risinājums.

Matrica B iegūst no matricas A, aizstājot trešo rindu ar pirmo, bet pirmo ar trešo. Saskaņā ar aplūkoto īpašību šādu matricu determinantiem ir jāatšķiras pēc zīmes. Pārbaudīsim to, aprēķinot determinantus, izmantojot labi zināmo formulu.

Tiešām, .

Ja kvadrātmatricā vismaz divas rindas (divas kolonnas) ir vienādas, tad tās determinants ir vienāds ar nulli.

Piemērs.

Parādiet, ka matricas determinants vienāds ar nulli.

Risinājums.

Šajā matricā otrā un trešā kolonna ir vienādas, tāpēc saskaņā ar aplūkoto īpašību tās determinantam jābūt vienādam ar nulli. Pārbaudīsim to.

Faktiski matricas ar divām identiskām kolonnām determinants ir nulle.

Ja kvadrātmatricā visi jebkuras rindas (kolonnas) elementi tiek reizināti ar noteiktu skaitli k, tad iegūtās matricas determinants būs vienāds ar sākotnējās matricas determinantu, kas reizināts ar k. Piemēram,

Piemērs.

Pierādīt, ka matricas determinants vienāds ar trīskāršu matricas determinantu .

Risinājums.

Matricas B pirmās kolonnas elementus iegūst no atbilstošajiem matricas A pirmās kolonnas elementiem, reizinot ar 3. Tad, ņemot vērā aplūkoto īpašumu, vienlīdzībai ir jābūt spēkā. Pārbaudīsim to, aprēķinot matricu A un B determinantus.

Tāpēc tas bija jāpierāda.

PIEZĪME.

Nejauciet un nesajauciet matricas un determinanta jēdzienus! Aplūkotā matricas determinanta īpašība un matricas reizināšanas ar skaitli ne tuvu nav viens un tas pats.
, Bet .

Ja kvadrātmatricas jebkuras rindas (kolonnas) visi elementi attēlo s vārdu summu (s ir naturāls skaitlis, kas lielāks par vienu), tad šādas matricas determinants būs vienāds ar iegūto matricu s determinantu summu. no sākotnējā, ja rindas (kolonnas) elementi ir: atstāj pa vienam terminam. Piemēram,

Piemērs.

Pierādīt, ka matricas determinants ir vienāds ar matricu determinantu summu .

Risinājums.

Mūsu piemērā , tāpēc matricas determinanta aplūkotās īpašības dēļ ir jāizpilda vienādība . Pārbaudīsim to, aprēķinot atbilstošos matricu determinantus no 2 līdz 2, izmantojot formulu .

No iegūtajiem rezultātiem ir skaidrs, ka . Tas pabeidz pierādījumu.

Ja citas rindas (kolonnas) atbilstošos elementus pieskaita noteiktas matricas rindas (kolonnas) elementiem, reizinot ar patvaļīgu skaitli k, tad iegūtās matricas determinants būs vienāds ar sākotnējās matricas determinantu. .

Piemērs.

Pārliecinieties, ka, ja uz matricas trešās kolonnas elementiem pievieno šīs matricas otrās kolonnas atbilstošos elementus, kas reizināti ar (-2), un pievieno atbilstošos matricas pirmās kolonnas elementus, kas reizināti ar patvaļīgu reālo skaitli, tad iegūtās matricas determinants būs vienāds ar sākotnējās matricas determinants.

Risinājums.

Ja sāksim no determinanta aplūkotās īpašības, tad matricas determinants, kas iegūts pēc visām uzdevumā norādītajām transformācijām, būs vienāds ar matricas A determinantu.

Vispirms aprēķināsim sākotnējās matricas A determinantu:

Tagad veiksim nepieciešamās matricas A transformācijas.

Matricas trešās kolonnas elementiem pievienosim atbilstošos matricas otrās kolonnas elementus, iepriekš tos reizinot ar (-2). Pēc tam matricai būs šāda forma:

Iegūtās matricas trešās kolonnas elementiem pievienojam atbilstošos pirmās kolonnas elementus, reizinot ar:

Aprēķināsim iegūtās matricas determinantu un pārliecināsimies, ka tas ir vienāds ar matricas A determinantu, tas ir, -24:

Kvadrātveida matricas determinants ir vienāds ar jebkuras rindas (kolonnas) elementu reizinājumu summu pēc to algebriskie papildinājumi.

Šeit ir matricas elementa algebriskais papildinājums .

Šī īpašība ļauj aprēķināt determinantus matricām, kuru kārta ir lielāka par 3 reizi 3, reducējot tos uz vairāku determinantu summu matricām, kuru kārta ir par vienu zemāka. Citiem vārdiem sakot, šī ir atkārtota formula jebkuras kārtas kvadrātveida matricas determinanta aprēķināšanai. Mēs iesakām to atcerēties, jo tas ir diezgan bieži lietojams.

Apskatīsim dažus piemērus.

Piemērs.

apmēram 4 reiz 4, to paplašinot

pēc 3. rindas elementiem,
pēc 2. kolonnas elementiem.

Risinājums.

Mēs izmantojam formulu determinanta sadalīšanai 3. rindas elementos

Mums ir

Tātad problēma atrast determinantu matricai ar kārtu 4 reizi 4 tika samazināta līdz trīs determinantu aprēķināšanai matricām, kuru secība ir 3 reizi 3:

Aizvietojot iegūtās vērtības, mēs nonākam pie rezultāta:

Mēs izmantojam formulu determinanta sadalīšanai 2. kolonnas elementos

un mēs rīkojamies tāpat.

Mēs sīkāk neaprakstīsim trešās kārtas matricu determinantu aprēķinus.

Piemērs.

Aprēķināt matricas determinantu apmēram 4 pa 4.

Risinājums.

Matricas determinantu var izvērst jebkuras kolonnas vai jebkuras rindas elementos, taču izdevīgāk ir izvēlēties rindu vai kolonnu, kurā ir vislielākais nulles elementu skaits, jo tas palīdzēs izvairīties no liekiem aprēķiniem. Izvērsīsim determinantu pirmās rindas elementos:

Aprēķināsim iegūtos determinantus matricām ar kārtu 3 līdz 3, izmantojot mums zināmo formulu:

Aizstājiet rezultātus un iegūstiet vēlamo vērtību

Piemērs.

Aprēķināt matricas determinantu apmēram 5 uz 5.

Risinājums.

Matricas ceturtajā rindā ir lielākais nulles elementu skaits starp visām rindām un kolonnām, tāpēc matricas determinantu ieteicams paplašināt precīzi atbilstoši ceturtās rindas elementiem, jo šajā gadījumā mums būs nepieciešams mazāk aprēķinu.

Iegūtie matricu determinanti 4x4 secībā tika atrasti iepriekšējos piemēros, tāpēc izmantosim gatavos rezultātus:

Piemērs.

Aprēķināt matricas determinantu apmēram 7 uz 7.

Risinājums.

Nevajadzētu uzreiz steigties kārtot noteicēju jebkuras rindas vai kolonnas elementos. Uzmanīgi aplūkojot matricu, pamanīsit, ka matricas sestās rindas elementus var iegūt, reizinot atbilstošos otrās rindas elementus ar divi. Tas ir, ja atbilstošos otrās rindas elementus pievieno sestās rindas elementiem, reizinot ar (-2), tad determinants nemainīsies septītās īpašības dēļ, un iegūtās matricas sestā rinda sastāvēs no nullēm. Šādas matricas determinants ir vienāds ar nulli ar otro īpašību.

Atbilde:

Jāpiebilst, ka aplūkotā īpašība ļauj aprēķināt jebkuras kārtas matricu determinantus, taču ir jāveic daudz skaitļošanas operāciju. Vairumā gadījumu izdevīgāk ir atrast matricu, kas ir augstākas par trešo, determinantu, izmantojot Gausa metodi, ko mēs aplūkosim tālāk.

Kvadrātmatricas jebkuras rindas (kolonnas) elementu reizinājumu summa ar citas rindas (kolonnas) atbilstošo elementu algebriskajiem papildinājumiem ir vienāda ar nulli.

Piemērs.

Parādiet, ka matricas trešās kolonnas elementu reizinājumu summa uz pirmās kolonnas atbilstošo elementu algebriskajiem papildinājumiem ir vienāds ar nulli.

Risinājums.

Tādas pašas kārtas kvadrātveida matricu reizinājuma determinants ir vienāds ar to determinantu reizinājumu, tas ir, , kur m ir naturāls skaitlis, kas lielāks par vienu, A k, k=1,2,...,m ir vienādas kārtas kvadrātveida matricas.

Piemērs.

Pārbaudiet, vai divu matricu reizinājuma determinants un ir vienāds ar to noteicošo faktoru reizinājumu.

Risinājums.

Vispirms atradīsim matricu A un B determinantu reizinājumu:

Tagad veiksim matricas reizināšanu un aprēķināsim iegūtās matricas determinantu:

Tādējādi , ko vajadzēja parādīt.

Matricas determinanta aprēķins pēc Gausa metodes.

Ļaujiet mums aprakstīt šīs metodes būtību. Izmantojot elementārās transformācijas, matrica A tiek reducēta līdz tādai formai, ka pirmajā kolonnā visi elementi, izņemot tos, kļūst par nulli (to vienmēr var izdarīt, ja matricas A determinants atšķiras no nulles). Mēs aprakstīsim šo procedūru nedaudz vēlāk, bet tagad mēs paskaidrosim, kāpēc tas tiek darīts. Nulles elementus iegūst, lai iegūtu visvienkāršāko determinanta izplešanos pār pirmās kolonnas elementiem. Pēc šādas matricas A transformācijas, ņemot vērā astoto īpašību un, iegūstam

Kur - nepilngadīgais (n-1) pasūtījums, kas iegūts no matricas A, dzēšot tās pirmās rindas un pirmās kolonnas elementus.

Ar matricu, kurai atbilst minor, tiek veikta tā pati procedūra, lai pirmajā kolonnā iegūtu nulles elementus. Un tā tālāk līdz determinanta galīgajam aprēķinam.

Tagad atliek atbildēt uz jautājumu: “Kā iegūt nulles elementus pirmajā kolonnā”?

Aprakstīsim darbību algoritmu.

Ja , tad atbilstošos k-ās rindas elementus pievieno matricas pirmās rindas elementiem, kurā . (Ja visi matricas A pirmās kolonnas elementi bez izņēmuma ir nulle, tad tā determinants pēc otrās īpašības ir vienāds ar nulli un Gausa metode nav nepieciešama). Pēc šādas transformācijas “jaunais” elements nebūs nulle. Septītās īpašības dēļ “jaunās” matricas determinants būs vienāds ar sākotnējās matricas determinantu.

Tagad mums ir matrica ar . Kad otrās rindas elementiem pievienojam atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar , trešās rindas elementiem - atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar . Un tā tālāk. Visbeidzot n-tās rindas elementiem pievienojam atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar . Tā rezultātā tiks izveidota transformēta matrica A, kuras pirmās kolonnas visi elementi, izņemot , būs nulle. Septītās īpašības dēļ iegūtās matricas determinants būs vienāds ar sākotnējās matricas determinantu.

Apskatīsim metodi, risinot piemēru, tas būs skaidrāks.

Piemērs.

Aprēķiniet determinantu matricai ar 5x5 .

Risinājums.

Izmantosim Gausa metodi. Pārveidosim matricu A tā, lai visi tās pirmās kolonnas elementi, izņemot , kļūtu par nullēm.

Tā kā elements sākotnēji ir , mēs pievienojam matricas pirmās rindas elementiem atbilstošos elementus, piemēram, otrās rindas elementus, jo:

Zīme "~" norāda uz līdzvērtību.

Tagad mēs pievienojam otrās rindas elementiem atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar , uz trešās rindas elementiem – atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar , un rīkojieties līdzīgi līdz sestajai rindai:

Mēs saņemam

Ar matricu Mēs veicam to pašu procedūru nulles elementu iegūšanai pirmajā kolonnā:

Tāpēc

Tagad mēs veicam transformācijas ar matricu :

komentēt.

Kādā matricas transformācijas posmā, izmantojot Gausa metodi, var rasties situācija, kad visi pēdējo dažu matricas rindu elementi kļūst par nulli. Tas norādīs, ka determinants ir vienāds ar nulli.

Apkopojiet.

Kvadrātmatricas, kuras elementi ir skaitļi, determinants ir skaitlis. Mēs apskatījām trīs veidus, kā aprēķināt determinantu:

caur matricas elementu kombināciju reizinājumu summu;
determinantam sadaloties matricas rindas vai kolonnas elementos;
reducējot matricu uz augšējo trīsstūrveida (Gausa metode).

Tika iegūtas formulas, lai aprēķinātu 2. kārtas matricu determinantus un 3. reizi 3.

Mēs esam pārbaudījuši matricas determinanta īpašības. Daži no tiem ļauj ātri saprast, ka noteicošais faktors ir nulle.

Aprēķinot determinantus matricām, kuru secība ir augstāka par 3 reizi 3, vēlams izmantot Gausa metodi: veikt matricas elementāras transformācijas un reducēt uz augšējo trīsstūrveida. Šādas matricas determinants ir vienāds ar visu elementu reizinājumu galvenajā diagonālē.

Atcerēsimies Laplasa teorēmu:
Laplasa teorēma:

Ļaujiet, lai k rindas (vai k kolonnas) būtu patvaļīgi izvēlētas n kārtas determinantā d. Tad visu izvēlētajās rindās ietverto k-tās kārtas nepilngadīgo un to algebrisko komplementu reizinājumu summa ir vienāda ar determinantu d.

Lai aprēķinātu determinantus, vispārīgā gadījumā k tiek pieņemts vienāds ar 1. Tas ir, n kārtas determinantā d rinda (vai kolonna) ir patvaļīgi izvēlēta. Tad visu atlasītajā rindā (vai kolonnā) ietverto elementu un to algebrisko komplementu reizinājumu summa ir vienāda ar determinantu d.

Piemērs:
Aprēķināt determinantu

Risinājums:

Atlasīsim patvaļīgu rindu vai kolonnu. Iemesla dēļ, kas kļūs acīmredzams nedaudz vēlāk, mēs ierobežosim savu izvēli ar trešo rindu vai ceturto kolonnu. Un apstāsimies pie trešās līnijas.

Izmantosim Laplasa teorēmu.

Atlasītās rindas pirmais elements ir 10, tas parādās trešajā rindā un pirmajā kolonnā. Aprēķināsim tam algebrisko papildinājumu, t.i. Atradīsim determinantu, kas iegūts, izsvītrojot kolonnu un rindu, uz kuras atrodas šis elements (10), un noskaidrosim zīmi.

"plus, ja visu rindu un kolonnu skaitļu summa, kurās atrodas mazais M, ir pāra, un mīnus, ja šī summa ir nepāra."
Un mēs paņēmām minoru, kas sastāv no viena atsevišķa elementa 10, kas atrodas trešās rindas pirmajā kolonnā.

Tātad:

Šīs summas ceturtais loceklis ir 0, tāpēc ir vērts izvēlēties rindas vai kolonnas ar maksimālo nulles elementu skaitu.

Atbilde: -1228

Piemērs:
Aprēķiniet determinantu:

Risinājums:
Atlasīsim pirmo kolonnu, jo... divi elementi tajā ir vienādi ar 0. Izvērsīsim determinantu pa pirmo kolonnu.

Mēs izvēršam katru no trešās kārtas determinantiem pirmajā otrajā rindā

Mēs izvēršam katru no otrās kārtas determinantiem pa pirmo kolonnu

Atbilde: 48
komentēt: risinot šo uzdevumu, netika izmantotas 2. un 3. kārtas determinantu aprēķināšanas formulas. Tika izmantota tikai rindu vai kolonnu sadalīšana. Kas noved pie determinantu secības samazināšanās.