Y x 2 एक द्विघात फलन है। जिया

इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक नाम दें
y-अक्ष के सापेक्ष:
य
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
एक्स

ग्राफ से पता चलता है कि ओए अक्ष परवलय को सममित में विभाजित करता है
बाएँ और दाएँ भाग (परवलय शाखाएँ), निर्देशांक वाले बिंदु पर (0; 0)
(परवलय का शीर्ष) फलन x 2 का मान सबसे छोटा है।
यह कार्य सर्वाधिक महत्वपूर्ण नहीं है. परवलय का शीर्ष है
सममिति अक्ष ओए के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
x ∈ (– ∞; 0 ] के लिए ग्राफ़ के अनुभाग में फ़ंक्शन घटता है,
और x ∈ [ 0 के लिए ; + ∞) बढ़ जाता है।

फ़ंक्शन y = x 2 + 3 का ग्राफ़ एक ही परवलय है, लेकिन यह है
शीर्ष निर्देशांक (0; 3) वाले बिंदु पर है।

फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें
y = 5x + 4 यदि:
एक्स=-1
y = - 1 y = 19
x=-2
y=-6
y=29
एक्स=3
एक्स=5

निर्दिष्ट करें
फ़ंक्शन डोमेन:
y = 16 – 5x
10
य
एक्स
एक्स - कोई भी
संख्या
x≠0
1
य
एक्स 7
4x 1
य
5
x≠7

कार्यों का ग्राफ़ बनाएं:
1).U=2X+3
2).U=-2X-1;
3).

10.

गणितीय
अध्ययन
विषय: फलन y = x2

11.

निर्माण
अनुसूची
कार्य
y = x2

12.

परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिदम..
1.X और Y मानों की तालिका भरें।
2. निर्देशांक तल में बिंदु अंकित करें,
जिनके निर्देशांक तालिका में दर्शाए गए हैं।
3.इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़ें।

13.

अविश्वसनीय
लेकिन यह एक सच्चाई है!
परबोला दर्रा

14.

क्या आप जानते हैं?
नीचे फेंके गए पत्थर का प्रक्षेप पथ
क्षितिज की ओर कोण, साथ उड़ जाएगा
परवलय.

15. फलन y = x2 के गुण

*
कार्य गुण
आप=
2
एक्स

16.

*परिभाषा का दायरा
कार्य डी(एफ):
x - कोई भी संख्या।
*मूल्य पहुंच
कार्य ई(एफ):
y ≥ 0 के सभी मान.

17.

*अगर
x = 0, फिर y = 0.
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
से गुजरता है
निर्देशांक की उत्पत्ति.

18.

द्वितीय
मैं
*अगर
एक्स ≠ 0,
फिर y > 0.
सभी ग्राफ बिंदु
बिंदु के अलावा अन्य कार्य
(0; 0), स्थित है
एक्स अक्ष के ऊपर.

19.

*विलोम
x मान
एक से मेल खाता है
और y के लिए समान मान.
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
सममित
अक्ष के सापेक्ष
तालमेल

20.

ज्यामितिक
परवलय के गुण
*समरूपता है
*अक्ष परवलय को काटता है
दो भाग: शाखाएँ
परवलय
*बिंदु (0; 0) – शीर्ष
परवलय
*परवलय अक्ष को स्पर्श करता है
सूच्याकार आकृति का भुज
धुरी
समरूपता

21.

y खोजें यदि:
"ज्ञान एक उपकरण है,
लक्ष्य नहीं"
एल एन टॉल्स्टॉय
एक्स = 1.4
- 1,4
y = 1.96
एक्स = 2.6
-2,6
y = 6.76
एक्स = 3.1
- 3,1
वाई = 9.61
x खोजें यदि:
y=6
y=4
x ≈ 2.5 x ≈ -2.5
x=2 x=-2

22.

एक में निर्माण करें
निर्देशांक तरीका
दो कार्यों के ग्राफ़
1. मामला:
y=x2
Y=x+1
2. मामला:
Y=x2
आप=-1

23.

खोजो
एकाधिक अर्थ
एक्स, जिसके लिए
फ़ंक्शन मान:
4 से कम
4 से अधिक

24.

क्या फ़ंक्शन y = x2 का ग्राफ़ बिंदु से संबंधित है:
पी(-18; 324)
आर(-99; -9081)
अंतर्गत आता है
नहीं है
एस(17; 279)
नहीं है
गणना किए बिना, निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा
बिंदु फ़ंक्शन y = x2 के ग्राफ़ से संबंधित नहीं हैं:
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
A के किन मानों पर बिंदु P(a; 64) फ़ंक्शन y = x2 के ग्राफ़ से संबंधित है।
ए = 8; ए = - 8
(16; 0)

25.

समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम
रेखांकन
1. एक सिस्टम में निर्माण करें
कार्यों के ग्राफ़िक्स के निर्देशांक खड़े हैं
समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर।
2. प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज खोजें
रेखांकन. ये जड़ें होंगी
समीकरण
3. यदि प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, तो
समीकरण की कोई जड़ नहीं है

पहले, हमने अन्य कार्यों का अध्ययन किया, उदाहरण के लिए रैखिक, आइए हम इसके मानक रूप को याद करें:

इसलिए स्पष्ट है मूलभूत अंतर- एक रैखिक कार्य में एक्सपहली डिग्री में खड़ा है, और उसमें नई सुविधा, जिसका हम अध्ययन करना शुरू करते हैं, एक्सदूसरी शक्ति के लिए खड़ा है.

याद रखें कि एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, और फ़ंक्शन का ग्राफ़, जैसा कि हम देखेंगे, एक वक्र है जिसे परवलय कहा जाता है।

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि सूत्र कहां से आया। स्पष्टीकरण यह है: यदि हमें भुजा वाला एक वर्ग दिया गया है ए, तो हम इसके क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

यदि हम किसी वर्ग की भुजा की लंबाई बदल दें तो उसका क्षेत्रफल बदल जाएगा।

तो, यह एक कारण है कि फ़ंक्शन का अध्ययन क्यों किया जाता है

याद रखें कि वेरिएबल एक्स- यह एक स्वतंत्र चर, या भौतिक व्याख्या में तर्क है, उदाहरण के लिए, समय हो सकता है; इसके विपरीत, दूरी एक आश्रित चर है; यह समय पर निर्भर करता है। आश्रित चर या फलन एक चर है पर.

यह पत्राचार का नियम है, जिसके अनुसार प्रत्येक मान एक्सएक एकल मान निर्दिष्ट किया गया है पर.

किसी भी पत्राचार कानून को तर्क से कार्य तक विशिष्टता की आवश्यकता को पूरा करना चाहिए। भौतिक व्याख्या में, समय पर दूरी की निर्भरता के उदाहरण का उपयोग करके यह काफी स्पष्ट दिखता है: समय के प्रत्येक क्षण में हम शुरुआती बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं, और शुरुआत से 10 और 20 किलोमीटर दोनों होना असंभव है एक ही समय में यात्रा का समय t.

साथ ही, प्रत्येक फ़ंक्शन मान को कई तर्क मानों के साथ प्राप्त किया जा सकता है।

तो, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें एक तालिका बनाने की आवश्यकता है। फिर ग्राफ़ का उपयोग करके फ़ंक्शन और उसके गुणों का अध्ययन करें। लेकिन फ़ंक्शन के प्रकार के आधार पर ग्राफ़ बनाने से पहले भी, हम इसके गुणों के बारे में कुछ कह सकते हैं: यह स्पष्ट है परचूँकि, नकारात्मक मान नहीं ले सकते

तो, आइए एक तालिका बनाएं:

चावल। 1

ग्राफ़ से निम्नलिखित गुणों को नोट करना आसान है:

धुरी पर- यह ग्राफ की समरूपता का अक्ष है;

परवलय का शीर्ष बिंदु (0; 0) है;

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन केवल स्वीकार करता है नकारात्मक मान;

अंतराल में जहां फलन घटता है, और अंतराल पर जहां फलन बढ़ता है;

फ़ंक्शन शीर्ष पर अपना सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, ;

किसी फ़ंक्शन का कोई सबसे बड़ा मूल्य नहीं है;

उदाहरण 1

स्थिति:

समाधान:

तब से एक्सएक विशिष्ट अंतराल पर स्थिति में परिवर्तन से, हम फ़ंक्शन के बारे में कह सकते हैं कि यह बढ़ता है और अंतराल पर बदलता है। इस अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम मान होता है

चावल। 2. फलन का ग्राफ़ y = x 2 , x ∈

उदाहरण 2

स्थिति:सबसे बड़ा खोजें और सबसे छोटा मूल्यविशेषताएँ:

समाधान:

एक्सअंतराल पर परिवर्तन, जिसका अर्थ है परजबकि अंतराल पर घटता है और जबकि अंतराल पर बढ़ता है।

तो, परिवर्तन की सीमाएँ एक्स, और परिवर्तन की सीमाएँ पर, और, इसलिए, किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम दोनों होते हैं

चावल। 3. फलन का ग्राफ y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

आइए हम इस तथ्य को स्पष्ट करें कि एक ही फ़ंक्शन मान को कई तर्क मानों के साथ प्राप्त किया जा सकता है।

विषय पर पाठ: "फ़ंक्शन $y=x^2$ का ग्राफ़ और गुण। ग्राफ़ बनाने के उदाहरण"

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समारोहएक चर की दूसरे पर निर्भरता है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़- फ़ंक्शन का चित्रमय प्रतिनिधित्व।

कार्य गुण

• फ़ंक्शन डोमेन- वे सभी मान जो एक स्वतंत्र चर ले सकता है।
• फ़ंक्शन रेंज- वे सभी मान जो आश्रित चर ले सकते हैं।
• फ़ंक्शन शून्य - मानस्वतंत्र चर इस प्रकार है कि आश्रित चर 0 के बराबर है।
• न्यूनतम फ़ंक्शन मान– आश्रित चर का न्यूनतम मान.
• अधिकतम फ़ंक्शन मान– आश्रित चर का अधिकतम मान.

फ़ंक्शन के गुण $y=x^2$

आइए इस फ़ंक्शन के गुणों का वर्णन करें:

1. x एक स्वतंत्र चर है, y एक आश्रित चर है।

2. परिभाषा का क्षेत्र: यह स्पष्ट है कि तर्क (x) के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन (y) का मान होता है। तदनुसार, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है।

3. मानों की सीमा: y 0 से कम नहीं हो सकता, क्योंकि किसी भी संख्या का वर्ग एक धनात्मक संख्या है।

4. यदि x=0, तो y=0.

5. कृपया ध्यान दें कि तर्क के विपरीत मानों के लिए फ़ंक्शन समान मान लेता है। संख्याओं x = 1 और x = -1 की जोड़ी के लिए, फ़ंक्शन का मान 1 होगा, यानी। y = 1. संख्याओं की एक जोड़ी के लिए x = 2 और x = - 2; y = 4, आदि।
$y = x^2 =(-x)^2$.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=x^2$

आइए सूत्र y = x 2 को ध्यान से देखें और भविष्य के ग्राफ़ की अनुमानित उपस्थिति को शब्दों में वर्णित करने का प्रयास करें।

1. चूँकि y ≥ 0, संपूर्ण ग्राफ़ OX अक्ष के नीचे स्थित नहीं हो सकता।

2. ग्राफ ओए अक्ष के बारे में सममित है। हमें बस x के सकारात्मक मानों के लिए ग्राफ़ बनाना है और फिर इसे x के नकारात्मक मानों के लिए प्रतिबिंबित करना है।

आइए y के कई मान ज्ञात करें:

आइए इन बिंदुओं को आलेखित करें (चित्र 1 देखें)।

यदि हम उन्हें एक बिंदीदार रेखा से जोड़ने का प्रयास करते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1, तो कुछ फ़ंक्शन मान इन पंक्तियों पर नहीं पड़ेंगे, उदाहरण के लिए, बिंदु A (x = 0.5; y = 0.25) और B (x = 2.5; y = 6.25)। यहां तक ​​कि अगर हम बहुत सारे बिंदु बनाते हैं और उन्हें छोटे सीधे खंडों से जोड़ते हैं, तो हमेशा ऐसे y मान होंगे जो इन खंडों पर नहीं आते हैं। इसलिए, बिंदुओं को एक चिकनी घुमावदार रेखा से जोड़ा जाना चाहिए (चित्र 2 देखें)।

अब यह x के नकारात्मक मानों के लिए ग्राफ़ को प्रतिबिंबित करने के लिए बना हुआ है (चित्र 3 देखें)। ऐसे वक्र को परवलय कहते हैं। बिंदु O (0;0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है। सममित वक्रों को परवलय की शाखाएँ कहा जाता है।

उदाहरण

I. डिजाइनर को एक घर की दीवार के एक हिस्से को 2.7 मीटर की भुजा वाले वर्ग के आकार में पेंट करना होगा। दीवारों के लिए विशेष पेंट एक कैन प्रति 1 एम2 की दर से पैकेजिंग में बेचा जाता है। बिना कोई गणना किए, पता लगाएं कि आपको पेंट के कितने डिब्बे खरीदने की ज़रूरत है ताकि पेंटिंग के बाद कोई अतिरिक्त बंद डिब्बे न बचे।

समाधान:
1. आइए एक परवलय बनाएँ।
2. परवलय पर बिंदु A खोजें, जिसका निर्देशांक x=2.7 है (चित्र 4 देखें)।
3. हम देखते हैं कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन मान 7 से अधिक है, लेकिन 8 से कम है। इसका मतलब है कि डिजाइनर को कम से कम 8 डिब्बे पेंट की आवश्यकता होगी।

द्वितीय. फ़ंक्शन y = (x + 1) 2 का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए y के कई मान ज्ञात करें।

आइए इन बिंदुओं और ओए अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा x= -1 बनाएं। यह स्पष्ट है कि निर्मित बिंदु इस रेखा के सापेक्ष सममित हैं। परिणामस्वरूप, हमें वही परवलय मिलेगा, जो केवल OX अक्ष के अनुदिश बाईं ओर स्थानांतरित होगा (चित्र 5 देखें)।

परवलय का निर्माण कैसे करें? किसी द्विघात फलन को ग्राफ़ करने के कई तरीके हैं। उनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। आइए दो तरीकों पर विचार करें.

आइए y=x²+bx+c और y= -x²+bx+c के रूप का एक द्विघात फलन आलेखित करके प्रारंभ करें।

उदाहरण।

फ़ंक्शन y=x²+2x-3 का ग्राफ़ बनाएं.

समाधान:

y=x²+2x-3 एक द्विघात फलन है। ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1;-4) से हम परवलय y=x² का एक ग्राफ बनाते हैं (जैसे निर्देशांक की उत्पत्ति से। (0;0) के बजाय - शीर्ष (-1;-4)। (-1; से; -4) हम 1 इकाई से दाईं ओर जाते हैं और 1 इकाई से ऊपर, फिर 1 से बाएँ और 1 से ऊपर, फिर: 2 - दाएँ, 4 - ऊपर, 2 - बाएँ, 3 - 9 - ऊपर, 3 -; बाएं, 9 - ऊपर यदि ये 7 अंक पर्याप्त नहीं हैं, तो 4 दाईं ओर, 16 शीर्ष पर, आदि)।

द्विघात फलन y= -x²+bx+c का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। एक ग्राफ़ बनाने के लिए, हम शीर्ष के निर्देशांक देखते हैं और उससे एक परवलय y= -x² बनाते हैं।

उदाहरण।

फ़ंक्शन y= -x²+2x+8 का ग्राफ़ बनाएं.

समाधान:

y= -x²+2x+8 एक द्विघात फलन है। ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

ऊपर से हम एक परवलय बनाते हैं y= -x² (1 - दाहिनी ओर, 1- नीचे; 1 - बाएँ, 1 - नीचे; 2 - दाएँ, 4 - नीचे; 2 - बाएँ, 4 - नीचे, आदि):

यह विधि आपको शीघ्रता से एक परवलय बनाने की अनुमति देती है और यदि आप जानते हैं कि फ़ंक्शन y=x² और y= -x² को कैसे ग्राफ़ करना है तो इससे कोई कठिनाई नहीं होती है। हानि: यदि शीर्ष के निर्देशांक भिन्नात्मक संख्याएँ हैं, तो ग्राफ़ बनाना बहुत सुविधाजनक नहीं है। अगर आपको जानना है सटीक मानऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए, आपको समीकरण x²+bx+c=0 (या -x²+bx+c=0) को अतिरिक्त रूप से हल करना होगा, भले ही ये बिंदु सीधे ड्राइंग से निर्धारित किए जा सकते हों।

परवलय बनाने का दूसरा तरीका बिंदुओं के आधार पर है, अर्थात, आप ग्राफ़ पर कई बिंदु पा सकते हैं और उनके माध्यम से एक परवलय बना सकते हैं (यह ध्यान में रखते हुए कि रेखा x=xₒ इसकी समरूपता की धुरी है)। आमतौर पर, इस उद्देश्य के लिए, वे परवलय के शीर्ष, समन्वय अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु और 1-2 अतिरिक्त बिंदु लेते हैं।

फ़ंक्शन y=x²+5x+4 का एक ग्राफ़ बनाएं।

समाधान:

y=x²+5x+4 एक द्विघात फलन है। ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

अर्थात्, परवलय का शीर्ष बिंदु (-2.5; -2.25) है।

को हम ढूंढ रहे हैं। ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पर y=0: x²+5x+4=0. जड़ों द्विघात समीकरण x1=-1, x2=-4, यानी हमें ग्राफ़ पर दो बिंदु (-1; 0) और (-4; 0) मिले।

ओय अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर x=0: y=0²+5∙0+4=4. हमें बिंदु (0; 4) मिल गया।

ग्राफ़ को स्पष्ट करने के लिए, आप एक अतिरिक्त बिंदु पा सकते हैं। आइए x=1 लें, फिर y=1²+5∙1+4=10, यानी, ग्राफ़ पर एक और बिंदु (1; 10) है। हम इन बिंदुओं को निर्देशांक तल पर अंकित करते हैं। इसके शीर्ष से गुजरने वाली रेखा के सापेक्ष परवलय की समरूपता को ध्यान में रखते हुए, हम दो और बिंदु चिह्नित करते हैं: (-5; 6) और (-6; 10) और उनके माध्यम से एक परवलय बनाते हैं:

फ़ंक्शन y= -x²-3x का ग्राफ़ बनाएं.

समाधान:

y= -x²-3x एक द्विघात फलन है। ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1.5; 2.25) परवलय का पहला बिंदु है।

भुज अक्ष y=0 के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, अर्थात, हम समीकरण -x²-3x=0 को हल करते हैं। इसकी जड़ें x=0 और x=-3 हैं, यानी (0;0) और (-3;0) - ग्राफ़ पर दो और बिंदु। बिंदु (o; 0) कोटि अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु भी है।

x=1 y=-1²-3∙1=-4 पर, यानी (1; -4) प्लॉटिंग के लिए एक अतिरिक्त बिंदु है।

बिंदुओं से परवलय का निर्माण पहली विधि की तुलना में अधिक श्रम-गहन विधि है। यदि परवलय ऑक्स अक्ष को नहीं काटता है, तो अधिक अतिरिक्त बिंदुओं की आवश्यकता होगी।

y=ax²+bx+c रूप के द्विघात फलनों के ग्राफ़ का निर्माण जारी रखने से पहले, आइए हम ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करके फलनों के ग्राफ़ के निर्माण पर विचार करें। इन परिवर्तनों में से एक-समानांतर अनुवाद का उपयोग करके फॉर्म y=x²+c के फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाना भी सबसे सुविधाजनक है।

श्रेणी: |

आइए हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनें और भुज अक्ष पर तर्क के मानों को आलेखित करें एक्स, और कोर्डिनेट पर - फ़ंक्शन के मान वाई = एफ(एक्स).

फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनके भुज फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं।

दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ़ समतल के सभी बिंदुओं, निर्देशांकों का समुच्चय है एक्स, परजो रिश्ते को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स).

चित्र में. 45 और 46 फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाते हैं y = 2x + 1और y = x 2 - 2x.

कड़ाई से बोलते हुए, किसी को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और खींचे गए वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ़ का केवल अधिक या कम सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, संपूर्ण ग्राफ़ नहीं, बल्कि केवल उसका भाग जो समतल के अंतिम भागों में स्थित है)। हालाँकि, आगे हम आम तौर पर "ग्राफ़ स्केच" के बजाय "ग्राफ़" कहेंगे।

ग्राफ़ का उपयोग करके, आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, यदि बात एक्स = एफ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है वाई = एफ(एक्स), फिर संख्या ज्ञात करने के लिए एफ(ए)(अर्थात बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स = ए) तुम्हें यह करना चाहिए। यह भुज बिंदु के माध्यम से आवश्यक है एक्स = एकोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचिए; यह रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करेगी वाई = एफ(एक्स)एक बिंदु पर; इस बिंदु की कोटि, ग्राफ़ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगी एफ(ए)(चित्र 47)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) = एक्स 2 - 2एक्सग्राफ़ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, आदि पाते हैं।

एक फ़ंक्शन ग्राफ़ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। उदाहरण के लिए, चित्र के विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y = x 2 - 2xस्वीकार सकारात्मक मूल्यपर एक्स< 0 और कम से एक्स > 2, नकारात्मक - 0 पर< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xपर स्वीकार करता है एक्स = 1.

किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए एफ(एक्स)आपको समतल के सभी बिंदु, निर्देशांक खोजने होंगे एक्स,परजो समीकरण को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स). अधिकांश मामलों में, ऐसा करना असंभव है, क्योंकि ऐसे बिंदुओं की संख्या अनंत है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ लगभग - अधिक या कम सटीकता के साथ दर्शाया गया है। कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि सबसे सरल है। यह इस तथ्य में निहित है कि तर्क एक्समानों की एक सीमित संख्या दें - मान लें, x 1, x 2, x 3,..., x k और एक तालिका बनाएं जिसमें चयनित फ़ंक्शन मान शामिल हों।

तालिका इस प्रकार दिखती है:

ऐसी तालिका संकलित करके, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं वाई = एफ(एक्स). फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक अनुमानित दृश्य मिलता है वाई = एफ(एक्स).

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु आलेखन विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, इच्छित बिंदुओं के बीच ग्राफ का व्यवहार और लिए गए चरम बिंदुओं के बीच के खंड के बाहर उसका व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए वाई = एफ(एक्स)किसी ने तर्क और फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित की:

संबंधित पाँच बिंदु चित्र में दिखाए गए हैं। 48.

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? जब तक इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए अतिरिक्त विचार न हों, इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। भरोसेमंद।

हमारे कथन को प्रमाणित करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

.

गणना से पता चलता है कि बिंदु -2, -1, 0, 1, 2 पर इस फ़ंक्शन के मान उपरोक्त तालिका द्वारा सटीक रूप से वर्णित हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल भी सीधी रेखा नहीं है (यह चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक अन्य उदाहरण फ़ंक्शन होगा y = x + l + synπx;इसके अर्थ भी उपरोक्त तालिका में वर्णित हैं।

ये उदाहरण दिखाते हैं कि अपने "शुद्ध" रूप में कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आमतौर पर निम्नानुसार आगे बढ़ना होता है। सबसे पहले, हम इस फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन करते हैं, जिसकी सहायता से हम ग्राफ़ का एक स्केच बना सकते हैं। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करके (जिनकी पसंद फ़ंक्शन के स्थापित गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।

हम बाद में ग्राफ़ स्केच खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन के कुछ (सबसे सरल और सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले) गुणों को देखेंगे, लेकिन अब हम ग्राफ़ बनाने के लिए कुछ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों को देखेंगे।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = |f(x)|

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना अक्सर आवश्यक होता है वाई = |एफ(एक्स)|, कहाँ एफ(एक्स) -दिया गया कार्य. आइए हम आपको याद दिलाएं कि यह कैसे किया जाता है। परिभाषा से निरपेक्ष मूल्यसंख्याएँ लिखी जा सकती हैं

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =|f(x)|ग्राफ़, फ़ंक्शन से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स)इस प्रकार: फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सभी बिंदु वाई = एफ(एक्स), जिनके निर्देशांक गैर-नकारात्मक हैं, उन्हें अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदुओं के बजाय वाई = एफ(एक्स)नकारात्मक निर्देशांक होने पर, आपको फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए y = -f(x)(अर्थात् फ़ंक्शन के ग्राफ़ का भाग
वाई = एफ(एक्स), जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स,अक्ष के चारों ओर सममित रूप से प्रतिबिंबित होना चाहिए एक्स).

उदाहरण 2.फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x|

आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ लें वाई = एक्स(चित्र 50, ए) और इस ग्राफ का भाग एक्स< 0 (धुरी के नीचे लेटा हुआ एक्स) अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से परिलक्षित होता है एक्स. परिणामस्वरूप, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ मिलता है y = |x|(चित्र 50, बी)।

उदाहरण 3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x 2 - 2x|

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें y = x 2 - 2x.इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -1) होते हैं, इसका ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदु 0 और 2 पर काटता है। अंतराल में (0; 2) फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है, इसलिए ग्राफ़ का यह भाग एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रतिबिंबित होता है। चित्र 51 फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है y = |x 2 -2x|, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आधार पर y = x 2 - 2x

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = f(x) + g(x)

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने की समस्या पर विचार करें y = f(x) + g(x).यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ दिए गए हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

ध्यान दें कि फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र y = |f(x) + g(x)| x के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन y = f(x) और y = g(x) परिभाषित हैं, यानी परिभाषा का यह डोमेन परिभाषा के डोमेन, फ़ंक्शन f(x) का प्रतिच्छेदन है और जी(एक्स).

चलो अंक (x 0 , y 1) और (एक्स 0, वाई 2) क्रमशः फ़ंक्शंस के ग्राफ़ से संबंधित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स), यानी y 1 = एफ(एक्स 0), वाई 2 = जी(एक्स 0)।फिर बिंदु (x0;. y1 + y2) फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित है वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)(के लिए एफ(एक्स 0) + जी(एक्स 0) = य 1 +y2),. और फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कोई भी बिंदु वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है. इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स). और वाई = जी(एक्स)प्रत्येक बिंदु को प्रतिस्थापित करना ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)डॉट (एक्स एन, वाई 1 + वाई 2),कहाँ आप 2 = जी(एक्स एन), यानी प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)अक्ष के अनुदिश परराशि से वाई 1 = जी(एक्स एन). इस मामले में केवल ऐसे बिंदुओं पर ही विचार किया जाता है एक्स n जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन परिभाषित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने की यह विधि y = f(x) + g(x) को फ़ंक्शंस के ग्राफ़ का जोड़ कहा जाता है वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स)

उदाहरण 4. चित्र में, ग्राफ़ जोड़ने की विधि का उपयोग करके फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया गया था
y = x + synx.

किसी फ़ंक्शन की योजना बनाते समय y = x + synxहमने ऐसा सोचा एफ(एक्स) = एक्स,ए जी(एक्स) = सिनएक्स.फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए, हम भुज -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 वाले बिंदुओं का चयन करते हैं। एफ(एक्स) = एक्स, जी(एक्स) = सिनएक्स, वाई = एक्स + सिनएक्सआइए चयनित बिंदुओं पर गणना करें और परिणामों को तालिका में रखें।